Mater i 20 Anal is is 20 Kompleks

1. Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKSSistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan

real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk

menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis

bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks,

bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab

ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya.

Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat

mengerti definisi bilangan kompleks.

mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen,

pangkat dan akar.

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

mempunyai penyelesaian dengan .

tidak mempunyai penyelesaian jika .

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga mempunyai

penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu

bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut dengan

. Ditulis : . merupakan bilangan yang berbentuk dengan

dan . Ditulis : .

Jika maka

= bagian riil z,

= bagian imajiner z,

= satuan imajiner dan .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1. = himpunan bilangan kompleks

1


= .

2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan dan .

jika dan hanya jika dan .

Contoh 1 a.

dan .

b.

dan . □□

1.2 Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga secara

geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy),

dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan

kompleks juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang

kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik

.

y (sumbu imajinair)

•

O x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks

1.3 Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan dan .

a. Penjumlahan :

b. Pengurangan : c. Perkalian :

2


d. Pembagian :

Perlu diperhatikan :

1. ( negatif z ).

Jika maka .

2. ( kebalikan z )

Jika maka .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

b. Hukum asosiatif

c. Hukum distributif

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )

e. Elemen netral dalam perkalian ( )

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk

mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai

bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai

Modulus z = = .

Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.

Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan dengan

.

3


Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang

bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R.

Definisi bilangan kompleks sekawan

Bilangan kompleks sekawan dari

didefinisikan sebagai bilangan kompleks .

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan titik

dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.

Contoh 2 a. .

b. menyatakan lingkaran dengan pusat

dan jari-jari .

c. Jika maka . □□

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. ,

l.

m. Pertidaksamaan Segitiga :

n.

o.

4


p. .

1.5 Bentuk Kutub

Bentuk kutub bilangan kompleks

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

dengan

r = modulus (nilai mutlak) = = . = argumen dari z =

= .

y • z = x+ iy r θ x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai dengan

kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari ditulis

dengan adalah tunggal.

Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan

dengan .a. Perkalian

.

b. Pembagian

.

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

5


.

.

Contoh

3

Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :

.

. □□

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan

kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu

dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Bentuk pangkat

Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada

bilangan riil diperoleh

,

6


Rumus Moivre

Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau

, . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk

yang disebut Rumus Moivre .

1.6 Bentuk Akar

Bentuk akar

Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis

atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n

beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

Contoh 4

Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y

7


2

x . □□

Ringkasan

Bilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .

8


2. FUNGSI ANALITIK

Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila ada di semua

titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi

kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy –

Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan

diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan

fungsi pada bilangan kompleks.

Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat

Mengerti definisi fungsi analitik

Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks

Menentukan kekontinuan fungsi

Mencari turunan fungsi

Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik

2.1 Fungsi Peubah Kompleks

9


Definis

i

Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f

pada S adalah aturan yang mengawankan setiap

dengan biangan kompleks w.

Notasi w = f(z).

Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan

variabel kompleks.

Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga

u + iv = f(x + iy).

Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y,

sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil

x dan y, yaitu

f(z) = u(x,y) + iv(x,y).

Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka

u + iv = f(reiθ),

dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi

f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).

Contoh

1

Misalkan w = f(z) = z2 +3z.

Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u

dan v dalam bentuk polar.

Penyelesaian:

Misal z = x + iy, sehingga

Jadi dan .

Untuk z = 1 + 3i maka .

Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15.

Jika koordinat polar digunakan dimana z = reiθ, maka

Jadi dan .

2.2 Pemetaan / Transformasi

10


Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya.

Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik

yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di

bidang bukan di garis bilangan.

Definisi Transformasi

Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan

titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau

transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-

titik di bidang w oleh fungsi f.

Pemetaan dapat berupa:

Translasi / pergeseran

Rotasi / perputaran

Refleksi / pencerminan

Sebagai contoh, pemetaan

w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap

titik z satu satuan ke kanan.

, dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi / memutar setiap

titik taknol z ke kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.

merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu

riil.

2.3 Limit

Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan

riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang

garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua

arah dalam bidang kompleks.

Definisi

Limit

dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama

dengan w0 “, dan didefinisikan sebagai berikut:

11


berlaku

.

Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap

lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0|< ada suatu lingkungan- dari z0, yaitu

0 < |z - z0| < sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada

pada lingkungan-. Perhatikan Gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1

Dalam hal ini

Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal

z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan

Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0

berbeda maka tidak ada

f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0

Contoh 2 Misalkan . Buktikan .

Bukti:

Ambil ε > 0 sebarang. Pilih berlaku

12


Jadi untuk setiap z dan positif berlaku bila

, lihat gambar 2.

Sehingga menurut definisi limit terbukti .

Gambar 2

Contoh 3 Misalkan . Buktikan tidak ada.

Bukti:

Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang

berbeda.

Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y

= 0.

.

Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x

= 0.

.

Pendekatan sepanjang garis y = x.

.

13


Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda

menghasilkan nilai yang tidak sama maka tidak

ada.

Teore

ma 1

Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka

Bukti:

Misalkan ,

artinya

Pilih .Karena dan

maka bila .

Jadi .

Misalkan , artinya

bila .Perhatikan bahwa

dan

Sehingga bila

.

Jadi .

Teore

ma 2

Andaikan maka

.

14


.

.

2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak

hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang

kompleks yang diperluas.

Teore

ma 3

Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka

1)

2)

3)

Bukti:

1) Misalkan , artinya bila

0 < |z – z0| < δ ............…………………………………..(#).

Akan dibuktikan .

Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi

bila 0 < |z – z0| < δ.

Jadi .

2) Misalkan ,

artinya bila |z| >1/δ.............(*).

Akan dibuktikan .

Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan

diperoleh bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi .

15


3) Misalkan ,

artinya bila |z| > 1/δ ……………....

(**).

Akan dibuktikan .

Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan

diperoleh bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi .

2.5 Kekontinuan

Definisi

Kontinu

Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika

ada

f(z0) ada

Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika

berlaku

.

Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada

tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 +

iy0 ,

u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)

.

Sifat-sifat fungsi kontinu

1) Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks

2) Jika f dan g kontinu pada daerah D maka

a) f+g kontinu

b) f-g kontinu

16


c) f.g kontinu

d) f/g kontinu kecuali di sehingga g(z0) = 0.

2.6 Turunan

Definisi

Turunan

Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan

didefnisikan sebagai berikut:

jika limitnya ada.

Notasi untuk turunan f di z adalah .

Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.

Aturan Turunan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Contoh

4

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

1. f(z) = (2z2 + i)5

2.

Penyelesaian :

1. Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan

aturan rantai diperoleh

.

17


2. Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh

Sehingga untuk z = i diperoleh

.

Aturan Rantai

Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai

turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai

turunan di z0, dan

Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka

menurut aturan rantai

.

Contoh

5

Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan

menggunakan aturan rantai!

Penyelesaian:

Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan

rantai

= (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.

2.7 Persamaan Cauchy – Riemann

Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat

penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk

menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

18


Definisi Persamaan Cauchy - Riemann

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan

hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v

memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu

dengan .

Contoh

6

Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.

Apakah f(z) analitik untuk semua z ?

Penyelesaian :

f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,

.

Perhatikan bahwa

u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -

vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk

semua z.

Teorema 4

Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di

suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan

di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan

Cauchy - Riemann .

Teorem

a 5

Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y)

mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan

memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D

19


maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.

Contoh

7

Apakah f(z) = z3 analitik?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa

u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 =

vy dan uy = -6xy = -vx. Karena memenuhi persamaan C-

R maka f analitik untuk semua z.

2.8 Fungsi Analitik

Definisi Fungsi Analtik

Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau

reguler atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di

semua titik pada suatu lingkungan z0.

Teorema 5 Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan

i. ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam

lingkungan tertentu N dari titik z0

ii. persamaan Cauchy- Riemann

berlaku di setiap titik di N

maka f(z) analitik di z0.

Contoh 8 Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik

Bukti:

Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z)

tidak ada pada persekitaran z = 0.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan

Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik

pada S.

Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi

menyeluruh /fungsi utuh (entire function).

20


Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan

titik pada bidang datar yang membuat f analitik.

Contoh 9Misalkan . Apakah f(z) analitik?

Penyelesaian:

f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ±

i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i.

Definisi Titik Singular

Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan

hanya jika f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi

setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik

yang membuat f analitik.

Contoh 10 Misalkan . Tentukan titik singular dari f

dan tentukan dimana saja f(z) analitik!

Penyelesaian:

f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z

= 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f

adalah di z = 0 dan di z = ± i. f(z) analitik

di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0

dan di z = ± i .

2.9 Fungsi Harmonik

Definisi Fungsi Harmonik

Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial

orde 1 dan 2 yang kontinu dan memenuhi

21


persamaan Laplace

disebut fungsi Harmonik.

Contoh 11 Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u

dan v fungsi harmonik?

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa:

ux = 2x vx =

2y

uxy = 0 vxy = 2

uy = -2y

vy =

2x

uyx = 0 vyx = 2

uxx = 2 vxx = 0

uyy = -2

vyy = 0

Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 +

(-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v

memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi

harmonik.

Definisi Fungsi Harmonik Sekawan

Misalkan f(z) = u + iv. v disebut fungsi harmonik

sekawan dari u jika u fungsi harmonik dan v fungsi

harmonik.

Contoh 12 Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi

harmonik sekawan dari u.

Penyelesaian:

ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan

22


cauchy – Riemann diperoleh -6xy = ux = vy.

Sehingga ……….(1)

atau vx = -3y2 + h’(x).

Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua

harus dipenuhi, yaitu uy = -vx. Sehingga

..........

…………………………(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi

harmonik sekawan dari u.

Contoh 13 Misalkan . Apakah fungsi tersebut

harmonik? Jika ya, tentukan fungsi analitik

sekawan dari

f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

Penyelesaian:

Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi

harmonik atau bukan.

Perhatikan bahwa:

vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2

vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3

23


vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 .

vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak

memenuhi persamaan Laplace, yaitu

vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan

fungsi harmonik.

Soal – soal Latihan

1. Tuliskan fungsi kedalam bentuk

f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).

2. Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk

membuktikan

a)

b)

3. Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3

4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan dimana

n bilangan asli.

5. Tentukan pada persamaan

a)

b)

6. Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan .

Buktikan bahwa fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy –

Riemann pada z = (0,0).

24

Mater i 20 Anal is is 20 Kompleks

Documents

Transcript of Mater i 20 Anal is is 20 Kompleks