LIMIT FUNGSI

KELAS XI SEMESTER GENAP

Nama Anggota Kelompok :

Kelas XI IPA 5

Kelompok 1 LIMIT FUNGSI

Kompetensi Dasar

Standar Kompeten

si

Indikator

Materi

Pengayaan

Limit

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi

6.1 menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

Kompetensi dasar

1. Mampu menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri di satu titik

2. Mampu menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi3. Mampu menentukan nilai limit di tak hingga suatu fungsi

Indikator

PENGERTIAN LIMIT

Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis .Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variabel fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses mendekati ini bisa dari kiri (disebut limit kiri ) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan ).Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama. Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita cari limit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri dan limit kananya.

Limit dari f(x) bila x menuju a adalah

L R, ditulis Lxfax

)(lim

Jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0

sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < d maka |

f(x) - L| < e.

Definisi

Limit

Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim

)(lim

)(

)(lim5.

Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.4

n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 3.

maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika

lim .2

.Konstanta) (Hk. lim .1

MM

L

xg

xf

xg

xf

LMxgxfxgxf

MLxgxfxgxf

MxgLxf

aX

CC

ax

ax

ax

axaxax

axaxax

axax

ax

ax

Teorema - Teorema

Limit

Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim

maka )()(limdan )(limMisalkan .8

(Hk.Akar).lim

maka

genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 7.

Lfxgfxgf

LfxfLxg

ax

nan

axax

Lxax

nn

ax

n

n

ax

n

ax

Axfxf LimLim

)()(6.

222 )1(1

1sin)1()1(

x

xxx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

maka

Prinsip Apit

Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB

Sehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1

Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;

cos

1sincos

Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sin

lim10

it

Sehingga : 1sin

lim0

it

Limit Fungsi Trigonometri

AO

B

C

D

OC= cos ; CB= sin

1sin

lim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tan

lim.30

x

xx

Contoh :

2.2

2tan5

4.4

4sin3

lim2tan5

4sin3lim

00

x

xx

x

xx

xxxx

2.

2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

x

xx

x

x

x

3

7

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

x

xx

x

x

xx 0 ekivalen dgn 4x 0

Limit Tak Hingga & Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xg

xfax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

1

1lim

2

1

x

xx

a.1

1lim

2

2

1

x

xx x

xx sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatifSehingga

1

1lim

2

1 x

xx

b. 021lim 2

1

x

x

1

1lim

2

2

1 x

xx

akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

Contoh

Hitung

c.

0lim

x

x

x

xx sinlim

dan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena

Lxfx

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2

2

x

xxx

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

42

52lim

2

2

x

xxx

2

2

42

521

lim

x

xxx

= 1/2

Limit di Tak

Hingga

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2

x

xx

42

52lim

2

x

xx

Jawab :

)2(

)(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

)2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x

= 0

Contoh Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :

Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2)

3

3(3lim

2

22

xxx

xxxxxx

x

xxx

xxxx

3

3lim

2

22

xxx

xx

3

3lim

2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2312

3||2 xx

xx

x

xx

x

x

231

3

1

)1(lim

2

1

)11(

1lim

231

3

xx

x

x

PENGAYAA

N

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

ºf(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

a

(ii)

1L2L Karena limit kiri(L1) tidak

sama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfaxL

ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara endefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a

º

Contoh :Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)( 2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

c. 312)2( 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

Kontinu kiri dan kontinu

kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

Jawab :

Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2)(lim)(lim22

141)2()2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1

f kontinu kanan di x=2)2()(lim

2fxf

x

141)2()2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu

pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka

dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

Kekontinuan pada interval

Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya

Misalkan , maka f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-

4>0

atau x>4.

f(x) kontinu kanan di

x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI KOMPOSISI

Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka

Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a.

Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax

43

13cos)(

2

4

xx

xxxf

))(()( xhgxf

43

13)(

2

4

xx

xxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

THANK YOU ^^