Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar...

Matematika Teknik Dasar-25 – Perkalian Antar VektorSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan

Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan aranya (). Vektor ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY.

Berarti bisa juga dikatakan bahwa 𝑂𝑃 ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX + vektor b dalam arah OY.

Artinya, 𝑂𝑃 = a (di sepanjang OX) dan b (di sepanjang OY)

Jika didefinisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX, maka a = ai

dan Jika didefinisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka b = bj

Jadi vektor 𝑂𝑃 dapat ditulis; r = ai + bj

Dimana i dan j adalah vektor satuan masing-masing dalam arah OX dan OY


Misalkan z1 = 2i + 4j dan z2 = 5i + 2j

Untuk mendapatkan z1 + z2 digambar kedua vektor dalam suatu rantai.

z1 + z2 = 𝑂𝐵 = (2 + 5)i + (4 +2)j = 7i + 6j

Jika z1 = 3i + 2j dan z2 = 4i + 3j

z1 + z2 = 3i + 2j + 4i + 3j = 7i + 7j


Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j

Maka:

a. z1 + z2 + z3

b. z1 - z2 - z3

Diselesaikan:

z1 + z2 + z3 = 5i - 2j + 3i + 3j + 4i - 1j

z1 + z2 + z3 = (5 + 3 + 4)i + (-2 + 3 -1)j

z1 + z2 + z3 = 12i


Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j

Maka:

a. z1 + z2 + z3

b. z1 - z2 - z3

Diselesaikan:

z1 - z2 - z3 = (5i - 2j) – (3i + 3j) – (4i - 1j)

z1 - z2 - z3 = (5 - 3 - 4)i + (-2 - 3 +1)j

z1 + z2 + z3 = -2i -4j


Jika 𝑂𝐴 = 3i + 5j dan 𝑂𝐵 = 5i - 2j , carilah 𝐴𝐵

Dari diagram yang dibuat, bisa ditulis hubungan antara vektor-vektor tersebut. Kemudian dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan.

𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 (didapat dari diagram)

𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 - 𝑂𝐴

= (5i – 2j) – (3i + 5j) = 2i – 7j

Vektor dalam Ruang

Sumbu-sumbu acuan didefinisikan oleh aturan ‘tangan kanan’

OX, OY, dan OZ membentuk set tangan kanan jika rotasi dari OX ke OY seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir-kanan sepanjang arah OZ positif.

Sama halnya rotasi dari OY ke OZ bertindak seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir kanan di sepanjang arah positif OX.

Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh komponen-komponennya.

a di sepanjang OX

b di sepanjang OY

c di sepanjang OZ

Vektor dalam Ruang

Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ

Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck

Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2

OP2 = a2 + b2 + c2

Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

Vektor dalam Ruang

Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ

Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck

Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2

OP2 = a2 + b2 + c2

Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

Vektor dalam Ruang

Coba diselesaikan soal berikut:

𝑃𝑄 = 4i + 3j + 2k, maka 𝑃𝑄 adalah..

𝑃𝑄 = 42 + 32 + 22

𝑃𝑄 = 16 + 9 + 4

𝑃𝑄 = 29

𝑃𝑄 = 5,385

Kosinus Arah

Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat vektor dengan ketiga sumbu acuannya.

Misalkan 𝑂𝑃 = r = ai + bj + ck

Maka

𝑎

𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛼 a = r cos

𝑏

𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛽 b = r cos

𝑐

𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛾 c = r cos

Juga a2 + b2 + c2 = r2

Kosinus Arah

a2 + b2 + c2 = r2

r2 cos2 + r2 cos2 + r2 cos2 = r2

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Jika l = cos

m = cos

n = cos

Maka l2 + m2 + n2 = 1

* [l, m, n] ditulis dalam tanda kurung siku disebut kosinus arah vektor 𝑂𝑃 dan merupakan nilai-nilai kosinus sudut-sudut yang dibuat vektor yang bersangkutan dengan ketiga sumbu acuannya.

Kosinus Arah

Jadi untuk vektor r = ai + bj + ck

𝑙 =𝑎

𝑟; 𝑚 =

𝑏

𝑟; 𝑛 =

𝑐

𝑟; dan r = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Dicari kosinus arah [l, m, n] dari vektor r = 3i - 2j + 6k

a = 3, b = -2, c = 6, r = 9 + 4 + 36

r = 49 = 7

𝑙 =3

7; 𝑚 = −

2

7; 𝑛 =

6

7

Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor

Jika a dan b merupakan dua vektor, hasil kali skalar a dan b didefinisikan sebagai skalar (bilangan) ab cos dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dan b serta merupakan sudut di antara kedua vektor ini.

Hasil kali skalar ini dinotasikan dengan a.b (disebut ‘hasil kali titik’

a.b = ab cos

= a x proyeksi b pada a

= b x proyeksi a pada b ; pada kasus ini hasilnya merupakan kuantitas skalar


Contoh :

𝑂𝐴.𝑂𝐵 = OA.OB. Cos

= 5.7 cos 45o

= 35.1

2=

35 2

2


Hitung hasil kali skalar a dan b = a.b

a.b = ab cos 90o = ab.0 = 0

Jadi kesimpulannya adalah hasil kali dari sebarang dua vektor yang saling tegak-lurus akan selalu nol.

Untuk kasus di samping dapat diselesaikan sebagai berikut:

a.b = ab cos 0o = ab.1 = ab


Jika kedua vektor dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k

Jika a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

Maka a.b = (a1i + a2j + a3k).(b1i + b2j + b3k)

= a1 b1i .i + a1b2i.j + a1b3i.k + a2b1j .i + a2b2j.j + a2 b3j.k + a3b1k .i + a3b2k.j + a3b3k.k

Dicoba untuk menyederhanakan persamaan:

i.i = (1)(1)(cos 0o) = 1

i.i = 1; j.j = 1; k.k = 1 (a)

i.j = (1)(1)(cos 90o) = 0 i.j = 0; j.k = 0; k.i = 0 (b)


Menggunakan penyederhanaan di slide sebelumnya:

Maka a.b = a1 b1.1 + a1b2.0 + a1b3.0 + a2b1.0 + a2b2.1 + a2 b3.0 + a3b1.0 + a3b2.0 + a3b3.1

a.b = a1 b1 + a2b2 + a3b3

Berarti untuk operasi perkalian cukup dengan menjumlahkan hasil kali vektor-vektor satuan di sepanjang sumbu-sumbu yang bersangkutan.

Misal a = 2i + 3j + 5k dan b = 4i + 1j + 6k

Maka a.b = (2 x 4) + (3 x 1) + (5 x 6)

= 8 + 3 + 30

= 41

Hasil Kali dari Dua Vektor

Hasil kali vektor a dan b ditulis a x b (seringkali disebut ‘hasil kali silang’) dan didefinisikansebagai vektor yang memiliki magnitudo ab sin dengan adalah sudut di antara kedua vektoryang diketahui.

Vektor hasil kali memiliki arah tegak-lurus baik terhadap a ataupun arah b, sehingga a,b dan a x b membentuk set tangan kanan dalam urutan tersebut.

𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃

Diperhatikan dari gambar di samping bahwa b x a akan membalik rotasidan vektor hasil kalinya sekarang memiliki arah ke bawah.

b x a = -(a x b)


Jika = 0o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 0

Jika = 90o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏

Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k:

Maka:

a x b =a1 b1i x i + a1b2i x j + a1b3i x k + a2b1j x i + a2b2j x j + a2 b3j x k + a3b1k x i + a3b2k x j + a3b3k x k

Diperhatikan bahwa 𝒊 𝑥 𝒊 = (1)(1)(sin 0o) = 0 I x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k.

(magnitudo dan arah sama)


Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k.

(magnitudo dan arah sama)

Maka

i x j = k

j x k = i

k x i = j; Diingat juga

i x j = -(j x i)

j x k = -(k x j)

k x i = -(I x k)


Bisa dirapikan persamaan terakhir menggunakan pendekatan sebelumnya:

a x b =a1 b10 + a1b2k+ a1b3(-j) + a2b1(-k) + a2b20+ a2 b3i + a3b1j + a3b2(-i) + a3b30

a x b =(a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

Dapat dikenali bahwa pola di atas ini adalah pola suatu determinan yang baris pertamanyaadalah tersusun dari vektor I,j, dan k.

Maka dapat kita peroleh bahwa


b = b1i + b2j + b3k



b = b1i + b2j + b3k

a x b = 𝒊 𝒋 𝒌𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3

= (a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

Cara determinan di atas ini adalah cara paling mudah dalam menuliskan hasil kali vektor daridua vektor.

a. Baris atas terdiri dari vektor satuan dalam urutan I,j,j

b. Baris kedua terdiri dari koefisien dari a

c. Baris ketiga terdiri dari koefisien dari b


Contoh:

Jika p = 2i + 4j + 3k

q = i + 5j - 2k

p x q = 𝒊 𝒋 𝒌2 4 31 5 −2

𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒑𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒒

p x q = 𝒊 𝒋 𝒌2 4 31 5 −2

= 𝒊4 35 −2

− 𝒋2 31 −2

+ 𝒌2 41 5

p x q = i(-8 – 15) – j(-4 – 3) + k(10 – 4)

p x q = -23i+ 7j+ 6k

Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a adalah satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n]

Misalkan b adalah satu vektor dengan kosinus arah [l’, m’, n’]

Maka harus dicari sudut antara kedua vektor ini.

Misalkan 𝑂𝑃 dan 𝑂𝑃′ merupakan vektor satuan yang masing-masing sejajar dengan a dan b. Kemudian P memiliki koordinat(l,m,n) dan P’ memiliki koordinat (l’,m’,n’)


Maka

(PP’)2 = (l-l’)2 + (m-m’)2 + (n-n’)2

= l2 – 2.l.l’ + l’2 + m2 – 2m.m’ + m’2 + n2 – 2n.n’ + n’2

= (l2 + m2 + n2) + (l’2 + m’2 + n’2) – 2(ll’ + mm’ + nn’)

Tetapi (l2 + m2 + n2) = 1 dan (l’2 + m’2 + n’2) = 1 seperti yang dibuktikan sebelumnya.

(PP’)2 = 2 – 2(ll’ + mm’ + nn’) (a)

Dengan aturan kosinus


Dengan aturan kosinus

(PP’)2 = OP2 + OP’2 – 2.OP.OP’.cos

= 1 + 1 – 2.1.1.cos

= 2 – 2 cos (b)

Dari (a) dan (b) didapatkan

(PP’)2 = 2- 2(ll’ + mm’ + nn’)

(PP’)2 = 2 – 2 cos

cos = ll’ + mm’ + nn’



Jadi cukup menjumlahkan hasil kali kosinus arah yang bersesuaian dari kedua vektor yang diketahui.

Jika [l,m,n] = [0,54, 0,83, -0,14]

Dan [l’,m’,n’] = [0,25, 0,60, 0,76]

Sudut antara kedua vektor adalah = 58o13’


= (0,54)(0,25) = (0,83)(0,60) = (-0,14)(0,76)

= 0,1350 + 0,4980 - 0,1064 = 0,5266 maka = 58o13’


Cari sudut antara vektor-vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = 4i - 3j + 2k

Dicoba untuk mencari kosinnus arah p.

p = 𝑝 = 22 + 42 + 32 = 29

𝑙 =𝑎

𝑝=

2

29𝑚 =

𝑏

𝑝=

3

29𝑛 =

𝑐

𝑝=

4

29

[l’,m’,n’] = 2

29,

3

29,

4

29 dengan cara yang sama dicari kosinus arah q

[l’,m’,n’] = 4

29,−3

29,

2

29


Dengan cos = ll’ + mm’ + nn’ dapat dicari sudut -nya


= (2

29)(

4

29) = (

3

29)(−3

29) =

4

29)(

2

29)

= 8

29-9

29+

8

29

= 7

29= 0,2414

= 76o2’

Rasio Arah

Jika 𝑂𝑃 = ai + bj + ck , telah diketahui bahwa

𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 dan kosinus arah 𝑂𝑃 diberikan sebagai:

𝑙 =𝑎

𝑟, 𝑚 =

𝑏

𝑟, 𝑛 =

𝑐

𝑟

Dapat dilihat bahwa komponen a, b, dan c masing-masing sebanding dengan kosinus arah l, m, n; dan komponen-komponen ini kadang disebut sebagai rasio arah dari vektor 𝑂𝑃

Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar...

Documents

Transcript of Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar...