TUGAS KELOMPOK TENTANG MANOVA

ANALISIS DATA MULTIVARIAT I

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Data Multivariat I

Semester 5 Tahun Ajaran 2014/2015

Disusun Oleh :

Nisrina Fatin Hanifah 140610120003

Siti Jubaedah 140610120006

Yudi Aristanto 140610120033

Kelas A

Dosen: Titi Purwandari, Dra., MS

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJAJARAN

2014/2015

1

1. ANOVA

Analysis of Variance (Anova) digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih populasi.

Rata-rata populasi tersebut apakah sama atau tidak sama. Konsep dasar ANOVA dikemukakan

oleh R.A. Fisher. Prinsip pengujiannya adalah menganalisis variabilitas atau keragaman data

menjadi dua sumber variasi, yaitu variasi dalam kelompok (within) dan variasi antar kelompok

(between). Bila variasi within dan between sama maka rata-rata yang dihasilkan tidak ada

perbedaan, sebaliknya bila hasil perbandingan kedua varian tersebut menghasilkan nilai lebih

dari 1, maka rata-rata yang dibandingkan menunjukkan adanya perbedaan.

Beberapa asumsi dasar yang mesti dipenuhi pada uji ANOVA adalah:

(a) Data sampel yang digunakan berdistribusi normal atau dianggap normal,

(b) Populasi tersebut memiliki varian yang homogen,

(c) Sampel tidak berhubungan satu dengan lain (independen).

Adapun langkah-langkah pengunjian ANOVA adalah sebagai berikut:

1. Tentukan banyaknya k (populasi/perlakuan) dan n (banyak sampel yang diambil.

2. Hitung Jumlah Kuadrat antar kelompok (between) dan jumlah kuadrat dalam kelompok

(within), masing-masing dengan menggunakan rumus dibawah ini:

Jumlah kuadrat antar kelompok: SSH= .2

..2

=1

Jumlah kuadrat dalam kelompok: SSE= 2

.2

3. Hitung rata-rata jumlah kuadrat

MSH=

(1)

MSE=

1

4. Hitung nilai F=

5. Bandingkan dengan nilai F,k-1,k(n-1). Jika nilai F> F,k-1,k(n-1) maka Ho ditolak.

2

Umumnya, hasil perhitungan analisis ANOVA disajikan dalam bentuk tabel yang disebut Tabel

ANOVA.

Sumber Variasi dk SS MS F

Antar Kelompok k-1 SSH= .2

..2

=1 MSH=

(1) F=

Dalam Kelompok k(n-1) SSE=

2 .

2

MSE=

1

Total kn-1 SSH+SSE

Contoh kasus:

Diduga bahwa pendapatan kepala keluarga sebulan untuk tingkatan golongan masyarakat

(nelayan, petani garam, penjual kelontong) rata-ratanya berbeda. Untuk itu dilakukan penelitian

dengan mengambil 9 kepala keluarga dari masing-masing tingkatan golongan masyarakat. Ujilah

dengan menggunakan ANOVA apakah dugaan tersebut benar?

Nelayan Petani Pedagang

Kelontong

67 58 78

82 62 96

90 74 115

86 55 85

60 46 86

88 75 99

70 48 121

85 73 88

100 65 97

Jawab

Hipotesis :

H0 : 1 = 2 = 3, rata-rata pendapatan nelayan, petani garam dan petani kelontong dalam

satu bulan sama

H1 : minimal satu tanda sama dengan tidak berlaku, rata-rata pendapatan nelayan, petani

garam dan petani kelontong dalam satu bulan tidak sama

: 0.05

3

Statistik Uji: ANOVA

SSH= .2

..2

=1

= 728 2+556 2 +865 2

9

2149 2

39

= 5327.185

SSE= 2

.2

= 180227-(728 2+556 2+865 2)

9

= 3855.333

F=

= /(1)

/(1)

= 5327 .185/(31)

3855 .333/3(91)

= 16.581

Tabel ANOVA

Sumber Variasi dk SS MS F

Antar kelompok 2 5327.185 2663.3925 16.581

Dalam kelompok 24 3855.333 160.6389 -

Total 26 9182.518 - -

Kriteria Uji: Tolak Ho jika Fhit > F,k-1,k(n-1), terima dalam hal lainnya.

Diketahui F,k-1,k(n-1)= F0.05,2,24= 3.403

Kesimpulan: karena nilai Fhit (16.581) > F0.05,2,24 (3.403) maka Ho ditolak. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa rata-rata pendapatan kepala keluarga dalam sebulan untuk nelayan, petani

garam dan kelontong tidak sama.

4

2. MANOVA (ONE WAY/SATU ARAH)

Manova Satu Arah yaitu perluasan dari ANOVA, bertujuan untuk memeriksa secara simultan

hubungan antara beberapa variabel independent kategori ( non metrik ) dengan dua / lebih

variabel dependent metric dimana variabel tak bebas lebih dari 1 (Y1,Y2,.,Yk).

Model Manova Satu Arah

Asumsi pada MANOVA

1. Variabel tak bebas pada setiap populasi berdistribusi normal multivariat

Pendekatan jarak Mahalanobis Q-Q Plot

2. Homogenitas matriks varians kovarians variabel tak bebas pada setiap

grup perlakuan .

Uji Boxs M

3.Setiap observasi bersifat bebas ( independent ).

Hipotesis untuk Manova Satu Arah ialah

( tidak terdapat perbedaan efek faktor)

Atau

Dimana semua populasi memiliki vector rata-rata yang sama.

, (0, )

ij i ij

ij i ij

i i

ij p

Y

Y

saling bebas N

0 1 2

1

: ... 0

: 0

k

i

H

H

1: ... kHo

111 21

12 22 2

1 2

: .... . .

k

k

p p kp

Ho

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

.

...

k

k

p p kp

5

Dengan rumus :

6

Tabel MANOVA SATU ARAH/ONE WAY MANOVA

Sumber variasi Matriks jumlah kuadrat Derajat bebas

Perlakuan

k-1

Residu

Total

Contoh kasus

Ujilah vektor rata-rata untuk setiap kelompok dibawah ini. Apakah sama atau berbeda?

1 2 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

94 91 91 94 94 93 92 93 95 91 94 96

92 90 93 97 91 97 93 96 97 93 92 95

93 89 94 93 90 95 91 95 93 95 95 94

Model linier :

Yij = + + untuk i = 1,2,.,k

= + j = 1,2,.,n

Hipotesis :

H0 :

11121314

=

21222324

=

31323334

artinya vektor rata-rata kelompok 1 = 2 = 3

H1 : terdapat salah satu vektor rata-rata yang berbeda

= 0.05

Statistik uji : One Way Manova

. .. . ..

1

( )( ) 'k

i i i

i

H n y y y y

. .

1 1

( )( ) 'ink

ij iji i

i j

E y y y y

1 1

( ..)( ..) 'ink

ij ij

i j

H E y y y y

1

k

i

i

n k

1

1k

i

i

n

7

Diperoleh informasi vector rata-rata untuk masing-masing kelompok dan rata-rata total.

1 =

9390

92.66794.667

2 =

91.6679592

94.667

3 =

9593

93.66795

=

93.22292.66792.77894.778

Kemudian mencari H

Untuk k=1

. .. =

0.22222.66670.11110.1111

. .. . .. =

0.0494 0.5926 0.0247 0.02470.5926 7.1111 0.2963 0.29630.02470.0247

0.29630.2963

0.0123 0.01230.0123 0.0123

Untuk k=2

. .. =

1.55562.33330.77780.1111

. .. . .. =

2.4198 3.63 1.2099 0.17283.6296 5.4444 1.815 0.2591.20990.1728

1.8150.259

0.6049 0.08640.0864 0.0123

Untuk k=3

. .. =

1.77780.33330.88890.2222

. .. . .. =

3.1605 0.5926 1.5802 0.39510.5926 0.1111 0.2963 0.07411.580203951

0.29630.0741

0.7901 0.19750.1975 0.0494

Dengan demikian matiks H akan mempunyai bentuk

H =

16.889 7.333 8.4444 1.77787.333 38 3.667 0.33338.44441.7778

3.6670.3333

4.2222 0.88890.8889 0.2222

Sedangkan matriks E akan mempunyai bentuk

E =

18.667 9 7 6.3339 18 1 37

6.33313

11.333 0.333

0.8889 15.333

8

Jadi, untuk

H + E =

35.5556 16.3333 1.4444 4.555616.3333 56 2.6667 3.3331.44444.5556

2.66673.3333

5.5556 0.5556

0.5556 15.5556

Umumnya, hasil perhitungan analisis ini disajikan dalam tabel, disebut sebagai tabel MANOVA.

Secara singkat tabel tersebut memuat

Tabel MANOVA

Sumber variasi Matriks Jumlah kuadrat db

Perlakuan

H =

16.889 7.333 8.4444 1.77787.333 38 3.667 0.33338.44441.7778

3.6670.3333

4.2222 0.88890.8889 0.2222

2

Residu

E =

18.667 9 7 6.3339 18 1 37

6.33313

11.333 0.333

0.8889 15.333

6

Total

H+E =

35.5556 16.3333 1.4444 4.555616.3333 56 2.6667 3.3331.44444.5556

2.66673.3333

5.5556 0.5556

0.5556 15.5556

8

Statistik Wilks Lambda

=||

| + |=

26005.8889

396014.3333= 0.06566906

Kriteria Uji : Tolak H0 jika < 0.05,4,2,6 ,,terima dalam ha lainnya.

9

Kesimpulan:

Diketahui bahwa 0.05,4,2,6 = 0.024x10-3

, maka = 0.06566906 > dari 0.05,4,2,6 = 0.024x10-3

berarti H0 diterima. Berarti vektor rata-rata kelompok 1 = 2 = 3.

10

3. MANOVA (TWO WAY/DUA ARAH)

Two way manova analoginya sama dengan One way manova. Model MANOVA dua-arah untuk

vektor respon yang berisi p komponen adalah:

dimana:

i : efek taraf ke i pada faktor A diukur pada p variabel

j : efek taraf ke j faktor B diukur pada p variabel

ij : efek interaksi faktor A dan B

ij : rata rata pop taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B

pada MANOVA dua-arah terdapat pembatasan antara lain:

dengan asumsi bahwa ~(0, ).

Sama halnya dengan kasus univariat, pada MANOVA dua arah juga untuk hasil analisis

disajikan dalam tabel yang disebut Tabel MANOVA Dua-Arah.

SUMBER

VARIASI

MATRIKS JUMLAH KUADRAT DERAJAT

BEBAS

A

a-1

B b-1

AB (a-1)(b-1)

RESIDU ab(n-1)

TOTAL abn-1

1,2,..., 1,2,..., 1,2,...,

ijk i j ij ijk

ijk ij ijk

y

y

i a j b k n

1 1 1 1

0a b a b

i j ij ij

i j i j

..

1

( ...) 'a

A i

i

H nb y y

. . . .

1

. .. . . ...

. .. . . ...

. .

... ...

( ...)( ...) '

( )

( ) '

( )( ) '

( )( ) '

b

B j j

j

AB ij i j

ij

ij i j

ijk ij ijk ij

ijk

ijk ijk

ijk

H na y y y y

H n y y y y

y y y y

E y y y y

T y y y y

11

Hipotesis untuk pengujian faktor A, faktor B dan interaksi antara A dan B antara lain sebagai

berikut:

Statistik Wilks Lambda untuk masing-masing hipotesis adalah:

=||

| + |

=

+

=||

| + |

Kriteria Uji :

Hipotesis HA: Ho ditolak jika < ,p,a1,ab (n1)

Hipotesis HB: Ho ditolak jika < ,p,b1,ab (n1)

Hipotesis HAB: Ho ditolak jika < ,p,(a1)(b1),ab (n1)

Contoh kasus:

The data for this section were obtained from a larger study, by Mr. Joseph at the University of

Pittsburgh, to analyze reading comprehension (C) and reading rate (R), using subtest core of the

Iowa Test of Basic Skills. After randomly selecting N=30 student for the study and randomly

dividing them into six subsample of size 5, the groups were randomly assigned to two treatment

conditions (contract class and noncontract class), and three teacher.

1 2

12

1 2

13

: ... 0

: min , , 0

: ... 0

: min , 0

A a

i

B b

j

H

H imal satu

H

H imal satu

11 12

11

: ... 0

: , , 0

AB ab

ij

H

H ada satu

12

Factor B

contract class noncontract class

R C R C

factor

A

teacher

1

10 21 9 14

12 22 8 15

9 19 11 16

10 21 9 17

14 23 9 17

teacher

2

11 23 11 15

14 27 12 18

13 24 10 16

15 26 9 17

14 24 9 18

teacher

3

8 17 9 22

7 15 8 18

10 18 10 17

8 17 9 19

7 19 8 19

Jawab

Hipotesis Uji interaksi faktor A dan faktor B

HAB : 11 = 12 = = 32, interaksi antara faktor guru dan faktor kondisi kelas tidak

memberikan efek terhadap skor reading comprehension (C) dan reading rate (R).

H11 : minimal ada satu ij 0, interaksi antara faktor guru dan faktor kondisi kelas

memberikan efek terhadap skor reading comprehension (C) dan reading rate (R).

Hipotesis untuk menguji faktor A dan B.

HA : 1 =2 =3, factor guru tidak memberikan efek terhadap skor reading comprehension (C)

dan reading rate (R).

H12 : minimal ada satu i0, factor guru memberikan efek terhadap skor reading

comprehension (C) dan reading rate (R).

HB : 1 = 2, factor kondisi kelas tidak memberikan efek terhadap skor reading

comprehension (C) dan reading rate (R).

13

H13 : minimal ada satu j0, factor kondisi kelas memberikan efek terhadap skor reading

comprehension (C) dan reading rate (R).

: 0.05

statistic Uji: Two Way MANOVA

Total untuk R

Total untuk C

Contract

Class

noncontract

class

Contract

Class

noncontract

class

Teacher 1 55 46 101

Teacher 1 106 79 185

Teacher 2 67 51 118

Teacher 2 124 84 208

Teacher 3 40 44 84

Teacher 3 86 95 181

162 141 303

316 258 574

11 =1012 + 1182 + 842

5 2

3032

5 3 2= 57.8

22 =1852 + 2082 + 1812

5 2

5742

5 3 2= 42.467

12 =101 185 + 118 208 + 84 181

5 2

303 574

5 3 2= 45.9

= 57.8 45.945.9 42.567

11 =1622 + 1412

5 3

3032

5 3 2= 14.7

22 =3162 + 2582

5 3

5742

5 3 2= 112.133

12 =162 316 + 141 258

5 3

303 574

5 3 2= 40.6

= 14.7 40.640.6 112.133

11 =552 + 462 + + 442

5

3032

5 3 2 57.8 14.7 = 20.6

14

22 =1062 + 792 + + 952

5

5742

5 3 2 42.467 112.133 = 128.867

12 =55 106 + 46 79 + + 44 95

5

303 574

5 3 2 45.9 40.6 = 51.3

= 20.6 51.351.3 128.867

11 = 102 + 122 + + 82

3032

5 3 2 57.8 14.7 20.6 = 45.6

22 = 212 + 222 + + 192

5742

5 3 2 42.467 112.133 128.867 = 56

22 = 10 21 + 12 22 + + 8 19 303 574

5 3 2 45.9 40.6 51.3 = 19.8

= 45.6 19.819.8 56

Tabel MANOVA DUA ARAH/ TWO WAY MANOVA

Sumber variasi Matriks Jumlah kuadrat db

A

57.8 45.945.9 42.567

2

B

14.7 40.640.6 112.133

1

AB

20.6 51.351.3 128.867

2

Residu

45.6 19.819.8 56

24

Total

138.7 157.6157.6 339.567

29

15

Statistik Wilks Lambda

=||

| + |=

2161.56

5875.338= 0.368

=

+ =

2161.56

6490.26= 0.333

=||

| + |=

2161.56

7182.985= 0.301

Kriteria Uji:

Untuk uji faktor A: Tolak Ho jika < 0.05,2,2,24 , terima dalam hal lainnya.

Untuk uji faktor B: Tolak Ho jika < 0.05,2,1,24 , terima dalam hal lainnya.

Untuk uji interaksi antara faktor A dan B: Tolak Ho jika < 0.05,2,2,24, terima dalam hal

lainnya.

Diketahui: 0.05,2,2,24 = 0.668

0.05,2,1,24 = 0.771

Kesimpulan:

Dapat kita lihat bahwa nilai , , lebih kecil dari nilai 0.05, , , sehingga Ho untuk

ketiga pengujian baik pengujian faktor A, B, maupun interaksi AB ditolak (signifikan). Maka

dapat kita simpulkan bahwa faktor guru, faktor kondisi kelas, dan interaksi antara faktor guru

dan kondisi kelas memberikan efek terhadap skor reading comprehension (C) dan reading rate

(R).

16

DAFTAR PUSTAKA

Hajarisman, Nusar. (2008). Seri Buku Ajar Statistika Multivariat. Bandung: Program Studi

Statistika Universitas Islam Bandung.

Sudjana. (2002). Desain dan Analisis Eksperimen. Bandung : Tarsito.