Matematika SMA Kelas 10

Literatur Media SuksesJl. Madrasah No. 38, Pekayon

Pasar Rebo, Jakarta Timur

Jilid 1

untuk

SMA Kelas X

MaMaMaMaMatematematematematematikatikatikatikatika AAAAAplikasiplikasiplikasiplikasiplikasi

Matematika Aplikasi

Jilid 1

Untuk SMA Kelas X

Kurikulum 2004 Standar KompetensiHak cipta © 2005 pada Penulis

Hak penerbitan pada Penerbit Literatur Media Sukses

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)Matematika Aplikasi, disusun oleh Pesta E. S., Alfarabi, Editor, Christiani S.Napitupulu, -- Jakarta: Literatur Media Sukses

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Tidak diperkenankan memperbanyakisi buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit LiteraturMedia Sukses.

PenulisPesta E. S.Alfarabi

EditorChristiani S. Napitupulu, S.Si

Desain SampulTim Literatur Media Sukses

Setting/Tata LetakTim Literatur Media Sukses

IlustratorAndie Anakota

Cetakan Pertama, 2005

Kebijakan pemerintah dengan memberlakukan Kurikulum 2004 yang berbasiskompetensi merupakan upaya menyeluruh untuk meningkatkan mutu pendidikan. Upayaini meliputi aspek-aspek pengetahuan, ketrampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembanganaspek-aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapanhidup (life-skills) melalui seperangkat kempetensi agar siswa dapat bertahan hidup,menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang.

Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkanmutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkatbuku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa SMA. Buku ini berbalur ungkapansantun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selainitu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasiyang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa.

Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam bukuini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikandengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari.Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam bukuini.

Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atasdua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Alfarabi Mengujimu.Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsepyang diberikan. Melalui pelatihan ini, diharapkan siswa mampu mencapai kompetensibelajar yang diinginkan dalam Kurikulum 2004.

Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas diKelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Alfarabi yang berisiinformasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, danSiapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemarmatematika.

Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi danpenerang dalam pendidikan bangsa kita.

Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya denganpenyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya.

Jakarta, April 2005

Penulis

KATA Pengantar

70Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentukpertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamumembutuhkan sifat-sifat berikut:

1. Sifat penjumlahan dan penguranganJika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

• x < y ⇒ x ± z < y ± z

• x < y ⇒ x ± z < y ± z

2. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

• x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan x

z <

y

z

• x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan x

z <

y

z

3. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah.

• x < y dan z < 0 ⇒ xz < yz dan x

z <

y

z

• x < y dan z < 0 ⇒ xz < yz dan x

z <

y

z

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut dimana x adalah bilangan real!

1. −3x + 4 < x + 8 2. 1 23 4

2 3

x x− ++ ≥ − 3. x − 5 < 2x − 3 < x + 4

Jawab:

1. −3x + 4 < x + 8Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap.−3x + 4 − 4 < x + 8 − 4

−3x < x + 4

A. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri danruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan”<, ≤, >, ≥ ” atau ”≠”

DEFINISI

Catatan

Notasi pada pertidak-

samaan:

• < : kurang dari

• ≤ : kurang dari atau

sama dengan

(tidak kurang dari)

• > : lebih dari

• ≥ : lebih dari atau

sama dengan (tidak

lebih dari)

CONTOH


A. Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Di kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear sepertiberikut:a. x − y = 1b. x + y = 3

Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuahsistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistempersamaan tersebut.

Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y,sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentukumum sistem persamaan linear dua variabel:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakanempat cara, yaitu:

a. Metode Grafikb. Metode Substitusic. Metode Eliminasid. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

a. Metode Grafik

Di kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaanlinear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakankemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

1. Gambarlah garis x − 3y = −3 dan x + y = 1 pada satu sistem koordinat!

2. Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlahtitik potongnya!

3. Gambarkan pula garis x + y = −1 dan x + y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain.


5. Sekarang, gambarlah garis x − y = 1 dan 3x − 3y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain!


ktivitas di elasA K


Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut.

• sin2 θ + cos2 θ = 1

• tan θ = sin

cos

θθ

1. Tentukanlah nilai dari sin2 25° + sin2 65°!

Jawab:

sin2 25° + sin2 65° = sin2 25° + sin2 (90° − 25°)

= sin2 25° + cos2 25°

= 1

2. Buktikan bahwa 3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 + 3 sin4θ !

Jawab:

3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 (cos2θ)2 + 6 sin2θ= 3 (1 − sin2θ)2 + 6 sin2θ= 3 (1 − 2 sin2θ + sin4θ) + 6 sin2θ= 3 − 6 sin2θ + 3 sin4θ + 6 sin2θ= 3 + 3 sin4θ

Asah Kompetensi 4

1. Jika θ di kuadran IV dan sin θ = 1

3− , tentukanlah nilai cos θ dan tan θ !

2. Jika p − q = cos A dan = 2pq sin A, tentukanlah p2 + q2!

3. Jika tan B = 3

7, tentukan

14 sin 3 cos

7 sin 5 cos

B B

B B

−−

!

4. Buktikan bahwa 2 2

4

2

tan sintan

1 sin

θ θ θθ

− =− !

5. Buktikan bahwa tan 1 sin cos

tan 1 sin cos

θ θ θθ θ θ

− +×+ −

= 1!

CONTOH

Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsaYunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwakebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometridalam membangun piramida.

Info sains

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma1

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton.

Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini

sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.

Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.

Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bentuk Pangkat, Akar,

dan Logaritma


dan Logaritma

♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat

negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat mengubah bentuk akar ke

bentuk pangkat dan sebaliknya.


ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat melakukan operasi aljabar

pada bentuk pangkat, akar, dan

logaritma.

♦ Kamu dapat menyederhanakan bentuk

aljabar yang memuat pangkat.

♦ Kamu dapat merasionalkan bentuk

pangkat.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat-sifat

yang sederhana tentang bentuk

pangkat, akar, dan logaritma.

11

Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaran

untuk mengetahui isi dan manfaat setelah mempelajari

bab tersebut dan diberikan juga pengantar bab berupa

uraian singkat dan gambar yang berhubungan dengan

kehidupan sehari-hari.

Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di

mana kamu dapat mengembangkan ketrampilan dalam

merencanakan melaksanakan dan menyimpulkan

aktivitas.

Catatan disajikan berupa informasi yang berguna

untuk memperjelas konsep Matematika.

Info sains disisipkan sebagai informasi untuk

membuka wawasan sehingga tidak buta terhadap

informasi Matematika dan perkembangan teknologi.

Bab 6 Trigonometri131

Jawab:

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisiyang diapitnya.

∠ CAB = 40° dan ∠ ABC = 180° − 60° = 120°Jadi, ∠ ACB = 180° − 40° − 120° = 20°.Panjang sisi AB = 100 m.Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh

Sin

BC

A° = Sin

AB

C

Sin

BC

A° = 100

Sin 20°

BC = 100 × Sin 40

Sin 20 Persamaan 1

Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitungmenggunakan perbandingan trigonometri.

Sin 60° = CD

BC

CD = BC × Sin 60° Persamaan 2

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2

CD = 100 × Sin 40

Sin 20× Sin 60°

= 100 ×Sin 40

Sin 20×

13

2

= 162,76 m

Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

400 600

A D

C

B100

600

B D

C

400 1200

200

A

C

B100

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan kepiston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkanke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan

pegas P. Dimulai pada posisi awal 4

πθ = , roda dengan jari-jari 2

kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarakvertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

d = y + 8 p(x,y)8

Y θx

Bab 5 Logika Matematika105

Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbol-simbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan?Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815.Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulandalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dandihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumenlogis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuahteka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

Buktikan bahwa jika p > 0, p ≠ 1, a,b > 0 berlaku plog (ab) = plog a + plog b!

Jawab:Misalkan, x = plog a maka a = px

y = plog b maka b = py

plog (ab) = plog px. py

= plog px + y

Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperolehplog (ab) = x + y = plog a + plog bJadi, plog (ab) = plog a + plog b

1. Bukti Langsung

Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaransebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar,seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan.

CONTOH

2. Bukti Tak Langsung

a. Bukti Tak Langsung dengan Kontrapositif

Misalkan, harus dibuktikan p → q benar. Andaikanlah ∼q benar, kemudiandengan langkah logis turunkanlah supaya ∼p benar sehingga ∼q → ∼p benar.Oleh karena p → q ≡ ∼q → ∼p dan ∼q → ∼p benar maka p → q benar.

Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjilmaka n + 1 bilangan genap!

Bukti:Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genapsehingga n dapat ditulis sebagai n = 2a.Akibatnya, n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2)Ini berarti, n2 bilangan genap.Jadi, “jika n + 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap.” Pernyataan iniekuivalen dengan pernyataan,”jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangangenap.”

Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat

Sahabat Alfarabi

CONTOH

K. Bukti dalam Matematika

Sahabat Alfarabi merupakan informasi latar belakang

matematikawan yang telah berjasa dengan menemukan

berbagai macam teori yang sekarang ini digunakan

dan dirasakan manfaatnya.

Siapa Berani merupakan soal-soal yang menantang.

Soal-soal ini khusus diberikan buat kamu yang gemar

Matematika dan telah memahami materi.

Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur

kemampuan dalam menguasai materi yang telah

dibahas.

Alfarabi Mengujimu digunakan untuk menguji kamu

dalam menyelesaikan soal-soal relatif lebih sulit yang

berkaitan dengan materi yang telah dibahas.


Asah Kompetensi 31. Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan

nilai kebenarannya!

a. p : Roda mobil berbentuk persegi

q : Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran

b. r : a0 = 1 untuk a bilangan real

s : 1n = 1 untuk n bilangan real

c. t : 6

9merupakan bentuk lain dari

2

3

u : 2

3merupakan bentuk sederhana dari

6

9

d. v : Jakarta ibu kota Amerikaw : Jakarta terletak di pulau Jawa

2. Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian,tentukan nilai kebenarannya!

a. p : Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten

q : Bandara Adi Sucipto ada di Semarang

b. r : Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya

s : Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan itu

c. t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617

u : 11 merupakan bilangan komposit

d. v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005

w : Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3. Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar!

a. 269 dan x2 + x + 17 merupakan bilangan prima

b. 0 habis dibagi 2 atau x2 − 2 = 2x + 17

c. Soeharto adalah presiden Indonesia terlama atau ⏐x2 − 1⏐< 3

d. 930 cm + 7 dm = 10 m dan ⏐3x − 1⏐ < 2⏐x + 6⏐

e. Surabaya dijuluki kota buaya atau x = 0


Waktu: 60 menit

1. Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaankuadrat

ax2 + bx + c = 0 adalah 2

1

4

2

b b acx

a

− + −= atau 2

2

4

2

b b acx

a

− − −=

2. Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa 1

0 tidak terdefinisi!

3. Buktikanlah bahwa:

a. 1 + 21 + 22 + . . . + 2n − 1 = 2n − 1

b. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

c. 12 + 22 + . . . + n2 = 1

6n(n + 1)(2n + 1)

d. 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)

ASAH KEMAMPUAN5

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30

= 1

4(k + 1)2(k + 2)2

= 2

1( 1)( 2)

2k k

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Pada ruas kanan persamaan, didapat ( 12 (k + 1) (k + 2))2.

Untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yangsama.

Jadi, 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( 12 n (n + 1))2 berlaku untuk n = k dan untuk

n = k + 1 atau untuk semua n bilangan asli.

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13!

Sumber: Olimpiade Matematika SMU

Apakah Keunggulan Buku ini??v

vivi

Matematika Aplikasi SMA Kelas X


1. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

2. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan:a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah

• x y x z y z< → ± < ±

• x y x z y z> → ± > ±b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

• dan 0 dan yx

x y z xz yzz z

< > ⇒ < <

• dan 0 dan yx

x y z xz yzz z

> > ⇒ > >

3. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

• 2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + < + + >

• 2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + ≤ + + ≥

4. Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel padapenyebutnya.

5. Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

f g<

dengan syarat terdefinisi 0 dan 0f g≥ ≥

6. Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah

, jika 0

, jika 0

x xx

x x

≥⎧= ⎨− <⎩

7. Sifat-sifat nilai mutlak

a. 2p p= d. p q p q+ ≤ +

b. pq p q= e. x p p x p< ⇔ − < <

c. , 0pp

qq q

= ≠ f. atau x p x p x p> ⇔ < − >

RangkumanRangkuman


GaMeMath

Utut tersesat di sebuah hutan.Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yangbertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namunkemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjukuntuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohon-pohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. BantulahUtut menemukan jalan pulang tersebut!Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini.pohon mana sajakah yang sama dengan 1?

Perhatikan Gambar 6.7!

Telah diketahui bahwa sin θ = y

rdan cos θ =

x

r .

Dari sin θ = y

r ⇒ y = r sin θ.

Dari cos θ = x

r ⇒ x = r cos θ.

Pada segitiga siku–siku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:x2 + y2 = r2

(r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r2

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r2

r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2

cos2 θ + sin2θ = 1 atau sin2 θ + cos2 θ = 1

Perhatikan kembali segitiga di atas!

Dari segitiga di atas diperoleh tan θ = y

x.

Bagilah pembilang dan penyebut dengan r.

tan θ =

y

rx

r

= sin

cos

θθ

Jadi, tan θ = sin

cos

θθ .

y

x

r

θ

E. Identitas Trigonometri

Gambar 6.7 Segitiga siku-siku.

1,

sin 30 sin 90°1

,sin 0 tan 45

1

cos0sin 60°

1

tan 45 cos 90° tan 90° cos 0°

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

GameMath berisi soal berupa permainan matematika.

Jawabannya dapat dicari dengan menggunakan logika

sehingga dapat mengasah logika dan cara berpikir

kritis.

Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya kamu

dapat dengan cepat mengingat kembali materi-materi

yang telah dipelajari pada bab tersebut.

Ulangan Bab disajikan untuk mengukur

kemampuan kamu dalam menguasai semua materi

yang telah dibahas dalam bab tersebut.

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuan

kamu mengingat dan menguasai semua materi yang

telah dipelajari selama dua semester.


I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Jika sin α = 45 dan 0º < α < 90º, maka nilai

tan α adalah . . . .

a.4

5d.

3

4

b.4

3e.

3

5

c.5

4

2.cos

sin cos

αα α⋅ sama dengan . . . .

a.1

sinα d. cosec2α

b. cos2α e. cosαc. sec2α

3. Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p,

AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, dan

sudut B = x, maka panjang DE = . . . .

a. p sin β cos2 βb. p sin2 β cos βc. p sin2 β cos βd. p sin β tan βe. p sin β cos β

4. Jika x + y = 270º maka . . . .

a. cos x + sin y = 0

b. cos x − sin y = 0

c. cos x + cos y = 0

d. sin x − sin y = 0

e. sin x + sin y = 0

5. Nilai dari 2

2 tan

1 tan

q

q+ = . . . .

a. 2 sin q cos q d. 1 − 2 sin qb. sin q cos q e. 2 sin q

c. 2 sin q − 1

6. Jika tan x = a, maka sin 2x sama

dengan . . . .

a. 2

2

1

a

a+ d.

2

2

1

1

a

a

−+

b.2

2

1

2

a

a

+e.

2

2

1

1

a

a

+−

c.2

2

1

2

a

a

−

7. Jika x + y = π4

, maka tan x adalah . . . .

a.2 tan

1 tan

y

y+ d.1 tan

1 tan

y

y

−+

b.1 tan

1 tan

y

y

+− e.

2 tan

1 tan

y

y−

c.1 2 tan

1 tan

y

y

++

8. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku

cos A cos B = 12 maka cos (A − B) sama

dengan . . . .

a. −1 d.1

2

b.1

2− e. 1

c. 2

9. Bila x memenuhi persamaan

2(sin x)2 + 3 sin x − 2 = 0

dan 2

π− < x < 2

π, maka cos x adalah . . . .

a.1

2c.

13

2

b.1

2− d.

13

2−

c.1

22

Ulangan Bab 6Ulangan Bab 6

Tugas Akhir159

1. Nilai dari (0,04)−0,05 + (0,25)0,5 adalah . . . .

a. 0,5 d. 4,5

b. 0,7 e. 5,5

c. 2,5

2. Bentuk (p−1 + q−1)−1 identik dengan . . .

a. p + q d.p q

pq

+

b. p e.1

pq

c.+pq

p q

3. Jika a = 25 dan b = 81, dan c = 8 maka nilai21 1

32 4, ,a b c adalah . . . .

a. 3 d. 40

b. 5 e. 60

c. 20

4. Nilai dari 48 45

7 2 10

+

+ adalah . . .

a. 3 d. 2 3b. 6 e. 2 6c. 3 2

5. Nilai dari 32 90

7 2 10

+

+ adalah . . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. 16

c. 3

6. Bentuk sederhana dari 10 2 21+ ada-

lah . . . .

a. 7 3+ d. 3 7−b. 7 3− e. 7 3+c. 5 3−

7. Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai3 2log 15 sama dengan . . . .

a.( )2

3

p q+d.

( )2 1

3

p q+ −

b.( )2

3

p q−e.

( )3 1

3

p q− +

c.( )2 1

3

p q− +

8. Nilai dari 16 48

1 130

log 10 log 10+ − adalah

. . . .

a. 0 d. log 60

b. 1 e. 10

c. log 18

9. Jika 3log 3 dan log 3a ay x= = nilai x

y sama

dengan . . . . .

a. 1 d. 27

b. 3 e. 81

c. 9

10. Persamaan (p − 1)x2− 4px + 4p + 7 = 0

mempunyai akar-akar positif. Akar-akar

positif itu adalah . . . .

a. 3 dan 5 d.7 7

dan 3 2

b.7

3 dan2

e.7

dan 32

c.7

dan 52

11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +px + 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positif

adalah . . . .

a. 2 3 d. 8 3

b. 3 3 e. 12 3

c. 6 3

12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + a = 0

adalah 2 2 5α β+ = α dan β. Jika 2 2 5α β+ =maka nilai a sama dengan . . . .

a.2

63

− d.1

33

b.2

33

− e.2

63

c.1

33

−

13. Himpunan penyelesaian dari 2 1

4 5 23

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩adalah . . . .

a. {2,3} d. {4,2}

b. {3,2} e. {3,4}

c. {2,4}

14. Himpinan penyelesaian dari

1 28

2 11

a b

a b

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

adalah . . . .

Tugas Akhir

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................................... iii

Apakah Keunggulan Buku Ini?? .............................................................................................. iv

BAB 1 BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ............................ 1

A. Bentuk Pangkat .......................................................................................... 2

B. Bentuk Akar ............................................................................................... 10

C. Logaritma ................................................................................................... 16

D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma ........................................... 19

Rangkuman ........................................................................................................ 21

Ulangan Bab 1 ................................................................................................... 22

BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT................................ 25

A. Persamaan Kuadrat .................................................................................. 26

B. Fungsi Kuadrat .......................................................................................... 38

Rangkuman ........................................................................................................ 44

Ulangan Bab 2 ................................................................................................... 45

BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT .................................... 47

A. Sistem Persamaan Linear ......................................................................... 48

B. Sistem Persamaan Non - Linear ............................................................... 62

Rangkuman ........................................................................................................ 65

Ulangan Bab 3 ................................................................................................... 67

BAB 4 PERTIDAKSAMAAN ................................................................................. 69

A. Pertidaksamaan Linear .............................................................................. 70

B. Pertidaksamaan Kuadrat ........................................................................... 73

C. Pertidaksamaan Pecahan ......................................................................... 75

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar .................................................................... 78

E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak .......................................................... 79

F. Aplikasi Pertidaksamaan............................................................................ 81

Rangkuman ........................................................................................................ 80

Ulangan Bab 4 ................................................................................................... 82

viiiviii

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

BAB 5 LOGIKA MATEMATIKA ............................................................................ 85

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka ............................................................... 86

B. Ingkaran (Negasi) ....................................................................................... 88

C. Pernyataan Majemuk ................................................................................. 89

D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ........................................................ 97

E. Ingkaran dari Pernyataan Majemuk ............................................................ 97

F. Ingkaran Pernyataan Berkuantor ............................................................... 100

G. Penarikan Kesimpulan ............................................................................... 101

H. Bukti dalam Matematika ............................................................................. 104

Rangkuman ........................................................................................................ 108

Ulangan Bab 5 ................................................................................................... 109

BAB 6 TRIGONOMETRI .................................................................................... 111

A. Ukuran Sudut dalam Radian ...................................................................... 112

B. Perbandingan Trigonometri Sudut Segitiga Siku-Siku................................ 113

C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istmewa (00,300,450,600,900) ..... 116

D. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi ............................................... 118

E. Identitas Trigonometri ................................................................................ 120

F. Grafik Fungsi Trigonometri ......................................................................... 124

G. Persamaan Trigonometri ........................................................................... 126

H. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga ..................................... 127

I. Aplikasi Trigonometri .................................................................................. 130

Rangkuman ........................................................................................................ 133

Ulangan Bab 1 ................................................................................................... 135

BAB 7 DIMENSI TIGA.......................................................................................... 137

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang. .................................... 138

B. Menggambarkan Bangun Ruang ............................................................... 141

C. Volume Bangun Ruang .............................................................................. 142

D. Irisan Bangun Ruang ................................................................................ 151

E. Jarak dan Sudut ......................................................................................... 152

Rangkuman ........................................................................................................ 156

Ulangan Bab 7 ................................................................................................... 157

Tugas Akhir ........................................................................................................ 159

Pustaka Acuan ................................................................................................... 162


TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton.

Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini

sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.

Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.

Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.


dan Logaritma


dan Logaritma


negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat mengubah bentuk akar ke

bentuk pangkat dan sebaliknya.


ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat melakukan operasi aljabar

pada bentuk pangkat, akar, dan

logaritma.

♦ Kamu dapat menyederhanakan bentuk

aljabar yang memuat pangkat.

♦ Kamu dapat merasionalkan bentuk

pangkat.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat-sifat

yang sederhana tentang bentuk

pangkat, akar, dan logaritma.

11

Matematika Aplikasi SMA Kelas X2

1. Pangkat Bulat Positif, Negatif dan Nol

Di kelas VII SMP, telah dijelaskan bahwa 3n = 3 × 3 × … × 3.

Bilangan 3 disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat.n faktor

A. Bentuk Pangkat

Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka an didefinisikansebagai perkalian n faktor bilangan a.

an = a × a × … × a

n faktor

Jika a ≠ 0, a bilangan real dan n bilangan bulat negatif makaa−n didefinisikan sebagai berikut :

faktor

0

1

1 1 1 1. . .

dan

1

nn

n

aa

a a a a

a

− =

= × × × ×

=

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!

a. 25 = . . . . c.31

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . e. n9 = . . . .

b. (−5)5 = . . . . d.31

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . f. (−r)7 = . . . .

Jawab:

a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32b. (−5)5 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = −3.125

c.31 1 1 1 1

5 5 5 5 125⎛ ⎞ = × × =⎜ ⎟⎝ ⎠

d.31 1 1 1 1

5 5 5 5 125⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − × − × − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e. n9 = n × n × n × n × n × n × n × n × nf. (−r)7 = (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r)

CONTOH


2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 5 × 5 × z × z × z = . . . .b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = . . . .

c.1 1 1 14 4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × − × − × −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = . . . .

Jawab:

a. 5 × 5 × z × z × z = 52 × z3

b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = (−1)4 = 1

c.41 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 256⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × − × − × − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!a. 4−3 = . . . . c. 140 = . . . .

b.21

7

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . d. 31

2− = . . . .

Jawab:

a. 4-3 ===== 314 =====

14 ×××××

14 ×××××

14 =====

164

b.21

7

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2117

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 117

× 117

= 11

49

= 49

c. 140 = 1

d. 31

2− =3

112

= 23 = 2 × 2 × 2 = 8

1. Nyatakan ke dalam bentuk perkalian berulang!a. −36 = . . . . c. (7 + 3)7 = . . . . e. 3y3 = . . . .b. (−3)6 = . . . . d. 77 + 37 = . . . . f. (x − y)2 = . . . .

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = . . . .b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = . . . .c. t × t × t × t × t × t = . . . .

Asah Kompetensi 1


Pada 1940, sebuah komputer dapat mengerjakan sekitar100 operasi per detik. Sejak itu, kecepatan komputer telahberlipat ganda 10 kali setiap 5 tahun. Sekitar berapaoperasi per detikkah yang dapat dikerjakan komputerpada tahun 2005?

Sumber: Teaching Mathematics

1. Buatlah pola bilangan 7t dari t = 1!

2. Tentukan angka satuan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

3. Tentukan angka puluhan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

4. Berdasarkan pola yang kamu buat, tentukan angka satuan dan angka puluhan dari 71999!

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

a. Sifat Perkalian Bilangan BerpangkatAmbil a 5 sebarang bilangan real , kemudian hitung a3 × a4 = …

a3 × a4 = (a × a × a) × (a × a × a × a)

3 faktor 4 faktor= a × a × a × a × a × a × a = a7

7 faktor

Jadi, a3 × a4 = a7.

CatatanMenentukan pangkat dari

bilangan bulat adalah

dengan menggunakan

pohon faktor.Contoh:

452 = 2 × 2 × 113

= 22 × 113226

1132

2

452

3. Hitunglah!a. 10−8 = . . . . c. 0−3 = . . . .

b. 21

15

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . d. ( )5− 0 = . . . .

4. Nyatakan ke dalam bentuk pangkat!a. 800 = . . . . c. 200 = . . . .b. 64 = . . . . d. 450 = . . . .

ktivitas di elasA K


Hitunglah nilai pangkat berikut:

a. 53 ×54 b. 8n7 × n3 c.31 1 1

3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × − × −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jawab:a. 53 × 54 = 53 + 4 = 57 = 78.125b. 8n7 × n3 = 8n7 + 3 = 8n10

c.13

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ×13

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ×31

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=1 1 31

3

+ +⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=51

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=1

243−

Untuk setiap a bilangan real tak nol, m dan n bilangan bulat, berlakum

naa

= am − n

Dengan mengambil bilangan bulat m = n, buktikan bahwa a0 = 1! Hasildari pembuktian akan menghasilkan sifat berikut ini.

Untuk setiap a bilangan real tak nol, berlaku a0 = 1

Pangkat dari hasil perkalian merupakan penjumlahan pangkat keduabilangan, yaitu 7 = 3 + 4.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku

am × an = am +n

b. Sifat Pembagian dan Pangkat Nol Bilangan BerpangkatAmbil a sebarang bilangan real, a ≠ 0 m dan n bilangan bulat positif

sebarang, kemudian hitunglah5

3

aa !

5

3

aa =

5 faktor

2

2 faktor3 faktor

a a a a a a a aa a a

× × × ×= × =

× ×

Jadi,5

3aa

= a2.

Pangkat dari hasil pembagian merupakan pengurangan pangkatpembilang oleh penyebut kedua bilangan, yaitu 2 = 5 − 3.

CONTOH


Hitunglah nilai dari:

a.3

2

( 3)( 3)−− b.

6

2

yy c. (−123)0

Jawab:

a.3

2

( 3)( 3)−− = (−3)3 − 2 = (−3)1 = −3

b.6

2

yy = y6 − 2 = y 4

c. (−123)0 = 1

CONTOH

c. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat

Ambil a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif. Kemudian hitunglah(am)n!

(am)n = (am) × (am) × . . . × (am)

n faktor= (a × a × … × a) × (a × a × … × a) × … × (a × a × … × a)

m faktor m faktor m faktor

n faktor

= a × a × … × a × a × a × … × a × … × a × a × … × a

m × n faktor = amn

Jadi, (am)n = amn.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku(am)n = amn

1. (r3)2 = r3 × 2 = r6

2. (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)CONTOH

d. Sifat Pemangkatan Bentuk dengan Beberapa FaktorMisalkan a dan b bilangan real sebarang. Kemudian hitunglah (a × b)3!

(a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b)

3 faktor

= a × b × a × b × a × b= a × a × a × b × b × b

3 faktor 3 faktor

= a3 × b3

Jadi, (a × b)3 = a3 × b3.

Ayo, gunakan sifat asosiatifperkalian, yaitu a × b = b × a


Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku(a × b)n = an × bn

1. Hitunglah nilai (2a2)4!

Jawab:

(2a2)4 = 24 (a2)4 = 16a8

2. Jikaxy

= 1, x dan y bilangan real tak nol, hitunglah 3

34yx !

Jawab:

Oleh karenaxy = 1, maka

yx = 1

3

34yx =

14

3yx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 14

⋅ 13 = 14

⋅ 1 =14

Dari sifat tersebut, coba buktikan bahwa na

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=n

n

ab , b ≠ 0!

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku:na

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=n

n

ab , b ≠ 0

CONTOH

1. Sederhanakanlah setiap perkalian berikut ini!

a.34 ⋅

34 ⋅

34 = . . . . c. 4x7y7 × 4xy × 10 yx3 = . . . .

b. 2 × 32 × 5 × 32 × 22 × 52 = . . . . d. a3 × 3a2b × 3ab2 × b3 = . . . .

2. Sederhanakanlah setiap pembagian berikut ini!

a.8

4

981 = . . . . c.

4

4

42( )

xyxy = . . . .

b.( )5

4

1( 1)−−

= . . . . d.8 3 4

2 2

r s tr s t = . . . .

3. Tunjukkan bahwa untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat positif, berlaku

a−n =1na !

Asah Kompetensi 2


4. Mari sederhanakan!a. 20050 = . . . . c. (−1)−7 = . . . .

b.3

115

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . d.( )5

4

1( 1)−−

= . . . .

5. Mari sederhanakan!a. (65)−3 = . . . . c. (7−2)−1 = . . . .

b.323

5⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

= . . . . d. (y3)−1 −3

1

1y−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . .

6. Mari sederhanakan!

a. (−3a × 3b)5 = . . . . c.22 3

3 4a b⎛ ⎞⎛ ⎞× −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= . . . .

b. (x3 ⋅ y−2)4 = . . . . d.22

21 22

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

= . . . .

7. Buktikan bahwa untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku am × an = am +n!

Coba pikirkan berapa banyak angka pada hasil perkalian 21999 × 52000!

Sumber: Olimpiade Matematika tingkat Kota/ Kabupaten, 2002

Bobot soal: 6

1 ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit

1. Tuliskanlah dalam perkalian berulang!a. (−3a)5 = . . . . c. (35)4 = . . . . e. (−1)12 = . . . .

b. −3a6 = . . . . d. (a2)−7 =. . . . f.2

316

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . .

2. Tuliskan dalam bentuk pangkat!a. 4r × 3r × 2r × r = . . . .b. 9a × 6ab × 3abc = . . . .

c.1 1 1 1 12 4 8 16 32

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = . . . .

Bobot soal: 6


Bobot soal: 12

Bobot soal: 16

3. Tentukanlah nilai a, b dan c dari bentuk berikut ini!

a. 13.475 = 5a × 7b × 11c c. 75.625 = 5a × 7b × 11c

b. 15.125 = 5a × 7b × 11c d. 41.503 = 5a × 7b × 11c

Kemudian, tentukan pula FPB dan KPK dari bilangan-bilangantersebut!

4. Sederhanakanlah!

a. 9x2y-3 × y4x-1 = . . . . c. 5 3125

a b− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ × (5a5b3) = . . . .

b. −2y-2 × (−2xy−1)2 = . . . . d. 2 21 1( 3 ) ( 3 )3 3

a a b ab× − × × − = . . . .

5. Sederhanakanlah!

a.3 6 2

4

125 35

a a bab

− ×= . . . . c.

2 3 4

4 3 2

927

x y zx y z

− − −

− − −

2 3 4

4 3 2

927

x y zx y z

− − −

− − − = . . . .

b.2 6 4

4

168

a b abab

×= . . . . d.

( ) 22 2 3

4 4

3:

x y xzz yz

−−

− = . . . .

6. Untuk x dan y bilangan real tak nol, tentukanlah:

a.02 6 4

4

16 88

x y xyxy

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . . b.4 0 0 2

3 2

27 92

x y x yx y−

+= . . . .

7. Mari sederhanakan!

a.323

4

−−⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦c.

112 2

6

832 nm n

m

−− −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b. −p ( ) 33p p−−⎡ ⎤− −⎣ ⎦ = . . . . d.

44 2

6 3( )a b cab c

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= . . . .

8. Jika k = 3, l = 13− , dan m = 5, tentukanlah nilai dari:

a.( )( )

32 2 4

21 2 3

3

2

k l m

k l m

−

− − b.23 3 5

1 2 3

2 3 ( )k l l mk l m

−

− − −

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

9. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk (4r + 3)3.a. Tentukanlah volume kubus tersebut!b. Jika kubus tersebut dapat memuat 6 buah limas beraturan yang

masing-masing kongruen, tentukanlah volume limas!

10. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan olehpersamaan

R =1

41 2 3

1 1 1 RR R R

−⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Hitung nilai hambatan tersebut jika R1 = 5 Ω, R2 = 6,5 Ω, R3 = 5,5 Ω,dan R4 = 6Ω!

Bobot soal: 10

Bobot soal: 6

Bobot soal: 12

Bobot soal: 6

Bobot soal: 10

Bobot soal: 16


Gambar suasana pabrik

Untuk memahami bentuk akar, lakukanlah aktivitas berikut ini.

Produksi semen tiga segitiga memenuhi persamaanh = 5 × 2−4 × t2 × 106 di mana h dalam ton dan t bilanganbulat yang menyatakan waktu. Jika keuntunganperusahaan dinyatakan oleh u (dalam rupiah) daripersamaan

uh = 2−5 × 105

Berapakah keuntungan perusahaan tersebut selama5 tahun?

B. Bentuk Akar

1. Gambarlah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya 1 cm!

2. Ukurlah panjang sisi miringnya dengan menggunakan penggaris sentimeter. Berapasentimeterkah panjangnya? Catatlah hasil pengukuranmu!

3. Sekarang, hitunglah panjang sisi miring tersebut dengan menggunakan teorema Pythagoras.Berapa sentimeterkah panjangnya?

ktivitas di elasA K

Pada langkah ke-2 aktivitas tersebut, kamu akan mendapatkan panjangsisi miring segitiga siku-siku samakaki 1,4 cm lebih. Dengan tingkatketelitian berapapun, kamu tidak akan dapat mengukur dengan tepatpanjang sisi miring ini.

Pada langkah ke-3, dengan menggunakan teorema Pythagoras yangtelah dipelajari di SMP kelas VII, kamu akan mendapatkan panjang sisimiring tersebut 2 cm.

1 cm

1 cm

hCara memperolehnya:h2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

h = 2 cm

Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh 2 = 1,414213562…, suatu

bentuk desimal yang tidak berulang dan tanpa akhir. Bentuk seperti 2ini disebut bilangan irasional dalam bentuk akar, karena tidak dapat


Bentuk akar adalah akar pangkat m dari suatu bilangan yang bukanpangkat m sempurna.

dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat ab , b ≠ 0. Bilangan

lain yang merupakan bilangan irasional bentuk akar, di antaranya3 547 , 16 , 9 , dan 30− − , sedangkan bilangan-bilangan seperti 9 , 36 ,

3 64− dan 5 32 bukan bentuk akar karena:

• 9 3= merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat duasempurna, yaitu 9 = 32

• 36 6= merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat duasempurna, yaitu 36 = 62

• 3 64− merupakan akar pangkat tiga dari bilangan pangkat tigasempurna, yaitu -64 = (-4)3

• 5 32 2= merupakan akar pangkat lima dari bilangan pangkat limasempurna, yaitu 32 = 25

1. 15 adalah bentuk akar karena 15 bukan pangkat dua sempurna.

2. 3 27− bukan bentuk akar karena −27 merupakan pangkat tigasempurna.

3. 10 adalah bentuk akar karena 10 bukan pangkat lima sempurna.

CONTOH

Buktikan bahwa 3 merupakan bilangan irasional!

1. Sifat-Sifat Bentuk AkarUntuk setiap a, b, p, q bilangan real, m dan n bilangan asli, berlaku:

1. mn m na a= 4. .n n nab a b=

2. n np a q a+ = ( )np q a+ 5.n

nn

a ab b

= , b ≠ 0

3. n np a q a− = ( )np q a− 6. m n mna a=

Dari sifat 1 diperolehm

n m na a=

CatatanMenyederhanakan akar

dari bilangan bulat

diselesaikan dengan

cara memfaktorkan

bilangan tersebut.

Contoh:

1800

900

450

225

45

9

3 3

2

5

5

2

2

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅=

3 2 2

3 2 2

1800 2 5 3

2 2 5 32 2 5 32 5 3 230 2


Jika m = n, maka nn n na a= = a.

Nilai a ini lebih dari atau sama dengan nol untuk n bilangan genap dan semuabilangan real untuk n bilangan ganjil.

1. = ⋅ = ⋅33 3381 27 3 3 3 = 3 3 3

2. a b a a b a b a ab a− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = −5 7 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5 5 2 5 255160 ( 2) 5 ( 2) 5 2 5

3. ( ) ( ) ( )⋅ − = − = − = − ⋅ = −2

2 3 15 2 3 5 3 2 3 5 2 3 5 6 5

4. = =15 15 533

5.x y x y

x x x x xx yx y

= = = =5 5

3 222

25 255 5 5

6. 3 3.2 6x x x= =

CONTOH

1. Manakah yang merupakan bentuk akar?a. 45 e. 3 300 h. 15 1−

b. − 3 8− f. 5 16.807 i. 1,21−

c. 3 0,27 g. 0,81 j. 2.025

d. 2,25

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!a. 3 340 6 5+ f. 3 27 81− +b. 4 12 9 27+ g. 375 192 648+ −

c. 4 7 3 7 2 7x x x+ + h. ( ) ( )1 3 2 4 50 243+ − − +

d. 4 49 48 18 32− i. 2 2 49 5 12x y xy x y x+ − −

e. 29 7 10 63− j.3 5

6 2 3 23 33 127 2

x yx y x y+ −

3. Sederhanakanlah!

a. 72 e. 5 25.000 h. 3 354x y

b. 250 f. 9 2x y i. 6 53 1.458x y

c. 3 1.512 g. 16 12818

x y j. 20 1005 243x y

d. 3 80

Asah Kompetensi 3


4. Sederhanakanlah!

a.1282 f.

55 12850

xx

b.6

6

1281.458 g. 3

10 138 27xy

x y⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

c.6

2 3 h.( )2 23

5 3

x y x y

x y

d.196169 i. ( )( )3 2 23 33 3

x y

x y x xy y

−

+ − +

e. 4 0,0625 j.( )( )x y y x

x y

− +

−

Sederhanakan bentuk akar berikut ini!

1. 2 2 2 ...+ + + 3 20 20 20 ...+ + +

2. 6 6 6 ...+ + + 6 6 6 ...+ + + 4. 42 42 42 ...+ + +

2. Merasionalkan Penyebut PecahanMerasionalkan penyebut pecahan artinya mengubah bentuk akar pada

penyebut pecahan menjadi bilangan rasional. Dapat dilakukan dengan caramengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan daripenyebutnya. Bentuk-bentuk akar sekawan tersebut adalah sebagai berikut:• a sekawan dengan a• ( )a b+ sekawan dengan ( )a b−

• ( )a b+ sekawan dengan ( )a b−

Dalam buku ini hanya akan dibuktikan bahwa ( )a b+ sekawan dengan

( )a b− . Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kamu harus menunjukkan

bahwa hasil kali ( )a b+ dengan ( )a b− merupakan bilangan rasional.Bukti:

( )a b+ ( )a b− = a2 − a ( )2b a b b+ − = a2 − b

a2 − b merupakan bilangan rasional sehingga ( )a b+ sekawan dengan

( )a b− .


Asah Kompetensi 4

1.23 =

2 33 3

⋅ Perkalian dua bentuk akar sekawan

=2 3

3

2.3

4 7−− =

3 4 74 7 4 7

− +×− + Perkalian dua bentuk akar sekawan

=3(4 7 )16 7

− +−

=12 3 7 4 1 7

9 3 3− − = − −

3.23

xx

+− =

2 33 3

x xx x

+ +×− + Perkalian dua bentuk akar sekawan

=( )( )( )( )

2 3

3 3

x x

x x

+ +

− +

=( )3 2 6

3

x x

x

+ + +

−

Dengan cara yang sama, coba kamu buktikan bahwa a sekawan dengan

a dan ( )a b+ sekawan dengan ( )a b− .

CONTOH

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, nyatakan dalam bentuk sederhana!

1.810 3.

5 4811

−5.

32x 7.

7 27 2−

− 9.x yx y

+−

2.7 515−

4.2

2x

x 6.3

4 5− 8.24 2162 6 9

−− 10. 2 2

1x x y− −

Tunjukkan bahwa jika x =5 15 1

+− maka (x2 + 2

1 )x merupakan bilangan irasional!


Waktu: 60 menit

1. Gambarlah garis yang panjangnya 7 cm, 17 cm, dan 2 6 cm!

2. Kerjakan operasi hitung berikut ini!a. 2 3 192+ f. 3 12 27 48x x x x+ + +

b. 567 11 7− g. 33

9x +

3 18x

c. 125 50 175+ − h. 3 4 4 3 63 324 3 81x x y xy+ −

d. 6 54 404− + + i. 23 3 32 128 16x x x− +

e. 27 2 162− j. 25 2 126 19 336− − −

3. Kerjakanlah operasi hitung berikut ini!

a. 6 18× f.

14152435

b. 2 ( )3 3 3 6+ g.

42355615

c. ( )32 3+ h. 3

22xx

d. ( )3 32 4 3 2 16+ i.3 2

2 3

x x

x x

e. 3 52 2 2x x x j.

xy

xy

4. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini. Kemudian, nyatakanlahke dalam bentuk yang lebih sederhana!

a.3020 c.

110 4−

b.92 d.

33 2 2−

2Bobot soal: 18

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 25


ktivitas di elasA K

e.1 1

3 5 80− h.

2 22 2 3− +

−

f.21 5

2 2 2

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

i.2 3

3 3 2 2 3+

− +

g. 5 4

1x j.

4 5 27 7 2 3 7

+ −+ +

5. Aplikasi Geometri

A

D E

CB

2

3

Bobot soal: 17

Pada langkah ke−2 aktivitas di atas, dengan mencoba-coba mensubstitusinilai x, didapatkan nilai x sebagai berikut:

Pada persamaan y = 3x tersebut, kamu dapat mencoba-coba men-substitusi nilai x untuk memperoleh nilai y tertentu. Namun, tidak demikianpada langkah ke−3.

C. Logaritma

1. Tuliskan persamaan y = 3x pada bukumu!

2. Substitusilah nilai y = 1, y = 3, y = 27, dan y =13 sehingga kamu mendapatkan nilai x!

3. Sekarang, substitusilah nilai y = 4 dan y = 10. Dapatkah kamu menentukan nilai x?

y = 1

y = 3

y = 27

y = �

�

x = 0

x = 1

x = 3

x = –1

y = 3x

Pada gambar segitiga ABC di samping, panjangAE : EC = 2 : 3 . Jika DE sejajar dengan BC danluas segitiga ABC 400 cm2, hitunglah:a. Perbandingan luas segitiga ADE dengan luas

segitiga ABC.b. Luas segitiga ADE.


Pada langkah ke−3, kamu akan kesulitan jika harus mencoba-cobamensubstitusi nilai x yang memenuhi y = 3x. Untuk menyelesaikan masalahtersebut, seorang Matematikawan asal Skotlandia, John Napier telahmenemukan suatu cara yang tepat, yaitu dengan logaritma. Logaritmaditemukannya pada tahun 1614.

Untuk p > 0 dan p ≠ 1, berlaku plog a = n jika dan hanya jika pn = a,dengan p adalah bilangan pokok.a adalah numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya.(a > 0)n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p

Definisi ini sangat berguna untuk menentukan nilai x yang memenuhiy = 3x, khususnya seperti permasalahan pada langkah ke-3 aktivitas 3.Untuk y = 4, didapat 3x = 4. Akibatnya, x = 3log 4.Untuk y = 10, didapat 3x = 10. Akibatnya, x= 3log 10.

1. log 100 = 2 karena 100 = 102

2. 2log 16 = 4 karena 16 = 24

3. 3log �

� =�

�

karena �

� =�

��

4. �

�� 36 = 4 karena 36 = ( )

�

Pada contoh tersebut, kamu mudah menentukan logaritmanya karenabilangan yang kamu hadapi tergolong istimewa. Bagaimana menentukan6log 50, 9log 2, atau 27 log 11?

Untuk memudahkanmu dalam menentukan logaritma seperti itu, kamuharus mempelajari sifat-sifat berikut.

Untuk bilangan pokok positif, tidak sama dengan satu, dan numeruspositif, berlaku

1. plog (ab) = plog a + plog b

2. plogab

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = plog a − plog b

3. plog an = n ploga

4. a. plog a =��

��

�

�

�

�c. alog a = 1 e. plog 1 = 0

b. plog a =1

loga p d. alogan = n

5. plog a × alog q = plog q

6. a. ��

�

� � ��

� �

�

= b. plog a = ��

�

� �

�

7. a. ��

�

� �= b. ( ) ��

��

�

��

�� =


Pembuktian dalam buku ini hanya akan dijelaskan untuk sifat 1, 3, dan 6a.

plog (ab) ===== plog a + plog bMisalkan x = plog a maka a = px



= plog px + y

Dengan menggunakan definisi logaritma akan diperolehplog (ab) = x + y = plog a + plog b

Jadi, plog (ab) = plog a + plog b.

plog an ===== n plog a

Misalkan x = plog a maka a = px.Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan n maka

an = pxn

plog an = xn= n · plog a

Jadi, plog an = n ploga.

p log a ===== loglog

q

q

ap

Misalkan plog a = x maka a = px

Logaritma dari kedua ruas dengan bilangan pokok q adalahqlog a = qlog px

= x qlog p

Didapat, x =��

��

�

�

�

�

.

Oleh karena x = plog a, maka plog a =��

��

�

�

�

� .

=np pm ma a

nlog log

Dengan menggunakan sifat 4a dan 3, didapatkan��

��

��

�

� �

� �

� �

�

�

�

= =��

��

�

�

� �

� �= ��

��

�

�

Jadi, ��

�

� � ��

� �

�

= .

Untuk sifat lainnya, coba kamu buktikan sendiri.

Gunakan sifat perkalian bilanganberpangkat

Ayo, gunakan sifat 3

CONTOH

Pembuktian sifat 4a

Pembuktian sifat 3

1. Tulislah 7log 45 sebagai penjumlahan beberapa bentuk logaritma!

2. Tulislah 3log 12 sebagai selisih dua bentuk logaritma!3. Tulislah 9log 32 sebagai perkalian bilangan cacah dengan bentuk

logaritma!

4. Jika log 2 = a dan log 3 = b, nyatakan 27log 8 dalam a dan b!

5. 2log 3 ⋅ 3log 4 ⋅ 4log 5 = ….

Pembuktian sifat 1

Pembuktian sifat 6a


Asah Kompetensi 5

CONTOH

Jawab:

1. Soal ini termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satujawabannya adalah 7log 45 = 7log 9 + 7log 5.(Jika jenis soalnya seperti ini, mungkin jawabanmu dengan jawaban temanberbeda tetapi kedua jawaban tersebut benar.)

2. Soal ini juga termasuk soal terbuka (open ended question). Salah satujawabannya adalah 3log 12 = 3log 24 − 3log 2.

3. Oleh karena 32 = 25, maka kamu dapat menyatakan9log 32 = 9log 25 = 59log 2.

4. 27log 8 = �

� �

�� = ��

��

�

=��

��

�

�

= Ayo, gunakan sifat 6a dan 4a

5. 2log 3 ⋅ 3log 4 ⋅ 4log 5 = 2log 5 Ayo, gunakan sifat 5

1. Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!a. 9log 64 = . . . . c. 6log 126 = . . . .b. 3log 125 = . . . . d. 5log81 = . . . .

2. Sederhanakanlah!a. 2log 6 ⋅ 6log 8 ⋅ 8log 9 = . . . . c. 5log 7 ⋅ 7log 8 ⋅ 8log 10 = . . . .b. 2log 4 ⋅ 4log 3 ⋅ 3log 5 = . . . . d. 6log 2 ⋅ 2log 3 ⋅ 3log 6 = . . . .

D. Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Konsep-konsep bentuk pangkat, akar, dan logaritma sering digunakandalam kehidupan sehari-hari. Bilangan berpangkat digunakan untukmenuliskan bilangan yang sangat kecil sampai pada bilangan yang sangatbesar.

Bentuk akar dikembangkan sampai merasionalkan penyebut pecahanberbentuk akar. Sedangkan logaritma dapat digunakan untuk menentukanbesarnya gempa bumi. Lebih jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Dari seismograf diketahui suatu gempa menghasilkan 0,1 milimeter padajarak 100 km dari pusat gempa. Tentukan besarnya gempa tersebut!

Jawab:

M (x) = M (0,1)

= log 0

xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= log 0,1

0,001⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= log 1

3

1010

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= log 102 = 2

Jadi, besarnya gempa bumi tersebut adalah 2 Skala Richter.


Waktu : 60 menit

1. Tentukanlah nilai logaritma berikut. Kemudian, berikan alasannya!

a.�

�

�

��

�

= … , karena . . . . d.�

��

= …, karena . . . .

b. 5log 0,0016 = …, karena . . . . e. xlog x = …, karena . . . .c. log �� = …, karena . . . . f.

��

� = …, karena . . . .

2. Tulislah dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan beberapabentuk logaritma!a. log 57 d. 5log 36b. 9log 5 e. 2log (x3 + x2y)

c. 12log 6 f. log�

�

�

� �

3. x1 dan x2 memenuhi persamaan

(log (x − 1) ⋅ log(x + 1)) �

�� = log 10

Tentukanlah x1 ⋅ x2!

4. x1 dan x2 memenuhi persamaan

loglog

log log

x

xx x

× =

��

��

��

��

Tentukanlah

� �� !

5. Jika x dan y memenuhi persamaanxlog xy ylog xy + xlog(x − y) ylog(x − y) = 0 dan x > y > 0

tentukanlah x + y!

1. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 100xlog 0,1 = �

�

− xlog 100, tentukanlah nilai � �

��

2. Jika y1 dan y2 memenuhi persamaan y + 3log 8 = log ��

�+ , tentukanlah nilai dari (y1 + 3)(y2 + 3)!

3 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 8

Bobot soal: 13

Bobot soal: 12

Bobot soal: 18

Bobot soal: 14


6. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, nyatakanlah 12log 75 dalam a dan b!

7. Jika 2log 3 = p dan 2log 5 = q, nyatakanlah 6log 50 dalam p dan q!

8. Sederhanakanlah!

a. 2log 27 × 5log 64 × 3log�

b. ��

�� +c. 4log 12 + 2 4log 3 – 3 4log 6

9. Jika a = br, b = cs dan c = at, tentukan nilai 2r + st!

10. Jika log ab + log

ba = log (a + b) maka a2 + b2 = . . . .

1. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka:

faktor

n

n

a a a a= × × ×

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol.a. m nm na a a +× =

b. , 0m

m nn

a a aa

−= ≠

c. 0 1, 0a a= ≠

3. Sifat pemangkatan bilangan berpangkat

a. ( )m n mna a= c.n n

na ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b. ( )n n na b a b× = × d.1mma

a− =

4. Sifat-sifat bentuk akar

a.m

mn na a= d. n n nab a b= ⋅

b. ( )n n np a q a p q a+ = + e. , 0n

nn

a a bb b

= ≠

c. ( )n n np a q a p q a− = − f. m n mna a=

Bobot soal: 5

Bobot soal: 5

Bobot soal: 8

Bobot soal: 8

Bobot soal: 9

RangkumanRangkuman


5. Bentuk-bentuk akar sekawan• a sekawan dengan − a



6. Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku:log ; 0, 0 dan 1p na n p a a p p= ⇔ = > > ≠

7. Sifat-sifat logaritma

a. log ( ) log logp p pab a b= +

b. log log logp p pa a bb

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

c. log logp pna n a=

d. • log log loglog

qp pn

q

aa n a np

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

• logp ap a=

• log 1a a =

• loga na n=

• log 1 0p =

e. log log logp paa q q⋅ =

f. • log lognp pm ma a

n=

• log lognp p na a=




1. Jika 25.125 = 3x ⋅ 5y . 67z, maka nilai x, y, danz adalah . . . .a. x = 3, y = 1, z = 1b. x = 2, y = 3, z = 1c. x = 3, y = 2, z = 1d. x = 1, y = 3, z = 1e. x = 2, y = 1, z = 1

2. Jika x > 0, maka21 1 1 1

2 2 2 2x x x x− −⎛ ⎞⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= . . . .

a. ( )222

1 1xx

− d. ( )4 22

1 1x xx

− +

b. ( )42

1 1xx

− e. ( )42

1 1xx

−

c. ( )32

1 1xx

−

3. Jika n adalah bilangan cacah dan32 512n n+ = , maka n adalah . . . .

a. −1 dan 9 d. 1b. −9 e. 1 dan −9c. 9

4. Nilai x yang memenuhi 2 10 2x x+ − + > −adalah . . . .a. x > −1 d. x < −1b. x > −2 e. −1 < x < 1c. x < −2

5. 4 2 2 3( log ) log 04

x x− − = , maka x = . . . .

a. 8 atau 12 d.

12 atau 16

b. 16 atau 4 e. 8 atau 4c. 2 atau 4

6.10 log 62

21000

1000

xx

x

−

= , maka x = . . . .

a. 100 d. 103

b. 101 e. 104

c. 102

7. Jika ( )24 42 log 6 log 1 02xx ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

maka

x1 + x2 = . . . .a. 20 d. 16b. 4 e. 12c. 8

8. Nilai x yang memenuhi 8x + 1 = 24x−1

adalah . . . .a. 1 + 6 2log 3 d. 1 + 4 2log 3b. 1 − 6 3log 2 e. 1 + 6 3log 2c. 1 + 4 3log 2

9. Jika 1 < a < b dan 4a2 + b2 = 12ab, maka( )( )

2

22

log-2

a by b

++ = . . . .

a. log 4 d. log 2b. 4 e. 2c. 2log 2

10. Nilai dari

( )( )2 3 2 5 2 3 2 5− + + − + + +

adalah . . . .a. 2 3 10− d. 4 3 2 10−

b. 4 10 e. 10 2 3+

c. 2 3

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelasdan tepat!

1. Tentukanlah massa jenis rata-rata bumi jikamassa bumi 5,98 × 1024 kg dan volum1,08 × 1021 m3!

2. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan

R = (1

1R +

2

1R )−1 + R3

Jika R1 = 7,5 Ω , R2 = 5 Ω dan R3 = 6,5 Ω,maka R = . . . Ω

3. Hitunglah nilai dari 35 31 1289343 512

+ + !

4. Jika {alog (6x − 5)}(3log a) =20, tentukanlahnilai x!

5. Energi diam E sebuah proton dengan massadiam m dihubungkan oleh persamaanEinstein E = mc2, di mana c = kecepatancahaya. Jika m = 1,7 × 10−27 kg danc = 3 × 108 m/s, tentukanlah energi diamproton tersebut!

Bab 2 Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat25

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Gambar orang melempar batu ke atas

Sebuah batu yang dilempar vertikal ke atas memiliki

ketinggian h meter di atas tanah setelah t detik, dinyatakan

dengan persamaan h = 30t – 5t 2. Kapankah batu itu

berada pada ketinggian 40 m di atas tanah?

Untuk menjawabnya, kamu harus mempelajari sebuah

fungsi yang dikenal dengan nama fungsi kuadrat. Sebelum

mempelajari fungsi tersebut, kamu juga harus mempelajari

persamaan kuadrat.

Persamaan

Kuadrat dan

Fungsi Kuadrat

Persamaan

Kuadrat dan

Fungsi Kuadrat

♦ Kamu dapat menentukan akar-akar

persamaan kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan jumlah dan

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

♦ Kamu dapat menyusun persamaan

kuadrat yang akar-akarnya memenuhi

kondisi tertentu.

♦ Kamu dapat menggambarkan grafik

fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan syarat fungsi

kuadrat definit positif dan negatif.

♦ Kamu dapat menentukan akar-akar

persamaan kuadrat dengan

melengkapkan bentuk kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan sumbu

simetri, titik puncak, sifat definit positif

atau negatif fungsi kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan fungsi

kuadrat yang melalui tiga titik yang

tidak segaris.

♦ Kamu dapat menjelaskan karakteristik

masalah yang mempunyai model

matematika persamaan atau fungsi

kuadrat.

♦ Kamu dapat menentukan besaran

masalah yang dirancang sebagai

variabel persamaan atau fungsi

kuadrat.

♦ Kamu dapat merumuskan persamaan

atau fungsi kuadrat yang merupakan

model matematika dari masalah.

♦ Kamu dapat menentukan penyelesaian

dari model matematika.

♦ Kamu dapat memberikan tafsiran

terhadap solusi dari masalah.

22


Panjang suatu kandang yang berbentuk persegi panjang adalah 3 m lebihpanjang daripada lebarnya. Jika luas kandang tersebut 40 m2, berapakahukurannya?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kamu harus menggunakan rumusluas persegi panjang, yaitu L = pl. Misalkan, lebarnya x maka panjangnya x+ 3, sehingga diperoleh persamaan berikut.

(x + 3)x = 40x2 + 3x − 40 = 0

Pangkat terbesar variabel x pada persamaan tersebut adalah 2 danpangkat terkecilnya 0. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat.Persamaan kuadrat x2 + 3x − 40 = 0 telah ditulis dalam bentuk umum.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R dana ≠ 0, dengan :

• x adalah variabel• a adalah koefisien dari x2

• b adalah koefisien dari x• c adalah konstanta

Jika kamu menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, berarti kamumencari nilai variabel x yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai variabelx ini disebut akar persamaan kuadrat.

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan KuadratAda tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu

dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat, dan rumus.

a. Memfaktorkan

Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan maka kamudapat menuliskannya sebagai berikut.

ax2 + bx + c =1a (ax + p)(ax + q)

ax2 + bx + c = (x +pa )(ax + q)

ax2 + bx + c = ax2 + (p + q)x +pqa

Jadi, p + q = b dan pq = ac.

Dengan demikian, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadratax2 + bx + c = 0, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkanhasilnya b dan jika dikalikan hasilnya ac.

A. Persamaan Kuadrat

Catatan6x2–x –15 = (2x + 3) (3x –5)

Bentuk umum:

ax2 + bx+ c = (mx+ p) (nx+q)

maka: m × n = amq + np = bp × q = c

Sebaliknya,

m p n q

(2x + 3) (3x − 5)

= (2x)(3x) + (2x)(−5) + 3(3x)

+ 3(−5)

= 6x2 −10x + 9x −15

= 6x2 −x − 15

12

43

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x2 + 3x = −22. 2x2 − 5x − 12 = 0

CONTOH


Jawab:

1. Ubah persamaan x2 + 3x = −2 ke dalam bentuk umum, yaitu x2 + 3x + 2 = 0

(x + …)(x + …) = 0

(x + 1)(x + 2) = 0

x + 1 = 0 atau x + 2 = 0

x = −1 x = −2Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan x2 + 3x = −2 adalah x = −1atau x = −2.

2. Faktorkan 2x2 − 5x − 12 = 0 (x + …)(2x + …) = 0

(x − 4 )(2x + 3) = 0

x − 4 = 0 atau 2x + 3 = 0

x = 4 atau x =32

−

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 4 atau x =32

− .

b. Melengkapkan KuadratMelengkapkan bentuk kuadrat persamaan ax2 + bx + c = 0 dilakukan

dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk (x + h)2 = k, k ≥ 0.Untuk jelasnya, pelajari contoh berikut ini.

Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat berikut!

1. x(x + 2) = 1952. 2x2 − 11x + 15 = 0

Jawab:

1. x(x + 2) = 195• Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

x2 + 2x = 195• Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu

21 . 22

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

pada kedua ruas persamaan.

x2 + 2x +21 . 2

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 195 +21 . 2

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x2 + 2x + 1 = 195 + 1x2 + 2x + 1 = 196

(x + 1)2 = 196 x + 1 = ± 196

= ± 14 x = −1 + 14 atau x = −1 − 14

= 13 = −15

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 13 atau −15.

CONTOH


2. 2x2 −11x + 15 = 0• Tentukan persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan

2x2 − 11x + 15 = 0 dan koefisien x2 adalah 1.Untuk itu, bagi 2x2 − 11x + 15 = 0 dengan 2, didapat

x2 −112 x +

152 = 0

• Tambahkan 152

− pada kedua ruas persamaan.

x2 −112 x +

152 +

152

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 +152

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

x2 −112 x =

152

−

• Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu21 11.

2 2⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

pada kedua ruas persamaan.

x2 −112 x +

21 11.2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

152

− +21 11.

2 2⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x2 −112 x +

21 11.2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

152

− +12116

2114

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −

12016 +

12116

2114

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=

116

x −114 = ±

116

x −114 = ±

14

x =114 +

14 =

12 34

=

atau x =114 −

14 =

10 124 2

=

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah x = 122

atau 3.

c. RumusRumus untuk menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

diperoleh melalui langkah-langkah yang sama seperti menentukan akarpersamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat. Langkah-langkahtersebut adalah sebagai berikut:• Bagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, didapat x2 +

ba x +

ca = 0.

• Tambahkan kedua ruas dengan −ca .


Didapat, x2 +ba x +

ca +

ca

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 +ca

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

x2 +ba x = −

ca

• Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu21

2ba

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ .

x2 +ba x +

212

ba

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠= −

ca +

212

ba

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

212

bxa

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠=

212

ba

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠−

ca

212

bxa

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠=

2

24ba

−ca

212

bxa

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠=

2

24ba

− 244

aca

• Tentukan akar kuadrat dari kedua ruas sehingga diperoleh nilai x.

12

bxa

+ =2

2

44

b aca

−±

x = 2ba

− ± 12a

2 4b ac−

x =2 4

2b b ac

a− ± −

Dari rumus akar persamaan kuadrat tersebut, tentukanlah rumus untukx1+x2 dan x1x2.

x1 + x2 =2 4

2b b ac

a− + − +

2 42

b b aca

− − −

= 2b b

a− −

= 22

ba

−

=ba

−

Jadi, x1 + x2 =ba

− .

Rumus umum menentukan akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0;

a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 adalah 2

14

2b b acx

a− + −= atau

2

24

2b b acx

a− − −=


x1x2 =2 4

2b b ac

a− + −

×2 4

2b b ac

a− − −

=( ) ( )

( )

22 2

2

4

2

b b ac

a

− − −

=( )2 2

2

44

b b aca

− −

= 244

aca

=ca

Jadi, x1 x2 =ca .

Perhatikan kembali rumus akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu2

14

2b b acx

a− + −= atau

2

24

2b b acx

a− − −=

Jenis kedua akar tersebut bergantung dari nilai b2 − 4ac yang ada di bawahtanda akar. Nilai b2 − 4ac disebut diskriminan, dilambangkan dengan D.Diskriminan berarti membedakan jenis akar.

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R

dan a ≠ 0 maka jumlah akar-akar tersebut adalah x1+ x2 = − ba

dan hasil

kalinya adalah x1 x2 =ca .

CONTOH Dari persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0 tentukanlah:

a. jenis akarnyab. akar-akar tersebutc. x1 + x2, x1x2, x1

2+ x22,

1 2

1 1x x

+ dan x1 − x2

D kuadrat sempurna

D bukan kuadrat sempurna

mempunyai dua akar yang sama

Dua akar bilangan real dan rasional

Dua akar bilangan real dan irasional

Tidak mempunyai akar bilangan real

D = 0

D > 0

D < 0


Jawab:a. Diskriminan persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0 adalah

D = (−5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2

= 25 − 24

= 1Berarti D > 0 maka merupakan kuadrat sempurna.Sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akarbilangan real dan rasional yang berbeda.

b. Pada persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 2 = 0, diketahui a = 3, b = −5,dan c = 2. Dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat,maka akan diperoleh nilai x1 dan x2 sebagai berikut.

1,2( 5) 1 5 1

2 2 3 6b D

xa

− ± − − ± ±= = =

⋅

Jadi, nilai x1 = 1 dan x2 = 4 26 3

= .

c. Dengan menggunakan rumus.

• x1 + x2 =ba

− =( 5) 5

3 3−

− =

• x1 x2 =ca = 2

3

• (x1 + x2)2 = x1

2 + 2x1x2+ x22

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2

=25 22

3 3⎛ ⎞ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 259

− 43

= 259

− 129

=139

•1 2

1 1x x

+ =2 1 1 2

1 2 1 2

x x x xx x x x

+ +=

55 33

2 3 23

52

= ⋅

=

• (x1 − x2)2 = x1

2 − 2x1x2 + x22

= x12 + x2

2 − 2x1x2

=139 − 2 ·

23

=1 3 1 29 9

− = 19

x1 − x2 = 19

±

x1 - x2 =13

±

Jadi, x1 − x2 = 13 atau x1 - x2 = −

13

Gunakan sifat komutatifpenjumlahan, yaitu x2 + x1 = x1 + x2

Gunakan sifat komutatifpenjumlahan, yaitu- 2x1x2 + x2

2 = x22 - 2x1x2


Asah Kompetensi 11. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.

Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan cara memfaktorkan!

a. x2 − 7x − 30 = 0 e. 3x2 = 7 − 4xb. y2 − 6y − 16 = 0 f. 2y2 −( − y ) = 0c. z2 − 12z + 36 = 0 g. −8z − 30 + 5z2 = 0d. p2 + 7 = 4p h. (2p + 1)(5p − 4) − (3p −2)2 = 0

2. Dengan menggunakan diskriminan, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.Kemudian, tentukanlah akar-akar tersebut dengan cara melengkapkan kuadrat!

a. 2x2 − 2x − 1 = 0 e. 3x2 − 4 = (x + 1)2

b. 3y2 − 6y + 1 = 0 f.13 (y − 1) = y2

c. 5p2 − 5p + 2 = 0 g. (p + 1)(2p − 1) = y + 2

d. − h + 4 = 0 h.21 2

4 6y y− +

=

3. Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.Kemudian, tentukan akar-akar tersebut dengan menggunakan rumus!a. 5x2 − 16x + 2 = 0 c. (x − 1)(x + 1) = 20

b. y2 + 5y − 24 = 0 d.4 4 104 4 3

y yy y

+ −+ =

− +

e. (z − 1)(z − 1) = 12 g. 2 + 27 4z z

=

f. (p − 1)2 − 2p = 0 h.1 1 1 0

1 2 3x x x+ + =

− − −

4. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 − 3ax + 5(a − 3) = 0 adalah x1 dan x2.Jika x1

3 + x23 = 117, tentukanlah nilai a2 + a!

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dan 1 +1 2

1 1x x

+ = 0, buktikan

bahwa b = c!

6. Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 2x + m = 0 adalah x1 dan x2.

Jika1 22 2

2 1

119

x xx x

+ = − , tentukanlah nilai m!

7. Selisih akar-akar persamaan x2 − nx + 24 = 0 adalah 5. Tentukanlah jumlah akar-akarpersamaan tersebut! UMPTN 1994*

8. Tentukanlah nilai ab jika a dan b merupakan akar-akar real persamaan

x2 + x = 22

1x x+ + ! Olimpiade Matematika SMU*


Nini Sentera dan Cendikia mencoba mencari akar-akarpersamaan kuadrat. Saat mengerjakannya, Cendikiamelakukan kesalahan ketika menyalin konstanta persamaankuadrat itu. Ia pun mendapatkan akar persamaan kuadrat 2dan 8. Sedangkan Nini Sentera melakukan kesalahan ketikamenyalin koefisien x sehingga mendapatkan akar −9 dan −1.Coba cari akar persamaan kuadrat yang benar. Tentukan pulapersamaan kuadratnya!

Persaman kuadrat(2x + 3)(3x − 5) dapatdibentuk denganmen-galikan (2x + 3)dan (3x − 5)

2x + 33x − 5--–––––––––––×

−10x − 15 6x2 + 9x--–––––––––––--––– × 6x2 − x − 15

2. Membentuk Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat dapat dibentuk apabila diketahui nilai akar-akarnya atau nilai akar-akar persamaan kuadratnya berelasi dengan akar-akar persamaan kuadrat lain.

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui jika akar-akarpersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 maka kamu dapatmenyatakan persamaan kuadrat itu sebagai a(x − x1)(x − x2) = 0.

Sekarang, pernyataan tersebut dibalik, jika kamu mengetahui akar-akarpersamaan kuadrat maka kamu dapat menyusun persamaan kuadrattersebut melalui persamaan berikut.

a(x − x1)(x − x2) = 0 ⇔ a(x2 − (x1 + x2)x + x1x2) = 0

CONTOH

1. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5!

2. Bentuklah persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya −16 dan hasilkali akarnya 63!

3. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x − 1 = 0. Bentuklahpersamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1

2 + x22!

Jawab:

1. Akar-akar persamaan kuadrat tersebut x1 = 2 dan x2 = 5.a(x − 2)(x − 5) = 0a(x2 − 7x + 10) = 0Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 − 7x + 10 = 0.

2. x1 + x2 = −16 dan x1x2 = 63.a(x2 − (−16)x + 63) = 0a(x2 + 16x + 63) = 0Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 + 16x + 63 = 0.


3. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x − 1 = 0,

berarti x1 + x2 =6 32

− = − dan x1 x2 =12

− .

x12 + x2

2 diperoleh dengan cara berikut:(x1 + x2)

2 = x12 + 2x1x2 + x2

2

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2

= (−3)2 − 2.12

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= 9 + 1= 10

Persamaan kuadrat yang akan dibentuk memiliki akar-akarx1 + x2 = −3 dan x1

2 + x22 = 10, adalah:

a(x − (x1 + x2 ))(x – (x12 + x2

2 )) = 0a(x − (−3))(x − 10) = 0a(x2 − 7x − 30) = 0

Pilih a = 1 sehingga didapat persamaan kuadrat x2 − 7x − 30 = 0.

Asah Kompetensi 21. Bentuklah persamaan kuadrat dengan ketentuan sebagai berikut.

a. Akar-akarnya adalah 122 dan

112

− .

b. Akar-akarnya adalah 3 152

+ dan 3 152

−

c. Jumlah dan hasil kali akar-akarnya berturut-turut 213 dan

13 .

d. Hasil kali dan jumlah kuadrat akar-akarnya berturut-turut74

− dan252 .

e. Kebalikan akar-akarnya adalah 3 1 72 2

− dan 3 1 72 2

+

2. Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadratx2 + 8x + 10 = 0! (UMPTN1996)*

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + ax + 1 = 0 adalah m dan n. Bentuklah persamaan kuadrat

yang akar-akarnya 3 3m n

+ dan m3 + n3! (UMPTN 1998)*

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Bentuklah persamaan kuadrat

yang akar-akarnya 2 21 2

1 1x x

+ dan 1 2

2 1

x xx x

+ !

5. Persamaan kuadrat 3x2 − (a − 1)x − 1 = 0 mempunyai akar-akar m dan n, sedangkan persamaan

kuadrat yang akar-akarnya1m dan

1n adalah x2 − (2b + 1)x + b = 0. Tentukanlah 2a + b!

(UMPTN 2001)*


3. Aplikasi Persamaan Kuadrat

Bu Cindy akan membuat taman seluas 36 m2 di halaman rumahnya. Disekeliling taman itu, ia ingin membuat jalan yang lebarnya sama. Jika tanahdi halaman rumahnya itu berukuran 10 m × 5 m, berapakah lebar jalan yangakan dibuatnya?

Misalkan lebar jalan tersebut x, maka persoalan ini dapat digambarkanseperti berikut.Perhatikan sketsa taman di atas!

10 − 2x

5 − 2xTaman

x x

xx

x x

xx

Gunakan cara memfaktorkan

Panjang taman (10 − 2x) m dan lebarnya (5 − 2x) m.Luas taman adalah (10 − 2x)(5 − 2x) m2.Karena luas taman 36 m2, maka akan diperoleh persamaan berikut.(10 − 2x)(5 − 2x) = 3650 − 30x + 4x2 = 364x2 − 30x + 14 = 02x2 − 15x + 7 = 0(2x − 1)(x – 7) = 0

x =12 atau x = 7

Jika x = 7 maka panjang taman adalah 10 − 2 ⋅ 7 = −4 < 0.Berarti, x = 7 bukan penyelesaian.

Jika x =12 maka panjang taman adalah 10 − 2

12 = 9 > 0 dan lebar taman

adalah 5 − 212 = 4 > 0.

Berarti, x =12 merupakan penyelesaian.

Jadi, lebar jalan di sekeliling taman yang akan dibuat Bu Cindy adalah 12 m.


Mari kerjakan soal-soal cerita berikut!

1. Di halaman sebuah gedung yang berukuran 80 m × 60 makan dibuat taman yang luasnya seperenam kali luashalaman gedung. Di sekeliling taman tersebut harusdisediakan tempat parkir yang lebarnya sama.Tentukanlah lebar tempat parkir tersebut!

2. Nicky Sentera dan Claudia membutuhkan waktu 4 jamuntuk mengetik sebuah naskah cerpen bersama-sama. JikaNicky Sentera dan Claudia mengetik sendiri-sendirinaskah tersebut maka Claudia akan lebih lama 6 jamdibandingkan Nicky Sentera. Berapa lamakah waktu yangdibutuhkan Claudia jika ia mengetik sendiri naskah cerpentersebut?

3. Sekelompok siswa sepakat untuk membeli satu unitkomputer seharga Rp6.120.000,00 dengan carapatungan(membagi rata pembayaran). Setelah masing-masing membayar, mereka baru menyadari ada tigatemannya yang harusnya ikut bergabung. Jika ketigateman tersebut ikut maka masing-masing akan membayarRp340.000,00 kurang dari yang telah mereka bayar.Tentukanlah banyak siswa yang berencana membelikomputer tersebut!

4. Niko Sentera membengkokkan sepotong kawat yangpanjangnya 56 cm untuk membuat sebuah persegi panjangyang luasnya 171 cm2. Tentukanlah ukuran persegipanjang yang dibuat Niko Sentera tersebut!

Asah Kompetensi 3


Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 301. Dengan menggunakan diskriminan, tentukanlah jenis akar-akar

persamaan kuadrat berikut. Kemudian, tentukan pula akar-akar itudengan cara yang menurutmu paling mudah!

a. 5x2 + 15x + 1 = 0 f. 5x(x + 1) = −2b. 2a2 + 3a − 2 = 0 g. (3t + 2)(4t − 3) − 10t(t + 1) = 0c. t2 − 7t + 15 = 0 h. (2k − 3)(3k + 1) − 2k2 + 22k = 0

d. 3m2 − 2m − 4 = 0 i. 2

2 45 03 3 4( 9)

x xx x x

+ − =+ − −

e. 176 − 3y − 35y2 = 0 j.( ) ( )2 23 11 2 60

365 7

x x− −− =

2. m dan n akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + ax + b = 0. Jika m2 + 21

n = 7,

tentukanlah nilai a dan b!

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + px + q = 0, tentukanlah2

1 2

1 1x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ !

4. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + (p −1)x − (4 − 5p) = 0,x ∈ R. tentukanlah x1

100 + x2100!

5. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0, tentukanlah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2

1 2

1 1x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ dan

2

11x + !

6. Diketahui a = 2,545454… dan b = 0,636363…. Tentukanlah persamaan

kuadrat yang akar-akarnyaab dan

ba !

7. p dan q akar-akar persamaan kuadrat 2x2 − 6x + c = 0. Jika p2 − q2 = 15,tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + q) dan(p − q)!

8. Sebuah segitiga memiliki luas 40 cm2. Jika alasnya 2 cm lebih panjangdaripada tingginya, berapakah ukuran segitiga tersebut?

ASAH KEMAMPUAN1


1. Menggambar Grafik Fungsi KuadratSebuah peluru ditembakkan ke atas sehingga ke- tinggiannya setelah x

detik dinyatakan dengan fungsi h(x) = 50x − 5x2. Bagaimanakah bentuklintasan gerak peluru tersebut? Ceritakan pula tentang gerak peluru itu?Untuk itu, kamu harus menggambar grafik fungsi h(x) = 50x − 5x2.

Sebelum kamu menggambarnya, pelajari dulu langkah-langkah untukmenggambar grafik fungsi kuadrat secara umum, yaitu grafik fungsif(x) = ax2 + bx + c.

a. Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu y.Syaratnya, x = 0 sehingga f(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c

= cJadi, titik potong terhadap sumbu y adalah (0,c).

b. Tentukan titik potong grafik terhadap sumbu x.Syaratnya, f(x) = 0 sehingga ax2 + bx + c = 0.Nilai x yang memenuhi merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0. Kamu akan memperoleh nilai x dengan menggunakan caramemfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat, ataupun dengan rumusyang telah kamu pelajari pada subbab A. Misalkan, nilai x yang diperolehadalah x1 dan x2, maka titik potong terhadap sumbu −x adalah (x1, 0)dan (x2, 0).

c. Perhatikan koefisien x2, yaitu a.Jika a > 0 maka grafik fungsi terbuka ke atas.Jika a < 0 maka grafik fungsi terbuka ke bawah.

d. Tentukan nilai diskriminannya (D).Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu −x.Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu –x pada dua titik.Jika D < 0 maka grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu −x.Koefisien x2 dan diskriminan ini menentukan posisi grafik fungsif(x) = ax2 + bx + c pada bidang koordinat.

• a > 0 dan D = 0 • a < 0 dan D = 0

• a > 0 dan D > 0 • a < 0 dan D > 0

• a > 0 dan D < 0 • a < 0 dan D < 0

B. Fungsi Kuadrat

xx1 = x2

xx1 = x2

xx1 x2

x1 x2 x

x

x


Untuk a > 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di atas sumbu -x.Dikatakan, fungsi f(x) definit positif. Artinya, selalu bernilai positif.

Untuk a < 0 dan D < 0, grafik seluruhnya berada di bawah sumbu-x.Dikatakan, fungsi f(x) definit negatif. Artinya, selalu bernilai negatif.

e. Tentukan koordinat titik balik, yaitu menentukan titik maksimum atauminimum fungsi. Caranya sebagai berikut.Dengan melengkapkan kuadrat, kamu dapat menyatakan fungsif(x) = ax2 + bx + c dalam bentuk lain, yaitu:

ax2 + bx + c = a(x2 +ba x) + c

= a2 2

22 4b bxa a

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞+ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭+ c

= a2

2bxa

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠−

2

4b

a + c

= a2

2bxa

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠+

2 44

b aca

−−

= a2

2bxa

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠+ 4

Da−

x = 2ba

− merupakan persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi f(x),

sedangkan 4D

a− merupakan nilai maksimum atau minimum dari fungsi

f(x).

Jadi, koordinat titik balik fungsi f(x) adalah ,2 4b Da a

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Sekarang, kamu akan menggambar grafik fungsi h(x) = 50x − 5x2.• Titik potong dengan sumbu-h, syaratnya x = 0 sehingga h(0) = 0.

Jadi, titik potong dengan sumbu-h adalah (0,0)• Titik potong dengan sumbu-x, syaratnya h(x) = 0

Gunakan cara memfaktorkan:50x − 5x2 = 0

5x(10 − x) = 05x = 0 atau 10 − x = 0x1 = 0 atau x2 = 10

Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (0, 0) dan (10, 0).• Koefisien x2 pada fungsi h(x) adalah a = −5

Karena a < 0 maka grafik terbuka ke bawah. Akibatnya, titik balik fungsimerupakan titik balik maksimum.

• Persamaan sumbu simetri fungsi h(x) adalah

x =50 50 5

2.( 5) 10− = =

−

Jadi, sumbu simetri fungsi h(x) adalah garis x = 5.Nilai maksimum fungsi adalah

hmaksimum =250 4 ( 5) 0 2500 125

4 ( 5) 20⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − −⎝ ⎠⎝ ⎠

Ingat

D = b2 – 4ac

Titik balikmaksimum

Sumbusimetri x = 5

h(5,125)

125

0 5 10 x


CONTOH

Asah Kompetensi 4

Dengan demikian, titik balik maksimum fungsi h(x) adalah (5,125).

Dari grafik tersebut, kamu dapat mengetahui hal-hal berikut.• Grafik berbentuk parabola sehingga lintasan gerak peluru berbentuk

parabola.• Titik puncak grafik (5,125). Berarti, peluru mencapai ketinggian

maksimum 125 m pada saat 5 detik setelah ditembakan.• Titik potong terhadap sumbu-x adalah (0,0) dan (10,0). Berarti, peluru

mencapai tanah 10 detik setelah ditembakkan.

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut!

a. f(x) = x2− 5x + 6 k. f(z) = −12

z (z − 3)

b. f(x) = x2 + 6x − 5 l. f(m) = 2m2 − 8m + 1c. g(x) = 3x + x2 + 10 m. g(n) = 1 − 12n + 3n2

d. f(y) = 2y2 + y − 10 n. h(x) = 2x2 − 6x + 4

e. h(t) = (3 + 2t)(2t + 1) o. f(x) = − 2 2 x2+ 2 x − 2

f. f(t) = t − 4 + 3t2 p. g(n) = 2 n2 + 3g. f(z) = 4z2 − 7z – 2 q. h(t) = −2t2 − 8t + 18h. h(x) = (x − 2)2 + (x − 2) + 2 r. f(y) = 18 − 3y − y2

i. g(t) = 1 + 5t + 4t2 s. h(n) = n2 + 2n + 8

2. Berikan contoh fungsi kuadrat yang definit positif dan definit negatif. Kemudian gambarkangrafiknya!

2. Menentukan Fungsi KuadratUntuk menentukan suatu fungsi kuadrat, kamu harus memperhatikan

hal-hal berikut.a. Jika diketahui titik potong terhadap sumbu−x, misalnya (x1,0) dan (x2,0),

maka fungsi kuadratnya adalah f(x) = a(x − x1)(x – x2).b. Jika diketahui titik balik fungsi, misalnya (h,k), maka fungsi kuadratnya

adalah f(x) = a(x − h)2 + k.c. Jika diketahui tiga titik yang dilalui grafik, maka fungsi kuadratnya

adalah f(x) = ax2 + bx + c.

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x padatitik (0,0) dan (4,0) serta melalui titik (1,3)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x padatitik (0,0) dan (4,0) itu adalah f(x) = ax(x − 4).Karena grafik f(x) melalui titik (1, 3) maka

3 = a ⋅ 1 ⋅ (1 − 4)

Diperoleh a = 33

− = −1


Dengan mensubstitusi nilai a ke fungsi f(x), akan diperolehf(x) = −x(x − 4)

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = −x(x − 4).

2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0,−35) danmempunyai titik balik (4,−3)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f(x) = a(x − h)2 + k dengan koordinattitik balik (h,k) = (4, −3).Fungsi itu adalah f(x) = a(x – 4)2 − 3.Grafik fungsi f(x) melalui titik (0, −35), sehingga diperoleh nilai a.a(0 − 4)2 − 3 = −35

(−4)2a − 3 = −3516a = −32

a = −2Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = −2(x − 4)2 − 3.

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0,6), (2,13), dan(−1,−2)!

Jawab:

Misalkan, fungsi kuadrat tersebut f(x) = ax2 + bx + c.Grafik melalui titik (0,6), didapat c = 6 …… (a)Grafik melalui titik (2,13), didapat 4a + 2b + c = 13 …… (b)Grafik melalui titik (−1,−2), didapat a − b + c = −2 …… (c)

Substitusi persamaan (a) ke persamaan (b), didapat4a + 2b + 6 = 13

4a + 2b = 7 …… (d)Substitusi persamaan (a) ke persamaan (c), didapata − b + 6 = −2

a − b = −8 a = b − 8 …… (e)

Substitusi persamaan (e) ke persamaan (d), didapat4(b − 8) + 2b = 74b − 32 + 2b = 7

6b = 39

b =39 136 2

= …… (f)

Substitusi persamaan (f) ke persamaan (e), didapat

a =132 − 8

=132 −

162

=32

−

Sekarang, substitusilah nilai a, b, dan c yang telah didapat pada fungsif(x) = ax2 + bx + c


Asah Kompetensi 5

Sehingga kamu memperoleh fungsi kuadrat:

f(x) =32

− x2 32

− x + 6

1. Titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) adalah (3,19). Jika fungsi f(x) dinyatakan sebagaif(x) = −x2 + px + q, tentukanlah fungsi f(x) tersebut!

2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x pada titik (−1,0) dan mempunyaititik balik (1,4)!

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x pada titik (−1,0) dan (5,0) sertamempunyai nilai minimum −4!

4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu−x pada titik (12 ,0) dan (1,0) serta

melalui titik ( 45 ,2)!

5. Tentukanlah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik berikut!a. (−3,6), (1,−6), dan (−1,−4)b. (−2,9), (−1,4), dan (5,16)c. (4,24), (1,6), dan (−4,16)d. (0,−15), (4,33), dan (1,−15)e. (−4,−3), (0,5), dan (4,13)

3. Aplikasi Fungsi Kuadrat

Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa masalah aplikasi yangdapat diubah menjadi model matematika dengan persamaan kuadrat.Untuk lebih jelas, pelajarilah contoh berikut.

CONTOH Tentukanlah hasil kali maksimum dari dua bilangan yang jumlahnya 50!

Jawab:

Misalkan dua bilangan tersebut adalah x dan y, maka x + y = 50.Sehingga diperoleh y = 50 − x.Misalkan pula, hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan denganfungsi f(x), maka f(x) = xy

= x(50 – x)= 50x − x2

Supaya diperoleh hasil kali sebesar-besarnya, kamu harus menentukan

sumbu simetri fungsi f(x), yaitu x = 2ba

−


Asah Kompetensi 61. Jika sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 50 cm dan kelilingnya 112 cm, tentukanlah

panjang sisi siku-sikunya!

2. Dua buah roda berputar, dan setiap menit sebuah roda melakukan 1 putaran lebih banyakdaripada yang lainnya. Jika roda yang lebih kecil memerlukan waktu 1 detik lebih cepat

daripada roda yang lebih besar untuk melakukan 14 putaran, berapa banyaknya putaran

yang dilakukan tiap roda dalam 1 menit?Petunjuk : Kelajuan roda besar = x putaran/menit

Kelajuan roda kecil = (x + 1) putaran/menit

3. Jumlah kuadrat sebuah bilangan dan bilangan lain yang dua lebih besar daripada bilangantersebut adalah 36. Tentukanlah bilangan tersebut!

x =50

2( 1)−

−

= 25Substitusi nilai x = 25 ke persamaan y = 50 − x

y = 50 − 25= 25

Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 25.

2 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 10

Bobot soal: 60

Waktu: 120 menit

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut.a. f(x) = x2 + 4

b. f(x) = 2 − 3x − x2

c. g(z) = z + z2 − 3

d. g(h) = 25 + 4h2 − 3

e. g(m) = −3 + 2m − m2

f. h(r) = 1 − (2 − r)2

2. Fungsi f(x) mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu-ypada titik yang berordinat 25. Jika fungsi f(x) dinyatakan denganf(x) = (x − 2a)2 + 3b, tentukanlah fungsi f(x) tersebut!


3. Tentukan titik balik fungsi f(x) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan(7,40) serta mempunyai persamaan sumbu simetri x = 1!

4. Tentukanlah batas nilai m agar grafik fungsi f(x) = mx2 + (2m − 1)x + m − 2definit negatif!

5. Sebuah pintu berbentuk parabola terbuka ke bawah. Titik tertinggipintu tersebut terletak 2 m di atas lantai, sedangkan lebarnya di lantai1,5 m. Tentukanlah fungsi yang menyatakan bingkai pintu tersebut!

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

1. Bentuk umum persamaan kuadrat+ + = ∈ ≠2 0 ; , , dan 0ax bx c a b c R a

2. Rumus menentukan akar persamaan kuadrat + + = ∈ ≠2 0 ; , , dan 0ax bx c a b c R a adalah

2

1,2

4 Rumus

2b b ac

x abca

− ± −= ⇒

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat + + = ∈ ≠2 0 ; , , dan 0ax bx c a b c R a maka

• Jumlah akar-akar : 1 2bx xa

+ = −

• Hasil kali : 1 2cx xa

⋅ =

4. Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan diskriminan Da. D = 0 ⇒ memiliki dua akar yang sama dan realb. > ⇒ ≠1 20 memiliki dua akar bilangan real yang berbeda ( )D x x

c. 0 tidak memiliki akar bilangan real D < ⇒5. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalah:

21 2 1 2 1 2( )( ) 0 ( ( ) ) 0a x x x x a x x x x x x− − = ⇔ − + + =

6. Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsia. Tentukan titik potong terhadap sumbu-xb. Tentukan titik potong terhadap sumbu-yc. Perhatikan koefisien x2, yaitu a.

• 0 : Grafik terbuka ke atasa >

• 0 : Grafik terbuka ke bawaha <d. Menentukan nilai diskriminan D

• 0 : Grafik menyinggung sumbu-D x=

• 0 : Grafik memotong sumbu- pada dua titikD x>

• 0 : Grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu-D x<

RangkumanRangkuman



1. Jika a dan b adalah akar-akar persamaankuadrat x2 + 4x − 2 = 0, maka persamaankuadrat yang akar-akarnya a2b dan ab2

adalah . . . .a. x2 − 8x + 6 = 0 d. x2 − 6x + 6 = 0b. x2 − 8x − 8 = 0 e. x2 − 6x + 8 = 0c. x2 − 6x − 6 = 0

2. Akar-akar persamaan kuadratx2 + 6x + c = 0 adalah x, dan x2. u dan vadalah akar-akar persamaan kuadaratx2 + (x1

2 + x22)x + 4 = 0. Jika uv = −u−v, maka

x1x23 + x1

3x2 = . . . .a. −64 d. 64b. 16 e. −16c. 4

3. Jika x adalah bilangan asli dan2x2 − 3x − 5 = 0, maka x = . . . .

a. a dan 2 12 d. 1

b. 2 12 e. −16

c. 16

4. Grafik di bawah ini berbentuk paraboladengan persamaan . . . .a. y = −x2 − 4x + 3 d. y = x2 − 4x + 3b. y = −x2 − 4x − 3 e. y = x2 + 4x − 3c. y = x2 + 4x + 3

5. Bentuk pemfaktoran dari persamaan kuadrat(4x + 1)2 = x(8x − 1) adalah . . . .a. (4x + 1(x + 1) d. (x − 1)(4x + 1)b. (x − 1)(8x + 1) e. (8x + 1)(x + 1)c. (x + 1)(4x − 1)

6. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akarpersamaan kuadrat 3x2 + 6x + 2 = 0 maka(x1

2 − x22) + x1

2 + x22 = . . . .

a. 323 d. 4

b. 233 e. 8

c. 22

7. Jika akar-akar persamaan 3x2 + 8x + 4 = 0adalah p dan q, maka persamaan kuadratyang mempunyai akar-akar p2 dan q2

adalah . . . .a. 9x2 −40x + 16 = 0b. 3x2 + 40x + 4 = 0c. 9x2 − 64x + 16 = 0d. 9x2 + 64x + 16 = 0e. 3x2 − 40x − 4 = 0

8. Akar-akar positif dari(m + 3)x2 + 2(m − 7)x + m − 3 = 0adalah . . . . .a. −3 < m < 3 d. −3 < m < 7

b. 3 < m < 297 e. −7 < m < 3

c. −3 < m < −7

9. Grafik suatu fungsi kuadrat memotongsumbu-x di titik A(−1, 0), B(4, 0) dan memo–tong sumbu-y di titik C(0, 8). Persamaangrafik fungsi tersebut adalah . . . .a. y = 2x2 + 10x + 8b. y = −2x2 − 10x + 8c. y = −2x2 + 4x + 8d. y = −2x2 + 6x + 8e. y = 2x2 − 10x − 8

y

xO 1 2 3 4

4321

−1−2



10. Luas suatu bidang dibatasi oleh kurvay = x2 −5x + 6 dan sumbu-x adalah . . . .

a. 12

− d. 16

b. 13

− e. 13

c. 16

−


1. Etrick akan membuat sebuah kotak yangalasnya berupa bujur sangkar dan volumenya187,5 cm3. Biaya bahan untuk pembuatanalas kotak adalah Rp500,00/cm2, untukbagian atasnya Rp700,00/cm2, dan untukbagian sisinya Rp400,00/cm2. Berapakahukuran yang harus ia buat agar biayapembuatan kotak sekecil mungkin?

2. Seekor semut merayap pada bidang XOYsampai berada di titik (x, y) dengan

x = 12 (t + 1) dan y = t2 + 2. Jika lintasan

semut itu membentuk kurva, berapakahpanjang lintasan yang ditempuh padasaat t?

3. Sebuah jendela berbentuk parabola terbukake bawah. Tinggi jendela terbuka ke bawah.Tinggi jendela tersebut 1 m dan lebarnya 0,75m. Tentukanlah fungsi yang menyatakanbingkai jendela tersebut!

4. Sebuah triplek berbentuk segitiga siku-siku.Jika sisi miring triplek adalah 61 cm dankelilingnya 132 cm, tentukanlah panjang sisisiku-siku triplek tersebut!

5. Rita akan membuat sebuah taplak meja yangberbentuk persegi panjang. Jika penjumlahanpanjang dan lebar taplak meja tersebut150 cm, berapakah luas maksimum taplakmeja?

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Mr. Delon, seorang pedagang buah. Ia menjual 2 kg melon

dan 3 kg semangka dengan harga Rp37.000,00. Kemudian,

ia juga menjual 3 kg melon dan 2 kg semangka ini dengan

harga Rp38.000,00. Berapakah harga melon dan semangka

tersebut perkilogramnya? Masalah ini adalah salah satu

masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

sistem persamaan linear. Untuk lebih jelas mengenai sistem

persamaan linear ini dan penerapannya, pelajarilah bab

berikut dengan baik.

Gambar Pak Delon menjualmelon dan semangka(cari di majalah)

Sistem Persamaan

Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan

Linear dan Kuadrat

♦ Kamu dapat menjelaskan arti

penyelesaian suatu sistem persamaan.


sistem persamaan linear dua variabel.


geometri dari penyelesaian sistem

persamaan linear dua variabel.


sistem persamaan linear tiga variabel.


sistem persamaan linear kuadrat dua

variabel.


masalah yang model matematikanya

sistem persamaan linear.


dalam masalah yang dirancang

sebagai variabel sistem persamaan

linear.

♦ Kamu dapat merumuskan sistem

persamaan linear yang merupakan

model matematika dari masalah.





33


A. Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Dua VariabelDi kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear seperti

berikut:a. x − y = 1b. x + y = 3

Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuahsistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistempersamaan tersebut.

Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y,sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentukumum sistem persamaan linear dua variabel:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real.Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakan

empat cara, yaitu:a. Metode Grafikb. Metode Substitusic. Metode Eliminasid. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

a. Metode GrafikDi kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaan

linear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakankemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

1. Gambarlah garis x − 3y = −3 dan x + y = 1 pada satu sistem koordinat!2. Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah

titik potongnya!

3. Gambarkan pula garis x + y = −1 dan x + y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain.


5. Sekarang, gambarlah garis x − y = 1 dan 3x − 3y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain!


ktivitas di elasA K

Bab 3 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat49

Kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik, yaitu titik (0,1). Inimenunjukkan bahwa sistem persamaan linear tersebut memiliki tepat satupenyelesaian.Sekarang, amati grafik yang digambar pada langkah 3 dan langkah 5!

Gambar grafik pada langkah 1

Gambar grafik pada langkah 3 Gambar grafik pada langkah 5

x − y = 1

3x − 3y = 3

x + y = 1 x + y = 3

Pada langkah 3, kedua garis yangdigambar akan sejajar satu sama lainsehingga menyebabkan sistem persamaan linear tersebut tidak memilikipenyelesaian.

Sedangkan, pada langkah 5, kedua garis tersebut berimpit sehinggamenyebabkan sistem persamaan linear tersebut memiliki tak berhinggapenyelesaian.

Aktivitasmu ini menggambarkan tiga kemungkinan penyelesaian sistempersamaan linear dua variabel, yaitu sebagai berikut:• Sistem persamaan linear dua variabel memiliki tepat satu penyelesaian.

Kamu telah mengetahui bahwa dua garis akan berpotongan dalam satusumbu koordinat jika kedua garis tersebut memiliki gradien yangberbeda. Ini berarti, sistem persamaan linear dua variabel memiliki tepatsatu penyelesaian jika gradien kedua garis berbeda.Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.1.

• Sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki penyelesaian.Kedua garis sejajar jika memiliki gradien yang sama dan titik potongyang berbeda terhadap sumbu-y. Ini berarti, sistem persamaan lineardua variabel tidak memiliki penyelesaian jika gradien kedua garis samasedangkan titik potong terhadap sumbu-y berbeda.Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.2.

Pada langkah 1 aktivitas tersebut, akan diperoleh grafik berikut.

Gambar 3.1 Kedua garis

berpotongan di satu titik

Gambar 3.2 Kedua garis

sejajar

x + y = 1

x − 3y = −3321

−1−2−3

−4 −3 −2 −1 O 1 2

321

y

x

y

−2 −1 1 2 3x

−1−2−3

321

y

−2 −1 1 2 3 4x

−1−2−3

y

x

k1

OO

O

k2 titikpotong

O

l2

l1

y

x


• Sistem persamaan linear dua variabel memiliki tak berhinggapenyelesaian.Jika digambarkan dalam bentuk grafik seperti Gambar 3.3.

Kedua garis berimpit jika memiliki gradien yang sama dan titik potongyang sama terhadap sumbu-y. Ini berarti, sistem persamaan linear duavariabel memiliki tak berhingga penyelesaian.

Dengan metode grafik, dapat diselesaikan suatu sistem persamaan linear.Namun, metode ini tidak efektif, efisien, dan tidak akurat. Berikut ini akandibahas metode metode substitusi dan eliminasi yang lebih efektif, efisien,dan akurat.

b. Metode SubstitusiMetode substitusi dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah.

Langkah-langkahnya sebagai berikut.Misalkan, diketahui sistem persamaan linear berikut ini.ax + by = k … Persamaan 1cx + dy = h … Persamaan 2bc − ad ≠ 0

Langkah 1Pada salah satu persamaan, nyatakan salah satu variabel dalam variabel yanglain.

Misalnya dari persamaan 1, nyatakanlah y =k ax

b−

, b ≠ 0 … Persamaan 3

Langkah 2Substitusi Persamaan 3 ke Persamaan 2, sehingga akan diperoleh nilai variabelx.

cx + dk ax

b−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = h

bcx dk adx hb

+ − =

Kalikan kedua ruas dengan b sehingga diperolehbcx + dk – adx = bh

Sekarang, kurangkan kedua ruas dengan dk.bcx − adx = bh − dk(bc − ad)x = bh − dk

Karena bc − ad ≠ 0, maka dapat dibagi kedua ruas dengan bc − ad sehinggadiperoleh

x =bh dkbc ad

−− … Persamaan 4

Langkah 3Nilai variabel x ini, substitusikan ke salah satu persamaan, misalkan disubstitusikan ke Persamaan 3 akan diperoleh

y =bh dkk abc adb

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

=

bck adk abh adkbc ad

b

− − +−

Gambar 3.3 Kedua garisberhimpit

y

xO

m2

m1


= ( )bck abhb bc ad

−− =

( )( )

b ck ahb bc ad

−−

=ck ahbc ad

−−

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut

adalah ,bh dk ck ahbc ad bc ad

− −⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎩ ⎭

.

c. Metode EliminasiDalam metode eliminasi, salah satu variabelnya dihilangkan dengan cara

menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan linear. Agar variabeltersebut dapat dihilangkan saat dijumlahkan atau dikurangkan makakoefisien variabel tersebut harus sama atau disamakan.Langkah-langkahnya sebagai berikut.Misalkan diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut.

ax + by = k … Persamaan 1cx + dy = h … Persamaan 2

di mana bc − ad ≠ 0

Langkah 1Misalkan, kamu ingin menghilangkan variabel x. Perhatikan koefisienvariabel x tersebut. Oleh karena koefisiennya berbeda, maka kalikanPersamaan 1 dengan c dan Persamaan 2 dengan a.

acx + bcy = ck … Persamaan 3acx + ady = ah … Persamaan 4

Langkah 2Kurangkan Persamaan 3 dengan Persamaan 4.acx + bcy = ckacx + ady = ah−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −(bc − ad)y = ck − ah

Oleh karena bc − ad ≠ 0, kamu dapat membagi kedua ruas dengan bc − ad

sehingga memperoleh y =ck ahbc ad

−− .

Langkah 3Untuk mendapatkan nilai variabel x, maka dapat dilakukan dengan caramenghilangkan variabel y seperti cara menghilangkan variabel x padalangkah 1 dan 2.Kita akan coba mengulangi langkah 1 dan 2 untuk menghilangkan variabel y.Untuk itu, kalikanlah persamaan 1 dengan d dan persamaan 2 dengan b.

adx + bdy = dk …… Persamaan 5bcx + bdy = bh …… Persamaan 6

Langkah 4Kurangkanlah Persamaan 5 dengan Persamaan 6.adx + bdy = dkbcx + bdy = bh−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ad − bc)x = dk − bh

TTSIsilah lingkaran-ling-karan kosong di bawahini sehingga bilangan-bilangan pada setiapgaris mempunyai jum-lah yang sama.

7

12 14

8

3

20

(Final Kompetisi MatematikaSMU XVIII Jakarta September2001)

−


1. x + y = 32x + y = 4

Jawab:

x + y = 3 … Persamaan 12x + y = 4 … Persamaan 2

• Titik potong terhadap sumbu-x adalah (2, 0) dan (3, 0)• Titik potong terhadap sumbu-y adalah (0, 4) dan (0, 3)

Karena ad – bc ≠ 0, kedua ruas dapat dibagi dengan ad − bc sehingga diperoleh

x =dk bhad bc

−−

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut

adalah ,bh dk ck ahbc ad bc ad

− −⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎩ ⎭

.

CONTOH

Selesaikan dengan metode grafik!

Selesaikan dengan metode substitusi!

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2)}.

2. 2x − y = 11x + 4y = 1

Jawab:

2x − y = 11 … Persamaan 1x + 4y = 1 … Persamaan 2Dari Persamaan 2 diperoleh

x = 1 − 4y … Persamaan 3Substitusi nilai x ke Persamaan 1

2(1 − 4y) − y = 112 − 8y − y = 11

−9y = 11 − 2−9y = 9 y = −1

Substitusi y = −1 ke Persamaan 3 sehingga diperoleh nilai xx = 1 − 4 (−1)

= 1 + 4= 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ( ){ }5, 1− .

2x + y = 4

x + y = 3

y

x

4321

1 2 3


3. −5x − 2y = 4x + y = 1

Jawab:

−5x − 2y = 4 … Persamaan 1x + y = 1 … Persamaan 2

Misalkan, kamu terlebih dahulu ingin mengeliminasi variabel y.Caranya, kalikan Persamaan 1 dengan 1 dan Persamaan 2 dengan 2.Jika mengeliminasi variabel x, kalikan Persamaan 1 dengan 1 danPersamaan 2 dengan 5.

−5x − 2y = 4 × 1 −5x – 2y = 4 × 1x + y = 1 × 2 x + y = 1 × 5

−5x – 2y = 4 −5x – 2y = 42x + 2y = 2 5x + 5y = 5

−3x = 6 3y = 9x = −2 y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ( ){ }2,3− .

1. Selidiki, apakah sistem persamaan linear berikut memiliki penyelesaian? Kemudian,tentukanlah himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan metode grafik!

a. 3x − y = 0 f. 5x

+ y = −2

2x + y = 5 3x

− y = 10

b. 3x − 5y = 6 g. 3x y+

= 3

2x − 3y − 5 = 0 3x + 3y − 27 = 0

c. 3y + 5x − 11 = 0 h. 3 2yx + = 4

−5x − 3y = 9 2x + 3y = 4

d. 6y − 2x = 8 i. 4y = x + 1

x − 3y + 4 = 0 2y =3 2

2x+

e. 2x − 3y = 4 j. 5x + 5y = 3x − 5y = 9 4y − x = 6

2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi!

a. 7x + 2y = 10 c. 2x + 0,4y = 8

5x + 2y = 6 1,2y − 5x − 9 = 0

b. −2x + y = 4 d. 2(x − 1) + 3(y + 1) = 4

8x − 4y + 16 = 0 5(x − 2) + 2(2 + y) = 7

Selesaikan dengan metode eliminasi

+ +

Asah Kompetensi 1


e. 2x + 3y = 12 h. 2x + 3y = 53x + y = 11 7x − 4y = 3

f. 5x − 3y = 2 g. 4x + 3y = 09y − 15x = 8 5y + 53 = 11x

g.5x − 3

y= 1 j.

4 15x y

+ = 15

17 30x y

+ = 167 65x y

− = 3

3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi!

a. 2x + 3y = 11 f.8 3x y

+ = 3

5x + 3y = 239 4y x

+ = 4

b. 7y + 3x = 25 g.9 8 11

x y y x+ =

+ −

4x + 6y = 203 5 6

y x x y+ =

+ −

c. 3x − 4y = 5 h.2

2 5 15x x x y+ = +

12x − 16y = 202 5 2 3

6 4 8y x− −− =

d. 23 5

yx + = i. 3x + 2y = −2

6y + 10x = 6023 2 0

2 3yx −+ + =

e. 3x + 2y = 17 j. 45 3

yx + =

6x + 4y − 21 = 0 x − 2y

= 7

4. Jika garis (x − 2y) + a(x + y) = a sejajar dengan garis (5y − x) + 3a(x + y) = 2a, tentukanlahnilai a! (Soal Olimpiade Matematika SMU)*

5. Jika perbandingan 2x − y dengan x + y adalah 2 : 3, berapakah perbandingan x dengan y? (Soal Olimpiade Matematika SMU)*

d. Gabungan Metode Eliminasi dan SubstitusiGabungan metode eliminasi dan substitusi dapat digunakan untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear sehingga mengerjakannya lebihsingkat dan mudah.


Asah Kompetensi 2Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut!

1. x + 4y = 18 4.30 17 16x y

+ =

4x + 3y = 206 5 1

x y− + =

2. 3x + 4y = 11 5.1 2 1a b

+ =

−2x + 5y = 82 1 8a a

− + =

3. 3x + 2y = 217x − 3y = 26

CONTOHTentukanlah himpunan penyelesaian dari:x + 3y = 10 … Persamaan 13x + 4y = 15 … Persamaan 2

Jawab:

Untuk mendapatkan nilai y eliminasi nilai x

3 103 4 15

x yx y

+ =+ =

31

××

3 9 303 4 15

x yx y

→ + =→ + =

5y = 15y = 3

Subtitusikan y = 3 pada salah satu, Persamaan 1 atau Persamaan 2.Misalkan dipilih Persamaan 2, sehingga diperoleh

3x + 4y = 153x + 4(3) = 15

3x + 12 = 153x = 3

x = 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,3)}.

−

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Penyajian tiga persamaan linear yang masing-masing memuat palingbanyak tiga variabel disebut sistem persamaan linear tiga variabel. Bentukumumnya adalah sebagai berikut:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3


Pasangan (x,y,z) yang memenuhi sistem persamaan di atas disebuthimpunan penyelesaian sistem persamaan.

a. Metode SubstitusiMetode substitusi dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah.

Untuk lebih jelas pelajarilah contoh berikut:

Tentukanlah himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear TigaVariabel (SPLTV) berikut!

2x + y − 3z = −5 . . . Persamaan 1x + 2y + z = 8 . . . Persamaan 2

x − 2y + 3z = 6 . . . Persamaan 3

Jawab:

Nyatakan z pada Persamaan 1 dalam x dan y.

2x + y − 3z = − 5 ⇔ 3z = 2x + y + 5

z = 2 53

x y+ + . . . Persamaan 4

Substitusi nilai z ke salah satu persamaan asli yang belum digunakan(Persamaan 2 atau Persamaan 3)

x + 2y +2 5

3x y+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠= 8 . . . kedua ruas dikali 3

⇔ 3x + 6y + (2x + y + 5) = 24 5x + 7y = 19 . . . Persamaan 5

Nyatakan y pada Persamaan 5 dalam x5x + 7y = 19 ⇔ 7y = −5x + 19

y =5 19

7x− +

. . . Persamaan 6

Substitusi Persamaan 6 ke Persamaan 4.

z =

5 192 57

3

xx − +⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ . . . penyebut dan pembilang dikali 7

z = 14 ( 5 19) 35

21x x+ − + +

z = 9 54

21x +

z = 3 18

7x +

. . . Persamaan 7

Substitusi Persamaan 6 dan Persamaan 7 ke dalam persamaan asli yangbelum digunakan, yaitu Persamaan 3.

x − 2 5 19

7x− +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ + 3 3 18

7x +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = 6

⇔ x + 10 387

x − + 9 547

x + = 6

CONTOH


⇔ 7x + 10x − 38 + 9x + 54 = 42 . . . kedua ruas dikali 7

26x + 16 = 42

26x + 16 − 16 = 42 − 1626x = 26

x = 1Substitusi nilai x = 1 ke Persamaan 6 dan Persamaan 7

5(1) 19 5 19 27 7

y y y− + − += ⇔ = ⇔ =

3(1) 18 3 18 37 7

z z z+ += ⇔ = ⇔ =

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3}.

Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut!

2x + y − 3z = −5 … Persamaan 1x + 2y + z = 8 … Persamaan 2x − 2y + 3z = 6 … Persamaan 3

Jawab:

Eliminasi variabel x pada Persamaan 1 dan Persamaan 2

2x + y − 3z = −5 × 1 … Persamaan 1x + 2y + z = 8 × 2 … Persamaan 2

2x + y − 3z = −52x + 4y + 2z = 16−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −

−3y − 5z = −21 … Persamaan 4

Eliminasi variabel x pada Persamaan 2 dan Persamaan 3

x + 2y + z = 8 … Persamaan 2x − 2y + 3z = 6 … Persamaan 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −

4y − 2z = 2 … kedua ruas dibagi 22y − z = 1 … Persamaan 5

Nyatakan z pada Persamaan 5 dalam yz = 2y − 1 … Persamaan 6

Substitusi nilai z ini ke Persamaan 4−3y − 5(2y − 1) = −21

−3y − 10y + 5 = −21 −13y = −26 y = 2

CONTOH

b. Gabungan Metode Eliminasi dan SubstitusiUntuk menentukan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), kamu

dapat menggunakan gabungan metode substitusi dan metode eliminasi.Lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut:


Asah Kompetensi 3

Substitusi nilai y = 2 ini ke Persamaan 6z = 2 (2) − 1z = 3

Substitusi nilai y = 2 dan z = 3 ke Persamaan 2x + 2 (2) + 3 = 8

x + 7 = 8x = 8 − 7x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ( ){ }1,2,3 .

Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut!

1. 2x + 3y − z = 54x − y + 2z = 83x − y + 3z = 10

2. 2x – 3y + z = 6x + 2y + 2z = −64x − 5y + 3z = 10

3. 3x + 2y − z = 11x + 3y + z = 159x + 6y − 3z = 33

4.6 3 4x y z

+ + = 7

3 5 6x y z

+ + = 9

3 4 2x y z

+ + = 6

5.4 5 3

1 3 4x y z+ +

+ + + = 6

8 10 51 3 4x y z

− ++ + + = 7

6 15 21 3 4x y z

+ ++ + + = 8

Diketahui :a + 3b + 2d = 6160

6a + 2b = 7680

6c + 3d = 8820

Tentukanlah a + b + c + d!Sumber: Olimpiade Matematika SMU


1. Forte Farma adalah sebuahpabrik farmasi yang mem-produksi dua jenis sirup obatflu yang diberi nama Fluindan Fluon. Satu botol Fluinmengandung 20 ml Aspirindan 30 ml Kodein sedangkansatu botol Fluon mengan-dung 10 ml Aspirin dan 20 mlKodein. Forte Farma menjualFluin dan Fluon masing-masing dengan harga Rp14.000,00 dan Rp8.000,00 per botol.Berapakah harga maksimal 1 ml Aspirin dan 1 ml Kodein sebagaibahan untuk membuat kedua jenis obat tersebut?

Jawab:

Misalkan, harga 1 ml Aspirin = x rupiah dan harga 1 ml Kodein = yrupiah.Maka masalah di atas dapat dimodelkan seperti berikut:

20x + 30y = 14.000 … Persamaan 110x + 20y = 8.000 … Persamaan 2

Selesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan metode eliminasi,yaitu dengan mengeliminasi variabel x. Untuk itu, kalikan persamaan2 dengan 2.

20x + 30y = 14.000 … Persamaan 120x + 40y = 16.000 … Persamaan 2

−10y = −2.000y = 200

Substitusi y = 200 ke Persamaan 210x + 20 (200) = 8.000

10x + 4000 = 8.00010x = 4.000

x = 400Jadi, harga 1 ml Aspirin Rp400,00 sedangkan 1 ml Kodein Rp200,00.

2. Jika uang Anton, Bella dan Cindy digabung maka hasilnya adalahRp 800.000,00. Apabila uang Bella diambil Rp50.000,00 dan diberikankepada Anton maka uang Anton akan sama dengan uang Bella. Jikauang Cindy ditambah Rp100.000,00 maka uang Cindy akan samadengan jumlah uang Anton dan Bella. Berapakah uang merekamasing-masing?

3. Aplikasi Sistem Persamaan Linear

Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah yang dapat diselesaikandengan sistem persamaan linear . Langkah yang harus dilakukan adalahmembuat model matematika dari permasalahan tersebut menjadi bentukumum persamaan linear. Lebih jelasnya pelajari contoh berikut ini.

CONTOH

−


Jawab:

Misalkan, uang Anton = x rupiah, uang Bella = y rupiah, dan uangCindy = z rupiah.

Maka masalah di atas dapat dimodelkanx +y +z = 800.000

y − 50.000 = x + 50.000z + 100.000 = x + y

Kemudian diubah ke bentuk umum SPLx + y + z = 800.000 . . . Persamaan 1

x − y = −100.000 . . . Persamaan 2x + y − z = 100.000 . . . Persamaan 3

Eliminasi variabel x pada Persamaan 1 dan Persamaan 2x + y + z = −800.000

x − y = −100.000

2y + z = −900.000 . . . Persamaan 4Eliminasi variabel x pada Persamaan 2 dan 3

x − y = −100.000x + y − z = −100.000

−2y + z = −200.000 . . . Persamaan 5Nyatakan z pada Persamaan 5 dalam y

z = 2y − 200.000 . . .Persamaan 6Substitusi nilai z ke Persamaan 42y + (2y − 200.000) = 900.000

4y = 1.100.000y = 275.000

Substitusi nilai y = 275.000 ke persamaan 6z = 2 (275.000) − 200.000

= 350.000Substitusi nilai y = 275.000 dan z = 350.000 ke persamaan 1

x + 275.000 + 350.000= 800.000x = 175.000

Jadi, uang Anton Rp175.000,00, uang Bella Rp275.000,00 dan uangCindy Rp350.000,00.

−

−

1. Bu Jasmin dan Pak Sportivo adalah dua guru olahraga di SMAAlfarabi. Suatu hari, Bu Jasmin membeli 3 bola voli dan 2 bola basketdengan harga Rp210.000,00. Karena keperluan terhadap kedua jenisbola tersebut belum mencukupi maka Pak Sportivo membeli 2 bolavoli dan 5 bola basket lagi dengan harga Rp305.000,00. Berapakahsatuan bola voli dan bola basket yang dibeli SMA Alfarabi?

4Asah Kompetensi


2. Seorang penjual permen telah menjual 16 bungkus permen merahdan putih. Harga sebungkus permen merah Rp200,00 dan sebungkuspermen putih Rp250,00. Ia memperoleh uang Rp3700,00 daripenjualan permen-permen ini. Berapa banyakkah masing-masingpermen yang terjual?

3. Penonton sebuah bioskop ada 95 orang yang terdiri dari bapak-bapak,ibu-ibu, dan anak-anak. Harga tiket bioskop untuk bapak-bapakRp7.500,00, untuk ibu-ibu Rp7.000,00, dan untuk anak-anakRp4.000,00. Total pendapatan bioskop dari penjualan tiketRp525.000,00. Jika setiap satu ibu membawa dua anak, tentukanlahbanyak bapak-bapak, ibu-ibu, dan anak-anak yang menonton bioskoptersebut!

Waktu: 90 menit

1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikutdengan cara yang menurutmu paling mudah!

Asah KEMAMPUAN1

a. 5x – y = 53x + 2y = 29

b.25 4

yx + = −2

15x + = y

c. 5y + 2x = 124x + 3y = −4

d.2 11 2

xy

+ =+

2 32 5

xy

+ =−

e. 3x + 4y − 5z = 22x + 5y + z = 86x − 2y + 3z = 7

f. 2x + 3y + 5z = 334x + 2y + z = 112x + y + 2z = 16

g.4 3 1 9x y z

+ + =

3 4 2 3x y z

− + =

2 5 1 5x y z

+ − =

h.2 1 3 1x y z

− − = −

2 1 1 9x y z

− + = −

1 2 4 17x y z

+ − =

Bobot soal: 32

Bobot soal: 182. Perhatikan sistem persamaan linear berikut!

123x + 321y = 345321x + 123y = 543 Tentukanlah nilai x2 + y2!


3. Sebuah segitiga samasisi memiliki panjang sisi−sisi 2x – 7, y + 5, danx + y – 9 . Tentukanlah keliling dan luasnya!

4. Tentukan keliling dan luas persegi panjang dan jajarangenjang berikut!

a. b.

5. Suatu bilangan x terdiri atas dua angka. Jika bilangan itu ditambahdengan 45, didapat bilangan yang terdiri dari angka itu dalam urutanterbalik. Jika di antara angka puluhan dan angka satuan disisipkanangka nol maka diperoleh bilangan yang nilainya

273 kali nilai bilangan

x. Tentukanlah nilai x tersebut!

Bobot soal: 10

Bobot soal: 20

x + y + 2

x + 22y

2x + 1

x + y + 1

x + 22y – x

3x – 4

Bobot soal: 20

Ketika Pak Nyoto berumur dua kali umurnya sekarang,maka ia akan empat kali lebih tua dari anak gadisnya,Maya dalam lima tahun berikutnya. Jika empat tahun yanglalu umurnya empat kali umur Maya, tahun berapakahMaya dilahirkan?

1. Sistem Persamaan Linear-KuadratBentuk umum sistem persamaan linear-kuadrat adalah sebagai berikut.

y = px + q … persamaan lineary = ax2 + bx + c … persamaan kuadrat

Penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut dapat kamutentukan dengan metode grafik dan metode substitusi.

a. Metode GrafikDengan metode grafik, kamu akan memperoleh gambar grafik pada

koordinat Cartesius yang terdiri dari garis lurus dan parabola. Posisi garis

B. Sistem Persamaan Non-Linear


y

x

y

x

dan parabola ini menentukan banyak penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut.

Jika garis memotong parabola,maka sistem persamaan memilikidua penyelesaian.

Jika garis tidak menyinggung dan tidakmemotong parabola, maka sistem persamaanlinear-kuadrat tidak memiliki penyelesaian.

y

x

b. Metode SubstitusiSeperti halnya pada sistem persamaan linear dua variabel, kamu akan

kesulitan jika menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadratmenggunakan metode grafik. Untuk itu, sebaiknya kamu menggunakanmetode substitusi. Agar lebih jelas, pelajarilah contoh berikut.

Jika garis menyinggung parabola,maka sistem persamaan memilikisatu penyelesaian.

Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadratberikut!

y = 3xy = x2 + 2

Jawab:

Substitusilah nilai y persamaan linear ke nilai y persamaan kuadrat.3x = x2 + 2x2 − 3x + 2 = 0

Faktorkanlah persamaan kuadrat tersebut.

x2 − 3x + 2 = 0(x − 1)(x − 2) = 0

x1 = 1 atau x2 = 2

Substitusi x1 = 1 ke persamaan y = 3x, didapat y1 = 3 (1) = 3Substitusi x2 = 2 ke persamaan y = 3x, didapat y2 = 3 (2) = 6

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebutadalah ( ) ( ){ }1,3 , 2,6 .

CONTOH

2. Sistem Persamaan Kuadrat Dua VariabelBentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel adalah sebagai

berikut:y = ax2 + bx + cy = px2 + qx + r


Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabelberikut:

y = 2x2 + 3x + 4y = x2 + 4x + 10

Jawab:

Substitusilah nilai y dari kedua persamaan tersebut.2x2 + 3x + 4 = x2 + 4x + 10

2x2 – x2 + 3x – 4x + 4 – 10 = 0x2 − x − 6 = 0

Faktorkanlah persamaan kuadrat tersebut.x2 − x − 6 = 0

(x + 2)(x − 3) = 0x1 = −2 atau x2 = 3

Substitusi x1 = −2 ke persamaan y = x2 + 4x + 10, didapat y1 = (−2)2 + 4(−2) + 10 = 6.Substitusi x2 = 3 ke persamaan y = x2 + 4x + 10, didapat y2 = 32 + 4 . 3 + 10 = 31.

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat tersebut adalah( ) ( ){ }2,6 , 3,31− .

Seperti saat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat,kamu dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat duavariabel ini dengan metode substitusi. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contohberikut.

CONTOH

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut!

a. y = 2x 1 f. y = x2 − 4y = x2 − x + 3 y = 8 − 2x2

b. 2x + y − 3 = 0 g. y = (x + 2)2

y = 4x2 − 4x + 1 10 − x2 = y

c. y = 9 − x2 h. y = 4x − x2

y – x − 3 = 0 y = − x2 + 4x − 6

d. y = x2 − 7x + 10 i. y = (1 − 3x)2

y = 2 − x y = (x − 3)2

e. y = 4x − x2 j. y = −x2 − 3x + 6y = 4 − 6x y = −x2 + 5x − 4

Asah KEMAMPUAN2Bobot soal: 60


RangkumanRangkuman

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 20

2. Gambarlah grafik y = −2x2 − 3x + 2 dan y = −x − 2 pada satu sistemkoordinat. Tentukan titik potongnya!

3. Gambar grafik y = x2 + 6x + 8 dan y = −x2 − 8x − 15 pada satu sistemkoordinat. Tentukan titik singgungnya!

4. Selisih dua bilangan positif adalah 5, sedangkan jumlah kuadratnya2100 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Tentukanlahjumlah kedua bilangan tersebut!

(Soal Olimpiade Matematika SMU)*

1. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = ⎫⎬+ = ⎭

1 1 1 2 2 2di mana , , , , ,a b c a b c R∈

2. Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu:• Metode Grafik: dilakukan dengan menggambar grafik dari SPL• Metode Substitusi: dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah• Metode Eliminasi: salah-satu variabelnya dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan kedua persamaan linear• Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi

3. Bentuk Umum SPL Tiga Variabela1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

4. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear-Kuadraty px q= + … Persamaan Linear

2y ax bx c= + + … Persamaan Kuadrat

5. Menentukan banyaknya penyelesaian SPL Kuadrat adalah sebagai berikut :

a. Jika garis memotong parabola, maka sistem persamaan memiliki dua persamaan.

SPL

SPK

y

x


b. Jika garis menyinggung parabola, maka sistem persamaan memiliki satu penyelesaian.

c. Jika garis tidak menyinggung parabola, maka persamaan linear-kuadrat tidak memilikipenyelesaian.

6. Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel2

2

y ax bx cy px qx r

⎫= + +⎬= + + ⎭

dengan , , , , ,a b c p q r R∈

SPK

SPL

y

x

y SPL

SPKx



1. Penyelesaian dari persamaan3

3 2 48 (16)x+ = adalah . . . .

a. 0 d. −9

b.718 e.

13

−

c. 18

2. Penyelesaian dari persamaan3x − 2y + 4z = 12x − y + z = 3x + 3y − 2z =11

adalah . . . .a. x = 3, y = 2, z = −1b. x = 2, y = 3, z = −1c. x = 3, y = 2, z = 3d. x = 3, y = −1, z = 3e. x = −3, y = −1, z = −3

3. Garis yang melalui titik potong dua garisx + 2y + 1 = 0 dan 2x − y + 5 = 0 dan tegaklurus pada garis x + y + 1 = 0 adalah . . . .a. x − y = 0b. x − y + 14 = 0

c. x − y +145 = 0

d. x − y −145 = 0

e. x − y + 5 = 0

4. Himpunan penyelesaian sistem persamaanx + y = 7x2 + y2 = 25

adalah ( ) ( ){ }1, 1 2, 2,x y x y .

Nilai x1 + x2 = . . . .a. –7 d. 8b. –1 e. 15c. 7

5. Jika x dan y memenuhi persamaan

2 1y xxy

+=

1 2 8x y

− =

maka1

x y+ = . . . .

a.3

2− d.

5

6

b. 5 e. 6

c.6

5

6. Garis lurus melalui titik (−2, −4) dan sejajardengan garis 8x + 2y − 3 = 0 mempunyaipersamaan . . . .a. 4x − y + 4 = 0 d. 2x + y + 2 = 0b. x − 2y = 0 e. x + 3y + 4 = 0c. x + y + 2 = 0

7. Persamaan garis yang melalui (4, 3) dan sejajardengan garis 2x + y + 7 = 0 adalah . . . .

a. 2x + 2y – 14 = 0 d. y + 2x – 11 = 0b. y – 2x + 2 = 0 e. 2y – x – 2 = 0c. 2y + x – 10 = 0

8. Persamaan garis lurus yang melalui titikpotong garis x − y − 5 = 0 dan tegak lurus garisx + 2y = 0 adalah . . . . .

a. 2x – y = 0 d. 2x – y + 7 = 0b. x – y + 1 = 0 e. 2x – y – 7 = 0c. 2x – y – 1 = 0

9. Himpunan penyelesaian persamaan

( )23x − = 3 – x

adalah . . . .



a. Ø d. { }3x x ≥

b. { }3x x = e. { }0x x =

c. { }3x x ≤

10. Himpunan penyelesaian dari persamaan3p +2q + r = −113p +q – 2r = 23–p +3q + r = 6

adalah ( ){ }, ,p q r . Nilai pqr adalah . . . .

a. – 70 d. 49b. – 21 e. 52c. 14


1. Harga tiket kereta api dari Bogor ke DepokRp2.000,00 dan dari Bogor ke JakartaRp3.000,00. Hasil penjualan 180 tiket dalamseminggu Rp420.000. Berapakah tiket keretaapi ke Depok dan Jakarta yang terjual dalamseminggu?

2. Sebuah mobil melaju dari kota P ke kota Qdengan kecepatan 40 km/jam. Jika jarak dariP ke R melalui Q adalah 200 km danditempuh 4 jam maka tentukanlah jarak kotaP ke Q!

3. Sebuah toko kue memproduksi tiga jenis kueyaitu Risoles, Donat dan Bakpau. Sebuah

Risoles dibuat dengan menggunakan satusatuan bahan x , dua satuan bahan y, dandua satuan bahan z. Sebuah Donat dibuatdengan menggunakan satu satuan bahan x,tiga satuan bahan y, dan dua satuan bahanz, sedangkan untuk membuat sebuah Bakpaudigunakan dua satuan bahan x, dua satuanbahan y dan a satuan bahan z. Toko kue itumempunyai bahan x sebanyak 400 satuan,bahan y sebanyak 700 satuan, dan bahan zsebanyak 900 satuan bahan. Berapabanyaknya masing-masing kue yang dibuatagar semua bahan habis terpakai ?

4. Rokok Asoy harganya Rp2.000,00 perbungkus dan dijual dengan laba Rp400,00per bungkus. Rokok Bibes harganyaRp1.000,00 per bungkus dan dijual denganlaba Rp300,00 per bungkus. Seorang peda-gang mempunyai modal Rp800.000,00. Jikawarungnya dapat menampung 500 bungkusrokok, tentukanlah banyaknya rokok Asoydan Bibes yang harus ia beli agar mendapatkeuntungan yang sebesar-besarnya!

5. Berat sebuah emas balok ditentukan dengansuatu neraca yang lengannya tidak samapanjang, dengan piringan-piringan P1 dan P2yang sangat ringan (anggap beratnya nol),yang digantung pada ujung-ujung lenganneraca. Supaya neraca seimbang maka emasbalok diletakkan pada piring P1 dan P2 harusdiletakkan anak timbangan seberat 25 kg.Berapakah berat emas balok tersebut?

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

BPertidaksamaanPertidaksamaan

Utut memiliki sebuah penggaris yang panjangnya 30 cm. Angka-

angka pada penggaris ini semuanya tidak lebih dari 30. Pernyataan

“tidak lebih dari” ini menunjukkan sebuah pertidaksamaan,

dilambangkan dengan “≤”. Untuk lebih jelas mengenai

pertidaksamaan ini, pelajarilah bab berikut.

♦ Kamu dapat menjelaskan arti penye-

lesaian pertidaksamaan satu variabel.


pertidak-samaan yang memuat bentuk

linear dan kuadrat satu variabel.


pertidaksamaan pecahan yang memuat

bentuk linear atau kuadrat.


pertidaksamaan yang memuat bentuk

akar linear.

♦ Kamu dapat menjelaskan sifat dan

aturan yang digunakan dalam proses

penyelesaian pertidaksamaan.


pertidaksamaan linear yang memuat

nilai mutlak.



berbentuk pertidaksamaan satu

variabel.


dalam masalah yang dirancang sebagai

variabel pertidaksamaannya.

♦ Kamu dapat merumuskan pertidak-

samaan yang merupakan model

matematika dari masalah.





44


Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentukpertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamumembutuhkan sifat-sifat berikut:

1. Sifat penjumlahan dan penguranganJika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.• x < y ⇒ x ± z < y ± z• x < y ⇒ x ± z < y ± z

2. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

• x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz danxz

<yz

• x < y dan z > 0 ⇒ xz <yz danxz <

yz

3. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatifJika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi denganbilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah.

• x < y dan z < 0 ⇒ xz <yz danxz

<yz

• x < y dan z < 0 ⇒ xz < yz danxz

<yz

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut dimana x adalah bilangan real!

1. −3x + 4 < x + 8 2. 1 23 42 3

x x− ++ ≥ − 3. x − 5 < 2x − 3 < x + 4

Jawab:

1. −3x + 4 < x + 8Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap.−3x + 4 − 4 < x + 8 − 4

−3x < x + 4

A. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri danruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan”<, ≤, >, ≥ ” atau ”≠”

DEFINISI

CatatanNotasi pada pertidak-

samaan:

• < : kurang dari

• ≤ : kurang dari atau

sama dengan

(tidak kurang dari)

• > : lebih dari

• ≥ : lebih dari atau

sama dengan (tidak

lebih dari)

CONTOH

Bab 4 Pertidaksamaan71

Kedua ruas dikurang x, tanda ketidaksamaan tetap.−3x – x< x + 4 − x

−4x< 4

Kedua ruas dikali 14− , tanda ketidaksamaan berubah.

−4x14

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ > 4 14

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠x > −1

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x > −1,x ∈ R}.

2.1 23 4

2 3x x− ++ ≥ −

Kedua ruas dikurang 3 dan tanda ketidaksamaan tetap.1 23 3 4 3

2 3x x− ++ − ≥ − −

1 2 72 3

x x− +≥ −

Kedua ruas dikali dengan KPK dari 2 dan 3, yaitu 6. Tandaketidaksamaan tetap.

1 2(6) 7 (6)2 3

x x− +⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠3x – 3 ≥ 2x + 4 – 423x – 3 ≥ 2x – 38Kedua ruas ditambah 3, tanda ketidaksamaan tetap.3x − 3 + 3 ≥ 2x − 38 + 3

3x ≥ 2x − 35Kedua ruas dikurang 2x, tanda ketidaksamaan tetap.3x − 2x ≥ 2x − 35 − 2x

x ≥ − 35

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x ≥ − 35,x ∈ R}.

3. x − 5 < 2x − 3 < x + 4Ketiga ruas ditambah 3, tanda ketidaksamaan tetapx − 5 + 3 < 2x – 3 + 3 < x + 4 + 3x − 2 < 2x < x + 7Ketiga ruas dikurang x , tanda ketidaksamaan tetapx − 2 − x < 2x − x < x + 7 − x−2 < x < 7Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah {x|−2< x < 7, x ∈ R}.

−1

−35


Asah Kompetensi 1

Waktu: 60 menit

1. Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!a. 3x – 2 > 18 – 2x e. −4 ≤ 2x ≤ 3x - 2

b. 7 – 2x < 11 + x f. 1 − x < −2 ≤ 3 − x

c. 2(3x + 5) ≥ 2(2x + 2) + 8 g. 3x + 5 > x + 6 ≥ 2x

d. 5x + 3 < 3(2 + x)

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di mana x adalah bilangan real!

a.13 (2x − 1) ≥

35

x d.12 (2 − x) ≤

14 (3 − x) +

12

b.1 2

2 5 5x x+ ≥ > x − 5 e.

1 3 3 1 22 3 4

x x x+ + −− < +

3. Jika −5 < 2x ≤ 7, tentukanlah:a. nilai x bilangan bulat terbesarb. nilai x bilangan bulat terkecilc. nilai x bilangan rasional terbesar

4. Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real, tunjukkan bahwa:a. Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d.

b. Jika a > 0 maka 1 0a

>

ASAH KEMAMPUAN1

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di mana x adalahbilangan real!

1. 4x + 5 > −3x −6 6.7 2

3x −

< 4x − 6

2. 2x − 7 ≤ 4x − 27 7. x + 3 < 2x + 1 < 3x + 4

3.2 3

4x +

> 3 8.2 1

3x +

≤ 4x − 1 ≤ 10

6x +

4.4 5

7x −

≤3 2

3x −

9.7

3x+

> 7

2 1x +

5.6 4

3x + + ≥

2 3 54

x − − 10.8 3

2x+

< 4

1x + <2 3

5x +

Bobot soal: 25

Bobot soal: 25

Bobot soal: 20

Bobot soal: 30


Utut mengerjakan soal ulangan Matematika yang terdiri atas20 soal pilihan ganda. Setiap jawaban yang benar dari soal-soal ini mendapatkan nilai 3 dan setiap jawaban yang salahmendapat pengurangan nilai 1. Jika Utut mengerjakan 19 soal,berapakah minimal jawabannya yang harus benar supaya dapatnilai paling kecil 32?


Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0. Jika tanda“=” pada persamaan tersebut diganti dengan tanda-tanda ketidaksamaan(<, ≤, >, atau ≥) maka kamu memperoleh pertidaksamaan kuadrat yangbentuk umumnya seperti berikut:• ax2 + bx + c < 0 • ax2 + bx + c > 0• ax2 + bx + c ≤ 0 • ax2 + bx + c ≥ 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kamu terlebih dahuludapat mengubahnya menjadi bentuk persamaan, kemudian menentukan nilaivariabel yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai variabel ini disebut titikpembuat nol. Setelah itu, gambarkan titik pembuat nol ini pada garis bilangan.Ujilah tanda ketidaksamaan pada setiap interval yang dibatasi oleh titikpembuat nol tersebut.

1. Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan x2 – 3x – 10 > 0!

Jawab:Terlebih dahulu, ubah menjadi bentuk persamaan.x2 − 3x − 10 = 0Tentukan nilai x dengan cara memfaktorkan.(x + 2)(x – 5) = 0Didapat x = −2 dan x = 5 sebagai titik pembuat nol.Titik-titik ini membagi garis real menjadi tiga interval, yaitu (−∞, −2),(−2, 5), dan (5, ∞). Untuk menentukan tanda ketidaksamaan pada tiapinterval, pilihlah titik-titik uji sebarang pada tiap interval. Misalnya,−3, 0, dan 6.

CatatanPenyelesaian pertidak-

samaan kuadrat dapat

dicari dengan menggu-

na kan garis bilangan.

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Titik pembuat nol Titik pembuat nol

−3 −2 0 5 6

Titik uji Titik uji Titik uji

CONTOH


Untuk x = −3, diperoleh:x2 − 3x − 10 = (−3)2 − 3(−3) – 10 = 8 > 0 …(bertanda +)

sehingga pada interval(−∞, −2), x2 − 3x − 10 > 0

Untuk titik uji x = 0, diperoleh:x2 − 3x − 10 = (0)2 − 3 (0) − 10 = −10 < 0 … (bertanda −)

sehingga pada interval (–2, 5)x2 − 3x − 10 < 0

Sedangkan untuk x = 6 diperolehx2 − 3x − 10 = (6)2 − 3 (6) − 10 = 8 > 0 …(bertanda +)

sehingga pada interval (5, ∞), x2 − 3x − 10 > 0

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan x2 − 3x − 10 > 0 adalah semuanilai x pada interval (−∞, −2) ∪ (5, ∞) atau x < −2 atau x > 5.

2. Tentukan nilai p supaya persamaan kuadrat x2 − px + p = 0 memilikiakar-akar real!

Jawab:Syarat agar persamaan kaudrat memiliki akar-akar real adalah jikaD ≥ 0, maka diperoleh

b2 − 4ac ≥ 0(−p)2 − 4 (1) p ≥ 0

p2 − 4p ≥ 0p(p − 4) ≥ 0

Untuk menentukan titik pembuat nol, ubah pertidaksamaan tersebutmenjadi persamaan p(p − 4) = 0. Dari persamaan tersebut didapat,p = 0 dan p = 4 sebagai titik pembuat nol yang membagi garis realmenjadi tiga interval, yaitu (−∞, 0], [0, 4], dan [4, ∞).Untuk menentukan tanda ketidaksamaan pada tiap interval, pilihlahtitik-titik uji sebarang pada tiap interval. Misalnya, −1, 1, dan 5.


−1 0 1 4 5


Oleh karena p2 – 4p ≥ 0, maka interval nilai p yang memenuhi adalah(−∞, 0] ∪ [4, ∞).Jadi, penyelesaian pertidaksamaan p2 – 4p ≥ 0 adalah x ≤ 0 atau x ≥ 4.


Waktu: 60 menit

1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan–pertidaksamaan berikut!a. x2 − 2x − 24 > 0 e. 3x2 + 5x − 1 < 2x2 + 5x + 15b. x2 − 2x − 8 < 0 f. 2x2 + 5x + 1 > 7 + xc. 2x2 − x − 1 ≥ 0 g. (x − 1)2 > (x + 1)(x − 3)d. −x2 + 2x + 15 ≤ 0 h. 6(x2 − 1)2 + 5(x2 − 1) + 1 ≤ 0

2. Tentukan nilai m supaya persamaan kuadrat mx2 − (m + 4)x − 12 = 0

tidak memiliki akar real!

3. Tentukan nilai n supaya persamaan kuadrat x2 − nx + 9 = 0 mempunyaidua akar real yang berbeda!

4. Tentukan nilai t supaya persamaan kuadrat tx2 − (t − 2)x + t = 0 tidakmemiliki akar real!

5. Tentukan nilai m supaya fungsi kuadrat f(x) = m2x2 − 2m2x + 3 definitpositif. Kemudian, tentukan pula nilai m supaya fungsi kuadrattersebut definit negatif!

6. Tentukan nilai x supaya fungsi kuadrat f(m) = m2x2 − 2m2x + 3 definitpositif. Kemudian, tentukan pula nilai x supaya fungsi kuadrattersebut definit negatif!

Bobot soal: 50

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Asah Kompetensi 2Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. 2x2 − 3x − 9 > 0 6. 12x2 > 24x + 152. x2 + 14x − 15 > 0 7. 16x2 ≤ 93. 8x2 + 18x + 5 < 0 8. x2 − 7x ≤ 184. 9x2 + 6x ≤ 8 9. 20x2 + x ≥ 125. −x2 ≥ 7x + 6 10. 23x + 5 < 10x2

ASAH KEMAMPUAN2

Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat

variabel pada penyebut, contohnya 1 03

xx

+ <− dan 2

4 02 3

xx x

− ≥+ − .

Untuk menentukan penyelesaian dari kedua pertidaksamaan padacontoh tersebut, kamu dapat mengerjakannya seperti berikut.

C. Pertidaksamaan Pecahan


1. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan 1 03

xx

+ <− , x ≠ 3!

Jawab:

Titik pembuat nol pertidaksamaan adalah x = −1 dan x ≠ 3.


−2 −1 0 3 4


CONTOH

Dengan mengambil titik uji sebarang di sekitar titik pembuat nol,misalnya –2, 0, dan 4, kamu akan mendapatkan penyelesaianpertidaksamaan tersebut.

Karena1 03

xx

+ <− , maka nilai x yang memenuhi adalah –1 < x < 3.

2. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan

24 0

2 3x

x x− ≥

+ − ⇒ 4 0

( 3)( 1)x

x x− ≥

+ −

Jawab:

Titik pembuat nol pertidaksamaan adalah x = 4, x ≠ −3, dan x ≠ 1.Titik

pembuat nolTitik

pembuat nolTitik

pembuat nol

−4 −3 0 1 2 4 5

Titik uji Titik uji Titik uji Titik uji

Dengan mengambil titik uji sebarang di sekitar titik pembuat nol,misalnya –4, 0, 2, dan 5, maka akan diperoleh penyelesaian pertidaksa-maan tersebut.

Karena 24 0

2 3x

x x− ≥

+ − , maka nilai x yang memenuhi adalah –3 ≤ x ≤ 1

atau x ≥ 4.


Waktu: 60 menit

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. x ≤1x 9. 2

51x − > 1

2.21

xx

−+ ≤ 0 10.

2

2

4 45 4

x xx x

− +− + ≤ 0

3.3

2 1xx−+ < −1 11.

2

2

5 65 4

x xx x

− +− + ≥ 0

4.

31

11x

x

+

− > 0 12.2

2

3 10 02

x xx x

+ − >− +

5. 2( 2)x

x − + 16 < 0 13.81

4 3x x++ >

6. 21

1x

x x+

+ + ≤ 0 14.1 32 4

x xx x

− −>− −

7. 234

xx

−− ≥ 0 15. 2

2

4 27x xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + 16 < 0

8. 22

2x

x x+

− − < 0

Bobot soal: 100

Asah Kompetensi 3Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. 2x ≥1x 6. 3 1

2a − ≤ a2

2.23k

≤9 k

k− 7.

12 y2 ≥ 2 − y

3. x2 + 5x

≥ 0 8. 34l + <

4l

4.22 53

pp−

≤ 12 9. 2

1b > 4 −

1b

5.23 8yy

+> 14 10. 2r

3rr

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ < 12 r

3 ASAH KEMAMPUAN


D. Pertidaksamaan Bentuk Akar

1. Untuk bilangan real a, b, dan c yang memenuhi a ≥ b ≥ c > 0, buktikan bahwaa b c b a c a b c

c a b− − −+ + ≥ − +

2 2 2 2 2 2

3 4 !

2. Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real positif, jika a + b + c + d = 1, tunjukkan

bahwa a b c d+ + + ≥1 1 1 1 16 !

33333. Untuk setiap a, b, c, dan d bilangan real positif, jika a cb d

< , tunjukkan bahwaa a c cb b d d

+< <+ !

4. Buktikan bahwa 1 3 5 99 12 4 6 100 10

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < !

Sumber: Soal Olimpiade Matematika SMU

Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar adalah sebagai berikut:f g< Menggunakan salah satu tanda ketidaksamaan

Syarat terdefinisi adalah f ≥ 0 dan g ≥ 0.

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan x < 5x + !

Jawab:Syarat terdefinisi x ≥ 0

x + 5 ≥ 0x ≥ −5.

Karena x < 5x + maka dengan mengkuadratkan kedua ruasx < x + 5 yang dipenuhi untuk setiap x bilangan real.

x ≥ –5

x ≥ 0

–5 0

Daerah yang berwarna abu-abu menyatakan penyelesaian pertidaksamaan.Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ 0.

CONTOH


Bobot soal: 100

Asah Kompetensi 4Tentukan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. 22 3x x− < 3 4. 2 15 4x x≥ +

2. 3x < 6 8x− − 5. 2 15 4x x≥ +

3. 2x > 8 3x −

Waktu: 30 menit

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. 2 3 3x − > 6. 2 8 8 2x x− > −

2. 1 2x − < 7. 3 2 4x x+ > −

3. 6 10x− ≤ − 8. 7 7x x− ≤ +

4. 5 ≥ 5 9x + 9. 2 4 5 6 5x x− + − > +

5. 0 > 0,5 0, 4x + 10. 1 +13 1 32

x x− ≥ +

4 Asah KEMAMPUAN

Diketahui x, y, dan z bilangan real positif yang berbeda, buktikan bahwa1 1 1 1 1 1x y z xy xz yz

+ + > + +


Nilai mutlak dari suatu bilangan real x didefinisikan sebagaix, jika x ≥ 0

|x| =−x, jika x < 0

E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak


Sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kamu gunakan untuk menye-lesaikan suatu pertidaksamaan adalah sebagai berikut.Untuk setiap p dan q bilangan real, berlaku:

1. |p| = 2p 4.|p+q|≤|p|+|q|(ketidaksamaan segitiga)

2. |pq| = |p||q| 5. |x| < p ⇔ −p < x < p

3.pp

q q= , q ≠ 0 6. |x| > p ⇔ x < −p atau x > p

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan |x – 2| > 2!

Jawab:Berdasarkan sifat 6, jika |x – 2| > 2 maka x – 2 < −2 atau x – 2 > 2

Untuk x – 2 < −2, didapat x < 0Untuk x – 2 > 2, didapat x > 4

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah x < 0 atau x > 4.

CONTOH

Waktu: 45 menit

1. Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan−pertidaksamaan berikut!

a. |2x − 7| > 3 e.12

xx

+− < 1

b. 2|x − 7| < 3 f.2 7 1

1xx

+ ≥−

c. |5 − 3x| > 4 g. 8x x+ <

d. |x2 − 10| < 6 h. 23 4 3 12x x− > − +

2. Jika x < −2, tentukanlah 1 1 x− + !

ASAH KEMAMPUAN5Bobot soal: 80

Bobot soal: 20


Berapakah bilangan real x terkecil yang memenuhi sekaligusx2 ≥ 4 dan ⏐x - 1⏐ ≤ 2?


Pertidaksamaan sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Lebihjelsnya, perhatikanlah contoh berikut ini.

F. Aplikasi Pertidaksamaan

Selisih kuadrat dua bilangan asli berurutan adalah antara 17 dan 21.Tentukanlah kedua bilangan asli tersebut!

Jawab:Misalkan, kedua bilangan asli tersebut x dan x + 1.Selisih kuadrat antara 17 dan 21, berarti 17 < (x + 1)2 – x2 < 21.

17 < (x + 1)2 – x2 < 2117 < x2 + 2x + 1 − x2 < 2117 < 2x + 1 < 21

17 – 1 < 2x + 1 – 1 < 21 – 116 < 2x < 20 8 < x < 10

Jadi, x adalah bilangan asli antara 8 dan 10, yaitu 9 sehingga x + 1 = 10.Dengan demikian, kedua bilangan asli tersebut adalah 9 dan 10.

CONTOH

Waktu: 45 menit

1. Tentukan dua bilangan yang berjumlah 66 agar hasil kali yang palingbesar dari dua bilangan tersebut!

2. Jumlah dua bilangan adalah 2n. Tentukanlah kedua bilangan itu agarjumlah kuadrat minimum!

3. Dalam empat kali ulangan Matematika, Utut mendapatkan nilai 90,35, 45, dan 60. Tentukanlah nilai ulangan yang kelima agar nilai rata-rata Utut lebih besar atau sama dengan 60!

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30

ASAH KEMAMPUAN6

Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapiyang tersedia hanyalah pipa-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidaklebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagaipengganti satu pipa 10 cm?



1. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

2. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan:a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah

• x y x z y z< → ± < ±

• x y x z y z> → ± > ±b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

• dan 0 dan yxx y z xz yzz z

< > ⇒ < <

• dan 0 dan yxx y z xz yzz z

> > ⇒ > >

3. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat• 2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + < + + >

• 2 20 atau 0ax bx c ax bx c+ + ≤ + + ≥

4. Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel padapenyebutnya.

5. Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

f g<

dengan syarat terdefinisi 0 dan 0f g≥ ≥

6. Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah

, jika 0, jika 0

x xx

x x≥⎧

= ⎨− <⎩

7. Sifat-sifat nilai mutlak

a. 2p p= d. p q p q+ ≤ +

b. pq p q= e. x p p x p< ⇔ − < <

c. , 0pp q

q q= ≠ f. atau x p x p x p> ⇔ < − >

RangkumanRangkuman



1. Jika p < q maka . . . .a. p3 > q3 c. −2p > −2q

b. p2 >q2 d. p < qc. −p > −2q

2. Jika bilangan-bilangan real a, b, dan cmemenuhi pertidaksamaan a > b dan b > cmaka . . . .a. a + b > a + c c. b + c > 2ab. a2 > b2 > a d. a < cc. b + c < 2a

3. JIka ab > 0 maka . . . .a. a < 0b. a < 0 dan d < 0c. b < 0d. a > 0 dan d < 0e. a dan b bertanda sama

4. Apabila a < x < b dan a < y < b, makaberlaku . . . .a. a < x − y < bb. b − a < x − y < a − bc. a − b < x − y < b − a

d. 12 (b − a) < x − y < (b − a)

e. a < x + y < b

5. Himpunan penyelesaian dari pertidak-samaan x2 − 2x − 3 > 0 adalah . . . .a. { 1 atau 3}x x x> >b. { 1 atau 3}x x x< − >c. { }1 atau 3x x x< >

d. { }1 atau 3x x x> − >

e. { 1 atau 3}x x x< − <

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan−x2 + x + 6 > 0 adalah . . . .a. x > 3b. −2 < x < 3c. x > −2d. x < 3 atau x < −2e. −2 > x > 3

7. Himpunan penyelesaian dari pertidak-

samaan 3 22x x

>−

adalah . . . .

a. { }4 0 atau 2x x x− < < <

b. { }2 atau 0 4x x x< − < <

c. { }2 atau -4 0x x x> − < <

d. { }0 4 atau 2x x x< < <

e. { }0 4 atau 2x x x< < <

8. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan+ + + +

≤ ≤82 63 78 9080 90

5x

adalah . . . .

a. 80 90x≤ ≤

b. 87 137x− ≤ ≤ −

c. 87 137x≤ ≤

d. 137 87x− ≤ ≤

e. − 80 90x≤ ≤

9. Himpunan penyelesaian dari pertidak-samaan |3x − 2| < 4| adalah . . . .a. 2 < x < 6 d. −2 < x < 6

b.2 23

x− < < e.2 23

x< <

c. 2 < x < 16

10. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidak saman|x − 3|2 > 4|x − 3| + 12 adalah . . . .a. −2 < x < 9b. −3 < x < 9c. x > −9 atau x < 2d. x > 9 atau x < −3e. x < −9 atau x < −3

11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

2 3 2 21 1

x xx x

−< +− −

adalah . . . .



a. { }1 1 4ataux x x< < <

b. { }1 4x x< <

c. { }4 1x x− < < −

d. { }4x x <

e. { }4 4x x− < < −

12. Jika 2 3x − < 1 dan 2x < 3, maka . . . .

a. 1 2x< < d.32

x >

b.32

x < e. x > 2

c.312

x< <

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan2

2 09

xx

>−

adalah . . . .

a. 0x ≠ d. 3 < x

b. 0 3x< < e. 3x ≠ ±

c. 3 3x− < <

14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan2x − 1 < x + 1 < 3 − x adalah . . . . .

a. { }1x x < d. { }2x x >

b. { }2x x > e. { }1x x >

c. { }1x x >

15. Himpunan nilai x yang memenuhi pertidak-

samaan 22 4 2 12x x− < − + adalah . . . .

a. Ø

b. { }8x x <

c. { }4 8x x− < <

d. { }8 4x x− < <

e. { }x x R∈


1. Ibu membeli permen untuk Tika, Diah, danErik. Jumlah permen Tika dan Diah lebihbanyak daripada dua kali permen Erik,sedangkan permen Diah lebih sedikitdaripada permen Erik. Siapakah yangmendapatkan permen lebih banyak?

2. Diketahui suhu Celcius antara 10° C dan30° C. Jika hubungan antara Fahrenheit (F)dan Celcius (C) adalah

C = 5

9(F − 32)

tentukanlah batas suhu yang akanditunjukkan oleh suhu Fahrenheit!

3. Sebuah perusahaan memproduksi bonekaBarbie. Untuk suatu model tertentudiperkirakan bahwa

B = 60.000 − 100 ⋅ b

P = 400b − b2

di mana B adalah biaya, P adalahpendapatan, dan b adalah harga bonekaBarbie per satuan. Tentukanlah harga satuanboneka Barbie agar perusahaan memperolehkeuntungan!

4. Dalam delapan kali ulangan matematika,Desi mendapatkan nilai 75, 80, 75, 70, 85, 90,65, 70. Tentukanlah nilai ulangan yangkesembilan agar nilai rata-rata Desi lebihbesar atau sama dengan 78!

5. Lili ingin membeli selang yang berdiameter3 cm. Tetapi persediaan di toko sudah habis,yang tersedia hanyalah selang yangberdiameter 2 cm. Supaya kapasitas selangtidak lebih kecil daripada yang diinginkan,berapakah banyaknya selang 2 cm yang perludipakai sebagai pengganti satu selang 3 cm?

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

BLogika MatematikaLogika Matematika

Dalam kehidupan sehari-hari, tanpa sepenuhnya kita sadari, kita

sering mengambil keputusan. Pengambilan keputusan ini

didasarkan pada pernyataan yang benar. Prinsip-prinsip

pengambilan keputusan ini dipelajari dalam logika matematika.

Agar kamu lebih memahami tentang logika matematika ini,

pelajarilah bab berikut dengan seksama.

♦ Kamu dapat menentukan nilai

kebenaran dan ingkaran suatu

pernyataan.


kebenaran dari disjungsi, konjungsi, dan

ingkaran.


kebenaran dari implikasi, konvers,

invers dan kontraposisi beserta

ingkaran.

♦ Kamu dapat menjelaskan arti kuantor

universal dan eksistensial beserta

ingkaran.

♦ Kamu dapat membuat ingkaran dari

suatu pernyataan berkuator.

♦ Kamu dapat menarik kesimpulan

dengan silogism, modus ponen dan

modus tolen.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat

matematika dengan bukti langsung.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat

matematika dengan bukti tak langsung

(kontraposisi dan kontradiksi).

♦ Kamu dapat membuktikan sifat dengan

induksi matematika.

55


1. PernyataanUtut dan Samson adalah dua sahabat yang hobi menonton pertandingan

tinju di televisi. Ketika sedang menonton sebuah pertandingan tinju, Samsonberkata kepada Utut: ”Sekarang, kita memiliki juara tinju dunia, namanyaChris John. ”“Ya, dulu juga petinju kita, Ellyas Pical pernah jadi juara dunia,” kata Ututmenanggapi. Samson menyangkal perkataan Utut ini, ”Kamu yang benaraja, Ellyas Pical itu pecatur. ”Perhatikan perkataan-perkataan dua sahabat tersebut.

1. Sekarang, kita memiliki juara tinju dunia, namanya Chris John.2. Dulu juga petinju kita, Ellyas Pical pernah jadi juara dunia.3. Ellyas Pical itu pecatur.

Kalimat 1 dan 2 bernilai benar berdasarkan fakta yang ada, sedangkankalimat 3 bernilai salah. Kamu dapat mengecek kebenarannya dari berbagaimedia massa. Kalimat-kalimat yang sudah pasti bernilai benar atau salahini disebut pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atausalah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan yang muncul dalam pembicaraan antara Utut dan Samsontersebut disebut juga pernyataan Empiris karena nilai kebenarannyadidasarkan pada fakta yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Selainpernyataan empiris, ada juga pernyataan tidak empiris yaitu pernyataan yangnilai kebenarannya berdasarkan bukti atau perhitungan dalam matematika.Contoh pernyataan tidak empiris ini seperti berikut.1. Persamaan kuadrat memiliki tepat satu akar real jika diskriminannya 0.

(pernyataan yang benar).2. Fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2x + 5 definit negatif.(pernyataan yang salah)

Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) sedangkanpernyataan yang salah memiliki nilai kebenaran S (salah). Sebuahpernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya:p, q, r, …

2. Kalimat TerbukaSaat istirahat di sekolah, tampak Utut dan Ling Ling sedang mengobrol.

“Ling, aku dengar rumahmu kemalingan? Siapa pelakunya?” tanya Utut.“Aku nggak enak mengatakannya, sebut sajalah pencuri itu si x.” jawab LingLing.“Si x? si x itu si Baron?” tebak Utut.“Bukan,” jawab Ling Ling.Perhatikan pembicaraan antara Utut dan Ling Ling di atas!

Ling Ling mengatakan pencuri itu si x.Ini merupakan kalimat yang belum pasti kebenarannya karena memuatvariabel. Kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka.

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka


Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya.

Kemudian, Utut menebak si x itu si Baron dan dijawab ‘bukan’ oleh Ling-Ling sehingga tebakan Utut salah.Tebakan Utut ini membuat kalimat terbuka tersebut menjadi sebuahpernyataan, yaitu “pencuri itu si Baron”. Nilai kebenaran pernyataan iniadalah salah.

Jadi, kalimat terbuka akan menjadi pernyataan jika variabel pada kalimatterbuka tersebut kamu ganti dengan konstanta tertentu.

CONTOHCONTOH1. Pada tahun 2005, x adalah presiden Indonesia. Bagaimana jika xdiganti dengan Gusdur?

Jawab:

Jika x diganti dengan Gusdurmaka diperoleh pernyataanyang salah. Namun, jika xkamu ganti dengan SusiloBambang Yudhoyono, kamuakan memperoleh pernya-taan yang benar.

2. x + 5 < 9 merupakan kalimat terbuka. Untuk x bilangan cacah,tentukanlah nilai x sehingga diperoleh pernyataan yang benar!

Jawab:

Kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x digantidengan 0, 1, 2, dan 3.

Asah Kompetensi 11. Manakah yang merupakan kalimat terbuka atau pernyataan dari kalimat-kalimat berikut.

Jika merupakan pernyataan, tentukanlah nilai kebenarannya!

a. Apakah 2 bilangan rasional?b. Kucing adalah hewan berkaki empat.c. Penjumlahan dua bilangan prima menghasilkan bilangan genap.d. ⏐x⏐ = 6.e. Sebutkan alat untuk mengukur panjang!f. x2 + y2 = 16g. x2 ≤ 0h. ‘Dewa’ grup band asal Surabaya

2. Untuk setiap x ∈ R, tentukanlah nilai x sehingga kalimat terbuka berikut menjadi pernyataanyang benar!

a. x2 + (x − 1)2 = x d.13 39 0

12x

x+ <

+

b. 2x = 30 e.2 2

2x

x+ =

c. xlog 3 = 3 f. |x – 2|2 > 4


Seorang wartawan dari tabloid olah raga mewawancarai Kurniawan DwiJulianto, pemain sepakbola Indonesia,” Kurniawan, saya dengar kabar tahundepan anda akan bermain di Persib.” Mendengar pernyataan ini, Kurniawanlangsung menyangkalnya, ”Tahun depan saya tidak bermain di Persib, sayaakan tetap di Persebaya.”Sangkalan Kurniawan ini disebut ingkaran dari pernyataan wartawan itu.Jika Kurniawan berkata benar maka nilai kebenaran sangkalannya benar.Akibatnya, nilai kebenaran pernyataan wartawan tersebut salah.

B. Ingkaran (Negasi)

Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ∼p yang bernilai benarjika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar.

Pada tabel kebenaran, sifat tersebut disajikan sebagai berikut.

1. p: Indonesia negara terkaya di dunia (Nilai kebenarannya salah)Ingkarannya adalah:∼p: Indonesia bukan negara terkaya di dunia (Nilai kebenarannya benar)atau∼p: Tidak benar Indonesia negara terkaya di dunia (Nilai kebenarannya benar)

2. q: 2x bilangan genap untuk x bilangan asli (Nilai kebenarannya benar)Ingkarannya adalah:∼q: 2x bilangan ganjil untuk x bilangan asli (Nilai kebenarannya salah)atau∼q: Tidak benar 2x bilangan genap untuk x bilangan asli

(Nilai kebenarannya salah)

Buatlah ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut. Kemudian, tentukanlah nilai kebenarannya!

1. Buaya adalah reptilia.

2. Kalkulator adalah satu-satunya alat hitung.

3. Jumlah dari suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional merupakan bilangan irasional.

4. p merupakan bilangan irasional.

5. Bilangan desimal berulang 0,999… sama dengan 1.

6. Grafik fungsi f(x) = 3x2 + x − 5 terbuka ke bawah.

p ∼∼∼∼∼pSB

BS

CONTOH

Asah Kompetensi 2


7. Tahun 2004 merupakan tahun kabisat.

8.15

n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

> 0 untuk x bilangan real.

1. KonjungsiSebuah perusahaan otomotif membuka lowongan untuk posisi sales.

Syarat yang harus dipenuhi oleh pelamar adalah harus seorang laki-laki danmemiliki motor. Jika seorang pelamar seorang laki-laki dan memiliki motormaka pelamar tersebut berkesempatan untuk mengikuti tes tahap berikutnya.Jika pelamar tersebut seorang laki-laki tapi tidak memiliki motor ataumemiliki motor tapi seorang perempuan maka lamarannya tidak akandiproses. Apalagi, jika ia tidak memenuhi kedua syarat tersebut.

Sekarang, uraikan pernyataan majemuk seorang pelamar harus seoranglaki-laki dan memiliki motor menjadi dua pernyataan tunggal yangdilambangkan dengan p dan q. seperti berikut:p : Seorang pelamar harus seorang laki-laki.

Pernyataan ini bernilai benar (B), jika pelamar tersebut laki-laki danbernilai salah (S), jika pelamar tersebut perempuan.

q : Pelamar harus memiliki motor.Pernyataan ini benar (B), jika pelamar tersebut memiliki motor danbernilai salah (S), jika pelamar tersebut tidak memiliki motor.

Tabel kebenaran dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.

C. Pernyataan Majemuk

Uraian tersebut menggambarkan nilai kebenaran konjungsi, di mana p ∧ qdibaca p dan q.

Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataantunggalnya bernilai benar.

Pernyataan majemuk adalah gabungan dua buah pernyataan denganmenggunakan kata penghubung “dari, atau, jika . . . maka . . . , jika danhanya jika”.

DEFINISI

p q

BSBS

BBSS

p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ q

BSSS


1. Perhatikan pernyataan-pernyataan tunggal berikut!

a. p : Kang Ibing pelawak asal Jawa Barat. (Pernyataan yang benar)q : Kang Ibing pernah bermain film. (Pernyataan yang benar)Maka p ∧ q : Kang Ibing pelawak asal Jawa Barat dan pernah bermain

film. (Pernyataan yang benar)

b. r : 9 merupakan bilangan kuadrat sempurna. (Pernyataan yang benar)s : 9 tidak habis dibagi 9. (Pernyataan yang benar)Maka r ∧ s : 9 merupakan bilangan kuadrat sempurna dan tidak habis

dibagi 9. (Pernyataan yang benar)

2. Tentukan nilai n sehingga konjungsi berikut benar.Jakarta ibu kota Indonesia dan n2 = 100.

Jawab:Terlebih dahulu, uraikan konjungsi tersebut menjadi pernyataan-pernyataan tunggal.

p : Jakarta ibu kota Indonesia (Pernyataan yang benar)q : n2 = 100 (Kalimat terbuka)

Supaya konjungsi benar haruslah kedua pernyataan tunggal yangmembentuknya benar. Jadi, kalimat terbuka n2 = 100 harus menjadipernyataan yang benar. Nilai n haruslah 10.

2. Disjungsi

a. Disjungsi Inklusif

Malam ini, Utut belajar di kamarnya.Ia membaca buku pelajaran atau mengerjakan PR.Arti dari pernyataan ini adalah sebagai berikut:• Utut membaca buku pelajaran sambil mengerjakan PR.• Utut membaca buku pelajaran, tetapi tidak mengerjakan PR.• Utut tidak membaca buku pelajaran, tetapi mengerjakan PR.Jika Utut tidak membaca buku pelajaran dan tidak mengerjakan PR, berartiia tidak belajar.Pernyataan seperti itu disebut disjungsi inklusif.Perhatikanlah tabel kebenaran disjungsi inklusif!

CONTOH

p q

BSBS

BBSS

p ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ q

BBBS

Uraian tersebut menggambarkan nilai kebenaran disjungsi inklusif, di manap ∨ q dibaca: p atau q


Disjungsi inklusif bernilai benar jika salah satu pernyataan tunggalnyabernilai benar.

Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika salah satu pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.

1. Perhatikan pernyataan-pernyataan tunggal berikut!

a. p: Sempoa merupakan alat untuk menghitung. (Pernyataan yang benar)q: Sempoa sebuah alat elektronik. (Pernyataan yang salah)maka p ∨ q : Sempoa merupakan alat untukmenghitung atau alat elektronik. (Pernyataan yang benar)

b. r: Fungsi kuadrat x2 − 4 definit positif (Pernyataan yang benar)s: Grafik fungsi kuadrat x2 − 4 berupagaris lurus (Pernyataan yang salah)maka r ∧ s : Fungsi kuadrat x2 − 4 definitpositif atau grafiknya berupa garis lurus. (Pernyataan yang salah)

2. Tentukan nilai x bilangan real sehingga disjungsi berikut salah!x = 0 atau −1 merupakan bilangan asli

Jawab:

Terlebih dahulu, uraikan disjungsi tersebut menjadi pernyataan-pernyataan tunggal.

p : x = 0 (Kalimat terbuka)q : −1 merupakan bilangan asli (Pernyataan yang salah)

Supaya disjungsi salah haruslah kedua pernyataan tunggal yangmembentuknya salah.

Jadi, kalimat terbuka x = 0 harus menjadi pernyataan yang salah.Nilai x adalah x ≠ 0.

CONTOH

b. Disjungsi EksklusifUtut pergi ke sekolah menggunakan motor atau angkot.

Arti dari pernyataan ini adalah Utut pergi ke sekolah menggunakan salahsatu kendaraan tersebut, tapi tidak kedua-duanya.Pernyataan seperti itu disebut disjungsi eksklusif.Perhatikan tabel kebenaran disjungsi eksklusif berikut ini!

p q

BSBS

BBSS

p ∨∨∨∨∨ q

SBBS


Asah Kompetensi 31. Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan

nilai kebenarannya!

a. p : Roda mobil berbentuk persegiq : Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran

b. r : a0 = 1 untuk a bilangan reals : 1n = 1 untuk n bilangan real

c. t :69 merupakan bentuk lain dari

23

u :23 merupakan bentuk sederhana dari

69

d. v : Jakarta ibu kota Amerikaw : Jakarta terletak di pulau Jawa

2. Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian,tentukan nilai kebenarannya!a. p : Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten

q : Bandara Adi Sucipto ada di Semarangb. r : Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya

s : Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan ituc. t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617

u : 11 merupakan bilangan kompositd. v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005

w : Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3. Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar!a. 269 dan x2 + x + 17 merupakan bilangan primab. 0 habis dibagi 2 atau x2 − 2 = 2x + 17c. Soeharto adalah presiden Indonesia terlama atau ⏐x2 − 1⏐< 3d. 930 cm + 7 dm = 10 m dan ⏐3x − 1⏐ < 2⏐x + 6⏐

e. Surabaya dijuluki kota buaya atau x = 0


1Waktu: 30 menit

1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka, pernyataan tunggal, danpernyataan majemuk? Jika merupakan pernyataan majemuk,tentukanlah pernyataan-pernyataan tunggalnya!a. Utut seorang remaja yang pintar meskipun jarang belajar.b. x2 + 2x + 3 = 0 merupakan persamaan kuadrat.c. p adalah faktor dari 24.d. Penampang buku selalu berbentuk persegi panjang.e. Yusril Ihza Mahendra tidak mungkin lahir di Belitung walaupun

orang tuanya di sana.

2. Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan berikut. Kemudian, buatingkarannya!a. Indonesia adalah negara agraris.b. 4 + 4 : 4 = 2c. Jumlah dua sudut berpelurus adalah 180°.d. Indonesia terdiri dari 33 propinsi.e. Tim nasional sepakbola Indonesia pernah ikut Piala Dunia.

3. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.p: Deddy Corbuzier seorang pesulap.q: Deddy Corbuzier selalu berpakaian hitam-hitam.

Buatlah pernyataan-pernyataan dengan lambang berikut ini!a. p ∧ q f. p ∨ qb. p ∧ ∼q g. ∼p ∨ qc. ∼p ∧ q h. ∼p ∨ ∼qd. p v q i. ∼(p ∨ q)e. ∼ (p ∧ q) j. ∼(p ∨ ∼q)

4. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

p q

BSBS

BBSS

∼q p ∧∧∧∧∧ ∼q p ∨∨∨∨∨ ∼q (p ∧∧∧∧∧ ∼q) ∨∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨∨ ∼q). . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .


3. ImplikasiDari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk

“Jika p maka q” yang disebut implikasi atau kondisional. Implikasi “jika pmaka q” ditulis “p ⇒ q”. Pernyataan p disebut hipotesa atau alasan, sedangkanq disebut konklusi atau kesimpulan. Implikasi “p ⇒ q” dapat juga dibacasebagai berikut.• p hanya jika q• q jika p• p syarat cukup bagi q• q syarat perlu bagi p

Perhatikan uraian berikut!Ketika sedang berolahraga pagi, ayah mengatakan kepada Jack: ”Jika kamugiat berolahraga, maka tubuhmu akan bugar.”Pernyataan tersebut mengandung arti sebagai berikut:

• Jack giat berolahraga sehingga tubuhnya menjadi bugar. Ini membuatayahnya senang.

• Jack giat berolahraga, tetapi tubuhnya lemas. Ini membuat ayahnyakecewa.

• Jack jarang berolahraga, tetapi tubuhnya tetap bugar. Ini membuatayahnya tetap senang.

• Jack jarang berolahraga sehingga tubuhnya menjadi lemas. Ini wajarmenurut ayahnya.

Dengan menguraikan pernyataan majemuk,”Jika kamu giat berolahraga,maka tubuhmu akan bugar.”menjadi pernyataan-pernyataan tunggal berikut:

p: Kamu giat berolahraga.q: Tubuhmu akan bugar.

Dapat dibuat tabel kebenaran implikasi seperti berikut.

Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai benar dankonklusi bernilai salah.

1. Perhatikan pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut.p : Jumlah sudut segitiga 240° (Pernyataan yang salah)q : Besar masing-masing sudut segitiga (Pernyataan yang salah)

samasisi 80°Selidikilah nilai kebenaran pernyataan di atas!

Jawab:

p ⇒ q : Jika jumlah sudut segitiga 240° maka besar masing-masingsudut segitiga samasisi 80°

CONTOH

p q

BSBS

BBSS

p ⇒⇒⇒⇒⇒ qBSBB


Oleh karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q bernilai benar.q ⇒ p: Jika besar masing-masing sudut segitiga samasisi 80° maka

jumlah sudut segitiga 240°Oleh karena p dan q bernilai salah, maka q ⇒ p bernilai benar.

2. Selidikilah nilai kebenaran pernyataan berikut!Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + 2x + 3 = 0 maka x1 + x2 = 2.

Jawab:Jumlah akar-akar persamaan x2 + 2x + 3 = 0 adalah x1 + x2 = −2.

Jadi, hipotesa benar dan konklusinya salah sehingga implikasinyabernilai salah.

4. BiimplikasiDari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk

“p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi atau bikondisional.Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” ditulis “p ⇔ q”, yang merupakangabungan dari dua implikasi, yaitu p ⇒ q dan q ⇒ p. Dengan demikian,p ⇔ q ekuivalen dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), artinya p ↔ q dan(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) memiliki nilai kebenaran yang sama.

Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi p ⇔ q yang dibentuk dari(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)!

Dari tabel tersebut dapat disimpulkan nilai kebenaran (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Suatu biimplikasi p ⇔ q bernilai benar jika pernyataan p dan q memilikinilai kebenaran yang sama.

1. Perhatikan pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut!p : Becak adalah kendaraan beroda tigaq : Bus adalah kendaraan beroda empat

Jawab:p ⇔ q : Becak adalah kendaraan beroda tiga jika dan hanya jika bus

adalah kendaraan beroda empat.Oleh karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ⇔ q bernilaisalah. q ⇔ p : Bus adalah kendaraan beroda empat jika dan hanya jika becak

adalah kendaraan beroda tiga.

Oleh karena q bernilai salah dan p bernilai benar, maka q ⇔ p bernilaisalah.

CONTOH

q

BSBS

p ⇒ q

BSBB

q ⇒ p

BBSB

p

BBSS

(p ⇒ q) ∧∧∧∧∧ (q ⇒ p)

BSSS


2. Selidikilah nilai kebenaran pernyataan berikut!x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x bilangan bulat.

Jawab:Pernyataan-pernyataan tunggal dari biimplikasi tersebut adalahsebagai berikut.p : x adalah bilangan primaq : x bilangan bulatSelidiki nilai kebenaran p ⇒ q dan q ⇒ p.p ⇒ q : Jika x adalah bilangan prima maka x bilangan bulat.Kamu telah mengetahui bahwa setiap bilangan prima adalah bilanganbulat sehingga implikasi p ⇒ q bernilai benar.q ⇒ p : Jika x bilangan bulat maka x adalah bilangan prima.Karena ada bilangan bulat yang bukan bilangan prima, misalnya 4maka implikasi q ⇒ p bernilai salah.Akibatnya, p ⇔ q bernilai salah.

1. Pehatikanlah pernyataan-pernyataan tunggal berikut!

a. f : Rudi Hartono atlet bulutangkisg : Rudi Hartono pernah menjadi juara All England 7 kali berturut-turutTentukanlah f ⇒ g, g ⇒ f, f ↔ g, dan g ⇔ f. Kemudian, tentukan pula masing-masingnilai kebenarannya!

b. h : 2 bilangan primai : 2n bilangan prima untuk n bilangan prima

k : 1 tahun =1

100 abad

Tentukanlah h ⇒ i, i ⇒ h, h ⇔ i, dan i ⇔ h. Kemudian, tentukan pula masing- masingnilai kebenarannya!Tentukan juga j ⇒ k, k ⇒ j, j ⇔ k, dan k ⇔ j. Kemudian, tentukan pula masing- masingnilai kebenarannya!

d. l : log 2 = log 10 − log 5m : log 8 = log 4 + log 4Tentukanlah l ⇒ m, m ⇒ l, l ⇔ m, dan m ⇔ l. Kemudian, tentukan pula masing-masingnilai kebenarannya!

e. n : Astronomi adalah ilmu yang mempelajari benda-benda langito : Geografi adalah ilmu yang mempelajari bumiTentukanlah n ⇒ o, o ⇒ n, n ↔ o, dan o ⇔ n. Kemudian, tentukan pula masing-masingnilai kebenarannya!

2. Selidiki nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.a. Jika x + 1 > 0 maka x2 + 4x + 3 > 0b. Jika x > 0 dan y > 0 maka x, y > 0c. Jika 1 + x + 5 + … adalah deret aritmetika maka x + 6 + 12 + … adalah deret geometrid. 1 + 2 + 3 + … adalah deret geometri jika dan hanya jika 12 + 22 + 32 + … adalah deret

aritmetika.e. Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 3x − 5 = 0 adalah x1 dan x2 jika dan hanya jika 2x1 = x2

dan 2x2 = x1

Asah Kompetensi 4


D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk berikut.• q → p disebut konvers dari implikasi p → q• ∼p → ∼q disebut invers dari implikasi p → q• ∼q → ∼p disebut kontraposisi dari implikasi p → q

Sekarang, perhatikan tabel kebenaran keempat bentuk pernyataan tersebut.

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan hubungan berikut.• p → q ≡ ∼q → ∼p, artinya implikasi ekuivalen dengan kontrapositifnya• q → p ≡ ∼p → ∼q, artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers

dari implikasi tersebut.

Tuliskanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut!“Jika hewan itu kuda maka hewan itu berkaki empat”

Jawab:Konvers : Jika hewan itu berkaki empat maka hewan itu kuda.Invers : Jika hewan itu bukan kuda maka hewan itu tidak berkaki

empat.Kontraposisi : Jika hewan itu tidak berkaki empat maka hewan itu bukan

kuda.

∼∼∼∼∼p ∼∼∼∼∼q p →→→→→ q q →→→→→ pp q ∼∼∼∼∼p →→→→→ ∼∼∼∼∼q ∼∼∼∼∼q →→→→→ ∼∼∼∼∼p

SBSB

SSBB

BSBS

BBSS

BSBB

BBSB

BBSB

BSBB

Ekuivalen

Ekuivalen

Perhatikanlah tabel kebenaran berikut!

∼∼∼∼∼p ∼∼∼∼∼q p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ q ∼∼∼∼∼(p ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ q)p q ∼∼∼∼∼p∨∨∨∨∨ ∼∼∼∼∼q

SBSB

SSBB

BSBS

BBSS

BSSS

SBBB

SBBB

Ekuivalen

Tampak bahwa, ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q. Artinya, ingkaran dari p ∧ q adalah ∼p ∨ ∼q.

CONTOH

E. Ingkaran dari Pernyataan Majemuk


Sekarang, perhatikan tabel kebenaran berikut!

1. Ingkaran dari pernyataan,”Mama panggilan untuk ibu dan papapanggilan untuk ayah” adalah “Mama bukan panggilan untuk ibu ataupapa bukan panggilan untuk ayah.”

2. Ingkaran dari pernyataan,”Jika harga motor turun saya akan membelimotor.” adalah “Meskipun harga motor turun, saya tidak akan membelimotor.”

Asah Kompetensi 5

∼∼∼∼∼p ∼∼∼∼∼q p ∨∨∨∨∨ q ∼∼∼∼∼ (p ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ q)p q ∼∼∼∼∼p ∧∧∧∧∧ ∼∼∼∼∼q

SBSB

SSBB

BSBS

BBSS

BBBS

SSSB

SSSB

Ekuivalen

Tampak bahwa, ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q. Artinya, ingkaran dari p v q adalah ∼p ∧ ∼q.Dengan cara yang sama, akan diperoleh ingkaran dari implikasi dan

biimplikasi.• ∼(p → q) ≡ p ∧∼q. Artinya, ingkaran dari p → q adalah p ∧ ∼q.• ∼(p ↔ q) adalah (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p). Artinya, ingkaran dari p ↔ q adalah

(p ∧ ∼q) ∨ (q ∨ ∼p).

1. Tentukanlah konvers, invers, dan kontrapositif dari pernyataan-pernyataan berikut!a. Jika x bilangan genap maka 2x bilangan genap dan 2x − 1 bilangan ganjil.b. Jika ABC sebuah segitiga samasisi maka besar masing-masing sudutnya 60°.c. Jika ayam berkokok tiga kali maka hari sudah siang.d. Jika nenek memakai tongkat maka nenek sudah tuae. Jika 8 habis 2 maka 2 tidak habis dibagi 8.

2. Tentukanlah ingkaran dari pernyataan majemuk-pernyataan majemuk berikut!a. Persamaan kuadrat x2 + 3x + 4 = 0 dan x2 + 2x + 3 = 0 mempunyai akar-akar real.b. Katak hidup di air atau di darat.c. Jika bunga itu melati maka banyak orang menyukainya.d. 7 + 3 ≠ 10 jika dan hanya jika 10 bilangan genap.

Dengan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa untuk implikasi [( p → q) ∧ p] → q, konversnyaadalah q → [( p → q) ∧ p], inversnya adalah ∼[( p → q) ∧ p] → ∼q, dan kontrapositifnya adalah∼q → ∼[( p → q) ∧ p].

CONTOH


Waktu: 60 menit

1. Selidiki nilai kebenaran implikasi-implikasi berikut. Manakah yangdapat diubah menjadi biimplikasi? Buatlah biimplikasi itu!a. Jika sepakbola olahraga terpopuler di Indonesia maka sepakbola

ditemukan di Inggris.b. Jika Arifin C. Noor seorang penyair maka Farhan seorang penyiar.c. Jika 5 bilangan ganjil maka 0,5 merupakan pecahan.d. Jika –x bilangan real positif maka x bilangan real negatif.e. Jika hujan tidak turun maka Jakarta banjir.f. Jika besar sudut berpenyiku adalah sama maka besar sudut

bertolak belakang juga sama.g. Jika 42 = 24 maka xy = yx, untuk x dan y bilangan real.h. Jika 1 < log x < 2 maka 10 < x < 100

2. Diketahui konvers (p ∧ q) → ∼p, tentukanlah implikasi, invers, dankontraposisinya!

3. Diketahui kontraposisi (∼p ∨ q) → ∼p, tentukanlah implikasi, konvers,dan inversnya!

4. Diketahui invers (p ∧ q) → p, tentukanlah implikasi, konvers, dankontraposisinya!

5. Tunjukkan bahwa:a. Invers dari konversnya implikasi adalah kontraposisi dari

implikasib. Invers dari kontraposisinya implikasi adalah konvers dari

implikasic. Konvers dari inversnya implikasi adalah kontraposisi dari

implikasid. Konvers dari kontraposisinya implikasi adalah invers dari

implikasie. Kontraposisi dari konversnya implikasi adalah invers dari

implikasif. Kontraposisi dari inversnya implikasi adalah konvers dari

implikasi

6. Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut. Kemudian, selidikidengan menggunakan tabel kebenaran!a. (∼q ∧ r) → rb. ∼ (∼p → ∼q)c. (p → q) ∧ (p ∨ ∼q)

ASAH KEMAMPUAN2

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30


Kuantor adalah imbuhan di depan suatu kalimat terbuka yang dapatmengubah kalimat terbuka itu menjadi suatu pernyataan. Ada dua macamkuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

1. Kuantor UniversalKuantor universal dilambangkan dengan ∀ x, dapat dibaca untuk setiap

x atau untuk semua x. Jika M(x) menyatakan suatu kalimat terbuka, maka ∀ xM(x) memiliki arti “untuk setiap x, berlaku M(x).” Dengan penambahankuantor ∀ x di depan M(x), maka M(x) menjadi sebuah pernyataan.

F. Ingkaran Pernyataan Berkuantor

1. ∀ x bilangan cacah, x + 2 ≥ 2Bilangan cacah paling kecil adalah 0 sehingga ∀ x bilangan cacah, x ≥ 0.Dengan menambahkan 2 pada kedua ruas, akan diperoleh x + 2 ≥ 2.Jadi, ∀ x bilangan cacah, x + 2 ≥ 2 merupakan pernyataan yang benar.

2. ∀ x ∈ R, 2log x > 0.Merupakan pernyataan yang salah karena ada x ∈ R yang menyebabkan2log x ≤ 0, salah satunya x = 1.

2. Kuantor EksistensialKuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃x, dapat dibaca ada x atau

beberapa x atau terdapat x. Jika M(x) menyatakan suatu kalimat terbuka maka∃x M(x) memiliki arti “Ada x, sehingga berlaku M(x)” atau “Beberapa x,sehingga berlaku M(x)” Dengan penambahan kuantor ∃x di depan M(x),maka M(x) menjadi sebuah pernyataan.

Τentukanlah nilai kebenaran dan ingkaran dari ∃x ∈ R, 2x + 1 = 0!

Jawab:

Ada x ∈ R yang memenuhi 2x + 1 = 0, yaitu x = 12

− .Jadi, ∃x ∈ R, 2x + 1 = 0 merupakan pernyataan yang benar.Jika kamu menentukan ingkaran pernyataan tersebut, kamu mendapatkan∼(∃x ∈ R, 2x + 1 = 0) ≡ ∀x ∈ R, 2x + 1 ≠ 0.

Artinya, “tidak ada x bilangan real yang menyebabkan 2x + 1 = 0”.Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan “untuk setiap x bilangan realberlaku 2x + 1 ≠ 0”.Karena nilai kebenaran pernyataannya benar maka nilai kebenaraningkarannya salah.

Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataanberkuantor universal dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran.Secara matematis, ditulis ∼[∃x M(x)] ≡ ∀x [∼M(x)].Sebaliknya,Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah pernyataanberkuantor eksistensial dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran.Secara matematis, ditulis ∼[∀x M(x)] ≡ ∃x [∼M(x)].

CONTOH

CONTOH


3 ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 30 menit

Tentukanlah ingkaran masing-masing pernyataan berikut. Kemudian,tentukan nilai kebenarannya!1. ∀x ∈ R, 5x > 0

2. ∃x ∈ R, xlog15 < 1

3. ∀x ∈ R, ⏐x⏐ ≥ 0

4. ∃x ∈ R, 1 1x x− = −

5. ∀x ∈ R, x2 < 1 + x2

6. Semua supir mematuhi peraturan lalu lintas dan jalan tidak macet.

7. Ada pejabat yang korupsi atau masyarakat akan sejahtera.

8. Semua siswa berdemonstrasi sehingga semua kelas kosong.

9. Semua bilangan cacah merupakan bilangan bulat.10. Tidak ada bilangan komposit yang lebih dari 100.

Bobot soal: 100

CONTOH

Ingkaran dari pernyataan “x ∈ R, 1 < x < 2 adalah ∃x ∈ R, x ≤ 1 atau x ≥ 2.

Suatu kesimpulan atau konklusi dapat ditarik dengan menggunakansejumlah pernyataan yang disebut premis. Penarikan kesimpulan denganmenggunakan sejumlah pernyataan ini disebut argumen. Suatu argumen inidikatakan sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya benar.

1. Modus PonensModus ponens adalah argumen yang merupakan implikasi dari

[(p → q) ∧ p] → q atau [p ∧ (p → q)] → q. Argumen ini sah. Kamu dapatmembuktikannya dengan menggunakan tabel kebenaran.

p q

BSBS

BBSS

p →→→→→ q (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ p [(p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ p] →→→→→ q

BSBB

BSSS

BBBB

G. Penarikan Kesimpulan


Nilai kebenaran [(p → q) ∧ ∼q ] → ∼p adalah benar.Jadi, terbukti bahwa [(p → q) ∧ ∼q ] → ∼p valid atau sah.Begitu juga dengan [∼q ∧ (p → q)] → ∼p. Silahkan kamu buktikan sendiri.Modus tollens ini dinyatakan sebagai berikut.Premis (1) : p → q (Pernyataan yang benar)Premis (2) : ∼q (Pernyataan yang benar)–––––––––––––––––––––Konklusi : ∼p (Pernyataan yang benar)atauPremis (1) : ∼q (Pernyataan yang benar)Premis (2) : p → q (Pernyataan yang benar)–––––––––––––––––––––Konklusi : ∼p (Pernyataan yang benar)

Nilai kebenaran [(p → q) ∧ p] → q adalah benar. Jadi, terbukti bahwa[(p → q) ∧ p] → q sah. Begitu juga dengan [p ∧ (p → q)] → q. Silahkan kamubuktikan sendiri.

Modus ponens ini dinyatakan sebagai berikut.Premis (1) : p → q (Pernyataan yang benar)Premis (2) : p (Pernyataan yang benar)–––––––––––––––––––––Konklusi : q (Pernyataan yang benar)atauPremis (1) : p (Pernyataan yang benar)Premis (2) : p → q (Pernyataan yang benar)–––––––––––––––––––––Konklusi : q (Pernyataan yang benar)

Penarikankesimpulan

p → qq → r

∴p → q

p → qp

∴q

p → q∼q∴∼p

Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan modus ponens!Premis (1) : Jika saya gemar membaca buku maka saya akan pintarPremis (2) : Saya gemar membaca buku––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : Saya akan pintar

2. Modus TollensModus tollens adalah argumen yang merupakan implikasi dari

[(p → q) ∧ ∼q ] → ∼p atau [∼q ∧ (p → q)] → ∼p. Argumen ini sah. Kamu dapatmembuktikannya dengan menggunakan tabel kebenaran.

CONTOH

p q

BSBS

BBSS

p →→→→→ q ∼∼∼∼∼q [(p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ ∼∼∼∼∼q ]

BSBB

SBSB

SSSB

[(p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ ∼∼∼∼∼q ] →→→→→ ∼∼∼∼∼p

BBBB


Nilai kebenaran [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) adalah benar.Jadi, terbukti bahwa [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) valid atau sah.Silogisme ini dinyatakan sebagai berikut.Premis (1) : p → q (Pernyataan yang benar)Premis (2) : q → r (Pernyataan yang benar)–––––––––––––––––––––––––––Konklusi : p → r (Pernyataan yang benar)

Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan modus tollens!

Jawab:

Premis (1) : Jika ia juara Olimpiade Matematika maka ia termasuk siswayang cerdas

Premis (2) : Ia bukan siswa yang cerdas–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : Ia bukan juara Olimpiade Matematika

3. Silogisme

Silogisme adalah argumen yang merupakan implikasi dari[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

Argumen ini sah. Kamu dapat membuktikannya dengan menggunakan tabelkebenaran.

p

BBBBSSSS

BSBBBSBB

(p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (q →→→→→ r)

BSSSBSBB

q →→→→→ r

BSBSBBBB

p →→→→→ r (p →→→→→ q) ∧∧∧∧∧ (q →→→→→ r)

BBBBBBBB

Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar berdasarkan silogisme!Premis (1) : Jika kita rajin belajar maka kita akan berprestasiPremis (2) : Jika kita berprestasi maka kita akan sukses––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : Jika rajin belajar maka kita akan sukses

CONTOH

CONTOH

q

BBSSBBSS

r

BSBSBSBS

BBSSBBBB

p →→→→→ q


Waktu: 45 menit

1. Tentukanlah penarikan kesimpulan yang benar!a. Jika Mike Tyson seorang petinju maka ia pernah menjadi juara

duniaMike Tyson seorang petinju––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Jadi, …

b. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0a ≠ 0 dan b ≠ 0–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Jadi, …

c. Jika bunga itu tidak berduri maka bunga itu bukan mawarJika bunga itu berduri maka bunga itu harum baunyaJadi, …

d. Utut tidak suka memancing atau Utut suka lari pagiUtut tidak suka lari pagi–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Jadi, …

e. Jika saya pegawai maka saya akan mendapat gaji bulananJika saya mendapat gaji bulanan maka saya akan menabung tiapbulanSaya tidak menabung tiap bulan–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Jadi, …

2. Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksa sah atau tidakkahargumen berikut!

a.p qq

p

→∼

∴∼c.

p qr qp r

∼ →∼ →∼∴ →

e.p qq

p

∼ →∼

∴

b.vp q

qp

∼∼∴∼

d.vp q

pq

∼∼∴∼

4 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 75

Bobot soal: 25


Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbol-simbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan?Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815.Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulandalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dandihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumenlogis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuahteka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

Buktikan bahwa jika p > 0, p ≠ 1, a,b > 0 berlaku plog (ab) = plog a + plog b!

Jawab:Misalkan, x = plog a maka a = px



= plog px + y

Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperolehplog (ab) = x + y = plog a + plog bJadi, plog (ab) = plog a + plog b

1. Bukti LangsungBukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaran

sebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar,seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan.

CONTOH

a. Bukti Tak Langsung dengan KontrapositifMisalkan, harus dibuktikan p → q benar. Andaikanlah ∼q benar, kemudian

dengan langkah logis turunkanlah supaya ∼p benar sehingga ∼q → ∼p benar.Oleh karena p → q ≡ ∼q → ∼p dan ∼q → ∼p benar maka p → q benar.

Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjilmaka n + 1 bilangan genap!

Bukti:Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genapsehingga n dapat ditulis sebagai n = 2a.Akibatnya, n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2)Ini berarti, n2 bilangan genap.Jadi, “jika n + 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap.” Pernyataan iniekuivalen dengan pernyataan,”jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangangenap.”

Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat

Sahabat Alfarabi

CONTOH

H. Bukti Dalam Matematika


Buktikanlah bahwa jumlah dari suatu bilangan rasional dengan bilanganirasional adalah bilangan irasional!

Bukti:

Misalkan, x bilangan rasional maka x dapat dinyatakan sebagai x =pq , p,

q bilangan bulat dan q ≠ 0. Jika x dijumlahkan dengan bilangan irasionaly, haruslah x + y irasional. Untuk membuktikan ini, misalkanlah x + y

rasional sehingga dapat ditulis x + y =mn , m, n bilangan bulat dan n ≠ 0.

Dari x + y =mn

, didapat y =mn − x = − p

q= mq np

nq− .

Ini berarti, y bilangan rasional.Hal ini bertentangan dengan pemisalan. Jadi, jumlah dari suatu bilanganrasional dengan bilangan irasional adalah bilangan irasional.

Buktikan bahwa 13 + 23 + 33 + … + n3 = (12 n (n + 1))2!

Jawab:Misalkan p(n) =

12 (n (n + 1))2

• Untuk n = 1 ⇒ p(1) = (12 ⋅ 1 ⋅ (1 + 1))2 = (

12 ⋅ 2)2 = 12 = 1.

Untuk n = 1, rumus berlaku sebab ruas kiri dan ruas kanan menghasilkanbilangan yang sama, yaitu 1.

• Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka

13 + 23 + 33 + … + k3 = (12 k (k + 1))2

• Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1?Untuk n = k + 1, didapat ruas kiri persamaan,13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3

(12 k (k + 1))2 + (k + 1)3 = (

12 k)2 (k + 1)2 + (k + 1) (k + 1)2

= 21 14

k k⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ (k + 1)2

=14 (k2 + 4k + 4) (k + 1)2

CONTOH

CONTOH

b. Bukti Tak Langsung dengan Kontradiksi

3. Induksi MatematikaInduksi matematika adalah proses pembuktian rumus umum dari beberapa

hal khusus. Rumus ini harus berlaku untuk setiap bilangan asli.Tahap-tahap pembuktian dengan induksi matematika sebagai berikut.1. Buktikan rumus tersebut berlaku untuk n = 1.2. Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, buktikanlah bahwa rumus

tersebut berlaku juga untuk n = k + 1.


Waktu: 60 menit

1. Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaankuadrat

ax2 + bx + c = 0 adalah 2

14

2b b acx

a− + −= atau

2

24

2b b acx

a− − −=

2. Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa 10 tidak terdefinisi!

3. Buktikanlah bahwa:

a. 1 + 21 + 22 + . . . + 2n − 1 = 2n − 1

b. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

c. 12 + 22 + . . . + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1)

d. 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)

ASAH KEMAMPUAN5

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

Bobot soal: 30

=14 (k + 1)2(k + 2)2

=21 ( 1)( 2)

2k k⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Pada ruas kanan persamaan, didapat ( 12 (k + 1) (k + 2))2.

Untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yangsama.

Jadi, 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( 12 n (n + 1))2 berlaku untuk n = k dan untuk

n = k + 1 atau untuk semua n bilangan asli.

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13!Sumber: Olimpiade Matematika SMU


1. Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidaksekaligus benar dan salah.

2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya karena memuat variabel.

3. Ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p yang bernilai benar jika p bernilai salah danbernilai salah jika p bernilai benar.

4. Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.

5. Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar atau salah satu pernyataantunggalnya bernilai benar.

6. Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar.

7. Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai benar dan konklusi salah.

8. Suatu biimplikasi p q↔ bernilai benar jika pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yangsama.

9. Pernyataan majemuk yang ekuivalen" q p→ disebut konvers dari implikasi p q→

" ~ ~p q→ disebut invers dari implikasi p q→

" ~ ~q p→ disebut kontraposisi implikasi p q→

" ~ ~p q q p→ ≡ → artinya implikasi ekuivalen dengan kontraposisi" ~ ~q p p q→ ≡ → artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers dari impliksi

tersebut

10. Ingkaran dari pernyataan majemuk" ~ ( ) ~p q p q→ ≡ ∧ artinya ingkaran dari p q→ adalah ~p q∧

" ~ ( ) ( ~ ) ( ~ )p q p q q p↔ ≡ ∧ ∨ ∧ artinya ingkaran dari adalah p q↔ adalah

( ~ ) ( ~ )p q q p∧ ∨ ∧

" ~ ( ) ~ ~p q p q∧ ≡ ∨ artinya ingkaran dari p q∧ adalah ~ ~p q∨

" ~ ( ) ~ ~p q p q∨ ≡ ∧ artinya ingkaran dari p q∨ adalah ~ ~p q∧

11. Ingkaran pernyataan berkuator eksistensial adalah pernyataan berkuator universal dengan kalimatterbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, [ ]~ ( ) [~ ( )]x M x x M x∃ ≡ ∀

12. Ingkaran pernyataan berkuator universal adalah pernyataan berkuator eksistensial dengan kalimatterbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, [ ]~ ( ) [~ ( )]x M x x M x∀ ≡ ∃

RangkumanRangkuman



1. Nilai kebenaran dari ~p ⇒ q adalah . . . .a. p ∨ q d. q ⇒ ~pb. p ∧ q e. ~p ∨ ~qc. q ⇒ p

2. Jika pernyataan p bernilai salah danpernyatan q bernilai benar, maka pernyataanberikut yang bernilai salah adalah . . . .a. ~p ∨ q d. ~p ⇒ ~qb. p ⇒ q e. ~p ∧ qc. p ∧ q

3. Pernyataan (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) ekuivalendengan pernyataan . . . .a. p ⇒ q d. ~p ⇒ qb. p ⇒ ~q e. p ⇔ qc. ~p ⇒ ~q

4. Jika ~p menyatakan ingkaran p dan ~qmenyatakan ingkaran q, maka kalimat p ⇒ qekivalen dengan . . . .a. ~p ∨ q d. ~p ⇒ qb. ~q ⇒ p e. q ⇒ pc. q ⇒ ~p

5. Perhatikan kalimat berikut!“Meskipun hari ini hujan pak Dodi harusberangkat bekerja.”Pernyataan tersebut ekuivalen dengan . . . .a. Hari ini hujan sehingga Pak Dodi tidak

berangkat bekerjab. Memang benar hari ini hujan dan Pak

Dodi tidak berangkat bekerjac. Hari ini tidak hujan dan Pak Dodi

berangkat bekerjad. Hari ini tidak hujan dan Pak Dodi tidak

berangkat bekerjae. Memang hari ini hujan dan Pak Dodi

tidak berangkat bekerja.

6. Ingkaran yang benar dari kalimat majemuk“Saya lulus SPMB dan saya senang.”adalah . . . .a. saya lulus SPMB dan saya tidak senangb. Saya tidak lulus SPMB dan saya senangc. Tidak benar saya lulus SPMB dan saya

tidak senangd. saya tidak lulus SPMB atau saya tidak

senange. saya tidak lulus SPMB atau saya senang

7. Perhatikan kalimat ”Jika ia berusaha, makaia berhasil”Kontraposisi kalimat tersebut adalah . . . .a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak

berhasilb. Jika ia berhasil maka ia berusahac. Jika ia berhasil maka ia tidak berusahad. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak

berusahae. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil

8. Perhatikan kalimat berikut!“Sepertinya Andini lulus Matematika danmendapat nilai 10 jika dan hanya jika tidakpernah bolos sekolah.”p: Andini lulus Matematikaq: Andini mendapat nilai 10r: Andini pernah bolos sekolahMaka pernyataan tersebut ekuivalendengan . . . .a. (p ∨ q) ⇔ r d. (p ∨ q) ⇔ ∼ rb. r ⇔ (p ∧ q) e. (p ∧ q) ⇔ ∼ rc. (p ∨ q) ⇔ r

9. Pasangan pernyataan p dan q yangmemenuhi p ⇔ q adalah . . . .a. p : x ganjil, q : 3x genapb. p : x ganjil, q : 2x + 1 genapc. p : x genap, q : −3x genap



d. p : x2 − x < 2, q : −1 < x < 2e. p : x2 − x < 2, q : −6 < x < -3

10. Diberikan pernyataan“Jika x = 3 maka x2 = 9”Ingkaran dari pernyatan tersebut adalah . . . .a. x ≠ 3 dan x2 = 4b. x ≠ 3 atau x2 = 4c. x = 2 dan x2 ≠ 4d. x ≠ 2 atau x2 ≠ 4e. x ≠ 3 atau x2 = 2


1. “Jika saya rajin belajar maka saya akan lulusujian”Dari pernyatan tersebut, tentukanlah:a. Kontraposisib. Inversc. konvers

2. Nyatakan tiap pernyataan berikut ke dalambentuk lambang dan tentukanlah nilaikebenarannya!a. Pemenangnya Jelita atau Sellyb. Sumbangan diharapkan berupa uang

atau barangc. 1 > 3 jika dan hanya jika 1 > 4

d. Jika 4 < 2 maka 7 < 10e. Syarat perlu dan cukup supaya segitiga

ABC samasisi adalah ketiga sisinya samapanjang

3. Misalkanp: Dedi siswa SMAq: Dedi tidak suka MatematikaTuliskan lambang-lambang penyataanberikut menjadi kalimat yang sederhana!a. p ∧ q d. ~(p ∨ q)b. p ∨ q e. ~p → ~qc. ~(p ∧ q)

4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli

n, 1 + 2 + . . . + n = 12

n +

5. Buktikan bahwa untuk setiap bilanganasli n, (2n + 1)2 − 1 habis dibagi 8!

6. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataanberikut!a. Ada siswa yang bolos sekolahb. Setiap orang suka olah ragac. Semua peserta seminar mendapatkan

setifikatd. Beberapa guru berasal dari Solo

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Utut bermain layang-layang tepat pukul 12.00. Pada ketinggian

tertentu,ia ingin mengetahui tinggi layang-layangnya. Untuk itu, ia

mengulur benangnya dan mengukur sudut yang dibentuk oleh

benang dengan tanah menggunakan busur derajat. Setelah itu,

dengan menggunakan salah satu perbandingan trigonometri, ia

mengukur tinggi layang-layangnya. Perbandingan trigonometri

apakah yang digunakan Utut? Untuk mengetahuinya dan memahami

konsep-konsepnya, marilah kita pelajari bab berikut dengan baik.

TrigonometriTrigonometri

♦ Kamu dapat mengubah ukuran Sudut

dari derajat ke radian dan sebaliknya.

♦ Kamu dapat menentukan sinus,

kosinus, dan tangen suatu sudut.

♦ Kamu dapat menentukan besarnya

suatu sudut yang nilai sinus, kosinus

dan tangennya diketahui.

♦ Kamu dapat menggunakan kalkulator

untuk mentukan nilai perdekatan fungsi

trigonometri dari besar sudutnya.

♦ Kamu dapat menggunakan rumus sinus

dan kosinus dalam penyelesaian soal.

♦ Kamu dapat mengkontruksi grafik fungsi

sinus dan kosinus menggambarkan

grafik fungsi tangen.

♦ Kamu dapat menggunakan identitas

trigonometri dalam penyelesaian soal.

♦ Kamu dapat membuktikan beberapa

identitas trigonometri yang sederhana.

♦ Kamu dapat menghitung luas segitiga

yang komponennya diketahui.

♦ Kamu dapat membuktikan rumus sinus

dan rumus kosinus.



memuat ekspresi trigonometri.


dalam masalah yang dirancang sebagai

variabel yang berkaitan dengan ekspresi

trigonometri.

♦ Kamu dapat merumuskan model

matematika dari masalah yang berkaitan

dengan fungsi trigonometri, rumus

sinus, dan rumus kosinus.

66


Dalam trigonometri, selain menggunakan ukuran sudut dalam derajat,dapat juga digunakan ukuran sudut yang lain, yaitu radian.

Ukuran suatu sudut dalam radian adalah perbandingan antara panjangbusur di depan sudut itu dengan panjang jari–jari lingkaran dari busur itu.Dengan demikian, dapat didefinisikan ukuran sudut satu radian sebagaiukuran sudut yang terbentuk pada lingkaran dengan panjang busur samadengan jari–jarinya.Besar sudut satu putaran penuh dalam derajat adalah 360°. Jika dinyatakan

dalam radian, 360° =Keliling lingkaranJari-jari lingkaran

=2 r rad

rπ

= 2π radDari uraian tersebut, diperoleh:

2π rad = 360°

π rad =360

2= 180°

1 rad =180

π

Jika π = 3,14 maka 1 rad =1803,14 = 57,3°.

Karena 1° = 60’ (60 menit) maka 1 rad = 57,3° = 57°18’.Dari 1 rad = 57,3°, bagilah kedua ruas dengan 57,3 .

1 57,357,3 57,3

rad = ⇒ 0,017 rad = 1°

Satuan sudut dalam radian biasa disingkat rad atau biasanya tidak ditulis.

1 rad

A B

O

r

r

• π rad = 180°• 1 rad = 57,3° = 57°18’• 1° = 0,017 rad

Jadi, 1° = 0,017 rad.

1. 30 rad = 30 ⋅ 1 rad = 30 ⋅ 57,3° = 1719°

2. 30° = 30 ⋅ 1° = 30 ⋅ 180π

rad = 6π

rad

3. 286°28’48’’ = 286° +28 4860 3600

+

= 286° + 0,467° + 0,013°= 286,48° = 286,48 ⋅ 1°= 286,48 ⋅ 0,017 rad= 4,87 rad

CONTOH

A. Ukuran Sudut dalam Radian


Asah Kompetensi 1

Perhatikan segitiga ABC di samping! Segitiga ABC siku–siku di A. BCdisebut sisi miring dengan panjang r. AB disebut sisi di depan sudut C denganpanjang y, sedangkan AC disebut sisi di samping sudut C dengan panjang x.

Pada segitiga siku–siku ABC ini didefinisikan perbandingan trigonometrisebagai berikut.

• sin ∠C =sisi di depan

sisi miringC y

r∠

=

• cos ∠C =sisi di samping

sisi miringC x

r∠

=

• tan ∠C =sisi di depan

sisi di samping sudutC y

xθ∠

=

B. Perbandingan Trigonometri dari suatu Sudut

Segitiga Siku-siku

1. Ubahlah dari derajat ke radian!a. 5° e. 175°b. 25° f. 120°c. 45° g. 310°d. 220° h. 130°

2. Ubahlah dari radian ke derajat. Nyatakanlah jawabannya sampai ke menit dan detik!

a. 114 π rad e. 3,2 rad

b. 156

56 π rad f. −0,9 rad

c. 1 − π rad g. −11,4 rad

d. 0,3 π rad h. 69,96 rad

3. Pagi ini, Utut terbangun karena mendengarweker berdering. Weker tersebut berderingtepat pukul 05.00. Berapa derajat dan beraparadiankah besar sudut yang dibentuk olehjarum panjang dan jarum pendek jam wekertersebut ketika berdering?

C A

B

r y

xθ


CONTOH

P Q

R

13 cm

5 cm

1. Perhatikan segitiga PQR yang siku–siku di Q berikut!

Hitunglah nilai sin ∠P, cos ∠P, tan ∠P, dan besar ∠P!

Jawab:

Pada segitiga PQR yang siku–siku di Q, kamu dapat menentukanpanjang PQ dengan teorema Pythagoras.

PR2 = PQ2 + QR2

132 = PQ2 + 52

169 = PQ2 + 25PQ2 = 169 − 25PQ2 = 144PQ = 12 cm

sehingga,

sin ∠P =5

13QRPR

=

cos ∠P =1213

PQPR

=

maka

tan ∠P =5

12QRPQ

=

∠P = tan–1 512

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 22,62°.

Nilai tan–1 512

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 22,62° diperoleh dengan menggunakan kalkulator.

Tekan tombol 5 : 12 = inv tan

Pada layar kalkulator akan tampil angka 22,61986495

Pembulatan sampai dua desimal menghasilkan 22,62.Jadi, besar ∠P adalah 22,62°.

2. Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di B berikut!Jika ∠C = 40° dan panjang sisi AB = 20 cm, tentukanlah panjang sisiAC dan BC!

B

C

A

40°

20 cm


Asah Kompetensi 2

Jawab:Karena segitiga ABC siku-siku, maka pada segitiga ABC berlaku

perbandingan trigonometri, yaitu sin 40° =ABAC dan tan 40° =

ABBC .

• sin 40° =ABAC ⇒ AC =

20sin 40 0,64

AB = = 31,25

Jadi, panjang sisi AC adalah 31,25 cm.

• tan 40° =ABBC ⇒ BC =

20tan 40 0,84

AB = = 23,81

Jadi, panjang sisi BC adalah 23,81 cm.

1. Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di C di bawah!Tentukanlah:a. Panjang sisi BCb. sin ∠A, cos ∠A, tan ∠Ac. sin ∠B, cos ∠B, tan ∠Bd. sin ∠C, cos ∠C, tan ∠Ce. Besar ∠A, ∠B, dan ∠C

24 cm

Dua pos pengamat hutan terletak di sisi jalan.Pengamat di pos pertama melihat kebakaran dengan sudut38°, sedangkan pengamat di pos kedua melihat kebakarantersebut dengan sudut 53° arah barat. Jika jarak pengamatkedua pos tersebut 25 km, tentukanlah:

a. jarak lokasi kebakaran dengan masing–masingpengamat!

b. jarak terpendek lokasi kebakaran dengan jalan!

3. Perhatikan segitiga DEF yang siku-siku di E di samping!Tentukanlah:a. Panjang sisi DE dan DFb. sin ∠F, cos ∠F, tan ∠Fc. Besar ∠F

2. Perhatikan gambar di samping!Coba tentukanlah besar sudut θ danpanjang PQ!

B C

7 cm

A

D

F

E

61°

17 cm

θ

��

��

��

RQ

P

S

y

θ


• Jika α = 0° maka segitiga PQO menjadi garis lurus sehingga titik P dantitik Q berimpit di titik A. Akibatnya, x = r dan y = 0.

Perbandingan trigonometri untuk a = 0° adalah:

sin 0° =0 0

yr r

= = , cos 0° = 1x rr r

= = ,

tan 0° =0 0

yx r

= = .

Jadi, sin 0° = 0, cos 0° = 1, dan tan 0° = 0.

• Jika α = 90° maka titik P berimpit dengan titik B dan titik Qberimpit dengan titik O sehingga x = 0 dan y = r.

Akibatnya, sin 90° = 1y rr r

= =

cos 90° =0 0x

r r= =

tan 90° = 0y rx

= (tidak terdefinisi)

Jadi, sin 90° = 1, cos 90° = 0, dan tan 90° tidak terdefinisi.Sekarang, perhatikan Gambar 6.1!

Besar ∠BAC = 30° sehingga besar ∠ACB = 60°. Pencerminan segitiga ABCterhadap sisi AB menghasilkan segitiga ABD yang kongruen dengan segitigaABC. Sisi AB pada segitiga ABC berimpit dengan sisi AB pada segitiga ABDsehingga menghasilkan segitiga ADC yang merupakan segitiga samasisi.Akibatnya, besar ∠DAC = 60° dan sisi AC = DC = AD. Misalkan, panjang sisi

AC = r maka BC =12 DC =

12 r.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kamu dapat menentukanpanjang sisi AB.AB2 = AC2 – BC2

AB2 = r2 – (12 r)2 ⇒ AB2 = r2 – 21

4r

AB2 = 234

r

AB = 234

r

AB =1 32

r

Akibatnya, sin 30° =1

122

rBCAC r

= =

cos 30° =1 3 12 3

2

rABAC r

= =

C. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)

Gambar 6.1 Segitiga ABCyang siku-siku di B.

30º30º

60º

60º

B

C

A

D

X

YB

O Q

ry

xα A

P (x, y)


tan 30° =BCAB1

1 12 31 3332

r

r= = =

Jadi, sin 30° =12 , cos 30° =

1 32 , dan tan 30° =

1 33 .

Perhatikan kembali segitiga ABC dengan ∠C = 60°.

sin 60° =1 3 12 3

2

rABAC r

= =

cos 60° =1

122

rBCAC r

= =

tan 60° =

1 32 31

2

rABBC r

= =

Jadi, sin 60° =1 32 , cos 60° =

12 , dan tan 60° = 3 .

Perhatikan Gambar 6.2!Segitiga DEF siku–siku di E. Dapat digunakan teorema Pythagoras untukmenentukan panjang sisi DF.

DF2 = DE2 + EF2

= x2 + x2

= 2x2

DF = x 2Dengan menggunakan perbandingan trigonometri akan diperoleh

sin 45° =1 1 2

22 2EF xDF x

= = =

cos 45° =1 1 2

22 2DE xDF x

= = =

tan 45° = 1EF xDE x

= =

Jadi, sin 45° =1 22 , cos 45° =

1 22 , dan tan 45° =1.

Untuk memudahkanmu menggunakan perbandingan trigonometri sudutistimewa ini, berikut disajikan dalam bentuk tabel.

Sinus

Kosinus

Tangen

Fungsi Trigonometri Sudut

0° 30° 45° 60° 90°

0 12

1 22

1 32 1

1 1 32

1 22

12 0

0 1 33 1 3 ∞

Gambar 6.2 Segitiga DEFsiku-siku samakaki.

45ºD

45º

x E

F


2. Relasi di Kuadran II

Perhatikan Gambar 6.4!Sudut(180°− θ) pada gambar di samping merupakan pelurus sudut θ.Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu–y menghasilkan bayangan A’(–

x,y).

Dengan perbandingan trigonometri, kamu dapat:

sin (180° − θ) =yr = sin θ

cos (180° − θ) =x

r−

= −cos θ

tan (180° − θ) =yx− = −tan θ

Jadi, sin (180° − θ) = sin θ , cos (180° − θ) = −cos θ, dan tan (180° − θ) = −tan θ.

C

α

B

A

y

x

r

θ

Gambar 6.3. Segitiga ABC.

1. Relasi di Kuadran I

Perhatikan Gambar 6.3!Karena jumlah sudut–sudut pada segitiga 180°, maka pada segitiga ABC disamping, haruslah 90° + θ + α = 180°.Jadi, α = 90° − θDengan perbandingan trigonometri, kamu dapatkan:

sin (90° − θ) = sin α =xr = cos θ

cos (90° − θ) = cos α =yr = sin θ

tan (90° − θ) = tan α =xy =

1tan α

Jadi, sin (90° − θ) = cos θ, cos (90° − θ) = sin θ, dan tan (90° − θ) =1

tanθ .

Tentukanlah nilai tan 25° ⋅ tan 65° − sin 25cos65 !

Jawab:

tan 25°⋅ tan 65° −sin 25cos65 = tan 25°⋅ tan (90° – 25°) − sin 25

cos(90 25 )−

= tan 25°⋅1

tan 25 −sin 25sin 25 )

= 1 − 1= 0

CONTOH Tentukanlah nilai dari: sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°!Jawab:

sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = ( )1 1 1 1 13 2 2 2 1 32 2 2 2 4

⋅ + ⋅ = +

D. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

x

180º – θ

Oθ

yP

y

A′(–x,y)

−x x

A(x,y)r r

Gambar 6.4. Titik A(x, y)dicerminkan terhadapsumbu-y.

CONTOH


3. Relasi di Kuadran IIIPerhatikan Gambar 6.5!Titik A(x,y) diputar setengah putaran terhadap titik O menghasilkan bayanganA’(−x,−y).Dengan perbandingan trigonometri akan diperoleh

sin (180° + θ) =y

r−

= −sin θ

cos (180° + θ) =xr = −cos θ

tan (180° + θ) =y

x−

= tan θJadi, sin (180° + θ) = −sin θ, cos (180° + θ) = −cos θ, dan tan (180° + θ) = tan θ.

4. Relasi di Kuadran IVPerhatikan Gambar 6.6!Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan bayanganA′(x,−y).Dengan perbandingan trigonometri akan diperoleh

sin (360° − θ) =y

r−

= −sin θ

cos (360° − θ) =xr

= cos θ

tan (360° − θ) =y

x−

= −tan θJadi, sin (360° − θ) = −sin θ, cos (360° − θ) = cos θ, dan tan (360° − θ) = − tan θ.

5. Relasi Antara Sudut Positif dan Sudut NegatifPerhatikan kembali Gambar di atas!Pada gambar, tampak sudut (360° − θ) = sudut (−θ)Akibatnya, sin (−θ) = sin (360° − θ) = −sin θ

cos (−θ) = cos (360° − θ) = cos θtan (−θ) = tan (360° − θ) = −tan θ

Jadi, sin (−θ) = −sin θ , cos (−θ) = cos θ, dan tan (−θ) = −tan θ.

Gambar 6.5. Titik A(x,y)diputar setengah putaranterhadap titik O.

Tentukanlah nilai cos 120°!

Jawab:

cos 120° = −cos (180° − 60°) = −cos 60° = −12

Tentukanlah nilai dari: cos 240°!

Jawab:

tan 240° = tan (180° + 60°) = tan 60° = 3

CONTOH

CONTOH

A′(−x, −y)

O X

Y

r y

A(x, y)

180º + θ

−x xθ

Y

X

A(x, y)

A′(x, –y)

O

ry360° − θ

−θ

r

θ

Gambar 6.6. Titik A di-cerminkan terhadap sumbu-x.


CONTOH Tentukanlah nilai sin (−315°)!

Jawab:

sin (−315°) = −sin 315° = −sin (360° − 45°) = −(−sin 45°) =1 22

1. Tentukanlah nilai dari:

a. sin 240° e. tan 390° i. sin5( )3π−

b. cos 225 ° f. tan 315° j. tan 12(1 )π

c. tan 120° g. cos (–45°)

d. sin (−225°) h. cos74π

2. Diketahui perbandingan trigonometri berikut. Tentukanlah perbandingan trigonometrilainnya!

a. sin α =45 , α di kuadran II

b. cos β = −45 , β di kuadran III

c. tan γ = 2,4, γ di kuadran III

3. Sederhanakanlah!a. cos (270° + θ) + cos (270° − θ ) + tan (270° + θ)

b. sin x + cos (32π

– x)

c.sin 45 sin 15

cos 135 cos 105

d. (sin 20° − cos 110°)(sin 20° + cos 110°)

4. Selidiki kebenaran pernyataan berikut!

a. tan θ + tan (180° − θ) +1

tan(90 )θ+ = tan (360° − θ)

b. Jika x + y =32π

, maka cos x − sin y = 0

c. sin 0,7π − sin 0,3π = 0

d. sin (π + x) + cos (x − 0,5π) = 0

Asah Kompetensi 3


GaMeMath

Utut tersesat di sebuah hutan.Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yangbertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namunkemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjukuntuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohon-pohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. BantulahUtut menemukan jalan pulang tersebut!Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini.pohon mana sajakah yang sama dengan 1?


Telah diketahui bahwa sin θ =yr dan cos θ =

xr .

Dari sin θ =yr ⇒ y = r sin θ.

Dari cos θ =xr ⇒ x = r cos θ.

Pada segitiga siku–siku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:x2 + y2 = r2

(r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r2

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r2

r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2

cos2 θ + sin2θ = 1 atau sin2 θ + cos2 θ = 1Perhatikan kembali segitiga di atas!

Dari segitiga di atas diperoleh tan θ =yx .

Bagilah pembilang dan penyebut dengan r.

tan θ =

yrxr

=sincos

θθ

Jadi, tan θ =sincos

θθ .

y

x

r

θ

E. Identitas Trigonometri

Gambar 6.7 Segitiga siku-siku.

1 ,sin 30 sin 90°

1 ,sin 0 tan 45

1cos0 sin 60°

1tan 45 cos 90° tan 90° cos 0°



Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut.• sin2 θ + cos2 θ = 1

• tan θ =sincos

θθ

1. Tentukanlah nilai dari sin2 25° + sin2 65°!

Jawab:

sin2 25° + sin2 65° = sin2 25° + sin2 (90° − 25°)= sin2 25° + cos2 25°= 1

2. Buktikan bahwa 3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 + 3 sin4θ !

Jawab:3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 (cos2θ)2 + 6 sin2θ

= 3 (1 − sin2θ)2 + 6 sin2θ= 3 (1 − 2 sin2θ + sin4θ) + 6 sin2θ= 3 − 6 sin2θ + 3 sin4θ + 6 sin2θ= 3 + 3 sin4θ

Asah Kompetensi 41. Jika θ di kuadran IV dan sin θ = 1

3− , tentukanlah nilai cos θ dan tan θ !

2. Jika p − q = cos A dan = 2pq sin A, tentukanlah p2 + q2!

3. Jika tan B = 37

, tentukan 14 sin 3 cos7 sin 5 cos

B BB B

−−

!

4. Buktikan bahwa 2 2

42

tan sin tan1 sin

θ θ θθ

− =− !

5. Buktikan bahwa tan 1 sin costan 1 sin cos

θ θ θθ θ θ

− +×+ −

= 1!

CONTOH

Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsaYunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwakebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometridalam membangun piramida.

Info sains


1 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 25

Bobot soal: 25

Waktu: 60 menit

1. Gambarlah segitiga siku–siku dengan ukurantertentu sesuai dengan perbandingantrigonometri berikut!a. tan ∠A = 1,2b. cos ∠E = 0,35c. sin ∠H = 0,7

2. Pada gambar berikut, panjang OA = AB = BC =CD = DE = x cm. Tentukanlah cos ∠DOE!

3. Hitunglah!

a. sin2 120° × cos2 45° × (cos2 45°)

b.2 2 2

2

cos 120 sin 240 tan 60tan ( 315 )×

−

c. cos232 + cos258

4. Buktikan bahwa 2

22

1 tan 1 2 sin1 tan

t tt

− = −+ !

5. Buktikan bahwa 1 cossin

sin tantt

t t− = !

Pada gambar berikut, AP dan CQ masing–masing tegaklurus terhadap BC dan AB. Jika AP : CQ= 3 : 4, tentukannilai dari AP dan BC?Sumber: New Syllabus Mathematics 2

A

Q

B P C

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 10

O

A

B

C

DE


F. Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik Fungsi SinusUntuk menggambar grafik fungsi sinus, tuliskan dulu nilai sinus sudut–

sudut istimewa pada kuadran I sampai kuadran IV seperti pada tabelberikut.

Gambar 6.8 Grafik f(x) = sin x

Dengan nilai–nilai fungsi sinus ini, buatlah grafik f(x) = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π.

Gambar grafik fungsi f(x) = sin x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi sinussebagai berikut:

a. Titik balik maksimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik ,12π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ .

b. Titik balik minimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik 3 , 12π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ .

c. Titik potong dengan sumbu–x adalah (0, 0), (π, 0), dan (2π, 0).d. Untuk 0 < x < π, f(x) > 0 dan untuk π < x < 2π, f(x) < 0.

2. Grafik Fungsi KosinusUntuk menggambar grafik fungsi kosinus, tuliskan dulu nilai kosinus

sudut–sudut istimewa pada kuadran I sampai kuadran IV seperti pada tabelberikut.

f(x) = cos x, 0 ≤≤≤≤≤ x ≤≤≤≤≤ πππππ

x 0 6π

4π

3π

2π 2

3π 3

4π 5

6π

π

f(x) 11 32

1 22

12 0 −

12 −

1 22 −

1 32 −1

f(x) = sin x, 0 ≤≤≤≤≤ x ≤≤≤≤≤ πππππ

x 0 6π

4π

3π

2π 2

3π 3

4π 5

6π

π

f(x) 012

1 22

1 32 1

1 32

1 22

12 0

f(x) = sin x, πππππ < x ≤≤≤≤≤ 2πππππ

76π 5

4π 4

3π 3

2π 5

3π 7

4π 11

6π

2π

–12 –

1 22 –

1 32 –1 –

1 32 –

1 22 –

12 0

2π

12

3

2π

32π

0π

1

-1

12

212

12

212

12

f(x) sin x

Gambar 6.9 Grafik f(x) = cos x

f(x) cos x

12

0

1

-1

12

212

212

212

312

2π

π32π 2π


Dengan nilai–nilai fungsi kosinus ini, buatlah grafik f(x) = cos x, 0 ≤ x ≤ 2π.

f(x) = tan x, 0 ≤≤≤≤≤ x ≤ 2π≤ 2π≤ 2π≤ 2π≤ 2π

f(x) = cos x, πππππ < x ≤≤≤≤≤ 2πππππ76π 5

4π 4

3π 3

2π 5

3π 7

4π 11

6π

2π

−1 32 −

1 22 −

12 0

12

1 22

1 32 1

Dengan nilai–nilai fungsi tangen ini, buatlah grafik f(x) = tan x, 0 ≤ x ≤ 2π.

Gambar grafik fungsi f(x) = tan x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi tangensebagai berikut.

a. Tidak mempunyai titik balik

b. Garis x = 2π

dan x =32π

disebut asimtot

c. Titik potong dengan sumbu–x adalah (0, 0), (π, 0), dan (2π, 0)

d. Untuk 0 < x < 2π

dan π < x < 32π

, f(x) > 0

e. Untuk 2π

< x < π dan 32π

< x < 2π , f(x) < 0

Gambar grafik fungsi f(x) = cos x, domainnya 0 ≤ x ≤ 2π (dalam radian)

Dari grafik tersebut, kamu dapat menyimpulkan sifat–sifat fungsi kosinussebagai berikut:a. Titik balik maksimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik (0, 1) dan (2π, 1).b. Titik balik minimum pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah titik (π, –1).

c. Titik potong dengan sumbu–x adalah ,02π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ dan 3 ,02π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ .

d. Untuk 0 ≤ x < 2π

dan 32π

< x ≤ 2π, f(x) > 0 dan untuk 2π

< x < 32π

, f(x) < 0.

3. Grafik Fungsi TangenNilai–nilai tangen untuk sudut–sudut di kuadran I sampai kuadran IV

disajikan pada tabel berikut.

x 0 4π

2π 3

4π

π52π 3

2π 7

4π

2π

f(x) 0 1 ∞ −1 0 1 ∞ −1 0

2π 3

2ππ 2π

f(x) = tan x

Gambar 6.9 Grafik f(x) = tan x.


Persamaan trigonometri adalah persamaan yang variabelnya merupakanbesar sudut dalam trigonometri tersebut. Misalnya, sin x = 1

2 2 dansin x = tan x. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti menentukanbesar sudut yang memenuhi persamaan tersebut.

2 ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 90 menitGambarlah grafik fungsi trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π. Kemudian,tentukanlah ciri-cirinya!1. f(x) = 2 sin x 4. f(x) = −2 cos 2x2. g(x) = 1 + sin 2x 5. g(x) = 1 + 2 tan x3. h(x) = 2 cos x

G. Persamaan Trigonometri

1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 3 tan x = 1!Jawab:

3 tan x = 1tan x =

1 33

tan x = tan 6π

Jika x pada kuadran I dan III maka tan x > 0.Pada kuadran I, didapat x = 6

π .

Pada kuadran III, tan x = tan (π + 6π

) = tan 76π

. Didapat x =76π

.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 6π

atau76π

.

2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 8 sin3 x = 1!

Jawab:8 sin3x = 1

sin3x =18

sin x =12

Untuk sin x = 12 didapat sin x = sin 6

π

Jika x pada kuadran I dan II maka sin x > 0.

Pada kuadran I, didapat x = 6π

.

Pada kuadran II, sin x = sin (π − 6π

) = sin 56π

. Didapat x =56π

.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 6π

atau 56π

.

CONTOH

Bobot soal: 100


Waktu : 60 menit

Untuk 0 ≤ x ≤ 2π, tentukan nilai variabel yang memenuhi persamaan-persamaan berikut!

1. 4 cos2x =3 5. (sin y + cos y )2 = 12. 2 cos (3x + 6

π ) = 3 6. 2 cos22x + cos 2x − 3 = 0

3. 3 cos r − 3 sin r = 0 7. 3 tan2x − tan x = 24. tan2 2x − 3 = 0 8. sin2t = 2 cos t

3 ASAH KEMAMPUAN

1. Aturan SinusPerhatikan segitiga ABC di samping!

Pada segitiga ADC, sin A =tb . Didapat t = b sin A.

Pada segitiga BDC, sin B =ta . Didapat t = a sin B.

Dari t = b sin A dan t = a sin B, diperoleh:b sin A = a sin B

sin sina b

A B=

Dengan cara yang sama, akan diperoleh sin sina c

A C= sehingga

sin sin sina b c

A B C= =

Aturan ini disebut aturan sinus.

Pada setiap segitiga, perbandingan antara panjang sebuah sisi dengansinus sudut di depannya sama dengan perbandingan panjang sisi laindengan sinus sudut di depan sisi itu pula.

Bobot soal: 100

A D B

C

bt

a

c

H. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga


Aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi AB adalah

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

sedangkan aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi AC adalah

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

Aturan kosinus untuk segitiga ABC sebarang adalah sebagai berikut.

2. Aturan KosinusPerhatikan segitiga ABC berikut ini.Segitiga ABC adalah segitiga sebarang dengan panjang sisi AB = c, panjangsisi BC = a, dan panjang sisi AC = b.Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kamu dapat menentukan panjanggaris tinggi seperti berikut.t2 = b2 − x2 … Persamaan 1t2 = a2 − (c − x)2 … Persamaan 2

t2 pada Persamaan 1 substitusi ke Persamaan 2, didapatb2 − x2 = a2 − (c − x)2

b2 − x2 = a2 − c2 + 2cx − x2

b2 = a2 − c2 + 2cxb2 = a2 − c2 + 2cb cos Aa2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Persamaan tersebut adalah aturan kosinus untuk menentukan panjangsisi BC atau a. Dengan cara yang sama, kamu dapat menurunkan aturankosinus untuk menentukan panjang sisi AB dan AC.

Segitiga PQR memiliki panjang sisi PQ = 7,6 cm. Jika besar sudutPQR = 45,5° dan besar sudut PRQ = 66,9°, tentukanlah panjang sisi PR!

Jawab:Panjang sisi PQ adalah r = 7,6 cm.Dengan menggunakan aturan sinus, didapat:

sin sinq r

Q R=

7,6sin 45, 5 sin 66,9

q=

q =7,6 .sin 45, 5

sin 66,9 = 5,89

Jadi, panjang sisi PR adalah q = 5,89 cm.

CONTOH

B

C

D

b ta

xAc

A

B

C

c

ab

• a2 = b2 + c2 − 2bc cos A• b2 = a2 + c2 − 2ac cos B• c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

•2 2 2

cos A 2

b c abc

+ −=

•2 2 2

cos B 2

a c bac

+ −=

•2 2 2

cos C 2

a b cab

+ −=


CONTOH

3. Luas SegitigaPerhatikan segitiga ABC di samping!Segitiga ABC adalah segitiga sebarang dengan tinggi t dan luas

L = 12 × alas × tinggi.

Dengan demikian, luas segitiga ABC di samping adalah L = 12 ⋅ c ⋅ t.

Perhatikan segitiga ADC.Pada segitiga ADC, sin A =

tb ⇒ t = b sin A

Dengan mensubstitusi nilai t ke persamaan L = 12 ⋅ c ⋅ t akan diperoleh

L = 12 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin A

Dengan cara yang sama akan diperoleh

L = 12 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

L = 12 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B

Luas segitiga ABC sebarang adalah sebagai berikut.• L = 1

2 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin A• L = 1

2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B• L = 1

2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C

A B

C

D

b a

c

t

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 12 cm, AC = 9 cm, danBC = 8 cm. Tentukanlah besar sudut BAC!

Jawab:Besar sudut BAC ditentukan sebagai berikut.a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

cos A =2 2 2 2 2 28 9 12 161 0,745

2 2 9 12 216a b c

bc− − − − −= = =− − ⋅ ⋅ −

Jadi, besar sudut A = 41,84°Dengan demikian, besar sudut BAC adalah 41,84°.

Tentukan luas segitiga ABC, jika besar sudut B = 45°, panjang sisi AB danBC berturut-turut 6 cm dan 8 cm!

Jawab:

Luas =12 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin A

=12 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ sin 45°

= 24 ⋅ 1 22 = 12 2

Jadi, luas segitiga ABC = 12 2 cm2.

CONTOH


Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan denganpermasalahan yang berhubungan dengan trigonometri. Lebih jelasnya,perhatikan contoh berikut.

4 ASAH KEMAMPUAN

Asah Kompetensi 51. Pada Δ PQR diketahui 30 , 120 , dan panjang 8cm.P R R∠ = ° ∠ = ° = Tentukanlah:

a. Besar ∠Qb. Panjang sisi qc. Panjang sisi p

2. Diketahui Δ PQR dengan q = 6 cm, r = 12 cm dan ∠P = 45°. Tentukanlah panjang sisi p !

3. Diketahui Δ PQR diketahui panjang sisi-sisinya 3 cm, 5 cm, dan 7 cm. Tentukanlah besarsudut terbesar dari Δ PQR!

4. Tentukanlah luas daerah Δ ABC jika diketahui besar ∠A = 45°. Panjang AC = 5 cm, danAB = 6 cm!

1. Sukiman berada sejajar dengan dasar sebuah bangunan. Ia memandangke puncak bangunan tersebut dengan sudut pandang 40°. Kemudian,ia mendekat ke arah puncak bangunan tersebut. Setelah berjalan100 m, sudut pandangnya ke puncak bangunan menjadi 60°. Berapakahtinggi bangunan tersebut?(Untuk menentukan tinggi bangunan, terlebih dahulu buatlah gambarsupaya lebih mudah dalam membuat model matematika dari masalahtersebut)

CONTOH

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

Bobot soal: 301. Pada segitiga PQR, diketahui panjang sisi QR = 7 cm, besar∠PQR = 45° dan besar ∠PRQ = 30°, tentukanlah panjang sisi PQ!

2. Pada segitiga DEF, panjang sisi EF = 7 cm, sisi DF = 5 cm, danDE = 3 cm. Tentukanlah besar sudut ABC, BAC, dan ACB!

3. Tentukanlah luas daerah segitiga jika diketahui besar ∠B = 60°,AB = 12 cm dan BC = 15 cm!

H. Aplikasi Trigonometri


Jawab:

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisiyang diapitnya.∠ CAB = 40° dan ∠ ABC = 180° − 60° = 120°Jadi, ∠ ACB = 180° − 40° − 120° = 20°.Panjang sisi AB = 100 m.Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh

SinBC

A° = SinAB

C

SinBC

A° =100

Sin 20°

BC = 100 × Sin 40Sin 20 Persamaan 1

Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitungmenggunakan perbandingan trigonometri.

Sin 60° =CDBC

CD = BC × Sin 60° Persamaan 2

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2

CD = 100 × Sin 40Sin 20 × Sin 60°

= 100 ×Sin 40Sin 20 ×

1 32

= 162,76 m

Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

400 600

A D

C

B100

600

B D

C

400 1200

200

A

C

B100

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan kepiston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkanke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan

pegas P. Dimulai pada posisi awal 4πθ = , roda dengan jari-jari 2

kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarakvertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

d = y + 8 p(x,y)8

Y θx


contoh5 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Kerjakanlah soal-soal berikut!

1. Dari suatu posisi, seorang pengamat mengetahui bahwa sudutpandang ke puncak antena 45°. Setelah berjalan 1 km ke arah kakiantena, sudut pandang pengamat itu ke puncak antena menjadi60°.Berapakah tinggi antena?

2. Tentukanlah panjang penopang d, yang diperlukan untukmenopang lampu jalan seperti ditunjukkan pada gambar berikut!

3. Sebuah balon udara diterbangkan dalam suatu keramaian. Duapengamat yang berjarak 2,32 km masing-masing dapat melihat balondengan sudut pandang 28° dan 37°. Berapakah tinggi balon saat itu?

4. Sebuah kapal pesiar berlayar ke timur sejauh 96 km. Kemudian,berbelok dengan arah 075°. Setelah menempuh 128 km pada arah ini,berapa jauhkah jarak kapal tersebut dari tempat berangkat semula?

5. Suatu tiang telepon berdiri tegak di pinggir jalan yang mendaki dengankemiringan sinar 15° terhadap arah horizontal. Jika pada sudutkemiringan sinar matahari 62°, tiang telepon memberikan bayangansepanjang 16 m arah turun. Tentukanlah tinggi tiang telepon!

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

300 d

3m

3 3 m


1. Perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku B

sinyCr

∠ =

y r cosxCr

∠ =

B x C tanyCr

∠ =

2. Perbandingan trigonometri sudut-sudut Istimewa

3. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasia. Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif)

sin (90 ) coscos (90 ) sintan (90 ) tan

θ θθ θθ θ

° − =° − =° − =

b. Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif)

sin (180 ) sincos (180 ) costan (180 ) tan

θ θθ θθ θ

° − =° − = −° − = −

c. Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif)


θ θθ θθ θ

° + = −° + = −° + =

d. Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif)


θ θθ θθ θ

° − = −° − =° − =−

A

RangkumanRangkuman

Trigonometri 0° 30° 45° 60° 90°

Sinus 01

2

12

2

13

21

Kosinus 1 13

2

12

2

1

20

Tangen 01

33

1 3 ∞

Fungsi Sudut


4. Identitas Trigonometri untuk setiap sudut" 2 2sin cos 1θ θ+ =

"sintancos

θθθ

=

5. Aturan sinus C

sin sin sina b c

A B C= = b a

Aturan kosinus• 2 2 2 2 cosa b c b c A= + − ⋅ ⋅ ⋅

• 2 2 2 2 cosb a c a c B= + − ⋅ ⋅ ⋅

• 2 2 2 2 cosc a b a b C= + − ⋅ ⋅ ⋅

•2 2 2

cos 2

b c aAbc

+ −=

•2 2 2

cos 2

a c bBac

+ −=

•2 2 2

cos 2

a b cCab

+ −=

6. Luas segitiga sebarang

1 alas tinggi2

L = × ×

Jika tinggi segitiga tidak diketahui, pergunakanlah rumus berikut:

•1 sin2

L c b A= ⋅ ⋅ ⋅

•1 sin2

L a c B= ⋅ ⋅ ⋅

•1 sin2

L a b C= ⋅ ⋅ ⋅

A c B

C

ab

t

A D Bc


I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!1. Jika sin α = 4

5 dan 0º < α < 90º, maka nilaitan α adalah . . . .

a.45 d.

34

b.43 e.

35

c.54

2.cos

sin cosα

α α⋅ sama dengan . . . .

a.1

sinα d. cosec2α

b. cos2α e. cosαc. sec2α

3. Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p,AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, dansudut B = β , maka panjang DE = . . . .a. p sin β cos2 βb. p sin2 β cos βc. p sin2 β cos βd. p sin β tan βe. p sin β cos β

4. Jika x + y = 270º maka . . . .a. cos x + sin y = 0b. cos x − sin y = 0c. cos x + cos y = 0d. sin x − sin y = 0e. sin x + sin y = 0

5. Nilai dari 22 tan

1 tanq

q+ = . . . .

a. 2 sin q cos q d. 1 − 2 sin qb. sin q cos q e. 2 sin qc. 2 sin q − 1

6. Jika tan x = a, maka sin 2x samadengan . . . .

a. 22

1aa+ d.

2

211

aa

−+

b.2

21

2a

a+

e.2

211

aa

+−

c.2

21

2a

a−

7. Jika x + y =π4

, maka tan x adalah . . . .

a.2 tan

1 tanyy+ d.

1 tan1 tan

yy

−+

b.1 tan1 tan

yy

+− e.

2 tan1 tan

yy−

c.1 2 tan1 tan

yy

++

8. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku

cos A cos B = 12 maka cos (A − B) sama

dengan . . . .

a. −1 d.12

b.12

− e. 1

c. 2

9. Bila x memenuhi persamaan2(sin x)2 + 3 sin x − 2 = 0

dan 2π− < x < 2

π, maka cos x adalah . . . .

a.12 d.

1 32

b.12

− e.1 32

−

c.1 22



B

p

A C2p p

45º

10. tan x sin x − cos x = sin x, maka tan x samadengan . . . .

a.1 1 32 2

− + atau 1 1 32 2

− −

b.1 1 32 2

− atau 1 1 32 2

−

c.1 1 52 2

− + atau 1 1 52 2

− −

d.1 1 52 2

+ atau 1 1 52 2

−

e. − −1 1 32 2 atau

1 1 32 2

−

11. Dari sebuah segitiga ABC, sisi AB = 6, BC = 5,dan AC = 4. Nilai tangen sudut ABC samadengan . . . .

a.46 d.

1 73

b.34 e.

1 74

c.716

12. Sisi-sisi sebuah segitiga adalah 3 cm, 8 cm,dan 10 cm. Maka luas segitiga tersebutadalah . . . .

a.15 716 cm2 d.

15 74 cm2

b.15 74 cm2 e. 45 7 cm2

c.15 72 cm2

13. U, W, R terletak pada suatu garis lurus. Dalamsegitiga SRW panjang RS = RW, dalam segitigaSTW panjang ST = SW, dalam segitiga TUWpanjang WT = WU. Jika ∠WRS = ∠TSW = xo,maka . . . .a. ∠TSW = = = = = ∠TUW d. ∠TUW = = = = = x °b. ∠WTU = = = = = x ° e. ∠SWR = = = = = x °c. ∠TWU = = = = = x °

14. Dalam segitiga ABC, AC= 5, AB = 8, dan∠CBA = 60°. Jika γ = ∠ACB, maka cos γ = . . . .

a.1 37 d.

17

b.3 37 e.

37

c.4 37


1. Seorang siswa berdiri sejajar dengan sebuahtiang bendera Ia memandang ke puncakbangunan tersebut dengan sudut pandang30º. Setelah ia berjalan 50 m, sudut pandangkepuncak menjadi 60º. Berapakah tinggi tiangbendera tersebut?

2. Sebuah kotak yang berbentuk kubus diberinama kubus ABCD.EFGH. Jika q adalah sudutantara bidang FHA dan FHE, hitunglah nilaisin q!

3. Dua buah kertas berpotongan tegak lurussepanjang garis k. Garis l membentuk sudut45º dengan kertas I dan 30º dengan kertas II.Tentukanlah sinus dari sudut antara kdan l !

4. Dua buah uang logam menyinggungsumbu-y dan garis y = 1

3 3 . Jika pusat keduauang logam terletak pada garis y = 3 ,tentukanlah jarak kedua pusat uang logamtersebut!

5. A dan B titik-titik ujung sebuah terowonganyang dilihat oleh micky dari titik C dengansudut lihat 45º. Jika garis CB = p danCA = 2p 2 , tentukanlah panjang tero-wongan!

TUJUAN

PEMBELAJARAN

B

A

B

Pernahkah kamu menempelkan selembar kertas pada selembar

karton?

Bagaimanakah kedudukan kertas tersebut terhadap karton?

Kertas tersebut berimpit dengan karton karena jika kamu

membuat sembarang titik pada kertas tersebut maka titik itu

juga terletak pada karton atau pada perpanjangan karton .

Dalam geometri, hal ini menunjukkan kedudukan dua bidang,

yaitu dua bidang berimpit.

♦ Kamu dapat menentukan kedudukan

titik, garis, dan bidang dalam ruang.

♦ Kamu dapat menentukan volum benda-

benda ruang.

♦ Kamu dapat menghitung perbandingan

volum dua benda dalam suatu bangun

ruang.

♦ Kamu dapat menjelaskan bidang

frontal, sudut surut, dan perbandingan

proyeksi dalam menggambarkan

bangun ruang.

♦ Kamu dapat menggambar dan

menghitung jarak titik ke garis dan titik

ke bidang.


menghitung jarak dua garis bersilangan

pada benda ruang.

♦ Kamu dapat mengambar dan

menghitung jarak dua bidang sejajar

pada benda ruang.


menghitung sudut antara garis dan

bidang.

♦ Kamu dapat menggambarkan dan

menghitung sudut antara dua bidang.

♦ Kamu dapat menggambarkan irisan

suatu bidang dengan benda ruang.

77

Dimensi TigaDimens i Tiga


1. Kedudukan Titik pada Garis Dalam Bidang


• Titik P dan T terletak pada garis PQ. Ini menunjukkan melalui dua titikdapat dibuat sebuah garis.

• Titik S terletak di luar garis PQ. Titik-titik S, P, dan Q berada pada bidangABCD. Ini menunjukkan bahwa melalui sebuah garis dan sebuah titik diluar garis tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang.

Perhatikan kembali titik-titik S, P, dan Q. Titik-titik ini tidak segaris.Sebagai akibat kaidah sebelumnya, kamu dapat mengatakan melalui tiga titikyang tidak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang.

2. Kedudukan Titik pada Bidang Dalam Ruang

Perhatikan letak titik-titik pada Gambar 7.2!• Titik-titik A, D, H, dan E terletak pada bidang ADHE.• Titik-titik B, C, G, dan F terletak di luar bidang ADHE.

Titik B di luar bidang ADHE dan titik B berada pada bidang BCGF. BidangADHE sejajar dengan bidang BCGF. Ini menunjukkan bahwa melalui sebuahbidang dan sebuah titik di luar bidang tersebut dapat dibuat tepat sebuahbidang yang sejajar dengan bidang tersebut.

3. Kedudukan Dua Garis dalam Ruang

a. Dua garis sejajarPada Gambar 7.3 tampak EF// HG. Kedua garis ini terletak pada bidang

EFGH, sehingga dapat dikatakan melalui garis EF dan HG yang sejajar dapatdibuat bidang EFGH. Secara umum dapat dikatakan, melalui dua garis yangsejajar dapat dibuat tepat satu bidang.

b. Dua garis berpotonganPada Gambar 7.3 tampak garis AC berpotongan dengan garis BD di titik T.

Kedua garis ini terletak pada bidang ABCD sehingga dapat berpotongan.Jadi, kamu dapat mengatakan bahwa melalui dua garis yang berpotongan dapatdibuat tepat satu bidang.

c. Dua garis bersilanganPada Gambar 7.3 tampak garis AC dan BH bersilangan dan tidak

sebidang. Kamu dapat mengatakan bahwa melalui dua garis yangbersilangan seperti AC dan BH ini tidak dapat dibuat sebuah bidang. Jadisecara umum, melalui dua garis yang bersilangan tidak dapat dibuat sebuah bidang.

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang dalam RuangKedudukan sebuah garis terhadap bidang dalam ruang dapat terletak

pada bidang, sejajar, atau berpotongan dengan bidang tersebut.

a. Garis terletak pada bidangPada Gambar 7.4 tampak garis g terletak pada bidang ABCD. Semua

titik pada garis g terletak pada bidang ABCD, sehingga kamu dapat

A B

C

GH

E

D

F

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

A B

CD

FE

H G

A B

CD

Gambar 7.1 Kedudukan titikpada garis dalam bidang.

Gambar 7.2 Kedudukan titikpada bidang dalam ruang.

Gambar 7.3 Kedudukan duagaris dalam ruang.

Gambar 7.4 Garis terletakpada bidang

T

A B

CD

PT

Q

S

g

Bab 7 Dimensi Tiga139

mengatakan sebuah garis terletak pada sebuah bidang jika semua titik pada garistersebut terletak pada bidang itu.

b. Garis sejajar dengan bidangPada Gambar 7.5 garis g terletak pada bidang ABCD. Garis g ini sejajar

dengan garis l yang terletak di luar bidang ABCD. Akibatnya, garis l sejajardengan bidang ABCD. Jadi, dapat dikatakan bahwa sebuah garis sejajar dengansebuah bidang jika garis tersebut sejajar dengan salah satu garis pada bidang itu.

c. Garis menembus bidangPada Gambar 7.6 garis TE menembus bidang ABCD di titik E. Titik E

terletak pada garis g sedangkan garis g pada bidang ABCD. Oleh karena itu,Titik E merupakan titik potong antara garis TE dan bidang ABCD. Garis TEini disebut menembus bidang ABCD. Jadi, sebuah garis menembus sebuah bidangjika terdapat titik persekutuan(titik potong) antara garis dan bidang tersebut.

5. Kedudukan Dua Bidang Dalam RuangDua bidang dalam ruang dapat sejajar, berpotongan, atau berimpit.

a. Dua bidang sejajarPada Gambar 7.7 tampak garis AH//BG. Bidang ABGH merupakan

persegi panjang. AH pada bidang ADHE, sedangkan BG pada bidang BCGF.Dikatakan bahwa bidang ADHE sejajar bidang BCGF.

b. Dua bidang berpotonganPada Gambar 7.8 garis g merupakan garis potong antara bidang α dan

bidang β sehingga dikatakan bidang α berpotongan dengan bidang β. Garispotong ini disebut garis tumpuan. Jadi, dapat disimpulkan bahwa dua bidangberpotongan jika memiliki garis persekutuan atau garis perpotongan.

c. Dua bidang berimpitDua bidang berimpit jika semua titik pada salah satu bidang terletak

pada bidang lainnya.

A B

A B

g

D

FE

H G

α

β

Pada gambar berikut ini, titik P pada bidang DCFE, titik Q dan R padabidang ABCD. Lukislah garis potong antara bidang DCFE dan bidang yangmelalui titik-titik P, Q, dan R.

Gambar 7.5 Garis sejajardengan bidang

A B

CDT

Eg

Gambar 7.6 Garis menembusbidang

Gambar 7.7 Dua bidangsejajar

Gambar 7.8 Dua bidangberpotongan

C

CONTOH

•

•

•A B

CD

E F

P

R

Q

l

CD

g

➤➤➤➤➤

➤➤➤➤➤


Jawab:a. Buat garis QR memotong garis CD yang merupakan garis tumpuan bidang

ABCD dan bidang DCFE. Perpotongan garis ini adalah titik H.b. Buatlah garis PH.c. Terbentuklah bidang PQR. Bidang ini berimpit dengan bidang UQST.d. Garis g pada gambar merupakan garis potong antara bidang DCFE

dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R.

1Waktu: 45 menit

1. Gambarlah sebuah kubus. Kemudian, jawab pertanyaan berikut!a. Tulislah pasangan garis yang saling sejajarb. Tulislah pasangan garis yang saling berpotonganc. Tulislah pasangan garis yang saling bersilangand. Tulislah pasangan bidang yang saling sejajare. Tulislah pasangan bidang yang saling berpotongan

2. Pada gambar berikut ini, titik P dan Q pada bidang DCFE, titik Rpada bidang ABCD. Lukislah garis potong antara bidang ABCD danbidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R. Lukislah juga garis potongantara bidang DCFE dan bidang yang melalui titik-titik P, Q, dan R!

ASAH KEMAMPUAN

A B

D C

E F

P

Q

R

A B

CD

E F g

UP

T

S R

Q

H

Bobot soal: 50

Bobot soal: 50


Kamu dapat menggambar bangun ruang, seperti kubus dan balok denganbentuk-bentuk yang berlainan. Dalam menggambar bangun-bangun tersebut,kamu sebaiknya mengikuti aturan-aturan yang benar. Berikut ini akandibahas aturan-aturan tersebut beserta beberapa istilah yang harus kamuketahui.

• Bidang gambarBidang gambar adalah bidang datar yang akan digunakan untukmenggambar bangun ruang, misalnya buku gambar.

• Bidang frontalBidang frontal adalah bidang gambar itu sendiri atau bidang lain yangsejajar dengan bidang gambar. Bidang frontal digambar dengan ukuransebenarnya. Pada bidang frontal, terdapat garis yang membatasi bidangfrontal ini. Garis ini disebut garis frontal. Garis frontal ini terdiri atasgaris frontal horizontal dan garis frontal vertikal.

• Bidang ortogonalBidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidangfrontal. Bidang ortogonal ini terdiri atas bidang ortogonal vertikal, yaitubidang ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke kanan dan bidangortogonal horizontal, yaitu bidang ortogonal yang menghadap ke atasatau ke bawah.

• Perbandingan proyeksi

Perbandingan proyeksi = panjang garis ortogonal pada gambarpanjang garis ortogonal sebenarnya

• Sudut surutSudut surut adalah sudut pada gambar yang dibentuk oleh garis frontalhorizontal arah ke kanan dengan garis ortogonal arah ke belakang yangberpotongan.Pada kubus di samping,♦ Bidang frontalnya, bidang ABFE dan DCGH♦ Bidang ortogonal horizontalnya, bidang ABCD dan EFGH♦ Bidang ortogonal vertikalnya, bidang ADHE dan BCGF

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, ABFE frontal

dan AB frontal horizontal, sudut surut 40° dan perbandingan proyeksi 34 !

Jawab:Langkah-langkahnya:

1. Gambarlah bidang frontal ABFE berbentuk persegi dengan panjang sisi4 cm. Sisi AB frontal horizontal.

2. Tentukan panjang garis ortogonal, yaitu panjang AD.

Panjang AD = 34 × 4 cm = 3 cm.

Gambarlah garis AD ini dengan panjang 3 cm dan membentuk sudut40° terhadap garis frontal AB.

B. Menggambar Bangun Ruang

CONTOH

A B

CD

FE

H G

Sudut surut


Waktu: 60 menit

1. Gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, bidang ABFEfrontal dengan AF vertikal, sudut surut 120° dan perbandingan

proyeksi 23 !

2. Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm, bidangACGE frontal dengan AC horizontal, sudut surut 45° danperbandingan proyeksi 9

4 !

3. Gambarlah balok ABCD.EFGH dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dantinggi 4 cm. ABFE frontal dan AB frontal horizontal, sudut surut 20°dan perbandingan proyeksi 1

3 !

2 ASAH KEMAMPUAN

3. Gambar bidang sisi alas ABCD berbentuk jajargenjang.4. Gambarlah garis-garis vertikal CG dan DH yang masing-masing sejajar

dan sama panjang dengan AE, yaitu 4 cm.5. Hubungkan titik-titik E, F, G, dan H sehingga membentuk jajargenjang

EFGH. Terbentuklah gambar kubus ABCD.EFGH.

Untuk menggambar bangun ruang lain seperti balok, caranya sama sepertimenggambar kubus tersebut.

A B

CD

G

F

H

E

3 cm

4 cm

40°

Bobot soal: 30

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30


Karena alas prisma ini berbentuk segitiga,maka luas alasnya L = 1

2 × p × l

CONTOHAlas sebuah prisma berbentuk belahketupat dengan panjang diagonalnyamasing-masing 12 cm dan 8 cm. Jika tinggi prisma 9 cm, tentukanlahvolume prisma tersebut!

Jawab:Alas prisma berbentuk belahketupat sehingga luas alasnya adalah luasbelahketupat.Pada bab 7, kamu telah mengetahui bahwa luas belahketupat adalah

L =12 × d1 × d2.

Dengan pengetahuanmu ini, kamu dapat menentukanluas alas prisma, yaitu:

L =12 × 12 cm × 8 cm = 48 cm2 .

Volume prisma = Luas alas × tinggi= 48 × 9= 432 cm3

Jadi, volume prisma adalah 432 cm3.

1. Volume PrismaButet memiliki sebuah keju batangan.Keju ini dibelahnya menjadi dua

bagian yang berbentuk prisma yang sama dan sebangun.Dari peragaan ini, Butet dapat mengetahui volume prisma, yaitu

setengah volume keju. Oleh karena keju berbentuk seperti balok, makavolume prisma sama dengan setengah volume balok.

C. Volume Bangun Ruang

AB

GE

H

B

CD

F

Volume prisma =12 × volume balok

=12 × p × l × t

Luas alas

= Luas alas × t

Volume prisma = Luas alas × t

Rumus ini berlaku untuk semua jenis prisma.


Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 20 m danlebar 5 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 mdan terus melandai sampai 3 m pada ujung yang palingdalam. Berapa literkah banyak air dalam kolam itu?

2. Volume TabungPerhatikan gambar bangun ruang-bangun ruang berikut!

prisma segienam prisma segi-24 tabung

Karena alasnya berbentuklingkaran, maka luas alasnya π × r2

Asah Kompetensi 1

Jika rusuk pada sisi alas dan sisi atas prisma segienam ditambah terus-menerus, kamu akan mendapatkan sebuah prisma yang sisi alas dan sisiatasnya menyerupai lingkaran. Hingga akhirnya, kamu akan mendapatkansebuah tabung.

Dari uraian tersebut, kamu dapat menyatakan volume tabung sebagaivolume prisma yang alasnya berbentuk lingkaran.

Jadi, volume tabung = luas alas × tinggi= π × r2 × t

Volume tabung = π × r2 × t

No Alas Prisma Tinggi Prisma Volume Prisma

1. Persegi panjang dengan panjang 6 cm dan lebar 4 cm …cm 9 cm3

2. Segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm …mm 124,8 cm3

3. Persegi yang panjang sisi-sisinya 8 cm 65 dm ... cm3

4. Segienam beraturan dengan luas …32 dm 900 cm3

5. Segitiga siku-siku dengan panjang sisi- 0,1 m . . .cm3

sisinya 9 cm, 12 cm, dan 15 cm.


Tentukan volume tabung berdiameter 14 cm, jika tingginya 5 cm!

Jawab:

Diameter tabung 14 cm, berarti jari-jarinya = 14 cm

2 = 7 cm.Volume tabung = π × r2 × t

= π × (7 cm)2 × 5 cm

Untuk memudahkan perhitungan, coba ambil π =227 .

Volume tabung =227 × 49 cm2 × 5 cm

= 22 × 7 cm2 × 5 cm

= 770 cm3

Jadi, volume tabung adalah 770 cm3.

CONTOH

Asah Kompetensi 2Tentukanlah volume tabung dengan ukuran seperti berikut!

1. Panjang jari-jari alas 0,7 cm dan tinggi 3,5 cm.2. Panjang jari-jari alas 20 mm dan tinggi 7 mm.3. Diameter alas 28 cm dan tinggi 2,2 dm.4. Diameter alas dan tinggi 125 cm.5. Luas alas 321 cm2 dan tinggi 12,3 cm.

Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas!

1. Sediakan selembar kertas berbentuk persegi panjang berukuran 3,14 cm × 6,28 cm!

2. Buatlah dua macam tabung yang berbeda dengan mempertemukan sisi-sisi kertas tersebut!

3. Amati kedua tabung itu. Menurutmu, tabung manakah yang volumenya lebih besar?

4. Coba cari volume kedua tabung tersebut dengan menggunakan rumus!

5. Ayo, bandingkan volume yang telah kamu hitung tersebut. Berapakah perbandingannya?

ktivitas di elasA K

No. Diameter Jari-jari Tinggi Volume

Tabung Tabung Tabung Tabung

1. …cm 16 cm 14 cm …cm3

2. 56 cm …cm 9 cm …cm3

3. …cm …cm 15 cm 6.782,4 cm3

4. … cm … cm 8 mm 7.392 mm3

5. … cm 2 cm …dm 176 cm3


Karena limas beralaskansisi kubus

Karena panjang rusuk kubusdua kali tinggi limas

3. Volume LimasDi dalam sebuah kubus dapat dibuat enam buah limas yang sama dan

sebangun. Masing-masing limas ini beralaskan sisi kubus dan tingginyasetengah panjang rusuk kubus.

LimasEnam buah limas di dalam kubus

Berdasarkan uraian ini, kamu dapat menemukan volume limas denganmenggunakan volume kubus.Volume 6 limas = Volume kubus

= rusuk × rusuk × rusuk

Luas alas= Luas alas × rusuk= Luas alas × 2 × tinggi

= 2 × Luas alas × tinggi

Volume untuk sebuah limas adalah V =26 × Luas alas × tinggi

=13 × Luas alas × tinggi

Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm danlebar 8 cm. Jika volumenya 320 cm3, tentukanlah tinggi limas tersebut!

Jawab:

Volume limas =13 × luas alas × tinggi

320 cm3 =13 × (12 cm × 8 cm) × tinggi

320 cm3 = 32 cm2 × tinggi

tinggi =3

2

320 cm32 cm

= 10 cmJadi, tinggi limas 10 cm.

Volume limas =13 × Luas alas × tinggi

CONTOH


Asah Kompetensi 3Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas!

1. Segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi

3 cm, 4 cm, dan 5 cm.

2. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm

3. Trapesium dengan luas 350 cm2

4. Segidelapan beraturan dengan luas …

5. Persegi dengan panjang sisi 10 cm

9 cm …cm3

14 cm …cm3

…dm 1.400 cm3

32 dm 450 cm3

17 cm …mm3

4. Volume KerucutKerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk

lingkaran sehingga kamu dapat menenmukan volume kerucut dari volumelimas.Volume kerucut = Volume limas

=13 × Luas alas × tinggi

=13 × π × r2 × tinggi

=13 × π × r2 × t

Volume kerucut =13 × π × r2 × t

Panjang jari-jari alas sebuah kerucut 7 cm. Jika tinggi kerucut 30 cm,tentukanlah volumenya!

Jawab:

Volume kerucut =13 × π × r2 × t

=13 × π × (7 cm)2 × 30 cm

Untuk memudahkan perhitungan, coba ambil π =227 .

Jadi, volume kubus =13 ×

227 × 49 cm2 × 30 cm = 1.540 cm3.

Karena alas kerucut berbentuklingkaran maka luas alasnya π x r2

CONTOH

No Alas Limas Tinggi Liams Volume Limas


setengah bola dengan jari-jari r kerucut dengan jari-jari r dan tinggi r

5. Volume BolaGambar berikut merupakan gambar kerucut yang memiliki tinggi dan

panjang jari-jari yang sama, yaitu r dan gambar setengah bola yang memilikipanjang jari-jari yang sama dengan jari-jari kerucut.

Asah Kompetensi 5Tentukanlah volume kerucut dengan ukuran seperti berikut!

1. Panjang jari-jari alas 21 cm dan tinggi 20 cm2. Panjang jari-jari alas 10 mm dan tinggi 14 mm3. Diameter alas 24 cm dan tinggi 14 cm4. Diameter alas dan tinggi 3 dm5. Luas alas 456 cm2 dan tinggi 65,4 cm

Lengkapilah titik-titik pada tabel berikut dengan jawaban yang tepat pada buku tugas!

Kerucut diisi air hingga penuh. Kemudian, air dari kerucut dituangkanke dalam setengah bola, ternyata setengah bola tersebut dapat menampungdua kerucut berisi air. Ini menunjukkan volume setengah bola sama denganvolume dua kerucut yang memiliki tinggi dan panjang jari-jari yang samadengan panjang jari-jari setengah bola.Volume setengah bola = 2 × Volume kerucutVolume satu bola = 4 × Volume kerucut

= 4 ×13 × π × r2 × t

Karena tinggi dan panjang jari-jari kerucut sama (t = r), maka

Volume satu bola = 4 ×13 × π × r2 × r

= 343

rπ

rrr

No. Diameter Kerucut Jari-jari Kerucut Tinggi Kerucut Volume Kerucut

1. 560 mm … cm 330 mm … mm3

2. … mm …mm 9 mm 462 mm3

3. 70 mm …cm 15 cm … cm3

4. … cm … cm 12 dm 1.256 dm3

5. … cm 7 cm … dm 308 cm3


Volume bola = 343

rπ

Tentukanlah volume bola yang memiliki panjang jari-jari 10 cm!

Jawab:

Volume bola = 343

rπ

= 34 103

π ⋅

Untuk memudahkan perhitungan, ambillah π = 3,14.

Volume bola =43

⋅ 3,14 ⋅ 103 = 4186,66 cm3

Jadi, volume bola adalah 4186,66 cm3.

Utut mengukur ketinggian 1 cm3

cairan menggunakan gelas ukurberdiameter 3 cm. Berapakahketinggian air tersebut?

Jawab:Diameter gelas 3 cm sehingga

panjang jari-jari gelas32 cm = 1,5 cm.

Volume air = Volume tabung= π × r2 × t

1 cm3 = π × (1,5 cm)2 × tUntuk memudahkan perhitungan, coba ambil π = 3,14.1 cm3 = 3,14 x 2,25 cm2 × t

1 cm3 = 7,065 cm2 × t

t =3

2

1cm7,065 cm = 0,14 cm

Jadi, ketinggian air tersebut adalah 0,14 cm.

6. Aplikasi Volume Bangun Ruang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali bangun ruang yangvolumenya dapat dihitung untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikutini.

CONTOH

CONTOH


Gambar Ututmenuangkan

minyak kedalamkaleng

Gambaratap

rumah

3Waktu: 30 menit

1. Atap suatu rumah berbentuk limas denganpanjang 25 m, lebar 15 m, dan tinggi 7 m.Berapa meter kubikkah udara yang adadalam ruangan atap?

2. Sebuah bandul berbentuk kerucut terbuatdari timah dengan jari-jari alas 5 cm dantinggi 10 cm. Jika 1 cm3 timah beratnya 8gram, berapa gramkah berat bandultersebut?

3. Utut menuangkan minyak ke sebuahkaleng yang berbentuk tabung hinggapenuh. Jika jari-jari dan tinggi kalengberturut-turut 28 cm dan 50 cm, berapaliterkah minyak yang dituangkan Utut kekaleng tersebut?

4. Sebuah pabrik obat memproduksi obatdemam yang berbentuk tablet dengan tebal3 mm dan diameter 1 cm.Berapakah volume obat ini?

5. Sebuah mangkuk berbentuk setengah bola.Jika mangkuk itu dapat memuat 486 π cm3

sop, berapakah diameter mangkuktersebut?

ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20


Sebuah bidang datar dapat digunakan untuk memotong sebuah bangunruang sehingga menghasilkan bidang datar lain yang merupakan irisan antarabidang datar itu dengan bangun ruang. Bidang datar hasil irisan ini disebutbidang irisan.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik k padarusuk AE sehingga panjang Ak = 3 cm. Titik pada rusuk BF sehingga panjangBL = 1 cm. Bidang α melalui titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antarabidang α dengan kubus ABCD.EFGH.

Langkah-langkah untuk melukis irisan tersebut sebagai berikut:1. Gambarkan sumbu efinitasnya seperti pada gambar (a).

• Garis HL dan KL menembus bidang alas ABCD di titik P dan Q• Garis PQ adalah sumbu efinitasnya

2. Gambar garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF seperti padagambar (b).• Garis GB memotong sumbu efinitas PQ di titik R• Garis RL memotong rusuk CG di titik M, sehingga garis LM adalahgaris potong bidang α dengan bidang sisi BCGF

3. Gambarkan garis potong bidang α dengan bidang sisi CDHG, yaitugaris HM.

4. Garis potong HK, KL, LM, dan HM membentuk segi empat HKLM. Segiempat HKLM adalah irisan antara bidang a dengan kubus ABCD.EFGHyang diminta seperti bagian yang diarsir pada gambar (b).

D. Irisan Bangun Ruang

CONTOH

(a) (b)

sumbu efinitas

H G

E F

D C

K

A B

H G

E F

D C

K

A B

K M

QPR

Waktu: 60 menit1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P di tengah-tengah rusuk EH,

titik Q pada pertengahan bidang ABFE, dan titik R terletak padarusuk BF sehingga BR : BF = 1 : 4. Lukislah irisan bidang dengankubus melalui titik-titik P, Q, dan R!

ASAH KEMAMPUAN4Bobot soal: 30


1. Jaraka. Jarak antara dua titik

Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkankedua titik tersebut. Misalnya, ruas garis PQ menunjukkan jarak antara titikP dan titik Q.

2. Pada limas T. ABC di samping, titik P padarusuk TA, titik Q pada bidang TAC, dan titik Rpada perluasan bidang ABC. Lukislah irisanbidang yang melalui titik-titik P, Q, dan Rdengan limas!

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P pada rusuk CG sehinggaCP : CG = 4 : 5, dan titik Q pada pertengahan rusuk BF. Lukislahirisan bidang dengan kubus melalui titik-titik P, Q, dan H!

Bobot soal: 40

Bobot soal: 30

B

A C

T

PQ

E. Jarak dan Sudut

m

r

n

Gambar 7.12. Jarak antaragaris sejajar.

Gambar 7.9. Jarak antara titik

P Q

A

r

Gambar 7.10. Jarak antaratitik dan garis.

T g

A

Gambar 7.11. Jarak antaratitik dan bidang.

b. Jarak antara titik dan garisJarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang

ditarik dari titik tersebut ke garis.Pada gambar di samping, jarak antara titik A dan garis g ditunjukkan

oleh ruas garis AT yang tegak lurus garis g.

c. Jarak antara titik dan bidangJarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus yang

menghubungkan titik tersebut dengan bidang.Pada gambar di samping, jarak antara titik A dan bidang ditunjukkan

oleh ruas garis r yang tegak lurus bidang.

d. Jarak antara dua garis sejajar atau bersilanganJarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis

yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.Pada gambar di samping, jarak antara garis m dan n ditunjukkan oleh

ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis m dan n.


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukanlahjarak garis EB dengan bidang CDHG!

Jawab:Perhatikan kubus di samping!Garis CH pada bidang CDHG sejajar dengangaris EB. Garis BC tegak lurus EB dan tegak lurusCH. Oleh karena itu, jarak EB dengan bidangCDHG sama dengan panjang rusuk BC = 4 cm.

CONTOH

A B

CD

FE

H G

4 cm

Gambar 7.14. Jarak antaradua bidang.

B

A

s

Gambar 7.13. Jarak antaragaris dan bidang yang salingsejajar.

A

B

rg

e. Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajarJarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah panjang ruas garis yang

tegak lurus terhadap garis dan tegak lurus terhadap bidang tersebut.Pada gambar di samping, ruas garis r yang tegak lurus terhadap garis g

dan tegak lurus terhadap bidang menunjukkan jarak antara garis g danbidang.

2. Sudut Antara Garis dan BidangJika suatu garis menembus bidang maka garis dan bidang tersebut akan

membentuk sebuah sudut. Besar sudut yang terbentuk sama dengan besarsudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

Pada gambar di samping, garis g menembus bidang pada titik A. Titik Bpada garis g diproyeksikan pada bidang. Didapat proyeksinya B′. Jadi,proyeksi garis g pada bidang tersebut adalah AB′.Akibatnya, sudut antara garis g dan bidang tersebut adalah ∠ BAB’.

Gambar 7.15. Sudut antaragaris dan bidang

A

B

B′

g

f. Jarak antara dua bidangJarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus

terhadap kedua bidang tersebut.Pada gambar di samping, ruas garis s yang tegak lurus terhadap kedua

bidang menunjukkan jarak antara kedua bidang tersebut.


A B

CD

FE

H G

CONTOHDiketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukanlahbesar sudut yang dibentuk oleh garis CE dengan bidang ABCD!

Jawab:Perhatikan gambar kubus di samping!Proyeksi garis CE pada bidang ABCD adalahgaris AC sehingga sudut yang dibentuk olehgaris CE dengan bidang ABCD adalah ∠ ACE.Perhatikan segitiga ACE yang tegak lurus di A.Pada segitiga ACE, AE = 4 cm, AC = 4 2 karenaCE = 4 3 merupakan diagonal bidang.

sin ∠ACE =4 1 1 3

34 3 3AECE

= = =

∠ACE= arc sin 13 3

= 35,26°Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis CE dengan bidang ABCD adalah35,26°.

3. Sudut Antara Dua BidangDua bidang yang berpotongan akan membentuk sebuah sudut. Sudut

yang dibentuk kedua bidang dapat diwakili oleh sudut yang dibentuk olehdua garis. Garis pertama terletak pada bidang pertama, garis kedua terletakpada bidang kedua. Kedua garis tersebut tegak lurus dengan perpotongankedua bidang pada titik tertentu.

CONTOH Diketahui limas T.ABC, dengan TA tegak lurus ABC. TA = 2 6 cm,AC = AB = 4 cm, dan AC tegak lurus AB. Tentukanlah besar sudut yangdibentuk oleh bidang TBC dengan bidang ABC!

Jawab:Bidang ABC berpotongan dengan bidangTBC pada garis BC. Garis AE pada bidangABC tegak lurus BC. Garis TE padabidang TBC tegak lurus BC. Dengandemikian, sudut antara bidang TBC danbidang ABC sama dengan sudut yangdibentuk oleh garis AE dan garis TE, yaitu∠AET.Terlebih dahulu, perhatikan segitiga ABCyang siku-siku di A.Dengan menggunakan teoremaPythagoras, didapat:

BC2 = AB2 + AC2

= 42 + 42 = 32BC = 4 2

Titik E di tengah-tengah BC sehingga BE = 12 BC = 1

2 ⋅ 4 2 = 2 2 cmPerhatikan segitiga ABE yang siku-siku di E!

A BE

C

T

4 cm

2 6 cm

➤➤➤➤➤

4 cm


Dengan menggunakan teorema Pythagoras, didapat:AE2 = AB2 − BE2

= 42 − (2 2 )2

= 16 − 8 = 8AE = 2 2 cm

Sekarang perhatikan TAE yang siku-siku di A.Dengan menggunakan perbandingan trigonometri, didapat:

tan ∠AET = = 2 62 2

TAAE =

62 = 3

∠AET = arc tan 3 = 60°

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh bidang TBC dengan bidang ABCadalah 60°.

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Titik Pterletak pada garis BC dengan BP : PC = 1 : 2 dan titik Q terletak padadiagonal ruang BH dengan BQ : QH = 2 : 1. Tentukanlah jarak titik Pke titik Q!

2. Diberikan limas beraturan T. ABCD dengan ABCD persegi denganpanjang rusuk 4 cm. Jika TA = 6 cm, tentukanlah jarak titik C ke garisAT!

3. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk4 cm. Tentukanlah jarak titik C ke bidang TAB!

4. Dalam kubus ABCD.EFGH, AB = 6 cm. Titik S dan R berturut-turutpada pusat bidang EFGH dan ABCD. Tentukanlah jarak antara garisRF dan DS!

Garis h yang bergradien 2 sejajar dengan garis k. Jarak antara garis h dan garis k adalah 2 satuan.Jika garis h melalui titik (2,3), tentukanlah persamaan garis k!

ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 12,5

5Waktu: 120 menit

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5


5. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 5 cm, BC = 2 cm, danBF = 3 cm. Titik P pada AE dengan EP = 1 cm. Titik Q pada BF denganFQ = 1 cm. Titik R pada HD dengan HR = 2 cm. Tiitk S pada CGdengan SG = 2 cm. Tentukanlah jarak antara bidang PQGH denganbidang ABSR!

6. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm, BC = 3 cm, danBF = 6 cm. Titik P terletak pada pertengahan GH dan titik Q padapertengahan CD. Tentukanlah besar sudut yang dibentuk garis olehAF dengan bidang AQPE!

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Misalkana sudut yang dibentuk oleh bidang BDE dengan bidang BDG,tentukanlah nilai sin a!

8. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukanlah kosinus sudut terkecil yangdibentuk oleh garis AG dan BH! Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

Bobot soal: 12,5

1. Bidang gambar adalah bidang datar yang akan digunakan untuk bangun ruang. Bidang frontaladalah bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar lain. Bidang ortogonal adalah bidangyang tegak lurus terhadap bidang frontal.

2. Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal vertikal dan bidang ortogonal horizontal. Bidangortogonal vertikal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke kanan. Bidangortogonal horizontal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke atas atau ke bawah.

3.Panjang garis ortogonal pada gambar

Perbandingan Proyeksi = Panjang garis ortogonal sebenarnya

4. Sudut surut adalah sudut pada gambar yang dibentuk oleh garis frontal horizontal arah kekanan dengan garis ortogonal arah ke belakang yang berpotongan.

5.

RangkumanRangkuman

1. Prisma Luas alas × t

2. Tabung 2rπ × t

3. Limas 1 Luas alas3

t× ×

4. Kerucut 213

r tπ

5. Bola 343

rπ

No. Bangun Ruang Volume



1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denganpanjang rusuknya 2a. Jika p titik tengah BFdan Q titik tengah EH, maka panjang PQadalah . . . .a. 3a d. 5a

b. 2a e. 6ac. 2a

2. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a.Jarak G ke diagonal BH adalah . . . .

a.1 62

a d.1 64

a

b.1 63

a e.1 65

a

c. 6a

3. Segitiga ABC samakaki pada bidang horizon-tal dan BCDE persegi panjang pada bidangvertikal dengan AC = AB, AD = 17 cm,CD = 8 cm, dan ED = 18 cm. Maka jarak titikA ke bidang BCDE adalah . . . .a. 12 cm d. 9 cmb. 15 cm e. 17 cmc. 11 cm

4. Limas T.ABCD mempunyai alas ABCDyang berbentuk persegi panjangdengan AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan TA = TB= TC = TD = 7 cm. Tinggi limas tersebutadalah . . . .

a. 12 cm d.3 32 cm

b. 3 3 cm e. 13 cmc. 3 cm

5. Garis g dan h bersinggungan. Bidang vmelalui g dan sejajar dengan garis h. Bidangw melalui h dan berpotongan dengan bidangv . Jika k adalah garis potong kedua bidang

tersebut maka . . . .a. k memotong g dan hb. k dan h bersilanganc. k sejajar h dan memotong gd. k sejajar dengan g dan memotong he. g memotong k dan h

6. Diketahui limas T.ABCD. Pada rusuk TAdipilih titik P, pada rusuk TB dipilih titik Q,dan pada rusuk TC dipilih titik R, sehinggaTP : PA = 1 : 2TQ : QB = 2 : 3TR : RC = 3 : 4Maka perbandingan isi limas T.ABCD danT.PQR adalah . . . .a. 3 : 2 d. 5 : 1b. 35 : 98 e. 4 : 1c. 5 : 2

7. Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a cm.P, Q, R adalah titik tengah dari AD, AB, danBF. Penampang bidang PQR dengan kubusberupa . . . .a. bujur sangkarb. segitiga samasisic. segi empat beraturand. segi lima beraturane. segi enam beraturan

8. Jarak antara titik C dengan bidang BDGdalam kubus ABCD.EFGH yang panjangrusuknya 6 cm adalah . . . .a. 3 2 d. 3b. 2 6 e. 2 3c. 3 3

9. Pada suatu kubus ABCD.EFGH sudut antaragaris AH dan bidang diagonal BFHD samadengan . . . .a. 15° d. 45°

b. 30° e. 60°

c. 90°



10. ABCD adalah persegi panjang pada bidanghorizontal. ADEF adalah persegi panjangpada bidang vertikal. Panjang AF = 3 cm,BC = 4 cm, dan CE = 7 cm. Jika α adalahsudut antara BE dengan bidang ABCD danβ adalah sudut antara BE dengan bidangADEF, maka tan α tan β = . . . .

a.335 d.

535

b.435 e.

421

c.321


1. Sebuah kotak berbentuk kubus memilikipanjang rusuk 5 cm. Kotak tersebut disebutkubus ABCD.EFGH. Titik P terletak padagaris BC dengan BP : PC = 2 : 3 dan titik Qterletak pada diagonal ruang BH denganBQ : QH = 3 : 2.Tentukanlah:a. Jarak titik P ke titik Qb. Kosinus sudut terkecil yang dibentuk

oleh garis AG dan BH

2. Hitunglah luas plat seng yang diperlukanuntuk membuat kaleng berbentuk silinder(termasuk alas dan atas) yang berisi satu literdengan tinggi x dm!

3. Sebuah bola dimasukkan ke dalam kotakberbentuk kubus. Kemudian sebuah kotakyang berbentuk kubus dimasukkan ke dalambola. Tentukanlah perbandingan antara isibola dalam dan isi bola luar kubus!

4. Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut.Tinggi topi tersebut 16 cm, sedangkandiameter alasnya 24 cm. Apabila sebuahbola dimasukkan ke dalam topi tersebut,tentukanlah perbandingan antara isi boladalam topi dan isi topi tersebut!

5. Perhatikan gambar berikut!

H GE F

D C

A B

Tentukan tangen sudut antara CG denganbidang BDG!

Tugas Akhir159

1. Nilai dari (0,04)−0,05 + (0,25)0,5 adalah . . . .a. 0,5 d. 4,5b. 0,7 e. 5,5c. 2,5

2. Bentuk (p−1 + q−1)−1 identik dengan . . .

a. p + q d.p qpq+

b. p e. 1pq

c.+pq

p q

3. Jika a = 25 dan b = 81, dan c = 8 maka nilai21 132 4, ,a b c adalah . . . .

a. 3 d. 40b. 5 e. 60c. 20

4. Nilai dari 48 457 2 10

+

+ adalah . . .

a. 3 d. 2 3b. 6 e. 2 6c. 3 2

5. Nilai dari 32 907 2 10

+

+ adalah . . . .

a. 1 d. 4b. 2 e. 16c. 3

6. Bentuk sederhana dari 10 2 21+ ada-lah . . . .a. 7 3+ d. 3 7−b. 7 3− e. 7 3+c. 5 3−

7. Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai3 2log 15 sama dengan . . . .

a.( )2

3p q+

d.( )2 1

3p q+ −

b.( )2

3p q−

e.( )3 1

3p q− +

c.( )2 1

3p q− +

8. Nilai dari

log16 48

1 130log 10 log 10

+ −

adalah . . . .a. 0 d. log 60b. 1 e. 10c. log 18

9. Jika 3log 3 dan log 3a ay x= = nilai xy sama

dengan . . . .a. 1 d. 27b. 3 e. 81c. 9

10. Persamaan (p − 1)x2− 4px + 4p + 7 = 0mempunyai akar-akar positif. Akar-akarpositif itu adalah . . . .

a. 3 dan 5 d.7 7 dan 3 2

b.73 dan2 e.

7 dan 32

c.7 dan 52

11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat2x2 + px + 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positifadalah . . . .a. 2 3 d. 8 3

b. 3 3 e. 12 3

c. 6 3

12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + a = 0adalah α dan β. Jika 2 2 5α β+ = maka nilaia sama dengan . . . .

a.263

− d.133

b.233

− e.263

c.133

−

13. Himpunan penyelesaian dari 2 14 5 23

x yx y

− =⎧⎨ + =⎩adalah . . . .

a. {2,3} d. {4,2}b. {3,2} e. {3,4}c. {2,4}

Tugas Akhir


14. Himpunan penyelesaian dari

1 2 8

2 1 1

a b

a b

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

adalah . . . .

a. { }1 1,2 3

− d. { }1 1,3 2

−

b. { }1 1,2 3 e. { }1 1,

2 3−

c. { }1 1,2 3

−

15. Sebuah kolam ikan berbentuk persegipanjang, jika lebarnya ditambah 10 m, danpanjangnya ditambah 5 m maka luas akanbertambah 350 m2. Tetapi jika lebarnyadikurangi 5 m dan panjangnya ditambah10 m, maka luasnya akan berkurang 25 m2.Luas daerah persegi panjang mula-mulaadalah . . . m2.a. 14 d. 322b. 23 e. 422c. 37

16. Himpunan penyelesaian dari 1 32 4

x xx x

− −>− −

adalah . . . .a. x < 2 d. x > 0b. x > 4 e. x < 0c. 2 < x < 4

17. Himpunan penyelesaian dari3 2 4x x+ > − adalah . . . .

a.1 42

x− < ≤ d.142

x− ≤ < −

b.1 42

x− < ≤ − e.142

x− ≤ <

c.1 42

x< ≤

18. Himpunan penyelesaian 3 2 1x x− + ≤ +adalah . . . .

a.2 33

x≤ ≤ d. 3x ≤

b.2 33

x− ≤ ≤ e.12

x ≥ −

c.233

x− ≤ ≤ −

19. Jika :p q p q→ = maka p + r = q + r,:q p q q r+ ≠ + kongruensi dari pernyataan

di atas adalah . . . .a. p q≠ d. p r q r+ ≠ +b. q r≠ e. p + r = q + rc. p r≠

20. Misalkan terdapat beberapa trang danbeberapa tring dan beberapa trung. Misalkanpula semua trang adalah tring, dan beberapatrung adalah trang.X = Semua trang adalah trungY = Beberapa trang adalah trungZ = Beberapa trung adalah tringBerdasarkan informasi tersebut yang manasaja dari pernyataan X, Y, Z yang pastibenar?a. X saja d. X dan Y sajab. Y saja e. Y dan Z sajac. Z saja

21. Ingkaran dari pernyataan 16 + 9 = 25 dan25 = 52 adalah . . . .a. 216 9 25 atau 25 5+ ≠ ≠b. 16 + 9= 25 atau 25 = 52

c. 216 9 25 atau 25 5+ ≠ =d. 216 9 25 dan 25 5+ ≠ ≠e. 216 9 25 dan 25 5+ ≠ =

22. Sin 225° = . . . .

a.1 22

− d. 2

b.1 22

− − e.12

c. 2−

23. cos2 45° + sin2 45° = . . . .

a. 0 d.1 22

b. 1 e.12

c. 2

24. ( )α α α α+ − =22 cos sin cos sin . . . .a. 0 d. cosαb. 1 e. tanαc. sinα

Tugas Akhir161

25. Diketahui segitiga siku-siku PQR dan siku-siku di Q. Jika panjang PQ = 4 cm danPR = 5 cm, maka tan ∠QPR adalah . . . .

a.43 d.

54

b.34 e.

43

c.34

−

26. Diketahui 4cos5

p = − dan 90° < p < 180°nilai tan p adalah . . . .

a.925 d.

35

b.35

− e.45

−

c.34

−

27. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi-sisinya adalah 3 cm, 5 cm, dan 7 cm. Besarsudut terbesar dari segitiga ABC adalah . . . .a. 30° d. 120°b. 45° e. 180°c. 60°

28. Jika diameter alas sebuah tabung samadengan tingginya yaitu 8 cm maka luaspermukaan tabung adalah . . . .a. 4π cm2 d. 48π cm2

b. 256π cm2 e. 128π cm2

c. 266π cm2

29. Luas permukaan kerucut jika jari-jari 6 cmdan garis pelukis 8 cm adalah . . . .a. 14π cm2 d. 128π cm2

b. 64π cm2 e. 288π cm2

c. 20π cm2

30. Volume kerucut dengan jari-jari lingkaran6 cm dan tinggi 8 cm adalah . . . .a. 12π cm2 d. 144π cm2

b. 72π cm2 e. 288π cm2

c. 96π cm2

Sumber Gambar:Microsoft Encarta Reference Library 2005.www.google.com

Arsyad, M. 2004. Contextual Mathematics. Jakarta: LiteraturAminulhayat. 2004. Matematika. Bogor: ReginaBostock, L., cs. 2002. STP National Curriculum Mathematics 7A . United Kingdom: Nelson

ThornesCollins, W. 2001. Mathematics Aplications and Connection. New York: Mc Graw-HillDaiman, E. 2004. Penuntun Belajar Matematika. Bandung: Ganesha ExactDemana, F. and Waits, B. 1990. College Algebra and Trigonometri. New York: Addison

WesleyKeng Seng, T. , dan Chin Keong, L. 2002. New Syllabus. Singapura: ShingleeNasution, A. H. 1995. Matematika. Jakarta: Balai PustakaNeswan, O. dan Setya Budhi, W. 2003. Matematika. Bandung: ITBPhillips, D., cs. 2000. Maths Quest for Victoria. Australia: John WileyPurcell, E. J., dan Varberg, D. 1995. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: ErlanggaSwee Hock , L., cs. 2001. Matematik Tingkatan 4. Kuala Lumpur: Darul FikirSobel, M. A., dan Maletsky, E. M. 2001. Teaching Mathematics. New York: PearsonSembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama WidyaSimangunsong, W. dan Poyk. F. M. 2002. Matematika Program Pemantapan Kemampuan

Siswa. Jakarta: GematamaSoka, Y. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: TarsitoTampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU. Jakarta: Erlangga

, 2004. Matematika Plus. Bogor: YudhistiraWahyudin, H. 2002. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta: Tarity

Samudra Berlian

PUSTAKA ACUAN

Catatan

Matematika SMA Kelas 10

Documents

Transcript of Matematika SMA Kelas 10