KALKULUS ITEOREMA NILAI RATAAN

(Mean Value Theorem)

SUTRIANI HIDRIMatematika B

1111140010

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2011

Teorema Nilai Rataan

Teorema nilai rataan (Mean Value Theorem) menyatakan bahwa jika

grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak tegak pada setiap titik

antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik di antara A

dan B sehingga garis singgung dititik C sejajar tali-busur AB. Atau dengan kata

lain TNR atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian

kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva

tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.

Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi

pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik

di selang tersebut.

C

C

B A

A

Gambar 1 Gambar 2

Gambar 1 dan 2 menunjukkan hanya terdapat satu titik C yang demikian. Berikut

gambar beberapa untuk titik C yang demikian.

C3

C1 B

A C2

Gambar 3

Titik C1,C2,C3, menunjukkan titik dimana garis C menyinggung grafik.

Kemudian kita dapat mengatakan bahwa garis singgung dimana titik C berada

sejajar dengan garis AB yang merupakan garis penghubung antara kedua titik

ujung kurva.

Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

Diberikan fungsi yang kontinyu pada interval tertutup dan

terdifferensialkan (differentiable) pada interval terbuka maka terdapat

paling tidak satu bilangan pada sedemikian hingga

f ' ( c )=f (b )−f (a)

b−a

Atau secara setara,

f ' (c )(b−a)=f (b )−f (a )

untuk suatu c∈(a ,b).

Catatan. Nilai f (b )−f (a)

b−a disebut nilai rata-rata f pada [a,b]. Nilai ini sama

dengan

gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a , f (a)) dan (b , f (b)).

Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu

titik (c , f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a,

b].

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang

menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali

busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung

kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai rata-rata menyebutkan bahwa kita

dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut

sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a)

= f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Adapun teorema Rolle

Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup [a , b] dan terdifferensialkan

dalam interior-interior I=(a , b). Jika f (a)=0=f (b) , maka ada suatu nilai c

dalam (a ,b) sehingga f ' (c )=0

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita

hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a,

b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga,

limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh

fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x1/3, yang turunannya mengarah ke

takhingga di titik asal.

Hukum mean untuk orde lebih tinggi

Jika f dan n−1 pertama turunannya adalah kontinu pada [a,b] dan terdapat

f (n)(x)pada (a,b) maka sedikitnya terdapat x0 pada (a,b) sedemikian rupa

sehingga

f (b )=f (a )+ f ' (a )1 !

(b−a )+ f ' ' (a )2 !

(b−a )2+…

+ f n−1 (a )(n−1 )

(b−a )n−1+f (n ) ( x0 )

n!(b−a )n

bila b diganti dengan x rumus tersebut menjadi

F ( x )=f (a )+ f ' (a )1!

( x−a )+ f ' ' (a )2 !

( x−a )2+…

+ f n−1 (a )(n−1 )!

(x−a)n−1+f ( n) ( x0 )

n !(x−a)n

untuk suatu x0 antara a dan x.

Dalam kasus kedua a=0 rumus tersebut menjadi

f ( x )=f (0 )+ f ' (0 )1 !

x+f ' ' (0 )

2 !x2+…

+ f ( n−1) (0 )( n−1 ) !

xn−1+f (n ) ( x0 )

n!xn

untuk suatu x0 antara 0 dan x

Terdapat juga teorema yang menyatakan bahwa dua fungsi dengan turunan

sama dibedakan oleh sebuah kostanta, kemungkinan oleh kostanta nol.

F

C C G

C

Teorema

F’(x)=G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian

rupa sehingga

F (x)=G (x)+C

Untuk semua x dalam (a,b).

Bukti

Misalkan H (x )=F (x)−G (x) .Maka

H ’(x )=F ’ (x )−G ’(x )=0

Untuk semua x dalam (a,b).Pilih x1 sebagai suatu titik (tetap) dalam (a,b) dan

misalkan x sebarang titik lain di sana. Fungsi H memenuhi hipotesis Teorema

Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung x1 dan x. Jadi terdapat

sebuah bilangan c di antara x1 dan x sedemikian rupa sehingga

H (x )−H (x 1)=H ’ (c )(x−x1)

Tetapi menurut hipotesis H’(c)=0. Karena itu H(x) – H(x1)=0 atau H(x)=H(x1)

untuk semua x dalam (a,b). Karena H ( x )=F ( x )−G ( x ) ,kita simpulkan bahwa

F (x)−G (x)=H (x1).Sekarang misalkan C=H(x1), dan kita mempunyai

kesimpulan F (x)=G (x)+C

Pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata

y y=f (x )

h( x) B(b , f (b))

A(a , f (a)) y=i(x )

a x b x

Misalkan h(x) didefinisikan pada [a,b] sebagai

h( x)=f (x )−i(x)

Dengan i kostanta. Maka h(x) kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada

(a, b). Kita pilih konstanta i sedemikian sehingga h(a) = h(b),

h( x)=f (x )−i(x)=f (x )−f (a)−f (b )−f (a)

b−a(x−a)

Jelas h(x) kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b) dan dengan mudah

dihitung h(a)=h(b). Ini berarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle.

Berdasarkan Teorema Rolle, terdapat c∈(a , b). sdedemikian sehingga h ’ (c)=0.

Jika h ( x )diturunkan, diperoleh

h' ( x )=f ' ( x )−( f (b )−f (a)b−a )

Karenah ' ( x )=0maka f ' (c )=( f (b )−f (a)b−a )

Soal dan Penyelesaian

1. Diketahui f(x) =√ x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c є(0, 4) sedemikian sehingga f’(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

Penyelesaian:

f ' ( x )= 12√x

f ' (c )=( f (b )−f (a)b−a )

12=( f ( 4 )−f (0 )

4−0 ) , f ' (c )=12

12√c

=12

, c=1

2. Sebuah benda mempunyai fungsi posisi s(t)=2t2-t-1. Tentukan kecepatan

rata-rata paada interval [1,3] dan waktu ketika kecepatan sesaat sama

dengan kecepatan rata-rata!

Penyelesaian:

Kecepatan rata-rata pada interval [1,3]=

s (3 )−s (1 )3−1

=14−02

=7

Kecepatan sesaat adalah s ’( t)=4 t−1=7. Jadi t=2

3. Apakah teorema rataan dapat digunakan pada fungsi f(x)=x2-5x+4 pada

interval[-3,3]? Jika ia, tentukan nilai c nya.

Penyelesaian: Ya,bisa.

f ’ (x )=2 x−5

f (3)−f (−3)3+3

=−2−286

=−306

=−5

2 c−5=−5 , c=04. Diketahui h(t) = t2. Tentukan nilai rata-rata h pada [0, 2] dan c sedemikian

sehingga h’(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.Penyelesaian:

h ’ (t)=2 t

h (2 )−h (0 )2−0

=4−02

=2

2 c=2

c=1

5. Tentukan nilai rata-rata z(y) = ¾ y3-4 pada interval [ ½ ,5] dan c sehingga

z’(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

z ’ ( y )=9 /4 y2

z (5 )−z( 12 )

5−12

=

3594

+ 12532

4.5=93,7

4,5=20,8

94

c2=20,8

c=3,04

6. Sebuah mobil menempuh jarak 310 km dari Soppeng ke Makassar dalam

waktu 4 jam, dari t=0 sampai t=5. Misalkan f(t) menyatakan jarak yang

ditempuh pada saat t, dan f fungsi yang terdifferensialkan. Tentukan

kecepatan rata-rata perjalanan.

310=f (5)−f (0)=f ’ (c )(5−0)=5 f ’ (c)

Dan dengan demikian

f ’ (c )=3105

=62

pada saat c dalam (0,5). Tetapi f’(c) menyatakan kecepatan pada saat t=c,

dan kecepatan rata-rata perjalanan 62 km/jam.

7. Tentukan nilai rata-rata h(x) = x+√ x pada interval [1 ,2] dan c sehingga

h’(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

h' ( x )=1+ 1

2√ x

h (2 )−h (1 )2−1

=3,4−21

=1,4

1+ 12√c

=1,4

c=0,845

8. Sebuah benda mempunyai fungsi posisi s(t)=t2+5. Carilah kecepatan rata-

rata pada interval[5/2,4] dan waktu ketika kecepatan sesaat sama dengan

kecepatan rata-rata.

s' (t )=2t

s (4 )−s ( 52 )

4−52

=21−11,2532

¿ 9,751,5

=6,5

s' (c )=2c=6,5

c=3,25

9. Suatu fungsi diketahui f(x)=4x2-1 . Tentukan nilai rata-rata f pada interval

[1,3] dan c sehingga f’(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut!

Penyelesaian:

f ’ ( x )=8 x

f (3 )−f (1 )3−1

=35−32

=16

f ' (c )=8 c=16

c=2

10. Sebuah motor menempuh perjalanan dari Soppeng ke Bone selama 2 jam

yang berjarak 105 km, dari t=0 sampai t=3. F(t) menyatakan jarak yang

ditempuh pada saat t, f fungsi yang terdifferensialkan. Carilah kecepatan

rata-rata yang dijamin oleh teotema Nilai Rataan!

Penyelesaian:

105=f (3 )−f (0 )=f ' (c ) (3−0 )=3 f ' ( c )

f ' (c )=1053

=35

Jadi kecepatan rata-rata perjalanan sepeda motor tersebut adalah 35

km/jam.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2010.Penggunaan Turunan.From http://www. Scribd.kalkulus/aplikasi-

turunan.htm.diakses pada 6 Januari 2012.

Anonim.2010.Teorema Nilai Purata.from http://id.wikipedia.org/Mean-Value-

Theorem-.html.diakses pada 6 Januari 2012.

Anonim.2010.Teorema Nilai Rata-Rata.

Fromhttp://ariaturns.wordpress.com/.diakses pada 6 Januari 2012

Dedy, Endang.,Encum Sumiaty.,Dadang Juandi.,& Kusnandi.2003.Kalkulus

I.Edisi Revisi,Bandung:JICA.

Varbeg.,Purcell., & Rigdon.2010.Kalkulus Edisi Kesembilan (Terjemahan).jilid

I,Jakarta:Erlangga.