Matematika Ek 1

MODEL EKONOMIMODEL EKONOMIDlm suatu perekonomian, hubungan antara variabel-Dlm suatu perekonomian, hubungan antara variabel-variabel ekonomi yg satu dgn yg lainnya sangat kompleks. variabel ekonomi yg satu dgn yg lainnya sangat kompleks. Untuk memudahkan hubungan antar variabel, memilih dr Untuk memudahkan hubungan antar variabel, memilih dr sekian banyak variabel yg sesuai dgn permasalahan sekian banyak variabel yg sesuai dgn permasalahan ekonomi, kemuadian dihubungkan sedemikian rupa ekonomi, kemuadian dihubungkan sedemikian rupa sehingga bentuk hubungan menjadi lebih sederhana dan sehingga bentuk hubungan menjadi lebih sederhana dan relevan. Penyederhanaan ini disebut relevan. Penyederhanaan ini disebut Model Ekonomi.Model Ekonomi.

Model EkonomiModel Ekonomi dapat berbentuk matematika dan Non dapat berbentuk matematika dan Non matematika.matematika.

Jika berbentuk model matematika, maka terdiri dari satu Jika berbentuk model matematika, maka terdiri dari satu atau sekumpulan persamaan.atau sekumpulan persamaan.

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBUSUMBU

Kemiringan (Kemiringan (slopeslope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama ) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dengan perubahan dalam variabel terikat (dependentdependent) dibagi dengan perubahan dalam ) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (variabel bebas (independentindependent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf ). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. m. Jadi,Jadi,

ΔΔY YY Y22 – Y – Y11

KemiringanKemiringan = = m m = atau = atau ΔΔX XX X22 – X – X11

Y Y

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif

(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu

BENTUK UMUM FUNGSI LINIERBENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Y=aY=a0 0 + a+ a11XX

di mana a, tidak sama dengan nol.di mana a, tidak sama dengan nol.

Bentuk ini disebut sebagai bentuk Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-kemiringan-titik potongtitik potong ( (slope-interceptslope-intercept). Bentuk seperti ini ). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, maka bentuk ini dapat disebut sebagai eksplisit. maka bentuk ini dapat disebut sebagai eksplisit. Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARISMENENTUKAN PERSAMAAN GARISMetode Dua TitikMetode Dua Titik

Y – YY – Y1 1 Y Y22 – Y – Y11

==

X – XX – X1 1 X X22 – X – X11

Y

0X

A (X1, Y2)

A (X1, Y1)

A (X, Y)

Carilah persamaan garis yang Carilah persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)melalui titik (3, 2) dan (4,6)Penyelesaian :Penyelesaian :

XX11 = 3, X = 3, X22 = 4, Y = 4, Y11 = 2, dan Y = 2, dan Y22 = 6 = 6

Y – YY – Y11 Y Y22 – Y – Y11

X – XX – X11 X X22 – X – X11

Y – 2Y – 2 6 – 2 6 – 2 X – 3 X – 3 4 – 3 4 – 3

Y – 2 Y – 2 == (X – (X – 3)3)

Y – 2Y – 2 = 4 (X – 3)= 4 (X – 3) YY = 4 X – 12 = 4 X – 12 YY = 4 X - 10 = 4 X - 10

=

=

6 – 2

4 – 3

Y

X

Y = 4X - 10

Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3.

0

5

1 2 3

(0,-10)

METODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGANMETODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGAN

Y – YY – Y11 = m (X – X = m (X – X11))

Contoh 4.2.Contoh 4.2.Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian :Penyelesaian :Diketahui (X, Y) = (6, 4) dan Diketahui (X, Y) = (6, 4) dan mm = - 2/3 = - 2/3

Y – YY – Y11 = m (X – X = m (X – X11))

Y – 4 = -2/3 (X – 6)Y – 4 = -2/3 (X – 6)Y = -2/3X + 4 + 4Y = -2/3X + 4 + 4Y = -2/3X + 8Y = -2/3X + 8

Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.

0

2

4

6

8

Y

X

(0,8)

(12,0)

Y = - 2/3 X + 8

HUBUNGAN DUA GARIS LURUSHUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Y Y

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Berpotongan (b) Sejajar

(c) Berimpit (d) Tegak Lurus

a1 ≠ b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao = b0

a1 .b1 = -1

ao ≠ b0

SISTEM PERSAMAAN LINIERSISTEM PERSAMAAN LINIER

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER:PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER:DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABELDUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL

METODE ELIMINASIMETODE ELIMINASIContoh 5.1.Contoh 5.1.Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :

3X – 2Y = 73X – 2Y = 7

2X – 4Y = 102X – 4Y = 10

Penyelesaian :Penyelesaian :1.1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.2.2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan

Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi,Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 143X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 102X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10

3.3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi,menjadi,

6X – 4Y = 146X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 +2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 248X + 0 = 24 X = 3X = 3

4.4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,3 (3) -2Y = 73 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9- 2Y = 7 – 9 Y = 1Y = 1

(5.1)(5.1)

(5.2)(5.2)

METODE SUBSTITUSIMETODE SUBSTITUSI

Contoh 5.2.Contoh 5.2.3X – 2Y = 73X – 2Y = 7 (5.1)(5.1)2X + 4Y = 102X + 4Y = 10 (5.2)(5.2)

Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,2X = 10 – 4Y2X = 10 – 4YX = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)X = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)

Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,sehingga menjadi,

3 (5 – 2Y) – 2Y3 (5 – 2Y) – 2Y = 7= 7 15 – 6Y – 2Y 15 – 6Y – 2Y = 7= 7

15 – 8Y 15 – 8Y = 7= 7 -8Y-8Y = 7 – 15= 7 – 15

YY = 1= 1

Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,

3X – 2 (1) 3X – 2 (1) = 7= 7 3X 3X = 7 + 2= 7 + 2

X X = 3= 3

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).himpunan pasangan urut (3.1).

FUNGSI PERMINTAANFUNGSI PERMINTAANQQdx,tdx,t = = ƒ (Pƒ (Px,t, x,t, PPy,t,y,t, Y Yt, t, PPee

X,t+1,X,t+1,SStt))

Dimana Dimana QQdx,tdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.konsumsi dalam periode t.

PPx,tx,t = Harga produk X dalam periode t.= Harga produk X dalam periode t.PPy,ty,ttt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.= Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.YYtt = Pendapatan konsumen dalam periode t.= Pendapatan konsumen dalam periode t.PPee

x,t+1x,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1.1.

SSt t = Selera dari konsumen pada periode t.= Selera dari konsumen pada periode t.

QdQdx x == ƒ(Pƒ(Pxx))

Bila fungsi permintaan (6.2) ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan Bila fungsi permintaan (6.2) ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,linier, maka bentuk umumnya adalah,

QQxx = a – bP = a – bPxx

DimanaDimana QQxx = Jumlah produk X yang diminta = Jumlah produk X yang dimintaPPxx = Harga produk X = Harga produk Xa dan b = Parametera dan b = Parameter

X

(0,P)

(Q,0)

Qd = a - bp

P

0

Penyelesaian :Penyelesaian :

Diketahui: PDiketahui: P1 1 = 100; P= 100; P22 = 75; Q = 75; Q11 = 10; Q = 10; Q22 = 20 = 20Q – QQ – Q11 QQ2 2 – Q– Q11

P – PP – P11 P P2 2 – P– P11

Q – 10Q – 10 2020 – 10– 10P – 100 75P – 100 75 – 100– 100

(Q – 10) = 10/-25 (P-100)(Q – 10) = 10/-25 (P-100)

(Q – 10) = 40 – 2/5 P(Q – 10) = 40 – 2/5 P

Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkanKurva permintaan ini ditunjukkanoleh Gambar 6.2.oleh Gambar 6.2.

0

25

50

75

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

Q = 50 – 2/5 P

Contoh 6.1.Contoh 6.1.

Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?grafiknya?

10 20 30 40 50

=

=

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUSFUNGSI PERMINTAAN KHUSUS

Q

p

0

D

Q

p D

0

FUNGSI PENAWARANFUNGSI PENAWARANQQsx,tsx,t = = ƒ(Pƒ(Px,tx,t , T , Tt t , P, PF,t F,t , P, PR,tR,t , P , Pee

x,t+1x,t+1))

DimanaDimana QQsx,t sx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.= jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.PPx,tx,t = harga produk X dalam periode t= harga produk X dalam periode tTTtt = Teknologi yang tersedia dalam periode t= Teknologi yang tersedia dalam periode tPPF,tF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t= harga faktor-faktor produksi dalam periode tPPR,tR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t= harga produk lain yang berhubungan dalam periode tPPee

x,t+1x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1

QQsx sx = g (P= g (Pxx))

DimanaDimana QQsxsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen= jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsenPPxx = Harga produk X= Harga produk X

QQsxsx = a + bP = a + bPP

Q0

Qs = -a + bP

- a/b

S

Contoh 6.2.Contoh 6.2.

Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagramunit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram

Penyelesaian :Penyelesaian :

Diketahui: PDiketahui: P1 1 = 500; P= 500; P22 = 700; Q = 700; Q11 = 60; Q = 60; Q22 = 100 = 100Q – QQ – Q11 QQ2 2 – Q– Q11

P – PP – P11 P P2 2 – P– P11

Q – 60Q – 60 100100 – 60– 60P – 500 700P – 500 700 – 500– 500

(Q – 60) = 40/200 (P-500)(Q – 60) = 40/200 (P-500)

(Q – 60) = -100 +1/5 P(Q – 60) = -100 +1/5 P

Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar 6.5.Gambar 6.5.

0

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

(60, 500)

100

200

300

400

500

600

700

80604020

=

=

Q = -40 + 0,2P

FUNGSI PENAWARAN KHUSUSFUNGSI PENAWARAN KHUSUS

Q

p

0

S

Q

p

0

S

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUKKESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

Q

p

0

Pe E (Qe, Pe)

Qd

Qe

Qs

Contoh 6.3Contoh 6.3Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh :Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh :

QQdd = 6 – 0,75 P = 6 – 0,75 PQQss = -5 + 2P = -5 + 2P

a)a) Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?b)b) Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

Penyelesaian:Penyelesaian:a) Syarat keseimbangan Qa) Syarat keseimbangan Qdd = Q = Qss

Bila QBila Qd d = Q= Qs, s, maka 6 – 0,75P = -5 + 2Pmaka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11-2,75P = -11 P = 4P = 4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,persamaan permintaan atau penawaran sehingga,

Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 3Q = 6 – 3Q = 3Q = 3Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).

b)b) Menggambarkan keseimbangan pasar :Menggambarkan keseimbangan pasar :Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 PUntuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0)Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)

Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2PUntuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0)Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar 6.9Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar 6.9

Q

p

0

2,5

E (3, 4)

(6, 0)

1

Qs = -5 + 2P

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8(0, 8)

Qd = 6 – 0,75P

PENGARUH PAJAK PENGARUH PAJAK PADA KESEIMBANGAN PASARPADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika fungsi permintaan adalah,Jika fungsi permintaan adalah,

P = f(Q)P = f(Q)

P = F(Q)P = F(Q)

PPtt = F(Q) + t, = F(Q) + t,

P = f(Q) dan PP = f(Q) dan Ptt = F (Q) + t = F (Q) + t

Q

P

0

P2

E (Qe, Pe)

Qe

St

S

Et (Qt, Pt)

P1

Pe

Pt

CA

B

Qt

P – t = F(Q)P – t = F(Q)Q = G(PQ = G(Ptt – t) – t)Permintaan P = f(Q)Permintaan P = f(Q)Penawaran : Q = G(PPenawaran : Q = G(Pt t – t) – t)

Contoh 6.6Contoh 6.6Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan olehJika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan olehP = 15 – Q dan fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. TerhadapP = 15 – Q dan fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Terhadapprodukn tersebut dikenakan pajak oleh Pemerintah sebesar produkn tersebut dikenakan pajak oleh Pemerintah sebesar Rp 3 perunit.Rp 3 perunit.(a)(a) Berapakah harga dan jumlah keeimbangan pasar sebelum Berapakah harga dan jumlah keeimbangan pasar sebelum

dan sesudah kena pajak?dan sesudah kena pajak?(b)(b) Berapa besar penerimaan pajak total oleh Pemerintah?Berapa besar penerimaan pajak total oleh Pemerintah?(c)(c) Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan

produsen?produsen?(d)(d) Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan

setelah pajak dalam satu diagram!setelah pajak dalam satu diagram!

PenyelesaianPenyelesaian

PPdd = P = Pss, maka , maka 15 – Q 15 – Q = 0,5Q + 3= 0,5Q + 3 -1,5Q -1,5Q = -12= -12 QQ = 8= 8P = 15 – 8P = 15 – 8P = 7P = 7

Jadi, keseimbangan pasar sebelum kena pajak E (8, 7)Jadi, keseimbangan pasar sebelum kena pajak E (8, 7)

Keseimbangan setelah pajakKeseimbangan setelah pajakPermintaan : PPermintaan : Pdd = 15 – Q = 15 – Q Penawaran setelah pajak : Penawaran setelah pajak : PPstst = 0,5Q + 3 + 3= 0,5Q + 3 + 3

PPstst = 0,5Q + 6= 0,5Q + 6Jika PJika Pdd = P = Pstst, maka , maka 15 – Q = 0,5Q + 615 – Q = 0,5Q + 6

-1,5Q = -9-1,5Q = -9 Q = 6Q = 6

P = 15 – 6P = 15 – 6P = 9P = 9

Jadi, keseimbangan pasar setelah kena pajak Et (6, 9)Jadi, keseimbangan pasar setelah kena pajak Et (6, 9)

Penerimaan pajak total oleh Pemerintah:Penerimaan pajak total oleh Pemerintah:

T = (3) (6) = 18T = (3) (6) = 18

Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen:Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen:

(9 – 7)(6) = 12(9 – 7)(6) = 12

Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen:Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen:

18 – 12 = 6 atau (7 – 6)(6) = 618 – 12 = 6 atau (7 – 6)(6) = 6

Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar 12ditunjukkan oleh Gambar 12

Q

P

0

6E (8, 7)

8

St

SEt (6, 9)

3

12

15

9

62 4 10 12 14

P = 0,5 Q + 6

P = 0,5 Q + 3

P = 15 - Q

15

PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASARPENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

P = F(Q) – SP = F(Q) – Stt

S = s QS = s Qss

Q

P

0

P2

(Q, 0)

Qs

S

SSEt (Qe, Pe)

P1

Pe

Ps

C AB

Qt

(0, P)

E (Qs, Ps)

Contoh 6.7Contoh 6.7Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawaran P = Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawaran P =

0,5Q + 3. Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 1,5 per unit produk, (a) 0,5Q + 3. Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 1,5 per unit produk, (a) berapakah harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi? (b) berapakah harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi? (b) berapa besar subsidi yang diberikan oleh Pemerintah? (c) berapa besar subsidi berapa besar subsidi yang diberikan oleh Pemerintah? (c) berapa besar subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen? (d) Gambarkanlah dalam satu yang dinikmati oleh konsumen dan produsen? (d) Gambarkanlah dalam satu diagram!diagram!

Penyelesaian:Penyelesaian:a)a) Keseimbangan pasar sebelum subsidi adalah P = 7 dan Q = 8 (lihat penyelesaian Keseimbangan pasar sebelum subsidi adalah P = 7 dan Q = 8 (lihat penyelesaian

contoh 6.6 sebelumnya)contoh 6.6 sebelumnya)b)b) Fungsi penawaran sebelum subsidi: PFungsi penawaran sebelum subsidi: Pss = 0,5Q + 3 = 0,5Q + 3

Fungsi penawaran setelah subsidi: PFungsi penawaran setelah subsidi: Pssss = 0,5Q + 3 – 1,5 = 0,5Q + 3 – 1,5 = 0,5Q + 1,5= 0,5Q + 1,5

Jika PJika Pd d = P= Pssss, maka 15 – Q = 0,5Q + 1,5, maka 15 – Q = 0,5Q + 1,5 -1,5Q = -13,5-1,5Q = -13,5

Q = 9Q = 9P = 15 – 9 = 6P = 15 – 9 = 6

Jadi, keseimbangan setelah subsidi Es (9,6)Jadi, keseimbangan setelah subsidi Es (9,6)b)b) Besarnya subsidi yang diberikan oleh Pemerintah:Besarnya subsidi yang diberikan oleh Pemerintah:

S = (1,5)(9) = 13,5S = (1,5)(9) = 13,5C)C) Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :

(7 – 6)(9) = 9(7 – 6)(9) = 9Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :13,5 – 9 = 4,5 atau (7,5 – 7)(9) = 4,513,5 – 9 = 4,5 atau (7,5 – 7)(9) = 4,5

Grafik keseimbangan pasar setelah Grafik keseimbangan pasar setelah subsidi ini ditunjukkan oleh gambar 6.14subsidi ini ditunjukkan oleh gambar 6.14

Q

P

0

Es(9, 6)

P = 15 - Q15

E (8, 7)

14

13

12

11

10

9

8

1

23

4

5

67

7,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P = 0,5Q + 3

Ps = 0,5Q + 1,5

ANALISIS PULANG POKOKANALISIS PULANG POKOK

TC = FC + VQTC = FC + VQTR = P.QTR = P.Q

TR = TCTR = TCPQ = FC + VQPQ = FC + VQ

PQ – VQ = FCPQ – VQ = FC Q (P – V) = FCQ (P – V) = FC

FC FCFC FCQ = atau QQ = atau QE E == (P – V) (P – V)(P – V) (P – V)

RugiRugi

LabaLaba

TR, TCTR, TCTR = P. QTR = P. Q

TC = FC + VCTC = FC + VC

BEPBEPRpRp

00 QeQeQQ

TR = TCTR = TC TR = FC + VQTR = FC + VQ

TR – VQ = FCTR – VQ = FC

VQ VQ

TR = - (TR) = FCTR = - (TR) = FC TRTR

VQVQTR 1 - = FCTR 1 - = FC TRTR

VQVQTR 1 - = FCTR 1 - = FC (P)(Q)(P)(Q)

VVTR 1 - = FCTR 1 - = FC PP

FCFCTR =TR = VV 1-1- PP

FCFCTR =TR = VV 1-1- PP

Contoh 6.8Contoh 6.8Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel per unit Rp. 4.000 dan harga jualnya per Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel per unit Rp. 4.000 dan harga jualnya per unit Rp. 12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp. 2.000.000. Tentukanlah unit Rp. 12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp. 2.000.000. Tentukanlah jumlah unit produk yang harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok?jumlah unit produk yang harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok?

Penyelesaian:Penyelesaian:Diketahui : V = Rp. 4.000; P = Rp 12.000; dan FC = Rp. 2.000.000Diketahui : V = Rp. 4.000; P = Rp 12.000; dan FC = Rp. 2.000.000

FC FC 2.000.000 2.000.000Q = Q = ==

(P – V) (P – V) (12.000 – 4.000) (12.000 – 4.000)

2.000.0002.000.000 = =

8.0008.000 = = 250 unit250 unit

100 200 300 400

3

2

1

0

TR, TC(dalam juta) TR = 12000 Q

TC = 2.000.000 + 4.000 Q

FC = 2.000.000

VC = 4.000 Q

Q

Grafik dari kurva Grafik dari kurva pulang pokok ini pulang pokok ini ditunjukkan oleh ditunjukkan oleh gambar 6.16gambar 6.16

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGANFUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

C = a + bYC = a + bYdd

Y = (a + bYY = (a + bYdd) + s) + sS = Y – (a + bYS = Y – (a + bYdd) atau) atauS = -a + (a - b) YS = -a + (a - b) Ydd

MPS + MPC = 1MPS + MPC = 1

Dissaving

Dissaving

SavingSaving

C.SC.SC = YC = Y

C = a + bYC = a + bY

aa

00 YeYeYY

EE

- a- a

S = -a + (1 – b) YS = -a + (1 – b) Y

454500

Contoh 6.9Contoh 6.9Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaanJika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaanC = 15 + 0,75YC = 15 + 0,75Ydd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar

(a)(a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar?30 miliar?

(b)(b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?(c)(c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara

bersama-sama!bersama-sama!

Penyelesaian:Penyelesaian:a)a) Jika YJika Ydd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30) = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)

= 15 + 22,5= 15 + 22,5 = 37,5 miliar= 37,5 miliar

b)b) YYd d = C + S atau S = Y – C= C + S atau S = Y – CS = YS = Ydd – (15 + 0,75Y – (15 + 0,75Ydd))S = -15 + 0,25 YS = -15 + 0,25 Ydd

Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi TabunganGambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

c)c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0Jadi,Jadi, 0 = -15 + 0,25 Y0 = -15 + 0,25 Ydd

0,25Y0,25Yd d = 15= 15 1515YYdd = = (15)(4) = 60 miliar = = (15)(4) = 60 miliar 0,250,25C = 15 + 0,75 (60)C = 15 + 0,75 (60)C = 15 + 45 = 60 miliarC = 15 + 45 = 60 miliar

C.SC.SY = CY = C

E (60,60)E (60,60)

00 6060YY

- 15- 15

S = -15+ 0,25 YS = -15+ 0,25 Ydd

C = 15 + 0,75 YC = 15 + 0,75 Ydd

1515

3030

6060

MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONALMODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONALY = C + I + G + X – MY = C + I + G + X – MC = a + BYC = a + BYDimana: YDimana: Y = Pendapatan Nasional= Pendapatan Nasional

C C = Konsumsi Nasional= Konsumsi NasionalII = Investasi= InvestasiG G = Pengeluaran Pemerintah= Pengeluaran PemerintahX X = Ekspor= EksporM M = Impor= Impor

Y = a + bY + IY = a + bY + I00 + G + G00 + X + X00 – M – M0 0 atauatau(1-b)Y = a + I(1-b)Y = a + I0 0 + G+ G00 + X + X00 – M – M00

Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah :Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah : a + Ia + I0 0 + G+ G00 + X + X00 – M – M00

Y =Y = (1 – b)(1 – b)

b(a + Ib(a + I0 0 + G+ G00 + X + X00 – M – M00))C = a + bY = a +C = a + bY = a + (1 – b)(1 – b)

= = a (1 – b) + b(a + Ia (1 – b) + b(a + I0 0 + G+ G00 + X + X00 – M – M00)) (1 – b)(1 – b)

a + b(a + Ia + b(a + I0 0 + G+ G00 + X + X00 – M – M00))C =C = (1 – b)(1 – b)

Contoh 6.10Contoh 6.10Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Y Y = C + I + G= C + I + GCC = 25 + 0,75Y= 25 + 0,75YI I = I= I00 = 50 = 50G G = G= G00 = 25 = 25

(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate

Penyelesaian:Penyelesaian:Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,rumah tangga, C, maka nilainya adalah,

S S = 0= 0S S = -25 + 0,25Y= -25 + 0,25YO O = -25 + 0,25Y= -25 + 0,25Y0,25Y = 250,25Y = 25Y Y = 100= 100

Jika I = IJika I = I0 0 = 50 miliar, maka= 50 miliar, makaY Y = C + I= C + IY Y = 25 + 0,75Y + 50= 25 + 0,75Y + 50Y - 0,75Y = 75Y - 0,75Y = 750,25Y = 750,25Y = 75Y Y = 300= 300

Jika I = IJika I = I0 0 = 50 miliar; dan G = G= 50 miliar; dan G = G00 = 25 miliar, maka = 25 miliar, makaY Y = C + I + G= C + I + GY Y = 25 + 0,75Y + 50 + 25= 25 + 0,75Y + 50 + 25Y Y = 100 + 0,75Y= 100 + 0,75YY – 0,75Y = 100Y – 0,75Y = 1000,25Y = 1000,25Y = 100Y Y = 400= 400

Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar 6.19dapat dilihat pada Gambar 6.19

Y = CY = CY = C + I + GY = C + I + GY = C + IY = C + I

Y = 25 + 0,75YY = 25 + 0,75Y

YY

60060050050040040030030020020010010000

400400

300300

200200

100100

7575

2525

EE

EE11

EE1111

C, SC, S

FUNGSI NON LINEARFUNGSI NON LINEAR

1.1. Fungsi KuadratFungsi Kuadrat

Y = f(X) = aXY = f(X) = aX22 + bX + c + bX + c

Y YY Y

XX XX

Koordinat titik puncak Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:diperoleh dgn rumus:

- b - (b2 – 4ac) Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

-b ± b2 – 4ac X1.2 = --------------------

2aContoh:Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan

- b - (b2 – 4ac) Koordinat Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:

Contoh :Contoh :

Jika fungsi kuadrat Y = XJika fungsi kuadrat Y = X22 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya? dan gambarkanlah parabolanya?

Penyelesaian : Penyelesaian :

Koordinat titik puncak Koordinat titik puncak

Untuk X = 0, maka Y = 12Untuk X = 0, maka Y = 12

Titik potong sumbu Y adalah (0,12) Titik potong sumbu Y adalah (0,12)

Untuk Y = 0, maka XUntuk Y = 0, maka X2 2 – 8X + 12 = 0– 8X + 12 = 0

a4ac4b(

,a2b 2

44864(

,28

)4,4(

Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0).Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik

puncak dan titik potong sumbu X dan Y, puncak dan titik potong sumbu X dan Y,

maka kurva parabolannya dapat maka kurva parabolannya dapat

digambarkan seperti 7.3. digambarkan seperti 7.3.

Koordinat titik Koordinat titik puncakpuncak = =

Y

x(2,0)

2

(0,12) (8,12)

Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3

GGGGGGGGGG

a4ac4b(

,a2b 2

)1(4)3)(1(42(

,)1(2

2 2

)4,1(4

16,

22

FUNGSI PANGKAT TIGAFUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum : mempunyai bentuk umum :

Y = aY = a00 + a + a11 X + a X + a22XX22 + a + a33XX33

dimana : adimana : a33tidak sama tidak sama dengan nol. dengan nol. fungsi kubik ini bila fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung mempunyai dua lengkung ((concave)concave) yaitu : lengkung ke yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar seperti tampak pada gambar di samping.di samping.

Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3

Y

xa0

0

Contoh Contoh

Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2PJika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P22, gambarkanlah , gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!


Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0) adalah (64,0)

Jika Q = 0, maka Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P64 - 8P – 2P22 = 0 atau = 0 atau

P = 4P – 32 = 0P = 4P – 32 = 0

(P + 8) (P – 4) = 0(P + 8) (P – 4) = 0

P = -8 (Tidak memenuhi) P = -8 (Tidak memenuhi)

P = 4P = 4

Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8). Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).

Koordinat titik puncak Koordinat titik puncak

a4D

,a2b

8576

,48

)72,02(

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P8P – 2P22 dapat digambarkan seperti di bawah. dapat digambarkan seperti di bawah.

Y

Q

(2,0)

2

(0,4)

(64,0)

Q =64 – 8P – 2P2

(72,-2)

3

4

1

-1

-2

8 16 24 32 40 48 56 64 72

P

KESEIMBANGAN PASAR KESEIMBANGAN PASAR Contoh : Contoh :

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini : penawaran berikut ini :

PPdd = 24 – 3Q = 24 – 3Q22

PPss = Q = Q22 + 2Q + 4 + 2Q + 4


Syarat keseimbangan pasar adalah PSyarat keseimbangan pasar adalah Pdd = P = Pss

24 – 3Q24 – 3Q22 = Q = Q22 + 2Q + 4 + 2Q + 44Q4Q22 + 2Q - 20 = 0 + 2Q - 20 = 0

Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu diperoleh nilai P, yaitu

P = 24 – 3(2)P = 24 – 3(2)P = 24 – 12 = 12 P = 24 – 12 = 12

83242

,Q8

)}20)(4)(4{(42 Q

2,12,1

28

182Q

1

memenuhitidak5,28

182Q

1

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan PSelanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pdd = 24 – 3 Q = 24 – 3 Q22 dan fungsi dan fungsi penawaran Ppenawaran Ps = Qs = Q

22 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. sdapat digambarkan seperti dibawah. s

Q2

(3,19)

P =24 – 3Q

2,83

0

4

1

8

16

24

P

20

12 E 1(2,2)

P =q2 + 2Q + 4

FUNGSI PENERIMAAN TOTALFUNGSI PENERIMAAN TOTAL

Penerimaan total dari suatu perusahaan (Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen)produsen) adalah hasil kali antara per unit produk dengan adalah hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah, jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah,

TR = P . QTR = P . Qdimana : dimana : TR = Penerimaan Total TR = Penerimaan Total

Q = Jumlah produk yang dijualQ = Jumlah produk yang dijualP = Harga produk per unit P = Harga produk per unit

Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total, penerimaan total,

TR = P . QTR = P . Q

TR = (TR = ( B – aQ)QB – aQ)Q

TR = bQ – aQTR = bQ – aQ22

Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dandanxxx.xxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu : Karena puncak yang maksimum, yaitu :

Titik Puncak Titik Puncak

Contoh Contoh

Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!satu diagram!

a4D

,a2b


TR = PQTR = PQ

TR = (20 – 2Q)QTR = (20 – 2Q)Q

TR = 20Q – 2QTR = 20Q – 2Q22

TR = Maksimim TR = Maksimim

Jika TR = 0, maka Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q20Q – 2Q22 = 0 = 0

2Q (10–Q) = 02Q (10–Q) = 0

QQ11 = 0 = 0

QQ22 = 10 = 10

Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah. bawah.

)2(4)20(

,)2(2

20 2

)50,5(8

)400(,

420

Q2

P =20 – 2Q

0

10

1

(0,20) 20

50

P, TR

40

308,30

TR = 20Q – 2Q2

3 4 5 6 7 8 9 10

(10,0)(0,0)

2,30

(5, 50)

KURVA INDEFERENS KURVA INDEFERENS

Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat membrikan dari barang X dan Y yang dapat membrikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen. konsumen. Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas yang berbentuk, utulitas yang berbentuk,

U = U = ff (X, Y) (X, Y)dimana : dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan U = Tingkat utilitas atau kepuasan total total konsumen. konsumen.

X = Jumah barang X yang dikonsumsi X = Jumah barang X yang dikonsumsi X = Jumah barang Y yang dikonsumsi X = Jumah barang Y yang dikonsumsi

Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar dibawah. gambar dibawah.

F (X, Y) = U

B (X2, Y2)

A (X1, Y1)

X

Y

X2X10

Y2

Y1

f3 (X, Y) = U3

X

Y

X2X1

0

Y2

Y1

A C D

B

X3

f2 (X, Y) = U2

f1 (X, Y) = U1

KALKUS DIFERENSIAL : KALKUS DIFERENSIAL : FUNGSI DENGAN SATUFUNGSI DENGAN SATU

VARIABEL BEBASVARIABEL BEBAS • ATURAN DIFERENSIASI: FUNGSI DENGAN SATU ATURAN DIFERENSIASI: FUNGSI DENGAN SATU

VARIABEL BEBAS VARIABEL BEBAS Aturan 1 : Aturan 1 : Fungsi Konstan Fungsi Konstan

Derivatif dari suatu fungsi konstan adalah Derivatif dari suatu fungsi konstan adalah sama dengan nol. sama dengan nol. Jika Y = f (X) = K, di mana K adalah suatu Jika Y = f (X) = K, di mana K adalah suatu

konstantakonstantamaka = f’ (X) =0. maka = f’ (X) =0.

Contoh 13.3Contoh 13.3Jika Y = f (X) = 15,Jika Y = f (X) = 15,Maka Maka = f’ (X) = 0= f’ (X) = 0

dY

dX

dY

dX

Aturan 2 Aturan 2 : Fungsi Pangkat.: Fungsi Pangkat.

Derivatif dari suatu fungsi pangkat adalah pangkat Derivatif dari suatu fungsi pangkat adalah pangkat dikalikan dengan koefisien sementara situ pangkatnya dikalikan dengan koefisien sementara situ pangkatnya dikurangi satu. dikurangi satu.

Jika Y = f (X) = XJika Y = f (X) = Xnn, di mana n adalah bilangan , di mana n adalah bilangan nyata, nyata,

maka = f’ (X) = nXmaka = f’ (X) = nXn-1n-1

Contoh 13. 14Contoh 13. 14

Jika Y = XJika Y = X33, maka , maka = 3X = 3X22

Contoh 13.15 Contoh 13.15

Jika Y = XJika Y = X00, maka , maka = 0 = 0

Contoh 13.16Contoh 13.16

Jika Y = , maka Jika Y = , maka = 4X = 4X-5-5 = - = -

dY

dX dY

dX

1

X4

dY

dX

dY

dX 4

X5


Jika Y = = XJika Y = = X11//22, maka , maka

Aturan 3 : Aturan 3 : Konstanta kali dengan fungsi pangkat. Konstanta kali dengan fungsi pangkat.

Jika Y = f(X) = KXJika Y = f(X) = KXnn, di mana K adalah , di mana K adalah Konstana Konstana

maka = f’(X) = n.KXmaka = f’(X) = n.KXn-1n-1


Jika Y = f (X) = 3XJika Y = f (X) = 3X22 = = 6X = = 6X


Jika Y = f (X) = , maka dapat ditulis Y = 2XJika Y = f (X) = , maka dapat ditulis Y = 2X33

Sehingga = -6XSehingga = -6X-4-4= =

XX2

1X

21

dXdY

21/

dY

dX dY

dX 2

X3

dY

dX

-6

X4

Aturan 4: Penjumlahan atau Pengurangan dari suatu Fungsi. Aturan 4: Penjumlahan atau Pengurangan dari suatu Fungsi. Derivatif dari suatu penjumlahan atau pengurangan adalah Derivatif dari suatu penjumlahan atau pengurangan adalah sama dengan penjumlahan atau pengurangan dari derivat-sama dengan penjumlahan atau pengurangan dari derivat-derivat itu. derivat itu. Jika Y = f(X) + g(X), di mana f dan g dapat didiferensiasikan, Jika Y = f(X) + g(X), di mana f dan g dapat didiferensiasikan, maka = f’(X) + g’(X)maka = f’(X) + g’(X)

Contoh 13.20 Contoh 13.20 Jika Jika Y = XY = X22 + 6X. Ini berarti f(X) = X dan g(X) = 6X, maka + 6X. Ini berarti f(X) = X dan g(X) = 6X, maka

f’(X) = 2X dan g’(X) = 6, sehinggaf’(X) = 2X dan g’(X) = 6, sehingga

= f’(X) + g’(X) = 2X +6 = f’(X) + g’(X) = 2X +6

dY

dX

dY

dX

Aturan 5 : Hasil Kali Fungsi Aturan 5 : Hasil Kali Fungsi Derivatif dari hasil kali dua fungsi yang dapat Derivatif dari hasil kali dua fungsi yang dapat didiferensiasikan adalah sama dengan fungsi didiferensiasikan adalah sama dengan fungsi pertama dikalikan dengan derivatif dari fungsi pertama dikalikan dengan derivatif dari fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan derivatif dari fungsi yang pertama. dengan derivatif dari fungsi yang pertama. Jika Y = U.V, di mana U = f(X) dan V = g(X), Jika Y = U.V, di mana U = f(X) dan V = g(X), atau Y = [f(X).g(X)]. atau Y = [f(X).g(X)]. maka maka = [f(X).g’(X)+(X).f’(X)] atau = [f(X).g’(X)+(X).f’(X)] atau =UV =UV + VU+ VU

Contoh 13.21 Contoh 13.21 Jika Y = f(X) = (XJika Y = f(X) = (X22+4) dan Y = g(X)=(X+3) +4) dan Y = g(X)=(X+3) Atau Y = (XAtau Y = (X22+4) (X+3) +4) (X+3)

dY

dX

dY

dX

Maka : Maka :

= [f(X).g’(X) + g(X).f’(X)]= [f(X).g’(X) + g(X).f’(X)]

= (X= (X22+4) (1) + (X+3)(2X)+4) (1) + (X+3)(2X)

= X= X22+4+6X+2X+4+6X+2X22

= 3X= 3X22 + 6X + 4 + 6X + 4

dXdY

dXdY

dXdY

dXdY

Aturan 6 : Hasil Bagi Aturan 6 : Hasil Bagi

Derivat dari hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil kali Derivat dari hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil kali derivatif fungsi pembilang dengan fungsi penyebut dikurangi hasil kali derivatif fungsi pembilang dengan fungsi penyebut dikurangi hasil kali fungsi pembilang dengan derivatif fungtsi penyebut, dan kesemuanya fungsi pembilang dengan derivatif fungtsi penyebut, dan kesemuanya ini dibagi dengan kuadrat dari fungsi penyebutnya. ini dibagi dengan kuadrat dari fungsi penyebutnya.

Jika Y = , di mana U = f(X) dan V = g(X) atau Y = Jika Y = , di mana U = f(X) dan V = g(X) atau Y =

Maka = atau = Maka = atau =


Jika Y = Jika Y =

VU

)(

)(

Xg

Xf

dXdY

2)]X(g[)X('g).X(f[)]X(g).X('f[

dXdY

2VUVV'U

?dXdY

carilah,)3X()4X( 2

9X6X4X6X

)3X()]4XX6X2[(

)3X()]1)(4X[)]3X)(X2[(

dXdY

2

2

3

22

2

2

ATURAN DIFERENSIASI FUNGSI DENGAN DUA ATURAN DIFERENSIASI FUNGSI DENGAN DUA

VARIABEL BEBASVARIABEL BEBAS Aturan diferensiasi fungsi dengan dua variabel bebas yang berbeda Aturan diferensiasi fungsi dengan dua variabel bebas yang berbeda mencakup fungsi berantai, fungsi yang dipangkatkan, dan fungsi mencakup fungsi berantai, fungsi yang dipangkatkan, dan fungsi inverse. inverse.

Aturan 7 : Fungsi Berantai Aturan 7 : Fungsi Berantai

Jika Y= Jika Y= ff(U) dan U = g(X), di mana kedua fungsi ini dapat (U) dan U = g(X), di mana kedua fungsi ini dapat didiferensiasikan, didiferensiasikan,

maka maka

Fungsi berantai ini sering juga disebut sebagai fungsi dari suatu fungsi Fungsi berantai ini sering juga disebut sebagai fungsi dari suatu fungsi atau fungsi gabungan. Hal ini dikarenakan bahwa kedua fungsi, dan atau fungsi gabungan. Hal ini dikarenakan bahwa kedua fungsi, dan ditulis menjadi Y = f[g(X)]. ditulis menjadi Y = f[g(X)].


Jika Y=5U2, di mana U = 3X + 4, maka = (10U) (3) Jika Y=5U2, di mana U = 3X + 4, maka = (10U) (3)

= 30U = 30(3X+4)= 30U = 30(3X+4)

= 90X + 120 = 90X + 120

)]X('g).U('f[dXdY

atau)dXdU

.dUdY

(dXdY

)dXdU

.dUdY

(dXdY

ELASTISITAS HARGA DARI PERMINTAAN ELASTISITAS HARGA DARI PERMINTAAN

QQdx,t dx,t = f (P= f (Pxtxt) atau disingkat Q) atau disingkat Qdxdx= f = f

(P(Px) x)

EEhd,x hd,x ==

XbarangaarghpersentasePerubahanXbarangdariinyadimyangjumlahpersentasePerubahan

atauP

P.

QQ

PP

QQ

PPP

QE

QQ

1

hd

1

QP

.PQ

Ehd

QP

.

dQdP

1E

hd

D

P

Q

Ehd>1

(a) Elastis

D

P

Q

Ehd=1

(b) Unitary

D

P

Q

Ehd<1

(c) Enelastis

D

P

(d) Elastis Sempurna

Ehd>∞

Q

D

P Ehd=0

(e) Enelastis Sempurna Q


Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 150 – 3P, berapakah elastisitas permintaannya jika = 150 – 3P, berapakah elastisitas permintaannya jika tingkat harga P = 40, P dan P = 10? tingkat harga P = 40, P dan P = 10?

PenyelesaianPenyelesaian

Jika P = 40, maka Q = 30 danJika P = 40, maka Q = 30 dan = -3 = -3

Jika P = 25, maka Q = 75 Jika P = 25, maka Q = 75

Jika P = 10, maka Q = 120 Jika P = 10, maka Q = 120

dPdQ

)unitary(1|1|7525

3QP

.dPdQ

|E|h

)elastis(4|4|3040

3QP

.dPdQ

|E|h

)inelastis(41

|41

|12010

3QP

.dPdQ

|E|h

ELASTIS HARGA DARI PENAWARAN ELASTIS HARGA DARI PENAWARAN

QQsx,tsx,t= f(P= f(Px,tx,t) atau disingkat Q) atau disingkat Qsx sx = f(P= f(Pxx))

1.1. Jika EJika Ehshs = 0, maka penawaran inelastis terhadap = 0, maka penawaran inelastis terhadap

harga. harga.

2.2. Jika EJika Ehshs < 1, maka penawaran inelastis terhadap < 1, maka penawaran inelastis terhadap

harga. harga.

3.3. Jika EJika Ehshs = 1, maka penawaran unitary terhadap = 1, maka penawaran unitary terhadap

harga. harga.

4.4. Jika EJika Ehshs > 1, maka penawaran elastis terhadap > 1, maka penawaran elastis terhadap

harga. harga.

5.5. Jika EJika Ehshs==∞∞, maka penawaran elastis sempurna , maka penawaran elastis sempurna

terhadap harga. terhadap harga.

P

Q

Ehs>1S

P

Q

P

Q

Ehs<1

P

Ehs=∞

Q

P

Ehs=0

Q

S

0

Ehs=1

0

S

0

S

0

S

0

BIAYA TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL BIAYA TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL

TC = TC = ff (Q) (Q)

Di mana : Di mana : TC = Biaya totalTC = Biaya total

Q = Jumlah produk yang dihasilkanQ = Jumlah produk yang dihasilkan

Dan biaya marginal, MC, dapat didefenisikan sebagai Dan biaya marginal, MC, dapat didefenisikan sebagai tingkat perubahan dari biaya total, TC, terhadap tingkat perubahan dari biaya total, TC, terhadap perubahan satu unit produk yang dihasilkan, Q dan perubahan satu unit produk yang dihasilkan, Q dan dinyatakan oleh, dinyatakan oleh,

Q)Q(f

QTC

AC

)Q('fdQ

dTCMC

Berbagai macam fungsi dapat digunakan untuk Berbagai macam fungsi dapat digunakan untuk menyatakan fungsi biaya. Tetapi fungsi-fungsi biaya ini menyatakan fungsi biaya. Tetapi fungsi-fungsi biaya ini harus mengikuti asumsi-asumsi dalam teori ekonomi harus mengikuti asumsi-asumsi dalam teori ekonomi sebagai berikut : sebagai berikut :

1.1. Jika tidak ada produk yang dihasilkan, biaya total adalah Jika tidak ada produk yang dihasilkan, biaya total adalah nol atau positif, yaitu nol atau positif, yaitu ff (0) (0) >> 0. 0. ff (0) ini merupakan biaya (0) ini merupakan biaya tetap atau sering disebut biaya overhead produksi.tetap atau sering disebut biaya overhead produksi.

2.2. Biaya total harus meningkat bilamana Q bertambah, Biaya total harus meningkat bilamana Q bertambah, sehingga biaya marginal sehingga biaya marginal f’f’ (Q) selalu positif. (Q) selalu positif.

3.3. Biaya total untuk memproduksi sejumlah produk tertentu Biaya total untuk memproduksi sejumlah produk tertentu dalam jumlah yang sangat besar biasanya mencapai titik dalam jumlah yang sangat besar biasanya mencapai titik dimana titik ini meningkat dengan laju yang makin tinggi. dimana titik ini meningkat dengan laju yang makin tinggi. Dengan demikian, kurva biaya total akan cekung ke atas, Dengan demikian, kurva biaya total akan cekung ke atas, yaitu yaitu f”f” (Q)>0. akan tetapi, dalam suatu range tertentu (Q)>0. akan tetapi, dalam suatu range tertentu (terbatas) kurva biaya total sering kali lengkung ke bawah, (terbatas) kurva biaya total sering kali lengkung ke bawah, sesuai dengan biaya marginal yang menurun, dan keadaan sesuai dengan biaya marginal yang menurun, dan keadaan ini sering terjadi. ini sering terjadi.

FUNGSI BIAYA TOTAL LINIER FUNGSI BIAYA TOTAL LINIER

Jika fungsi biaya total linier adalah, Jika fungsi biaya total linier adalah,

Tc = aQ + b, di mana a>0,bTc = aQ + b, di mana a>0,b>> 0, maka 0, maka

Biaya rata-rata, AC = Biaya rata-rata, AC =

Biaya marginal, MC, Biaya marginal, MC,

Biaya rata-rata marginal, MAC = Biaya rata-rata marginal, MAC =

Q

bA

Q

TC

aQ

dTC

2Q

b

Q

dTC

TC, AC, MC

AC = a + b/Q

Q

0

TC = aQ + b

FUNGSI BIATA TOTAL KUADRAT FUNGSI BIATA TOTAL KUADRAT

Jika fungsi biaya total kuadrat adalah, Jika fungsi biaya total kuadrat adalah,

TC = aQTC = aQ22 + bQ + c, di mana a > 0,b + bQ + c, di mana a > 0,b >> 0, c 0, c >>0, maka 0, maka

Biaya rata-rata,Biaya rata-rata,

biaya marginal, biaya marginal,

biaya rata-rata marginal, biaya rata-rata marginal,

,Q

cbaQ

Q

TCAC

dan,baQ2Q

dTCMC

,Q

ca

Q

dACMAC

2

Q

AC, MC

0

AC = aQ + b(c/Q)

MC =23 aQ

bac2;

c

a

(0,b)

Q

TC

0

T`C = aQ + b(c/Q)

a4

2bC;

a2

b

(0,c)

PENERIMAAN TOTAL, RATA-RATA, DAN PENERIMAAN TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL MARGINAL

Jika fungsi permintaan P = f(Q), dimana P adalah harga produk per unit dan Q Jika fungsi permintaan P = f(Q), dimana P adalah harga produk per unit dan Q adalah jumlah produk yang diminta, maka adalah jumlah produk yang diminta, maka penerimaan total TR, adalah hasil penerimaan total TR, adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk per unit, per unit, atau dapat dirumuskan menjadi atau dapat dirumuskan menjadi

TR = P . Q = TR = P . Q = ff (Q).Q (Q).Q

Penerimaan rata-rata, adalah penerimaan total TR dibagi dengan jumlah Penerimaan rata-rata, adalah penerimaan total TR dibagi dengan jumlah produk yang terjual Q,produk yang terjual Q, dan rumusnya adalah, dan rumusnya adalah,

Jadi, Jadi, penerimaan rata-rata, AR, sama dengan harga produk per unit, P, juga penerimaan rata-rata, AR, sama dengan harga produk per unit, P, juga sama dengan fungsi permintaan, sehingga dapat ditulis kembali rumusnya sama dengan fungsi permintaan, sehingga dapat ditulis kembali rumusnya menjadi, menjadi,

AR=P=AR=P=ff (Q) (Q)

Selanjutnya, Selanjutnya, penerimaan marginal dapat didefinisikan sebagai tambahan penerimaan marginal dapat didefinisikan sebagai tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk yang terjual yang terjual atau secara matematis adalah derivatif pertama dari fungsi atau secara matematis adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total terhadap Q, dan rumusnya adalah, penerimaan total terhadap Q, dan rumusnya adalah,

PQ

Q.P

Q

TRAR

)Q('fQ

dTRMR

HUBUNGAN ANTARA PENERIMAAN MARGINAL DAN ELASTIS HUBUNGAN ANTARA PENERIMAAN MARGINAL DAN ELASTIS HARGA PERMINTAAN HARGA PERMINTAAN

Elastisitas harga dari permintaan adalah, Elastisitas harga dari permintaan adalah,

Substitusikan nilai ini kedalam Persamaan (15.11), Substitusikan nilai ini kedalam Persamaan (15.11), akan diperoleh hasil, akan diperoleh hasil,

)Q(dQ

dPP

dQ

)Q.P(d

dQ

dTRMR

Q

P.

dP

dQEhd

QdQdP

P

Q

P.

dQdP

1Ehd

QE

P

dQ

dP

hd

QQE

PPMR

hd

QE

PPMR

hd

Dengan demikian, penerimaan margimal adalah hasil kali antara Dengan demikian, penerimaan margimal adalah hasil kali antara harga produk per unit dengan satu dikurangi kebalikan dari elastisitas harga produk per unit dengan satu dikurangi kebalikan dari elastisitas harga permintaan. Jadi, harga permintaan. Jadi,

1.1. Jika EJika Ehdhd = 1 dan P>0, maka MR = 0 = 1 dan P>0, maka MR = 0

2.2. Jika EJika Ehdhd > 1 dan P>0, maka MR > 0 > 1 dan P>0, maka MR > 0

3.3. Jika EJika Ehdhd < 1 dan P>0, maka MR < 0 < 1 dan P>0, maka MR < 0

Penerimaan marginal MR dan elastisitas EPenerimaan marginal MR dan elastisitas Ehdhd ini bila dihubungkan ini bila dihubungkan

dengan penerimaan total TR akan diperolah : dengan penerimaan total TR akan diperolah :

1.1. Jika EJika Ehdhd = 1, maka MR = 0, sehingga penerimaan total TR akan = 1, maka MR = 0, sehingga penerimaan total TR akan

maksimum. maksimum.

2.2. Jika EJika Ehdhd >1, maka MR>0, sehingga penerimaan total TR akan selalu >1, maka MR>0, sehingga penerimaan total TR akan selalu

menaik.menaik.

3.3. Jika EJika Ehdhd <1, maka MR<0, sehingga penerimaan total TR akan selalu <1, maka MR<0, sehingga penerimaan total TR akan selalu

menurun. menurun.

maka,negatifbernilaiEkarena,E

11PMR hd

hd

hdE

11PMR


Jika diketahui fungsi permintaan seorang monopoli adalah P=18-3Q, Jika diketahui fungsi permintaan seorang monopoli adalah P=18-3Q, carilah penerimaan total maksimum? Gambarkanlah kurva AR, MR, carilah penerimaan total maksimum? Gambarkanlah kurva AR, MR, dan TR dalam satu diagram!dan TR dalam satu diagram!


TR TR = P.Q= P.Q

= (18 – 3Q)Q= (18 – 3Q)Q

=18Q – 3Q=18Q – 3Q22

18 – 6Q = 018 – 6Q = 0

6Q = 186Q = 18

Q = 3Q = 3

Substitusikan nilai Q = 3 ke dalam persamaan TR, sehingga diperoleh Substitusikan nilai Q = 3 ke dalam persamaan TR, sehingga diperoleh

TRTRmaksmaks = 18 (3) – 3(3)= 18 (3) – 3(3)22

= 54 – 27= 54 – 27

= 27 = 27

dQ

dTR

)maksimum(06dQ

TRd2

2

Jadi, total penerimaan maksimum adalah 21dan jumlah produk yang Jadi, total penerimaan maksimum adalah 21dan jumlah produk yang harus dijual Q=3. harus dijual Q=3.

Jika Q = 0, maka TR = 0, sehingga titik potong dengan sumbu TR adalah Jika Q = 0, maka TR = 0, sehingga titik potong dengan sumbu TR adalah (0,0) (0,0)

Jika TR = 0, makaJika TR = 0, maka

18Q – 3Q18Q – 3Q22 = 0 = 0

Q(18 – 3Q)= 0Q(18 – 3Q)= 0

QQ1 1 = 0, sehingga titik potong sumbu Q adalah (0,0) = 0, sehingga titik potong sumbu Q adalah (0,0)

18 – 3Q = 0 18 – 3Q = 0

QQ2 2 = 6, sehingga titik potong sumbu Q adalah (6,0) = 6, sehingga titik potong sumbu Q adalah (6,0)

Q618dQ

dTRMR

Q618Q

Q3Q18

Q

TRAR 2

2Q3Q18TR

TC, AC, MC

Q

5

10

15

1820

25

30

1 2 3 4 5 6

(5,15)

TR = 18Q – 3Q2

(6,0)

(3, 27)

(1,15)

P= 18 – 3Q

0

LABA MAKSIMUM LABA MAKSIMUM Setelah kita mempelajari berbagai fungsi biaya dan fungsi Setelah kita mempelajari berbagai fungsi biaya dan fungsi penerimaan dari suatu perusahaan pada subbab sebelumnya, penerimaan dari suatu perusahaan pada subbab sebelumnya, maka sekarang kita bisa menentukan besar-kecilnya laba maka sekarang kita bisa menentukan besar-kecilnya laba (Profit).(Profit). Ternyata laba yang diinginkan oleh suatu perusahaan atau seorang Ternyata laba yang diinginkan oleh suatu perusahaan atau seorang produsen adalah laba yang maksimum. produsen adalah laba yang maksimum. Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus,

=TR – TC atau =TR – TC atau = (P.Q) – (AC.Q) = (P.Q) – (AC.Q)di mana : di mana : = Laba = Laba

TR= Penerimaan total TR= Penerimaan total TC= Biaya total TC= Biaya total

Ingat bahwa baik TR maupun TC adalah fungsi dari Q. oleh karena Ingat bahwa baik TR maupun TC adalah fungsi dari Q. oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat Output Q yang dapat itu, untuk memperoleh tingkat Output Q yang dapat memaksimumkan laba kita memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan.yang diperlukan. ( (necessary condition)necessary condition) untuk suatu maksimum untuk suatu maksimum yaitu : Mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian yaitu : Mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian disamakan dengan nol. Hasilnya adalah, disamakan dengan nol. Hasilnya adalah,

Karena maka persamaan di atas, dapat ditulis Karena maka persamaan di atas, dapat ditulis kembali menjadi, kembali menjadi, MR = MC MR = MC Jadi, Jadi, syarat pertama untuk suatu output Q yang optimum secara syarat pertama untuk suatu output Q yang optimum secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. tetapi syarat yang pertama ini belum menjamin adanya suatu tetapi syarat yang pertama ini belum menjamin adanya suatu maksimum, bisa juga suatu minimum. Oleh karena itu, kita harus maksimum, bisa juga suatu minimum. Oleh karena itu, kita harus memeriksa lebih lanjut syarat kedua yang mencukupkanmemeriksa lebih lanjut syarat kedua yang mencukupkan ((sufficent conditionsufficent condition), yaitu : derivatif kedua dari fungsi laba terhadap Q ), yaitu : derivatif kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil nol. Hasilnya adalah, harus lebih kecil nol. Hasilnya adalah,

atau0dQ

d

0dQ

)TCTR(d

0dQ

dTC

dQ

dTR

dQ

dTC

dQ

dTR

,MCdQ

dTCdanMR

dQ

dTR

KarenaKarena , maka persamaan di , maka persamaan di atas, dapat ditulis kembali menjadi, atas, dapat ditulis kembali menjadi,

dMR < dMCdMR < dMC

jadi syarat yang kedua dMR < dMC adalah cukup untuk jadi syarat yang kedua dMR < dMC adalah cukup untuk membuat suatu output Q yang memaksimumkan laba. membuat suatu output Q yang memaksimumkan laba. Secara ekonomi ini berarti bahwa bila tingkat perubahan Secara ekonomi ini berarti bahwa bila tingkat perubahan MR lebih kecil dari tingkat perubahan MC pada output Q di MR lebih kecil dari tingkat perubahan MC pada output Q di mana MR = MC, maka tingkat output Q tersebut akan mana MR = MC, maka tingkat output Q tersebut akan memaksimum laba. memaksimum laba.

atau0dQ

d2

2

0dQ

TCd

dQ

TRd2

2

2

2

,dMCdQ

TCddandMR

dQ

TRd2

2

2

2

TR = f(Q) = R(Q)

TC = f(Q) = C(Q) Laba

Rugi MR

H

MCJ

Mg

Rugi

Q (a)

TR, TC

0 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

= R(Q) - C(Q)

K

Q1 Q2 Q3 Q4

0

M

Q (b)

Q (c)

MC = f(Q)

dMR < dMC- +

MR = f(Q)

Q3 Q1 0

N

MR, MC


Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan P = 557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalah TC = P = 557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalah TC = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000, maka : 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000, maka :

a.a. Berapakah jumlah output yang harus dijual agar supaya Berapakah jumlah output yang harus dijual agar supaya produsen memperoleh laba yang maksimum?produsen memperoleh laba yang maksimum?

b.b. Berapakah laba maksimum tersebut?Berapakah laba maksimum tersebut?

c.c. Berapakah harga jual per unit produk?Berapakah harga jual per unit produk?

d.d. Berapakah harga total yang dikeluarkan oleh Berapakah harga total yang dikeluarkan oleh perusahaan?perusahaan?

e.e. Berapkaah penerimaan total yang diperoleh dari Berapkaah penerimaan total yang diperoleh dari perusahaan? perusahaan?


TR = P.Q = (557 – 0,2Q)Q =557Q – 0,2QTR = P.Q = (557 – 0,2Q)Q =557Q – 0,2Q22

= TR – TC= TR – TC = TR – TC = TR – TC = (557Q – 0,2Q= (557Q – 0,2Q22) – (0,05Q) – (0,05Q33 – 0,2Q – 0,2Q22 + 17Q + 7000) + 17Q + 7000)

= 0,15Q= 0,15Q22 + 540= 0 + 540= 0

0,15Q0,15Q22 = 540 = 540

QQ22 = 3.600 = 3.600

Q = = Q = = ++ 60 60

= -0,3Q = -0,3Q

Jika Q = 60, maka = 0,3 (60) = - 18 < 0 (Maksimum) Jika Q = 60, maka = 0,3 (60) = - 18 < 0 (Maksimum)

2

2

dQ

d

600.3

dQ

d

2

2

dQ

d

Jadi, Jadi, maksmaks = -0,05 (60) 3 + 540 (60) + 7.000= -0,05 (60) 3 + 540 (60) + 7.000= -0,05 (216.000) + 32.400 + 7.000= -0,05 (216.000) + 32.400 + 7.000= -10.800 + 32.400 + 7.000 = 14.600= -10.800 + 32.400 + 7.000 = 14.600

Karena Q = 60, maka Karena Q = 60, maka PP = 557 – 0,2 (60) = 557 – 12 = 545= 557 – 0,2 (60) = 557 – 12 = 545TCTC = 0,05 (60) 3 – 0,2 (60) 2 + 17 (60) + 7.000 = 0,05 (60) 3 – 0,2 (60) 2 + 17 (60) + 7.000 = 18.100= 18.100TRTR = 667 (60) – 0,2 (60) 2 = 32.700 = 667 (60) – 0,2 (60) 2 = 32.700

Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahana harus Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahana harus menjual produknya seharga Rp. 545 per unit, menjual produknya seharga Rp. 545 per unit, dengan jumlah produk sebanyak 60 unit agar dengan jumlah produk sebanyak 60 unit agar dapat memaksimumkan laba sebesar Rp. 14.600 dapat memaksimumkan laba sebesar Rp. 14.600 di mana penerimaan total perusahaan adalah Rp. di mana penerimaan total perusahaan adalah Rp. 32.700 dan biaya total yang dikeluarkan adalah 32.700 dan biaya total yang dikeluarkan adalah sebesar Rp. 18.100. sebesar Rp. 18.100.

Matematika Ek 1

Documents

Transcript of Matematika Ek 1