MAKALAH SEISMOLOGI

TEORI ELASTISITAS (MATRIK STRAIN)

oleh:

1. Dwi Desvinasani H1E012034

2. Mery Septiana Hakim H1E012043

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN FISIKA

PURWOKERTO

2015

I. PENDAHULUAN

Elastisitas secara umum adalah sifat benda yang cenderung mengembalikan

keadaan ke bentuk semula setelah mengalami perubahan bentuk karena pengaruh gaya

(tekanan atau tarikan) yang terdapat pada hubungan antara tegangan dan regangan dari

luar. Tegangan (Stress) didefinisikan sebagai gaya persatuan luas. Benda elastis yang

mengalami tegangan (stress) maka akan terdeformasi atau mengalami perubahan bentuk

maupun dimensi. Perubahan tersebut disebut dengan regangan atau strain. Strain adalah

jumlah deformasi material persatuan luas. Hukum Hooke menyatakan bahwa stress akan

sebanding dengan strain pada batuan (antara gaya yang diterapkan dan besarnya

deformasi).

Dua hukum atau hubungan matematisnya, yaitu:

Sifat material ketika gelombang menjalar, yaitu Hukum Hooke

Persamaan penjalaran gelombang di dalam material, yaitu Hukum Kedua Newton.

Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi regangan terhadap teori elastisitas adalah :

1. Matriks Regangan (Matriks Strain)

2. Regangan Longitudinal (longitudinal strain)

3. Rasio Poison (Poisson’s ratio)

4. Dilatasi (Dilation)

5. Regangan Geser (Shear Strain)

II. ISI

Regangan Matriks (Matrix Strain)

Matriks regangan adalah sebuah elemen kecil dalam sumbu koordinat kartesius

dimana panjang sisi-sisinya dinyatakan dengan dengan dx, dy, dan dz.

ε ij=[ε xx ε xy ε xz

ε xy ε yy ε yz

εxz ε yz ε zz]

Gambar Pergeseran sebesar u dan (u + u) pada dua titik dalam sebuah benda, yang

terletak pada x dan (x + x) adalah sebagai berikut :

Dimana jika titik x bergeser sekecil mungkin sebesar u dalam arah sumbu-x, titik (x+x)

akan bergeser sebesar (u+u), dengan u sama dengan (u/x) x merupakan turunan orde

pertama. Regangan memanjang (longitudinal strain) atau perpanjangan (extension) pada

arah-x, merupakan bagian perubahan panjang suatu elemen sepanjang sumbu-x.

Pada awalnya kedua titik terpisah sejauh x, satu titik bergeser sepanjang u dan

titik satunya sebesar (u+ u), sehingga keduanya menjadi terpisah sebesar (x+u).

Komponen strain sejajar dengan sumbu-x yang dihasilkan dari pergeseran kecil sejajar

dengan sumbu-x dinotasikan dengan єxx, dan diberikan oleh:

ε xx=(∆ x+ ∂u

∂ x∆ x)−∆ x

∆ x=∂ u

∂ x

Regangan Longitudinal (Longitudinal Strain)

Komponen matriks regangan 3 x 3

Regangan longitudinal adalah regangan yang dapat diperluas untuk tiga dimensi.

Pemisahan sebenarnya dari dua titik adalah Δx; satu titik dilambangkan u, dan yang lain

(u+Δu), sehingga titik baru pemisahan adalah (Δx+ Δu). Komponen dari regangan yang

sejajar dengan sumbu x yang dihasilkan dari perpindahan sejajar ke sumbu x dinotasikan

εxx, dan diberikan oleh

Gambar regangan longitudinal pada sebuah benda yang ditarik sepanjang sumbu-x

sebagai berikut :

Contonya adalah jika sebuah titik (x,y,z) berpindah sebesar (x+u, y+v, z+w), dua

jenis longitudinal strain yang lain yaitu, єyy dan єzz , didefinisikan sebagai :

Pada benda elastis (elastic body), regangan transversal єyy dan єzz tidak saling independent

dengan єxx . Jika benda ditarik searah sumbu-x, benda akan menjadi lebih tipis sepanjang

sumbu-y dan sumbu-z, transverse longitudinal strain, єyy dan єzz , berlawanan tanda tetapi

sebanding dengan extension єxx, dan dapat dinyatakan sebagai:

Rasio Poisson (Poisson’s Ratio)

Rasio Poisson atau Poisson’s Ratio adalah ukuran besarnya regangan aksial pada

suatu benda berupa kontraksi dalam arah transversal dan peregangan dalam arah

longitudinal akibat terkena tekanan. Rasio Poison juga merupakan sebuah konstanta

kesebandingan elastik yang merepresentasikan sifat fisis batuan. Rumus rasio poison

adalah :

v=−∆ y / y∆ x / x

=−ε yy

ε xx

Dimana harga konstanta elastik, dari material con-strain , antara 0 (no lateral

constraction) dan harga maksimum 0,5 (no volume change), Untuk fluida tak kompresibel

(incompressible). Pada material yang sangat keras, batuan rigid (kaku) seperti granite =

0,45, sedangkan batuan yang halus, poorly consolidated sediment = 0,05.

Pada interior Bumi, umumnya mempunyai harga berkisar 0,24 – 0,27.

Ideal Poisson body adalah benda dengan harga sebesar 0,25.

Dilatasi (Dilatation)

Dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang terjadi karena

fraksi perubahan volum dari suatu elemen pada suatu batas jika luas permukaannya

menurun menuju nol, Dilatasi tidak mengubah bentuk tetapi hanya mengubah ukuran

bangun tersebut. Seringkali digunakan untuk menghindari kerusakan atau retak pada

bangunan yang ditimbulkan oleh gaya vertical dan horizontal, seperti pergeseran tanah,

gempa bumi, dll.

Anggap elemen volume yang tak berubah bentuk (seperti yang ada pada deskripsi

regangan longitudinal) yang memiliki sisi Δx, Δy dan Δz serta volume yang tak terdistorsi

V=ΔxΔyΔz. Hasil dari perpindahan yang sangat kecil Δu, Δv dan Δw ujungnya meningkat

menjadi Δx+Δu, Δy+Δv dan Δz+Δw. Perubahan bagian dalam volume adalah:

Dimana kuantitas yang sengat kecil seperti ΔuΔv, ΔvΔw, ΔwΔu dan ΔuΔvΔw

diabaikan. Dalam limit, sebagaimana Δx, Δy dan Δz yang semuanya mendekati 0, kita

peroleh dilatasi

Macam – macam dilatasi :

1. Dilatasi dengan 2 kolom

Dilatasi dengan 2  kolom biasanya digunakan untuk bangunan yang bentuknya

memanjang (linier). Dengan adanya dilatasi maka jarak kolom akan menjadi pendek.

2. Dilatasi dengan balok kantilever

Dilatasi juga bisa dilakukan dengan struktur balok kantilever. Bentang balok

kantilever maksimal 1/3 dari bentang balok induk. Pada lokasi dilatasi bentang kolom

dirubah (diperkecil) menjadi 2/3 bentang kolom yang lain.

3. Dilatasi dengan balok gerber

Sistem ini dipergunakan apabila diinginkan jarak kolom tetap sama.Sistem ini

memiliki kelemahan apabila ada beban horizontal yang cukup besar (akibat gempa bumi)

akan berakibat fatal (lepas dan jatuh)

4. Dilatasi dengan konsol

Dengan sistem ini jarak kolom dapat dipertahankan sama. Umumnya dipergunakan

pada bangunan yang menggunakan material prefabrikasi.

Regangan Geser (Shear Strain)

Regangan geser adalah perubahan sudut pada bagian pojok elemen empat persegi

panjang awal. Sudut ini dinyatakan dengan radian dan dinotasikan dengan γ.

Modulus elastisitas adalah rasio antara tegangan geser τ terhadap regangan

geser γ disebut modulus elastisitas geser dan biasanya dinotasikan dengan G. G juga

dikenal sebagai modulus kekakuan (modulus of rigidity). Satuan untuk G adalah sama

dengan satuan tegangan geser, yaitu N/m2, karena regangan geser tidak bersatuan.

Dimana sebuah benda berbentuk empat persegi panjang ABCD dengan sisi-sisi x dan y

dengan distorsi akibat shear stress (tegangan memutar), pada bidang x-y. Komponen shear

stress (xy, yz, zx), menghasilkan shear strain, yang ditandai dengan adanya perubahan

hubungan angular antara bagian-bagian pada benda itu. Titik A bergeser sebesar u,

sepanjang sumbu-x. Karena shear deformasi, titik antara A dan D mengalami pergeseran

yang lebih besar, titik D bergeser sejauh (u/y)y kearah sumbu x. Hal ini menyebabkan

rotasi searah jarum jam dari sisi AD sebesar sudut 1, yang diberikan oleh persamaan:

tan∅ 1=(∆ u /∆ y ) ∆ y

∆ y=∂ u

∂ y

Hal yang sama, titik A bergeser sejajar sumbu-y sebesar v, sedangkan titik B yang

berjarak horizontal terhadap titik A sebesar y, bergeser sebesar (v/x)x, kearah

sumbu-y. Akibatnya sisi AB, berotasi berlawanan arah dengan arah gerak jarum jam

sebesar sudut kecil 2, yang diberikan oleh:

tan∅ 2=(∂ v /∂ x ) ∆ x

∆ x=∂ v

∂ x

III. KESIMPULAN

Benda elastis yang mengalami tegangan (stress) maka akan terdeformasi atau

mengalami perubahan bentuk maupun dimensi. Perubahan tersebut disebut dengan

regangan atau strain. Strain adalah jumlah deformasi material persatuan luas. Hukum

Hooke menyatakan bahwa stress akan sebanding dengan strain pada batuan (antara gaya

yang diterapkan dan besarnya deformasi). Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi

regangan terhadap teori elastisitas adalah :

1. Matriks Regangan (Matriks Strain)

2. Regangan Longitudinal (longitudinal strain)

3. Rasio Poison (Poisson’s ratio)

4. Dilatasi (Dilation)

5. Regangan Geser (Shear Strain)

DAFTAR PUSTAKA

Ramalis, T.R. 2001. Gelombang dan Optik. Common Textbook pada Jurdik. Fisika

FPMIPA UPI.

Santoso, DJoko, 2002. Elastisitas Teori. Departemen Teknik Geofisika ITB.

Schon,J.H. 1998, Physical Properties of Rocks: Fundamentals and Principles of

Petrophysics, Institute of Aplied Geophysics, Leoben Austria.

Sholihan, A., dan Santosa,B.A. 2002. Analisis Elastisitas Gelombang Rayleigh Struktur

Geologi Bawah Permukaan. Jurusan Fisika FMIPA ITS Surabaya.

Telford, W.M., Geldart, L.P dan Sheriff, R.E. 1990. Applied Geophysics. Second

Edition.Cambridge University Press.