Makalah Statistika ekonomi 1 by Tria Ningrum. R

1

STATISTIKA EKONOMI 1

Makalah

Untuk Memenuhi Nilai Mata Kuliah Statistik 1

Disusun oleh :

Tria Ningrum Rohmawati

PRODI AKUNTANSI

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS PAMULANG

Jalan Surya Kencana Nomor 1, Pamulang

2

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas

limpahan rahmat dan karunia-Nya, saya dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada

waktunya. Guna memenuhi tugas mandiri mata kuliah “Statistika Ekonomi 1 “, pada

Jurusan Program Studi Akuntansi Universitas Pamulang. Adapun judul makalah

adalah “Statistika Ekonomi 1.”

Pada kesempatan ini perkenankan penulis dengan segala rasa hormat

menyampaikan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada :

1. Bapak Drs. H. Darsono, selaku Ketua Yayasan Sasmita Jaya.

2. Bapak Dr. H. Dayat Hidayat, M.M., selaku Rektor Universitas Pamulang.

3. Bapak Drs. Bukhori NM, M. M, selaku Wakil Rektor I Universitas Pamulang.

4. Bapak H. Endang Ruchiyat, S.E, M.M, selaku Kaprodi Akuntansi

5. Bapak Dadi Supriyadi, selaku Dosen Pembimbing dari Mata Kuliah Matematika

Statistika 1

6. Dan kepada rekan-rekan mahasiswa Kelas 03 SAKMA Reguler B/Kelas:326

Makalah ini disusun dengan segala kemampuan yang ada pada penulis. Namun

penulis menyadari bahwa pengetahuan yang penulis miliki belum luas. Sehingga

makalah ini masih jauh dari sempurna oleh karena itu penulis sangat mengharapkan

kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

Tangerang Selatan 12 February 2016

Tria Ningrum. R

3

DAFTAR ISI

JUDUL ....................................................................................................................... 1

KATA PENGANTAR .............................................................................................. 2

DAFTAR ISI ............................................................................................................ 3

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang..................................................................................... 4

1.2 Pembatasan Masalah........................................................................... 6

1.3 Rumusan Masalah .............................................................................. 6

1.4 Tujuan Makalah ................................................................................. 6

1.5 Manfaat Makalah ............................................................................... 6

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi .......................................... 7

2.2 Ukuran Tendensi Sentral .................................................................. 20

2.3 Kuartil, desil, & persentil .................................................................. 28

2.4 Ukuran Penyebaran ....................................................................... 35

2.5 Ukuran Kemiringan dan Keruncingan ............................................. 40

2.6 Pengertian Angka Indeks................................................................ .... 44

2.7 Angka Indeks Tertimbang & Angka Indeks Rantai ........................... 51

2.8 Analisa deret berkala (Trend Sekuler) ............................................... 57

2.9 Analisa deret berkala (Variasi Musim & Gerakan Sikli) .................. 63

2.10 Regresi & Korelasi Linear ................................................................. 71

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan ......................................................................................... 86

3.2 Saran ................................................................................................... 86

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 87

4

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika Ekonomi arti sempitnya adalah kumpulan angka-angka (data-data kuantitatif). Sedangkan dalam arti luas yaitu suatu ilmu mengenai metode-metode untuk mengumpulkan, mengatur, mengolah, menyajikan, menganalisis, menyimpulkan data untuk membantu membuat keputusan yang lebih efektif.

Alasan mempelajari statistik antara lain :

� Informasi data kuantitatif ada dimana-mana � Teknik statistik digunakan untuk membuat keputusan yang

mempengaruhi kehidupan sehari-hari. � Pengetahuan tentang metode statistik akan dapat menolong untuk

memahami kenapa keputusan dibuat dan bagaimana keputusan tersebut mempengaruhi kita.

Kegunaan statistik

− Sebagai alat untuk mengumpulkan dan meramalkan keadaan data tertentu yang diobservasi.

− Sebagai alat untuk mengendalikan kualitas dari barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh suatu badan/lembaga tertentu.

− Sebagai alaty untuk mengetes/menguji apakah barang/jasa yang dihasilkan sesuai dengan yang direncanakan.

− Sebagai alat bagi seorang pemimpin untuk membuat keputusan

Tipe Statistik

� Statistik Deskriptif : Bagian dari statistik yang melakukan pengumpulan, pengolahan, penyederhanaan, penganalisaan, pengin-terpresentasian data dalam bentuk yang informatif.

� Statistik Inferens : Suatu metode statistik yang digunakan untuk menentukan sesuatu tentang populasi berdasarkan suatu sampel.

Macam-macam penggolongan Data

1. Menurut sifatnya a) Data Kualitatif / Atribut :

− Merupakan data yang tidak berbentuk angka tetapi berbentuk kata-kata yang bermakna. Contoh : Jawaban ya dan tidak, suka dan tidak suka, jenis kelamin, merk mobil. Penggunaan data kualitatif biasanya dilakukan untuk melihat seberapa besar proporsi dari jawaban tersebut atau frekuensi dari jawaban.

b) Data Kuantitatif: − Yaitu jenis data yang berbentuk angka dan populasinya disebut

dengan populasi kuantitatif. Contohnya : umur anda, lama daya

5

tahan batere, kecepatan kendaraan, dll. Data kuantitatif dibagi menjadi data diskret dan data kontinyu.

� Data Diskrit :

Mempunyai nilai-nilai tertentu dan biasanya ada “jarak” antara nilai-nilainya. Data ini biasanya merupakan hasil perhitungan. Contoh : Banyak Mahasiswa, Jumlah Kamar, Banya Kendaraan di lapangan parkir, dll.

� Data Kontinyu: Dapat mengambil sembarang nilai pada suatu selang tertentu. Data ini merupakan hasil pengukuran. Contoh : tinggi badan mahasiswa, tekanan ban, lama perjalanan, dl.

2. Menurut Sumbernya

a) Data Intern Didapat dari catatan-catatan dari lingkungan sendiri. Contoh: Perusahaan A akan meneliti Produktivitas karyawannya dengan mengambil data dari divisi-divisi dari perusahaan itu sendiri. Raw Data (data mentah) merupakan data yang belum mengalami penyusunan atau pengolahan data.

b) Data Extern Didapat dari luar lingkungan sendiri atau data yang dihasilkan oleh orang/lembaga lain. Menurut cara memperolehnya data ekstern dapat dibagi menjadi :

− Data Primer Adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh orang atau lembaga yang menerbitkannya.

− Data Sekunder Merupakan data yang diterbitkan oleh orang/lembaga yang bukan merupakan pengolahnya.

3. Menurut Waktu pengumpulannya.

a) Data Cross Section: Yaitu data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu (at point of time) yang bisa menggambarkan keadaan/kegiatan pada waktu tersebut. Contoh : Hasil sensus penduduk tahun 2000 memperlihatkan komposisi penduduk menurut umur, jenis kelamin, pekerjaan, pendidikan dll.

b) Data Berkala (time series): Yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu. Contoh : Perkembangan data Pendapatan Nasional dari tahun ke tahun.

Skala Pengukuran Data:

1. Skala Nominal Merupakan skala level paling rendah. Umumnya deigunakan untuk data yang hanya bisa diklasifikasikan kepada beberapa kategori. Ciri utamanya adalah tidak ada suatu urutan untuk pengelompokkannya. Selanjutnya kategori-kategori tadi dianggap saling lepas (mutually exclusive) artinya, misal tidak mungkin seorang muslim juga beragama kristen pada saat yang bersamaan. Kelemahan tidak bisa diurutkan.

2. Skala Ordinal

6

Memiliki semua sifat skala Nominal, merupakan data berdasarkan tingkatan atau peringkat. Contoh kategori ”istimewa” lebih tinggi dari kategori “baik”. Kelemahan tidak ada jarak yang jelas antar urutan data.

3. Skala Interval Memiliki semua sifat skala nominal dan ordinal. Merupakan urutan data

yang mempunyai nilai jarak antar nilai yang tetap. Contoh : Data nilai statistik 3 orang mahasiswa adalahh 50,80, dan 70. Hal ini jelas bahwa 80>70>50. Dan 80 sama dengan dua kali 40 temperatur. Kelemahan : angka nol (0) belum sejati.

4. Skala Rasio Merupakan tingkat tertinggi dari data. Memiliki semua sifat skala nominal,

ordinal, dan interval. Angka nol (0) merupakan angka sejati. Contoh : berat badan, tinggi badan, pendapatan.

1.2 Pembatasan Masalah

Berdasarkan dari latar belakang di atas, dapat dibatasi masalah materi hanya dalam Ruang Lingkup Statistika Ekonomi 1

1.3 Rumusan Masalah

Dari latar belakang serta pembatasan masalah Statistika Ekonomi 1, penulis dapat merumuskan masalah sebagai berikut :

1.3.1 Apa saja bentuk-bentuk statistik ?

1.3.2 Apa yang dimaksud Angka Indeks dalam statistik ?

1.3.3 Apa yang dimaksud analisa deret berkala dan apa saja macamnya?

1.4 Tujuan Makalah

Dari masalah diatas, secara garis besar tujuan dari penyusunan makalah ini adalah untuk menjelaskan mengenai Statistika Ekonomi 1. Adapun tujuan dibuat makalah ini adalah :

1.4.1 Agar dapat mengetahui macam-macam Statistik.

1.4.2 Agar dapat mengetahui cara perhitungan dari Statistika Ekonomi 1.

1.4.3 Mengetahui penerapan Statistika dalam Ekonomi.

1.5 Manfaat Makalah

Makalah ini disusun dengan harapan dapat memberikan kegunaaan atau manfaat baik secara teoritis maupun secara praktis. Secara teoritis, makalah ini berguna sebagai pengembangan ilmu, sesuai dengan masalah yang dibahas dalam makalah ini. Secara praktis, makalah ini diharapkan bermanfaat bagi:

1.5.1 Penulis, seluruh kegiatan penyusunan dan hasil dari penyusunan makalah ini diharapkan dapat menambah pengalaman, wawasan dan ilmu dari masalah yang dibahas dalam makalah ini;

1.5.2 Lembaga, makalah ini diharapkan dapat dijadikan sebagai sumber informasi, referensi untuk lembaga (kampus).

1.5.3 Pembaca, makalah ini diharapkan dapat dijadikan sebagai sumber tambahan dan sumber informasi dalam menambah wawasan pembaca.

7

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel Distribusi Frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai: Alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan lajur, yang di dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. (Sudijono Anas.2009: 38)

2.1.1 Macam - macam Tabel Distribusi Frekuensi (SudijonoAnas.2009:39)

− Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ; angka yang ada itu tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data). (Sudijono Anas.2009: 39)

Contoh Soal:

Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal Berikut ini data banyaknya anak dari 50 orang pegawai PT FGH.

Buatlah daftar distribusi frekuensi tunggal dari data tersebut.

Penyelesaian: Berdasarkan data tersebut, terlihat bahwa 4 keluarga tidak mempunyai anak, 13 keluarga mempunyai 1 anak, dan seterusnya. Selanjutnya, data tersebut disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, seperti Tabel berikut.

Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi kelompok adalah sebagai berikut.

Langkah 1. Jangkauan data (j) ditentukan, yaitu datum terbesar dikurangi datum terkecil.

8

Langkah 2. Suatu cara yang ditemukan oleh H. A. Sturges pada tahun 1926, yaitu dengan rumus:

dengan : k = banyak kelas berupa bilangan bulat, dan n = banyaknya data. Misalkan, n = 90

maka banyaknya kelas:

k = 1 + 3,3 log 90 = 1 + 3,3 [1,9542] = 7,449 Oleh karena k harus bilangan bulat, banyaknya kelas adalah 7 atau 8. Urutan kelas interval dimulai dari satuan terkecil yang disusun hingga satuan terbesar.

Langkah 3.

Panjang kelas interval (p) ditentukan dengan persamaan:

Nilai p harus disesuaikan dengan ketelitian data. Jika data teliti sampai satuan, nilai p juga harus satuan.

Langkah 4.

Batas kelas interval (batas bawah dan batas atas) ditentu kan. Batas bawah kelas pertama bisa diambil sama dengan nilai datum terkecil atau nilai yang lebih kecil dari datum terkecil. Akan tetapi, selisih batas bawah dan batas atas harus kurang dari panjang kelas. Secara umum, bilangan di sebelah kiri dari bentuk a – b, yaitu a disebut batas bawah dan bilangan di sebelah kanannya, yaitu b disebut batas atas.

Langkah 5.

Batas bawah nyata dan batas atas nyata ditentukan. Batas bawah nyata disebut juga tepi bawah dan batas atas nyata disebut juga tepi atas. Definisi tepi bawah dan tepi atas adalah sebagai berikut.

Jika data teliti hingga satuan maka:

• tepi bawah = batas bawah – 0,5 dan • tepi atas = batas atas + 0,5 Jika data teliti hingga satu tempat desimal maka:

• tepi bawah = batas bawah – 0,05 dan • tepi atas = batas atas + 0,05 Jika data teliti hingga dua tempat desimal maka:

• tepi bawah = batas bawah – 0,005 dan • tepi atas = batas atas + 0,005

9

Langkah 6.

Frekuensi dari setiap kelas interval ditentukan. Dalam hal ini turusnya ditentukan terlebih dahulu.

Langkah 7.

Titik tengah interval (mid point) ditentukan. Titik tengah atau nilai tengah disebut juga dengan istilah tanda kelas (class mark), yaitu nilai rataan antara batas bawah dan batas atas pada suatu kelas interval. Titik tengah dianggap sebagai wakil dari nilai-nilai datum yang termasuk dalam suatu kelas interval. Titik tengah dirumuskan oleh:

− Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan

Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka).

Contoh Soal:

Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok.Berikut ini adalah data nilai ujian mata pelajaran Bahasa Indonesia dari 90 siswa Kelas XI.

Buatlah daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut.

Penyelesaian:

Langkah 1.

Datum terbesar adalah 98 dan datum terkecil adalah 33, sehingga jangkauandata: j = xmak – xmin = 98 – 33 = 65

Langkah 2.

Banyaknya kelas interval adalah: k = 1 + 3,3 log 90 = 1 + 3,3(1,9542) = 7,449 Untuk kasus ini, diambil kelas interval 7.

Langkah 3. Menentukan panjang kelas interval. p = j/k = 65/7 = 9,29 (bisa diambil 9 atau 10). Untuk contoh ini, diambil p = 10.

10

Langkah 4. Menentukan batas kelas interval. Batas kelas ke-1 bisa diambil 33, tetapi agar kelas interval kelihatan bagus diambil batas bawah 31, sehingga didapat batas atasnya 31 + 9 = 40.

Batas kelas ke-1 = 31 – 40 Batas kelas ke-2 = 41 – 50 Batas kelas ke-3 = 51 – 60 Batas kelas ke-4 = 61 – 70 Batas kelas ke-5 = 71 – 80 Batas kelas ke-6 = 81 – 90 Batas kelas ke-7 = 91 – 100 Langkah 5. Untuk kasus ini, Langkah 5 tidak diperlukan, tetapi langkah ini akan sangat diperlukan pada kasus yang akan dibahas selanjutnya. Langkah 6. Frekuensi setiap kelas interval dapat dicari dengan menentukan turusnya terlebih dahulu (lihat tabel Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok dibawah ini).

Langkah 7. Menentukan titik tengah interval.

Titik tengah kelas ke-1 = ½ (31 + 40) = 35,5 Titik tengah kelas ke-2 = ½ (41 + 50) = 45,5 Titik tengah kelas ke-3 = ½ (51 + 60) = 55,5 Titik tengah kelas ke-4 = ½ (61 + 70) = 65,5 Titik tengah kelas ke-5 = ½ (71 + 80) = 75,5 Titik tengah kelas ke-6 = ½ (81 + 90) = 85,5 Titik tengah kelas ke-7 = ½ (91 + 100) = 95,5

Daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut, tampak seperti Tabel berikut ini.

Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok

Dari tabel tersebut, tampak siswa paling banyak memperoleh nilai antara

71-80.

11

Dalam Tabel diatas, frekuensi dinyatakan dalam bilangan cacah yang menyatakan banyaknya datum dalam setiap kelas. Frekuensi relatif bisa dinyatakan dengan persen sehingga sering juga dilambangkan dengan f(%).

Contoh Soal:

Membuat Tabel Frekuensi Relatif

Dari daftar distribusi frekuensi absolut pada Tabel berikut, tentukanlah tabel distribusi frekuensi relatifnya.

dengan membagi frekuensi suatu datum ( fabs) dengan

Penyelesaian:

Jumlah frekuensi (n) = 4 + 13 + 21 + 11 + 7 = 56 Untuk kelas ke-1: frel = 4/56 × 100% = 7,14%

Untuk kelas ke-2: frel = 13/56 × 100% = 23,21%




Demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai-nilai seperti pada kolom ketiga Tabel berikut.

− Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan , baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41)

12

Contoh Soal:

TABEL 1 .

Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai-nilai Hasil THB Bidang studi PKN Dari 40 Orang Siswa MTsN.

TABEL 2 . Distribusi Frekuensi Kumulatif Usia 50 Orang Guru Matematika yang bertugas pada Sekolah Dasar Negeri.

Tabel 1, dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Tunggal, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data yang tidak dikelompok-kelompokkan. (lihat kolom 1).

Adapun Tabel 2, kita namakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Kelompokan, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data kelompokkan.

2.1.2 Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi

− Dalam Bentuk Diagram Batang

Diagram batang adalah penyajian data dalam bentuk batang-batang atau kotak-kotak. Batang-batang tersebut dapat digambarkan secara vertikal atau horizontal, dalam bentuk batang tunggal atau majemuk.

Contoh Soal: 1. Berikut adalah data jumlah siswa SMK “A” dari tahun 2003 sampai

tahun 2007.

Tahun 2003 2004 2005 2006 2007

Jumlah Siswa

950 875 1.025 1.000 900

13

Buatlah diagram batang tunggal dari data tersebut. Penyelesaian: Data di atas dapat disajikan dalam bentuk diagram batang sebagai berikut.

Tahun

2. Berikut adalah data hasil penjualan kemeja dan jaket di toko “ ANANDA” dari bulan Januari sampai Juni 2007.

Buatlah diagram batang majemuk dari data tersebut. Penyelesaian: Data di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagram batang majemuk sebagai berikut.

− Dalam Bentuk Diagram Lingkaran

Penyajian data statistik yang dinyatakan dalam persen atau derajat dapat menggunakan diagram lingkaran. Diagram lingkaran sangat berguna untuk menunjukkan dan membandingkan proporsi dari data. Namun, diagram lingkaran tidak dapat menunjukkan frekuensi data.

Contoh Soal

Berikut adalah data olahraga favorit siswa SMK “MERDEKA”

800

850

900

950

1000

1050

2003 2004 2005 2006 2007

0

50

100

150

200

250

Kemeja

Jaket

Jum

lah

Sis

wa

14

Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut.

Penyelesaian:

Untuk menyajikan data di atas diagram lingkaran, tentukan sudutnya terlebih dahulu,

Sepak bola � ��

�� x 360o = 144o

Renang � �

�� x 360o = 32o

Bola Basket � �

�� x 360o = 48o

Voli � �

�� x 360o = 40o

Tenis � ��

�� x 360o = 96o

Diagram lingkaran yang dimaksud adalah:

Contoh Soal : Hobi dari 40 siswa disajikan dalam diagram lingkaran di samping. Banyaknya siswa yang hobinya menari ada. . . orang?

Penyelesaian: Lingkaran = 360o

Siku-siku = 90o = 25% Menggambar dan Menyanyi berupa siku-siku berarti masing-masing 25%, kemudian dalam satu lingkaran = 100% Menari = 12,5% x 40 = 5 orang.

Tenis

26,67%

Renang

8,89%

Sepak

Bola

40%

Bola

Basket

13,33%

Voli

11,11%

Menyanyi

Olahraga

37,5%

Menari

Menggambar

15

− Dalam Bentuk Diagram Garis Berikut ini penyajian data hasil panen padi (dalam ribuan- ton) di Desa Sidomulyo tahun 2006-2011 dalam bentuk diagram garis.

Dari diagram di atas diperoleh informasi sebagai berikut. a. Pada tahun 2011 hasil panen padi turun 10% dibanding tahun 2010, sedangkan pada tahun 2010 hasil panen naik 25% dibanding tahun 2009. b. Hasil panend tahun 2008 sama dengan hasil panen tahun 2009.

− Dalam Bentuk Grafik Poligon (Polygon Frequency)

a. Grafik Polygon Data Tunggal

Distribusi frekuensi nilai Hasil Ulangan Harian dalam Mata Pelajaran Matematika yang diikuti oleh 40 orang murid Madrasah Ibtidaiyah.

Langkah untuk membuat grafik polygon dari data di atas adalah:

1. Membuat sumbu horizontal dengan lambang X. 2. Membuat sumbu vertikal dengan lambang Y. 3. Menetapkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y. 4. Menempatkan nilai hasil ulangan umum bidang studi

matematika pada absis X, berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi.

5. Menempatkan frekuensi pada ordinal Y. 6. Melukiskan grafik poligonnya. Hasilnya seperti pada grafik

dibawah ini.

16

Grafik Poligon frekuensi tentang nilai-nilai hasil ulangan harian bidang studi Matematika dari 40 orang murid Madrasah Ibtidayah.

b. Grafik Polygon Data Kelompokan

Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Matematika dari sejumlah 80 orang siswa kelas III Jurusan IPA seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini.

Maka langkah yang perlu dilakukan adalah:

a. Menyiapkan sumbu horizontal X. b. Menyiapkan sumbu vertikal Y. c. Menetapkan titik nol. d. Menetapkan atau mencari titik tengah masing-masing interval yang ada.

0

5

10

15

3 4 5 6 7 8 9 10

Fre

ku

en

si

Nilai

17

Perhitungan nilai tengah untuk masing-masing interval dari data yang tertera pada table sebelumnya

e. Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada sumbu X.

f. Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada sumbu Y.

g. Membuat garis pertolongan (koordinat). h. Melukiskan grafik poligonnya.

Grafik Poligon frekuensi tentang nilai hasil EBTA dalam Bidang Studi Matematika yang diikuti oleh 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan IPA.

123456789

1011121314151617

46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79

Fre

ku

en

si

Titik Tengah dari Interval Nilai

Interval Frekuensi (f) Titik tengah (X) 78-80 2 79 75-77 2 76 72-74 3 73 69-71 4 70 66-68 5 67 63-65 10 64 60-62 17 61 57-59 14 58 54-56 11 55 51-53 6 52 48-50 4 49 45-47 2 46 Total 80 = N -

18

− Dalam Bentuk Grafik Histogram

Histogram adalah suatu bentuk grafik yang menggambarkan sebaran (distribusi) frekuensi suatu perangkat data dalam bentuk batang. Histogram digunakan untuk menggambarkan secara visual frekuensi data yang bersifat kontinu. Untuk data yang berbentuk kategori, tampilan visual yang serupa disebut diagram batang.

Tabel Frekuensi dan persentase kumulatif data

Skor F Fk %

91 – 97 84 – 90 77 – 83 70 – 76 63 – 69 56 – 62 49 – 55 42 – 48 35 – 41

3 3 8 13 19 15 9 6 4

80 77 74 66 53 34 19 10 4

100,0 96,3 92,5 82,5 66,3 42,5 23,8 12,5 5,0

Jumlah 80 - -

Grafik Histogram Frekuensi dan persentase kumulatif Untuk menggambar histogram diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak. Sumbu datar dan sumbu tegak saling berpotongan secara tegak lurus, sehingga kaki setiap batang jatuh pada batas nyata bawah/batas nyata atas setiap kelas dengan titik tengah kelas berada di tengah kedua kaki batangnya.

0

5

10

15

20

38 45 52 59 66 73 80 87 94

F

r

e

k

u

e

n

s

i

Skor

19

− Dalam Bentuk Grafik Ogif

Ogif (ogive) merupakan poligon yang dibuat atas dasar frekuensi kumulatif seperangkat data. Secara lebih tegas dapat dikatakan bahwa grafik ogif merupakan gambaran visual dari frekuensi kumulatif perangkat data. Garis suatu ogif menghubungkan batas nyata bawah atau atas setiap interval kelas. Sesuai dengan makna frekuensi kumulatif, ogif menggambarkan secara visual jumlah subjek yang berada di bawah atau di atas skor tertentu. Sebagai contoh, grafik ogif pada grafik dibawah ini menunjukkan bahwa 74 subjek berada di bawah skor 83,5 dan hanya 14 subjek yang berada di atas skor 76,5.

Tabel Frekuensi dan persentase kumulatif data

Skor F Fk %

91 – 97 84 – 90 77 – 83 70 – 76 63 – 69 56 – 62 49 – 55 42 – 48 35 – 41

3 3 8 13 19 15 9 6 4

80 77 74 66 53 34 19 10 4

100,0 96,3 92,5 82,5 66,3 42,5 23,8 12,5 5,0

Jumlah 80 - -

Grafik Ogive Frekuensi dan persentase kumulatif

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

34,5 41,5 48,5 55,5 62,5 69,5 76,5 83,5 90,5

f

r

e

k

u

e

n

s

i

Batas Nyata Atas/Bawah Interval Kelas

20

2.2 Ukuran Tendensi Sentral

2.2.1 Data Tunggal

− Rata-Rata Hitung (Mean)

Rata-rata atau Mean merupakan ukuran statistik kecenderungan terpusat yang paling sering digunakan. Penghitungan

Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi:

Contoh Soal :

Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.

172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata

Jawab :

Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah 170,1 cm.

Untuk menghitung rata-rata dengan Microsoft Excel, data diinput terlebih dahulu. Hasil input data adalah sebagai berikut.

Keterangan: ��= rata-rata hitung xi = nilai sampel ke-i n = jumlah sampel

21

Dari hasil input tersebut, diketahui bahwa data yang akan dihitung rata-ratanya berada pada kolom-baris D5 sampai D14 atau ditulis D5:D14.

Selanjutnya penghitungan rata-rata menggunakan fungsi average. Dikolom-baris D15 tempat penghitungan rata-rata ditulis =AVERAGE(D5:D14) lalu tekan enter. Dan hasilnya 170,1.

− Median Data Tunggal

Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari dengan cara sebagai berikut...:............................................................................. Median untuk jumlah data (n) ganjil

Median untuk jumlah data (n) genap

Contoh Soal :

Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut.

5, 6, 7, 3, 2

Median dari jumlah kelereng tersebut adalah?

Jawab:

Karena jumlah data adalah ganjil, maka :

Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah x3.

2, 3, 5, 6, 7

Dari hasil pengurutan dapat kita ketahui mediannya (x3)

adalah 5.

Contoh Soal :

Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut.

172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170, 165

Hitunglah median dari data tinggi badan siswa!

Jawab:

Karena jumlah data genap, maka

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

22

Untuk melanjutkan penghitungan, kita harus terlebih dahulu mengetahui nilai x5 dan x6.

160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180

Dari pengurutan tersebut diperoleh nilai x5 sama dengan 170 dan x6 sama dengan 171. Dengan demikian penghitungan median dapat dilanjutkan.

− Modus Data Tunggal

Modus (mode) adalah penjelasan tentang suatu kelompok data dengan menggunakan nilai yang sering muncul dalam kelompok data tersebut.Atau bisa dikatakan juga nilai yang populer (menjadi mode) dalam sekelompok data.

Modus biasanya dilambangkan dengan Mo.

Contoh Soal:

Sepuluh orang siswa dijadikan sebagai sampel dan diukur tinggi badannya.Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.

172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Tentukan modus tinggi badan siswa!

Jawab:

Hasil pengurutan data adalah sebagai berikut.

160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180

Dengan mudah kita peroleh modus yaitu 170.

Contoh Soal :

Delapan buah mobil sedang melaju di suatu jalan raya.Kecepatan kedelapan mobil tersebut adalah sebagai berikut.

60 , 80, 70, 50, 60, 70, 45, 75

Tentukan modus kecepatan mobil!

Jawab:

Jika data diurutkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

45, 50, 60, 60, 70, 70, 75, 80

Hasil pengamatan dari pengurutan di atas bisa diketahui nilai data 60 dan 70 adalah nilai data yang paling sering muncul (masing-masing dua kali). Oleh karena itu modus sekelompok data di atas ada 2 adalah 60 dan 70.

23

Contoh Soal :

Sembilan orang siswa memiliki nilai ujian sebagai berikut.

77, 62, 72, 54, 76, 57, 81, 70

Tentukan modus nilai siswa!

Jawab:

Jika diurutkan, susunannya akan seperti berikut ini.

54, 57, 62, 70, 72, 76, 77, 81

Dari pengamatan, tidak ada satupun nilai data yang sering muncul.Oleh karena itu, data di atas tidak memiliki modus.

2.2.1 Data Berkelompok

− Rata-Rata Hitung Data Berkelompok

Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.

1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara

dimana

3. Menggunakan pengkodean (coding)

Keterangan

= rata-rata hitung data berkelompok

= rata-rata sementara fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i ci = kode kelas ke-i p = panjang interval

24

Contoh Soal :

Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.

Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!

Jawab:

a. Menggunakan titik tengah (cara biasa)

Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.

Dari tabel di atas diperoleh

Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.

b. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara

Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.

25


Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah

c. Cara coding

Menentukan rata-rata sementara yang di tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.

Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.

Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.


Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.

26

− Median Data Berkelompok

Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.

Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.

Contoh soal:

Hasil pengukuran berat badan sebanyak 26 orang mahasiswa disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.

Jawab:

Tabel frekuensi komulatif

Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14.

Maka :

xii = 60,5 n = 26 p = 5 fkii = 9 fi = 5 Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.

Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.

Me = median xii = batas bawah median n = jumlah data fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median fi = frekuensi data pada kelas median p = panjang interval kelas

Hitunglah median berat badan mahasiswa!

27

− Modus Data Berkelompok

Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.

Keterangan : Mo = modus b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas interval b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahny

Contoh Soal:

Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi universitas Pamulang

Jawab:

Diket: modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) frekuensi terbanyak yaitu 27.

batas bawah kelas adalah 65,5,

frekuensi kelas sebelumnya 14, f

rekuensi kelas sesudahnya 21.

Panjang kelas interval sama dengan 5.

Nilai modus nilai statistik sebagai berikut :

Berapakah modus nilai statistic

mahasiswa tersebut?

28

2.3 Kuartil , Desil & Persentil

2.3.1 Kuartil

Kuartil adalah nilai atau angka yang membagi data dalam 4 bagian yang sama besar, setelah disusun dari yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya.

Ada 3 jenis kuartil, yaitu: � Kuartil pertama (K1) atau kuartil bawah (25% dari frekuensi bagian

atas) � Kuartil kedua (K2) atau kuartil tengah (50% dari frekuensi bagian atas

dan bawah) � Kuartil ketiga (K3) atau kuartil atas (75% dari frekuensi bagian bawah)

− Kuartil bentuk data tunggal

Rumus kuartil data tunggal

K i =( ��)

� , i =1,2,3,..

Contoh Soal : Tentukan K1 , K2 , dan K3 dari data: 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12 Jawab : Data yang telah diurutkan : 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Letak K 1=�(��)

�=

��

�= 3,75

(K1 terletak antara data ke–3 dan ke–4) sehingga, K1 = data ke-3 + 0,75 (data ke-4 – data ke-3) = 4 + 0,75 (4 – 4) = 4


�=

��

�= 7,5

(K2 terletak antara data ke–7 dan ke–8) sehingga, K2 = data ke-7 + 0,5 (data ke-8 – data ke-7) = 7 + 0,5 (7 – 7) = 7


�=

��

�= 11,25

(K3 terletak antara data ke–11 dan ke–12) sehingga, K3 = data ke-11 + 0,25 (data ke-12 – data ke-11) = 8 + 0,25 (9 – 8) = 8 + 0,25 = 8,25 Jadi, nilai kuartil dari data tersebut yaitu : K1 = 4 K2 = 7 K3 = 8,2

dimana: K i = kuartil ke – i n = banyak data i = 1, 2, 3,…

29

− Kuartil bentuk data berkelompok

Rumus kuartil data berkelompok

Contoh Soal:

Tentukan K1 (kuartil bawah), K2 (kuartil tengah), dan K3 (kuartil atas)dari data tes MIPA terhadap 40 siswa kelas XI IPA tersebut.

Nilai Frekuensi

40 – 49 4 50 – 59 5

60 – 69 14

70 – 79 10

80 – 89 4

90 – 99 3

Jumlah 40

Jawab :

dimana : K i = kuartil ke – i L i = batas bawah kelas kuartil c = panjang kelas interval n = banyaknya data F = jumlah frekuensi kumulatif kelas

sebelum kelas kuartil F = frekuensi kelas kuartil

31

− Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil

Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jangkauan interkuartil dinotasikan dengan QR maka:

QR = K3 – K1

Simpangan kuartil atau jangkauan semi-interkuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil. Jangkauan semi-interkuartil dinotasikan dengan Qd, maka:

Qd = �

� QR atau Qd =

�

� (K3 – K1)

Contoh Soal : (diambil dari contoh kuartil data tunggal) Tentukan simpangan kuartil dan jangkauan interkuartil dari data: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Jawab :

Jangkauan interkuartil QR = K3 – K1 = 8,25 – 4 = 4,25 Simpangan kuartil

Qd = �

� QR

= �

� 4,25 = 2,125

Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 4,25 dan 2,125

2.3.2. Desil

Desil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai desil hampir sama dengan mencari nilai kuartil, bedanya hanya pada pembagian saja. Harga – harga desil ada 9 bagian, yaitu dari Ds1 sampai Ds9

− Desil bentuk data tunggal Rumus desil untuk data tunggal

Dsi=( ��)

�� , i =1,2,3…9

dimana : Dsi = desil ke – i n = banyaknya data i = 1, 2, 3,…9

Contoh Soal : Diketahui data : 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan : a. Desil ke–2 b. Desil ke–4

32

Jawab : Data yang diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

a. Letak Ds2=�(��)

��=

��

�� = 2,2 (Ds2 terletak antara data ke–2 dan ke–3)

sehingga, Nilai Ds2 = data ke-2 + 0,2 (data ke-3 – data ke-2) = 5 + 0,2 (5 – 5) = 5

b. Letak Ds4 =�(��)

��=

��

�� = 4,4 (Ds4 terletak antara data ke–4 dan ke–5)

sehingga,

Nilai Ds4 = data ke-4 + 0,4 (data ke-5 – data ke-4) = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6,4 Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu: Ds2 = 5 dan Ds4 = 6,4

− Desil bentuk data berkelompok

Rumus desil data berkelompok

dimana : Dsi = Desil ke – i Li = batas bawah kelas desil c = panjang kelas interval F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil f = frekuensi kelas desil n = banyaknya data Contoh Soal :

Dari data diatas, tentukan Desil ke–7?

Jawab : Letak desil ke–7 =

�

��50 = 35 sehingga di nilai kelas interval 20 – 24

Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu: Ds7 = 22,5

33

2.3.3 Persentil

Persentil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai persentil hampir sama dengan mencari nilai desil, hanya bedanya pada pembagiannya saja. Harga – harga persentil ada 99 bagian, yaitu Ps1 sampai Ps99.

− Persentil bentuk data tunggal Rumus persentil untuk data tunggal

Psi=( ��)

�� , i =1,2,3,…99

Contoh Soal :

Diketahui data : 35, 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90. Tentukan :

a. Ps20 ? b. Ps80 ?

Jawab :

a. Letak Ps20 = ��(��)

�� = 2,2 (Ps20 terletak antara data ke-2 dan data ke-3)

sehingga,

Nilai Ps20 = data ke-2 + 0,2 (data ke-3 – data ke-2) = 40 + 0,2 (45 – 40) = 40 + 1 = 41

b. Letak Ps80 = ��(��)

�� = 8,8 (Ps80 terletak antara data ke-8 dan data ke-9)

sehingga, Nilai Ps80 = data ke-8 + 0,8 (data ke-9 – data ke-8) = 75 + 0,8 (80 – 75) = 75 + 4 = 79

Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu: Ps20 = 41 dan Ps80 = 79

− Persentil bentuk data berkelompok Rumus persentil data berkelompok

dimana : Psi = persentil ke-i n = banyaknya data i = 1,2,3,…99

dimana : Psi = persentil ke-i c = panjang kelas interval n = banyaknya data F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil f = frekuensi kelas persentil

34

Contoh Soal :

Kelas Interval Frekuensi 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 Jumlah 80

Dari data diatas, tentukan Ps50 dan Ps75 ?

Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu : Ps50 = 77,3 Ps75 = 86,5

35

2.4 Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat di gunakan untuk mengetahui luas penyebaran data atau variasi data atau homogenitas data dan atau bisa juga dikenal dengan stabilitas data.[1]

Kegunaan Ukuran Penyebaran Data

Adapun kegunaan dari ukuran penyebaran data ini, adalah :

a. Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data atau tidak.

b. Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.

c. Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi.

Macam-Macam Ukuran Penyebaran Data,

− Jangkauan (Range)

Jangkauan/Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor nilai yang tertinggi (Highest Score). Atau secara singkat Jangkauan ini adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.

Rounded Rectangle: Rumus :

R = X Maks - X Min

Contoh : Tentukan Range dari data Berikut : 10, 8, 6, 2, 4 ?

Jawab : Range = XMaks-XMin = 10 – 2 = 8, Maka Rangenya adalah 8

− Simpangan Rata-Rata ( Mean Deviation)

Simpangan (deviation) adalah selisih antara nilai pengamatan ke I dengan nilai rata-rata atau antara xi dengan X (X rata-rata) penjumlahan daripada simpangan-simpangan dalam pengamatan kemudian di bagi dengan jumlah pengamatan , N , di sebut dengan simpangan rata-rata

Simpangan Rata-Rata adalah penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah.

Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

36

Ada 2 bentuk Simpangan rata-rata yaitu :

Contoh Soal :

Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut :

12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11

Jawab :

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.

Contoh Soal :

Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.

37

Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka

Jawab :

Dari tabel tersebut, diperoleh = 65,7 (dibulatkan).

Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.

38

− Simpangan baku atau Standar deviasi (s)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya.

Simpangan baku adalah akar dari jumlah kuadrat simpangan dibagi dengan banyaknya data.

a) Simpangan Baku Untuk Data Tunggal

b) Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

Contoh Soal

Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169. Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

Jawaban

Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.

Contoh Soal

Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawaban Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi. Kita cari dulu rata ratanya rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 859/10 = 85,9

Masukkan ke rumus :

39

− Koofisien variabilitas

Koefisien variasi, disebut disperse relative, dapat digunakan untuk membandingkan nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil

40

2.5 Ukuran Kemiringan dan Keruncingan 2.5.1 Ukuran Kemiringan

Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Apabila diketahui besarnya nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya, apakah distribusi itu simetrik, positif, atau negatif.

Berikut ini contoh ketiga macam model distribusi tersebut.

Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti model distribusi simetrik, positif, atau negatif, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien kemiringannya.

a) Memperhatikan hubungan antara rata-rata hitung MODUS.

Koefisien kemiringan =

dimana : X = rata-rata,

Mo = Modus, s =simpangan baku b) Koefisian kemiringan (MEDIAN)

Me Koefisien Kemiringan = Dimana :

X = rata-rata, Mo = Median,

S = simpangan baku c) Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil.

Koefisien kemiringannya =

Dimana : K1 = kuartil ke satu, K2 = kuartil ke dua, K3 = kuartil ke tiga

Menurut PERSON,dari hasil koefisiennya kemiringan diatas,ada tiga cretiria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpuan data (baik data terkelompok maupun data tidak terkelompok),yaitu : o Jika koefisiennya kemiringan < 0,maka bentuk distribusinya negatif. o Jika koefisien kemiringannya = 0,maka bentuk distribusinya simetrik. o Jika koefisien kemiringannya > 0,maka bentuk distribusinya positif.

41

Contoh soal Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam Kg) yang baru lahir dirumah sakit bersalin “Bunda” dapat dilihat dalam tabel berikut.

Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil Penyelesaian : Koefisien kemiringannya =

42

Sehingga koefisien kemiringannya

2.5.2 Ukuran Keruncingan (Kurtosis)

Ukuran keruncingan adalah kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Sebuah distribusi yang mempunyai puncak relatif tinggi dinamakan leptokurtik, sebuah distribusi mempunyai puncak mendatar dinamakan platikurtik, distribusi normal yang puncaknya tidak terlalu tinggi atau tidak mendatar dinamakan mesokurtik.

Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik, platikurtik, dan mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan koefisien kurtosisnya

Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus

Dimana K1 = Kuartil kesatu

K2 = Kuartil kedua P10 = Persentil ke 10 P90 = Persentil ke 90

Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga criteria untuk mengetahui model

distribusi dari sekumpulan data, yaitu :

• Jika koefisien kurtosisnya < 0,263 maka distribusinya adalah platikurtik • Jika koefisien kurtosisnya = 0,263 maka distribusinya adalah mesokurtik • Jika koefisien kurtosisnya > 0,263 maka distribusinya adalah leptokurtik

Contoh soal Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam Kg) yang baru lahir dirumah sakit bersalin “Bunda” dapat dilihat dalam tabel berikut.

=

=

=

= - 0,022

Hitung koefisien kurtosisnya !

43

Penyelesaian :

Sehingga koefisien kuatisisnya

=

=

=

= 0,268

44

2.6 Pengertian Angka Indeks

Angka indeks adalah sebuah rasio yang umumnya dinyatakan dalam persentase (%) yang mengukur satu variabel pada kurun waktu atau lokasi tertentu, relatif terhadap besarnya variabel yang sama pada waktu atau lokasi lainnya.

Jadi tujuan pembuatan angka indeks sebetulnya adalah untuk mengukur secara kuantitatif terjadinya perubahan dalam dua waktu yang berlainan misalnya indeks harga untuk mengukur perubahan harga (berapa kenaikannya atau penurunannya), indeks produksi untuk mengetahui perubahan yang terjadi dalam kegiatan produksi, indeks biaya hidup untuk mengukur tingkat inflasi, dll.

Cara menentukan pengolahan data angka indeks, perumusan tersebut sebagai berikut:

a. Sumber dan syarat perbandingan data Untuk membuat angka indeks diperlukan sumber data yang akurat. Data yang tidak akurat akan menghasilkan angka indeks yang menyesatkan.

b. Pemilihan periode dasar

Tahun yang dipilih sebagai tahun dasar menunjukkan kondisi perekonomian yang stabil dan diusahakan tidak terlalu jauh dengan tahun yang dibandingkan sehingga perbandingannya masih bermakna.

Contoh

Jumlah produksi barang A yang dihasilkan oleh PT. BonBon selama tahun 2005 dan 2006 masing-masing adalah 150 ton dan 225 ton. Hitunglah indeks produksi masing-masing tahun.

Penyelesaian:

Jika dibuat indeks produksi tahun 2006 dengan waktu dasar 2005, maka produksi pada tahun 2005 dipergunakan untuk dasar perbandingan, sedangkan produksi tahun 2006 (waktu bersangkutan) akan diperbandingkan terhadap produksi tahun 2005 tadi.

Maka Indeks produksi 2006 adalah :

225/150 X 100% = 150% (ada kenaikan produksi 50%).

Jenis – Jenis Angka Indeks

a. Angka Indeks Harga (Price Relative)

Indeks harga adalah angka yang menunjukkan perubahan mengenai harga-harga barang, baik harga untuk satu macam barang maupun berbagai macam barang, dalam waktu dan tempat yang sama atau berlainan. Indeks harga adalah indeks yang paling sering digunakan, angka indeks harga dibedakan menjadi tiga bagian yaitu :

1. Indeks Harga Konsumen (Consumer Price Index) adalah perbandingan harga barang-barang yang dikonsumsi sebagian besar masyarakat dari satu periode ke peroide berikutnya.

2. Indeks Harga Perdagangan Besar (Whole Saler)

adalah perbandingan harga-hara barang yang diperdagangkan secara besar-besaran tetapi bukan perubahan kualitas, kuantitas atau penjualan.

45

3. Indeks Harga Yang Dibayar dan Diterima Petani

adalah perbandingan perbandingan harga pembelian keperluan petani untuk melakukan proses produksi suatu pertanian dari satu periode ke periode berikutnya, sedangkan indeks yang diterima petani adalah perbandingan harga-harga hasil produksi petani dari satu periode ke periode berikutnya.

b. Angka Indeks Kuantitas (Quantity Relative)

Indeks kuantitas adalah angka yang menunjukkan perubahan mengenai jumlah barang sejenis atau sekumpulan barang yang dihasilkan, digunakan, diekspor, dijual, dan sebagainya untuk waktu dan tempat yang sama ataupun berlainan.

c. Angka Indeks Nilai (Value Relative)

Indeks nilai adalah angka yang dapat dipergunakan untuk mengetahui nilai mengenai barang yang sejenis atau sekumpulan barang dalam jangka waktu yang diketahui.

2.6.1 Angka Indeks Relatif Sederhana (Simple Indeks)

− Angka indeks harga relative sederhana

Menunjukkan perkembangan harga relative suatu barang & jasa pada tahun berjalan dengan tahun dasar, tanpa memberikan bobot terhadap kepentingan barang & jasa.

Rumus:

Contoh Soal :

− Angka indeks kuantitas relative sederhana

Indeks kuantitas relative sederhana dimaksudkan untuk melihat perkembangan kuantitas barang & jasa. Seberapa besar perkembangan kuantitas tersebut dibandingkan dengan tahun lalu atau periode dasar.

Tahun Harga Indeks Perhitungan

1996 1014 100 (1014/1014)x 100

1997 1112 110 (1112/1014)x 100

1998 2461 243 (2461/1014)x 100

1999 2058 203 (2058/1014)x 100

2000 2240 221 (2240/1014)x 100

2001 2524 249 (2524/1014)x 100

2002 2777 274 (7277/1014)x 100

IP= Pn/Po x 100

Keterangan:

IP= Indeks Harga relatif sederhana

Pn= Harga yang akan dihitung angka indeksnya

Po= Harga pada tahun dasar

46

Rumus:

Keterangan:

IQ= Indeks Kuantitas relative sederhana

Qn= Quantitas yang akan dihitung angka indeksnya

Qo= Kuantitas pada tahun dasar

Contoh Soal

Tahun Kuantitas Indeks Perhitungan

1996 31 100 (31/31) x 100

1997 30 97 (30/31) x 100

1998 32 103 (32/31) x 100

1999 33 107 (33/31) x 100

2000 32 103 (32/31) x 100

2001 30 97 (30/31) x 100

2002 31 100 (31/31) x 100

− Indeks Nilai Relatif Sederhana

Indeks nilai relative sederhana menunjukkan perkembangan nilai (harga dikalikan dengan kuantitas) suatu barang & jasa pada suatu periode dengan periode atau tahun dasarnya.

Rumus:

Keterangan:

IV= Indeks Nilai relative sederhana

Vn= Nilai yang akan dihitung angka indeksnya

Vo= Nilai pada tahun dasar

Contoh Soal:

Tahun Harga Kuantitas Nilai Indeks Keterangan

1996 1014 31 31434 100 (31434/31434)x100

1997 1112 30 33360 106 (33360/31434)x100

1998 2461 32 78752 251 (78752/31434)x100

1999 2058 33 67914 216 (67914/31434)x100

2000 2240 32 71680 228 (71680/31434)x100

2001 2524 30 75720 241 (75720/31434)x100

2002 2777 31 86087 274 (86087/31434)x100

IQ= Qn/Qo x 100

IV= Vn/Vo x 100

47

2.6.2 Metode Penghitungan Angka Indeks

Penghitungan angka indeks dapat dilakukan dengan beberapa metode. Oleh karena itu, perlu dilakukan pilihan yang tepat agar tujuan angka indeks yang telah ditetapkan dapat tercapai.

− Indeks Harga Tidak Tertimbang dengan Metode Agregatif Sederhana.

Angka indeks yang dimaksud dalam penghitungan indeks harga tidak tertimbang meliputi indeks harga, kuantitas, dan nilai. berikut pembahasannya masing-masing:

1) Angka indeks harga agregat sederhana (price = P)

Angka Indeks Harga Agregat Sederhana adalah angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah harga kelompok barang & jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya.

Rumus :

Keterangan: IPA = Indeks harga agregat yang tidak tertimbang/sederhana

Pn = Harga yang dihitung angka indeksnya Po = Harga pada tahun dasar Contoh Soal 1:

Pembahasan :

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 adalah: IPA = ∑Pn/∑Po x 100

IPA = 1.500/1.300 x 100

IPA = 115,38% Jadi, harga tahun 2004 mengalami kenaikan sebesar 15,38%.

IPA = ∑Pn/∑Po x 100

48

Contoh Soal 2:

Diketahui harga rata-rata 6 macam barang kebutuhan pokok adalah sebagai berikut :

Pembahasan :

IPA = ∑Pn/∑Po x 100

IPA = 21.510/19.850 x 100

IPA = 108,36

Dari perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa harga-harga dalam kelompok barang tersebut mengalami kenaikan sebesar 8,36% (108,36 – 100) pada tahun 2010 dibandingkan tahun sebelumnya (Tahun 2009)

Contoh Soal 3:

Angka Indeks Harga Aggregate Sederhana : Perkembangan Harga Komoditi

Komoditi Harga 2001 Harga 2002 Indeks 2002

A 2.000 2.100 I = (7.650/7.300) x 100%

= 104,79% B 1.500 1.750

C 2.000 1.900

D 1.800 1.900

JUMLAH 7.300 7.650

Indeks aggregate sederhana pada tahun 2002 sebesar 104,79% atau mengalami kenaikan sebesar 4,79% dibandingkan dengan harga pada tahun 2001.

2) Angka indeks kuantitas agregat sederhana (quantity = Q)

Merupakan angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah kuantitas kelompok barang & jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya.

Rumus :

IQA = ∑Qn/∑Qo x 100

Keterangan: IQA = indeks kuantitas agregat yang tidak tertimbang/sederhana Qn = kuantitas yang akan dihitung angka indeksnya Qo = kuantitas pada tahun dasar

49

Contoh Soal :

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks kuantitas tahun 2004 adalah: IQA = ∑Qn/∑Qo x 100

IQA = 1000/800 x 100

IQA = 125% Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan kuantitas sebesar 25%.

3) Angka indeks nilai agregat sederhana (value = V)

Rumus :

Keterangan: IA = angka indeks nilai agregat tidak tertimbang/sederhana Vn = nilai yang dihitung angka indeksnya Vo = nilai pada tahun dasar

Contoh Soal :

Tahun Harga Kuantitas Nilai Indeks Keterangan

1996 1014 31 31434 100 (31434/31434)x100

1997 1112 30 33360 106 (33360/31434)x100

1998 2461 32 78752 251 (78752/33360)x100

1999 2058 33 67914 216 (67914/78752)x100

2000 2240 32 71680 228 (71680/67914)x100

2001 2524 30 75720 241 (75720/71680)x100

2002 2777 31 86087 274 (86087/ 75720)x100

50

Penghitungan angka indeks dengan metode agregatif sederhana mempunyai kebaikan karena bersifat sederhana, sehingga mudah cara menghitungnya. Akan tetapi, metode ini mempunyai kelemahan yaitu apabila terjadi perubahan kuantitas satuan barang, maka angka indeksnya juga akan berubah.

− Angka Indeks Rata-Rata Relatif

yaitu dimulai dengan mencari angka relatif dari masing-masing barang dan kemudian dicari rata-rata dari angka relatif tersebut.

Rumus :

Keterangan :

I = Angka Indeks rata-rata relatif

Pn = Jumlah harga tahun yang dicari indeksnya

Po = Jumlah harga tahun dasar

K = Jumlah barang

Contoh Soal

Angka Indeks Rata-Rata Relatif:Perkembangan Harga Komoditi

Indeks rata-rata relatif tahun 2002 sebesar 224,23% / 4 = 56,06%. Dengan menggunakan angka indeks rata-rata relatif, pada tahun 2002 terjadi kenaikan harga komoditi A, B, C dan D sebesar 56,06% dibandingkan tahun tahun 2001.

Komoditi Harga 2001

Harga 2002 Indek per komoditi

A 2.000 2.100 (2.100 / 2.000) x 100% = 105 %

B 1.500 1.750 (1.750 / 1.500) x 100% = 116,67 %

C 2.000 1.900 (1.900 / 2.000) x 100% = 95 %

D 1.800 1.900 (1.900 / 1.800) x 100% = 105,56 %

JUMLAH 224,23 %

I = [(Σ(Pn/Po) x 100%) / (k)]

51

2.7 Angka Indeks Tertimbang & Angka Indeks Rantai

2.7.1 Angka Indeks Tertimbang

Penghitungan angka indeks tertimbang dapat kamu lakukan dengan beberapa metode. Simaklah penjelasannya masing-masing pada pembahasan berikut ini.

− Metode agregatif sederhana Angka indeks tertimbang dengan metode agregatif sederhana dapat dihitung dengan rumus seperti di bawah ini.

Keterangan: IA = indeks harga yang ditimbang Pn = nilai yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar W = faktor penimbang

Contoh penghitungan angka indeks harga dapat kamu lihat pada tabel berikut .

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 dapat dihitung dengan cara:

Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan harga 10,61%.

− Metode Laspeyres

Angka indeks Laspeyres adalah angka indeks yang ditimbang dengan faktor penimbangnya kuantitas tahun dasar (Qo).

Keterangan:

IL = angka indeks Laspeyres

Pn = harga tahun yang dihitung angka indeksnya

Po = harga pada tahun dasar

Qo = kuantitas pada tahun dasar

52

Untuk lebih jelasnya tetang penghitungan angka indeks Laspeyres, perhatikan contoh di bawah ini.

Berdasarkan data di atas, maka indeks Laspeyres dapat dihitung sebagai berikut.

IL = 210.000/200.000 x 100 = 105%

Berarti terjadi kenaikan harga sebesar 5% pada tahun 2004.

− Metode Paasche

Angka indeks Paasche adalah angka indeks yang tertimbang dengan faktor penimbang kuantitas tahun n (tahun yang dihitung angka indeksnya) atau Qn.

Berikut adalah contoh penghitungan angka indeks tertimbang dengan metode Paasche.

Berdasarkan data di atas, maka indeks Paasche dapat dihitung sebagai berikut.

IP = 242.500/240.000 x 100 = 101,04%

Keterangan:

IP = angka indeks Paasche Pn = harga tahun yang dihitung angka indeksnya Po = harga pada tahun dasar Qn = kuantitas tahun yang dihitung angka indeksnya

53

Berarti terjadi kenaikan harga sebesar 1,04% pada tahun 2004.

− Metode Drobisch and Bowley

Angka indeks tertimbang dengan Metode Drobisch and Bowley dapat dirumuskan sebagai berikut.

Contoh soal:

Berdasarkan penghitungan angka indeks Laspeyres dan Paasche, pada soal di atas dapat dihitung besarnya indeks Drobisch sebagai berikut.

Berarti terdapat kenaikan harga 3,02% pada tahun 2004.

− Metode Irving Fisher

Penghitungan angka indeks dengan Metode Irving Fisher merupakan angka indeks yang ideal. Irving Fisher menghitung indeks kompromi dengan cara mencari rata-rata ukur dari indeks Laspeyres dan indeks Paasche.

Berdasarkan penghitungan angka indeks Laspeyres dan Paasche, maka dapat dihitung besarnya indeks Irving Fisher sebagai berikut.

Berarti terdapat kenaikan harga 3,00% pada tahun 2004.

− Metode Marshal Edgewarth

Menurut metode ini, angka indeks ditimbang dihitung dengan cara menggabungkan kuantitas tahun dasar dan kuantitas tahun n, kemudian mengalikannya dengan harga pada tahun dasar atau harga pada tahun n. Angka indeks Marshal Edgewarth dapat dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:

ID = angka indeks Drobisch

IL = angka indeks Laspeyres

IP = angka indeks Paasche

54

Untuk lebih jelasnya, perhatikan data pada tabel di bawah ini agar kamu dapat mencari angka indeks Marshal Edgewarth.

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks Marshal Edgewarth dapat dihitung sebagai berikut.

2.7.2 Angka Indeks Rantai

Angka indeks rantai adalah penghitungan angka indeks dengan menggunakan tahun sebelumnya sebagai tahun dasar. Misalnya menghitung angka indeks tahun 2000 dengan tahun dasar 1999, angka indeks tahun 2001 dengan tahun dasar 2000, dan angka indeks tahun 2002 dengan tahun dasarnya 2001.

Indeks rantai dapat dihitung sebagai berikut. - Indeks tahun 2000 = 500/500 × 100 = 100,00 - Indeks tahun 2001 = 600/500 × 100 = 120,00 - Indeks tahun 2002 = 700/600 × 100 = 116,67 - Indeks tahun 2003 = 800/700 × 100 = 114,29 - Indeks tahun 2004 = 900/800 × 100 = 112,50

PERUBAHAN INDEKS AKIBAT PERUBAHAN TAHUN DASAR

− Menentukan Indeks Harga Konsumen, IHK

IHK adalah suatu indeks yang mengukur perubahan harga rata-rata tertimbang dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga (household) atau masyarakat dalam wkatu tertentu. Indeks harga dihitung dengan memilih tahun dasar yang menjadi basis pembanding perubahan harga. Beberapa jenis barang dipilih untuk membentuk indeks harga. Setiap barang yang dipilih diberi nilai kepentingan relative atau weightage yang menunjukkan bobot dari barang

55

tersebut. Barang yang sangat diperlukan oleh masyarakat diberi bobot yang tinggi.

Contoh Aplikasi, Menghitung Indeks Harga Konsumen

Lima jenis barang yang akan digunakan untuk menentukan Indeks Harga Konsumen yaitu jenis barang A, B, C, D, dan jenis barang E. Kelima barang ini memiliki bobot atau tingkat kepentingan relatif dimasyarakat yang berbeda, seperti ditunjukkan pada Table 1 di bawah. Dalam perhitungan digunakan tahun dasar 2007 sebagai dasar pembanding untuk tahun 2012. Indeks Harga Konsumen dapat ditentukan seperti berikut:

Tabel 1. Perhitungan Indeks Harga Konsumen

IHK,2012 = {(harga2012 x bobot)/ (harga2007 x bobot)} x 100

IHK,2012 = (495.000/300.000) x 100

IHK,2012 = 165

Indek Harga Konsumen tahun 2007 adalah 100, sedangkan pada tahun 2012 Indeks Harga Konsumennya adalah 165. Harga telah meningkat sebesar 165 persen atau 1,65 kalinya dari harga tahun 2007.

− Menentukan, Menghitung Tingkat Inflasi.

Indeks harga yang digunakan untuk mengukur tingkat inflasi adalah indeks harga konsumen, atau dalam bahasa aslinya Consumer Price Index atau CPI. Indeks ini merupakan indeks harga dari barang-barang yang selalu digunakan oleh para konsumen.

Inflasi merupakan kecenderungan naiknya harga barang dan jasa pada umumnya yang berlangsung secara terus menerus. Sedangkan tingkat inflasi menunjukkan persentase perubahan tingkat harga rata-rata tertimbang untuk barang dan jasa dalam perekonomian suatu negara. Tingkat inflasi ditentukan dengan formula sebagai berikut:

Tingkat Inflasi ={ (IHKt – IHKt-1)/IHK t-1} x 100

IHK t adalah IHK pada tahun t

IHK t-1 adalah IHK pada tahun t – 1

56

Contoh Aplikasi Menghitung Tingkat Inflasi:

Indeks harga konsumen, IHK dan Inflasi Indonesia sepanjang tahun 2010 sampai dengan 2011 ditunjukkan pada Tabel 2 di bawah.

Tabel 2. Indeks Harga Konsumen Dan Inflasi Indonesia

Pada akhir tahun 2010 indeks harga konsumen adalah 125,17 dan di akhir tahun 2011 indeks harga konsumen naik menjadi 129,91. Maka tingkat inflasi yang terjadi pada tahun 2011.

Tingkat inflasi dalam tahun 2011adalah:

Tingkat Inflasi = {(126,46 – 126,29)/126,29} x 100

Tingkat Inflasi = 3,787 persen

Pada akhir tahun 2011 harga-harga barang yang dikonsumsi oleh masyartakat telah mengalami kenaikan sebesar 3,878 persen dari tahun 2010.

Sedangkan Inflasi pada bulan Februari 2011 dihitung dengan menggunakan Indeks Harga Konsumen bulan Februari dan Januari tahun 2011, yaitu sebagai berikut:

Tingkat Inflasi = {(129,91 – 125,17)/129,91} x 100

Tingkat Inflasi = 0,134 persen

57

2.8 Analisa Deret Berkala (Trend Sekuler )

Pengertian Analisa Deret Berkala adalah Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan (perkembangan produksi, harga, hasil penjaulan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dsb).

Serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu. Serangkaian data yang terdiri dari variabel Yi yang merupakan serangkaian hasil observasidan fungsi dari. variabel Xi yang merupakan variabel waktu yang bergerak secara seragam dan ke arah yang sama, dari waktu yang lampau ke waktu yang mendatang.

Pengelolaan Deret Berkala adalah Data kuantitatif deret berkala merupakan bahan analisis trend sekuler, variasi musim (seasonal), dan variasi siklikal.

2.8.1 Trend Sekuler

Trend Sekuler (Secular Trend) adalah Gerak variabel yang

cenderung ke satu arah (naik atau turun). Misalnya : peningkatan GNP,volume

penjualan dari waktu ke waktu. Analisis Runtut Waktu (Time Series)

adalah analisis pergerakan atau perubahan variabel bisnis/ekonomi dari waktu ke waktu.

• Kegunaan Trend Sekuler, untuk :

1) Menggambarkan pergerakan variabel bisnis/ekonomi.

2) Peramalan → dilakukan dengan ekstrapolasi persamaan garis Trend Sekuler.

− Trend Sekuler Linear

• Bentuk Umum Y = a + bX

Y: variabel bisnis

X: variabel waktu

a : konstanta → nilai Y pada saat X = 0

b : kemiringan = trend → koefisien perubahan nilai Y karena perubahan nilai X

• Nilai b

Nilai b dapat bernilai negatif Y Nilai b dapat bernilai positif Y

Y = a - bX Y = a + Bx

Penentuan persamaan dan garis “trend linear” dapat dilakukan dengan metode-metode berikut :

58

− Metode Semi Rata-Rata

Tahun Dasar yang digunakan adalah Tahun di urutan pertama. Perhitungan dibedakan antara banyak tahun (n) ganjil dan genap.

Banyak tahun = n = 7 (ganjil) Tahun dasar = 2001

Data di Tahun yang di tengah gugus data : TIDAK DIGUNAKAN

Koordinat I = (X1, Y1)

X1: Rata-rata X pada paruh data pertama

Y1: Rata-rata Y pada paruh data pertama

Koordinat II = (X2,Y2)

X2: Rata-rata X pada paruh data kedua

Y2: Rata-rata X pada paruh data kedua

Untuk kasus di atas


�1 =0 � 1 � 2

3=3

3= 1

�1 =10 � 12 � 14

3=36

3= 12

Koordinat I = (1, 12)

Koordinat II = (X2, Y2)

�2 =4 � 5 � 6

3=15

3= 5

�2 =18 � 19 � 20

3=57

3= 19

Koordinat II = (5, 19)

Kedua koordinat dimasukkan ke dalam persamaan Y = a + bX sehingga diperoleh 2 persamaan, yaitu:

Dari Koordinat I ( 1, 12) didapat persamaan (1) 12 = a + 1 (b)

Dari Koordinat II (5, 19) didapat persamaan (2) 19 = a + 5 (b)

59

Lalu dengan teknik eliminasi akan diperoleh nilai b, dan a Kurangkan persamaan (1) ke persamaan (2), dan akan didapat nilai b

19 = a + 5 (b)

12 = a + 1 (b) ⎯

7 = 4 b

b = 7/4 = 1.75

Masukkan nilai b ke dalam persamaan (1) atau persamaan (2), dan akan didapat nilai a

19 = a + 5 (1.75)

19 = a + 8.75 ⎯

A = 19 - 8.75 = 10.25

atau

12 = a + 1 (1.75)

12 = a + 1.75 ⎯

a = 12 - 1.75 = 10.25

Persamaan Trend Sekuler Linier adalah Y = 10.25 + 1.75 X Peramalan dengan TSL Perkirakan volume penjualan tahun 2008 X = 8 (Tahun Dasar = 2001) Y = 10.25 + 1.75 (X=8)

= 10.25 + 14 = 24.25

Jadi Tahun 2008, diperkirakan volume penjualan = 24.25 juta unit

− Metode Banyak Tahun (n) GENAP

Banyak tahun = n = 8 (genap) Tahun dasar = 2001


X1: Rata-rata X pada paruh data pertama

Y1: Rata-rata Y pada paruh data pertama

Koordinat II = (X2,Y2)

X2: Rata-rata X pada paruh data kedua

Y2: Rata-rata X pada paruh data kedua

60

Untuk kasus di atas

�1 =0 � 1 � 2 � 3

4=6

4= 1.5

�1 =10 � 12 � 14 � 16

4=52

4= 13

Koordinat I = (1.5, 13)

Koordinat II = (X2, Y2)

�2 =4 � 5 � 6 � 7

4=22

4= 5.5

�1 =18 � 19 � 20 � 21

4=78

4= 19.5

Koordinat II = (5.5, 19.5)

Dari Koordinat I ( 1.5, 13) didapat persamaan (1) 13 = a + 1.5 (b)

Dari Koordinat II (5.5, 19.5) didapat persamaan (2) 19.5 = a + 5.5 (b)

Lalu dengan teknik eliminasi akan diperoleh nilai b, dan a

Kurangkan persamaan (1) ke persamaan (2), dan akan didapat nilai b

19.5 = a + 5.5 (b)

13 = a + 1.5 (b) ⎯

6.5 = 4 b

b = 6.5/4 = 1.625

Masukkan nilai b ke dalam persamaan (1) atau persamaan (2), dan akan didapat nilai a

19.5 = a + 5.5 (1.625)

19.5 = a + 8.9375 ⎯

a = 19.5 - 8.9375

= 10.5625

Persamaan Trend sekuler Linier Y = 10.5625 + 1.625 X

Peramalan dengan TSL

Perkirakan volume penjualan tahun 2009 X = 8

Y = 10.5625 + 1.625 (X=8)

= 10.5625 + 13 = 23.5625

Jadi Tahun 2009, diperkirakan volume penjualan = 23.5625 juta unit

13 = a + 1.5 (1.625)

13 = a + 2.4375 ⎯

a = 13 - 2.4375

= 10.5625

61

− Metode Kuadrat Terkecil

• Bentuk Umum Y = a + bX

Peramalan dengan TSL

Perkirakan Volume Penjualan Tahun 2009 untuk tahun 2009, X = 4

Maka Y = 11.4 + ( 1.9 × 4) = 11.4 + 7.6 = 19

Volume Penjualan Tahun 2009 diperkirakan = 19 juta unit

Perubahan Tahun Dasar

Jika tahun dasar diubah, maka pada persamaan TSL terjadi perubahan hanya pada nilai konstanta (a) sedangkan nilai trend/kemiringan (b) tetap.

Nilai (a) pada Tahun Dasar baru didapat dengan memasukkan nilai X pada Tahun Dasar baru ke dalam persamaan Y = a + bX.

Contoh :

Persamaan TSL → Y = 11.4 + 1.9 X di dapat dengan menggunakan Tahun dasar = 2005, jika tahun dasar diubah menjadi tahun 2004 di mana X = -1, maka:

62

a = Y = 11.4 + 1.9 X = 11.4 + 1.9 × (-1) = 11.4 - 1.9 = 9.5

sehingga persamaan TSL dengan Tahun dasar = 2004 adalah Y = 9.5 + 1.9 X

Peramalan dengan persamaan TSL yang baru ini dilakukan dengan mengingat bahwa X = 0 diletakkan pada Tahun 2004, sehingga jika akan diramalkan penjualan Tahun 2009, maka X = 5 sehingga penjualan Tahun 2009 adalah :

Y = 9.5 + 1.9 X = 9.5 + 1.9 × (5) = 9.5 + 9.5 = 19 juta unit

Hasilnya sama seperti pada peramalan dengan tahun dasar 2005, yang sebelumnya sudah dihitung.

Jadi Persamaan TSL adalah Y = 12.5 + 1.01 X

Peramalan dengan TSL Perkirakan volume Penjualan Tahun 2009, untuk Tahun 2009, X = 9

Maka Y = 12.5 + ( 1.01 × 9) = 12.5 + 9.09 = 21.59

Volume Penjualan Tahun 2009 diperkirakan = 21.59 juta unit.

Perubahan Tahun Dasar

Jika tahun dasar diubah, maka pada persamaan TSL terjadi perubahan hanya pada nilai konstanta (a) sedangkan nilai trend/kemiringan (b) tetap.

Nilai (a) pada Tahun Dasar baru didapat dengan memasukkan nilai X pada Tahun Dasar baru ke dalam persamaan Y = a + bX.

Contoh :

Persamaan TSL → Y = 12.5. + 1.01 X di dapat dengan menggunakan Tahun dasar = Juni 2004. Jika tahun dasar diubah menjadi Januari 2005 di mana X = 1, maka

a = Y = 12.5+ 1.01 X = 12.5 + 1.01× (1) = 12.5 + 1.01 = 13.51

63

sehingga persamaan TSL dengan Tahun dasar = Januari 2005 adalah

Y = 13.51 + 1.01 X

Peramalan dengan persamaan TSL yang baru ini dilakukan dengan mengingat bahwa X= 0 diletakkan pada Tahun 2005 (Januari 2005).

Jika akan diramalkan penjualan Tahun 2009, maka X’ = 4 dan X = 8, nilai X harus dikalikan 2 mengingat X pada persamaan awal pun didapat dengan mengalikan X’ dengan 2

Volume Penjualan Tahun 2009 adalah :

Y = 13.51 + 1.01 X = 13.51 + 1.01 (8)

= 21.59 juta unit

Hasilnya sama seperti pada peramalan dengan tahun dasar Juni 2004, yang sebelumnya sudah dihitung.

2.9 Analisa Deret Berkala(Variasi Musim & Gerakan Sikli)

2.9.1 Variasi Musiman

Variasi musiman berhubungan dengan perubahan atau fluktuasi dalam musim-musim tertentu atau tahunan

Fluktuasi dalam satuan � Bulanan

� Triwulan

� Semester

Jadi perubahan < 1 tahun

− Metode rata-rata yang sederhana

Asumsi bahwa pengaruh tren dan siklus yang tidak beraturan tidak

besar dan dapat dianggap tidak ada

Rumus :

Rata-rata per kuartal

Indeks Musim = --------------------------------------- X 100

Rata-rata Total.

64

Contoh 1

Prosedur cara menghitung variasi musim dalam tabel contoh 1 adalah sebagai berikut : Menentukan rata-rata bulanan dari harga beras selama 3 tahun dengan rata-rata hitung. Rata-rata bulanan dari harga beras bagi bulan Januari ialah : ( 8.716 + 13.290 + 12.888) / 3 = 11.631,33 Rata-rata bulanan dari harga beras bagi bulan Februari ( 9.125 + 13.176 + 12.472) / 3 = 11. 591,00

65

Rata-rata bulanan dari Januari sampai dengan Desember dapat dilihat dalam kolom 5. Tujuan pengrata-rataan sedemikian itu sebetulnya ialah menghilangkan fluktuasi random dari harga beras tiap-tiap bulan. Andaikan angka rata-rata bulanan dalam kolom 5 merupakan titik ordinat Y sedangkan periode bulan dalam kolom 1 merupakan titik-titik sumbu X maka b = 63.111,67 / 572 = 110,33508 2b = 110,33508 (2) = 220,67017 Koefisien b menyatakan pertambahan trend setengah bulanan secara lilier dan 2b merupakan pertambahan trend bulanan. Bila dianggap Januari sebagai bulan dasar, maka jumlah pertambahan trend sama dengan 0. Jadi : Pertambahan trend bulan Januari = 0 Pertambahan trend bulan Februari menjadi sebesar 220,6702 (1) = 220,6702 Pertambahan trend bulan Maret menjadi sebesar 220,6702 (2) = 441,3404 Menghitung variasi musim murni : 11.591,00-220,6702 = 11.370,3290 Pencarian musim yang murni bagi bulan Januari-Desember dapat dilihat dalam kolom 10. Indeks musim bulan Januari menjadi :

123.691,43 = 10.307,619 12 11.631,33 x 100 = 112,8421 10.307,619

− Metode persentasi dari trend ( Falkne’s method) Suatu metode rata – rata yang disesuaikan dengan tren

Perbandingan antara nilai data asli dengan nilai tren. Rumusan : Nilai data asli Indeks Musim = --------------------------------------- X 100 Nilai tren Persamaan Metode Rata – rata dengan Tren � Persamaan tren Y = a + b.(X) � Koefisien a = ∑Y / n � Koefisien b = ∑XY / X²

66

Contoh Soal :

Penentuan konstanta a dan b serta persamaan trend liniernya menjadi

Persentasi dari trend bagi bulan Januari 1975 menjadi : 8.716 x 100 = 96,885

8.996,231 Nilai-nilai persentasi dari trend yang lengkap selama 1975-1977 dapat diikuti dalam kolom 7. Pada contoh 2 yang digunakan adalah data selama 3 tahun untuk dasar pencariannya. Maka untuk Indeks Musim dari tiap-tiap bulan selama 1975-1977 harus dirata-rata terlebih dahulu Variasi Musimnya.

67

Perhitungannya yaitu : =∑Vm / 12 = 1,199.59 / 12 = 99.966

Indeks Musim = Vm / Rata-rata Vm x 100 = 1.631,33 / 10.307,62 x100 = 108,108

− Metode rasio terhadap rata-rata bergerak Adalah metode yg dilakukan dgn cara membuat rata-rata bergerak

selama pereiode tertentu.

Rumus :

Indeks Musim = Nilai Rasio x Faktor Koreksi.

dimana : Nilai Rasio = Data Asli/data Rata-rata bergerak. Faktor Koreksi = (100 X n)/ jumlah rata-rata tasio selama – n

Contoh Soal :

Menghitung Indeks Musim dengan rata-rata bergerak

68

2.9.2 Gerakan Sikli & Residu (Tak Beraturan )

Pengertian sikli sebetulnya variasi dari Db yang meliputi periode lebih dari 1 tahun. Pola sikli sedemikian itu paling sukar diter-ka. Lama dan amplitudo sikli tidak pernah sama. Rangkaian ayunannya memang berulang kali, tetapi sifatnya tidak pernah periodik. Lama Vs bervariasi dari periode yang meliputi beberapa tahun hingga periode yang meliputi 10 bahkan 12 tahun.

69

Contoh Soal

Keterangan : Pada contoh 4 menyajikan data proses persentasi deviasi harga rat-rata karet RSS I di pasar Jakarta, dari trendnya selama 1967-1978. Pada perhitungan dibawah, persamaan trend sekuler selama 1967-1978 ialah Y’ = 18.251,1666+1.243,8356 u dengan periode dasar 1972-1973 = 0. Hasil perhitungan tentang residu sikli, relatif sikli dengan persentasi deviasi residu sikli dan relatif sikli dari garis normal masing-masing diberikan dalam kolom 4,5,6 dan 7. Ternyata nilai persentasi kedua deviasi yang dihitung dengan kedua perumusan di atas hasilnya sama.

− Pengukuran variasi Sikli dari data bulanan

Secara statisti sengaja tidak mengisolasikan residu dari deret berkala asal. Sehingga yang diperoleh hanyalah gerakan sikli random ( cylical-irregular) atau Vs X R.

Vs . R = Ts . Vs .Vm . R Ts . Vm

Dimana Ts . Vm = nilai normal atau merupakan % dari nilai normal

Contoh 5.1

70

Sikli random dapat diukur dengan menggunakan 3 alternatif.:

1. Deret berkala dibagi dengan trend sekulernya serta kemudian hasilnya dibagi pula dengan indeks musimnya. Secara aljabar dapat dirumuskan sebagai

(Ts . Vs .Vm . R)/Ts =Vs . R

Vm

Contoh 5.2

2. Deret berkala dibagi dengan indeks musimnya serta kemudian hasilnya dibagi pula dengan trend sekulernya. Perumusannya menjadi :

(Ts . Vs .Vm . R)/Vm =Vs . R

Ts

3. Trend dan indeks musim bulanan deret berkala dikalikan dan hasilnya digunakan sebagai pembagi deret berkala asal.

71

2.10 Regresi dan Korelasi Linier

2.10.1 Regresi Linier Sederhana

Persamaan Regresi :

Model regresi adalah persamaan matematik yang memungkinkan dalam peramalan nilai variabel tak bebas dari satu atau lebih variabel bebas

— Study tentang pengaruh 1 variabel bebas thd variabel tak bebas → regresi

sederhana — Sedangkan jika ada 2 atau lebih variabel bebas → regresi berganda - Dua variabel yang berhubungan (bivariat) diplotkan dalam grafik yaitu

‘diagram pencar’, yang menyatakan berbagai pola hubungan tertentu a. Hubungan positif linier b. Hubungan negatif linier c. Hubungan non-linier (eksponential) d. Tidak ada hubungan

Analisis Regresi :

Dua kegunaan pokok analisis regresi, yaitu :

1. Memperoleh suatu persamaan dan garis yang menyatakan hubungan antara 2 variabel

2. Pendugaan nilai ‘dependent variable’, y, dengan nilai tertentu ‘dependent variable’, x, yang diketahui berdasarkan hubungan dalam persamaan regresi

Analisis Korelasi :

− Mengukur keeratan hubungan antara 2 variabel yang didasarkan pada persamaan regresi

− Bukan meramalkan nilai variabel y

− Kekuatan hubungan antara 2 variabel dinyatakan dalam suatu bilangan yang disebut ‘koefesien korelasi’, yang dilambangkan dengan r2

x (Independent

y y = a + bx

Dependent Variable)

y = a + bx → y = dependent variable x = independent variable a, b = parameter / konstanta

regresi linier

72

− Pola hubungan, antara lain :

• Korelasi positif → tinggi, rendah • Korelasi negatif → tinggi, rendah • Korelasi nol

− Persamaan dan Garis Regresi

• Regresi sederhana hanya memiliki 2 variabel, yaitu 1 dependent dan independent variable

• Linier → terdapat hubungan garis lurus antara kedua variabel

• Persamaan hubungan linier 2 variabel x dan y :

Contoh Soal :

Diketahui persamaan regresi y = 50 + 5x

Jika x = 0, maka y = 50

x = 10, maka y = 100

Jawab :

Analisis Regresi Linier Sederhana :

Model regresi linier sederhana :

y = A+ Bx → deterministic model

→ tiap satu nilai x memiliki satu nilai y (exact relationship)

Dalam kenyataannya, hubungan x dan y → not exact

y = A + Bx + є → dimana є (=baca epsilon) adalah random error

→ A dan B merupakan parameter populasi maka garis regresi yang dihasilkan disebut ‘garis regresi populasi’

→ Selalu digunakan sampel data dlm penentuan model regresi

ŷ = a + bx + e → dimana a & b adalah nilai penduga bagi A & B

y = a + bx → y = dependent variable a = konstanta / y-intercept x = independent variable b = konstanta / slope

50

x

y y = 50 + 5x

150

100

5 10 15

1

5 → perubahan y

perubahan x

Perpotongan garis y

73

Analisis regresi dengan sampel data akan menghasilkan galat e

e = y – ŷ → e = random error atau galat untuk sampel data

Σe = Σ(y – ŷ) → ŷ = nilai prediksi untuk y

Untuk menentukan garis regresi yang baik, digunakan metode “Least Square” atau “jumlah kuadrat terkecil”

Dalam hal ini dihasilkan garis “Least Square”, dimana a dan b menghasilkan jumlah kuadrat galat minimum

Untuk garis regresi “Least Square” dimana ŷ = a + bx

xxSS b xySS

= ; a = ў – bx

Dimana n

y)( x)( -xy SSxy

∑∑∑=

n

x)( - x SS 2

xx

2∑∑=

SS = Sum of Square ; ў dan x = rata-rata

Contoh Soal:

Tentukan garis regresi “Least Square” dari data income dan belanja ($/hari) untuk 7 keluarga pada tabel berikut :

x

y

Garis regresi

e = galat

SSE = Σe2

= Σ(y – ŷ)2

SSE = Error Sum of Square

74

Jawab :

y = a + bx

Step untuk menghitung a dan b :

Step 1. Menghitung Σx, Σy, x, ў

Σx = 212 → x = Σx/n = 212/7 = 30.29

Σy = 64 → ў = Σy/n = 64/7 = 9.14

Step 2. Menghitung Σxy dan Σx2

Σxy = 2150 dan Σx2 = 7222

Step 3. Menghitung SSxy dan SSxx

211.71 7

(64) (212) - 2150

n

y)( x)( -xy SSxy ==

∑∑∑=

801.43 7

(212) - 7222

n

x)( - x SS

22

xx ==∑∑=

2

Step 4. Menghitung a dan b

0.26 801.43

211.71

SS b

xx

=== xySS → a = ў – bx = 9.14 – (0.26) (30.29) = 1.14

Sehingga model regresi pendugaan ŷ = a + bx adalah : ŷ = 1.14 + 0.26 x

Garis yang dihasilkan disebut garis regresi “Least Square”, yang memberikan regresi belanja atas income.

Dengan model regresi pendugaan bisa memprediksi nilai y pada nilai x tertentu

Contoh :

Berapa biaya belanja yang dikeluarkan suatu sampel keluarga yang memiliki

income $35/hari.

Jawab :

ŷ = 1.14 + (0.26)(35) = $10.39

→ ŷ = $10.39

y = $9

e = -1.39 → nilai pendugaan y lebih besar dari nilai y yang sebenarnya

• 4

x

y

ŷ = 1.14 + 0.26 x

12

8

10 20 30

e = galat

y aktual = 9

40

Titik penduga

75

Interpretasi Nilai a dan b

ŷ = 1.14 + 0.26 x

→ Diperoleh dari data sampel dimana nilai x → 15 ≤ x ≤ 49

→ Hanya pada selang nilai x tsb, persamaan ŷ = 1.14 + 0.26 x, dapat diaplikasikan dan menghasilkan nilai y yang valid

→ ŷ yang dihasilkan adalah nilai rata-rata pendugaan, µy|x

→ Nilai b, bisa positif atau negatif

b positif → hubungan x dan y linier positif

b negatif → hubungan x dan y linier negative

Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

b

n x y x y

n x x

i i ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n=

−

−

= ==

= =

∑ ∑∑

∑ ∑

1 11

2

1 1

2

a y bx= − sehingga ay

nb

x

n

ii

n

ii

n

= −= =∑ ∑

1 1

n : banyaknya pasangan data

yi : nilai peubah tak bebas Y ke-i

xi : nilai peubah bebas X ke-i

x

y

b >

Linier Positif

x

y

b <

Linier Negatif

76

Contoh:

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Gosok.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana: Y= a + bX

b

n x y x y

n x x

i i ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n=

−

−

= ==

= =

∑ ∑∑

∑ ∑

1 11

2

1 1

2

...05263.1114

120

676790

10401160

)26()1585(

)4026()2325(2

==−−=

−××−×=b

= 1,053

ay

nb

x

n

ii

n

ii

n

= −= =∑ ∑

1 1

( )a = − ×

= − × = − =

40

5105263

26

58 105263 52 8 54736 2 5263. ... . ... . . ... . ....

= 2,530

Jadi

Y = a + b X → Y = 2,530 + 1,053X

77

Peramalan dengan Persamaan Regresi

Contoh:

Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut:

Y = 2,530 + 1,053 X

Perkirakan Volume penjualan, jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta?

Jawab : Y = 2,530 + 1,053 X

X = 10

Y = 2,53 + 1,053 (10)

= 2,53 + 10,53

= 13,06 (ratusan juta liter)

Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

Simpangan Baku Galat

Simpangan baku galat suatu populasi, σe, mengukur sebaran error di sekitar garis regresi populasi

σe biasanya unknown, sehingga nilainya diduga dari nilai Se, yaitu simpangan

baku galat dari sampel data

dimana 2 - n

SSE Se = SSE = Σe2 = Σ(y – ŷ)2

n - 2 adalah derajat bebas df

Koefesien Determinasi

Suatu model regresi dianggap baik, dapat dinilai dari koefesien determinasi, yang dinotasikan : ρ

2 → dihitung untuk data populasi r2 → dihitung untuk data sampel

n

y)( - y SS dimana

SS b. r

22

yy

xy2 ∑∑==

yySS

Nilai r2 → 0 ≤ r2 ≤1 Makin besar nilai r2, makin baik suatu model regresi, dimana variabel y sangat berhubungan dengan variabel x

2.10.2 Korelasi Linier Sederhana

• Korelasi linier mengukur keeratan hubungan atau asosiasi linier antara 2 variabel

78

• Koefesien korelasi linier mengukur bagaimana dekat titik-titik dalam diagram pencar tersebar di sekitar garis regresi

• Koefesien korelasi linier merupakan akar dari koefesien determinasi dinotasikan :

ρ → dihitung untuk data populasi r → dihitung untuk data sampel Nilai ρ dan r → -1 ≤ ρ ≤ 1 dan -1 ≤ r ≤ 1

• Korelasi linier sederhana, dinotasikan r, dihitung dengan rumus :

dimana SS

rxy

yyxx SSSS=

n

y)( - y SS

22

yy

∑∑=

n

y)( x)( -xy SSxy

∑∑∑=

n

x)( - x SS 2

xx

2∑∑=

• Koefisien Korelasi (r): ukuran hubungan linier peubah X dan Y

Nilai r berkisar antara (+1) sampai (-1)

Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+)

Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-)

Jika nilai r mendekati +1 atau r mendekati -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi.

Jika nilai r = +1 atau r = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna.

Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier (dalam kasus r mendekati 0, anda dapat melanjutkan analisis ke regresi eksponensial).

79

Koefisien Determinasi Sampel

Ukuran proporsi keragaman total nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai peubah X melalui hubungan linier.

Penetapan & Interpretasi Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi

−

−

−=

∑∑∑∑

∑ ∑∑

====

= ==

2

11

2

2

11

2

1 11

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

iiii

yynxxn

yxyxn

r

2rR =

Contoh:

Setelah mendapatkan persamaan Regresi Y = 2.530 + 1.053 X, hitung

koefisien korelasi (r) dan koefisien determinasi (R). Gunakan data berikut.

Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346

Nilai r= 0,9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume

penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi

2rR = 2...9857.0= = 0,97165....= 97 %

Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y

(volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi)

melalui hubungan linier. Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain.

80

Regresi Linier Berganda

Dalam regresi berganda dinyatakan hubungan antara sebuah variabel dependen (y) dengan 2 atau lebih variabel independen (x)

If ada n variable independen, maka variabel tersebut → x1, x2, x3 …. xn Regresi bergada kemudian menentukan nilai a, b1, b2, b3 …. bn untuk mendapatkan persamaan regresinya

y = a + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn

b1 = koefisien x1 , b2 koefisien x2 , dst.

Y : peubah tak-bebas a : konstanta X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan garis ke-1 X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan garis ke-2

Untuk menentukan nilai a, b1, b2, b3 …. bn maka digunakan persamaan normal :

→ a.n + b1 . Σx1 + b2 . Σx2 + b3 . Σx3 = Σy

→ a. Σx1 + b1 . Σ(x1 . x1) + b2 . Σ(x2 . x1) + b3 . Σ(x3 . x1) = Σ(y.x1 )



→ ………………..

→ a. Σxn + b1 . Σ(x1 . xn) + b2 . Σ(x2 . xn) + b3 . Σ(x3 . xn) = Σ(y.xn)

Atau

(i) n x x yii

n

ii

n

ii

n

a + b b1 211

21 1= = =

∑ ∑ ∑+ =

(ii) a + b b1 2x x x x x yii

n

ii

n

i ii

n

i ii

n

11

12

12 1

11

1= = = =∑ ∑ ∑ ∑+ =

(iii) a + b b1 2x x x x x yii

n

i ii

n

ii

n

i ii

n

21

2 11

22

12

1= = = =∑ ∑ ∑ ∑+ =

Contoh :

Tabel berikut menunjukkan jumlah penjualan (y) dalam hubungannya dengan lamanya pengalaman sebagai sales (x1) dan nilai test iq (x2) dari 8 orang sales dalam suatu periode tertentu. Tentukan persamaan garis regresinya

81

Jawab

Didapatkan 3 persamaan normal :

→ a.n + b1 . Σx1 + b2 . Σx2 = Σy

8 a + 30 b1 + 16 b2 = 40 …………………………………………….… (1)

→ a. Σx1 + b1 . Σ(x1 . x1) + b2 . Σ(x2 . x1) = Σ(y.x1 )

30 a + 136 b1 + 68 b2 = 178 ………………………………………..... (2)

→ a. Σx2 + b1 . Σ(x1 . x2) + b2 . Σ(x2 . x2) = Σ(y.x2 )

16 a + 68 b1 +38 b2 = 94 ……………………….……………….…….. (3)

Dengan cara eliminasi ketiga persamaan tersebut didapatkan :

a = -0.4545 ; b1 = 0.7273 ; b2 = 1.3636

Maka persamaan regresi yang dihasilkan ŷ = -0.4545 + 0.7273 x1 + 1.3636 x2

Contoh Soal:

Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) mobil dihubungkan dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit).

82

Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2

n = 6

x∑ 1= 31 x∑ 2

= 40 y∑ = 50

x x∑ 1 2 = 239 x y∑ 1= 296 x y∑ 2

= 379

x∑ 1

2=187 x∑ 2

2=306 y∑

2= 470

Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal,

(i) n x x yii

n

ii

n

ii

n

a + b b1 211

21 1= = =

∑ ∑ ∑+ =

(ii) a + b b1 2x x x x x yii

n

ii

n

i ii

n

i ii

n

11

12

12 1

11

1= = = =∑ ∑ ∑ ∑+ =

(iii) a + b b1 2x x x x x yii

n

i ii

n

ii

n

i ii

n

21

2 11

22

12

1= = = =∑ ∑ ∑ ∑+ =

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296

(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379

Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)

(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296 × 6 (i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50 × 31

(ii) 189 a + 1122 b1 + 1434 b2 = 1776 (i) 189 a + 961 b1 + 1240 b2 = 1550

(iv) 161b1 + 194 b2 = 226

Kemudian

(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379 × 6 (i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50 × 40

(iii) 240 a + 1434 b1 + 1836 b2 = 2274 (i) 240 a + 1240 b1 + 1600 b2 = 2000

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274

83

Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274 × 161

(iv) 161 b1 + 194 b2 = 226 × 194

(v) 31234 b1 + 37996 b2 = 44114

(iv) 31234 b1 + 37636 b2 = 43844

360 b2 = 270

b2 = 0,75

Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga: (v) 194 b1 + 236 b2 = 274

Perhatikan b2 = 0.75

194 b1 + 236 (0,75) = 274 194 b1 + 177 = 274 194 b1 = 97 b1 = 0,50

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50 Perhatikan b1 = 0,50 dan b2 = 0,75

6a + 31(0,50) + 40 (0,75) = 50 6a + 15,5 + 30 = 50 6a = 4,5 a = 0,75

Sehingga Persamaan Regresi Berganda

a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0,75 + 0,50 X1 + 0,75X2

Simpangan Baku

Simpangan baku regresi berganda dapat dihitung dengan formula sebagai berikut :

Dari contoh di atas, maka simpangan bakunya adalah :

0.75 8

(94) 1.3636 -(178) 0.7273 -(40) (-0.4545) - 244 Sy.12 ==

n

SSE

n

)(y.xb - ...... - )(y.xb - )(y.x b -y a.- y S nn2211

2

y.12..n ...

=∑∑∑∑∑

=

84

Korelasi dan determinasi Berganda

Untuk contoh acak {(x1, x2, y)}, koefesien determinasi berganda contoh dilambangkan dengan r2

y.12

Untuk contoh diatas, maka :

Dengan koefesien determinasi 0.9, artinya bahwa bidang regresi :

ŷ = -0.4545 + 0.7273 x1 + 1.3636 x2

dapat menjelaskan 90% keragaman dalam y berhubungan dengan variabel x1 dan x2

Koefesien korelasi, r adalah akar dari koefesien determinasi. Sehingga :

Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi

notasi sebagai berikut

2

12.yR

• Sedangkan Koefisien Korelasi adalah akar positif Koefisien

Determinasi ataU

12.yr = 2

12.yR

• Rumus

2)1(

212. 1

ysn

JKGyR

−−=

JKG : Jumlah Kuadrat Galat

sy² : Jumlah Kuadrat y (terkoreksi)

0.9 (6.29) (7)

4.5422 - 1

S 1) - (n

SSE - 1 r

2

y

y.12 === 2

0.95 0.9 ry.12 ==

85

di mana

( ))1(

222

−−

= ∑ ∑nn

yynsy

∑∑∑∑ −−−= yxbyxbyayJKG 22112

Contoh:

Jika diketahui (dari Contoh sebelumnya)

n = 6

1∑ x = 31 2∑ x = 40 ∑ y = 50

21xx∑ = 239 yx

1∑ = 296 yx2∑ = 379

2

1∑ x = 187 2

2∑ x = 306 2

∑ y = 470

Maka tetapkan 2

12.yR dan jelaskan arti nilai tersebut!

( ))1(

222

−−

= ∑ ∑nn

yynsy = 667.10

30

320

30

25002820

)56(6

)50()470(6 2

==−=−−

∑∑∑∑ −−−= yxbyxbyayJKG 22112

= 470 – 0,75(50) – 0,5 (296) – 0,75 (379)

= 470 – 37,5 - 148 – 284,25

= 0,25

333.5325.0

1667.105

25.011 2)1(

212. −=

×−=−=

− ysnJKG

yR

= 1 – 0,0046875

= 0,9953125

= 99,53%

Nilai 2

12.yR = 99,53% menunjukkan bahwa 99,53% proporsi

keragaman nilai peubah Y (volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) dan X2 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier. Sisanya sebesar 0,47% dijelaskan oleh hal-hal lain.

86

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Alasan mempelajari statistik antara lain :

� Informasi data kuantitatif ada dimana-mana � Teknik statistik digunakan untuk membuat keputusan yang

mempengaruhi kehidupan sehari-hari. � Pengetahuan tentang metode statistik akan dapat menolong untuk

memahami kenapa keputusan dibuat dan bagaimana keputusan tersebut mempengaruhi kita.

Kegunaan statistik

− Sebagai alat untuk mengumpulkan dan meramalkan keadaan data tertentu yang diobservasi.

− Sebagai alat untuk mengendalikan kualitas dari barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh suatu badan/lembaga tertentu.

− Sebagai alaty untuk mengetes/menguji apakah barang/jasa yang dihasilkan sesuai dengan yang direncanakan.

− Sebagai alat bagi seorang pemimpin untuk membuat keputusan

3.2 Saran

Penulis menyusun makalah ini agar para pembaca lebih mudah dalam memahami materi yang penulis susun mengenai materi statistik ekonomi 1. Penulis mengambil dari berbagai sumber agar teruji kebenarannya. Untuk itu penulis berharap pembaca dapat dengan mudah belajar menggunakan makalah ini. Belajarlah dengan membaca adalah salah satu sarana memperoleh ilmu, karena ilmu adalah jalan memperoleh kekayaan. Dan menuntut ilmu itu wajib. Semoga bermanfaat untuk semuanya.

87

DAFTAR PUSTAKA

Christensen, Larry B. 2001. Expeprimental Methodology. (Eighth Edition). Boston: Allyn and Bacon. Guilford,

J.P; Fruchter, benjamin. 1985.Fundamental Statistics in Psychology and Education. (Sixth Edition). Bogota: McGraw-Hill Book Co.

Hadi, Sutrisno. 1982.Statistik, Jilid 1, 2 dan 3. Yogyakarta: Fakultas Psikologi UGM

Hadi, Sutrisno. 1991.Analisis Regresi. Yogyakarta: Andi Offset

www.rumusstatistik.com

Makalah Statistika ekonomi 1 by Tria Ningrum. R

Education

Transcript of Makalah Statistika ekonomi 1 by Tria Ningrum. R