Matematika teknik 02-pdt dan pde
-
Upload
el-sucahyo -
Category
Science
-
view
80 -
download
3
Transcript of Matematika teknik 02-pdt dan pde
PERTEMUAN - 2
Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Persamaan Diferensial Terpisahkan
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : y’ = f (x, y)
Fungsi f(x,y) pada sisi kanan dapat juga dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya yaitu M(x,y) dan –N(x,y) , sehingga
𝒚′ = 𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝑴(𝒙,𝒚)
−𝑵(𝒙,𝒚) , dapat dituliskan dalam bentuk :
M ( x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0
Jika M(x,y) = A(x) [fungsi dari x saja] dan N(x,y) = B(y) [ fungsi dari y saja] ; persamaan diferensial tsb dapat DIPISAHKAN atau
memiliki variabel-variabel yang TERPISAHKAN
Soal 2.1
Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan !
𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Solusi Umum PDT
Solusi untuk persamaan diferensial orde pertama yang dapat dipisahkan :
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐 , [𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔]
Solusi untuk Soal Nilai Awal
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑥
𝑥0
+ 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0𝑥
𝑥0
Jawaban 2.1
𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = sinx ; N(x,y) = B(y) = 𝒚𝟐
NON PDT ; M(x,y) = 𝒙𝒚𝟐 ; N(x,y) = 𝒙𝟐𝒚𝟐
Dapat diubah menjadi PDT dengan pembagi 𝒙𝟐𝒚𝟐
1
𝑥𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑦 = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = 1/x ; N(x,y) = B(y) = -1
NON PDT ; M(x,y) = (1+xy) ; N(x,y) = y
Soal 2.2
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2𝑥3
𝑐 . 𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥2 + 2
𝑦
Jawaban 2.2
𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2𝑥3
𝑥2
2−𝑦3
3= 𝑐 , 𝑦 =
3
2𝑥2 + 𝑘
13
; 𝑘 = −3𝑐
𝑥4
4+1
𝑦= 𝑐 , 𝑦 =
−4
𝑥4 + 𝑘 ; 𝑘 = −4𝑐
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
Jawaban 2.2
𝑐 . 𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥2 + 2
𝑦
1
3𝑥3 + 2𝑥 −
1
2𝑦2 = 𝑐 , 𝑦2=
2
3𝑥3 + 4𝑥 + 𝑘 ; 𝑘 = −2𝑐
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
Penyederhanaan Persamaan Homogen
Persamaan Diferensial Homogen 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Dapat ditransformasikan menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan (substitusi) :
𝑦 = 𝑥𝑣 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦𝑢
Serta turunannya dalam bentuk :
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦= 𝑢 + 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Penyederhanaan Persamaan Homogen
Selesaikanlah solusi persamaan berikut : 𝑦′ =𝑦 + 𝑥
𝑥
Persamaan tersebut Homogen tetapi tidak dapat dipisahkan, maka ; substitusi y dengan xv atau y = xv
𝑣 + 𝑥𝑑𝑣
𝑑𝑥=𝑥𝑣 + 𝑥
𝑥 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢
1
𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 0
Solusi PDT : 1
𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 𝑐
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑐 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 − 𝑐 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑛 𝑘 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑘
𝑣 = 𝑙𝑛 𝑘𝑥 ;𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑣 =𝑦
𝑥 ,
𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑘𝑥
Contoh,
Soal 2.3
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !
𝑦′ =𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
Jawaban 2.3
𝑦′ =𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦 𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑘𝑥2
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Adalah eksak jika ada suatu fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) sehingga :
𝑑𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Dengan uji kepastian, jika : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦=𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
Metode Solusi
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Contoh, Tentukan apakah persamaan berikut PDE
dan tentukan solusinya !
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 ,𝜕𝑀
𝜕𝑦= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑦 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥)
𝑁 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2 ,𝜕𝑁
𝜕𝑥= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑥 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖)
𝜕𝑀
𝜕𝑦=𝜕𝑁
𝜕𝑥= 2𝑥 , 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑃𝐷 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 Solusi
𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + (𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑦= 𝑥2 + ′ 𝑦 , 𝑥2 + ′ 𝑦 = 1 + 𝑥2 , 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ′ 𝑦 = 1
𝑑
𝑑𝑦= 1 , 𝑦 = 𝑦 + 𝑐1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦 + 𝑐1
𝒙𝟐𝒚 + 𝒚 = 𝒄𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 =𝒄𝟐
(𝒙𝟐 + 𝟏)
Soal 2.4
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !
C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1
3𝑥3𝑦2𝑦′ + 3𝑥2𝑦3 − 5𝑥4 = 0
Jawaban 2.4
C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1
𝑥3𝑦3 − 5𝑥 + 𝑘 = 0
𝑥3𝑦3 − 5𝑥 = 0
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !
3𝑥3𝑦2𝑦′ + 3𝑥2𝑦3 − 5𝑥4 = 0
Faktor Integrasi PDE
Jika suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝐼 𝑥 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Bukan suatu persamaan dierensial eksak : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦≠𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
Maka dapat dilakukan pengalian (faktor integrasi) dengan fungsi I(x), sehingga :
Menjadi Persamaan Diferensial Eksak
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐼 𝑥 = 𝑥𝑚, 𝑦𝑛
Tabel Faktor Integrasi PDE
Kelompok Suku Faktor Pengitegrasi I(x, y)
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 −1
𝑥2
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
1
𝑦2
−1
𝑥𝑦
−1
𝑥2 + 𝑦2
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 1
𝑥𝑦
Soal 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0
PERTEMUAN -2
Terima Kasih
Jawaban 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑦 = 𝑘𝑥
𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑥𝑦2 ; 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑥3𝑦3 − 𝑥2𝑦5 + 𝑘 = 0
𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0
Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎