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Matemticas para ingeniera

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1. Vas en un camin de carretera y volteas a ver afuera y ves que va en el Km 147, despus de

30min vuelve a voltear y ves que va en el Km 183.

a. Cuntos Km se recorrieron en esos 30 min?

b. Esos Km que se recorrieron, los avanzaron o los retrocedieron? (Explica).

c. Qu operacin hicieron para obtener ese resultado? (Explica).

2. Vas en el mismo camin que la vez pasada. Ahora volteas a ver afuera y ves que van en el Km

83 y 30 minutos despus van en el Km 51.

a. Cuntos Km se recorrieron en esos 30 min?

b. Esos Km que se recorrieron, los avanzaron o los retrocedieron? (Explica).

c. Qu operacin hiciste para obtener ese resultado? (Explica).

3. Supn que ests en una ciudad con un grupo de amigos. La ciudad tiene las calles numeradas,

de forma que hay la calle 1este, 2este, 3este, 1norte, 2norte, 3norte, y as en todas las

direcciones. Todos se estn quedando en el mismo hotel que est en la calle 1norte y 2este.

Alguien del grupo sale a caminar por la ciudad y despus de varias vueltas est perdido. l les

llama por telfono al hotel y les pide que vayan a recogerlo. l no sabe en qu calles est pero

tiene anotados todos los movimientos que hizo en la ciudad de esta forma:

oy en el hotel en la calle 1norte y 2este.

cuadras hacia el norte

a. Realiza un dibujo en donde muestres claramente todos los movimientos hechos por esta

persona. Indica en donde est el hotel y el nombre de las calles.

b. Cuantas cuadras camin en total?

c. Entre qu calles termin su recorrido?

d. Si sales del hotel a recogerlo, cul es el camino ms corto para llegar a dnde est?

e. Cuntas cuadras se tienen que caminar para recogerlo?

Maestros Online www.maestronline.com f. Si la polica est entre las calles 6este y 1sur, cmo te tendras que mover para ir a

recogerlo?

g. Si hubiera hecho los mismos trayectos pero en distinto orden, hubiera llegado al mismo

lugar o a uno diferente? (Explica).

h. Los movimientos norte-sur afectan de alguna forma en donde termina su recorrido en el

sentido este-oeste?

4. En un parque ests a 10 metros al este y 20 metros al norte de la fuente central y tu perro est a

40 metros al este y 60 metros al norte de la fuente central.

a. Si le quieres lanzar una pelota a tu perro, a qu distancia necesitas enviarla?

b. Si ests viendo directamente hacia el este, cuntos grados debes de rotar y hacia dnde

para apuntar directamente a tu perro?

5. Ests en el centro de una plaza y caminas 5 metros a la derecha, luego 8 metros a la izquierda y

finalmente 6 metros a la derecha.

a. Cunta distancia recorriste?

b. A qu distancia ests del centro? (Explica).

1. Supn que tienes una puerta entreabierta y perfectamente aceitada.

a. Si se aplica una fuerza paralela a la puerta, qu sucede con ella? (Explica).

b. Si se aplica una fuerza perpendicular a la puerta, qu sucede con ella? (Explica).

2. Supn que tienes un carro de tren colocado sobre unas vas que van en lnea recta sin friccin.

a. Si se aplica una fuerza paralela al tren, qu sucede con l? (Explica).

b. Si se aplica una fuerza perpendicular al tren, qu sucede con l? (Explica).

3. En base a las dos preguntas anteriores, responde lo siguiente:

a. Hay diferencia entre lo que sucede en la puerta y lo que sucede en el tren? Cul?

(Explica).

b. Por qu se da esta diferencia? (Explica).

4. Supn que se tiene un sistema como el que se muestra en la siguiente figura:

a. En donde se tiene un lpiz de 10 (cm) colocado en un cierto ngulo contra una mesa

plana. Sobre la mesa hay luz cayendo verticalmente como indican las flechas.

i. Si el ngulo es de 20, de qu tamao es la sombra del lpiz en la mesa?

ii. Si el ngulo aumenta la sombra se hace ms grande o ms chica?

Maestros Online www.maestronline.com iii. A qu ngulo se obtendr la sombra ms grande?

iv. A qu ngulo se obtendr la sombra ms chica?

b. Si ahora se deja el lpiz quieto y se inclina la mesa como se muestra:

i. Si el ngulo aumenta la sombra se hace ms grande o ms chica?

ii. A qu ngulo se obtendr la sombra ms grande?

iii. A qu ngulo se obtendr la sombra ms chica?

. Piensa en un ro recto y sereno sin turbulencia en el que el agua se mueve a la misma velocidad

siempre y que se est moviendo de izquierda a derecha.

a. Si se pone un barco de papel al inicio del rio, en el centro del canal, hacia dnde siente

fuerza el barco?

b. Si se pone el barco en medio del ro y en el centro del canal, hacia dnde siente fuerza el

barco? y es mayor o menor que la fuerza del inciso a?

c. Si se pone el barco en medio del ro y a la derecha del canal, hacia dnde siente fuerza el

barco? y es mayor o menor que la fuerza del inciso a y b?

d. En dnde se tiene que poner el barco para que sienta la mxima fuerza?

e. Dibuja un diagrama del ro con la fuerza que se sentir en distintos puntos, usa flechas

chicas para fuerzas pequeas, flechas grandes para grandes fuerzas y flechas del mismo

tamao si las fuerzas son iguales.

2. Piensa ahora en una cascada alta y en lnea recta hacia abajo.

a. Si pones la mano al inicio de la cascada, hacia dnde sientes la fuerza?

b. Si pones la mano a media altura, hacia dnde sientes la fuerza? y es mayor o menor que

la fuerza del inciso a?

c. Si ponen la mano en la parte de debajo de la cascada, hacia dnde sientes la fuerza? y es

mayor o menor que la fuerza del inciso a y b?

3. El saln en el que ests ahora:

a. Tiene la misma temperatura en todos sus puntos?

b. En dnde est el punto de mayor temperatura del saln?

c. En dnde est el punto de menor temperatura del saln?

d. El punto de mayor temperatura del saln, apunta hacia alguna parte la temperatura?

e. El aire tiene velocidad en todos los puntos del saln?

f. En dnde el aire tiene mayor velocidad?

Maestros Online www.maestronline.com g. En dnde el aire tiene menor velocidad?

h. El punto de mayor velocidad del aire del saln apunta hacia alguna parte la velocidad?

1. Supn que existe un abanico que apunta hacia la derecha y arroja el aire a una velocidad de

3[m/s].

a. Cmo se expresara la velocidad del aire de forma vectorial?

b. Si el abanico aumenta la velocidad 1[m/s] cada minuto, cul ser la velocidad despus de 5

minutos? (Exprsala en forma vectorial).

c. Cul ser una ecuacin que muestre la velocidad del viento en cualquier tiempo t?

d. Si la velocidad del viento es:

= 10 [/]

2. La ecuacin para calcular la fuerza de un resorte dado es:

= 4 []

Si el resorte esta verticalmente:

a. Cul ser la ecuacin que muestre la fuerza expresada en notacin vectorial?

b. Cul ser la fuerza del resorte si x = 3[m]?

Si la fuerza es:

= 8 []

c. Cul es el valor de x?

3. Supn que tienes una presa de 8 metros de altura que tiene 1 agujero cada metro de forma que

el agua sale horizontalmente.

a. Dibuja un esquema de la situacin, mostrando la direccin a la que sale el agua.

b. Cul chorro de agua saldr con mayor velocidad y cual con menor?

c. Supn que la velocidad del chorro ms lento es de 1[m/s]. Cmo se definira esa velocidad

en notacin vectorial?

d. Supn que la velocidad del agua aumenta el doble cada metro ms arriba (1[m/s], 2[m/s],

4[m/s], 8[m/s], etc.). Cul sera una ecuacin que modele la velocidad en funcin de la

altura y? (exprsala en notacin vectorial).

e. A la altura de 5 metros, cul ser el vector de velocidad?

f. Si la velocidad es de v=32[m/s], cul es la altura?

4. Supn que se tiene la funcin vectorial:

= 2 + + 2

Maestros Online www.maestronline.com Si sabes que para un punto dado la funcin tiene un valor de:

= 10 + 3 + 20

a. Cul es el valor de x?

b. Cul es el valor de z?

c. Se puede obtener el valor de y? Cul es? (Explica).

1. Se tiene una partcula que se mueve en el espacio de acuerdo a la funcin vectorial:

= (2 +

2

+

100

)[]

a. Cul es la posicin cuando t = 2?

b. Cul es la posicin cuando t = 4?

c. Si la posicin en i es 10, cul ser el valor de t?

d. Si la posicin en i es 10, cul ser el valor de la componente en j?

e. Si la posicin en i es 10, ser posible que el valor del componente j sea un valor distinto del

obtenido en el inciso anterior? (Explica).

f. Si se sabe el valor de la componente i, siempre es posible saber el valor de las otras

componentes? (Explica).

2. Se tiene una partcula cuya posicin est dada por la funcin:

= (( +5) + (2

2 8) 3 )[]

a. Cul es la posicin de la partcula en t = 0?

b. Cul es la posicin de la partcula en t = 3?

c. Cul fue el desplazamiento total de la partcula de t=0 a t=3?

d. Cul fue la velocidad promedio de la partcula de t=0 a t=3?

e. Cul fue la velocidad promedio de la partcula de t=1 a t=2?

f. Existe un tiempo positivo en el que la posicin en i sea 0?

g. Existe un tiempo positivo en el que la posicin en j sea 0?

h. Existe un tiempo positivo en el que la posicin en k sea 0?

1. Considera una funcin vectorial de la forma:

Maestros Online www.maestronline.com = 3 +( + ) +

a. Qu valor tiene la funcin en el punto (1, 1, 1)?

b. Qu valor tiene la funcin en el punto (2, 3, -1)?

c. Qu valor tiene la funcin en el punto (1, -2, 3)?

Si la funcin tiene el valor:

= 6 + 5 + 10

d. Cul es el valor de x, y y z?

Solucin de problemas donde se diferencie entre posicin, velocidad y aceleracin.

Instrucciones para realizar evidencia:80%

Parte 1

1. Lee detenidamente la siguiente situacin.

Se tiene un terreno en un campo plano de la siguiente forma: un campesino clav una estaca

en un punto, luego camin 100 en lnea recta hacia el este y clav otra estaca. Despus,

desde la segunda estaca camin 20 metros hacia el oeste y 70 metros hacia el norte y clav

una tercera estaca. Desde la tercera estaca camin 40 metros hacia el oeste y 10 metros

hacia el sur y clav la cuarta estaca.

2. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos

matemticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales

como herramienta principal y realiza un dibujo a escala de la situacin.

Si se pone una barda que una las estacas de forma tal que quede un cuadriltero irregular:

a. Cunto tendr de permetro dicho terreno?

b. Cul ser el rea del terreno?

c. Cules son los ngulos interiores en cada esquina del cuadriltero?

Parte 2

3. Asume que el campo vectorial de la velocidad de un tiempo fijo

es:

4. Contesta las siguientes preguntas, justifica tus respuestas con los procedimientos

matemticos adecuados e interpreta los resultados. Utiliza las operaciones vectoriales

como herramienta principal y realiza un diagrama de la situacin.

Si una partcula de polvo est en la posicin:

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/semestre/profesional/ma/ma13102/bb/modulo1.htm#collapseEV3

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a. Cul es su velocidad?

b. Cul es el producto cruz entre la posicin la velocidad? Qu significa el resultado?

c. Cul es el producto punto entre la posicin la velocidad? Qu significa el resultado?

d. Cmo se representa el vector de posicin en coordenadas cilndricas?

e. Cmo se representa el vector de velocidad en coordenadas cilndricas?

1. Con sus propias palabras expliquen brevemente lo siguiente:

a. El concepto de derivada

b. Si la derivada de una funcin es positiva, qu significado tiene?

c. Si la derivada de una funcin es cero, qu significado tiene?

2. Piensen en tres funciones que dependan de dos o ms variables distintas.

Ejemplos: la temperatura en una ciudad depende de dnde est el termmetro y de la

hora del da. El peso de una persona depende de qu tantas caloras come y cunto

ejercicio hace.

a. Mencionen las tres funciones que pensaron.

b. Cules son las variables independientes en cada una de estas funciones?

c. Cul es la variable dependiente de cada una de las funciones?

d. Escriban una ecuacin matemtica de al menos una de las funciones

matemticas.

3. La intensidad del sonido de una bocina depende del cubo de cuntos watts utilice la

bocina y del cuadrado de la distancia a la que est la bocina, quedando la ecuacin

as:

a. Si obtengo el cambio de la intensidad dependiendo de los watts (derivada en

de la intensidad en watts) a una distancia constante, cmo quedara la

funcin?

b. Cul es el significado de la funcin que acaban de obtener?

c. Si obtengo el cambio de la intensidad, dependiendo de la distancia (derivada

en de la intensidad en distancia) a una cantidad de watts constante, cmo

quedara la funcin?

d. Cul es el significado de la funcin que acaban de obtener?

5. A partir de la funcin que se presenta a continuacin, contesten las preguntas:

a. Cul es la derivada de la funcin en x?

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b. Cul es la derivada de la funcin en y?

c. Si se deriva la funcin en x y el resultado se deriva en y, cul sera el

resultado?

d. Si se deriva la funcin en x y el resultado se deriva en y, cul sera el

resultado?

e. Los resultados del inciso c) y d) son iguales o distintos?

f. Piensa en la temperatura de un cuarto y responde a las siguientes preguntas:

a. Explica si es una funcin escalar o vectorial.

b. Si obtengo el cambio de temperatura en un punto del espacio, qu datos

debo saber?

c. Si conozco la temperatura exacta en el centro del cuarto y s cul es la

temperatura a la derecha e izquierda de ese punto, pero desconozco la

temperatura de arriba y debajo de ese punto, puedo obtener el cambio de

temperatura del centro del cuarto? Explica.

g. Supn que ests en una colonia que se encuentra ubicada en un cerro, algunas calles

bajan y otras suben al cerro. Ests en un cruce entre una calle que corre norte-sur y

otra que va este-oeste. Con base en esta situacin, contesta las siguientes preguntas:

a. Es posible que si te mueves al norte la calle vaya para abajo y si te mueves al

sur la calle tambin vaya hacia abajo? Qu significa eso?

b. Es posible que si te mueves al este la calle vaya para arriba y si te mueves al

oeste la calle tambin vaya hacia arriba? Qu significa eso?

c. Explica si es posible tener la situacin del inciso a) y b) al mismo tiempo.

d. Sera posible que estuvieras en un punto del cerro de tal forma que la calle

en las cuatro direcciones fuera hacia abajo? Qu significara esto?

1. A partir de la funcin que se presenta contesten las siguientes preguntas:

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a. Cul es la derivada de la funcin en x? Qu significa este resultado?

b. Cul es la derivada de la funcin en y? Qu significa este resultado?

3. A partir de la funcin vectorial, contesten las siguientes preguntas:

a. Cul es la derivada de la funcin en x? Qu significa este resultado?

b. Cul es la derivada de la funcin en y? Qu significa este resultado?

c. La derivada cambia la direccin del vector?

4. Contesten las siguientes preguntas a partir de la funcin vectorial:

a. Calcula

b. Calcula el vector gradiente

c. Calcula la derivada direccional

1. A partir de la siguiente funcin respondan las preguntas:

a. Cul es la derivada de la funcin?

b. En dnde estn sus puntos crticos (mximos y mnimos)?

c. En dnde estar el mximo y en dnde el mnimo de la funcin?

2. A partir de la siguiente funcin respondan a las preguntas:

a. Cul es la derivada de la funcin en x?

b. Cul es la derivada de la funcin en y?

c. Expliquen qu valores debe tener la x para que la derivada en i sea 0.

Importa el valor de la y?

d. Expliquen qu valores debe tener la y para que la derivada en i sea 0.

Importa el valor de la x?

e. Expliquen qu valores debe tener la x para que la derivada en j sea 0?

Importa el valor de la y?

f. Expliquen qu valores debe tener la y para que la derivada en j sea 0?

Importa el valor de la x?

g. Existe alguna forma de encontrar el valor de x y y, que haga que las

derivadas en i y j sean 0?

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4. A partir de la siguiente funcin respondan a las preguntas:

a. Obtengan la antiderivada de la funcin en x:

b. Ahora, obtengan la derivada parcial del resultado. Les dio la funcin original?

c. Si al resultado de la antiderivada le suman el trmino y obtienen su derivada

parcial con respecto a x, obtienen el mismo resultado?, por qu?

d. Si al resultado de la antiderivada le sumas el trmino sen (y) y obtienes su

derivada parcial con respecto a x, obtienen el mismo resultado?, por qu?

e. Expliquen lo siguiente. Analizando los resultados del inciso c) y d), se le

puede agregar cualquier funcin de y al resultado?, y al hacer la derivada

parcial con respecto a x, se obtendra el mismo resultado?, por qu?

f. Compara los resultados del inciso c) y d) Son iguales o distintos? Cules

son sus diferencias?

4. Trabajemos con la misma funcin:

a. Obtengan la integral definida de la funcin en x de 1 a 3:

b. Obtengan la integral definida de la funcin en x de 2 a 4:

c. Ahora el resultado del inciso a) intgralo en y de 2 a 4:

d. Ahora el resultado del inciso b) intgralo en x de 1 a 3:

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e. Compara los resultados del inciso c) y d) Son iguales o distintos? Cules

son sus diferencias?

5. Trabajemos con la misma funcin:

a. Obtengan la integral definida de la funcin en x de a hasta b:

b. Obtengan la integral definida de la funcin en x de c hasta d:

c. Ahora el resultado del inciso a) intgrenlo en y de c hasta d:

d. Ahora el resultado del inciso b) intgrenlo en x de a hasta b:

e. Comparen los resultados del inciso c) y d) Son iguales o distintos? Cules

son sus diferencias?

1. Trabajarn con la funcin:

a. Obtengan la integral definida de la funcin en x de 1 a

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b. Integren el resultado del inciso a) en y de 0 a 1:

3. Trabajarn con la funcin:

a. Obtengan la integral definida de la funcin en x de 1 a

b. Integren el resultado del inciso a) en y de 0 a 1:

1. Respondan las siguientes preguntas con lo visto en el tema 1 respecto a la conversin

de vectores:

a. Cul es el valor de x en coordenadas cilndricas?

b. Cul sera la derivada de x en coordenadas cilndricas?

c. Cul es el valor de y en coordenadas cilndricas?

d. Cul sera la derivada de y en coordenadas cilndricas?

e. Cul es el valor de z en coordenadas cilndricas?

f. Cul sera la derivada de z en coordenadas cilndricas?

g. Si multiplicas dx, dy y dz, cul sera el resultado?

Solucin de problemas de aplicacin de operadores vectoriales e interpretacin de resultados.

Instrucciones para realizar evidencia:80%

Parte 1

1. Investiga cul es la ecuacin que modela el campo vectorial de un huracn y contesta

lo siguiente:

a. Cul es la ecuacin que modela al huracn en coordenadas cartesianas?

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b. En dnde est centrada la ecuacin con respecto al ojo del huracn?

c. En qu punto se encuentra el vector con mayor magnitud?

Parte 2

2. Realiza las operaciones solicitadas y contesta las preguntas correspondientes.

a. Cul es el rotacional del huracn?

b. Cul es la divergencia del huracn?

c. Cul sera la ecuacin del campo vectorial en coordenadas polares?

d. Realiza una grfica que muestre el campo vectorial del huracn

Parte 3

3. Contesta las preguntas de anlisis que se presentan a continuacin:

a. Qu significa este resultado del rotacional?

b. Qu significa este resultado de la divergencia?

c. Cul es la forma ms fcil de representar la ecuacin de un campo vectorial

que modele a un huracn? (coordenadas cartesianas o polares)

Parte 1

1. De manera individual obtn los valores de las siguientes integrales:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Parte 2

2. Forma parejas y resuelve con tu compaero las siguientes integrales:

a.

b.

c.

d.

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e.

Parte 3

3. Con el mismo compaero de trabajo, analicen y den solucin a los siguientes

problemas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Nota: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada.

Parte 1

1. De manera individual planea el sistema de ecuaciones lineales de los siguientes

problemas propuestos

Quiero pesar a un beb pero la bscula que tengo solo registra pesos mayores a 50 kg. Si me

peso yo cargando al beb se registran 87 kg. Si mi esposa se pesa cargando al beb se

registran 55kg. Si nos pesamos los tres al mismo tiempo se registran 136kg. Cul es la

ecuacin que modela el sistema?

Voy a un restaurante con toda mi familia una vez al mes en donde comemos 10 personas. El

primer mes se pidieron 3 pescados, 2 pollos y 5 cortes de res y la cuenta fue de 1290. El

segundo mes se pidieron 2 pescados, 4 pollos y 4 cortes de res y la cuenta total fue de 1200 y

el tercer mes se pidieron 4 pescados, 3 pollos y 3 cortes de res siendo la cuenta total de 1200.

Plantea las ecuaciones lineales que modelan el sistema.

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2. De manera individual acomoda las siguientes ecuaciones de forma tal que las

columnas queden alineadas las mismas variables y resulvelas por el mtodo de

eliminacin.

a.

b.

c.

Parte 2

3. Renete en parejas y acomoden las siguientes ecuaciones de forma tal que las

columnas queden alineadas las mismas variables y resulvelas por el mtodo de la

sustitucin.

a.

b.

c.

d.

e.

Parte 3

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4. Con el mismo compaero de trabajo, analicen y den solucin a los siguientes

ejercicios utilizando el mtodo de eliminacin.

a.

b.

c.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones a travs de los pasos indicados.

a. Elimina las "x" de la segunda ecuacin utilizando la primera ecuacin.

b. Elimina las "x" de la tercera ecuacin utilizando la primera ecuacin.

c. Elimina la "y" de la ecuacin obtenida en el inciso B con la ecuacin obtenida

en el inciso A.

d. Con la ecuacin obtenida en el inciso C, obtn el valor de "z".

e. Sustituye los valores de C en todas las ecuaciones.

f. Con la ecuacin obtenida en A elimina la "y" de la primera ecuacin.

g. Con la respuesta del inciso F obtn el valor de "x".

h. Sustituye el valor de "x" en las ecuaciones restantes

i. Obtn el valor de "y".

Nota: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada.

Diagrama de flujo para resolver una matriz utilizando el mtodo de Gauss.

Instrucciones para realizar evidencia:80%

Lee detenidamente el problema y responde lo que se plantea.

Parte 1

Supn el siguiente escenario:

Un amigo tuyo te comenta por telfono una problemtica que tiene y te das cuenta que la

puede resolver con una matriz usando el mtodo de Gauss.

Tu amigo no sabe resolver matrices, pero sabe sumar, restar, multiplicar y dividir. Tambin

sabe lo que son renglones y columnas.

Para ayudarlo decides explicarle el concepto utilizando un diagrama de flujo.

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Realiza lo siguiente:

1. Investiga los smbolos utilizados en un diagrama de flujo (inicio, operacin, decisin,

fin, etc.)

2. Identifica paso por paso qu hacer para resolver esta matriz de tamao arbitrario.

3. Disea un diagrama de flujo que muestre cmo resolver la matriz de cualquier

tamao por el mtodo de Gauss.

Parte 2

4. Ahora resuelve el siguiente problema planteado por el mtodo de Gauss.

Se desea saber el precio unitario de tres artculos en una ferretera. Los artculos son una caja

de clavos, un martillo y un taladro.

Se sabe que si alguien compra 3 cajas de clavos y 2 martillos se gastar 130 pesos. Si alguien

compra un martillo y dos taladros, gastar 650 pesos y si alguien compra 10 cajas de clavos y

un taladro gastar 400 pesos.

5. Haz la matriz correspondiente.

6. Disea un diagrama de flujo que muestre cmo resolver la matriz.

Utiliza los smbolos utilizados en un diagrama de flujo.

Debe de verse paso por paso, en qu parte del ciclo se est y cules

operaciones se hacen en la matriz.