Vektor 1

VEKTORMakalah ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliyah Astronomi II Dosen Pengampu: Arif Laila Nugroho, ST.

Kelompok 3 Ade Mukhlas Alvian Meidyananda Asmaul Huda : 082111062 : 082111068 : 082111069

Asmaul Fauzyah : 082111070 Hesti Yozefta Ardi : 082111073 Jauharotun Nafis M. Saddam Naghfir Siti Kholisoh : 082111075 : 082111087 : 082111098

PRODI KONSENTRASI ILMU FALAK

FAKULTAS SYARIAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI IAIN WALISONGO SEMARANG 2009

A. Konsep Dasar Vektor

Vektor 2

Kita telah mengenal adanya 2 macam besaran, yakni besaran vektor dan besaran skalar. Panjang, massa, waktu, dan suhu adalah beberapa contoh dari besaran skalar, sedangkan gaya, torsi, kecepatan, perpindahan, kuat medan listrik, dan industri magnetik, merupakan beberapa contoh besaran vektor. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah, di mana panjang segmen menyatakan besar vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor. Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Besaran skalar dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem satuan yang sesuai. Misalnya panjang L=10m, massa m= 6kg, waktu t= 3 detik, laju v= 4m/ detik, suhu T= 300K, dst. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis bawah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vektor, sedangkan arah anak panah menunjukkan arah vektor. Suatu vektor dapat dituliskan dengan memakai lambang huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya, a, b, c,... dst. Untuk menghindari kesulitan apabila ditulis dengan tulisan tangan. B. Macam-Macam Vektor 1) Vektor pada bidang koordinat Cartesius :Vektor pada bidang koordinat Cartesius mempunyai dua komponen, yaitu komponen horisontal (sejajar sumbu X) dan komponen vertikal (sejajar sumbu Y). Jika diberikan komponen-komponen suatu vektor maka vektor tersebut dapat digambar dan dapat ditentukan besarnya. 2) Modulus vektor Adalah besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut. 3) Vektor posisi Adalah vektor dengan pangkal di titik O(0,0). Dua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar (modulus) dan arah yang sama. 4) Vektor negatif adalah Vektor yang besarnya sama dengan u tetapi arahnya berlawanan dengan u dikatakan vektor negatif u dan dilambangkan u. 5) Vektor nol Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah. Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1.

Vektor 3

6) Aturan segitiga Yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. 7) Aturan jajaran genjang Yaitu dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor u1 dan u2. Jumlah atau resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah u1 dan u2. 8) Modulus vektor pada bagun ruang Yaitu besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut.9) Vektor posisi Adalah vektor yang menyatakan kedudukan setiap titik di ruang koordinat

Cartesius. Vektor posisi berpangkal di titik O(0,0,0) dan berujung di titik pada ruang koordinat. MAT. 15. Vektor xi 10) Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah. 11) Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1. C. Notasi, Ruang dan Visualisasi Vektor 1. Notasi Vektor Vektor secara sederhana merupakan suatu garis yang memiliki arah. Vektor dapat digunakan untuk merepresentasikan pergerakan suatu benda. Sebelum gambarr berikut: Notasi vektor secara geometris vektor OP V=OP p o Pada umumnya besaran vektor dituliskan dengan huruf yang dicetak tebal2, dan huruf miring digunakan untuk menyatakan nilai skalarnya. Contoh, vektor A dituliskan dengan A dan nilai skalarnya dituliskan dengan A. 3 mengenal lebih jauh tentang vektor,perlu diingat bahwasecara

geometris,vektor P dapat digambarkan oleh sebuah anak panah berarah OP1.Perhatikan

1 2

Ari Kusumastuti :Analisis Vektor (kajian teori dengan Al-Quran) lih Hal 13 Sunardi etsa indra irawan fisika bilingualuntuk SMA / MA kelas X smt 1 & 2, lih hal 47 3 ibid

Vektor 4

Selain itu dalam penulisan vektor biasanya menggunakan tanda pembeda seperti sebuah anak panah. Contoh: sebuah vektor A dituliskan dengan dan nilai skalarnya |A|.

Sedangkan komponen vektor dinyatakan sebagai subcript dari notasinya Fx, Fy. Sebuah vektor juga dapat dinyatakan dalam diagram dengan sebuah ruas garis berarah, sebagaimana gambar berikut;A r a h r u a s g a r i s

P

a n

j a n

g

r u

a s

g

a r i s

Panjang ruas garis menyatakan besar (nilai skalar) vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor. Untuk menentukan besar vektor dari gambar ruas garis, harus menggunakan skala yang tepat. Beberapa pembagian Notasi Vektor 1) Notasi Geometris Notasi geometris adalah sebuah metode untuk menganalisis vektor dengan cara menampilkannya dalam bentuk gambar. 2) Notasi Analisis Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor dengan cara menguraikan vektor tersebut dalam komponen-komponen penyusunnya. Sebuah vektor a dalam koordinat kartesian (dua sumbu : x dan y) dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya, yaitu komponan pada arah sumbu x dan komponen pada arah sumbu y. 2. Ruang Vektor

X

Ruang vektor merupakan sistem di mana suatu vektor dapat diuraikan ke dalam

elemennya, baik itu dalam bentuk vektor elemen, maupuan elemen sudut-jarak.

Vektor 5

3. Visualisasi Vektor Secara grafis, suatu vektor dilambangkan dengan panah dan simbol pada garisnya.

Elemen vektor dilambangkan dengan simbol

y x Vektor dapat pula dinyatakan dalam besaran dan arah.

f

D. OPERASI DASAR VEKTOR A. Penjumlahan dan pengurangan Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besar,penambaahan atau penjumlahan vektor juga harus dilakukan dengan cara yag khusus juga. Berbicara tentang penjumlahan

Vektor 6

tidak selamanya menggunakan penggaris dan busur untuk mendapatkan suatu hasil yang akurat.4 1. Penjumlahan Vektor Secara umum penjumlahan dan pengurangan sering diselesaikan pada dua methode yaitu geometrik dan analitik.

a)

Cara Geometri

Penjumlahan dan pengurangan vektor secara geometri terdiri dari metode poligon (segitiga) dan metode jajar genjang.A B

Contoh :B AC a r a s e g i t i g a

A

B

C

a r a

ja j a r

g e n

j a n

g

P

e n

j u

m

l a h

a n

d

u

a

v

e k t o r

A

B - B

- BR4

R B C s e g i t i g a

=

A

-

B

=

A

ADouglas,galncoll FisikaEd V,lih 61 a r a C

- Ba r a

Aja j a r g e n j a n g

P

e n

g u

r a n

g a n

d

u

a

v

e k t o r

Vektor 7

b)

Cara Analitik

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua atau lebih vektor dengan menguraikan komponen-komponennya. Perhatikan diagram vektor dalam koordinat kartesius berikut ini!y

A

y

A

?x

A

x

Berdasarkan diagram vektor di atas, vektor A diuraikan menjadi Ax dan Ay. Dengan Ax adalah komponen A yang searah dengan sumbu x, sedangkan Ay adalah komponen yang searah dengan sumbu y. Jadi vektor A dinyatakan dengan A = Ax + Ay. Berdasarkan aturan trigonometri, maka komponen-komponen vektor tersebut dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut. Ax = A cos Ay = A sin Dengan : A = besar vektor A Ay = besar vektor Ay Ax = besar vektor Ax = sudut antara A dengan sumbu x positif Untuk menjumlahkan vektor secara analitik, maka vektor-vektor tersebut diuraikan terlebih dahulu, kemudian komponen-komponen vektor yang searah dijumlahkan. Sebagai contoh, perhatikan penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan cara analitik sebagai berikut. A = Ax + Ay dan B = Bx + By

Vektor 8

Sehingga diperoleh hasil A + B = (Ax + Bx) + (Ay + By) R = Rx + Ry Dan besarnya vektor resultan (R) dapat ditentukan sebagai berikut. R= Untuk lebih memahami penambahan dan pengurangan, kita mengenal beberapa methode penambahana dan pengurangan vektor.2. Pengurangan Vektor

Kita bisa mendefinisikan pengurangan sebuah vektor sebuah vektor dari vektor yang lainnya,apabila selisih antar dua vektor ,V1-V2 di definisikan sebagai V2 - V1 = V2 + (-V1) Yaitu selisih antara dua vektor sama dengan jumlah yang pertama ditambah dengan negatif yang kedua, dengan demikian, aturan aturan penambahan dapat diterapkan pada pengurangan.5 B. Perkalian Vektor1. Perkalian Titik (Dot Product)

Jika didefinisikan vektor A = (a1,a2,a3,,an) dan vektor B = (b1,b2,b3,,bn) maka hasil kali titik antara kedua vektor adalah suatu skalar yang didefinisikan sebagai: A.B = a1 b1 + a2b2 +a3 b3 ++anbn Perkalian titik ini disebut juga perkalian skalar dua vektor Perkalian skalar dua vektor jika diketahui komponen-komponen A dan B, besar a, besar b dan sudut antara A dan B.

Y

B

A5

Ibid. lih Hal. 60O X

Vektor 9

Hasil kali skalar dua vektor A kedua vektor itu, ditentukan oleh rumus: A.B = |a|.|b| cos atau A.B = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Sifat-sifat perkalian skalar1. tidak tertutup = A.B bukan vektor 2. tidak ada elemen identitas = A.B tidak mungkin A

dengan adalah sudut antara

3. Tidak ada elemen invers = A.B bukan vektor, maka tidak ada elemen netral. 4. Tidak asosiatif = A. (B.C) (A.B).C 5. Komutatif = A.B = B.A 6. Distributive terhadap penjumlahan = A.(B+C)= A.B +A.C 7. m (A.B) = (m.A).B = A.(m.B)= (A.B)m. dengan m { bilangan Real} 8. jika i, j, k adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus dan panjangnya satu

satuan, maka

2. Perkalian Silang (Cross Product) Jika A = (A1,A2,A3) dan B = (B1,B2,B3) adalah vektor-vektor di ruang 3 maka hasil kali silang didefinisikan sebagai: A x B = (A2B3 A3B2, A3B1 A1B3, A1B2 A2B1)

Vektor 10

3. Sudut antara dua vektor Besar sudut antara A dan B ditentukan oleh rumus :

Untuk A dan B bukan vektor nol berlaku:i) ii) iii)

Jika A.B > 0, maka Jika A.B = 0, maka jika A.B < 0, maka

C.

Besar Dan Arah Resultan Vektor

Apabila kita melihat dua buah vektor A dan B yang mempunyai titik pangkal yang berhimpit seperti ditunjukan dalam gambar berikut ini:

besar dua resultan di atas dapat ditentukan dengan persamaan berikut: R =A2+B2+ 2 AB cos Dengan R = besar resultan vektor

Vektor 11

A = besar vektor A B = besar vektor B Jika kedua vektor saling tegak lurus = (90) , maka R= A2 + B2 Sedangkan arah pada vektor diatas dapat ditentukan dengan persaman sebagai berikut : Sin = B/R sin Dengan Sudut = arah vektor R terhadap Vektor A. dan apabila jika vektor A dan vektor B saling tegak lurus ,maka Tan = B/A]\

D. VEKTOR SATUAN Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan satu dan arahnya sama dengan arah komponen vektor6. Seperti telah diuraikan sebelumnya bahwa suatu vektor dapat didefinisikan di bidang maupun di ruang. Dalam hal ini jika suatu vektor didefinisikan dalam bidang (R2), maka vektor satuannya didefinisikan sebagai i (1,0) dan j (0,1). Sedangkan jika suatu vektor didefinisikan di ruang (R3), maka vektor satuannya didefinisikan sebagai i (1,0,0), j (0,1,0), dan k (0,0,1). Dan seterusnya untuk vektor umum yang didefinisikan di Rn, maka vektor satuannya didefinisikan a(1,0,0,,0), b(0,1,0,.,0), c(0,0,1,.,0),.,z(0,0,0, .,1). Semua vektor satuan yang didefinisikan pada R2,R3, maupun Rn ini memiliki besar satu. Sebagai ilutrasi, jika didefinisikan vektor A(1,2,3). Maka dalam hal ini vektor A dapat diuraikan bedasarkan vektor-vektor satuannya. Sehingga vektor A dapat dinyatakan sebgai

6

ANALISIS VEKTOR.

Vektor 12

perkalian vektor A beserta vektor-vektor satuannya. Maka dalam hal ini vektor-vektor satuan yang dimaksud adalah i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). Selanjutnya diperoeh pernyataan : A(1,2,3) A(1,2,3) = (1,2,3)i + (1,2,3)j + (1,2,3)k = (1,0,0) (1,2,3)+(0,1,0) (1,2,3)+(0,0,1) (1,2,3) = (1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,3) = (1,0,0)+2(0,1,0)+3(0,0,1) Pada kasus tiga dimensi dalam koordinat kartesius terdapat 3 buah vektor satuan, yaitu . Vektor satuan tegak lurus sumbu x, y, z. dan dinyatakan oleh = vektor satuan searah sumbu x. = vektor satuan searah sumbu y. = vektor satuan searah sumbu z. Vektor A dapat dinyatakan dengan vektor satuan sebagai berikut = vektor satuan yang arahnya searah dengan . Dengan:

Sedangkan besar vektor A dapat dinyatakan dengan

E. Soal dan Pembahasan 1. Tentukan besar dan arah vector perpindahan (L) dimana komponen sumbu x-nya 20 m komponen sumbu y-nya 15 m Pemahasan; Gambar dahulu Lx = 20 m

Vektor 13

Ly = 15 m Besar vektor perpindahan (L) adalah L= = = = =25 m Vektor perpindahan L membentuk sudut2.

Arah Vektor = Tan = = = = = 0, 75 0,75

terhadap sumbu x positif (berada di kuadran 1)

Diketahui Dua vector F1 dan F2 memiliki pangkal berhimpit dimana besar F1= 8 N , , berapakah besar dan arah vector

F2= 6N. Jika sudut y yang dibentuk kedua vector adalah resultan? Besar Vektor resultan R= = = = =12,16 N Arah Vektor resultan = Sin = sin

=

sin

= (0,49).(0,87) =

Vektor 14

=3. Diketahui:

a=[

]

b=[ ]

c=[ ]

Tentukan!a. a -2b +3c b. b. -2a + b 2c

Jawaba. [

] -2[ ] +3[ ]

=[

]-[ ]+[

]

=[ ]

b. -2a + b 2c = -2[

] - [ ] + 2[ ] = [

]-[ ]+[

]

=[

]

3 Dua buah vektor F1 dan F2 mempunyai titik pangkal berhimpit dan membentuk sudut 60 satu sama lain. Jika F1= 40 N dan F2= 300 N, tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut. Besar resultan vektor = R = = = = = Arah resultan vektor terhadap v2

4. Tentukan besar dan arah resultan vektor jika besar komponen-komponennya diketahui sebagai berikut:

Vektor 15

Diketahui fx= 8 N, fx= F.cos x 8 N = F.cos x

fy= -6 N fy = F.sin x 6 N = F.sin x

Besar resultan

Tan x = 0,75 R= 13,29 N\ Jadi, besar resultan vektor adalah 13,29 N dan arah redultan vektor adalah 36,86 5. tentukan besar arah dan resultan vektor jika besar komponen-komponennya diketahui sebagai berikut: a. dx= b. m, dy= 4 m

Jawab: a. diketahui: dx= m, dy= 4 m sudut antara vektor dx dan dy adalah , maka sudut

bernilai 90, karna sumbu x tegak lurus dengan sumbu y. dicari: Sudut ? (arah vektor R (vektor resultan) terhadap vektor dx= jawab: m )

= 30

Vektor 16

b. diketahui:

. sudut antara vektor ax dan ay adalah , maka

sudut bernilai 90, karna sumbu x tegak lurus dengan sumbu y. dicari: Sudut ? (arah vektor R (vektor resultan) terhadap vektor ax= jawab: m )

R = 5 m/s2 = 36,86 6. Sebuah vektor gaya membentuk sudut 45 terhadap vektor perpindahannya. Jika besar gaya 50 N dan perpindahannya sebesar 5 m, tentukan besarnya usaha! Diketahui: F= 50 N s= 5 m Sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan adalah = 45 Ditanya: usaha = W? Jawab: W = F.S = F.S.cos 45

7. jika

dan , buktikan bahwa

Jika didefinisikan vektor A = (a1,a2,a3,,an) dan vektor B = (b1,b2,b3,,bn) maka hasil kali titik antara kedua vektor adalah suatu scalar yang didefinisikan sebagai: A.B = a1 b1 + a2b2 +a3 b3 ++anbn

Vektor 17

Terbukti AxBBxA Jika A = (A1,A2,A3) dan B = (B1,B2,B3) adalah vektor-vektor di ruang 3 maka hasil kali silang didefinisikan sebagai:

A x B = (A2B3 A3B2, A3B1 A1B3, A1B2 A2B1) A1= 2 , A2= 3, A3= 1, B1= 3, B2= 4, B3= 5

B x A = (B2A3 B3A2, B3A1 B1A3, B1A2 B2A1)

dan Sehingga TERBUKTI!!

Vektor 18

DAFTAR PUSTAKASunardi dan Elsa Indra Irawan. FISIKA BILINGUAL SMA/MA. 2007. Bandung: CV. YRAMA WIDYA. Kusumastuti, Ari. Analisis Vektor (Kajian Teori Dengan Pendekaan Al-Quran). 2008. Malang: UIN-Malang PRESS. Giancoli, C. Douglas. Fisika. (Diterjemahkan oleh Yuhilza Hanum). Edisi Keenam. 1999. Jakarta: Erlangga.

Vektor 19

Stewart, James. Kalkulus. (diterjemahkan oleh I Nyoman Susilo dkk). Edisi Keempat. Jilid 2. 1999. Jakarta: Erlangga. http://www.geocities.com/dmursita/matek/2-3.pdf.