MATEMATIKA

Teknik Telekomunikasi 1A

1 Diferensiasi Parsial

2 Persamaan Diferensial

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

PROGRAM STUDI TEKNIK TELEKOMUNIKASI

POLITEKNIK NEGERI MALANG

TAHUN 20122013

1

Kata Pengantar

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat

rahmat dan karunia-Nyalah tugas ini dapat terselesaikan dengan baik tepat pada waktunya

Dalam penyelesaian tugas ini kami banyak mengalami kesulitanNamun berkat

bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini dapat terselesaikan dengan

baik

Kami sadar sebagai seorang mahasiswa yang masih dalam proses pembelajaran tugas

ini masih banyak kekurangan Oleh karena itu kami sangat mengharapkan adanya kritik dan

saran yang bersifat positif guna perkembangan yang lebih baik lagi di masa yang akan

datang

Malang Mei 2013

Penyusun

i

Daftar Isi

Kata Pengantari

Daftar Isi ii

Direfensiasi Parsial1

I Turunan Parsial 1

II Pertambahan Kecil 7

III Turunan Fungsi Implisit10

IV Perubahan Variabel 12

V Laju Perubahan 14

Persamaan Diferensial20

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial 20

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1 22

III Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 25

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 28

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 33

VI Persamaan Diferensial Bernouli 35

VII Persamaan Diferensial Eksak 37

Pembagian Tugas39

Referensi40

ii

Direfensiasi Parsial

I Turunan Parsial

Definisi

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka

(i) Turunan parsial f terhadap x dinotasikan dengan atau fx(xy)

didefinisikan sebagai =

(ii) Turunan parsial f terhadap y dinotasikan dengan atau fy(xy) didefinisikan

sebagai

=

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap y

a Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit Jika fungsi

dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit maka secara umum ditulis dalam bentuk z =

F(xy) Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit secara umum ditulis dalam

bentuk F(xyz) = 0

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat

yaitu sumbu x sumbu y dan sumbu z seperti gambar berikut

1

b Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(xy) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y Karena x dan y variable

bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu

1 y dianggap tetap sedangkan x berubah-ubah

2 x dianggap tetap sedangkan y berubah-ubah

3 x dan y berubah bersama-sama sekaligus

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah sehingga

fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah

dipelajari pada kalkulus diferensial

Definisi

Misal z = F(xy) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu turunan

parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada

Contoh

Tentukan turunan parsial pertama dari

a z =

Jawab

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Kata Pengantar

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat

rahmat dan karunia-Nyalah tugas ini dapat terselesaikan dengan baik tepat pada waktunya

Dalam penyelesaian tugas ini kami banyak mengalami kesulitanNamun berkat

bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini dapat terselesaikan dengan

baik

Kami sadar sebagai seorang mahasiswa yang masih dalam proses pembelajaran tugas

ini masih banyak kekurangan Oleh karena itu kami sangat mengharapkan adanya kritik dan

saran yang bersifat positif guna perkembangan yang lebih baik lagi di masa yang akan

datang

Malang Mei 2013

Penyusun

i

Daftar Isi

Kata Pengantari

Daftar Isi ii

Direfensiasi Parsial1

I Turunan Parsial 1

II Pertambahan Kecil 7

III Turunan Fungsi Implisit10

IV Perubahan Variabel 12

V Laju Perubahan 14

Persamaan Diferensial20

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial 20

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1 22

III Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 25

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 28

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 33

VI Persamaan Diferensial Bernouli 35

VII Persamaan Diferensial Eksak 37

Pembagian Tugas39

Referensi40

ii

Direfensiasi Parsial

I Turunan Parsial

Definisi

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka

(i) Turunan parsial f terhadap x dinotasikan dengan atau fx(xy)

didefinisikan sebagai =

(ii) Turunan parsial f terhadap y dinotasikan dengan atau fy(xy) didefinisikan

sebagai

=

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap y

a Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit Jika fungsi

dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit maka secara umum ditulis dalam bentuk z =

F(xy) Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit secara umum ditulis dalam

bentuk F(xyz) = 0

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat

yaitu sumbu x sumbu y dan sumbu z seperti gambar berikut

1

b Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(xy) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y Karena x dan y variable

bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu

1 y dianggap tetap sedangkan x berubah-ubah

2 x dianggap tetap sedangkan y berubah-ubah

3 x dan y berubah bersama-sama sekaligus

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah sehingga

fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah

dipelajari pada kalkulus diferensial

Definisi

Misal z = F(xy) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu turunan

parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada

Contoh

Tentukan turunan parsial pertama dari

a z =

Jawab

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Daftar Isi

Kata Pengantari

Daftar Isi ii

Direfensiasi Parsial1

I Turunan Parsial 1

II Pertambahan Kecil 7

III Turunan Fungsi Implisit10

IV Perubahan Variabel 12

V Laju Perubahan 14

Persamaan Diferensial20

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial 20

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1 22

III Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 25

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 28

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 33

VI Persamaan Diferensial Bernouli 35

VII Persamaan Diferensial Eksak 37

Pembagian Tugas39

Referensi40

ii

Direfensiasi Parsial

I Turunan Parsial

Definisi

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka

(i) Turunan parsial f terhadap x dinotasikan dengan atau fx(xy)

didefinisikan sebagai =

(ii) Turunan parsial f terhadap y dinotasikan dengan atau fy(xy) didefinisikan

sebagai

=

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap y

a Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit Jika fungsi

dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit maka secara umum ditulis dalam bentuk z =

F(xy) Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit secara umum ditulis dalam

bentuk F(xyz) = 0

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat

yaitu sumbu x sumbu y dan sumbu z seperti gambar berikut

1

b Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(xy) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y Karena x dan y variable

bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu

1 y dianggap tetap sedangkan x berubah-ubah

2 x dianggap tetap sedangkan y berubah-ubah

3 x dan y berubah bersama-sama sekaligus

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah sehingga

fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah

dipelajari pada kalkulus diferensial

Definisi

Misal z = F(xy) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu turunan

parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada

Contoh

Tentukan turunan parsial pertama dari

a z =

Jawab

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Direfensiasi Parsial

I Turunan Parsial

Definisi

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka

(i) Turunan parsial f terhadap x dinotasikan dengan atau fx(xy)

didefinisikan sebagai =

(ii) Turunan parsial f terhadap y dinotasikan dengan atau fy(xy) didefinisikan

sebagai

=

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x

adalah turunan fungsi f(xy) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai

suatu tetapan yang disebut turunan parsial fungsi f(xy) terhadap y

a Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit Jika fungsi

dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit maka secara umum ditulis dalam bentuk z =

F(xy) Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit secara umum ditulis dalam

bentuk F(xyz) = 0

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat

yaitu sumbu x sumbu y dan sumbu z seperti gambar berikut

1

b Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(xy) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y Karena x dan y variable

bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu

1 y dianggap tetap sedangkan x berubah-ubah

2 x dianggap tetap sedangkan y berubah-ubah

3 x dan y berubah bersama-sama sekaligus

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah sehingga

fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah

dipelajari pada kalkulus diferensial

Definisi

Misal z = F(xy) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu turunan

parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada

Contoh

Tentukan turunan parsial pertama dari

a z =

Jawab

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

b Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(xy) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y Karena x dan y variable

bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu

1 y dianggap tetap sedangkan x berubah-ubah

2 x dianggap tetap sedangkan y berubah-ubah

3 x dan y berubah bersama-sama sekaligus

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah sehingga

fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah

dipelajari pada kalkulus diferensial

Definisi

Misal z = F(xy) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu turunan

parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada

Contoh

Tentukan turunan parsial pertama dari

a z =

Jawab

=

=

=

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

b z = Sin (x+y)

Jawab

=

=

3

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+y+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+ )

= cos (x+ )

= 2 cos (x+y)(1)(12)

= cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan

menggunakan metode sederhana sebagai berikut Andaikan z = F(xy) maka untuk menentukan

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya

4

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

y diturunkan Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y

dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan

Dengan cara yang sama andaikan W = F(xyz) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi

dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan dan yang

secara berturut didefinisikan oleh

Asalkan limitnya ada

Contoh

1 Ditentukan F(xyz) = xyz + 2 tan

Carilah turunan parsial pertamanya

Dengan metode sederhana didapat

a +

= yz -

b +

= xz -

c

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial

ke n untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi

5

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2 3 dan

seterusnya

Jadi andaikan z = F(xy) maka

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian pula jika W = F(xyz)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m dimana m banyaknya

variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

Tentukan dan dari fungsi berikut

1 z =

Jawab

Dari z = diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

6

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

=

Dan =

=

=

II Pertambahan Kecil

Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program sekali lagi kita

tuliskan V= πr2h Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari dengan h konstan dan

dengan r konstan

2

Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama Jika r

diubah menjadi r + dan h menjadi h + maka V akan berubah menjadi V +

Volume yang baru diberikan oleh

Kurangi kedua ruas dengan V= πr2h maka di peroleh

Karena r dan h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi

7

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm h = 10 cm tentukanlah harga pendekatan

pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 02 cm dan h berkurang dengan 01 cm

Yakni volumenya bertambah dengan 5496 sentimeter kubik

Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja tetapi juga untuk

sembarang fungsi dengan dua variable bebas

Contoh Misalkan z adalah fungsi x dan y yakni z=f(xy) jika x dan y bertambah

sedikit dengan x dan y maka pertambahan z akan relative kecil juga

Jika kita jabarkan z dalam deret pangkat x dan y yang berpangkat lebih tinggi

dengan A dan B adalah fungsi x dan y

Jika y dijaga tetap maka y = 0 sehingga

8

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip

berulang-ulang

Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan

tiga variable bebas yaitu

Jika z = f (x yw)

Maka z =

Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas tidak

sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan

Karena itu kita tuliskan sekali lagi

z = f (x y) maka z =

Contoh 1

Jika dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm tentukanlah perubahan I jika V bertambah

sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 05 ohm

9

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

Sehingga untuk R = 50 V = 250 V = 1 dan R = 05

I =

= 002 ndash 005 = -003 A

Yakni I turun sebesar 003 A

Contoh 2

Jika tentukanlah persentasi pertambahan y jika w bertambah 2 persen s berkurang 3

persen dan d bertambah 1 persen

Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable w s dan d

sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah

Harga w s d

III Turunan Fungsi Implisit

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel

takbebas tidak diberikan secara eksplisit dalam bentuk variabel bebas Menyatakan

sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran

dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x10

y = f(x)

Sebaliknya sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan

memecahkan persamaan dalam bentuk

R(xy) = 0

Dengan kata lain sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya namun kita

tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya

Secara formal sebuah fungsi fXrarrY dikatakan sebagai fungsi implisit apabila

fungsi tersebut memenuhi persamaan

R(xf(x)) = 0

untuk semua xisinX dengan R adalah fungsi pada perkalian CartesianX times Y

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan

persamaan dalam bentuk R(xy) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x Bahkan bila

memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi

eksplisit f(x) hal ini boleh jadi tidak diinginkan karena pernyataan f jauh lebih rumit dari

pernyataan R Dalam keadaan lain persamaan R(xy) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan

suatu fungsi sama sekali dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda

Bagaimanapun dalam banyak keadaan bekerja dengan fungsi implisit masih

dimungkinkan Beberapa teknik dari kalkulus seperti turunan dapat dilakukan dengan

relatif mudah menggunakan fungsi implisit

Fungsi implisit adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam Selain itu

terdapat fungsi eksplisit yaitu suatu fungsi yang dinyatakan dalam Dalam menentukan

turunan fungsi implisit akan lebih mudah diselesaikan apabila disajikan ke dalam fungsi explisit

terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya Namun tidak semua fungsi implisit bias dijadikan

fungsi eksplisit Sebagai contoh

tidak dapat dijadikan fungsi eksplisit Lalu bagaimana caranya

mencari turunan Fungsi Implisit apabila kita tidak perlu mengubah fungsi implisit menjadi fungsi

eksplisit

Berikut adalah langkah-langkah yang kita gunakan apabila menggunakan maple

1 Definisikan funsi

2 Ketik formula implicitdiff(fyx) apabila mencari dan implicitdiff(fxy) apabila mencari

3 ENTER

11

Contoh

Cari dan jika

Solusi

Lakukan langkah-langkah seperti di atas berikut adalah tampilan pada maple

Maka dengan mudah akan didapatkan hasil sebagai berikut

bull

bull

IV Perubahan Variabel

Jika z merupakan fungsi z dan y yaitu dan x dan y itu sendiri

merupakan fungsi dari dua variabel lainna u dan v maka z juga merupakan fungsi u dan v

Oleh sebab itu kita perlu mencari dan Bagaimanakah memperolehnya

12

Bagilah kedua sisi dengan

Jika v dipertahankan konstan untuk sementara maka ketika menjadi dan

menjadi

Catatlah keduanya

Inilah contoh untuk pekerjaan ini

Jika z = x2 + y2 dimana dan carilah dan

13

Dan pada kedua hasil ini simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh dan

Hasil-hasil penting dari pembahasan tersebut

1 Pertambahan Kecil

2 Laju Perubahan

3 Fungsi Implisit

4 Perubahan Variabel

V Laju Perubahan

Laju perubahan nilai fungsi

Dalam bahasa sehari-hari sering dijumpai ungkapan-ungkapan seperti laju pertumbuhan

ekonomi laju inflasi laju perkembangan investasi laju pertumbuhan penduduk laju

pembiakan bakteri dan lain sebagainya Istilah laju dalam bahasa sehari-hari dapat

dirumuskan dalam bahasa matematika sebagai laju perubahan nilai fungsi Ada dua macam

laju perubahan nilai fungsi laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat

A Laju peubahan rata-rata

Kecepatan gerak suatu benda dapat ditentukan apabila diketahui letak atau posisi

benda sebagai fungsi waktu Hal ini dapat dilakukan dengan cara mencatat letak

benda dari waktu ke waktu secara terus menerus Sebagai contoh seorang

mahasiswa mengendarai motor dari rumah ke kampus yang jaraknya 15 km Ia

berangkat dari rumah pukul 0600 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit

dengan cara mengamati sepedometer pada motornya Catatan jarak yang ditempuh

setiap 5 menit sepeti ditunjukkan pada tabel

14

Berdasarkan tabel tersebut tampak bahwa jarak sejauh 15 km ditempuh dalam

waktu 30 menit atau 05 jam Dengan demikian kecepatan rata-rata mahasiswa itu

mengendarai motor dari rumah ke kampus adalah

Perhatikan bahwa perubahan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara

perubahan jarak terhadap perubahan waktu dituliskan

Dengan s sebagai perubahan jarak dan t sebagai perubahan waktu

Sekarang misalkan letak benda sebagai fungsi diketahui dan dapat dinyatakan

sebagai s = f(t) ketika t = t1 benda berada di f(t1) dan t = t2 benda berada di f(t2)

sehingga perubahan jaraknya s = f(t2) - f(t1) dan perubahan waktu t = t2 ndash t1

Dengan demikian kecepatan rata-rata dalam interval waktu adalah

Laju perubahan rata-rata nilai fungsi

Misalnya diketahui fungsi y = f(x) jika x berubah dari x1 ke x2 (x1lt x2) maka nilai

fungsi f(x) berubah dari f(x1) menjadi f(x2) Jadi perubahan x sebesar x= x2 -

x1mengakibatkan perubahan nilai fungsi y = f(x) sebesar y = f(x2) - f(x1)

15

Waktu Jarak

0600 0

0605 25

0610 375

0615 775

0620 10

0625 125

0630 15

Dengan demikian laju perubahan rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai

berikut

Definisi

Misalkan diketahui fungsi y = f(x) laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam

interval ditentukan oleh

B Laju perubahan sesaat

Sebagai contoh pengenalan masalah untuk memahami kecepatan sesaat akan

dibahas gerak benda jatuh bebas misalnya benda B jatuh bebas dari ketinggian

tertentu Jarak jatuhnya terhadap kedudukan semula sebagai fungsi waktu t di

lambangkan dengan rumus

s(t) = 5t2

s = jaak jatuh terhadap kedudukan benda semula dinyatakan dalam satuan

meter

t = waktu yang diperlukan dinyatakan dalam satuan detik

dalam waktu t = 1 detik benda B turun sejauh s(1)2 = 5(1)2 = 5 meter dan dalam

waktu t = 2 detik benda B turun sejauh s(2) = 5(2)2 = 10 meter dengan demikian

kecepatan rata-rata gerak benda B dalam interval t = 1 detik sampai t = 2 detik

adalah

meterdetik

Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan kecepatan rata-rata dalam interval t1

= 1 detik sampai t = t2 detik dengan nilai t2 yang makin mendekati nilai t1 seperti

diperlihatkan pada tabel

t1 t2 Vrata-rata =(mdetik)

1 15 125

1 12 110

16

1 11 105

1 101 1005

1 1 100

Jika t2 makin mendekati ke t1 atau t = t2 ndash t1 semakin kecil maka kecepatan rata-

ratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu Interval waktu

terkeci yaitu ketika t mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk

menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik Kecepatan sesaat pada waktu t

= 1 detik diharapkan dekat dengan 10 mdetik seperti diperlihatkan pada baris

terakhir pada tabel Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada

konsep limit Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata

Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata secara eksak

dapat dirumuskan sebagai berikut

Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t

ditentukan oleh persamaan

s = f(t)

Pada waktu t = t1 benda berada di f(t1) dan pada waktu t = (t1 + h) benda berada di

f(t1 + h) sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval

adalah

Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol Dengan

demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari seperti penerapan

pelajaran Fisika Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan Jika didapatkan

17

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Dan pada kedua hasil ini simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh dan

Hasil-hasil penting dari pembahasan tersebut

1 Pertambahan Kecil

2 Laju Perubahan

3 Fungsi Implisit

4 Perubahan Variabel

V Laju Perubahan

Laju perubahan nilai fungsi

Dalam bahasa sehari-hari sering dijumpai ungkapan-ungkapan seperti laju pertumbuhan

ekonomi laju inflasi laju perkembangan investasi laju pertumbuhan penduduk laju

pembiakan bakteri dan lain sebagainya Istilah laju dalam bahasa sehari-hari dapat

dirumuskan dalam bahasa matematika sebagai laju perubahan nilai fungsi Ada dua macam

laju perubahan nilai fungsi laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat

A Laju peubahan rata-rata

Kecepatan gerak suatu benda dapat ditentukan apabila diketahui letak atau posisi

benda sebagai fungsi waktu Hal ini dapat dilakukan dengan cara mencatat letak

benda dari waktu ke waktu secara terus menerus Sebagai contoh seorang

mahasiswa mengendarai motor dari rumah ke kampus yang jaraknya 15 km Ia

berangkat dari rumah pukul 0600 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit

dengan cara mengamati sepedometer pada motornya Catatan jarak yang ditempuh

setiap 5 menit sepeti ditunjukkan pada tabel

14

Berdasarkan tabel tersebut tampak bahwa jarak sejauh 15 km ditempuh dalam

waktu 30 menit atau 05 jam Dengan demikian kecepatan rata-rata mahasiswa itu

mengendarai motor dari rumah ke kampus adalah

Perhatikan bahwa perubahan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara

perubahan jarak terhadap perubahan waktu dituliskan

Dengan s sebagai perubahan jarak dan t sebagai perubahan waktu

Sekarang misalkan letak benda sebagai fungsi diketahui dan dapat dinyatakan

sebagai s = f(t) ketika t = t1 benda berada di f(t1) dan t = t2 benda berada di f(t2)

sehingga perubahan jaraknya s = f(t2) - f(t1) dan perubahan waktu t = t2 ndash t1

Dengan demikian kecepatan rata-rata dalam interval waktu adalah

Laju perubahan rata-rata nilai fungsi

Misalnya diketahui fungsi y = f(x) jika x berubah dari x1 ke x2 (x1lt x2) maka nilai

fungsi f(x) berubah dari f(x1) menjadi f(x2) Jadi perubahan x sebesar x= x2 -

x1mengakibatkan perubahan nilai fungsi y = f(x) sebesar y = f(x2) - f(x1)

15

Waktu Jarak

0600 0

0605 25

0610 375

0615 775

0620 10

0625 125

0630 15

Dengan demikian laju perubahan rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai

berikut

Definisi

Misalkan diketahui fungsi y = f(x) laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam

interval ditentukan oleh

B Laju perubahan sesaat

Sebagai contoh pengenalan masalah untuk memahami kecepatan sesaat akan

dibahas gerak benda jatuh bebas misalnya benda B jatuh bebas dari ketinggian

tertentu Jarak jatuhnya terhadap kedudukan semula sebagai fungsi waktu t di

lambangkan dengan rumus

s(t) = 5t2

s = jaak jatuh terhadap kedudukan benda semula dinyatakan dalam satuan

meter

t = waktu yang diperlukan dinyatakan dalam satuan detik

dalam waktu t = 1 detik benda B turun sejauh s(1)2 = 5(1)2 = 5 meter dan dalam

waktu t = 2 detik benda B turun sejauh s(2) = 5(2)2 = 10 meter dengan demikian

kecepatan rata-rata gerak benda B dalam interval t = 1 detik sampai t = 2 detik

adalah

meterdetik

Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan kecepatan rata-rata dalam interval t1

= 1 detik sampai t = t2 detik dengan nilai t2 yang makin mendekati nilai t1 seperti

diperlihatkan pada tabel

t1 t2 Vrata-rata =(mdetik)

1 15 125

1 12 110

16

1 11 105

1 101 1005

1 1 100

Jika t2 makin mendekati ke t1 atau t = t2 ndash t1 semakin kecil maka kecepatan rata-

ratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu Interval waktu

terkeci yaitu ketika t mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk

menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik Kecepatan sesaat pada waktu t

= 1 detik diharapkan dekat dengan 10 mdetik seperti diperlihatkan pada baris

terakhir pada tabel Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada

konsep limit Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata

Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata secara eksak

dapat dirumuskan sebagai berikut

Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t

ditentukan oleh persamaan

s = f(t)

Pada waktu t = t1 benda berada di f(t1) dan pada waktu t = (t1 + h) benda berada di

f(t1 + h) sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval

adalah

Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol Dengan

demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari seperti penerapan

pelajaran Fisika Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan Jika didapatkan

17

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Berdasarkan tabel tersebut tampak bahwa jarak sejauh 15 km ditempuh dalam

waktu 30 menit atau 05 jam Dengan demikian kecepatan rata-rata mahasiswa itu

mengendarai motor dari rumah ke kampus adalah

Perhatikan bahwa perubahan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara

perubahan jarak terhadap perubahan waktu dituliskan

Dengan s sebagai perubahan jarak dan t sebagai perubahan waktu

Sekarang misalkan letak benda sebagai fungsi diketahui dan dapat dinyatakan

sebagai s = f(t) ketika t = t1 benda berada di f(t1) dan t = t2 benda berada di f(t2)

sehingga perubahan jaraknya s = f(t2) - f(t1) dan perubahan waktu t = t2 ndash t1

Dengan demikian kecepatan rata-rata dalam interval waktu adalah

Laju perubahan rata-rata nilai fungsi

Misalnya diketahui fungsi y = f(x) jika x berubah dari x1 ke x2 (x1lt x2) maka nilai

fungsi f(x) berubah dari f(x1) menjadi f(x2) Jadi perubahan x sebesar x= x2 -

x1mengakibatkan perubahan nilai fungsi y = f(x) sebesar y = f(x2) - f(x1)

15

Waktu Jarak

0600 0

0605 25

0610 375

0615 775

0620 10

0625 125

0630 15

Dengan demikian laju perubahan rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai

berikut

Definisi

Misalkan diketahui fungsi y = f(x) laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam

interval ditentukan oleh

B Laju perubahan sesaat

Sebagai contoh pengenalan masalah untuk memahami kecepatan sesaat akan

dibahas gerak benda jatuh bebas misalnya benda B jatuh bebas dari ketinggian

tertentu Jarak jatuhnya terhadap kedudukan semula sebagai fungsi waktu t di

lambangkan dengan rumus

s(t) = 5t2

s = jaak jatuh terhadap kedudukan benda semula dinyatakan dalam satuan

meter

t = waktu yang diperlukan dinyatakan dalam satuan detik

dalam waktu t = 1 detik benda B turun sejauh s(1)2 = 5(1)2 = 5 meter dan dalam

waktu t = 2 detik benda B turun sejauh s(2) = 5(2)2 = 10 meter dengan demikian

kecepatan rata-rata gerak benda B dalam interval t = 1 detik sampai t = 2 detik

adalah

meterdetik

Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan kecepatan rata-rata dalam interval t1

= 1 detik sampai t = t2 detik dengan nilai t2 yang makin mendekati nilai t1 seperti

diperlihatkan pada tabel

t1 t2 Vrata-rata =(mdetik)

1 15 125

1 12 110

16

1 11 105

1 101 1005

1 1 100

Jika t2 makin mendekati ke t1 atau t = t2 ndash t1 semakin kecil maka kecepatan rata-

ratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu Interval waktu

terkeci yaitu ketika t mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk

menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik Kecepatan sesaat pada waktu t

= 1 detik diharapkan dekat dengan 10 mdetik seperti diperlihatkan pada baris

terakhir pada tabel Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada

konsep limit Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata

Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata secara eksak

dapat dirumuskan sebagai berikut

Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t

ditentukan oleh persamaan

s = f(t)

Pada waktu t = t1 benda berada di f(t1) dan pada waktu t = (t1 + h) benda berada di

f(t1 + h) sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval

adalah

Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol Dengan

demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari seperti penerapan

pelajaran Fisika Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan Jika didapatkan

17

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Dengan demikian laju perubahan rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai

berikut

Definisi

Misalkan diketahui fungsi y = f(x) laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam

interval ditentukan oleh

B Laju perubahan sesaat

Sebagai contoh pengenalan masalah untuk memahami kecepatan sesaat akan

dibahas gerak benda jatuh bebas misalnya benda B jatuh bebas dari ketinggian

tertentu Jarak jatuhnya terhadap kedudukan semula sebagai fungsi waktu t di

lambangkan dengan rumus

s(t) = 5t2

s = jaak jatuh terhadap kedudukan benda semula dinyatakan dalam satuan

meter

t = waktu yang diperlukan dinyatakan dalam satuan detik

dalam waktu t = 1 detik benda B turun sejauh s(1)2 = 5(1)2 = 5 meter dan dalam

waktu t = 2 detik benda B turun sejauh s(2) = 5(2)2 = 10 meter dengan demikian

kecepatan rata-rata gerak benda B dalam interval t = 1 detik sampai t = 2 detik

adalah

meterdetik

Dengan cara yang sama dapat pula ditentukan kecepatan rata-rata dalam interval t1

= 1 detik sampai t = t2 detik dengan nilai t2 yang makin mendekati nilai t1 seperti

diperlihatkan pada tabel

t1 t2 Vrata-rata =(mdetik)

1 15 125

1 12 110

16

1 11 105

1 101 1005

1 1 100

Jika t2 makin mendekati ke t1 atau t = t2 ndash t1 semakin kecil maka kecepatan rata-

ratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu Interval waktu

terkeci yaitu ketika t mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk

menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik Kecepatan sesaat pada waktu t

= 1 detik diharapkan dekat dengan 10 mdetik seperti diperlihatkan pada baris

terakhir pada tabel Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada

konsep limit Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata

Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata secara eksak

dapat dirumuskan sebagai berikut

Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t

ditentukan oleh persamaan

s = f(t)

Pada waktu t = t1 benda berada di f(t1) dan pada waktu t = (t1 + h) benda berada di

f(t1 + h) sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval

adalah

Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol Dengan

demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari seperti penerapan

pelajaran Fisika Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan Jika didapatkan

17

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

1 11 105

1 101 1005

1 1 100

Jika t2 makin mendekati ke t1 atau t = t2 ndash t1 semakin kecil maka kecepatan rata-

ratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu Interval waktu

terkeci yaitu ketika t mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk

menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik Kecepatan sesaat pada waktu t

= 1 detik diharapkan dekat dengan 10 mdetik seperti diperlihatkan pada baris

terakhir pada tabel Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada

konsep limit Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata

Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata secara eksak

dapat dirumuskan sebagai berikut

Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t

ditentukan oleh persamaan

s = f(t)

Pada waktu t = t1 benda berada di f(t1) dan pada waktu t = (t1 + h) benda berada di

f(t1 + h) sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval

adalah

Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol Dengan

demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai

Turunan (Laju yang Berkaitan)

Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari seperti penerapan

pelajaran Fisika Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan Jika didapatkan

17

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

peubah y yang bergantung kepada nwaktu t maka jika diturunkan akan menjadi dydt yang

disebut laju sesaat perubahan Dan bila y adalah sebuah jarak maka laju sesaat perubahan

disebut sebagai kecepatan Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-

hari seperti laju air masuk ke dalam ember membesarnya luas pencemaran minyak laju

angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t terdapat juga peubah x dan kita

juga mengetahui tentang dxdt maka kita bisa mencari dydt karena dydt dan dxdt

keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan Jika kita mendapat sebuah soal cerita

tentang laju yang berkaitan seperti maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau

langkah-langkah

Langkah 1

Andaikan t menyatakan waktu Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t gt

0 beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan

nilai-nilai konstanta yang diketahui Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai

waktu dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini

Langkah 2

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-

peubah Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t

Langkah 3

Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk

semua waktu t gt 0 bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu

Langkah 4

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit

terhadap t Persamaan yang dihasilkan memuat turunan-turunan terhadap t sahih untuk

semua t gt 0

Langkah 5

Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih

pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan Selesaikan turunan yang

diinginkan

Soal Latihan

18

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Seorang anak menerbangkan layang-layang Jika tinggi layang-layang 90 dm di

atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5

dmdetik seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm

( Anggap benang membentuk sebuah garis walaupun sebenarnya anggapan ini tidak

realistis )

Jawab

Langkah 1 Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x tinggi

layang-layang dari tanah adalah y panjang benang (yang dianggap lurus walaupun dalam

kenyataan tidak lurus) dianggap z dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur

benang maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya

jarak si anak dengan layang-layang yaitu dxdt

Langkah 2 Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dms maka dxdt = 5 Tinggi y = 90

dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dydt = 0

panjang benang saat itu adalah z = 150 dm yang dicari adalah kecepatan mengulur benang

yaitu dzdt

Langkah 3 Menurut Teorema Phytagoras

z2 = x2 + y2

Langkah 4 Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan

Rantai maka kita mempunyai

atau

Langkah 5 untuk semua t gt 0 dxdt = 5 dan dydt = 0 dydt samadengan 0

dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm

Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-

layang adalah

19

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4 maka diperoleh

Jadi kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dmdetik

Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika

Persamaan Diferensial

I Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x suatu variabel dependen y dan satu atau lebih turunan y terhadap xOrde

dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan

tersebut

Contoh

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Dua

20

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Persamaan Diferensial Orde Tiga

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh konstanta sembarang

(persamaan diferensial orde-dua)

Contoh

Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+

Solusi

Dari persamaan diatas

Persamaan diferensial orde satu

Contoh

Pembentukan persamaan diferensial untuk

Solusi

21

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Substitusi

Catatan

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu

Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

II Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y

Metode 1 Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk yrsquo=f(x) maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y rsquo ditulis y ldquo

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi

dengan A(x) maka diperoleh bentuk

22

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

+ y =

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) hellip (i)

untuk menyelesaiakn PD ini disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor

Integral

misal faktor integral nya adalah kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor

integralnya diperoleh

+ P(x) y = Q(x) hellip (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian maka

diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii) diperoleh

(y ) = Q(x)

kemudian integralkan kedua ruas diperoleh

SOLUSI UMUM y = Q(x) dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1 + 2xy = 4x

Penyelesaian

Perhatikan bentuk PD (i) maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral =

23

Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM diperoleh

y = Q(x) dx + C

y = 4x dx + C

y = 4x + C

y = 2 d(x2) + C

y = 2 + c

y = 2 + c

2 x = y + x3 + 3x2 ndash 2x

Penyelesaian

x ndash y = x3 + 3x2 ndash 2x [bagi dengan x]

ndash y = x2 + 3x ndash 2

ambil P(x) = dan Q(x) = x2 + 3x ndash 2

Faktor Integral = e-ln x =

sehingga penyelesaiannya

y = Q(x) dx + C

y = (x2 + 3x ndash 2) dx + C

y = (x + 3 ndash 2 ) dx + C

y = x3 + 3x2 ndash 2x ln x + cx

y = x3 + 3x2 ndash ln x2x + cx

3 xyrsquo ndash 2y = x3 ex

Penyelesaian

24

x ndash 2y = x3 ex [bagi dengan x]

ndash y = x2 ex

ambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex

Faktor Integral = e-2 ln x =

sehingga penyelesaiannya

y = Q(x) dx + C

y = (x2 ex) dx + C

y = ex dx + C

y = ex + c

y = x2 ex + c x2

III Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2

Metode 2 Dengan Pemisahan Variabel

Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan x untuk menyatakan vareabel bebas

dari pada t dalam persamaan diferensial Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu

mempunyai bentuk

Jika persamaan (2226) adalah tak linear yakni f tidak linear dalam vareabel

bergantung y maka tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk

menyelesaikannya Dalam bagian ini kita akan membahas subklas dari persamaan linear

orde satu yang dapat diintegralkan langsung Pertama kita tulis kembali persamaan (2226)

dalam bentuk

25

Adalah selalumungkin untukmengerjakan ini denganmemisalkan M (x y) = iexclf (x

y) dan N (x y) = 1 tetapi mungkin cara lain juga bisa Dalam kasus M hanya fungsi dari x

dan N hanya fungsi dari y maka persamaan (2226) menjadi

Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk

kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain Persamaan (2229) lebih

simetrik dan dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas

Contoh 1 Tunjukkan bahwa persamaan

adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva inte-gralnya

Jawab Kita dapat tulis persamaan (2230) ke dalam

yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2228) oleh karena itu terpisah Periksa

bahwa suku pertama persamaan (2231) yang merupakan turunan dari -x33 dan suku yang

ke dua dengan menggunakan aturan rantai merupakan turunan dari y-y33 terhadap x Jadi

persamaan (2231) dapat dituliskan sebagai

atau

Oleh karena itu kita dapatkan

26

dimana c adalah sembarang konstan yang merupakan kurva integral dari persamaan

(2231) Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0 y0)

dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalam

persamaan (2232) dan kita dapat temukan c Sembarang fungsi terturunkan y = (x) yang

memenuhi (2232) adalah solusi dari persamaan (2230) Dengan menggunakan cara yang

sama untuk persamaan (2228) dengan memisalkan H1 dan H2 adalah sembarang fungsi

sedemikian sehingga

maka persamaan (2228) menjadi

Dengan menggunakan aturan rantai

maka persamaan (2234) menjadi

Dengan mengintegralkan persamaan (2235) kita dapatkan

dengan c adalah sebarang konstan Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan

(2236) adalah solusi dari (2228) Dengan kata lain persamaan (2236) mendefinisikan

solusi implisit daripada eksplisit Fungsi-fungsi H1 dan H2 adalah antiturunan dari M dan N

berturut-turut Dalam prakteknya persamaan (2236) biasanya diperoleh dari persamaan

(2229) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y Jika

persamaan (2228) ditambah dengan kondisi awal y(x0) = y0 maka solusinya merupakan

solusi dari (2236) dengan mensubstitusikan x = x0 dan y = y0 dan akan didapatkan

Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2236) dan catat bahwa

27

maka kita dapatkan

Persamaan (2237) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2228) yang

memenuhi kondisi awal y(x0) = y0

Contoh 2 Selesaikan masalah nilai awal

Jawab Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai

Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan

dengan c adalah sebarang konstan Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y =

-1 ke dalam persamaan (2239) didapat c = 3 Jadi solusi masalah nilai awal dapat

diberikan

Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2240) kita pecahkan y sebagai

fungsi dari x dan kita dapatkan

Persamaan (2241) memberikan dua solusi tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi

awal yakni

Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2241) yang

sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3 Untuk

menentukan daerah dimana solusi (2242) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah

tanda akar haruslah positif jadi x gt -228

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

x ndash 2y = x3 ex [bagi dengan x]

ndash y = x2 ex

ambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex

Faktor Integral = e-2 ln x =

sehingga penyelesaiannya

y = Q(x) dx + C

y = (x2 ex) dx + C

y = ex dx + C

y = ex + c

y = x2 ex + c x2

III Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2

Metode 2 Dengan Pemisahan Variabel

Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan x untuk menyatakan vareabel bebas

dari pada t dalam persamaan diferensial Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu

mempunyai bentuk

Jika persamaan (2226) adalah tak linear yakni f tidak linear dalam vareabel

bergantung y maka tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk

menyelesaikannya Dalam bagian ini kita akan membahas subklas dari persamaan linear

orde satu yang dapat diintegralkan langsung Pertama kita tulis kembali persamaan (2226)

dalam bentuk

25

Adalah selalumungkin untukmengerjakan ini denganmemisalkan M (x y) = iexclf (x

y) dan N (x y) = 1 tetapi mungkin cara lain juga bisa Dalam kasus M hanya fungsi dari x

dan N hanya fungsi dari y maka persamaan (2226) menjadi

Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk

kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain Persamaan (2229) lebih

simetrik dan dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas

Contoh 1 Tunjukkan bahwa persamaan

adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva inte-gralnya

Jawab Kita dapat tulis persamaan (2230) ke dalam

yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2228) oleh karena itu terpisah Periksa

bahwa suku pertama persamaan (2231) yang merupakan turunan dari -x33 dan suku yang

ke dua dengan menggunakan aturan rantai merupakan turunan dari y-y33 terhadap x Jadi

persamaan (2231) dapat dituliskan sebagai

atau

Oleh karena itu kita dapatkan

26

dimana c adalah sembarang konstan yang merupakan kurva integral dari persamaan

(2231) Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0 y0)

dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalam

persamaan (2232) dan kita dapat temukan c Sembarang fungsi terturunkan y = (x) yang

memenuhi (2232) adalah solusi dari persamaan (2230) Dengan menggunakan cara yang

sama untuk persamaan (2228) dengan memisalkan H1 dan H2 adalah sembarang fungsi

sedemikian sehingga

maka persamaan (2228) menjadi

Dengan menggunakan aturan rantai

maka persamaan (2234) menjadi

Dengan mengintegralkan persamaan (2235) kita dapatkan

dengan c adalah sebarang konstan Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan

(2236) adalah solusi dari (2228) Dengan kata lain persamaan (2236) mendefinisikan

solusi implisit daripada eksplisit Fungsi-fungsi H1 dan H2 adalah antiturunan dari M dan N

berturut-turut Dalam prakteknya persamaan (2236) biasanya diperoleh dari persamaan

(2229) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y Jika

persamaan (2228) ditambah dengan kondisi awal y(x0) = y0 maka solusinya merupakan

solusi dari (2236) dengan mensubstitusikan x = x0 dan y = y0 dan akan didapatkan

Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2236) dan catat bahwa

27

maka kita dapatkan

Persamaan (2237) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2228) yang

memenuhi kondisi awal y(x0) = y0

Contoh 2 Selesaikan masalah nilai awal

Jawab Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai

Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan

dengan c adalah sebarang konstan Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y =

-1 ke dalam persamaan (2239) didapat c = 3 Jadi solusi masalah nilai awal dapat

diberikan

Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2240) kita pecahkan y sebagai

fungsi dari x dan kita dapatkan

Persamaan (2241) memberikan dua solusi tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi

awal yakni

Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2241) yang

sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3 Untuk

menentukan daerah dimana solusi (2242) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah

tanda akar haruslah positif jadi x gt -228

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

Adalah selalumungkin untukmengerjakan ini denganmemisalkan M (x y) = iexclf (x

y) dan N (x y) = 1 tetapi mungkin cara lain juga bisa Dalam kasus M hanya fungsi dari x

dan N hanya fungsi dari y maka persamaan (2226) menjadi

Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk

kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain Persamaan (2229) lebih

simetrik dan dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas

Contoh 1 Tunjukkan bahwa persamaan

adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva inte-gralnya

Jawab Kita dapat tulis persamaan (2230) ke dalam

yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2228) oleh karena itu terpisah Periksa

bahwa suku pertama persamaan (2231) yang merupakan turunan dari -x33 dan suku yang

ke dua dengan menggunakan aturan rantai merupakan turunan dari y-y33 terhadap x Jadi

persamaan (2231) dapat dituliskan sebagai

atau

Oleh karena itu kita dapatkan

26

dimana c adalah sembarang konstan yang merupakan kurva integral dari persamaan

(2231) Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0 y0)

dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalam

persamaan (2232) dan kita dapat temukan c Sembarang fungsi terturunkan y = (x) yang

memenuhi (2232) adalah solusi dari persamaan (2230) Dengan menggunakan cara yang

sama untuk persamaan (2228) dengan memisalkan H1 dan H2 adalah sembarang fungsi

sedemikian sehingga

maka persamaan (2228) menjadi

Dengan menggunakan aturan rantai

maka persamaan (2234) menjadi

Dengan mengintegralkan persamaan (2235) kita dapatkan

dengan c adalah sebarang konstan Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan

(2236) adalah solusi dari (2228) Dengan kata lain persamaan (2236) mendefinisikan

solusi implisit daripada eksplisit Fungsi-fungsi H1 dan H2 adalah antiturunan dari M dan N

berturut-turut Dalam prakteknya persamaan (2236) biasanya diperoleh dari persamaan

(2229) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y Jika

persamaan (2228) ditambah dengan kondisi awal y(x0) = y0 maka solusinya merupakan

solusi dari (2236) dengan mensubstitusikan x = x0 dan y = y0 dan akan didapatkan

Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2236) dan catat bahwa

27

maka kita dapatkan

Persamaan (2237) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2228) yang

memenuhi kondisi awal y(x0) = y0

Contoh 2 Selesaikan masalah nilai awal

Jawab Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai

Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan

dengan c adalah sebarang konstan Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y =

-1 ke dalam persamaan (2239) didapat c = 3 Jadi solusi masalah nilai awal dapat

diberikan

Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2240) kita pecahkan y sebagai

fungsi dari x dan kita dapatkan

Persamaan (2241) memberikan dua solusi tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi

awal yakni

Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2241) yang

sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3 Untuk

menentukan daerah dimana solusi (2242) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah

tanda akar haruslah positif jadi x gt -228

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

dimana c adalah sembarang konstan yang merupakan kurva integral dari persamaan

(2231) Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0 y0)

dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalam

persamaan (2232) dan kita dapat temukan c Sembarang fungsi terturunkan y = (x) yang

memenuhi (2232) adalah solusi dari persamaan (2230) Dengan menggunakan cara yang

sama untuk persamaan (2228) dengan memisalkan H1 dan H2 adalah sembarang fungsi

sedemikian sehingga

maka persamaan (2228) menjadi

Dengan menggunakan aturan rantai

maka persamaan (2234) menjadi

Dengan mengintegralkan persamaan (2235) kita dapatkan

dengan c adalah sebarang konstan Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan

(2236) adalah solusi dari (2228) Dengan kata lain persamaan (2236) mendefinisikan

solusi implisit daripada eksplisit Fungsi-fungsi H1 dan H2 adalah antiturunan dari M dan N

berturut-turut Dalam prakteknya persamaan (2236) biasanya diperoleh dari persamaan

(2229) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y Jika

persamaan (2228) ditambah dengan kondisi awal y(x0) = y0 maka solusinya merupakan

solusi dari (2236) dengan mensubstitusikan x = x0 dan y = y0 dan akan didapatkan

Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2236) dan catat bahwa

27

maka kita dapatkan

Persamaan (2237) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2228) yang

memenuhi kondisi awal y(x0) = y0

Contoh 2 Selesaikan masalah nilai awal

Jawab Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai

Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan

dengan c adalah sebarang konstan Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y =

-1 ke dalam persamaan (2239) didapat c = 3 Jadi solusi masalah nilai awal dapat

diberikan

Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2240) kita pecahkan y sebagai

fungsi dari x dan kita dapatkan

Persamaan (2241) memberikan dua solusi tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi

awal yakni

Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2241) yang

sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3 Untuk

menentukan daerah dimana solusi (2242) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah

tanda akar haruslah positif jadi x gt -228

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

maka kita dapatkan

Persamaan (2237) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2228) yang

memenuhi kondisi awal y(x0) = y0

Contoh 2 Selesaikan masalah nilai awal

Jawab Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai

Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan

dengan c adalah sebarang konstan Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y =

-1 ke dalam persamaan (2239) didapat c = 3 Jadi solusi masalah nilai awal dapat

diberikan

Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2240) kita pecahkan y sebagai

fungsi dari x dan kita dapatkan

Persamaan (2241) memberikan dua solusi tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi

awal yakni

Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2241) yang

sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3 Untuk

menentukan daerah dimana solusi (2242) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah

tanda akar haruslah positif jadi x gt -228

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

IV Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

Metode 3 Persamaan homogen

f(x y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx ky) = kn f(x y)

dengan k adalah konstanta dikatakan homogen berderjat n jikaf (120572x120572y) = 120572 n f (xy)M

(xy) dx + N (xy) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M

(xy) dan N (xy) adalahhomogeny dan berderajat sama41 Langkah-langkah Menentujan

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen Gunakan tranformasi dy = x du +

uy = u x dx atau dy = y dy + u dux = u y Persamaan diferensial homogeny tereduksi

ke Persamaan Diferensial terpisah Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk

mendapatkan solusi umum persamaan diferensial 119910119909 Gantilah u = jika menggunakan

transformasi y = u x dan u = jika menggunakan 119909119910 transformasi x = u y untuk

mendapatkan kembali variable semula

Contoh

1 f(x y) = x + 3y

f(kx ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y) fungsi homogen pangkat 1

2 f(x y) = eyx + tan (yx)

f(kx ky) = ekykx + tan (kykx)

= k0 (eyx + tan (yx)) fungsi homogen pangkat 0

3 f(x y) = x2 + 2xy + y2

f(kx ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2) fungsi homogen pangkat n

4 F(x y) = 5x ndash 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(5x ndash 7y + 13)

5 F(xy) = 4x3 + 3y3 ndash 6xy

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(4x3 + 3y3 ndash 6xy)

6 F(xy) = x2 + 5y ndash 6x2y

bukan fungsi homogen karena F(kx ky) kn(x2 + 5y ndash 6x2y)

29

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x y) dx + N(x y) dy = 0 Jika M(x y) dan N(x y)

maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD

tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(yx) dx + N(yx) dy = 0 atau M(xy) dx + N(xy)

dy = 0

Jika PD sudah diubah menjadi M(yx) dx + N(yx) dy = 0 maka untuk menentukan solusi

PD tersebut

ambil u = y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

dx + du = 0

Sehingga solusinya dx + du = C dengan u =

Contoh

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1 (x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x y) = x2 ndash xy + y2

M(kx ky) = (kx)2 ndash kx ky + (ky)2

= k2(x2 ndash xy + y2)

N(x y) = xy

N(kx ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 ndash xy + y2) dx ndash xy dy = 0 bagi dengan x2 diperoleh

30

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

(1 ndash + ) dx ndash dy = 0 hellip (i)

misal y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 ndash u + u2) dx ndash u (u dx + x du) = 0

dx ndash u dx + u2 dx ndash u2 dx ndash ux du = 0

(1 ndash u) dx ndash ux du = 0 [bagi dengan x(1 ndash u)]

dx ndash du = 0

dx ndash du = c1

ln x ndash du = c1

ln x ndash du ndash du = c1

ln x + u + ln (1 ndash u) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln x + + ln (1 ndash ) = ln C

2 (1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x y) = 1 + 2exy

M(kx ky) = 1 + 2ekxky

= k0(1 + 2exy)

N(x y) = 2exy(1 ndash xy)

N(kx ky) = 2ekxky(1 ndash kxky)

= k0(2exy(1 ndash xy))

(1 + 2exy) dx + 2exy(1 ndash xy) dy = 0 adalah PD homogen hellip (i)

31

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

misal x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i) sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 ndash u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy ndash u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1

ln y + = c1

ln y + ln (u + 2eu) = ln C dengan ln C = c1

substitusi kembali u = sehingga

ln y + ln (xy + 2exy) = ln C

ln (y(xy + 2exy)) = ln C

x + 2yexy = C

3 2xyyrsquo ndash y2 + x2 = 0

Penyelesaian

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy ndash y2 + x2 = 0

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0

ambil M(x y) = 2xy

M(kx ky) = 2 kx ky

= k2(2xy)

N(x y) = x2 ndash y2

N(kx ky) = (kx)2 ndash (ky)2

32

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

= k2(x2 ndash y2)

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 adalah PD homogen

2xy dy + (x2 ndash y2) dx = 0 [bagi x2]

dy + (1 ndash ) dx = 0 hellip (i)

ambil y = ux

dy = x du + u dx

substitusi ke pers (i) diperoleh

2u(x du + u dx) + (1 ndash u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx ndash u2 dx = 0

2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

2 du+ dx = 0

2 du+ dx = c1

2 + dx = c1

ln (u2 + 1) + ln x = ln C dengan ln C = c1

ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

ln (u2 + 1) = ln

u2 + 1 =

substitusi kembali u = diperoleh

+ 1 =

y2 + x2 = Cx

y2 + x2 ndash 2 x + ndash = 0

(y ndash 0)2 + (x ndash )2 =

33

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

V Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

Metode 4 Persamaan linier

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum + P(x) y = Q(x) dengan syarat

ruas kanan ne 0 Faktor integrasi Solusi umum y = Q(x) + 119862--------------------------------------------------------------------------

Tinjaulah persamaan + 5y =

Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama namun berbeda dari yang kita pelajari

selama ini tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan tersebut Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk

menyelesaikannya

Dalam hal ini kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e5x ini sehingga

dihasilkan

+ y =

+ y =

Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y (y ) = y +

y =

Sekarang integrasikan kedua sisi terhadap x

(y ) = dx

y =

y =

34

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

y = + C

y = + C

y =

y = +

y = + C

Contoh

Tentukan solusi umum dari

1) + 4y = x -2x2

2) 119910prime+ 119910= (1+119909)2

Pembahasan

1) + 4y = x -2

P(x) = 4 Q(x) = x ndash 2

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = x ndash 2 +119862 y = ( - - ) +

35

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

y = ( ) +

y = ( )

2) 119910prime+ 119910 =

+ y =

P(x) = 1 Q(x) =

Faktor Integrasi = =

Solusi Umum

y = Q(x) + C

y = +119862y = minus2 (1+119909) +2 + C

y = minus2 (1+ )+2+

VI Persamaan Diferensial Bernouli

Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti

Di mana seperti sebelumnya P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta)

Cara penyelesaianya yaitu

1 Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan

36

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

2 Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan

3 Dengan menggunakan pemisalan

Kemudian persamaan diatas akan menjadi

37

Dan akan menjadi

Seh

ingga ak

an

men

jadi

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

4 Dengan faktor integrasi

5 Sehingga PDP nya menjadi

6 Contoh soal dan Pembahasan

1) =

P(x) = Q(x) = n = 2

z = ndashn+1

z = ndash2+1

z = ndash1

ndash2

ndash2

=

-y2 =

________________

-y2

38

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

y-1 =

ndashz = Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = Q(x) =

Solusi umum

e int(1-n) P(x) dx z = int(1-n) Q(x) e int(1-n) P(x) dx dx + C

z = int dx + C

z = x-1 + C

z= x-1 + C

Maka Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx

VII Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan masalah ndash masalah fisis Masalah ndash masalah fisis tersebut

dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Jika model matematika berbentuk

persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan

diferensialuntuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini

39

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak

PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(xy) =0

Maka

Jika persamaan () merupakan PD Eksak maka berlaku sebagai berikut

Apabila persamaan () seperti gambar di atas merupakan PD Eksak

40

Pembagian Tugas

1 Achmad Fahmi Amrullah Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

2 Aditya Pandu Wijaya Persamaan Diferensial Eksak

3 Agustin Dwi Kurniawati Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

4 Angga Among Turunan Fungsi Implisit

5 Ari Aulia S Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

6 Chaula N F A Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

7 Doni Firmawan Persamaan Diferensial Bernouli

8 Eva Novianingsih Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4

9 Faisal Dwi Kurniawan Laju Perubahan

10 Fauziah Nur Aini Turunan Parsial

11 Fitra Setya Amanda Laju Perubahan

12 Gita Sukma Devyana Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2

13 Jeremy Gabriel Persamaan Diferensial Eksak

14 Luqmanul Hakim Perubahan Variabel

15 Mentari Tata Jelita Pertambahan Kecil

16 M Hutama Fahrurrozi Perubahan Variabel

17 M Ubaidillah Persamaan Diferensial Bernouli

18 Nur Salindri Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1

19 Rafhael Ikhwan Turunan Fungsi Implisit

20 Riznatul Nuril Azizah Pertambahan Kecil

21 Septian Eka Prasetya Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3

22 Suci Prafitri Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2

23 Winda Prasetianingtyas Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

24 Yusuf Hanif Abdullah Turunan Parsial

41

Referensi

Yusuf Yahya DSuryadi HS Agus Sumin Matematika dasar Untuk Perguruan Tinggi

Ghalia Indonesia 2004

PurcellEdwin J Kalkulus jilid I Erlangga Jakarta 2003

httparisgunaryatifileswordpresscom201206kalkulus-lanjut3pdf

httpfebrizalstaffunriacidfiles2012071pdf

httpfst09webunairacidartikel_detail-4672-umum-persamaan-diferensial-bernoullihtml

httpfileupieduDirektoriFPTKJUR_PEND_TEKNIK_ELEKTRO

197201192001121-MAMAN_SOMANTRIMatematikadiferensiasiPAersialpdf

httpjihad1810wordpresscom20090409turunan-laju-yang-berkaitan

httpsharematematikaturunanfungsiimplisitcom

http syafiistaffunsacidfiles201102bab-ipdf

httpueu5099blogesaunggulacid-2013-03-03persamaan-diferensial-linier-orde-satu-dan-

bernoulli

httpuuniqueefileswordpresscom201009persamaan_differensial_-_dr-_st-_budi_waluyapdf

http yusronsugiartolectureubacidfiles201305kuliah-2pdf

httpwwwblogubacid

httpwwwslidesharenetMayaUmamimodul-persamaan-diferensial-1

httpwwwwikipediaturunanfungsiimplisitcom

42

Referensi

Yusuf Yahya DSuryadi HS Agus Sumin Matematika dasar Untuk Perguruan Tinggi

Ghalia Indonesia 2004

PurcellEdwin J Kalkulus jilid I Erlangga Jakarta 2003

httparisgunaryatifileswordpresscom201206kalkulus-lanjut3pdf

httpfebrizalstaffunriacidfiles2012071pdf

httpfst09webunairacidartikel_detail-4672-umum-persamaan-diferensial-bernoullihtml

httpfileupieduDirektoriFPTKJUR_PEND_TEKNIK_ELEKTRO

197201192001121-MAMAN_SOMANTRIMatematikadiferensiasiPAersialpdf

httpjihad1810wordpresscom20090409turunan-laju-yang-berkaitan

httpsharematematikaturunanfungsiimplisitcom

http syafiistaffunsacidfiles201102bab-ipdf

httpueu5099blogesaunggulacid-2013-03-03persamaan-diferensial-linier-orde-satu-dan-

bernoulli

httpuuniqueefileswordpresscom201009persamaan_differensial_-_dr-_st-_budi_waluyapdf

http yusronsugiartolectureubacidfiles201305kuliah-2pdf

httpwwwblogubacid

httpwwwslidesharenetMayaUmamimodul-persamaan-diferensial-1

httpwwwwikipediaturunanfungsiimplisitcom

42