Materi 5 - Pencocokan Kurva

8/19/2019 Materi 5 - Pencocokan Kurva

1/40

Pencocokan Kurva

Oleh :Adi Kurniawan, ST, MT

Analisa Numerik & Pemrograman KomputerM!"!#$%

Materi %:


2/40

Tuuan Kompetensi Khusus

Mahasiswa memahami konsepmetode pencocokan kurva 'aikregresi maupun interpolasi untukpolinom deraat satu dan deraat dua


3/40

Submateri

Regresi

Regresi linear

Regresi kuadrat

Interpolasi

Interpolasi polinom dasar

Interpolasi polinom Newton


4/40

(lustrasi Permasalahan

)ahan ka*u *ang akan digunakan untukkonstruksi se'uah kapal diui terle'ih dahulu dila'oratorium

Penguian 'ertuuan untuk menentukan hu'ungan

antara tegangan mekanik *ang di'erikan padaka*u +-, terhadap lama waktu *ang diperlukanhingga ka*u patah +.-

Karena keter'atasan waktu, data *ang didapat

han*a se'agai 'erikut:

/alam hal ini, metode pencocokan kurva dapat

digunakan untuk memperkirakan Nilai . untuk selain dari data *ang telah diperoleh di atas

X(kg/mm2)

% !$ !% #$ #% 2$ 2% "$

Y (jam) "$ 2$ #% #2 !3 #$ ## !%


5/40

4egresi vs (nterpolasi +!-

Regresi

4egresi adalah se'uahmetode untuk mem'uat

5ungsi pendekatan dariseluruh data *angdiketahui6

)erapapun umlahdatan*a, 5ungsi

pendekatan dapat'erupa 5ungsi linier,5ungsi kuadrat, pangkat2 dst6

Interpolasi

• (nterpolasi adalah se'uahmetode untuk mem'uat5ungsi *ang sesuai dariseumlah data tertentu6

Apa'ila data *ang ingindi'uat 5ungsin*a adalah #'uah, maka 5ungsi *angter'entuk adalah 5ungsilinier6 )ila data 'erumlah2 'uah, maka 5ungsi *angter'entuk 5ungsi kuadratdst6


6/40

4egresi vs (nterpolasi +#-

0ontoh regresi 'erupa5ungsi linier untukmendekati 3 'uah

data

0ontoh interpolasiuntuk mem'uat 5ungsidari % 'uah data6 7ungsi

'erupa 5ungsi deraat "

X

Y

X

Y

Regresi Interpolasi


7/40

4egresi vs (nterpolasi +2-

Regresi

/igunakan untuk data*ang tidak mem'utuhkan

ketelitian tinggi Sum'er data han*a

'erasal dari pengukuran

Kurva 5ungsi tidak perlumelewati semua titik

*ang tersedia, tetapimendekati titik8titik dataterse'ut

/ata tidak harus

diurutkan se'elum

melakukan regresi

Interpolasi

/igunakan untuk data*ang mem'utuhkanketelitian tinggi

Sum'er data dapat 'erasaldari pengukuran, ta'el,atau peru'ahan 5ungsimenadi 'entuk polinom

Kurva 5ungsi harusmelewati semua titik *angtersedia

/ata harus diurutkanse'elum melakukaninterpolasi


8/40

REGRESI


9/40

9enis 4egresi

4egresi linier : Mem'uat pendekatan'erupa 5ungsi linier dari seluruh data*ang diketahui

4egresi kuadrat : Mem'uatpendekatan 'erupa 5ungsi kuadratdari seluruh data *ang diketahui

4egresi pangkat tinggi : Mem'uatpendekatan 'erupa 5ungsi pangkat 2atau le'ih dari seluruh data *ang

diketahui +Tidak di'ahas-


10/40

4egresi inier

Mem'entuk pendekatan 'erupapersamaan linier : 5+;- 1 a < ';dari seluruh data *ang diketahui

Nilai a dan ' didapat dari persamaanmatriks se'agai 'erikut:

=

∑∑

∑∑∑

=

=

==

=n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y x

y

b

a

x x

xn

1

1

1

2

1

1


11/40

Ta'el untuk 4egresi inier

Se'elum menghitung nilai a & ', terle'ih dahuludihitung nilai8nilai lain *ang terdapat pada matriks

dengan ta'el se'agai'erikut:

i ;i *i ;i# ;i*i

!

#

66

6

n

9umlah

i ;i *i ;i# ;i*i

!

#

6

6

6

n

9umlah

1 1

2

1 1 1

n n

i i

i i

n n n

i i i ii i i

an x y

x x x yb

= =

= = =

=

∑ ∑

∑ ∑ ∑


12/40

0ontoh/ata dari ilustrasi permasalahan di awal slide6

0arilah pendekatan 5ungsi linier dari data di atas, kemudianperkirakan nilai . untuk 1 2# dan 1 "%

angkah pen*elesaian adalah mem'uat ta'el 'erikut :

X

(kg/mm2) % !$ !% #$ #% 2$ 2% "$ Y (jam) "$ 2$ #% #2 !3 #$ ## !%

i xi yi xi2 xiyi

1 5 40 25 200

2 10 30 100 300

3 15 25 225 375

4 20 23 400 460

5 25 18 625 450

6 30 20 00 600

7 35 22 1225 770

8 40 15 1600 600

= 180 13 5100 3755


13/40

anutan 0ontoh +!-

Selanutn*a, matriks dapat diisi 'erdasarkan ta'el se'elumn*a

maka didapat SP 'erikut :

3 a < !3$ ' 1 !>2 ? +!-

!3$ a < %!$$ ' 1 2@%% ? +#-

/engan su'stitusieliminasi didapat nilai a 1 2B,@! dan ' 1 8$,%B

Maka pendekatan 5ungsi linier *ang ter'entuk dari data adalah :5+;- 1 2B,@! C $,%B ;

Selanutn*a dapat dihitung perkiraan nilai . untuk ; 1 2# & ; 1 "%

; 1 2# 5+2#- 1 2B,@! C $,%B+2#- 1 !3,@>

; 1 "% 5+"%- 1 2B,@! C $,%B+"%- 1 !!,%!

1 1

2

1 1 1

n n

i i

i i

n n n

i i i i

i i i

an x y

x x x yb

= =

= = =

=

∑ ∑

∑ ∑ ∑

8 180 13

180 5100 3755

a

b

=


14/40

anutan 0ontoh +#-

DraEk per'andingan data se'enarn*adan 5ungsi pendekatan


15/40

atihan

/iketahui data hu'ungan antara ; dan* adalah se'agai 'erikut :

0arilah pendekatan 5ungsi linier daridata di atas dengan regresi

x 2 4 6 8 10y 5 8 12 18 25


16/40

4egresi Kuadrat

Terkadang hu'ungan antara varia'el 'e'as +;-dan varia'el terikat +*- *ang diketahui dari datale'ih cocok didekati dengan persamaan kuadrat

4egresi kuadrat adalah metode untukmem'entuk pendekatan 'erupa persamaankuadrat : 5+;- 1 a < '; <c;# dari seluruh data *ang diketahui

Nilai a, ' dan c didapat dari persamaan matriksse'agai 'erikut:

2

2 3

2 3 4 2

i i i

i i i i i

i i i i i

n x x a y x x x b x y

x x x c x y

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑


17/40

Ta'el untuk 4egresi Kuadrat

Fntuk mendapatkan persamaanmatriks, terle'ih dahulu di'uat ta'else'agai 'erikut:

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xiyi xi

2yi!

#

6

6

6

n

Jmla!

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xiyi xi

2yi!

#

6

6

6

n

Jmla!


18/40

0ontoh/ata dari ilustrasi permasalahan di awal slide6

angkah pen*elesaian adalah mem'uat ta'el 'erikut :

0arilah pendekatan 5ungsi kuadrat dari data di atas, kemudianperkirakan nilai . untuk 1 2# dan 1 "%

X

(kg/mm2) % !$ !% #$ #% 2$ 2% "$ Y (jam) "$ 2$ #% #2 !3 #$ ## !%

i xi yi xi2

xi3

xi4

xiyi xi2

yi1 5 40 25 125 625 200 1000

2 10 30 100 1000 10000 300 3000

3 15 25 225 3375 50625 375 5625

4 20 23 400 8000 160000 460 200

5 25 18 625 15625 30625 450 11250

6 30 20 00 27000 810000 600 18000

7 35 22 1225 42875 1500625 770 2650

8 40 15 1600 64000 2560000 600 24000

= 180 13 5100 162000 5482500 3755 025


19/40

anutan 0ontoh +!-

Selanutn*a, matriks dapat diisi 'erdasarkan ta'el se'elumn*a

/engan su'stitusieliminasi didapat nilai a 1 "%,2@%, ' 18!,%>>, dan c 1 $,$#2

Maka pendekatan 5ungsi kuadrat *ang ter'entuk dari dataadalah :

5+;- 1 "%,2@% C !,%>> ; < $,$#2 ;#Selanutn*a dapat dihitung perkiraan nilai . untuk ; 1 2# & ;1 "%

; 1 2# 5+2#- 1 "%,2@% C !,%>> +2#- < $,$#2 +2#-# 1 !@,@B

; 1 "% 5+"%- 1 "%,2@% C !,%>> +"%- < $,$#2 +"%-# 1 !>,>>

2

2 3

2 3 4 2

i i i

i i i i i

i i i i i

n x x a y

x x x b x y

x x x c x y

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

8 180 5100 13

180 5100 162000 3755

5100 162000 5482500 025

a

b

c

=


20/40

anutan 0ontoh +#-

DraEk per'andingan data se'enarn*adan 5ungsi pendekatan


21/40

rror 4MS

rror 4MS +4oot Mean SGuare- digunakan untukmengukur tingkat akurasi dari 5ungsi pendekatan*ang didapat dari regresi

Semakin kecil error 4MS, semakin akurat 5ungsipendekatan *ang didapat

Nilai error 4MS dapat pula digunakan se'agaipem'anding, apakah data *ang diketahui le'ihcocok didekati dengan 5ungsi linier, 5ungsikuadrat, atau 5ungsi lainn*a

4umus untuk menghitung error 4MS adalahse'agai 'erikut : *i 1 Nilai output 'erdasarkan data

5+;i- 1 Nilai output *ang dihitung 'erdasar

pendekatan 5ungsi


22/40

Ta'el untuk Menghitungrror 4MS

Fntuk mempermudah menghitungerror 4MS, dapat di'uat ta'el se'agai'erikut

Selanutn*a tinggal dihitung

i i *i 5+;i- 5+;i-8*i +5+;i-8*i-#

!

#

6

6

6

n

i i *i 5+;i- 5+;i-8*i +5+;i-8*i-#

!

#

6

6

6

n


23/40

0ontoh/ari data

didapat

pendekatan 5ungsi linier : 5+;- 1 2B,@! C $,%B ;Pendekatan 5ungsi kuadrat : 5+;- 1 "%,2@% C !,%>> ; <$,$#2 ;#

7ungsi manakah *ang le'ih tepat untuk data di atasI

Pertan*aan ini dapat diawa' dengan mencari error4MS untuk tiap 5ungsi

X(kg/mm2)

% !$ !% #$ #% 2$ 2% "$

Y (jam) "$ 2$ #% #2 !3 #$ ## !%


24/40

Pem'ahasan 0ontoh +!-

rror 4MS 5ungsi linier, dengan 5+;- 1 2B,@! C $,%B ;

• i xi yi f(xi) f(xi)-yi (f(xi)-yi)

2

1 5 40 33!1 "6!0 37!0881

2 10 30 31!11 1!11 1!2321

3 15 25 28!31 3!31 10!5614 20 23 25!51 2!51 6!3001

5 25 18 22!71 4!71 22!1841

6 30 20 1!1 "0!0 0!0081

7 35 22 17!11 "4!8 23!121

8 40 15 14!31 "0!6 0!4761102.1568


25/40

Pem'ahasan 0ontoh +#-

rror 4MS 5ungsi linier, dengan 5+;- 1 "%,2@% C !,%>> ; < $,$#2 ; #

• i xi yi f(xi) f(xi)-yi (f(xi)-yi)

2

1 5 40 37!55 "2!045 4!18202

2 10 30 31!685 1!685 2!8323

3 15 25 26!565 1!565 2!44234 20 23 22!55 "0!405 0!16403

5 25 18 1!775 1!775 3!15062

6 30 20 18!105 "1!85 3!5103

7 35 22 17!585 "4!415 1!422

8 40 15 18!215 3!215 10!336246.2046


26/40

Pem'ahasan 0ontoh +2-

5ungsi linier 5+;- 1 2B,@! C $,%B ; mempun*ai

erms 1 2,%@

5ungsi kuadrat 5+;- 1 "%,2@% C !,%>> ; <

$,$#2 ;# mempun*ai erms 1 #," Kesimpulan : /ata dari ta'el

le'ih tepat didekati dengan 5ungsi kuadrat

5+;- 1 "%,2@% C !,%>> ; < $,$#2 ;#

X(kg/mm2)

% !$ !% #$ #% 2$ 2% "$

Y (jam) "$ 2$ #% #2 !3 #$ ## !%


27/40

I"#ER$%&'SI


28/40

Konsep

(nterpolasi adalah se'uah metode untuk mencaripendekatan 5ungsi dari seumlah titik tertentu daridata *ang diketahui

7ungsi antara # titik 7ungsi linier

7ungsi antara 2 titik 7ungsi +polinom- kuadrat

7ungsi antara " titik 7ungsi +polinom- pangkat2

/st

Jasil dari interpolasi umumn*a le'ih akurat dariregresi karena tidak semua data langsung didekati

dengan ! 5ungsi


29/40

9enis (nterpolasi

(nterpolasi polinom dasar (nterpolasi linier

(nterpolasi kuadrat

(nterpolasi pangkat 2

(nterpolasi polinom Newton


30/40

(nterpolasi Polinom /asar 8inier

(nterpolasi ini digunakan untukmem'entuk pendekatan 5ungsi linier dari# 'uah titik data +;!,*!- dan +;#,*#-L

7ungsi dapat di'entuk dengan persamaan'erikut :

2 11 1

2 1

# $# $ # $

# $

y y f x y x x

x x

−= + −

−


31/40

0ontoh

/ata perco'aan 'erikut ini menunukkanhu'ungan antara kecepatan +;- dan arak*ang di'utuhkan untuk menghentikan

kendaraan +*-

0arilah pendekatan 5ungsi linier antarakecepatan "$ dan %$ milam, kemudianperkirakan arak henti untuk kecepatan "# &"@ milam


32/40

Pem'ahasan 0ontoh

Karena 5ungsi *ang dicari terletak antara "$dan %$ milam, maka :

;! 1 "$, *! 1 B%, ;# 1 %$, *# 1 >$

sehingga pendekatan 5ungsi adalah

Perkiraan * untuk ; 1 "# dan ; 1 "@ :

5+"#- 1 82% < #,%+"#- 1 @$

5+"@- 1 82% < #,%+"@- 1 3#,%

2 11 1

2 1

# $ #0 65$# $ # $ 65 # 40$

# $ #50 40$

# $ 35 2% 5

y y f x y x x x

x x

f x x

− −= + − = + −

− −

= − +


33/40

(nterpolasi Polinom /asar 8Kuadrat

(nterpolasi ini digunakan untukmem'entuk pendekatan 5ungsi kuadratdari 2 'uah titik data +;!,*!-, +;#,*#- dan

+;2,*2-L 7ungsi pendekatan adalah 'erupa

persamaan kuadrat :

5+;- 1 a$ < a!; < a#;#

Nilai a$, a! dan a# didapat dengan

men*elesaikan SP 'erikut : Y

X

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

2

0 1 1 2 1 1

2

0 1 2 2 2 2

2

0 1 3 2 3 3

a a x a x y

a a x a x y

a a x a x y

+ + =

+ + =

+ + =


34/40

0ontoh

/ata perco'aan 'erikut ini menunukkanhu'ungan antara kecepatan +;- dan arak*ang di'utuhkan untuk menghentikan

kendaraan +*-

0arilah pendekatan 5ungsi kuadrat antarakecepatan !$, #$, dan 2$ milam, kemudianperkirakan arak henti untuk kecepatan !2 &#3 milam


35/40

Pem'ahasan 0ontoh

Karena 5ungsi *ang dicari terletak antara !$, #$, dan 2$ milam,maka :

;! 1 !$, *! 1 !#, ;# 1 #$, *# 1 #!, ;2 1 2$, *2 1 "B

sehingga ter'entuk SP

Selanutn*a SP diselesaikan dengan eliminasisu'stitusi, sehinggadidapat a$ 1 !>, a! 1 8!,%, a# 1 $,$3

9adi pendekatan 5ungsi kuadrat *ang ter'entuk adalah5+;- 1 !> C !,% ; < $,$3 ;#

Maka dapat dicari perkiraan arak henti untuk ; 1 !2 & ; 1 #3milam

1 !2 5+!2- 1 !> C !6%+!2- < $6$3+!2-# 1 !2,$#

; 1 #3 5+#3- 1 !> C !6%+#3- < $6$3+#3-# 1 2>,@#

0 1 2

0 1 2

0 1 2

10 100 12

20 400 2130 00 46

a a a

a a aa a a

+ + =

+ + =

+ + =

2

0 1 1 2 1 1

2

0 1 2 2 2 2

2

0 1 3 2 3 3

a a x a x y

a a x a x ya a x a x y

+ + =

+ + =+ + =


36/40

(nterpolasi Polinom /asar C Pangkat

2

(nterpolasi ini digunakan untuk mem'entukpendekatan 5ungsi pangkat 2 dari " 'uahtitik data +;!,*!-, +;#,*#-, +;2,*2- dan +;",*"-L

7ungsi pendekatan adalah 'erupapersamaan kuadrat :

5+;- 1 a$ < a!; < a#;# < a2;2

Nilai a$, a!, a# dan a2 didapat dengan

men*elesaikan SP 'erikut :a$ < a!;! < a#;!# < a2;!2 1 *!

a$ < a!;# < a#;## < a2;#2 1 *#

a$ < a!;2 < a#;2# < a2;22 1 *2

a$ < a!;" < a#;"# < a2;"2 1 *" x 1 x 2

f(x)

x 3 x 4


37/40

(nterpolasi Polinom Newton

(nterpolasi Newton adalah metode lainuntuk mendapatkan pendekatan 5ungsi dari'e'erapa titik data

Sama seperti interpolasi polinom dasar,

pada interpolasi Newton, 5ungsi *angter'entuk sesuai dengan umlah data *angdihu'ungkan 7ungsi antara # titik 7ungsi linier

7ungsi antara 2 titik 7ungsi +polinom- kuadrat

7ungsi antara " titik 7ungsi +polinom-pangkat 2

/st


38/40

7ungsi Jasil (nterpolasiNewton

7ungsi linier dari interpolasi Newton

7ungsi kuadrat dari interpolasi Newton

7ungsi pangkat 2 dari interpolasi Newton

7ungsi pangkat " dst mengikuti pola *angsama

Nilai a$, a!, a# dst dapat dicari dengan ta'el

selisih ter'agi

0 1 1# $ # $ f x a a x x= + −

0 1 1 2 1 2# $ # $ # $# $ f x a a x x a x x x x= + − + − −

0 1 1 2 1 2 3 1 2 3# $ # $ # $# $ # $# $# $ f x a a x x a x x x x a x x x x x x= + − + − − + − − −

T ' l S li ih T ' i


39/40

Ta'el Selisih Ter'agi0ontoh untuk " 'uah data +n data-, maka maksimalselisih ter'agi adalah 2 +n8!-

Pendekatan 5ungsi pangkat 2 dari (nterpolasi Newton*ang ter'entuk :

Nilai a$, a!, a# dan a2 dilihat dari 'aris ke8! pada ta'el,

dimulai dari *!

i ;i *i ST8! ST8# ST82

! ;! *!

# ;# *#

2 ;2 *2

" ;" *"

2 1

2 1

y y

x x

−

−

3 2

3 2

y y

x x

−

−4 3

4 3

y y

x x

−

−

1u=

2u=3

u=

2 1

3 1

u u

x x

−

−3 2

4 2

u u

x x

−

−

1v=

2v=

2 1

4 1

v v

x x

−

−

0 1 1 2 1 2 3 1 2 3# $ # $ # $# $ # $# $# $ f x a a x x a x x x x a x x x x x x= + − + − − + − − −

0 t h


40/40

0ontoh)uatlah pendekatan 5ungsi pangkat " dari data 'erikut

9awa' :

Ta'el selisih ter'agi

dst

x # " B 3 !$y % !! !@ #$ #%

i x y ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

1 2 5 3 0 "0!063 0!021

2 4 11 3 "0!375 0!104

3 6 17 1!5 0!25

4 8 20 2!5

5 10 25

0 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4# $ # $ # $# $ # $# $# $ # $# $# $# $ f x a a x x a x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x= + − + − − + − − − + − − − −

# $ 5 3# 2$ 0# 2$# 4$ 0% 063# 2$# 4$# 6$ 0% 021# 2$# 4$# 6$# 8$ f x x x x x x x x x x x= + − + − − − − − − + − − − −

Materi 5 - Pencocokan Kurva

Documents

Transcript of Materi 5 - Pencocokan Kurva