Makalah Translasi

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB X

KONSEP GESERAN ( TRANSLASI )

disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Rombel 05

Dosen pengampu Bapak Iwan Junaedi

Oleh

Kelompok 7

1. Nur Sholeh 41014091

2. Nur Solikhah 4101409125

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2012

Bab X Konsep Translasi ( Geseran )

B

X

Y

h

B’’B’

N

g

A A’’A’

PEMBAHASAN

GESERAN ( TRANSLASI )

A. Ketentuan dan sifat – sifat

Materi sebelumnya tentang pengertian ruas garis berarah yang selanjutnya

dilanjutkan dengan penyelidikan transformasi . Pada bab setengah putaran telah

diperoleh kesimpulan bahwa setiap setengah putaran dapat ditulis sebagai

hasilkali dua refleksi ( pencerminan ), yaitu jika A adalah sebuah titik serta g dan

h dua garis yang tegak lurus di A maka SA = MgMh. Dalam babi ni akan dibahas

hasilkali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka AA } = BB ¿ dengan A” = MhMg(A) dan B” = MhMg (B).

Bukti :

Kondisi diatas dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Ambil titik A dan B sebarang dengan A ≠ B dan A∉g , A∉h , B∉g , B∉h.

Andaikan A= (a1, a2) dan B = (b1, b2)

Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adalah titik tengah A B¿

Andaikan persamaan garis h adalah x = h, k≠0.

Ambil titik P(x,y), p∉h


Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga PP' memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan

P(x,y) maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah

Karena Q(k,y) dan P(x,y), maka dimisalkan P’=(x1,y1) maka diperoleh

Q=( x1+x

2,

y1+ y

2 )↔k , y=( x1+x

2,

y1+ y

2 )Sehingga

x1+x

2=k

↔ x1+x=2 k

↔ x1=2k−x

y1+ y

2= y

↔ y1+ y=2 y

↔ y1= y

Jadi, Mh(P)=P’=(2k-x,y)

Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka Mg(P)=P”=(-x,y)

Jadi M h M g ( p )=M h [ M g ( p ) ]¿ M h [ (−x , y ) ]¿ (2 k−(−x ) , y )

(2k+x , y )

Karena A=(a1 , a2 )dan B=(b1 , b2)

Maka

A} = {M} rsub {h} {M} rsub {g} left (A right ¿

¿ M h [M g ( A ) ]¿ M h (−a1 , a2 )

¿ (2 k+a1 , a2 )dan

B} = {M} rsub {h} {M} rsub {g} left (B right ¿


¿ M h [M g (B ) ]¿ M h (−b1 , b2 )

¿ (2 k+b1 , b2)Karena N titik tengah A B¿ ,

Maka N=( (2 k+a1)+b1

2,

a2+b2

2 )Jika N=( 2k+a1+b1

2,a2+b2

2 ) dan A=(a1 , a2 )

Maka SN ( A )=(2( 2 k+a1+b1

2 )−a1 , 2( a2+b2

2 )−a2)¿ (2 k+b1 , b2)

= B”

Maka

Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya

oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah. Jadi hasil transformasi

MhMg adalah seakan – akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan

searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).

Definisi

Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah

AB sehingga setiap titik P pada bidang P’ dengan G(P) = P’ dan PP' = AB

Teorema 10.2 :

Apabila AB=CD maka GAB=GCD

Bukti :

Dipunyai AB=CD

Ambil x sembarang

GAB ( x )=x1 dan GCD ( x )=x2

Maka x x1=AB dan x x2=CD

Karena AB=CD maka x x1=x x2

Artinya x1 = x2

Jadi GAB=GCD


C

DC”

P”

P

h

g

A

B

nhg

A B C|| ||

Jadi jika AB=CD maka GAB=GCD

Teorema 10.3 :

Andaikan g dan g dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak

lurus pada g maka C∈g dan D∈h .Apabila AB=2 CD maka GAB=M h M g.

Bukti :

Ambil titik P sebarang

Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)

Akan dibuktikan P’=P”

Menurut definisi geseran

Karena = , maka =

Berhubung C∈g maka M h M g (C )

¿ M h [M g (C ) ]¿ M h (C )

¿C

Ini berarti D titik tengah , sehingga =

Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh =

Jadi = , maka P’=P”

Jadi GAB(P)=MhMg(P)

Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg

Teorema 10.4

Jika GAB sebuah geseran maka (GBA )-1 = GBA

Bukti:

Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)

Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)

Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)

Maka setiap geseran memiliki balikan

Perhatikan gambar berikut:


Dari uraian diatas

Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)

=Mh[Mg(A)]

=Mh(A)

=B

GAB(A)=MnMh(A)

=Mn[Mh(A)]

=Mn(B)

=B

Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh

Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)

=Mh[Mn(B)]

=Mh(B)

=A

GBA(B)=MgMh(B)

=Mg[Mh(B)]

=Mg(A)

=A

Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh

Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1

= Mh-1

Mn-1

= MhMn

=GBA

Jadi (GAB)-1=GBA

B. Hasilkali Geseran

Setiap geseran dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi. Dalam subbab

ini akan diperlihatkan bahwa setiap geseran dapat diuraikan sebagai hasilkali dua

setengah putaran.


C

D

g

k

m

A

B

D

g

m

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )

C

g

k

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )

Teorema 10.5

Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB =

2 CD maka GAB = SCSD

Bukti :

Andaikan g = CD , k g di C, m g di D

Maka CD ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena AB = 2 CD maka GAB =

MmMk sedangkan SD = MmMg

dan SC = MgMk

Jadi :


SCSD = (MmMg)(MgMk)

= Mm (MgMg) Mk

= Mm I Mk

= MmMk

Jadi GAB = SCSD

Teorema 10.6

Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah

putaran.

Bukti :

Andaikan GAB suatu geseran.

Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga = .

Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah , berarti = 2 .

Menurut teorema 10. 5,

GAB=SDSC

GABSC=SDSCSC

GABSC=SD[SCSC]

GABSC=SD I

GABSC=SD

Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah

putaran.

Akibat :

Andaikan SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka

SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC

Bukti :

Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC

SCSBSA=GZBC SA

Ambil titik X sebarang

Misal GZBC SA=SX

Sehingga diperoleh 2 = 2 atau =


(Sifat asosiatif hasil kali transformasi)

(Transformasi identitas)

Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan

titik D maka diperoleh

GZBC SA=SX

SCSBSA= SD dengan AD=BC

Jadi, jika SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan

D sebuah titik sehingga AD=BC

Teorema 10.7

Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi

Bukti :

Andaikan dua buah geseran yaitu dan

Diperoleh GAB=B dan GBC (B )=C

Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A

Diperoleh

GBC GAB ( A )=GBC [GAB ( A ) ]¿GBC (B )

¿C

Andaikan titik E sebarang

Diperoleh GAB ( E )=E '

Berarti EE '=AB

GBC ( E ' )=E ¿

Berarti E ' E ' '=BC

Jika GBCdikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh

GBC GAB (E )=GBC [GAB ( E ) ]¿GBC ( E ' )


A

B

C E

E’

E’’

¿ E

Berarti EE ' '=AC sehingga diperoleh GEE } left (E right ) = E =G AC ¿

Jadi GBC GAB=GAC

Atau

Pembuktian menggunakan teorema 10.5

Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2 dan titik R sehingga 2

Diperoleh

Jika dikomposisikan dengan maka diperoleh

(assosiatif)

(Identitas transformasi)

(Identitas transformasi)

Karena 2 maka diperoleh

Jadi

Teorema 10. 8

Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b)

dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai

T(P)=(x+a,y+b) maka T=GOA.

Bukti :

Ambil titik P(x,y) dengan T(P) = (x+a,y+b)

Missal GOA(P) = P’, berarti

Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b)

Jadi T(P) = P’= GOA(P), P V

Ini berarti T = GOA.

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7

Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH

Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan dan


Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh

GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d)

Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)

Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)

Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh

GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]

= GKH(x+a,y+b)

= ((x+a)+c,(y+b)+d)

= (x+(a+c),y+(b+d))

Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik

(a+c,b+d).


C. SOAL LATIHAN

TUGAS I

1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.

a. Lukislah

b. Lukislah

c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan

d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga

2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :

a. Garis h sehingga

b. Garis k sehingga

c. Garis m sehingga m’

d. Titik C sehingga

3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis

– garis trersebut.

a. Lukislah titik B sehingga

b. Lukislah titik C sehingga

4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar

Lukislah :

a.

b. Garis h sehingga g

c.

d.

5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :


A

B D

P

g

C

a. R

b. R

c. R

6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :

a. Jika maka

b. Setiap translasi adalah suatu involusi

c. dengan

d. Apabila M titik tengah , maka

e. Apabila g’ (g), maka g’ // g

7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)

a. Tentukan C’

b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan

sehingga

9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang

membawa A ke B.

a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)

b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)

10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :

a. jika P = (x,y)

b. Titik D sehingga

c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)


TUGAS II

1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P

a. Tentukan GABSC(P)

b. Tentukan SCGAB (P)

c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB

b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE

c. Tentukan F sehingga GABSC = SF

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :

a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE

b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X

4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).

Tentukan S-1 (P)

b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang

bersangkutan?

a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan

b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan

c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)

d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)

Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G

7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan

koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat-

koordinat, buktikan :

a. SBSA adalah suatu translasi


A B

C

A B=GAB(A) A’=GAB(B)

A B

C C’=GAB(C)

A B

g hGAB(A) =BMhMg(A)=B } GAB=MhMg

hg

A B

C

hg

A B

b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap

b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa

10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)

a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)

b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)

D. JAWABAN

TUGAS I

1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris

a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)

b. Lukislah GAB(C)

c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A∈ g dan GAB=MhMg

d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C∈ g dan sehingga GAB=MhMg

2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g¿ AB.

a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB


GAB(A)= BMhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB

A

gk

B

GAB(A)= BMgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB

m

A

m’

B

A B C

b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB

c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)

GAB (m) = B

m’ = B

d. Titik C sehingga GBA(C) = B

GAB(C) = B

3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.


m’ = GAB(m)

AB

P

C

D

g h

A Mg(A)=A’ B= Mh(A’)

g h

C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’

P

P’

P”

a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB

Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B

b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC

Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C

4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g

Lukislah !

a) GCD GAB (P)

GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB


P’

P”

P

h’ = GDC (h)

h

g = GABGDC (h)

P

P’

P”

P”’ = G3AB (P)

GCD (P) = P” dimana P’P” = CD

b) GCD GBA (P)

GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA

GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD

c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g

d) G3AB (P)

5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:

a. GABGCD(P)=R

b. SAGBC(P)=R

c. (GAB)-1 Mg(P)=R

Penyelesaian:

…..


6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:

a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)

Bukti:

Dipunyai GAB=MgMh.

Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).

Jadi GAB ≠ MhMg.

Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg

b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)

Bukti:

Misal: GAB=MhMg.

Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1

= Mg-1Mh

-1

= MgMh

≠ GAB.

Jadi GAB bukan suatu involusi.

c. GABGAB= GCD dengan (Benar)

Bukti:

Ambil sembarang titik P.

Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.

Karena GAB(P)=P2 maka

GAB(P2)=P4 maka dan

GABGAB(P)=P4 maka

Sehingga , akibatnya P4=P5 .

Jadi GABGAB(P)= GCD(P).

Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.

d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)

e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)


7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

Jawab :

Jelas g dan h dan jarak antara g dan h

Persamaan garis

Jadi

Misal A ∈ g maka persamaan garis g

Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint

AB )

)

Jadi C(-1,5)

Persamaan garis h AB dan melalui C(-1,5)


Jadi g : y =

h : y =

8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).

a. Tentukan C '=GAB (C ).

Penyelesaian:

Karena C '=GAB (C ) maka

Jelas

Sehingga x2−2=−4⇔ x2=−2 dan y2−4=−4⇔ y2=0 .

Jadi C '=GAB (C )=(−2,0 ).

b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C∈g dan sehingga

MhMg= GAB.

Penyelesaian:

Jelas

mAB=y2− y1

x2−x1

=−1−3−5+1

=−4−4

=1 .

Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan g⊥ AB, h⊥ AB .

Sehingga diperoleh

Karena g//h maka mg=mh=−1 .

Misal garis h melalui titik D maka

Sehingga diperoleh


CC '=AB⇔CC ' 2=AB2

⇔( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2=( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2

⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(−5+1)2+(−1−3)2

⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(−4 )2+(−4 )2

mAB⋅mg=−1⇔1⋅mg=−1⇔mg=−1.

CD=12

AB

⇔CD 2=14

AB2

⇔( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2=14[ ( x2−x1 )

2+( y2− y1)2 ]

⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=14(−5+1 )2+1

4(−1−3)2

⇔( x2−2 )2+( y 2−4 )2=(12⋅−4 )2+(1

2⋅−4 )2

Jadi x2−2= 12⋅−4⇔ x2=0 dan y2−4= 1

2⋅−4⇔ y2=2.

Jadi titik D(0,2).

Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan mg=−1 adalah

y− y1=m( x−x1 )⇔ y−4=−1( x−2 )⇔ y−4=−x+2⇔ y=−x+6

dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan mh=−1 adalah

y− y1=m( x−x1 )⇔ y−2=−1( x−0)⇔ y−2=−x⇔ y=−x+2.

9. Diket A(2,1), B(5,-3)

Ditanyakan

a.

misal maka

sehinggga

dan

Jadi C’(7,-2)

b. dengan

misal

maka sehingga


dan

Jadi

10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.

a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).

Jawab:

Jelas GAB ( A )=B

⇔GAB (2 ,−1)=(3,4 )⇔(2+a ,−1+b)=(3,4 ) .

Sehingga 2+a=3⇔a=1 dan −1+b=4⇔b=5.

Jadi GAB (P )=GAB ( x , y )=( x+1 , y+5 ) .

b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).

Jawab:

Misal titik D( x1 , y1) maka

GAB ( D)=(1,3)⇔GAB ( x1 , y1)=(1,3)⇔( x1+1 , y1+5)=(1,3) .

Sehingga x1+1=1⇔x1=0 dan y1+5=3⇔ y1=−2.

Jadi titk D(0,-2).

c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga h=GAB( g ).

Jawab:

h=GAB (g )=GAB ( y+2 x=4 )⇔ y+5+2( x+1 )=4⇔ y+5+2 x+2=4⇔2 x+ y=−3 .


TUGAS II

1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P

a) Tentukan GABSC(P)

Penyelesaian :

GABSC(P)=GAB[SC(P)]

=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah

=P” dengan

b) Tentukan SCGAB(P)

Penyelesaian :

SCGAB(P)=SC[GAB(P)]

=SC(P’) dengan

=P” dengan C titik tengah

c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X

Penyelesaian :

Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD

Ambil titik X sebarang

GABSC(X)=SD(X)

Diperoleh SD(X)=X, berartti X=

Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti

Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)

= GAB[SC(X)]

=GAB(D’) dengan C titik tengah D’, berarti

=D dengan

=X


Jadi titik X adalah titik tengah dimana

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana,

2

b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE

Penyelesaian :

Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C

dimana,

c) Tentukan F sehingga GABSC=SF

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti

dimana,

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :

a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE

b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X

4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S-1(P).

Penyelesaian :

Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)

=(x+a,y+b)

b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.

Penyelesaian :

Ambil titik P sebarang


Misal G1=GAB dan G2=GCD

G1G2(P)=G1[G2(P)]

=G1(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(1)

G2G1(P)=G2[G1(P)]

=G2(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(2)

Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB

G1G2=G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?

a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.

Penyelesaian :

b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan

Penyelesaian :

c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.

Penyelesaian :

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).

Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G

Penyelesaian :

SDSC(P)=G(P)


SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)

Misalkan D(a,b)

[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)

2a-(2-x)=x+2

2a=x+2+2-x

2a=4

a=2

2b-(-14-y)=y+3

2b=y+3-14-y

2b=-11

b=-5,5

Jadi titik D(2,-5,5)

7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-

koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.

Penyelesaian :

Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])

=(4+x,y-8)

Apabila B titik tengah maka,

x=-1

y=18

Jadi koordinat D=(-1,18)


8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat.

Buktikan :

a) SBSA adalah suatu translasi

Penyelesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

SBSA(P)=SB[SA(P)]

=SB(2a1-x,2a2-y)

=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)

=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka =

Penyeleesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

=( b1–a1,b2-a2)

=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]

=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]

=2( b1–a1,b2-a2)

=2

Jadi terbukti =

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap

Penyelesaian :……….

b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

Penyelesaian :……….

c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA

Penyelesaian :………

10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)

a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)

Penyelesaian :


SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)

=SA(-6-x,10-y)

=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)

=(10+x,-8+y)

Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)

b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).

Penyelesaian :

L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2

SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]

=SA(-6,10)

=[2.2-(-6),2.1-10]

=(10,-8)

Jadi L’={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}


Makalah Translasi

Documents

Transcript of Makalah Translasi