Makalah Up Load

7/23/2019 Makalah Up Load

1/25

A. SEJARAH

Meskipun sedikit yang diketahui tentang kehidupan awal dan kehidupan pribadi

Euclid, ia dikenal sebagai pelopor dari pengetahuan geometri dan memberikan

kontribusi yang besar dalam bidang matematika. Selain dikenal sebagai bapak

Geometri, Euclid dikenal mengajarkan matematika di Mesir Kuno selama pemerintahan

Ptolemeus I. ia terkenal, setelah menulis karya matematika paling permanen

sepanjang masa, yang dikenal sebagai !"he Elemen# yang terdiri dari $% bagian yang

berisi tentang teori geometris dan pengetahuan. &al ini yang membangkitkan

pengetahuan di dunia barat dan sebagian matematikawan di seluruh dunia selama lebih

dari '((( tahun untuk memecahkan semua batas)batas dan membuat de*inisi yang baru

di bidang Matematika. Euclid menggunakan +pendekatan sintetik+ untuk membuat

teorema, de*inisi dan aksioma dalam matematika. Selain menjadi guru di perpustakaan

le-andria, Euclid menciptakan dan menyusun berbagai elemen matematika, seperti

Porisms, sistem geometris, nilai)nilai in*inite, *aktorisasi, dan bentuk yang kongruen

pada Geometri Euclid. ntuk beberapa nama karya)karyanya sangat dipengaruhi oleh

Pythagoras, ristoteles, Eudo-us, dan "hales.

Masa Kanak-Kanak dan Kehidupan Awal

Euclid dari +le-andria+ lahir sekitar %%( SM, mungkin di le-andria. Penulis

rab tertentu menganggap bahwa Euclid adalah lahir dari keluarga kaya untuk

+/aucrates+. ikatakan bahwa Euclid adalah mungkin lahir di "irus dan menjalani sisa

hidupnya di amaskus. da dokumen)dokumen tertentu yang menunjukkan bahwa

Euclid belajar di sekolah kuno Plato di thena, di mana sekolah itu hanya untuk pelajar

kaya. ia kemudian bergeser ke le-andria di Mesir, di mana ia menemukan sebuah

di0isi terkenal matematika, dikenal sebagai +geometri+. Kehidupan Euclid dari Meguro

sering bingung dengan kehidupan Euclid dari le-andria, sehingga sulit untuk percaya

apapun in*ormasi yang dapat dipercaya berdasarkan pada kehidupan matematikawan.ia ditanamkan minat dalam bidang matematika dan mengambil subjek untuk tingkat

yang baru dengan jalan memecahkan penemuan dan teorema. le-andria dulunya

merupakan kota terbesar di dunia barat dan juga pusat perkembangan industri

papirus. i kota inilah di mana Euclid mengembangkan, menyampaikan, dan berbagi

pengetahuan tentang matematika dan geometri dengan seluruh dunia.


2/25

Karier

Euclid dikenal sebagai !bapak geometri# karena suatu alasan. ia menemukan

sebuah persoalan dan memberikannya nilai, membuatnya menjadi salah satu bentuk

matematika yang paling kompleks pada saat itu. Setelah pindah ke le-andria, Euclid

menghabiskan sebagian besar waktunya di perpustakaan le-andria, seperti banyak

sarjana terkemuka lainnya yang menghabiskan waktu mereka di sana. Museum ini

dibangun oleh Ptolemeus, yang merupakan pusat sastra, seni dan ilmu pengetahuan. i

sini Euclid mulai mengembangkan ide)ide geometri, aritmatika, teori dan bilangan

irasional menjadi bagian yang disebut 1geometri1. ia mulai mengembangkan teorema

dan disusun menjadi risalah kolosal yang disebut +"he Element+. Selama perjalanan

karirnya samar)samar diketahui, ia mengembangkan $% edisi +"he Elemen+ yang

mencakup semua persoalan mulai dari aksioma dan pernyataan untuk geometri solid

dan konsep algoritma. Seiring dengan menyatakan berbagai teori, ia mulai mendukung

ide)ide dengan metode dan bukti logis yang akan menerima statement yang

diungkapkan oleh Euclid.

2isalah Euclid ini memuat lebih dari 345 proposisi untuk geometri sederhana dan

geometri solid, mengemukakan dan menyatakan saran dan persetujuan untuk teori)teori

yang berkaitan dengan ide)ide geometrisnya. da kasus tertentu dengan persamaan

Pythagoras untuk segitiga yang digunakan Euclid sebagai contoh saat menulis !"he

Elemen#. ia menyatakan bahwa !persamaan itu selalu benar untuk setiap masalah

pada segitiga siku)siku#. !"he Elemen# terjual lebih banyak daripada lkitab dan

digunakan oleh matematikawan serta dicetak berkali)kali oleh penerbi, bahkan sampai

abad ke)'(. "idak ada kata akhir untuk geometri Euclid, dan Euclid terus

mengembangkan teorema pada berbagai aspek matematika seperti +bilangan prima+ dan

yang lainnya, +aritmatika+ dasar. engan serangkaian langkah)langkah logis yang

dikembangkan oleh Euclid, ia percaya dalam membuat yang tidak diketahui menjadi

dikenal oleh dunia. Sistem yang dilanjutkan Euclid untuk menggambarkan !"he

Elemen# adalah umumnya dikenal sebagai satu)satunya bentuk geometri yang dapat

disaksikan dan dilihat sampai abad ke)$6. /amun, matematikawan dari era modern

mengembangkan teorema dan ide baru yang berkaitan dengan geometri dan membagi

subjek menjadi !Geometri Euclid# dan !Geometri /on)Euclid#.

ia menyebut ini +pendekatan sintetik+ yang tidak didasarkan pada logika trial and

error, tapi pada penyajian *akta dari teori. Pada saat pengetahuan terbatas, Euclid

bahkan telah mulai mengambil pengetahuan berdasarkan pencarian subjek yang

berkaitan dengan bidang yang berbeda seperti +aritmatika dan bilangan+. ia


3/25

menguraikan bahwa manusia tidak mungkin mengetahui +bilangan prima terbesar+. ia

memperkukuh hal ini dengan sebuah contoh yang menyatakan bahwa jika $

ditambahkan ke bilangan prima terbesar yang diketahui, hasilnya akan menyebabkan

bilangan prima yang lain. 7ontoh klasik ini adalah bukti kejelasan pemikiran dan

presisi Euclid saat itu.

Euclid menyatakan bahwa aksioma adalah pernyataan yang hanya diyakini benar,

tapi ia menyadari bahwa mengikuti pernyataandengan membabi buta, tidak akan ada

gunanya dalam merancang teori dan rumus matematika. ia bahkan menyadari bahwa

aksiomaharus didukung dengan bukti)bukti yang kuat. 8leh karena itu, ia mulai

mengembangkan bukti logis yang akan membuktikan aksioma dan teorema pada

geometri. alam rangka untuk lebih memahami aksioma ini, ia membagi menjadi dua

kelompok yang disebut !postulat#. Satu kelompok lain disebut !pengertian umum#

yang telah disepakati oleh Ilmuan . 9agian kedua postulat identik dengan

geometri. 9agian pertama gagasan disebutkan pernyataan seperti 1keseluruhan lebih

besar daripadasebagian1 dan 1&al)hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama

satu dengan yang lain 1. Ini hanya dua dari lima pernyataan yang ditulis oleh

Euclid. :ima pernyataan yang tersisa di postulat bagian kedua sedikit lebih spesi*ik

untuk Geometry dan teori seperti 1Semua sudut kanan adalah sama1 dan1Garis lurus

dapat ditarik diantara dua titik1.Karir Euclid berkembang sebagai matematikawan dan!"he Elemen# akhirnya

diterjemahkan dari bahasa ;unani ke bahasa rab dankemudian ke dalam bahasa

Inggris oleh


4/25

Pekerjaan tambahan

Seiring dengan perubahan wajah matematika secara permanen,Euclid juga

memiliki berbagai karya lain yang masih digunakandan disebut sampai saat ini. Karya)

karya ini adalah posisi murni yang didukungdengan bukti kuat dan mengikuti sepanjang

garis dan struktur !"he Elemen#. ia melanjutkan untuk belajar dan menemukan

+7atoptrics+yang pada dasarnya menyatakan *ungsi matematika dari cermin.8ptik, rasio,

data, dan conics adalah beberapa karya terkenal lainnyayang sekarang hilang seiring

dengan berjalannya waktu. Euclidberhasil menyelesaikan delapan edisi atau buku)buku

tentang teorematentang kerucut, yang gagal dipublikasikan waktu itu. ia

jugamembentuk hipotesis dan proposisi berdasarkan Mekanika dan:okus. Sebagian

besar karya)karya ini dikatakan telahmelengkapi satu sama lain, dan itu menyarankan

bahwateori yang dikembangkan benar)benar berasal dari karya terkenal !"he

Elemen#. Ia juga datang dengan satu set Konstruksi Euclid yang merupakan alat dasar

yang dibutuhkan untuk memproduksikonstruksi geometris.

Kehidupan Pribadi

iyakini bahwa Euclid mendirikan sebuah sekolah swasta diperpustakaan

le-andria untuk mengajar penggemar matematika sepertidirinya. da teori lain yang

menyatakan bahwa Euclid pergi untuk membantu para siswa menulis teori dan buku

mereka sendiridi kemudian hari. "idak banyak yang diketahui tentang penampilan

Euclid. Patung)patung atau lukisan yang dilihat saat ini adalah produk imajinasi

seniman belaka.

Kematian dan Lega!

"ahun dan alasan di balik kematian Euclid tidak diketahui. /amun, sudah ada

alokasi jelas menunjukkan bahwa ia mungkin telah meninggal sekitar '4( SM. >arisan

yang ditinggalkan setelah kematiannya jauh lebih mendalam dari pada yang ia ciptakan

saat dia masih hidup. 9uku)buku dan risalah yang dijual dan digunakan olehmasyarakat di seluruh dunia sampai pada abad ke)$6. >arisannya dijalankanpada '((

abad setelah kematiannya dan menginspirasi kepribadian sepanjang perjalanan hidup

seperti braham :incoln. ikatakan bahwa :incoln akan membawa !"he Elemen# ke

mana pun ia pergi,dan sering mengutip karya jenius Euclid dalampidatonya. 9ahkan

setelah kematian Euclid, matematikawan terusmenulis teorema dan karya)karya di

bawah namanya. alam semua arti sebenarnya, pada saat pengetahuan itu tidak dapat

diakses oleh mayoritas populasi dunia, dikembangkan *ormat Matematika kuno Euclid

yang logis dan ilmiah yang dikenal dunia sebagai !Geometri Euclid# sekarang.


5/25

"he Elements terdiri atas tiga belas buku. 9uku $ menguraikan proposisi)

proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal

kekongruenan segitiga, macam)macam teorema tentang garis)garis sejajar, teorema

mengenai jumlah sudut)sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras. 9uku '

berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang

pena*siran aljabar sederhana. 9uku % menyelidiki lingkaran dan si*at)si*atnya, dan

termasuk teorema tentang tangent dan sudut)sudut yang digambarkan. 9uku 3 terkait

segibanyak beraturan dan lingkaran)lingkaran yang mengelilinginya. 9uku =

mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan. 9uku 4 menerapkan teori

perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema)teorema bilangan

kembar. 9uku 5 menguraikan teori bilangan dasar? misalnya bilangan prima, *aktor

persekutuan terbesar, dan lain)lain. 9uku @ terkait dengan deret geometri. 9uku 6

memuat macam)macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema)

teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. 9uku

$( berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan Adengan kata lain

irasionalB menggunakan apa yang disebut !metode keletihan#, suatu rintisan Euclid

Geometry integral kuno. 9uku $$ menghitung 0olume relati* dari kerucut, piramida,

tabung, dan bola menggunakan metode keletihan. an akhirnya, buku $% meneliti apa

yang biasa disebut bidang banyak beraturan dan memberikan kontruksi dari benda)

benda#platonic# atau benda)benda CcosmicD. 9enda)benda ini disebut benda !cosmic#

karena menurut teori Plato ada hubungan antara kubus dan tanah, bidang empat

AtetrahedronB dan api, bidang delapan AoctahedronB dan udara, bidang dua puluh

AtetrahedronB dan air, dan ada yang menambahkan bidang dua belas AdedecahedronB dan

ether. Euclides, dalam bukunya yang pertama mulai dengan '% de*inisi, = postulat, =

aksioma dan 3@ dalil. Euclides membedakan antara postulat dan aksioma, postulat

berlaku khusus untuk sains tertentu dan aksioma berlaku untuk umum.

". MA#ER$

%e&inisiadalah adalah ungkapan yang dibutuhkan untuk membatasi suatu konsep

dalam matematika atau untuk memperkenalkan nama sesuatu dalam pembicaraan

tentang geometri. alam Kamus 9esar 9ahasa Indonesia, aksioma adalah pernyataan

yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa pembuktian. Pengertian aksioma secara

matematika yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula,

sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi atau suatu pernyataan yang diterima


6/25

sebagai kebenaran dan bersi*at umum, tanpa memerlukan pembuktian. alam buku)I

Euclid terdapat '% de*inisi, yaitu sebagai berikut?

Definisi 1 : titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.

Definisi 2 : garis adalah sesuatu yang panjang tanpa memiliki lebar

Definisi 3 : ujung-ujung suatu garis adalah titik.

Definisi 4 : suatu garis lurus memuat titik-titik yang terletak di dalamnya secara

merata.

Definisi 5 : suatu bidang adalah sesuatu yang hanya memiliki panjang dan lebar.

Definisi 6 : ujung-ujung suatu bidang adalah garis

Definisi :sebuah bidang datar memuat garis-garis lurus yang terletak didalamnya

merata.

Definisi ! : sudut bidang adalah inklinasi "kemiringan# garis-garis terhadap satu

sama lain$ saat dua garis dalam bidang bertemu dan tidak terletak pada

satu garis lurus.

Definisi % :&etika garis yang memuat sudut tersebut adalah garis lurus$ maka sudut

tersebut disebut rectilinear "selanjutnya disebut sudut saja#.

Definisi1' : ketika garis lurus berdiri terhadap garis lurus lainnya dan membentuk

sudut-sudut yang bersisian "bersebelahan# yang sama besar satu sama

lain$ setiap sudut yang sama tersebut disebut sudut siku-siku$ dan garis

pertama disebut tegak lurus dengan garis yang lain.

Definisi11 : sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.

Definisi12 : sudut lancip adalah sudut yang kurang dari sudut siku-siku.

Definisi13 : sisi adalah ujung-ujung dari sesuatu "k(nteks dari bidang datar#.

Definisi14 : sebuah bidang dimuat (leh beberapa sisi.

Definisi15 : lingkaran adalah bidang datar yang dimuat (leh sebuah garis "yang

disebut garis melingkar# dimana setiap garis lurus yang melalui suatu titik

tertentu yang terletak dalam bidang tersebut adalah sama besar.

Definisi16 : titik tersebut dinamakan pusat dari lingkaran.

Definisi1 : diameter lingkaran adalah semua garis lurus yang dilukiskan melalui titik

pusat$ dan berujung pada garis melingkar dikedua arahnya. Dan setiap

garis lurus yang mem(t(ng lingkaran menjadi setengahnya.

Definisi 1! :setengah lingkaran adalah bangun yang dirmuat (leh garis melingkar dan

dip(t(ng (leh diameter.


7/25

Definisi 1% : bangun garis lurus adalah bangun-bangun yang dibatasi (leh garis-garis

lurus. )angun trilateral adalah bangun yang dibatasi (leh tiga garis lurus.

)angun *uadrilateral adalah bangun yang dibatasi (leh empat garis lurus.

)angun multilateral adalah bangun yang dibatasi (leh lebih dari empat

garis lurus.

Definisi 2' :dari bangun-bangun trilateral$ suatu segitiga samasisi adalah yang

mempunyai tiga sisi yang sama. +uatu segitiga samakaki adalah yang

mempunyai dua sisi yang sama. +uatu segitiga sembarang adalah yang

semua sisinya berbeda.

Definisi 21 : dari bangun-bangun segitiga$ suatu segitiga siku-siku adalah segitiga

yang mempunyai satu sudut siku-siku. +egitiga tumpul adalah segitiga yang

mempunyai satu sudut tumpul dan segitiga lancip adalah segitiga yang

ketiga sudutnya lancip.

Definisi 22 : dari bangun-bangun segiempat$ persegi adalah yang sama sisi dan

sudutnya siku-siku$ suatu persegi panjang adalah yang bersudut siku-siku$

tetapi tidak sama sisi$ belah ketupat adalah yang sama sisi tapi tidak siku-

siku dan suatu jajargenjang adalah sisi dan sudut-sudutnya yang

berla,ananberhadapan sama$ tetapi bangun segiempat yang lain dari

yang telah disebutkan disebut trapesium.

Definisi 23 : p(lig(n adalah bentuk bujursangkar yang dibatasi (leh lebih dari

empat sisi.

P'stulatadalah asumsi yang berhubungan langsung dengan geometri. alam

Kamus 9esar 9ahasa Indonesia, Postulat adalah anggapan dasar atau aksioma, dengan

kata lain postulat diartikan sebagai asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap

benar tanpa perlu membuktikannya. alam matematika, postulat berarti pernyataan

matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian alam buku)I Euclid terdapat

lima postulat yaitu sebagai berikut?

(stulat 1: /elalui dua titik dapat dibuat satu garis

(stulat 2: sembarang ruas garis dapat diperpanjang menjadi garis lurus.

(stulat 3: sembarang lingkaran dapat dibuat dengan sembarang titik pusat dan

sembarang jari-jari.

(stulat 4: semua sudut siku-siku adalah sama satu sama lain.

(stulat 5: jika garis lurus mem(t(ng dua garis lurus dan memuat sudut-sudut dalam


8/25

sepihak kurang dari dua sudut siku-siku$ kedua garis itu jika diperpanjang

tak terbatas$ akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak

kurang dari dua sudut siku-siku.

Aksi'maadalah asumsi yang berkaitan dengan logika.

7ontoh?

$. 9enda)benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan yang lain adalah

sama.

'.


9/25

panjang dengan dua segmen lainnya "yang diberikan dan

berp(t(ngan#$ tidak mungkin dibentuk dari titik yang berbeda pada

sisi yang sama$ tetapi ujung-ujung segmen yang sama bertemu di titik

yang sama pada segmen yang diberikan.

r(p(sisi ! : jika segitiga memiliki dua sisi yang sama besar pada segitiga yang

lainnya$ dan alas mereka juga sama$ maka sudut yang diapit (leh

sisi-sisi yang sama pada kedua segitiga juga sama besar.

r(p(sisi % : sebuah sudut dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama besar

r(p(sisi 1' : sebuah segmen dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang

r(p(sisi 11 : diberikan sebuah segmen dan titik pada segmen$ maka dapat

dibentuk segmen lain yang mele,ati titik tersebut serta siku-siku

terhadap segmen yang diberikan

r(p(sisi 12 : diberikan sebuah garis dan titik diluar garis$ dapat dibentuk sebuah

segmen yang mele,ati titik tersebut serta siku-siku terhadap garis

yang diberikan

r(p(sisi 13 : jika sebuah segmen berdiri pada segmen lain dan membentuk sudut$

pasti membentuk dua sudut siku atau jumlah keduanya sama dengan

jumlah dua sudut siku

r(p(sisi 14 : jika dua segmen$ tidak terletak di sisi yang sama$ membentuk sudut

bersebelahan yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku dengan

ruas garis lain pada suatu titik$ maka kedua sudut itu segaris

r(p(sisi 15 : jika dua garis saling berp(t(ngan$ maka besar sudut yang bert(lak

belakang adalah sama.

r(p(sisi 16 : untuk setiap segitiga$ ketika satu sisi diperpanjang$ sudut

eksternalnya lebih besar dari setiap sudut internal yang

berseberangan.

r(p(sisi 1 : untuk setiap segitiga$ jumlah dua sudut internal yang manapun

selalu kurang dari dua sudut siku-siku.

r(p(sisi 1! :dalam setiap segitiga$ sisi yang lebih besar berhadapan dengan sudut

lebih besar pula

r(p(sisi 1% : di setiap segitiga$ sudut yang lebih besar menghadap ke sisi yang

terpanjang.

r(p(sisi 2' : dalam setiap segitiga jumlah dari setiap dua sisi adalah lebih besar


10/25

dari sisi ketiga.

r(p(sisi 21 : jika dari titik-titik ujung suatu sisi suatu segitiga dik(nstruksikan dua

ruas garis dan bertemu di interi(r segitiga$ jumlah panjang ruas-ruas

garis yang baru dik(nstruksikan itu lebih kecil dari jumlah dua sisi

lain dari segitiga$ tetapi sisi-sisi yang baru dik(nstruksi itu membentuk

sudut yang lebih besar dari sudut yang dibentuk (leh dua sisi segitiga

tadi.

r(p(sisi 22 : mengk(nstruksi suatu segitiga terdiri dari tiga ruas garis yang sama

dengan tiga ruas garis yang diketahui: jadi syarat yang perlu adalah

bah,a jumlah dari dua ruas garis harus lebih besar dari panjang

ruas garis yang ketiga.

iberikan , 9, dan 7 tiga buah ruas garis, dimana AjumlahB dua gabungannyadengan sebarang AkemungkinanB selalu lebih besar dari sisanya. Maka, gabungan dan

9 lebih besar dari 7, dan 7 lebih besar dari 9, 9 dan 7 lebih dari .


11/25

sama dengan 9, maka ketiga garis berturut)turut K, G, dan GK sama besar dengan ,

9, dan 7.


12/25

9ila 9 tidak sama dengan E, maka salah satunya lebih besar. Misal 9 lebih

besar, kemudian kita buat 9G sama besar dengan E Aprop $.%B, lalu hubungkan G7.

Karena 9G sama dengan E, dan 97 sama dengan E, maka sudut G97 sama besar

dengan sudut E.


13/25


14/25

luar adalah sama dengan "jumlah dari# dua sudut dalam dan

berla,anan "sudut#$ dan "jumlah dari# tiga sudut internal segitiga

sama dengan dua sudut siku-siku.

r(p(sisi 33 : garis-garis yang menghubungkan dua garis yang sama besar dan

sejajar pada ujung yang sesisi juga sama dan sejajar. .

r(p(rsisi 34 : dalam bangun jajar genjang sisi dan sudut yang berla,anan sama

dengan satu sama lain$ dan diag(nanya mem(t(ng bangun tersebut

setengahnya.

r(p(rsisi 35 : 0ajar genjang yang berimpit pada alas yang sama$ dan diantara

garis sejajar yang sama$ saling sama besar "luasnya#.

r(p(rsisi 36 : jajar genjang yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar

yang sama saling sama besar

.

iberikan 97 dan EG& jajar genjang dimana alas 97 dan G sama dan

diantara garis sejajar yang sama & dan 9G. Maka saya katakan bahwa jajar genjang

tersebut saling sama besar.

ihubungkan ruas garis 9E dan 7&. 97 sama besar dengan G, padahal G

sama besar E& Aprop $.%3B. jadi 97 sama besar E&. Keduanya juga paralel, E9 dan &7

dihubungkan. Padahal, menghubungkan sisi yang sama besar dan sejajar di ujung yang

sesisi garis penghubung tersebut sama besar dan sejajar juga Aprop $.%%B. Maka E9 dan&7 juga sejajar, dan E97& adalah jajar genjang Aprop $.%3B, dan sama terhadap

97, karena mereka memiliki alas yang sama, 97 dan diantara garis sejajar yang

sama 97 dan & Aprop $.%=B. Maka untuk alasan yang sama EG& juga sama besar

dengan E97& Aprop $.%3B. Maka jajar genjang 97 sama besar EG&.


15/25

saling sama besar.

r(p(rsisi 3! :segitiga yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang

sama saling sama.

iberikan 97 dan E segitiga dengan alas yang sama besar, 97 dan E, dan

diantara garis sejajar yang sama 9 dan . Saya katakan segitiga 97 sama dengan

segitiga E.

iberikan diperpanjang di kedua arah ke G dan &, lalu dibuat 9G melalui 9

sejajar 7, & melalui & jejajar E Aprop $.%$B. Maka, G97 dan E& keduanya

jajar genjang. an G97 sama besar dengan E&. Karena mereka berbagi alas yang

sama, 97 dan E, dan diantara garis sejajar yang sama, 9 dan G& Aprop $.%4B. dan

Segitiga 97 setengah dari sejajar G97, berdasarkan potongan oleh diagonal 9

Aprop. $.%3B, dengan proposisi yang sama untuk menunjukkan bahwa segitiga E

setengah dari E&.


16/25

pada sebuah garis lurus dengan sudut tertentu.

r(p(sisi 45 : untuk mengk(nstruk jajargenjang sama besar dengan sebuah bangun

bersegi dengan sudut yang diberikan.

r(p(sisi 46 : untuk mendeskripsikan sebuah persegi pada garis tertentu.

r(p(sisi 4 : pada segitiga siku-siku$ persegi di sisi yang menghadap ke sudut

siku-siku sama besar dengan persegi di sisi-sisi yang membentuk

siku-siku.


17/25

iberikan 97 segitiga siku)siku siku)siku di 97. Saya katakan bahwa persegi

di 97 sama besar dengan persegi di 9 dan 7.

Persegi 9E7 dideskripsikan di 97, dan persegi G9 dan &7 berturut)turut di 9

dan 7 Aprop $.34B. Kemudian : dilukis melalui sejajar dengan 9 atau 7E Aprop

$.%$B. an dan 7 dihubungkan. Karena 97 dan 9G masing)masing siku)siku,

maka dua garis 7 dan G, tidak berimpit, dan membuat sudut bersebelahan

berdasarkan 9, pada titik , dimana sama besar dua sudut siku)siku.


18/25

lemma adalah teorema sederhana yang digunakan sebagai hasil antara dalam

pembuktian teorema lain.

('mm'n nati'nadalah? asumsi yang diterima semua ilmuwan atau semua

orang)orang cerdas. alam 9uku)I "he Elemens terdapat = common nation yaitu

sebagai berikut?

$. Sesuatu yang sama besar pada sesuatu yang sama adalah sama besar satu sama

lain.

'.


19/25

kan terlihat bahwa hanya satu garis lurus yang melalui titik P, akan tetapi, garis

lurus tersebut bukan l, melainkan garis yang parallel dengan l.

&al ini jelas bahwa terdapat garis lurus yang melalui titik P bukan pada l, dan

garis tersebut sejajar dengan l.

ari titik P, kita dapat membuat ruas garis yang tegak lurus terhadap l dan

memotong l di titik F. lalu kita membuat garis m yang sejajar dengan l.

sumsikan bahwa terdapat garis lurus n yang melalui titik P, dan n m. sehingga,

akan menunjukkan bahwa n akan berpotongan dengan l.asumsikan bahwa sudut $

dan ' dibuat dari ruas garis n dan PF. Maka, sudut $ bukan merupakan sudut

siku)siku. Karena jika sudut $ adalah sudut siku)siku, maka pastilah m dan n

berimpit. &al ini jelas kontradiksi dengan asumsi awal.

engan demikian, sudut $ atau sudut ' merupakan sudut lancip. ndaikan bahwa

sudut $ adalah sudut lancip A7orollary '5.'B.

2ingkasan

Kedua garis l dan n dipotong oleh garis lurus trans0ersal PF sehingga

membangun sudut lancip $ dan sudut siku)siku. Kedua sudut adalah sepasang

sudut dalam sepihak PF. Karena jumlah sudut $ dan ' kurang dari $@( , maka

berdasarakan postulat kelima, garis l dan n pasti akan berpotongan. engan

demikian, m adalah satu)satunya garis yang melalui P bukan garis l, m sejajar

dengan l yang berarti bahwa kita telah menyimpulkan aksioma Play*air dari

postulat kelima.

,. Men!impulkan aksi'ma Pla!&air dari p'stulat Kelima

iberikan dua garis lurusldan mdipotong oleh garis trans0ersal di titik F,

P dan membentuk sepasang sudut dalam sepihak $ dan ' yang jumlahnya kurang

dari $@(. A:ihat Gambar. @B.


20/25

l

m

R P

Q

E

2

1

emikian, kita mempunya B$.....A$@('$ +


21/25

(. APL$KAS$

$. 9eberapa detail permukaan gedung merupakan bentuk dari Geometr.i Euclid

'. alam membuat permukaan meja berbentuk persegi panjang, jendela, dan

bingkai *oto, untuk memastikan bahwa daerah tersebut adalah persegi panjang,

maka yang harus dilakukan adalah memastikan bahwa setiap sudut besarnya tepat

6((. /amun, dengan memahami tentang Geometri Euclid, maka kita dapat

menentukan keempat sisi persegi panjang tersebut tanpa mengukur panjang

masing)masing sisi dan juga besar keempat sudutnya.


22/25

%. Sebuah menara air, kaleng, dan Piramida Mesir serta benda)benda yang

berbentuk kerucut, silinder, belahan, dan piramida. Mereka mewakili Geometri

Euclid dan 0olume benda)benda tersebut dapat dihitung dengan menggunakan

pemahaman Geometri Euclid.

3.


23/25

=. iameter lingkaran digunakan sebagai dasar untuk membuat roda agar seimbang

"ballance#. "anpa pengetahuan Geometri Euclid, maka akan sangat sulit untuk

membuat roda kendaraan menjadi seimbang.

4. Segitiga sama kaki digunakan untuk membuat atap rumah.

5. 9idang datar sebagai dasar pembuatan lantai yang juga merupakan aplikasi dariEuclid.

@. Geometri Euclid juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan

pegunungan. alam hal ini menggunakan prinsip segitiga dan sudut yang

dibentuk. Ini akan sangat mudah dibandingkan dengan mengukur langsung tinggi

menara dan pegunungan tersebut.


24/25

6. Geometri Euclid dapat digunakan untuk melakukan penaksiran lebar sungai

dengan menggunakan metode perbandingan segitiga.


25/25

REERES$

itHpatrick, 2ichard. A'((5B.uclids lements (f 7e(metry. Ingris

Makalah Up Load

Documents

Transcript of Makalah Up Load