MATEMATIKA KEUANGAN - Info kuliah Dr. Julan Hernadi KEUANGAN PENDAHULUAN ... Materi Kuliah : Model...

MATEMATIKA KEUANGAN

PENDAHULUAN

Julan HERNADI1

Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP Universitas Muhammadiyah PonorogoUniversity of

Kuliah Matematika Keuangan, Semester Genap 2011

Julan HERNADI matematika keuangan

SIMULASI INVESTASI

Kebutuhan pokok �plus� mencakup: sandang, pangan, papan,kendaraan, alat komunikasi, dll.

Misalkan kebutuhan pokok tersebut telah terpenuhi dan andamasih mempunyai kelebihan uang, katakan 100 juta rupiahselama 1 tahun.

Digunakan untuk apa uang 100 juta rupiah ini?

Dibelikan perhiasan/emasDidepositokan di bankDibelikan property extra, mis tanah, dllDibelikan saham perusahaan, misalkan ikut danareksaDibelikan obligasiDisimpan di bawah kasur,dll

Keadaan uang 1 tahun yang akan datang

Bertambah signi�kan berlipat-lipatTetap nominalnyaBerkurang nominalnya


KEADAAN INVESTASI PADA 2 TITIK WAKTU

Figure: Model �uktuasi investasi


TENTANG MATA KULIAH INI

Deskripsi mata kuliah: mata kuliah ini membahas manajemeninvestasi khususnya portofolio ditinjau dari teori matematikakhususnya teori probabilitas.

Tujuan mata kuliah : memberikan pengetahuan tentangmodel-model investasi, mengetahui estimasi keuntungan(return) dan resikonya terhadap suatu investasi.

Materi Kuliah :

Model pasar sederhana (istilah & asumsi dasar, Prinsipnon-arbitrase, Model binomial 1 langkah, Resiko dankembalian, Kontrak muka, Opsi)Aset bebas resikoAset dengan resikoModel Pasar waktu diskritManagemen Portofolio.


Lanjutan

Referensi : Capinski, M & Zastawniak, T. 2003. Mathematicsfor Finance: An Introduction to Financial Engineering,Spring-Verlag, London.

SISTEM PERKULIAHAN: Tatap muka, presentasi dosen,presentasi kelompok, menyusun makalah, dll.

PENILAIAN: Keaktifan, presensi, presentasi, makalah, UTS,UAS.


MACAM ASSET

Asset = harta/kekayaan.

Asset dengan resiko (risky-asset), misalnya saham, logammulia, valuta asing, dll

Asset tanpa resiko (risk-free asset), misalnya deposito, obligasipemerintah, dll

Untuk sementara diperhatikan 2 titik waktu, yaitu

t = 0 yaitu saat awal investasi

t = 1 yaitu akhir 1 periode investasi.

Misalkan S(0) harga/nilai asset dengan resiko, A(0) harga/nilaiasset tanpa resiko pada saat t = 0. Kedua harga ini diketahui olehinvestor. Bayangkan S(t) harga saham pada saat t, dan A(t)banyaknya uang pada rekening bank. S(1) tidak diketahui olehinvestor, sedangkan A(1) diketahui oleh investor.


Rate of return

Rate of return atau disingkat return dide�nisikan sebagai selisihperubahan nilai asset terhadap nilai asset mula-mula.

Risky-asset: KS := S(1)−S(0)S(0) tidak diketahui oleh investor,

karena S(1) tak diketahui

Risk free-asset: AS := A(1)−A(0)A(0) diketahui oleh investor pada

saat t = 0.

Tugas matematikawan dalam bidang keuangan:

membangun model matematika dari pasar sekuritas keuangan.

Diperlukan teori matematika yang relevan.

Untuk itu diperlukan beberapa asumsi dasar agar dapatdianalisis secara matematika.

Asumsi ini sedapat mungkin mempunyai kemiripan dengankeadaan sesungguhnya atau realitas.


ASUMSI DASAR

Asumsi RANDOM. Harga saham yang akan datang S(1)tidak pasti, dapat naik, turun atau tetap. Nilai kenaikan ataupenurunan juga tidak diketahui. Harga obligasi yang akandatang A(1) sudah diketahui saat ini.

Asumsi Positif. Semua harga saham dan obligasi selalupositif, yaitu S(t), A(t)> 0, t = 0, 1.


PORTOFOLIO DALAM INVESTASI

Seorang investor mempunyai x lembar saham dan y lembarobligasi (surat berharga) akan mempunyai kekayaan

V (t) = xS(t)+ yA(t), t = 0,1

Pasangan (x ,y) disebut portofolio dan V (t) disebut nilaiportofolio atau kekayaan investor.

Loncatan (perubahan) nilai asset adalah

V (1)−V (0) = x (S(1)−S(0))+ y (A(1)−A(0)) .

Return portofolio adalah

KV =V (1)−V (0)

V (0).


Contoh Return

1 A(0) = 100 dan A(1) = 110 dollar. Return investasi sebesarKA = 110−100

100 = 0.1= 10%.

2 Misalkan S(0) = 50 dollar, dan S(1) variabel random dengandua kemungkinan nilai

S(1) =

{52 dengan probabilitas p

48 dengan probabilitas 1−p

maka returnnya juga ada dua kemngkinan, yaitu

KS =

{4% bila saham naik

−4% bila saham turun


Contoh Portofolio

Misalkan harga per lembar saham dan obligasi sama sepertisebelumnya, yaitu S(0)=50 dollar dan A(0)=100 dollar. Padat = 0, diketahui portofolionya adalah x = 20 lembar sahamdan y = 10 surat obligasi. Tentukan nilai portfolio padat = 0,1. Kemudian hitunglah returnnya.

Penyelesaian:

V(0)= (20)(50)+(10)(100) = 2000 dollar.

Bila harga saham naik maka V(1) = (20)(52)+(10)(110)=2140. Bila harga saham turun maka V(1) =(20)(48)+(10)(110)= 2060.

Return agar dihitung sendiri !

LATIHAN

Selesaikan Latihan 1.1 dan 1.2 (lihat hal 4)


Asumsi Dasar Lanjutan

Asumsi Keterbagian: banyak lembar saham x dan obligasi ydiasumsikan dapat bernilai bulat, pecahan, negatif, nol, positif,yaitu x ,y ∈ R. Fakta lapangannya, x dan y bilangan bulat taknegatif.

Asumsi Likuiditas: tidak ada pembatasan jumlah lembarsaham dan obligasi yang diperdagangkan. Ini merupakanidealisasi matematika, keadaan sesungguhnya tidak demikian.

Long position adalah suatu keadaan dimana sekuritas padaportofolio bernilai positif. Kebalikannya adalah short position. Padaposisi short,

Investor aset bebas resiko dapat pinjam tunai, bunganyadihitung dari nilai penjaman. Pengembalian pinjaman + bungadisebut closing short position.

Investor saham dapat pinjam saham orang lain, menjualnyadan hasilnya digunakan untuk membuat investasi lainnya. Caraini disebut juga short selling.


Asumsi kesanggupan: kekayaan investor tidak pernah minus,yaitu

V (t)≥ 0, t = 0,1

Portofolio yang memenuhi kondisi ini disebut admisibble

(layak).

Harga satuan diskrit : harga saham yang akan datang S(1)mempunyai nilai diskrit atau banyak kemungkinannyaberhingga.


PRINSIP NON-ARBITRASE

Pasar tidak membolehkan keuntungan tanpa resiko, yaitudengan investasi nol.

CONTOH: Misalkan pedagang A di Newyork menawarkanuntukmembeli poundsterling seharga 1.62 US dollar per pound,sedangkan penjual B di London menawarkan untukmenjual1.60 dollar per pound. Seorang investor tanpa modal dapatuntung 1.62-1.60=0.02 dollar per pound dengan cara ambilshort position dengan pedagang B dan long position dengan A.Keadaan seperti ini diasumsikan tidak boleh terjadi.

Model matematika untuk prinsip non-arbitrase: tidak bolehada admisibble portfolio dengan V(0)=0 sehingga V(1)>0dengan probabilitas tidak nol.

LATIHAN

Kerjakan exercises 1.3 (lihat hal 6). Mungkinkah prinsipnon-arbitrase dilanggar !


MODEL BINOMIAL 1 LANGKAH

Pada model ini, harga saham S(1) diasumsikan hanya memiliki 2kemungkinan. Misalkan S(0) = 100 dan

S(1) =

{125 dengan probabilitas p

105 dengan probabilitas 1−p

dimana 0< p < 1. Mudah diperoleh returnnya adalah

KS =

{25% jika harga naik

5% jika harga turun

Secara umum model binomial 1 langkah dapat disajikan sebagai

S(1) =

{Su dengan probabilitas p

Sd dengan probabilitas 1−p

dimana Sd < Su dan 0< p < 1.


Penentuan harga saham S dan obligasi A dibatasi oleh prinsipnon-arbitrase, seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Theorem

Bila A(0) = S(0) maka haruslah Sd < A(1)< Su. Bila tidak makaakan terjadi kesempatan arbitrase.

Bukti. Untuk sederhananya, misalkan A(0) = S(0) = 100. AndaiA(1)≤ Sd maka pada t = 0 dilakukan kegiatan sbb

Pinjam cash 100 dollar aset bebas-resiko,

Beli 1 lembar saham seharga 100 dollar

Keadaan ini memenuhi portofolio x = 1,y =−1 sehingga V (0) = 0.Pada t = 1, diperoleh

V (1) =

{Su−A(1) bila harga naik

Sd −A(1) bila harga turun.

Pada kedua kasus V (1)> 0 sehingga muncul kesempatan arbitrase.


Selanjutnya diandaikan A(1)≥ Su, maka pada t = 0 dilakukan

short selling 1 lembar saham 100 dollar

investasikan 100 dollar tsb pada ases tanpa resiko

Keadaan ini memenuhi portofolio x =−1, y = 1 sehingga V (0) = 0.Pada t = 1, diperoleh

V (1) =

{−Su+A(1) bila harga naik

−Sd +A(1) bila harga turun.

Pada kedua kasus selalu dipenuhi V (1)> 0, yaitu prinsipnon-arbitrase dilanggar. Oleh karena itu untuk menjamin agarprinsip non-arbitrasi tidak dilanggar haruslah Sd < A(1)< Su.


EKSPEKTASI RETURN DAN RESIKO INVESTASI

Diperhatikan ilustrasi berikut: misalkan A(0) = 100, A(1) = 110,dan S(0) = 80, S(1) diberikan oleh

S(1) =

{100 probabilitasnya 0.8

60 probabilitasnya 0.2.

Misalkan dana 10000 dollar diinvestasikan denga portofolio x = 50saham dan y = 60 obligasi. Diperoleh

V (1) =

{11600 bila harga naik

9600 bila harga turun.

KV =

{0.16 bila harga naik

−0.04 bila harga turun.

Ekspektasi return adalah ekspektasi matematika terhadap returnportofolio, dalam hal ini adalah


E (KV ) = (0.16)(0.8)+(−0.04)(0.2) = 0.12= 12%. Sedangkanresiko investasi dide�nisikan sebagai standar deviasi dari variabelrandom KV , yaitu

σV =

√n

∑i=1

(Ki −E (KV ))2 p(KV = Ki )

=√

(0.16−0.12)2(0.8)+(−0.04−0.12)2(0.2) = 0.08

Jadi untuk investasi ini diperoleh ekspektasi 12% dan resiko 8%.Coba bandingkan dengan portofolio berikut: x = 0 dan y = 100,kemudian dengan portofolio x = 125 dan y = 0.LatihanKerjakan exercise 1.4 hal 10 !


KONTRAK MAJU

Kontrak maju (forward contract) adalah kesepakatan bersamainvestor untuk menjual atau membeli asset beresiko pada waktutertentu di masa yang akan datang (delivery date), dengan hargatertentu F (forward price).

Investor yang setuju untuk membeli disebut mengambil posisilong forward.

Investor yang setuju untuk menjual disebut mengambil posisishort forward.

CONTOH: Misalkan forward price 80 dollar. Kalau harga pasarpada saat delivery date 84 dollar maka pemegang kontrak longforward akan membeli saham tsb seharga 80 dan langsungmenjualnya 84 dollar, untung 4 dollar. Sebaliknya, pihak shortfoward rugi 4 dollar krn hrs mau menjual seharga 80 dollar. Tetapidalam kasus harga pasar 75 dollar maka pihak long rugi dan pihakshort untung. Dalam sistem kontrak maju, kerugian pihak 1mengakibatkan keuntungan pihak lain, dan sebaliknya.


PAYOFF DALAM KONTRAK MAJU

Pihak pada posisi long akan untung bila S(1)> F , sedangkan posisishort akan untung bila S(1)< F . Payo� dide�nisikan sebagaiselisih nilai S(1) dan F yang membuat investor untung. Jadi

payo� =

{S(1)−F bagi posisi long

F −S(1) bagi posisi short

Sekarang portofolio dapat memuat kontrak maju, sehinggakomponen portofolio dapat disajikan sebagai (x ,y ,z) dimana

x lembar saham

y lembar obligasi

z banyaknya kontrak maju (positif untuk long dan negatifuntuk short)

Nilai portofolio pada t = 0, V (0) = xS(0)+ yA(0). Pada deliverydate nilai portofolio menjadi V (1) = xS(1)+ yA(1)+ z(A(1)−F ).


PENENTUAN FORWARD PRICE F

Penentuan forward price F didasarkan pada prinsip non-arbitrase.Contoh: bila A(0) = 100,A(1) = 110 dan S(0) = 50 maka haruslahF = 55, sebab kasus lain akan melanggar prinsip non-arbitrase.Buktinya sbb:Bila F > 55 maka pada saat t = 0 lakukan: pinjam 50 dollar, beli 1lembar saham dan ambil posisi short. Portofolio ini adalah(1,−1

2 ,−1) yaitu punya 1 saham, hutang separuh obligasi, dan 1posisi short. Mudah dihitung V (0) = 0. Pada delivery datedilakukan:

tutup posisi short dg menjual 1 saham seharga F dan tutuphutang dengan mebayar 1

2 ×110= 55.

nilai V (1) = F −55> 0.......terjadi pelanggaran prinsipnon-arbitrase.

Coba bagaimana bila F < 55 ? Kerjakan Exercise 1.5 dan 1.6 hal13.


OPSI CALL

Opsi call adalah suatu kontrak yang memberikan hak kepadapemegangnya (bukan kewajiban) untuk membeli asset denganharga (strike/exercise price) tertentu di masa yang akan datang(exercise time).

Perbedaan dengan posisi long pada forward kontrak adalah di sinitidak ada kewajiban membeli bagi pemegang hak, sedangkan padaforward kontrak harus membeli.

Misalkan A(0) = 100,A(1) = 110,S(0) = 100 dan

S(1) =

{120 dengan prob p

80 dengan prob 1−p. Misalkan strike price 100.

Pada saat exercise time, jika harga saham 80, yaitu dibawah strikeprice maka opsi call tidak berguna. Tidak mungkin pemegang opsicall mau membeli saham dengan 100 padahal harga pasar 80.Sebaliknya jika yang terjadi S(1) = 120 maka si pemegang opsi callpasti menggunakan haknya, krn dapat membeli saham seharga 120dengan hanya membayar 100.


PAYOFF OPSI

Mirip payo� pada kontrak maju, tetapi di sini nilainya tidak pernahnegatif. Dalam ilustrasi sebelumnya berlaku payo� opsi sbb

C (1) =

{20 jika saham naik

0 jika saham turun,

C (0) dapat diinterpretasikan sebagai nilai opsi pada t = 0, yaituharga opsi yang dapat diperjualbelikan pada saat ini. Portofolioyang memuat x lembar saham, y obligasi dan z opsi adalah

V (0) = xS(0)+ yA(0)+ zC (0)

V (1) = xS(1)+ yA(1)+ zC (1).


Menentukan Nilai Opsi C (0)

Step 1 (Replikasi opsi): bangun investasi dengan x saham dany obligasi shg nilainya pada saat t = 1 sama dengan nilai opsiC (1), yaitu

xS(1)+ yA(1) = C (1)

sehingga diperoleh sistem persamaan:

120x+110y = 20

80x+110y = 0

yang memberikan penyelesaian x = 12 dan y =− 4

11 . Ini artinyabeli 1

2 lembar saham dan ambil posisi short, yaitu pinjam− 4

11 ×100 agar dapat melakukan replikasi ini.

Step 2 (penilaian opsi): Pada t = 0, diberlakukan kondisixS(0)+ yA(0) = C (0) sehingga diperoleh

C (0) =1

2(100)− 4

11×100= 13.6364


BENTUK UMUM NILAI OPSI

Nilai opsi untuk portofolio seperti diberikan di atas ditentukanberdasarkan formula

C (0) =1

2S(0)− 4

11A(0).

Kemungkinan lain akan menyebabkan pelanggaran prinsipnon-arbitrase. Bukti: (lihat buku hal 16).

CATATAN Probabilitas saham naik p dan saham turun 1−ptidak berpengaruh pada penentuan harga opsi.

Kerjakan Exercise 1.7 dan Exercise 1.8 hal 17.


OPSI PUT

Opsi put adalah hak untuk menjual saham seharga tertentu padawaktu tertentu di masa yang akan datang. Berbeda dengan opsicall, opsi put tidak berguna jika harga saham pada waktu exercisedate lebih tinggi dari strike price. Payo� opsi call adalah

P(1) =

{0 bila harga naik

F −Sd bila harga turun=

{0 bila harga naik

20 bila harga turun

Pemegang opsi call tidak akan menggunakan haknya untuk menjualharga saham di bawah harga pasar. Tetapi dalam kontrak majuposisi short wajib menjual saham seharga tsb.

Variasi investasi dapat memuat opsi sekaligus kontrak maju,dimana payo� bergantung pada harga saham. Karenaitu kedua bentuk investasi ini disebut derivativesecurities (sekuritas turunan) atau contingent claim.

Kerjakan Latihan 1.9 hal 18.


MANAGEMEN RISIKO DENGAN OPSI

Adanya opsi dan turunan sekuritas lainnya memungkinkan untukmemperluas skenario investasi. Ilustrasi, andai anda mempunyaidana 1000 dollar. Diperhatikan model investasi sebelumnya, yaitu:A(0) = 100,A(1) = 110,S(0) = 100 dan

S(1) =

{120 dengan prob p

80 dengan prob 1−p.

Bila dibelikan 10 lembar saham maka akan diperoleh kekayaaan

10×S(1) =

{1200 bila harga saham naik

800 bila harga saham turun.

Bila diinvestasikan pada opsi call semua semua, yaitu1000

13.6364 = 73.33 maka akan diperoleh kekayaan

73.33×C (1) =

{1466.67 bila saham naik

0 bila saham turun.


ANALISIS

Perhatikan jika diinvestasikan pada opsi, anda akan memperolehreturn 46.67% ketika saham naik, tapi sebaliknya modal awal habisbila saham turun. Bila investasi pada saham maka return akandidapat sebesar 20% jika saham naik, sebaliknya akan rugi 20% jikasaham turun.

KERJAKAN Latihan 1.10, Latihan 1.11, Latihan 1.12 hal 19-20.


MATEMATIKA KEUANGAN - Info kuliah Dr. Julan Hernadi KEUANGAN PENDAHULUAN ... Materi Kuliah : Model...

Documents

Transcript of MATEMATIKA KEUANGAN - Info kuliah Dr. Julan Hernadi KEUANGAN PENDAHULUAN ... Materi Kuliah : Model...