Materi 1

Start

Populasi dan Sampel

• Populasi : keseluruhan objek yang menjadi pusat perhatian dalam statistika Parameter besaran yang menggambarkan karakteristik dari populasi

• Sampel : Himpunan bagian dari populasi

Statistik besaran yang digunakan untuk menggambarkan karakteristik suatu sampel

Statistik digunakan untuk pendugaan parameter

Populasi dan Sampel

Populasi dan Sampel

Populasi vs Sampel

• Parameter Populasi

Sebuah parameter populasi selalu konstan

Sebuah populasi hanya memiliki sebuah nilai µ

• Statistik Sampel

Merupakan variabel acak (random)

Setiap statistik sampel memiliki sebuah

distribusi peluang (probability distribution)

Distribusi peluang dari suatu statistik sampel

disebut ‘distribusi sampling’

• Teori sampling didasarkan atas adanya pengaruh saling meniadakan

diantara anggota populasi ‘Random Sampling’

• Random Sampling pemilihan acak yang menjamin setiap anggota

populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel

– Simple random Sampling

– Systematic Random Sampling misal: tiap selang 10 NPM

mahasiswa

– Stratified Random Sampling populasi dibagi dalam kelas,

kemudian sampling acak dilakukan pada tiap-tiap kelas

– Cluster (area) Random Sampling definisikan ‘clusters’ suatu

individu-individu & ambil sampel dari tiap cluster

Metode Sampling

Manfaat Sampling

• Estimasi suatu parameter populasi

• Pengujian hypotesa

• Peramalan

Metode Penarikan Sampel

Sampel Probabilitas

(Probability Sampling)

Sampel Nonprobabilitas

(Nonprobability Sampling)

1. Penarikan sampel acak sederhana

(simple random sampling)

2. Penarikan sampel sistematis

(systematic sampling)

3. Penarikan sampel acak terstruktur

(stratified random sampling)

4. Penarikan sampel cluster (cluster

sampling)

1. Penarikan sampel kuota (kuota

sampling)

2. Penarikan sampel purposive

(purposive sampling)

8

Sampel Non-Probabilitas

Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari

populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki

probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan

sampel.

Sampel Probabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari

populasi sehingga masing-masing anggota populasi

memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk

dijadikan sampel.

9

• Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak

tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan

setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama

untuk dijadikan sampel.

• Cocok untuk populasi yang bersifat Uniform/homogen

1. Sampel Acak Sederhana

10

Cara Sampel Acak Sederhana:

1. Sistem Kocokan/undian

Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama Sistem

arisan yaitu cara undian (lotere).

2. Menggunakan Tabel Bilangan Acak

Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel.

Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik

awal (starting point).

Tabel Bilangan Acak

11

12

CONTOH MENCARI SAMPEL DENGAN

TABEL ACAK

1. Menentukan titik awal (starting point)

2. Memulai dari titik baris dan kolom

pertama dengan membandingkan antara

angka acak dan jumlah populasi. Misal.

N=59 dan n=6, maka angka acak diambil

< 59.

13

2. Sampel Acak Sistematis

• Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila

setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun

dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar

kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal

secara acak lalu setiap anggota ke-k dari populasi

dipilih sebagai sampel

• Sering dipandang sebagai cara yang lebih efesien

bila populasi tersebar dalam geografis yang luas.

14

• Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan

membagi anggota populasi dalam beberapa sub

kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel

dipilih dari masing-masing stratum.

• Setiap stratum akan menjadi uniform/homogen

3. Sampel Acak Terstruktur/Stratifikasi:

15

PROSES STRATIFIKASI

Populasi Tidak Berstrata Populasi Terstrata

16

Contoh Menentukan Jumlah Sampel

Setiap Stratum

Stratum Kelompok Jumlah Persentase Jumlah sampel

anggota dari total per stratum

1 Bulat 5 5/24=21% (0,21 x 10)=2

2 Segitiga 7 7/24=29% (0,29 x 10)=3

3 Kotak 12 12/24=50% (0,50 x 10)=5

Jumlah Total 24 100% 10

17

Contoh Memilih Perusahaan di BEJ

Startum Kelompok Jumlah Persentase Jumlah Sampel

Anggota dari Total per Stratum

Bank 25 50 8(0,50 x 15)

Asuransi dan pembiayaan 17 34 5(0,34 x 15)

Efek 8 16 2(0,16 x 15)

Jumlah Total 50 100 15

18

Latihan Sampel Stratifikasi

• N=2.000 yang terdiri dari 4 stratum: N1=500, N2=1200,

N3=200 dan N4=100. dengan ukuran n=80.

• Berapa besar sampel yang harus di alokasikan pada

masing-masing stratum (metode alokasi proporsional)?

Jawab:

• Alokasi proporsional 𝑛𝑖 =𝑁

𝑖

𝑁. 𝑛

• n1=(500/2000).80=20

• n2=(1.200/2000).80=48

• n3=(200/2000).80=8

• n4=(100/2000).80=4

19

4. Sampel Acak Kluster

• Dilakukan dengan mengambil beberapa kluster/kelompok

dari populasi.

• Sering dipandang sebagai cara yang lebih efesien bila

populasi tersebar dalam geografis yang luas.

Sampel

Terstruktur

Sampel

Terstruktur

Sampel Cluster

Distribusi Populasi

• Distribusi Populasi merupakan distribusi

peluang yang diturunkan dari informasi

seluruh elemen populasi

Contoh 1:

Ada 5 mahasiswa yang mengambil m.k. Statistika

Lanjut dengan hasil akhir masing2 adalah:

70, 78, 80, 80, 95

Jika tidak dilakukan pengelompokkan, maka

buatlah distribusi peluang populasinya !

Distribusi Populasi

• Distribusi Peluang Populasi

Jawab:

Tabel Distribusi Peluang x

x f P(x)

70 1 1/5 = 0.2

78 1 1/5 = 0.2

80 2 2/5 = 0.4

95 1 1/5 = 0.2

P(x) = 1.0

Distribusi Sampling

( ) 5

3

Distibusi Sampling yaitu suatu distribusi peluang semua nilai

statistik dari suatu sample yang diambil dari sebuah populasi

– Dalam suatu populasi, hanya ada 1 nilai rata-rata

populasi µ

– Rata-rata sampel x, nilainya merupakan variabel acak

sehingga memiliki distribusi peluang = distribusi

sampling rata-rata, x

– Contoh :

Dari contoh sebelumnya dengan 5 elemen anggota

populasi, buatlah semua kemungkinan sampel yang

dapat terjadi jika masing2 sampel terdiri dari 3 score

yang diambil tanpa pemulihan dari populasi tersebut.

Penyelesaian:

Jumlah kombinasi sampel yang terjadi dihitung dengan

rumus kombinasi:

= (kemungkinan kombinasi sampel) 10

! 3)-(5 ! 3

! 5

Sampel Score Dalam

Sampel x

ABC 70, 78, 80 76.00

ABD 70, 78, 80 76.00

ABE 70, 78, 95 81.00

ACD 70, 80, 80 76.67

ACE 70, 80, 95 81.67

ADE 70, 80, 95 81.67

BCD 78, 80, 80 79.33

BCE 78, 80, 95 84.33

BDE 78, 80, 95 84.33

CDE 80, 80, 95 85.00

x f P(x)

76.00 2 2/10 = 0.2

76.67 1 1/10 = 0.1

79.33 1 1/10 = 0.1

81.00 1 1/10 = 0.1

81.67 2 2/10 = 0.2

84.33 2 2/10 = 0.2

85.00 1 1/10 = 0.1

ΣP(x) = 1.0

23

Tabel 2. Semua Kemungkinan Sampel dan rata-rata dengan ukuran sampel = 3

Tabel 3. Distribusi Peluang Rata-rata Sampling x

• Jika dipilih suatu sampel yang berukuran 3 dari populasi yang

berukuran 5, maka akan didapatkan 10 kemungkinan sampel

terpilih. Masing2 sampel akan memiliki Rata-rata Sampel x.

• Table 3 menunjukkan peluang rata-rata sampel x yang terdiri dari

3 score yang diambil secara acak.

P(x = 81.67) = 0.20

24

• Sampling Error perbedaan antara nilai suatu statistik sampel

dengan nilai parameter populasi.

Dalam kasus rata-rata, dimana diasumsikan bahwa sampel diambil

secara acak dan tidak terjadi non-sampling error

Sampling Error = 𝑥 − 𝜇

• Non-Sampling Error Error yang terjadi dalam proses

pengumpulan, perekaman, atau tabulasi data.

• Contoh 3:

Berdasar populasi 5 score pd Contoh 1, yaitu 70, 78, 80, 80, 95.

Rata-rata populasi adalah:

µ = (70+78+80+80+95)/5 = 80.60

Kemudian, anggap diambil sebuah sampel secara acak dari populasi

tersebut, dan diperoleh score 70, 80, dan 95. Maka diperoleh rata-

rata sampel yaitu:

𝑥 = (70+80+95)/3 = 81.67

Sehingga,

Sampling Error = 𝑥 − 𝜇 = 81.67 - 80.60 = 1.07

Sampling and Non-Sampling Error

25

Contoh 3 : …………… (Lanjutan )

Kemudian, jika terjadi kesalahan dimana score 80 ditulis 82, maka

sebagai hasil sampel score 70, 82, dan 95. Maka diperoleh rata-rata

sampel yaitu:

𝑥 = (70+82+95)/3 = 82.33

Dan,

𝑥 − 𝜇 = 82.33 - 80.60 = 1.73

Sehingga disini perbedaan Mean Sampel dan Mean Populasi bukan

menunjukkan Sampling Error, yang seharusnya = 1.07.

Dalam kasus ini terjadi Non-Sampling Error,

Non-Sampling Error = 1.73 – 1.07 = 0.66

Sampling Error Non-Sampling Error

µ = 80.60 81.67 82.33

26

Mean dan Simpangan Baku 𝑥 • Sampel yang berbeda,namun berukuran sama akan menghasilkan

nilai Rata-rata sampel yang berbeda pula.

• Ukuran keragaman Rata-Rata dari satu sampel dengan sampel

lainnya diukur dengan Standard Error of the Mean (Simpangan

baku distribusi sampling Rata-Rata

• Rata-rata dan simpangan baku yang dihitung untuk distribusi

sampling 𝑥 disebut Mean dan Simpangan Baku 𝑥 dan dinotasikan

dengan 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 • Mean distribusi sampling 𝑥 sama dengan mean populasinya.

𝜇𝑥 = µ

• Simpangan baku 𝜎𝑥 tidak sama dengan simpangan baku populasi

(kecuali jika n=1).

𝜎𝑥 = , jika (n = ukuran sampel; n =ukuran populasi)

𝜎𝑥 = , jika

• Contoh 5:

Rata-rata upah per jam dari 5000 karyawan suatu pabrik adalah $13.50 dengan

simpangan baku $ 2.90. Jika 𝑥 adalah rata-rata sebuah sampel yg diambil acak dari

5000 karyawan tersebut, tentukan Mean dan simpangan baku distribusi sampling

untuk suatu sampel yang berukuran:

a. 30 b. 200

n

σ0.05

N

n

1 - N

n - N

n

σ0.05

N

n

Normal Population

Distribution

Normal Sampling

Distribution

(has the same mean)

Sampling Distribution Properties

x

x

μμx

μ

xμ

Sampling Distribution Properties

As n increases,

decreases

Larger sample

size

Smaller sample

size

x

(continued)

xσ

μ

Z-value for Sampling Distribution of the Mean

• Z-value for the sampling distribution of 𝑥 :

where: = sample mean

= population mean

= population standard deviation

n = sample size

Xμ

σ

n

σ

μ)X(

σ

)μX(Z

X

X

30

n

σ0.05

N

n

Bentuk Distribusi Sampling

If the Population is not Normal

• We can apply the Central Limit Theorem:

– Population is not normal,

– …sample means from the population will be approximately normal as long as the sample size is large enough.

Properties of the sampling distribution:

and μμ x n

σσx

n↑

Central Limit Theorem

As the

sample size

gets large

enough…

the sampling

distribution

becomes almost

normal

regardless of

shape of

population

x

Population Distribution

Sampling Distribution

(becomes normal as n increases)

Central Tendency

Variation

x

x

Larger

sample

size

Smaller sample

size

If the Population is not Normal (continued)

Sampling distribution

properties:

μμx

n

σσx

xμ

μ

How Large is Large Enough?

• For most distributions, n > 30 will give a

sampling distribution that is nearly

normal

• For fairly symmetric distributions, n > 15

• For normal population distributions, the

sampling distribution of the mean is

always normally distributed

Example

• Suppose a population has mean μ = 8

and standard deviation σ = 3. Suppose a

random sample of size n = 36 is selected.

• What is the probability that the sample

mean is between 7.8 and 8.2?

Example

Solution:

• Even if the population is not normally

distributed, the central limit theorem can

be used (n > 30)

• … so the sampling distribution of is

approximately normal

• … with mean = 8

• …and standard deviation

(continued)

x

xμ

0.536

3

n

σσx

Example Solution (continued):

0.31080.4)ZP(-0.4

363

8-8.2

nσ

μ- X

363

8-7.8P 8.2) X P(7.8

Z 7.8 8.2 -0.4 0.4

Sampling

Distribution

Standard Normal

Distribution 0.1554 +

0.1554

Population

Distribution

? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? Sample Standardize

8μ 8μX 0μz xX

38

Aplikasi Distribusi Sampling x

Contoh:

Suatu perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam pada

perusahaan tersebut terdistribusi normal dengan rata-rata µ adalah 800 jam dan simpangan baku sama dengan 40 jam. Hitunglah

peluang bahwa suatu contoh acak yang terdiri dari 18 bohlam,

memiliki umur rata-rata 𝑥 kurang dari 775 jam !

Penyelesaian:

Karena populasi bohlam terdistribusi normal, maka sampel juga

terdistribusi normal meskipun ukuran sampel < 30, sehingga:

Ditanyakan P(𝑥 < 775)…?

Untuk menghitungnya, kita menggunakan distribusi normal baku z,

dimana:

µx = µ = 800 dan x = = = 10

n

σ

16

40

xσ

μ-x z 2.5-

10

800-775

P(x < 775) = P(z < -2.5)

= 0.0062 (Tabel distribusi z)

µx = 800

0 -2.5 z

x 775

daerah terarsir

= 0.0062

39

40