MATEMATICAS II PARA PRINCIPIANTES22014

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TABLA DE CONTENIDO

OBJETIVO.............................................................................................................................................................5

1. ÁLGEBRA LINEAL..............................................................................................................................................6

CONCEPTO ......................................................................................................................................................6

FUNCION LINEAL. .............................................................................................................................................7

ECUACION GENERAL DE LA RECTA.................................................................................................................7

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS............................................7

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS ........................................................................... 14

PROGRAMACION LINEAL .............................................................................................................................. 15

CONCEPTO ................................................................................................................................................... 15

HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.................................................................................................... 15

INECUACIONES CON DOS VARIABLES.......................................................................................................... 16

MAXIMIZAR Y MINIMIZAR............................................................................................................................... 22

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. ................................................................................................... 22

2. MATRICES ..................................................................................................................................................... 32

CONCEPTO DE MATRIZ................................................................................................................................. 32

ELEMENTOS NOTABLES DE UNA MATRIZ ..................................................................................................... 33

TIPOS DE MATRICES..................................................................................................................................... 34

CÁLCULO DE MATRICES ............................................................................................................................... 36

CONVENIOS .................................................................................................................................................. 37

TAMAÑO DE UNA MATRIZ.............................................................................................................................. 37

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON MATRICES: ............................................................................................ 38

PRODUCTO DE DOS MATRICES .................................................................................................................... 40

3. DIFERENCIACION .......................................................................................................................................... 48

CONCEPTO ................................................................................................................................................... 48

DERIVADA DE UNA POTENCIA, SUMA Y RESTA (REPASO) ........................................................................... 49

DERIVADA DE UN PRODUCTO ...................................................................................................................... 50

DERIVADA DE UN COCIENTE ........................................................................................................................ 51

4. INTEGRACIÓN ............................................................................................................................................... 53

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CONCEPTO ................................................................................................................................................... 53

PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN. ........................................................................................................... 53

INTEGRALES DE POTENCIAS INDEFINIDAS .................................................................................................. 54

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE ................................................................................... 57

INTEGRAL DEFINIDA ..................................................................................................................................... 60

PROCESO DE UNA INTEGRAL DEFINIDA ....................................................................................................... 62

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OBJETIVO

Identificar, analizar y aplicar los conceptos básicos del cálculo integral para el desarrollo de habilidades para laresolución de problemas específicos de maximización y optimización aplicada a la Administración Pública,desarrollando el racionamiento matemático algorítmico necesario para la planificación y toma de decisiones, laapropiación de herramientas matemáticas y su aplicación en las áreas que componen la AdministraciónPública.

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1. ÁLGEBRA LINEAL

CONCEPTO

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia los vectores, espacios vectoriales,transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central enlas matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal se usa ampliamente en álgebra (estudio de lasestructuras) y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica ytiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º. y 3er. cuadrantes del plano cartesiano.Un vector, aquí, es un segmento de línea orientado, caracterizado por ambas longitudes y magnitudes, asícomo dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas comofuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas como magnitudes escalares, entonces formando elprimer ejemplo real de espacio vectorial.

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema linealde ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema deecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:3X1 + 2X2 + X3 =2X1 + 2X2 + X3 = −-X1 + 12 X2 − X3 =

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El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tresecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene unainfinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no linealesde análisis numérico.

FUNCION LINEAL.

Y = B + A*X

Construir las gráficas para las siguientes funciones lineales:

1) X + 6Y = 272) 7X - 3Y = 93) 3X - 2Y = - 24) 5X + 8Y = - 605) 9X + 16Y = 76) 4Y - 3X = 07) 14X - 11Y = - 298) 13Y - 8X= 309) 15X - 11Y =-8710) 12X - 5Y = - 411) 6X - 18Y = - 8512) 24X - 5Y = - 5

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

En el estudio del álgebra se hizo un estudio de la ecuación de primer grado con dos variables X e Y,independientes y dependientes respectivamente, que al representar sus parejas de puntos en el planocartesiano forma una recta. Una línea recta es un lugar geométrico de puntos, de tal manera que tomando dospuntos diferentes P2(X2, Y2) y P1(X1, Y1) le permite calcular una constante llamada pendiente (A) por medio dela siguiente fórmula:

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Suponiendo que se tiene dos ecuaciones como las siguientes; se debe analizar sus coeficientes y se puedeencontrar tres aspectos muy importantes que son:

Cálculo de la pendiente (incremento)

A. =

Ecuación general de la recta

Y = B + A*X

Cálculo de la ecuación de una recta

Y = A(X – X1) + Y1

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El sistema tiene solución única: En este caso las dos rectas se cortan en un punto, llamado punto deintersección.

No tiene solución: En este caso las rectas son paralelas entre sí; por lo tanto no se cortan Tiene más de una solución: Cuando las dos rectas están superpuestas entre sí.

aX + bY = c 1

dX + eY = f 2

a)eb

da Entonces tiene solución única

b)eb

da

fc Entonces no tiene solución

c)eb

da

fc Entonces tiene más de una solución

Al buscar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales se debe tener en cuenta que:

Es importante insistir en que la solución de un sistema es una pareja de valores. Es decir la solución son dosnúmeros reales, uno de ellos es el valor de una de las incógnitas (la 'X' en la mayoría de los ejercicios) y elotro el valor de la otra (normalmente la 'Y'). Es un error muy frecuente el que alumnos como vosotros den porterminado el ejercicio al encontrar el valor de la primera incógnita.

Cada uno de los métodos que vamos a ver a continuación debe dar el mismo resultado aplicado al mismosistema. Si no es así es que hay algún error en el proceso, por lo tanto se debe buscar el error.

MÉTODOS

a) Método de igualaciónb) Método de sustituciónc) Método de reducción.d) Método gráfico.e) Método de determinantes

MÉTODO DE IGUALACIÓN. El método de igualación se puede entender como un caso particular delmétodo de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación seigualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnitaY en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

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X322Y

31X4Y

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmarque las partes derechas también son iguales entre sí.

5X13X6514XX)322(23

1X4X322Y

Una vez obtenido el valor de la incógnita X, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y seobtiene el valor de la Y.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar X después deaveriguar el valor de la Y.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuacionescualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla enotra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalenteen todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema conuna ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este métodoreiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

22Y3X 1Y3-4X

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nosfacilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

X322Y

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener unaecuación donde la única incógnita sea la X.

5=X51365X6513X1-66-X1319X66-4X1X)322(3-4X

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado X = 5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor enalguna de las ecuaciones originales obtendremos Y = 7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

MÉTODO DE REDUCCIÓN. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñadopara sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones

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(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una mismaincógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuacionesproduciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con unasola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

53Y2X 46Y5X

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita Y. Al multiplicar,dicha ecuación nos queda así:

-106Y-X4)53Y2(2X-

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde laincógnita Y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita Y:

6X46Y5X

-106Y-X4

6X

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita X en cualquiera de las ecuacionesdonde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y es igual a:

317Y

MÉTODO GRÁFICO. Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. Elmétodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio dedimensión 2.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en lossiguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita (Y) en ambas ecuaciones.2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores

correspondientes.3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas

(X,Y). "Sistema compatible determinado".

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Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivascoordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatibleindeterminado».

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos del sistema:+ =− + =Debemos seguir las siguientes etapas:

Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación principal, como sigue:∶ = – +∶ = –Segundo. Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a X, Y se calcula el correspondiente valor deY, en cada caso.

Y = –3X + 4

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 13 10 7 4 1 -2 -5 -8 -11 14

Y = 2X – 1

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11

Tercero. Se marcan estos los puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estospuntos, y se repite el procedimiento para la otra ecuación.

En este caso, en la primera ecuación,

Si X = 0, entonces Y = 4, esto corresponde al punto A(0, 4).Si X = 2, entonces Y = –2, que corresponde al punto B(2,–2).

De la misma manera, en la segunda ecuación,

Si X = 0, entonces Y = –1; esto corresponde al punto C(0, –1).Si X = 2, entonces Y = 3, que corresponde al punto D(2, 3).

Con esto se pueden graficar ambas rectas como lo muestra el siguiente grafico

Las rectas se intersecan en el punto E(1, 1).

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Entonces, X = 1, Y = 1 es solución del sistema.

EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico:

Despejamos y en las dos ecuaciones. + = → = −− = → = –a) Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

Y = 6 – X

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Y = X – 2

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b) Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.

Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución. Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible

determinado. Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema

compatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es X = 4 e Y = 2.

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MÉTODO DE DETERMINANTES: para

bdaebfce

edbaefbc

X

bdaecdaf

edbafdca

Y

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:+ =− + =Calculamos primero la X:

236

12410

)1(12.14.12.5

21-11

2415

X

Ahora calculamos la Y:

aX + bY = cdX + eY = f

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339

1254

)1(12.1)1(54.1

21-11

41-51

Y

Con lo que tenemos podemos decir que la solución al sistema, es: X = 2, Y = 3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

TALLER COMPLEMENTARIO

Utilizando dos de los métodos anteriores hallar la solución del sistema de ecuaciones; identificando si tienesolución única, no tiene solución o tiene múltiples soluciones para los siguientes casos

X+6Y=277X-3Y=9

3X-2Y=-25X+8Y=-60

9X+16Y=74Y-3X=0

14X-11Y=-2913Y-8X=30

15X-11Y=-87-12X-5Y=-4

6X-18Y=-8524X-5Y=-5

6X-5Y=-94X+3Y=13

7X-15Y=1-1X-6Y=8

3X-4Y=4111X+6Y=47

9X+11Y=-146X-5Y=-34

10X-3Y=362X+5Y=-4

11X-9Y=213X-15Y=-2

18X+5Y=-1112X+11Y=31

9X+7Y=-411X-13Y=-48

1X-1Y=11X+1Y=7

1X-2Y=102X+3Y=-8

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PROGRAMACION LINEAL

CONCEPTO

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve unproblema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la funciónobjetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal formaque las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante unsistema de inecuaciones lineales.

HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier,después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea comoun modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y losretornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secretohasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John vonNeumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso,que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975.En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cualdemostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempopolinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior pararesolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos yprácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajoes un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinartodas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el númerode posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo unmomento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación linealy la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número deposibles soluciones factibles que deben ser revisadas.

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchosproblemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programaciónlineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes yproblemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientementeimportantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en susolución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimizaciónconstituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideasde programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización talescomo la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo

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modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya seapara aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunosejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, laasignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.Otros son:

Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias

caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; Solución de problemas de transporte.

INECUACIONES CON DOS VARIABLES

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas poruno de los cuatro signos de desigualdad ,,, .

Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienenestán elevadas a un exponente igual a la unidad.

Expresión general: son de la forma ax by c y todas sus equivalentes ax by c , o ax by c , etc.

Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas.

Método de resolución: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas o parábolas que debemos resolver yluego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial.

Para las inecuaciones de la forma ax by c , pasamos primero a la ecuación lineal Y= AX + B,despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecuación de una recta en el plano, la cual divide almismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que Y > AX + B y el otro lospuntos tales que Y < AX + B. Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad oinecuación previa. Para ello:

Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y trazamos laperpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la recta es tal que Y= AX + B, prolongando laperpendicular encontraremos los puntos tales que Y > AX + B, y por debajo estarán los que cumplen que Y <AX + B

EJEMPLO: sea la inecuación 2X + Y > 4. Pasamos a la ecuación de la recta Y = - 2X + 4, la cual dibujamosdando valores a x e y.

x y0 42 0

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Con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos puntos pasa una y solo una recta.

Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que ésta corta a la rectala ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y = r, un punto por encima es mayor y uno por debajoes menor. Como nuestra inecuación, despejada la y, es Y > -2X + 4, los puntos que la cumplen son los delsemiplano sombreado. La recta no está incluida por ser la desigualdad estricta.

EJEMPLO: 2x y 4 , es similar al anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad y el hecho de queahora no es estricta. Pasamos a la ecuación Y = - 2X + 4, igual que antes. Damos valores a X e Y paradibujarla:

x y0 42 0

La dibujamos y procedemos como antes. Ahora la recta está incluida en la solución.

Sistemas de inecuaciones mixtas con dos variables: son sistemas formados por una inecuación de primergrado y dos variables con otra de primer grado, también con dos variables. O bien ambas de segundo grado.O bien una de cada.

y =r

y >ry <r

y

yy

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Sistemas de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: son de la forma, o cualquiera de susvariaciones.

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

Método de resolución: dibujamos ambas rectas por separado. Buscamos los semiplanos que cada rectaproduce en el plano, y por último buscamos las zonas de intersección de ambos, o los puntos del plano quecumplen ambas desigualdades simultáneamente.

EJEMPLO

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EJEMPLO:x y 52x y 2

EJEMPLO:4x y 20y 8x 2y 12

Solución

Está incluida

No está incluida

Grásfica1

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EJEMPLO:

4x 3y 12x 2y 6x y 5x 0y 0

TALLER COMPLEMENTARIO

Resolver las siguientes inecuaciones con dos incógnitas y representar graficamente:

a) 52 yx

b)3

12

32

xy

c) 0523 yx

d) 223 yx

e) 032 yx

f) yxx 13

g) yxx 21

h) yxx 342

i) yx 2

Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas y representar graficamente:

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a)

9333yxyx

b)

4283

xyyyx

c)

yx

yx1

02

d)

0124032023

yxyxyx

e)

0220

yxyxyx

f)

122204

8

yxyx

y

g)

00

5621234

yxyxyxyx

h)

30941232

00

yxyx

yx

i)1 x 2 3x3 x 2 5x

j)

x 1 x 3 x3 2

4x 2 x 1 x4 3

k)

x 0y 0y xx 2y 12

l)

x 0y 0y 2 xy x 1

m)x 3y 2 02x y 3 0x 4y 12 0

n)x yx y 02x y 2 0

o)2 x 2

y 4x y 1 0

px 3y 2 02x y 3 0x 2y 4 0

q)x 2y 3 0x 2y 3 0

3x y 3 0

r)x 2y 7 02x 3y 02x y 4 0

Construir la gráfica y hallar el área de solución para los siguientes casos.

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1522 XXYXY

122 XXY32 XY

322 XXY6+-2XY

122 XXY23 XY

XXY 72 75 2 XY

MAXIMIZAR Y MINIMIZAR

Algunas veces se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones (o condiciones). Porejemplo, un fabricante puede querer maximizar una función de utilidad sujeta a las restricciones de producciónimpuestas por las limitantes sobre el uso de la maquinaria y la mano de obra.

Para resolver un problema cuando la función que será maximizada o minimizada es lineal; para e valuar setoma una función lineal en X y Y, y tiene la forma: Z = aX + bY; donde a y b son constantes.

Además de la función lineal también son necesarias las restricciones que está dado por sistema dedesigualdades lineales o ecuaciones lineales en X y Y. La función a ser maximizada o minimizada es llamadafunción objetivo.

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Un problema de programación lineal en dos variables se puede representar y resolver gráficamente. Acontinuación se ilustrará la naturaleza general de los problemas de programación lineal.

Un problema del tipo mencionado tiene dos clases de expresiones:

1) Una función lineal por maximizar o minimizar llamada función objetivo.2) Un conjunto de desigualdades lineales que deben satisfacerse simultáneamente llamadas restricciones

estructurales.

El procedimiento para resolver un problema de programación lineal es el siguiente:

1. Encontrar una expresión para la función objetivo que se va a maximizar o a minimizar.2. Hacer una lista de todas las restricciones (desigualdades).3. Graficar las restricciones para encontrar el polígono de soluciones.4. Comparar las pendientes de la función objetivo con las de las restricciones. Si el pendiente de la función

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objetivo es distinta a las de las restricciones, la solución es única, en caso contrario hay muchassoluciones.

5. Encontrar los vértices del polígono formado por las restricciones6. Determinar el valor de la función objetivo en cada vértice.

EJEMPLO. Una empresa productora de alimentos para animales necesita proporcionar como parte integrantede su producto tres vitaminas diferentes con requisitos mínimos que debe cumplir. Las vitaminas se puedenobtener en diferentes cantidades de la materia prima A, que cuesta $ 9.00 el Kg. Igualmente se puedenobtener de la materia prima B, que cuesta $ 7.00 el Kg. Ahora bien, la materia prima A contiene 15 unidadesde la vitamina 1, 20 unidades de la vitamina 2 y 15 unidades de la vitamina 3. La materia prima B contiene 10unidades de la vitamina 1, 5 unidades de la vitamina 2 y 25 unidades de la vitamina 3. Las necesidadesmínimas que debe cumplir el producto terminado son 60 unidades de la vitamina 1, 40 unidades de la vitamina2 y 75 unidades de la vitamina 3.

Si se desea determinar la combinación ideal de materias primas para minimizar los costos de producción,determine lo siguiente:

1. El planteamiento algebraico de las restricciones.2. La ecuación del costo de producción que se trata de minimizar.3. El nivel óptimo de utilización de las materias primas A y B.4. El costo mínimo posible, utilizando la combinación óptima de las materias primas.

Solución

Como primer paso, organicemos la información en una tabla.

Materia PrimaA B Necesidades mínimas

Vitamina 1 15 10 60

Vitamina 2 20 5 40

Vitamina 3 15 25 75

Costos por Kg. $9.00 $7.00 Costo $?

Ahora asignamos nombres a las variables controlables.

Representemos por X la cantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A y por Y lacantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A

El segundo paso consiste en plantear las restricciones que en este caso sí aceptan un exceso pero nunca unadeficiencia en las vitaminas. Lo haremos de la siguiente forma.

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Como cada kg de la materia prima contiene 15 unidades de la vitamina 1 y cada kg de la materia prima Bcontiene 10 unidades de la vitamina1, entonces 15X + 10Y representa el total de vitamina 1 que contendrá elproducto terminado, y puesto que el producto terminado debe de contener un mínimo de 60 unidades de lavitamina 1 entonces una desigualdad que debe de satisfacerse es: 15 10 60x y

Continuando así tenemos las siguientes restricciones:

Vitamina 1 15 10 60x y



Donde los valores de X y Y deben ser positivos o igual a cero, es decir,

0x y 0y

Ahora puesto que cada kg de la materia prima A cuesta $9.00 y el de B $7.00 entonces el costo del productoterminado es 9X + 7Y. y así tenemos que la función objetivo a minimizar es:

C = 9X + 7Y

El paso siguiente es encontrar la solución grafica de las desigualdades. Para esto, se despeja el valor de y encada desigualdad.

362

y x Pendiente = -3/2

8 4y x Pendiente = -4

335

y x Pendiente = -3/5.

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Obsérvese que la pendiente de la funciónobjetivo, que es -9/7 es distinta a la pendientede todas las restricciones, lo que nos indica quela solución es única.

A continuación se muestra la gráfica de lasrestricciones, o sea, el polígono de soluciones.Puesto que hay una única solución, ésta dadapor uno de los vértices del polígono desoluciones. Así, el siguiente paso es encontrarlos vértices del polígono de soluciones. Dos deellos son obvios, y estos son los puntos (0, 8) y(5, 0). Los otros son las intersecciones entre lasrectas.

(1) Y = 8- 4X, y, Y = 6- (3/2)X, y(2) Y = 6 – (3/2)X, con Y = 3 – (3/5)X.

Resolviendo los dos sistemas de ecuaciones, encontramos que la intersección entre las rectas (1) es el punto(4/5, 24/5) y el de (2) es el punto (30/9, 1).

Así los vértices del polígono de soluciones son: (0, 8), (5, 0), (4/5, 24/5) y (30/9, 1). Para encontrar la soluciónóptima reemplazamos estos puntos en la función objetivo C = 9X + 7Y.

Para (0, 8), C = 9(0) + 7(8) = 56Para (5, 0), C = 9(5) + 7(0) = 45Para (4/5, 24/5), C = 9(4/5) + 7(24/5) = 40.8Para (30/9, 1), C = 9(30/9) + 7(1) = 37

De esta manera encontramos que el costo mínimo es $37.00 y se obtiene con la siguiente proporción:

Materia prima A = 30/9 = 3.3 Kg.Materia prima B = 1 Kg.

EJEMPLO. El alimento para un animal ha de ser una mezcla de dos productos alimenticios, cada unidad de loscuales contiene proteína, grasas, y carbohidratos en el número de gramos que se da en el cuadrosiguiente:

MATEMATICAS 2

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Producto alimenticio1 2

Proteínas 10 5

Grasas 0.1 0.9

Carbohidratos 10 30

Cada bolsa de la mezcla resultante tiene que contener cuando menos 40 gramos de proteínas, 1.8 gramos degrasas, y 120 gramos de carbohidratos. Suponiendo que cada unidad del producto alimenticio 1 cueste 60centavos y que cada unidad del producto alimenticio 2 cueste 40 centavos, ¿cuál es la mezcla óptima?

Solución

Como cada unidad del producto alimenticio 1 contiene 10 gramos de proteínas y cada unidad del producto 2contiene 5 gramos de proteínas, y como cada bolsa de la mezcla debe contener al menos 40 gramos deproteínas, una desigualdad que debe satisfacerse es

10 5 40x y

Dónde: X representa el número de unidades del producto alimenticio 1 y Y el número de unidades del productoalimenticio 2 en la mezcla. Análogamente, las otras desigualdades relevantes son

0.1 0.9 1.8x y 10 30 120x y

También tenemos como en el ejemplo anterior, la limitación de la no negatividad

0x 0y

Puesto que cada unidad del producto 1 cuesta 60 centavos y cada unidad del producto 2 cuesta 40 centavosentonces la función objetivo a minimizar está definida por

C = 0.6X + 0.4Y

El siguiente paso es graficar las desigualdades

MATEMATICAS 2

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La grafica muestra el polígono de soluciones.Puesto que las pendientes de las restricciones(-2, -1/9, -1/3) son distintas a la de la funciónobjetivo la solución es única y está dada poruno de los vértices del polígono de soluciones.Dos de los vértices son los puntos deintersección con los ejes coordenados (0, 8) y(18, 0) y los otros están dados por laintersección de los siguientes pares de rectas

(1) Y = 2-(1/9)X , y, Y = 4 – (1/3)X(2) Y = 4 – (1/3)X, y , Y = 8 – 2X

La solución de (1) es el punto (9, 1) y el de (2) (2.4, 3.2). Para encontrar la mínima reemplazamos estospuntos en la función objetivo

(0, 8), C = 0.6(0) - 0.4(8) = 3.2(2.4, 3.2), C = 0.6(2.4) + 0.4(3.2) = 2.72(9, 1), C = 0.6(9) + 0.4(1) = 5.8

Así encontramos que la solución óptima es 2.4 Kg. del producto 1 y 3.2 Kg. del producto 2 y el menor de loscostos es de $2.72.

EJEMPLO. Una dulcería tiene 75 libras de nueces y 120 libras de cacahuates que se van a empacarmezclados en paquetes de 1 libra en la siguiente forma: una mezcla que contiene 4 onzas de nueces y 12onzas de cacahuates y otra mezcla que contiene 8 onzas de nueces y 8 onzas de cacahuates. En la primeramezcla se obtiene una ganancia de $ 0.25 por paquete y en la segunda se logra una ganancia de $ 0.45 porpaquete. ¿Cuántos paquetes de cada mezcla se deben hacer para obtener la ganancia máxima?

Primero observamos que hay dos variables. Sean

X =número de paquetes de la primera mezclaY = número de paquetes de la segunda mezcla

La ganancia Z está dada por la función lineal Z = ($0.25)X + ($0.45)

Las restricciones sobre X y Y son

X ≥ 0,Y ≥ 0

MATEMATICAS 2

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Dónde: X y Y, representan el número de paquetes y no tiene sentido que estas cantidades sean negativas.También existe un límite para el número de libras de nueces y cacahuates disponibles: el número total delibras de nueces no puede exceder a 75 libras (1200 onzas) y el número de libras de cacahuates no puede ex-ceder a 120 libras (1920 onzas). Esto significa que

4X + 8Y ≥ 120012X + 8Y ≥ 1920

El problema de programación lineal consiste en maximizar la función objetivo (ganancia).

Z = $0.25X + $0.45Y (1)

Sujeta a las condiciones (2)

X + 2Y ≤ 3003X + 2Y ≤ 480X>0Y ≥ 0

Ahora sólo necesitamos resolver cada par de ecuaciones lineales de (2) para encontrar sus puntos deintersección, pues sabemos que, si existe solución, ésta debe localizarse en un vértice. Si hacemos estoencontramos que los vértices del conjunto formado por las soluciones factibles son:

A(0,0),B(0,150)C(160,0)D(90,105)

Vea en la figura 1 la gráfica del conjunto de lassoluciones factibles. Sólo queda probar cadauno de estos valores en la función ganancia(5.1). Entonces

P1 = ($0.25)(0) + ($0.45)(0) = 0

Es obvio que la ganancia $ 0.00 no es lamáxima. Ahora

P2 = ($0.25)(0) + ($0.45)(150) = $67.50P3 = ($0.25)(160) + ($0.45)(0) = $40.00P4 = ($0.25)(90) + ($0.45)(105) = $69.75

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Entonces se obtiene una ganancia máxima al hacer 90 paquetes de la primera mezcla y 105 de la segunda.La ganancia máxima obtenida en estas condiciones es $69.75.

EJEMPLO. Un fabricante de fertilizantes para pastos de jardín acaba de descubrir una nueva fórmula parafertilizantes. Su fórmula requiere un mínimo de 15 unidades de nitrógeno y 8 de fosfato, ambos obtenibles delas sustancias A y B. Las características y costos de dicha fórmula son los siguientes:

Número de unidades por kilogramo

Sustancia Nitrato Fosfato Costo/Kg.

A 4 1 $7.00

B 3 5 $5.00

Determine:

1. El planteamiento algebraico de las restricciones.2. La ecuación de costo.3. El proceso general para este tipo de problema.

Solución

Restricciones

PRODUCTO RESTRICCIONES DESPEJENitrato 4A+ 3B ≥ 15 B ≥ 5 – (4/5)A

Fosfato 1A + 5B ≥ 8 B ≥ (C/5) – (7/5)A

La función objetivo es: C = 7A + 5B

Las rectas y sus pendientes

Rectas Pendiente

B = 5 – (4/5)A -(4/5)

B =(8/5)-(1/5)A -(1/5)

B = (C/5) – (7/5)A -(7/5)

MATEMATICAS 2

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El polígono de soluciones, se obtienegraficando primero las rectas y después lasdesigualdades

Los vértice del polígono de soluciones son (0,5), (3, 1), y (8, 0). Los reemplazamos en lafunción objetivo, para obtener la solución.

(0, 5), C = 7(0) + 5(5) = 25(3, 1), C = 7(3) + 5(1) = 26(8, 0), C = 7(8) + 5 (0) = 56

El costo minino de la nueva fórmula de fertilizante es de $26.00 y se obtiene mezclando 3 unidades de fosfatoy 1 unidad de nitrato.

TALLER

1. Maximizar la función objetivo: Z = 4X + 6Y,sujeta a las restricciones siguientes:

0X 0Y

180Y2X 123Y2X

100YX

2. Maximizar la función objetivo Z = 3X + Y,sujeta a las restricciones siguientes:

8Y2X 1602YX

0X 0Y

3. Maximizar la función objetivo Z = 8X - 3Y,sujeta a las restricciones siguientes:

213YX- 5YX

0X 0Y

4. Minimizar la función objetivo Z = 4X + 3Y,sujeta a las restricciones siguientes:

1502Y3X 0022Y5X

082YX 0X 0Y

5. Maximizar la función objetivo Z = 4.1X + 3.2Y,sujeta a las restricciones siguientes:

X-8Y 0.2X-6Y 0.3X2Y

0X 0Y

6. Maximizar la función objetivo Z = 10X + 12Y,sujeta a las restricciones siguientes:

60YX 0YX

0X 0Y

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7. Maximizar la función objetivo Z = 5X + 6Y,sujeta a las restricciones siguientes:

80YX 2202Y3X 2103Y2X

0X 0Y

8. Minimizar la función objetivo Z = 2X + Y, sujetaa las restricciones siguientes:

3Y3X 63Y4X

22YX 0X 0Y


802YX 1602Y3X 2002Y5X

0X 0Y


102Y-2X 244Y3X 567Y8X

0X 0Y

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2. MATRICES

CONCEPTO DE MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números; que se compone de un determinado número de filas ycolumnas. Por ejemplo los elementos horizontales, o elementos de las filas, indican el número de semanas delconsumo de materias primas filas = semanas; en cambio los elementos verticales, o los elementos de lascolumnas, indican la cantidad consumida de materia prima por cada semana: columnas = materias primas.

Semanas.............

Primas-----Materias

Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante paraexpresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular ycombinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sinembargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una representación más clara y fácil de los datos.

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Tal representación de los datos se denomina matriz. Por ejemplo al representar los datos del consumo dematerias primas de una empresa en una tabla (una empresa que produce cerveza), se tiene:

Levadura Malta Agua1ª semana 8 4 122ª semana 10 6 53ª semana 7 8 54ª semana 11 7 9

Vamos a presentar estos datos de una forma más sencilla que se denomina matriz:

971158756101248

Además muchas de las relaciones en los negocios son proporcionales. Proporcional significa que los valoresde las componentes de una variable y, se corresponden con k-veces los valores de las componentes de otravariable x, donde y es la variable dependiente

Son muchas las circunstancias, que se puedan describir usando matrices: suma o resta de matrices,multiplicación escalar, multiplicación de dos matrices. También podemos aplicar estos cálculos dentro y fueradel área matemática y probar la validez de las reglas de cálculo.

¿Dónde está la conexión con la economía? Como vimos en los ejemplos de la introducción, las matricessirven para representar simples procesos de producción y flujos de producción.

Basándonos en el hecho de que la economía adquiere mucha importancia en la comprensión de losestudiantes en los procesos de producción simple y flujos de producción, y que los estudiantes ya hanadquirido un sentido sobre la industria.

Hoy día, el cálculo con matrices no es sólo importante en la economía, sino que alcanza también una granimportancia en las estadísticas, físicas y muchas otras áreas. La aplicación a los ordenadores contribuyepositivamente a esto.

ELEMENTOS NOTABLES DE UNA MATRIZ

Las matrices cuentan con 5 elemento nobles: Filas, Columnas, Diagonal Principal, Secundaria y la Traza.

Filas: Todos los elementos depuesto en forma horizontal. Columna: Todos los elementos situados en forma vertical. Diagonal principal: Todos los elementos que se encuentran partiendo de la esquina superior derecha

hasta la esquina inferior izquierda.

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Diagonal secundaria: Todos los elementos que se encuentran partiendo de la esquina superior izquierdahasta la esquina inferior derecha.

Traza: es la suma de los elementos que se encuentran en la diagonal principal.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Nula: Matriz en la que todos sus elementos son nulos.

= 0 0 00 0 00 0 0Matriz Rectangular: Matriz que tiene distinto número de fila que de columna.

128411731062951

A

Matriz Diagonal: Cuando solo los elementos de la diagonal principal no son nulos.

900050001

A

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, con la diferencia de que todos los elementos de la diagonal principalson iguales.

500050005

A

Matriz Unidad: Matriz diagonal escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

100010001

A

Matriz transpuesta: Matriz que se obtienen de intercambiar las filas por las columnas.

MATEMATICAS 2

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121110987654321

esAdeta transpuesla,

128411731062951

BA

Matriz simétrica: Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta. Aquítambién se cumple que si obtiene su transpuesta es la misma matriz original.

943471318

esAdeta transpuesla943471318

BA

Matriz Anti simétrica: Una matriz anti simétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a sunegativa y la diagonal principal es nula.

024202420

esAdeta transpuesla024202420

BA

Matriz Negativa u Opuesta: Matriz que se obtiene de intercambiar los signos de la matriz original.

121814111713101613121511

esAdeopuestamatrizla,

121814111713101613121511

BA

Matriz Triangular superior: Aquella matriz en la que los elementos por debajo de la diagonal principal sontodos nulos:

10001260161314

A

Matriz Triangular Inferior: Matriz donde sus elementos por encima de la diagonal principal son nulos

20141509120010

A

MATEMATICAS 2

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CÁLCULO DE MATRICES

Veamos un ejemplo:

En 4 semanas, las dos compañías, Hirter y Zipfer, necesitan las siguientes cantidades de materia prima delevadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME):

1ª semana:

Hirter: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME aguaZipfer: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua.

2ª semana:

Hirter: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME aguaZipfer: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua3ª semana:


4ª semana:


REPRESENTACIÓN:

Los datos se representan de manera sencilla.

Levadura malta agua1ª semana 8 4 12

Hirter 2ª semana 10 6 53ª semana 7 8 54ª semana 11 7 9

Resumiendo:

H =

971158756101248

MATEMATICAS 2

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Matriz de consumo de la compañía Hirter

Levadura malta agua1ª semana 6 3 12

Zipfer 2ª semana 9 5 43ª semana 7 0 54ª semana 11 6 5

Resumiendo:

Z=

56115074591236

Matriz de consumo de la compañía Zipfer.

Normalmente, el primer elemento (número de filas) se nombra antes que el segundo elemento (número decolumnas). Por ejemplo la intersección de la 3ª fila y la 2ª columna en la matriz H representa la cantidad demalta necesitada en la 3ª semana.

Este elemento se denota como: h32 = 8 De la matriz de Hirter H: índice de la fila = 3, índice de la columna = 2.

CONVENIOS

Los elementos de las matrices se escriben entre paréntesis. Los nombres de las matrices se escriben con mayúsculas, mientras que los elementos interiores se

escriben con letras minúsculas.

TAMAÑO DE UNA MATRIZ

El tamaño de una matriz, como un bloque, se define mediante el número de filas y el número de columnas. Eneste caso, la siguiente matriz tiene cuatro filas y tres columnas. La matriz es de 4x3.

Z=

56115074591236

Por tanto la matriz de Hirter H tiene 4 filas (semanas) y 3 columnas (materia prima).

MATEMATICAS 2

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Comparación de consumos:

La representación de las dos compañías en forma de matrices nos permite una comparación más fácil:

H =

971158756101248

Z=

56115074591236

Ahora los elementos pueden ser comparados directamente y fácilmente. Para conseguir más informaciónacerca de las dos compañías o compararlas, se requiere la suma y resta de matrices.

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON MATRICES:

Indicación: Estos tipos de sumas y restas, que se representan en el siguiente capítulo, son sólo factibles paramatrices de igual tamaño. Dos matrices se pueden sumar sólo cuando el número de filas y columnas de lasmatrices son iguales.

SUMA

¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana?

En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia primalevadura, lo que significa:8+6 =14 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4+3=7 ME malta, y para el agua: 12+12=24 ME agua.

Cuando las tablas están escritas en forma de array rectangulares de números, resulta más claro y rápidosumarlas.

Para sumar dos matrices del mismo tipo, por ejemplo las matrices de Hirter y Zipfer, simplemente se sumanlos elementos correspondientes.

971158756101248

+

56115074591236

=

4113221081491119

24714

RESTA

¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana?

MATEMATICAS 2

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En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia primalevadura, lo cual significa que la diferencia es de 2 ME: 8-6 =2 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4-3=1 ME malta, y para el agua: 12-12=0 ME agua.

Cuando las tablas están escritas en forma de array rectangular de números, resulta más claro y rápidorestarlas.

Para restar dos matrices del mismo tipo, por ejemplo las matrices de Hirter y Zipfer, simplemente se restan loselementos correspondientes.

971158756101248

-

56115074591236

=

410080111012

El resultado nos muestra que la compañía Zipfer nunca necesita más materia prima que la compañía Hirter. Lademanda de materia prima para ambas compañías es la misma para cuatro periodos. Por lo tanto el valor dela diferencia es 0. Podría también darse el caso de obtener resultados negativos. Esto significaría que lacompañía Zipfer necesita más materia prima que la compañía Hirter.

PRODUCTO ESCALAR

¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Hirter, suponiendo quenecesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Hirter?

Para multiplicar una matriz por un número real es necesario multiplicar cada elemento por este número.

Conseguiríamos el mismo resultado si nos refiriésemos al consumo en 5 meses, suponiendo que cada mestiene la misma cantidad de consumo.

5 *

971158756101248

=

453555254035253050602040

Tales suposiciones de consumo constante son muy frecuentes. Ahora es posible multiplicarlas porque sonsuposiciones proporcionales, esto quiere decir que se multiplican los resultados de forma lineal.

5 *

971158756101248

=

453555254035253050602040

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PRODUCTO DE DOS MATRICES

Ccccccc

babababababababababababa

bbbb

aaaaCBA

3231

2221

1211

2232123121321131

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

3231

2221

1211

....

........

.aa

.

Consideremos que la compañía H recibe materia prima de dos proveedores (HopAG y Malt y co). Ahora lapregunta sería cuál de los dos proveedores es mejor.

Teniendo en cuenta que los proveedores sólo pueden cambiar de una semana a otra.

Hop AG Malt y coLevadura 50 55Malta 136 127Agua 80 79

Esta tabla corresponde a la matriz de costos P, porque los elementos representan los costos de las tresmaterias primas para ambos proveedores.

P =7980

1271365550

H =

971158756101248

Z=

56115074591236

A simple vista no es posible detectar cuál de los proveedores es el más barato. Con un simple cálculoobtendremos un resultado preciso. De las suposiciones proporcionales obtenemos:

Costos de la compañía en Hop AG:

1ª semana: 8*50 +4*136 +12*80 =19042ª semana: 10*50 +6*136 + 5*80 =17163ª semana: 7*50 +8*136 + 5*80 =18384ª semana: 11*50 +7*136 + 9*80 =2222

Costos de la compañía en Malt y co.:

1ª semana: 8*55 +4*127 +12*79=18962ª semana 10*55 +6*127 + 5*79 =17073ª semana: 7*55 +8*127 + 5*79 =15424ª semana: 11*55 +7*127 + 9*79 =2205

Sumando, la tabla de costos resulta:

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Hop AG Malt y co1ª semana 1904 18962ª semana 1716 17073ª semana 1838 15424ª semana 2222 2205

Lógicamente la matriz con los elementos de coste de los proveedores se denomina matriz de coste K.

K =

22052222154218381707171618961904

Podemos reconocer la siguiente regla para los elementos de la matriz K:

k11 =1904= La primera fila de la matriz H (8, 4, 12) se multiplica por la primera columna de la matriz P (50, 136,80) para cada elemento, (esto significa 1er con 1er: 8*50, 2º con 2º : 4*136 y 3º con 3º número: 12*80) ysumarlos.

Este tipo de multiplicación se presenta muy a menudo. Veamos cómo se hace la multiplicación:

En nuestro ejemplo 50, 136, 80 y 55, 127, 79.

H*P =

971158756101248

*7980

1271365550

=

79*9127*755*1180*9136*750*1179*5127*855*780*5136*850*779*5127*655*1080*5136*650*1079*12127*455*880*12136*450*8

Recordemos que:

Este tipo de multiplicación, puede efectuarse sólo si el número de columnas de la primera matriz (en nuestroejemplo 3) y el número de filas de la segunda matriz (en nuestro ejemplo también 3) es el mismo.

La matriz resultante tendrá las siguientes dimensiones:(4x3 matriz) * (3x2 matriz) = 4 x 2 matriz

EJEMPLO:

971158756101248

*7980

1271365550

=

22052222154218381707171618961904

MATEMATICAS 2

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En este ejemplo observamos que las dos matrices sólo pueden ser multiplicadas en una dirección. Porque:(3x2 Matriz) * (4x3 Matriz) el número de columnas de la primera matriz no coincide con el número defilas de la segunda matriz!!!

TALLER.

1. En los siguientes casos realizar las operaciones indicadas

561041302

+

2119561432

2772

1247

4672

012716

967241

200112

4132

472041621313

6677

65

4321

0000

34712

26171762

6

5421

6296

3

9463

0211

MATEMATICAS 2

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993030309

31

1004260

042

310215

126

001321012

3100010001

2

2. Con las siguientes matrices calcular las operaciones indicadas:

3312

A ,3256

B ,3312

C ,0000

D

-B -(A – B) 2D A + B – C D(A + B) A + (C + 2D) 2B – 3A+ 2C 3C- 2B 2A-2(B+2C) 2A-3(B –C)

3. Para las matrices A, B y C anteriores verificar que:

3(A+B) = 3A+3B (2 + 3)A = 2A+ 3A 5(A + B + C) = 5A+5B+5C

4. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales

26

442

33

yx

yx

yx

27

42

3

MATEMATICAS 2

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142410

42

642

zyx

yxyx

312348

320

601

2302

5. Calcular las matrices dadas si:

612543

A ,214241

B ,662

311

C

4A+ 3B -2(A + B) – C 2(3C – A) + 2B A + B + C A – B – C

6. Teniendo en cuenta las matrices siguientes calcular:

340112231

A ,113242

320

B

A.B = Cc11, c32, c22, c23, c33, c13

7. Realizar las operaciones indicadas:

4103

.2342

4321

.424011

741

.541302

MATEMATICAS 2

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3210

.2601

211110012

.112200141

101000100102

.2100104123

213113402113

.321

015012

.41

8. Calcular las matrices requeridas si:

3021

A ,141032

B ,423011

C ,121110001

D ,300060003

E ,

3100

0610

0031

F ,

100010001

I

D.D3.A - 2.B.CB(D + E)E(2.D – 3.I)

2.I -21 E.F

D.I -31 E

MATEMATICAS 2

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9. Se ha tomado información de tres familias europeas F1, F2 y F3 y tienen los siguientes consumos de pan,carne y cereales:

F1: consume 160 kgr de pan, 200 Kgr de carne y 1,5 Kgr de mantequillaF2: consume 200 Kgr de pan, 230 Kgr de carne y 2 Kgr de mantequillaF3: consume 90 Kgr de pan, 150 Kgr de carne y 1,75 Kgr de mantequilla.

Los precios, en euros, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2009, 2010, 2011 y 2012 fueron:

2009: el pan costaba 1,92€, la carne 14,5€ y la mantequilla 19,0€2010: el pan costaba 2.04€, la carne 15,0€ y la mantequilla 20,0€2011: el pan costaba 2,16€, la carne 15,5€ y la mantequilla 21,0€2012: el pan costaba 2,28€, la carne 16,0€ y la mantequilla 22,0€

Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro productos.

10. Con las producciones diarias de queso de cada una de las fábricas; hallar los resultados quecorrespondan a las casillas que encuentran en vacías en cada una de las celdas correspondientes que sepresentan a continuación:

PRODUCCION DIARIA DE QUESOS EN UNA FABRICA1FABRICAS DE QUESO LUNES MARTES MIERCOLE JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO TOTALQUESO TIPO A 4.500 4.150 4.400 4.300 4.500 4.400 4.230QUESO TIPO B 4.300 4.100 4.250 4.170 4.450 4.350 4.340QUESO TIPO C 4.200 4.000 4.100 4.190 4.400 4.300 4.460QUESO TIPO D 4.250 4.250 4.150 4.240 4.350 4.050 4.150QUESO TIPO E 4.350 4.300 4.350 4.360 4.300 4.050 4.380QUESO TIPO F 4.450 4.350 4.300 4.480 4.250 4.100 4.205QUESO TIPO G 4.100 4.450 4.450 4.370 4.200 4.250 4.500QUESO TIPO H 4.150 4.500 4.360 4.490 4.050 4.350 4.450

TOTAL PRODUCCION

PRODUCCION DIARIA DE QUESOS EN UNA FABRICA 2FABRICAS DE QUESO LUNES MARTES MIERCOLE JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO TOTALQUESO TIPO A 3.400 3.250 3.300 3.400 3.400 3.300 3.330QUESO TIPO B 3.350 3.200 3.150 3.270 3.350 3.250 3.440QUESO TIPO C 3.250 3.130 3.000 3.290 3.500 3.200 3.360QUESO TIPO D 3.350 3.150 3.050 3.340 3.450 3.150 3.350QUESO TIPO E 3.305 3.200 3.250 3.460 3.400 3.050 3.480QUESO TIPO F 3.340 3.250 3.200 3.380 3.350 3.150 3.305QUESO TIPO G 3.150 3.350 3.350 3.270 3.100 3.350 3.500QUESO TIPO H 3.100 3.400 3.260 3.390 3.150 3.450 3.450

TOTAL PRODUCCION

MATEMATICAS 2

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SUMA DE LA PRODUCCION DIARIA DE LAS FABRICA1 + FABRICA2FABRICAS DE QUESO LUNES MARTES MIERCOLE JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO TOTALQUESO TIPO AQUESO TIPO BQUESO TIPO CQUESO TIPO DQUESO TIPO EQUESO TIPO FQUESO TIPO GQUESO TIPO H

TOTAL PRODUCCION

DIFERENCIA DE LA PRODUCCION DIARIA ENTRE LA FABRICA 1 - FABRICA 2FABRICAS DE QUESO LUNES MARTES MIERCOLE JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO TOTAL

QUESO TIPO AQUESO TIPO BQUESO TIPO CQUESO TIPO DQUESO TIPO EQUESO TIPO FQUESO TIPO GQUESO TIPO H

TOTAL PRODUCCION

DIFERENCIA DE LA PRODUCCION DIARIA ENTRE LA FABRICA 2 - FABRICA 1FABRICAS DE QUESO LUNES MARTES MIERCOLE JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO TOTAL

QUESO TIPO AQUESO TIPO BQUESO TIPO CQUESO TIPO DQUESO TIPO EQUESO TIPO FQUESO TIPO GQUESO TIPO H

TOTAL PRODUCCION

MATEMATICAS 2

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3. DIFERENCIACION

CONCEPTO

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, setrata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de unafunción y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registraalteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un ciertopunto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemosestablecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés IsaacNewton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.

Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poderllevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por EJEMPLO, Newton descubrió algoritmos, procedió aacometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de lastangentes.

Para la gramática, un vocablo derivado es aquel que se forma a través de una derivación. Este es un procedimientode formación de palabras a partir de la indicación de conceptos vinculados de manera semántica con otros a los cualesse le agregan afijos. Por EJEMPLO: mensajería y mensajero son dos vocablos derivados de la palabra mensaje. En elmismo sentido, marítimo, marino, marea, marinero, marejada y maremoto son vocablos derivados de mar.

En este sentido, podemos establecer por tanto que existen dos tipos de palabras en líneas generales. Así, por un ladoestán las llamadas primitivas, que son aquellas que no proceden de ninguna otra, y por otro lado nos topamos con las

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derivadas que, como su propio nombre indica, son las que se forman a partir de otras añadiéndoles prefijos o sufijos dediversa índole.

A nivel químico, un derivado es un producto que se consigue a través de otro. Así puede decirse que la melaza es unproducto líquido derivado de la caña de azúcar, o que la gasolina es una mezcla de hidrocarburos que deriva delpetróleo.

En las finanzas, por otra parte, un instrumento derivado (también conocido como derivado financiero) es un productode tipo financiero que tiene un valor basado en el precio de un recurso diferente (denominado como activo subyacente).

DERIVADA DE UNA POTENCIA, SUMA Y RESTA (REPASO)

1. Derivada de una potencia real

Una función potencial con exponente real se representa por f(x)= xn y su derivada es:

ƒ΄(x) =nxn-1

Por ejemplo tomemos la función:

f(x) = x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable conrespecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo,así:

ƒ΄(x) =3x3-1

Quedando finalmente:

ƒ΄(x) =3x2

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a ƒ΄(x)=n(cx(n-1)) de lasiguiente manera:

Consideremos la siguiente función: f(x) =8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por lavariable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma maneraexplicada anteriormente:

ƒ΄(x) =4(8x4-1)

Para obtener

ƒ΄(x) =32x3

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Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de laconstante:

f(x) = 7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

ƒ΄(x) =7

Puesto que X0 = 1

1. f(x).= 3X2 - 5X + 7

2. f(x).=71 X 7 - X

3. f(x).= 5X4 - 7X3 + X - 1

4. f(x).=31 X3 -

21 X2 + X + 1

5. f(x).=52 X4 -

25 X-3

6. f(x).= 3X 21

- 31

X7. f(x).= 2 XXX 74 3

8. f(x).= 232

125 XXXX

DERIVADA DE UN PRODUCTO

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera funciónsin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por lasegunda función" y matemáticamente expresado por la relación (f.g)΄ = f΄.g + f.g΄. Consideremos la siguientefunción como ejemplo:

)23)(24(h(x) 7 xx

Identificamos a )24(f(x) x y )23(g(x) 7 x , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemosque:

f΄(x) =4 y que g΄(x) = 21X6

Por lo tanto: )21)(24()23.(4(x)h' 67 xxx

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

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8421284(x)h' 677 xxx

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

84296(x)h' 67 xx

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable,podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir(f.g.h)΄= (f.p)΄, en donde p= (g.h)΄, sin importar que dos funciones escogemos).

TALLER

1. h(x). = 3X2(8X2 - 10X)2. h(x). = (X - 1)(X + 1)3. h(x). = (X - 2)(X2 + 2X + 4)4. h(x). = (3X2 + 5)(3X2 - 5)5. h(x). = )58)(3( 2 XX6. h(x). = (5X3 + 7)(1 - X2)

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

2

'

g(x)(x)'f(x)g-(x)g(x)'f

g(x)f(x)

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

2

'

g'gf-g'f

gf

Es decir: "La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por laderivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sinderivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta yel orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguientefunción:

2x13x)(h

x

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Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este casoes g(x)=2x y se multiplique por la derivada del numerador que sería ƒ΄(x) =3; luego la segunda parte dice quetomemos la función del numerador f(x) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) =2x que seríag΄(x) =2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

2(2x)1)(2)(3x-(3)(2x))('h

x

Ahora todo es cuestión de simplificar:

222 21

21

4x2-6x-6x)('h

xxx

TALLER

Hallar la derivada de los siguientes cocientes:

1.XXxh 1)(

2.13

)(2

XXxh

3.69

3)( 3 XXxh

4.XXxh 3)(

5.99)(

XXxh

6.3

3)(

XXxh

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4. INTEGRACIÓN

CONCEPTO

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivocuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integrales una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso deintegración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmentepara el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibnize Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental delcálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.

Las propiedades más importantes de la integración son las siguientes:

1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales dedichas funciones. O sea,

MATEMATICAS 2

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dxxgdxxfdxxgxf

dxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

)()()()(

2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral dedicha función. O sea,

.)()( dxxfKdxxfK

3) Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la constante de integración.

cxkdxkdxk

4) Regla de las potencias para integrales indefinidas.

Dónde: el exponente n es un número racional y n -1

INTEGRALES DE POTENCIAS INDEFINIDAS

EJEMPLO: Calcular la integral indefinida dx2543 35 xxx y realizar la comprobación.

Solución:

Paso 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de lasintegrales, esto es:

dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535

Paso 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, comose muestra a continuación:

dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535

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Paso 3: Se integra cada una de éstas.

4

311

2133

1155

22

11155

13144

15133

cxdx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

Paso 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .

cxxxxdxxxx 225

44

632543 24635

Paso 5: Finalmente se simplifica el resultado en caso de que sea posible.

cxxxxdxxxx 225

212543 24635

Po último, para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

02)2(2546

212

25

21 35246

xxxcxxxx

dxd

Simplificando se obtiene:

2543225

21 35246

xxxcxxxx

dxd

EJEMPLO: Calcular las integrales indefinidas:

cxdxx 5

54

cxdxx 323

cxcxdxxdxx

7

766

74

7444

cxcxdxx

4133

45

13155

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cxx

x

cxxx

cxxxdxxx

x

32

5

23

25

23

25

34

34

25

53

34

25

53

23

22

55

3253

TALLER

Hallar las integrales indefinidas utilizando su forma general de integrar: cnXdxXn

n

1

1

Analiza con atención cada una de las siguientes expresiones y calcula las integrales aplicando el método deintegración respectivo y realiza la comprobación para:

1) dxX 4

2) dxX 83

3) dxX 1210

4) dxX 5

5) dxX 64

6) dxX 915

7) dxx2 3

8) dxx 23

9) dxXX )36( 2

10) dxXXX )36( 234

11) dxXXXX )3612( 234

12) ( 100X - 4X + 6)dx

13) (8 – 12X)dx

14) (3X2 – 10X + 1)dx

15) (5X2 – 8X +21 )dx

16) (3X2 - 5X + 7)dx

17) dxxx 96 24

18) dxxx 304 23

19) dxxxx 4839 23

20)

dxxxx 8

562 23

21)

dxxx

23

41

32 2

22) dxxx 123

23) dxxx 231

24) dxXXXX )15361216( 234

25) (71 X 7 -X)dx

26) (5X4 - 7X3 + X - 1)dx

27) (31 X3 -

21 X2 + X + 1)dx

28) (52 X4 -

25 X-3)dx

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29) (X-3 + 3

7X

)dx

30) ( 35

3

34 XX )dx

31) ( 1020

20 2

2 X

X)dx

32) ( 342

23 XXX

)dx

33) ( 5432

125 XXXX )dx

34) ( )312 XX

dx

35)

11

32

XX dx

36) )185( 21

XX dx

37) dxXXX

)246( 232

38) dxXXX

)523( 232

39) dxXXX )432( 3

40) dxX )1(

41) dxXX )1( 3

42) (2 XXX 74 3 )dx

43) (3 XXX 1843 )dx

44) ( )2XX dx

45) 3X2(8X2 - 10X)dx

46) (X - 1)(X + 1)dx

47) (X - 2)(X2 + 2X + 4)dx

48) )58)(3( 2 XX dx

49) (5X3 + 7) * (1 - X2)dx

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en sustituir la variable “X” por una nueva variable; veamos el siguiente:

Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

EJEMPLO: Evalúa la siguiente integral: dxxx 42

Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es

dxxdu 2

Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

2

du4 21

2 udxxx

MATEMATICAS 2

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Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxx2

du .

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es,21 se escribe fuera de la integral por ser una

constante.

2

du4 21

2 udxxx

Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cuduu1

212

121

121

21

cucucu

23

232

3

31

62

232

1

Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 23

22 4314

Por lo tanto: cx 32 4

31

EJEMPLO: Evaluaremos la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.

dxxx 1243

Paso 1: Se toma como 124 xu , entonces la derivada de u es dxxdu )04( 3 , recuerda que laderivada de una constante es cero.

Paso 2: Observa que en la integral están x3 y dx y al realizar el cambio de variable dxxdu 4 3 , queda de lasiguiente forma:

dxxdu 3

4

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Paso 3: Se sustituyen los valores de u y du en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de variable.

4

12 21

43 duudxxx

Paso 4: Cómo41 es una constante, se aplican las propiedades de la integral y se coloca fuera de dicha

integral este valor, esto es:

duuduu 21

21

41

4

Paso 5: Se realiza la integral.

cucucudxxx

232

3121

43

122

234

11

214

112

Paso 6: Se sustituye el valor que se tomó como 124 xu y se obtiene el resultado de dicha integral, estoes:

cx

cxdxxx

34

23

443

1261

126112

TALLER

Ejercita tus conocimientos y aplica este método de sustitución en las siguientes integrales.

1) dxxx 23 2 =

2) dxxx 432 5

3) dxx 693

4) dxx 51

5) dxxx 21

6) dxxx 123

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INTEGRAL DEFINIDA

El considerable progreso habido en la ciencia y en la técnica durante los últimos cien años procede, en granparte, del desarrollo de las matemáticas. La rama de las matemáticas conocida por Cálculo integral ydiferencial es un instrumento poderoso para resolver problemas que surgen en la Física, Astronomía,Ingeniería, Química, Geología, etc...

El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinadoras yatrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante siglos. Estas ideas están relacionadas convelocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, etc.

Esta disciplina surgió de la necesidad de una herramienta que permitiera abordar los problemas quepreocupara a la ciencia en el siglo XVII, y que podemos englobar en dos grandes grupos:

El primer grupo incluye problemas físicos, en especial los relacionados con el cálculo de velocidades enun movimiento, junto a problemas geométricos de determinación de tangentes, máximos y mínimos, etc.Este conjunto de problemas condujo a una rama del Cálculo que recibe el nombre de Cálculo diferencial.

El segundo grupo abarca una serie de problemas físicos asociados al cálculo del espacio recorrido en unmovimiento, así como problemas geométricos de obtención del área de una figura curvilínea. Esteconjunto de problemas llevó a otra rama del Cálculo llamada Cálculo integral.

El origen del Cálculo integral se remonta a más de 2000 años, cuando los griegos intentaban resolver elproblema del área ideando el procedimiento que llamaron método de exhaución.

Las ideas fundamentales de este método son: dada una región cuya área quiere determinarse, se inscribe enella una región poligonal que se aproxime a la dada y cuya área sea fácil de calcular. Luego se elige otraregión poligonal que de una aproximación mejor, y se continúa el proceso tomando polígonos con mayornúmero de lados cada vez tendiendo a llenar la región dada.

Este método fue usado por Arquímedes (287 a.C.-212 a.C.), para hallar fórmulas exactas del área del círculoy de algunas otras figuras como la del segmento parabólico.

MATEMATICAS 2

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Desde Arquímedes el desarrollo del método de exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso desímbolos y técnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemáticos. Un cambio lento en el desarrollode las notaciones matemáticas comenzó en el siglo XVI. El sistema de numeración romano fue desplazadopor los caracteres arábigos utilizados hoy día; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y seempezaron a reconocer las ventajas del sistema decimal. Durante este periodo los matemáticos Tartaglia,Cardano y Ferrari obtuvieron resultados brillantes y dieron solución algebraica a las ecuaciones cúbica ycuártica. Esto estimuló el desarrollo de las matemáticas y animó a la aceptación del lenguaje algebraico. Conla introducción de los símbolos algebraicos revivió el interés por el antiguo método de exhaución, y en lossiglos XVI y XVII algunos matemáticos como Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal, Walis y Barrowobtuvieron resultados parciales. Estudiaron la determinación de tangentes a una curva, los problemas demáximos y mínimos, la determinación de cuadraturas y centros de gravedad, longitudes de curvas, volúmenesde revolución, etc.

Barrow, profesor de Newton, fue el primero que se dio cuenta de que el problema de la tangente y elproblema del área eran inversos.Gradualmente el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como Cálculo Integral.Éste recibió su mayor impulso en el siglo XVII debido sobre todo a los esfuerzos de Newton y Leibnitz.

Newton reunió en su obra Methodos fluxionum et serierum infinitorum sus contribuciones al cálculo, y aunqueeste tratado era conocido en ambientes científicos, no se publicó hasta diez años después de su muerte. Suobra fundamental fue Philosophiae naturalis principia mathemática publicada en 1687. Esta obra constituyeuno de los hitos fundamentales de la historia de la ciencia y, en ella, se establecen los conceptos de masa,fuerza y cantidad de movimiento, además de los tres axiomas de movimiento y una ley de gravitaciónuniversal.

Al contrario de Newton, Leibnitz se apresuró a difundir en la revista Acta Eruditorum en 1684 su versión de losprincipios fundamentales del cálculo. Inmediatamente después de esta publicación, fue acusado de plagio ycomenzó una agria polémica, entre los matemáticos del continente europeo y los ingleses, sobre la primacíade los descubrimientos que duró varias décadas y que perjudicaron en gran medida al avance del cálculo. Hoyen día se atribuye la paternidad del cálculo a ambos científicos, se considera que el cálculo de Newton esmucho más profundo que el de Leibnitz, mientras que las notaciones utilizadas por Leibnitz son mucho másclaras que las de Newton.

En el siglo XVIII, Euler publica su obra Introducción al análisis infinitesimal, que fue decisiva para lafundamentación posterior de esta parte de las matemáticas. En ella Euler introduce la idea de función y fue elprimero en utilizar el símbolo y=f(x) para denotar una función.

El Cálculo integral tuvo un desarrollo continuo durante los siglos XVIII y XIX hasta que Cauchy y Riemann ledieron una base matemática firme.

Cauchy que había formulado de forma satisfactoria el concepto de límite de una función, de función continua yde derivada, prescinde del proceso inverso de la diferenciación para definir la integral. Lo consiguedemostrando la relación entre integral y primitiva (antiderivada) al generalizar el teorema del valor medio deLagrange. Después define la integral definida como límite de una suma. La obra fundamental de Cauchy fueCours D´Analyse de L´Ecole Royale Polytechnique publicada en 1821, que contiene el Cálculo infinitesimalcimentado en el concepto de límite.

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Riemann definió las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable, de aquí que seconozca con el nombre de integral de Riemann el concepto de integral definida.

Más adelante, hacia la segunda mitad del siglo XIX, surgió una profunda crisis acerca de los fundamentos delCálculo. Los poderosos métodos de cálculo que se habían desarrollado hasta ese momento pasaron a servistos con grandes reservas. Se inició entonces una ardua tarea de sistematización del Cálculo. Este procesofue llevado a cabo entre otros por Weierstrass, Markov, Liapunov, Poincaré, Klein y Hilbert.

A finales del siglo XIX comenzó a desarrollarse, de la mano de Jordan y Borel entre otros, una teoría nueva,la Teoría de la Medida, y en ella se inspiraría Lebesgue para crear su revolucionaria integral, que fueconsiderada como la versión definitiva de la vieja idea. El mismo Lebesgue aplicaría su integral a las series defunciones trigonométricas o series de Fourier.

A continuación tenéis una presentación en la que se explica el concepto de integral definida, sus propiedades,teoremas y aplicaciones al cálculo de áreas

PROCESO DE UNA INTEGRAL DEFINIDA

El problema planteado es hallar el área de la región que encierra la curva del gráfico con la recta horizontal.

Una idea sencilla consiste en dividir la región en rectángulos verticales y de esta forma de (llenar) la regióncon numerosos rectángulos.

De esta manera el área de la región se puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las áreas den rectángulos, tomando todos con la misma base ∆x.

Teniendo en cuenta que el área de cada rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, tenemosque el área de cada rectángulo será la base ∆x por su altura respectiva f(xi ).

A la suma de las áreas de los rectángulos será el área total que en cálculo se les llama sumas de Riemann.

A B

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EJEMPLO

Hallar el área limitada por y = 4 – x2 y el eje OX.

Solución: La función y = 4 – x2, corta al eje OX en ±2

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EJEMPLO

Hallar el área limitada por y = x2, para x = -2, x = 2 y el eje OX.

Solución: La función y = x corta al eje Ox en 0.

EJEMPLO

Para determinar el área de un recinto limitado por una función y = f(x) y el eje OX entre los puntos a y bnecesitamos saber si la función cambia de signo, hallando los cortes con el eje OX.

Después, se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo tomando sus valores en valorabsoluto.

El área pedido será la suma de todas las áreas de cada uno de los recintos.

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EJEMPLO

Hallar el área limitada por las graficas de las funciones f(x) = x2 y g(x) =√Solución: Hallamos la intersección de ambas

EJEMPLO

Para determinar el área de un recinto limitado por dos funciones f(x) y g(x) entre los puntos a y b necesitamossaber los puntos de corte entre ellas.

Solución. Se hallan las integrales definidas por separado en valor absoluto y se suman todas las áreas.

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TALLER

Hallar el área delimitada por la curva y = X3- 6X2+ 8X y el eje OX.

Hallar el área del recinto limitado por los gráficos de las funciones y = X2 + X con y = X + 2.

Hallar el área del recinto limitado por los gráficos de las funciones e f(x) = X4- 2X2 + 1 con g(x) = -X2+ 1.

Dada la curva y = X2 + 2X + 2, halla el área limitada por la curva, la recta y = 2

Calcula el área de la región comprendida entre las funciones y = 2 – X2 con y = X.

Hallar el área limitada por y = -X2 +4X+5 con la recta y = 5.

Hallar el área limitada por y = X2- 2X con la recta y = X.

Según los casos resueltos con anterioridad se puede simplificar de la forma siguiente:

33312A

33b

a

3b

a

122 abXXdxX

b

a

Ahora si el valor de a fuese de 2 y el valor de b igual 3; se tendrá el siguiente:

33A

3

-323

=3

27 -38 =

319

319A

A = 6,33 unidades cuadradas

TALLER

Hallar las áreas de las regiones comprendida entre la curva de la función y el eje horizontal; para lossiguientes casos:

1. 1

04 Xdx

2.

2

1

2dxX

3. 5

0

3 dxX

4. 2

0

3 dxX

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5.

2

2

3 dxX

6.

1

2

2 )1( dxX

7.

4

1

2 )( dxXX

8.

2

1

2 )1( dxX

9.

4

0

2 )4( dxXX

10.

1

0

2 )( dxXX

11.

2

1

2 )( dxXX

12.

1

1

42 )( dxXX

13.

3

1

2 )( dxXX

14.

1

1

22 )1( dxX

15.

2

1

2 )1( dxX

16.

1

0

2 )( dxXX

17.

2

0

2 )2( dxXX

18.

4

1

2 )43( dxXX

19.

1

2

2 )2( dxXX

20.

2

0

2 )2( dxXX

MATEMATICAS II PARA PRINCIPIANTES22014

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