Uji Normalitas dan Uji Homogenitas

Disusun Oleh : Kelompok 4

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073): Reno Sutriono (06081381520044): M. Rizky Tama Putra (06081381419045)

Mata Kuliah : Statistika DasarDosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi Matematika

Universitas Sriwijaya Palembang2016

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI...............................................................................................................................i

UJI NORMALITAS...................................................................................................................1

a. Uji Chi-Kuadrat..............................................................................................................1

b. Uji liliefors......................................................................................................................4

c. Uji Kolmogorov-Smirnov...............................................................................................6

UJI HOMOGENITAS................................................................................................................8

a. Uji Hartley......................................................................................................................8

b. Uji Bartlett......................................................................................................................9

LAMPIRAN 1

LAMPIRAN 2

LAMPIRAN 3

LAMPIRAN 4

DAFTAR PUSTAKA

i

UJI NORMALITAS

Uji normalitas dilakukan agar dapat mengetahui normal atau tidaknya suatu distribusi data. Hal ini penting diketahui untuk memilih uji statistik yang akan digunakan. Untuk data yang berdistribusi normal maka gunakan uji statistik parametrik sedangkan untuk data yang tidak berdistribusi normal maka gunakan uji statistik nonparametrik. Untuk menentukan normal tidaknya distribusi data dapat dilakukan dengan berbagai cara antara lain: grafik ogive, koefisien tingkat kemiringan, uji chi-kuadrat, uji liliefors dan lain-lain.

Penentuan kenormalan dengan melihat grafik ogive yaitu apabila grafik ogive lurus atau hampir lurus maka distribusi data tersebut dapat dikatakan distribusi normal dan jika tidak berarti distribusi data bukan distribusi normal.

Penentuan kenormalan dengan menggunakan koefisien kemiringan dilakukan dengan cara menghitung tingkat kemiringan (TK). Apabila −2<TK <2, data ditafsirkan berdistribusi normal dan jika tidak berarti data tidak berdistribusi normal.

Penentuan kenormalan dengan cara melihat grafik ogive dan menghitung tingkat kemiringan hanya berlaku untuk statistik deskriptif. Sedangkan dalam statistik induktif, dilakukan pengujian apakah distribusi data itu normal atau tidak. Pengujian tersebut antara lain: uji chi-kuadrat, uji liliefors, dan lain-lain.

a. Uji Chi-Kuadrat

Distribusi Chi-Kuadrat sangat berguna sebagai kriteria untuk pengujian hipotesis mengenai varians dan juga untuk uji ketepatan penerapan suatu fungsi (test goodness of fit) apabila digunakan untuk data hasil observasi atau data empiris. (Supranto, 2008 : 65)

Hipotesis:H 0:Tidak ada perbedaan distribusi frekuensi populasiH 1: Ada perbedaan distribusi frekuensi populasi

Pengujian:

χ2=∑i=1

k (Oi−Ei )2

Ei

Dimana:Oi=frekuensi observasi/pengamatan ke-i,Ei= frekuensi harapan ke ik = jumlah kelas/kelompok

1

Uji statistik ini menghitung jumlah kuadrat selisih antara frekuensi harapan dengan frekuensi pengamatan, jika frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan pada setiap sel pada tabel kontingensi tersebut akan bernilai sama sehingga nilai untuk tabel tersebut adalah nol. Nilai χ2 yang kecil menunjukkan kesesuaian yang tinggi antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan, dan semakin besar nilai χ2menunjukkan ketidak sesuaian antara pengamatan dengan frekuensi harapan, yang berarti tertolaknya H 0. Maksudnya H 0 ditolak jika χhit .

2 > χα2 dengan derajat bebas(db) yaitu

db=k−1

Untuk data kelompok derajat kebebasannya yaitu db=k−3. Untuk menghitung frekuensi ekspektasinya maka Ei=P i . N , Pi adalah peluang yang dilihat dari Ztabel. Cara menghitungnya yaitu Pi=Z tabel padatepibawah−Z tabel padatepi atas.

Contoh :Ujikan normal atau tidak data pengukuran terhadap tinggi mahasiswa tingkat pertama dilakukan dan diambil sebuah sampel acak berukuran 100 berikut dengan metode chi-square?

Daftar Tinggi 100 MahasiswaTinggi (cm) f 140 – 144145 – 149150 – 154155 – 159160 – 164165 – 169170 – 174

710162321176

Jumlah 100 Penyelesaian:Setelah dihitung x=157,8 dan S=8,09. Selanjutnya tentukan batas-batas kelas dan

cari nilai Zi=x i−x

s kemudian lihat Ztabel. Dari Ztabel pada tepi atas dan bawah didapat

peluang kelas ke-i dan frekuensi ekspektasinya dihitung dengan cara mengalikan peluang kelas dengan jumlah frekuensi.

Daftar Frekuensi Ekspektasi dan ObservasiBatas Kelas (

x i¿Zi=

x i−xs

Ztabel Frekuensi Ekspektasi (

Ei ¿

Frekuensi Observasi (Oi ¿

139,5144,5149,4154,5159,5164,5169,5

−2,26−1,64−1,03−0,410,210,831,45

0,03860,10100,18940,24230,21350,1298

3,910,116,924,221,413,0

71016232117

174,5 2,06 0,0538 5,4 6

χ2=(7−3,9)2

3,9+(10−10,1)2

10,1+(16−18,9)2

18,9+(23−24,2)2

24,2+

(21−21,4)2

21,4+

(17−13,0)2

13,0+

(6−5,5)2

5,4=4,27

Dari daftar frekuensi dapat dilihat k=7 jadi db=4, misal gunakan signifikansi α=0,05 :

χα2=9,49 berarti 4,27 < 9,49 χhit .

2 < χα2

sehingga H 0 diterima berarti daftartersebut berdistribusi normal

Contoh Kasus :Di suatu lokasi M-KRPL, diintroduksikan 3 jenis benih cabai rawit, yaitu cabai rawit hibrida (Bhaskara) dan dua cabai rawit lokal (Karanganyar dan Boyolali). Setelah diberikan penjelasan tentang karakter masing-masing jenis cabai, peserta M-KRPL dipersilahkan memilih jenis cabai yang disukai dan berapa jumlah yang dinginkan setiap jenisnya untuk ditanam di pekarangan masing-masing. Benih cabai rawit akan segera dikirim sesuai jumlah yang dipesan.

Rumusan masalah:Apakah penjelasan tentang karakter mempengaruhi jumlah benih tiga varietas yang dipesan peserta?

Hipotesis:H 0: Tidak ada perbedaan distribusi frekuensi antar jenis cabai rawitH 1: Terdapat perbedaan distribusi frekuensi antar jenis cabai rawit

Hasil analisis:Hasil pencatatan menunjukkan bahwa cabai rawit lokal Boyolali merupakan varietas yang paling banyak dipilih oleh peserta, sementara cabai rawit lokal Karanganyar sedikit dipilih

Tabel Pemesanan Cabai Rawit Lokasi M-KRPLNo. Jenis Cabai Rawit Frekunesi yang

diperolehFrekuensi yang

diharapkan1 Cabai rawit Hibrida Bhaskara 155 1502 Cabai rawit lokal Karanganyar 125 1503 Cabai rawit lokal Boyolali 170 150

χ2= (155−150 )2+ (125−150 )2+(170−150 )2

150

χ2=1050150

=7

Berdasarkan data hasil penelitian tersebut, dilakukan analisis uji Chi square. Hasil perhitungan Chi squared ( χhit .

2 ) ternyata sama dengan 7dengan derajat bebas (db) =

3

k−1=3−1=¿2 dan dengan dengan taraf uji (α=0,05) berarti χα2=5,991 (lih. Tabel

chi-kuadrat). 7 > 5,991 χhit .2 > χα

2

maka keputusannya H 0harus ditolak dan H1 harus diterimab. Uji liliefors

Uji ini hanya dapat dilakukan pada data tunggal atau data distribusi frekuensi tunggal bukan kelompok. Untuk melakukan uji normalitas dengan cara ini maka:- Menentukan taraf signifikansi (α) yaitu misalkan pada α=5%(0,05) dengan

hipotesis yang akan diuji:H 0 = Data berdistribusi normal, melawanH1 = Data tidak berdistribusi normal

Dengan kriteria pengujian:Jika LO=Lhitung<Ltabel terima H 0

Jika LO=Lhitung>Ltabel tolak H 0

- Lakukan langkah-langkah pengujian normalitas berikut;(1) Data pengamatan Y 1, Y 2, Y 3, ... , Y n dijadikan bilangan baku Z1, Z2, Z3, ... , Zn

dengan menggunakan rumus :

Zi=(Y i−Y )

s

Y i = Data ke-iY = rata-ratas=¿ simpangan baku

(2) Untuk setiap bilangan baku ini dengan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang

F ( Z i )=P(Z ≤ Zi)

(3) Hitung proporsi Z1, Z2, Z3, ... , Zn yang lebi kecil atau sama dengan Z. Jika proporsi ini dinyatakan dengan S(Zi) maka:

S (Z i )=Frekuensi Kumulatif Z i

n

(4) Hitung F ( Z i )−S(Z i) dan tentukan harga mutlaknya(5) Harga mutlak yang paling besar sebagai harga LO atau Lhitung

(6) Untuk menerima atau menolak hipotesis nol (H 0 ¿, bandingkan LO dengan Ltabel yang didapat dari tabel liliefors untuk taraf nyata(signifikansi) yang dipilih.

Contoh Soal:Lakukan uji normalitas dari hasil pengumpulan data suatu sampel berikut :

2 3 4 2 4 3 5 4

5 5 6 6 6 5 5 9

6 6 8 8 8 8 9 9

Jawab :

Sajikan data tersebut dalam tabel dan urutkan, lalu hitung rerata ( mean ) dan

simpangan baku seperti berikut :

Tabel Deskriptif

No Yi fi fiYi ( Yi – Y )2 Fi ( Yi – Y )2

1 2 2 4 13,4 26,9

2 3 2 6 7,1 14,2

3 4 3 12 2,8 8,3

4 5 5 25 0,4 2,2

5 6 5 30 0,1 0,6

6 8 4 32 5,4 21,8

7 9 3 27 11,1 33,3

Jumlah 24 136 107,3

Sehingga didapat, mean =Y=¿ ∑ f i – Y i

∑ f i = 5,7

simpangan baku = s = √∑ f i (Y i – Y )2

n−1 = 2,2

No Yi fi fkuartil≤ Zi Ztabel F I z I S I z I I FIZI – SIZI I1 2 2 2 -1,70 0,4554 0,0446 0,0833 0.0387

2 3 2 4 -1,23 0,3907 0,1093 0,1667 0,0574

3 4 3 7 -0,77 0,2794 0,2206 0,2917 0,0711

4 5 5 12 -0,31 0,1217 0,3783 0,5000 0,1217

5 6 5 17 -0,15 0,0596 0,5596 0,7083 0,1487

6 8 4 21 1,08 0,3599 0,8599 0,8750 0,0151

7 9 3 24 1,54 0,4382 0,9382 1,0000 0,0618

Jumlah 24

5

Selanjutnya, lakukan konversi setiap nilai mentah Yi menjadi nilai baku Zi, dan

selanjutnya tentukan nilai LO dengan langkah-langkah seperti tabel berikut :

Dari hasil perhitungan dalam tabel tersebut didapat LO = 0,1487; sedangkan dari tabel

Lilliefors untuk dan n=24 didapat nilai Llabel = 0,173. Karena nilai LO < L maka H0

diterima disimpulkan “ data atau sampel berdistribusi normal”.

c. Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji ini hampir sama dengan uji liliefors. Untuk melakukan uji ini hal yang harus

dilakukan antara lain:

- Menentukan taraf signifikansi (α ¿, misal α=0,05

- Hipotesis yang akan diuji yaitu:

H 0 : Data berdistribusi normal, melawan

H1 : Data tidak berdistribusi normal

dengan kriteria pengujian sebagai berikut:

Tolak H 0 jika D0>Dtabel

Terima H 0 jika D0<Dtabel

- Untuk menghitung D0 maka cari nilai |FT−FS| dan pilih |FT−FS| yang tertinggi.

Untuk mencari FT dan FS maka hitung dahulu Zi

Zi=( x i−x )

SFT=¿ peluang normal = P(Z ≤ Z i)

FS=¿ peluang empiris = Frekuensi Kumulatif Z i

n

Contoh soal:

Dari pengukuran suatu variabel bebas diperoleh skor sebagai berikut:

55,7 59,62 59,62 53,85

48,08 36,54 65,38 51,92

55,77 67,31 42,31 55,77

67,31 40,38 65,38 61,54

69,23 82,69 59,62 65,38

Tabel Uji Lilliefors

55,77 46,15 55,77 65,38

51,92 67,31 71,15 61,54

65,38 53,85 65,38 42,31

80,77 65,38 78,84 61,54

34,62 63,46 84,61

Dari data diatas hitung rata-rata dan variansinya, x=59,86 dan S=11,85.

x i z i FT FS D0=|FT−FS|34,62 −2,13 0,016 0,026 0,0136,54 −1,97 0,0024 0,051 0,048640,38 −1,64 0,050 0,077 0,02742,31 −1,48 0,069 0,103 0,03442,31 −1,48 0,069 0,128 0,05946,15 −1,16 0,123 0,154 0,03148,08 −0,99 0,161 0,179 0,01851,92 −0,67 0,251 0,205 0,04651,92 −0,67 0,251 0,231 0,0253,85 −0,51 0,305 0,256 0,04953,85 −0,51 0,305 0,282 0,02355,77 −0,35 0,363 0,308 0,05555,77 −0,35 0,363 0,333 0,0355,77 −0,35 0,363 0,359 0,00455,77 −0,35 0,363 0,385 0,02255,77 −0,35 0,363 0,410 0,04759,62 −0,02 0,492 0,436 0,05659,62 −0,02 0,492 0,462 0,0359,62 −0,02 0,492 0,487 0,00561,54 0,14 0,556 0,513 0,04361,54 0,14 0,556 0,538 0,01861,54 0,14 0,556 0,564 0,00863,46 0,30 0,618 0,590 0,02865,38 0,47 0,681 0,615 0,066

7

65,38 0,47 0,681 0,641 0,0465,38 0,47 0,681 0,667 0,01465,38 0,47 0,681 0,692 0,01165,38 0,47 0,681 0,718 0,03765,38 0,47 0,681 0,744 0,06365,38 0,47 0,681 0,769 0,08867,31 0,63 0,736 0,795 0,05967,31 0,63 0,736 0,821 0,08567,31 0,63 0,736 0,846 0,1169,23 0,79 0,785 0,872 0,08771,15 0,95 0,829 0,897 0,06878,84 1,60 0,945 0,923 0,02280,77 1,76 0,961 0,949 0,01282,69 1,93 0,973 0,974 0,00184,61 2,09 0,982 1 0,018

D0=0,088

Lihat tabel kolmogorof dengan α=0,05 dan n = 39, maka Dtabel=0,218

0,088<0,218 D0<Dtabel maka H 0 diterima artinya data tersebut berdistribusi

normal.

UJI HOMOGENITAS

Homogenitas merupakan salah satu persyaratan uji statistik inferensial parametrik. Pengujian homogenitas dilakukan dalam rangka menguji kesamaan varians setiap kelompok data. Uji homogenitas diperlukan untuk melakukan analisis inferensial dalam uji komparasi. Salah satu teknik uji homegenitas yaitu uji F (Fisher) dan uji Bartlett.

a. Uji HartleyUji ini dilakuakan dengan cara membandingkan variansi terbesar dengan variansi terkecil.

F (max )=Variansi terbesarVariansi terkecil

Hasil hitung F(max) dibandingkan dengan F (max )tabel adapun kriteria pengujiannya sebagai berikut:

Terima H 0jika F (max )hitung ≤ F (max )tabel

Tolak H 0jika F (max )hitung>F (max )tabel

H 0 menyatakan variansi homogen sedangkan H 1 menyatakan variansi tidak homogen

Contoh soal:Skor 4 kelompok hasil uji coba suatu penelitian sebagai berikut:Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D

25 26 21 2830 31 29 2832 38 29 3636 39 31 3740 39 37 39

H 0=σ A2 =σ B

2 =σC2 =σ D

2

H 1=terdapat σ2 yang tidak sama

Berdasarkan data diatas, hitung variansi masing-masing kelompok:SA

2 =32,8 SC2 =32,8

SB2 =34,3 SD

2 =27,3

F (max )hitung=34,327,3

=1,2564

F (max )tabel=20,6 (n−1=4 , k=4)

Kesimpulan: H 0 diterima katena F (max )hitung<F (max )tabel yang berarti keempat kelompok itu homogen

b. Uji BartlettSalah satu cara untuk menguji homogen atau tidaknya suatu data maka dapat dilakukan uji yang salah satunya uji bartlett. Untuk melakukan pengujian ini kita misalkan sampel berukuran n1, n2, ... , nk dengan data Yij (i = 1,2,3...,k dan j = 1, 2, 3, ..., nk) dari sampel-sampel itu hitung variannya.

Dari Populasi Ke1 2 .... k

Y 11

Y 12

.

.Y 1n1

Y 21

Y 22

.

.Y 2n2

......

......

......

Y k 1

Y k 2

.

.Y k nk

9

Selanjutnya buat tabel penolong uji bartlett untuk mempermudah langkah pengujian.

Tabel Penolong Uji BartlettH0 = σ 1

2=σ22=…σk

2

Sampel

ke

db Si2 Log Si

2 (db) Log Si2

1

2

.

.

k

n1−1

n2−1

.

.

nk−1

S12

S22

.

.

Sk2

log S12

log S22

.

.

log Sk2

(n1−1) log S12

(n2−1) log S22

.

.

(nk−1) log Sk2

∑ ∑ db - - ∑ (db ) LogS i2

Dari daftar diatas hitung harga-harga yang diperlukan yaitu:(1) Varian gabungan dari semua sampel

S2=∑ (n i−1 ) S i2

∑ (ni−1 )

(2) Harga satuan BB=¿

(3) Untuk uji bartlet gunakan statistik chi-kuadrat dengan rumus:χ2=¿

Dengan taraf nyata α , hipotesis ditolak jika χ2 ≥ χ (1−α ) (k−1 )2 dimana χ didapat

sari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1−α) dan db=(k−1)

Contoh Soal:Diketahui perbandingan keuangan antara Pemerintah Pusat (X1), Propinsi (X2) dan Kabupaten/Kota (X3), di wilayah CJDW seperti tabel berikut:

Tabel Nilai VariansNilai Varians

SampelJenis Variabel: Perbandingan Keuangan

Pusat (X1) Propinsi (X2) Kabupaten/Kota (X3)

S2 37,934 51,760 45,612n 65 65 65

Langkah Penyelesaian:(1) Buat tabel uji bartlet

Tabel Uji BartletSampel db = (n−1) Si

2 log Si2 (db ) log Si

2

1 = (X1) 64 37,934

1,58 101,12

2 = (X2) 64 51,760

1,71 109,44

3 = (X3) 64 45,612

1,66 106,24

Jumlah = 3 ∑ ( ni−1 )=192 - - ∑ (db ) log S i2=316,8

(2) Hitung varians gabungan dari ketiga sampel tersebut

S2=(n1 . S1

2 )+(n2 . S22 )+(n3 . S3

2)n1+n2+n3

S2=(64 .37,934 )+ (64 .51,760 )+(64 . 45,612)

64+64+64

s2=8659,584192

=45,102

(3) Menghitung log S2=log 45,102=¿1,6542(4) Menghitung nilai B=( log S2) .∑ (n i−1 )=1,6542 ×192=317,61

(5) Menghitung nilai χhitung2 = (ln 10 ) [ B−∑ (db ) log Si

2 ] ¿ (2,3 ) × [ 317,61−316,8 ]=1,863

(6) Bandingkan χhitung2 dengan χ tabel

2 , untuk α=0,05 dan derajat kebebasan (db) = k−1=3−1=2, maka χ tabel

2 =5,991. Dengan kriteria pengujian sebagai berikut:Jika : χhitung

2 ≥ χ tabel2 , tidak homogen

Jika: χhitung2 ≤ χ tabel

2 , homogen

1,863<5,991berarti χhitung2 < χ tabel

2 , maka nilai varians-variansnya homogen

Kesimpulan:analisis uji komparatif dapat dilanjutkan

11

LAMPIRAN 1

LAMPIRAN 2

LAMPIRAN 3

Tabel Liliefors

LAMPIRAN 4

Tabel Kolmogorov-Smirnov

LAMPIRAN 4

Tabel Hartley

DAFTAR PUSTAKA

Hermawan, A. (2015). Aplikasi Statistika pada Data Pendamping Untuk Karya Tulis. Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Pertanian. Hlm. 27-28

Irianto, A. (2004). Statistik: Konsep Dasar, Aplikasi dan Pengembangannya. Edisi 4. Jakarta: Prenada Media Group. Hlm. 272-273 dan 276-277

Riduwan. (2015). Dasar-Dasar Statistika . Cetakan 13. Jakarta: Alfabeta. Hlm. 184 - 185

Saefudin, A., & dkk. (2009). Statistika Dasar. Jakarta: PT Grasindo. Hlm. 135

Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung : Tarsito. Hlm. 261-263 dan 293-294

Supardi. (2013). Aplikasi Statistika dalam Penelitian. Jakarta: Change Publication. Hlm. 129-147

Supranto, J. (2008). Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 2. Edisi 7. Jakarta: Erlangga. Hlm. 65

.