MAKALAH

METODE TRANSFORMASI FOURIER

Oleh :

Ardiansyah (5150711141)

Nurhaq Sabani (5150711157)

Muh. Nur satrio M. (5150711161)

Tri Yulianingsih (5150711171)

Arwani Khakim (5150711176)

Yulianto (5150711184)

KELAS: D

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA 2016

Kata Pengantar

Alhamdulillah kami ucapkan syukur kepada Allah SWT yang telahmemberikan Rahmat serta Hidayah-Nya, sehingga kita masih dalam keadaansehat dan longgar. Dan khususnya, kami (penyusun) bisa menyelesaikanMakalah dengan judul ‘METODE TRANSFORMASI FOURIER. Makalah inidibuat sebagai tugas kelompok yang akan dikumpulkan dan di presentasikan.Yang kedua, tak lupa kami ucapkan terimakasih kepada pengampuh yang memberikan arahan dan pembelajaran.Adapun yang terakhir, penyusun menyadari makalah ini memilikibanyak kekurangan, karena itu sangat diharapkan kritik dan saran yangkonstruktif dari pembaca demi perbaikan dan sekaligus memperbesar manfaat makalah ini sebagai pembelajaran

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.............................................................................................2DAFTAR ISI...............................................................................................................3BAB I : PENDAHULUAN1.1 : Latar Belakang...................................................................................41.2 : Rumusan Masalah.............................................................................41.3 : Tujuan................................................................................................4BAB II : PEMBAHASAN

1. Pengertian tranformasi fourier……………………………………………………………………..5

2. Hukum transformasi fourier…………………………………………….53. Tranformasi fourier 1D………………………………………………….6

BAB III : PENUTUPKesimpulan.................................................................................................8Daftar Pustaka………………………………………………………………….

BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANGTransformasi Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi domain frekwensi.

1.2 RUMUSAN MASALAHAdapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini:1. Apa yang dimaksud transformasi fourier?2. apa rumus-rumus transformasi fourier?

1.3 TUJUANTujuan kami menyelesaikan makalah ini adalah untuk:1. Untuk mengetahui pengertian dan rumus transformasi fourier.2. Untuk mengetahui langkah kerja pada tranformasi fourier.

BAB IIPEMBAHASAN

PENGERTIAN TRANSFORMASI FOURIER

Transformasi Fourier

Bagaimana transformasi Fourier bekerja? Transformasi Fourier mendekomposisi sinyal ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah dengan didefinisikan ke dalam dua persamaan berikut:

∞X( f ) = ∫ x(t)•e−2πft dt.................(1)

−∞

∞x(t) = ∫ X( f )•e−2πft df .................(2)

−∞Dalam persamaan tersebut, t adalah waktu dan f adalah frekuensi. x merupakan notasi sinyal dalam ruang waktu dan X adalah notasi untuk sinyal dalam domain frekuensi. Persamaan (1) disebut Transformasi Fourier dari x(t) sedangkan persamaan (2) disebut Invers Transformasi Fourier dari X(f), yakni x(t).

Persamaan (1) dapat juga ditulis sebagai :

Cos(2ft)+jSin(2ft).........................................(3)

Transformasi Fourier dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Misalnya kita punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai komponen spectral yang sama. Katakan sinyal pertama mempunyai 4 frekuensi muncul bersamaan, dan yang satu lagi mempunyai 4 frekuensi muncul bergantian. Transformasi Fourier keduanya sama sebagaimana.

Deret fourier terdiri dari yaitu A. Arus bolak-balik (AC)B. Getaran mekanik

C. Gelombang electromagnetD. Gelombang airE. Gelombang bunyiF. Hantaran panasG. Vibrasi garpu talaH. Pendulum

Deret fourier ditemukan oleh Joseph Fourier pada tahun (1768-1830)

Transformasi fourier dan Hukum Rangkaian

Kelinieran dari transformasi Fourier menjamin berlakunya relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi. Relasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung memberikan hubungan di kawasan frekuensi yang sama bentuknya dengan relasinya di kawasan waktu.

Misalkan relasi HTK : v1 (t) + v2 (t) - v3 (t) = 0

jika ditransformasikan : V1 (w) + V3 (w) - V3 (w) = 0

Dengan demikian maka transformasi Fourier dari suatu sinyal akan mengubah pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi spektrum sinyal di kawasan frekuensi tanpa mengubah bentuk relasi hukum Kirchhoff.

Melibatkan Persamaan yang Mengandung Fungsi Sinus Cosinus

Digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik/berulang.

Contoh Fungsi Berulang

Gelombang Gigi Gergaji Gelombang Segi Empat

Gelombang Segitiga Gelombang Sinusoida

Menurut Fourier fungsi berulang dapat ditulis dalam bentuk deret sinusoida tak terhingga, asalkan fungsi tersebut mempunyai syarat Dirichlet.

Jika satu fungsi (F(t)) memenuhi syarat Dirichlet, maka dapat ditulis dalam bentuk deret Fourier yaitu:

Contoh:

Transformasi fourier 1D

Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:

dtetfF tj ).()(

dimana F() adalah fungsi dalam domain frekwensi

adalah frekwensi radial 0 – 2f,

atau dapat dituliskan bahwa

= 2f

Contoh 4.1.

Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:

Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:

1

1

1

1

3)3()( dtedteF tjtj

)sin(63

31

1

jj

tj

eej

ej

Hasil dari transformasi Fourier untuk = 0 s/d 2 adalah :

Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier

Transformasi Fourier 2D

f(t)3

-1 10 t

Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan dengan:

dxdyeyxfF yxj 21).,(),( 21

dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensi

f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra

dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2.

Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi fourier 2D.

Contoh 4.2.

Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:

Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:

12

12

1

1

2

2

1

112

2

1

1 2

21

1

1

12

1

1

1

121

)sin()sin(

)sin(.

)sin()sin(

)sin(

).1(,

1

121

21

je

dxedxej

e

dydxeF

xj

xjyjxj

yxj

11

1f(x,y)

y x

Hasil dari transformasi fourier untuk 0<1,2<2, adalah sebagai berikut :

Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D

Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface

Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.

Transformasi Fourier DiskritTransformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT)

adalah prosedur yang paling umum dan kuat pada bidang pemrosesan sinyal digital. DFT memungkinkan untuk menganalisis, memanipulasi, dan mensintesis sinyal dengan cara yang tidak mungkin dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog.

DFT didefinisikan dengan :

N

n

NknTjenfkF1

/2).()(

Meskipun sekarang digunakan dalam hampir setiap bidang teknik. Aplikasi yang menggunakan DFT terus berkembang sebagai utilitas yang menjadikan DFT lebih mudah untuk dimengerti. Karena itu, pemahaman yang kuat tentang DFT adalah wajib bagi siapa saja yang bekerja di bidang pemrosesan sinyal digital.

DFT merupakan prosedur matematika yang digunakan untuk menentukan harmonik atau frekuensi yang merupakan isi dari urutan sinyal diskrit. Urutan sinyal diskrit adalah urutan nilai yang diperoleh dari sampling periodik sinyal kontinu dalam domain waktu. DFT berasal dari fungsi Transformasi Fourier X(f) yang didefinisikan:

Dalam bidang pemrosesan sinyal kontinu, Persamaan 2.1 digunakan untuk mengubah fungsi domain waktu kontinu x(t) menjadi fungsi domain frekuensi kontinu X(f). Fungsi

X(f) memungkinkan untuk menentukan kandungan isi frekuensi dari beberapa sinyal dan menjadikan beragam analisis sinyal dan pengolahan yang dipakai di bidang teknik dan fisika. Dengan munculnya komputer digital, ilmuwan di bidang pengolahan digital berhasil mendefenisikan DFT sebagai urutan sinyal diskrit domain frekuensi X(m), dimana:

Meski lebih rumit daripada Persamaan 2.2, Persamaan 2.3 lebih mudah untuk dipahami. Konstanta j = √−1 hanya membantu membandingkan hubungan fase di dalam  berbagai  komponen  sinusoidal  dari  sinyal.  Nilai  N  merupakan    parameter penting karena menentukan berapa banyak sampel masukan yang diperlukan, hasil domain frekuensi dan jumlah waktu proses yang diperlukan untuk menghitung N-titik DFT. Diperlukan N-perkalian kompleks dan N-1 sebagai tambahan. Kemudian, setiap perkalian membutuhkan N-perkalian riil, sehingga untuk menghitung seluruh nilai N (X(0), X(1), …, X(N-1)) memerlukan N2 perkalian. Hal ini menyebabkan perhitungan

DFT memakan waktu yang lama jika jumlah sampel yang akan diproses dalam jumlah besar.

DFT 1 Dimensi

DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak digunakan dalam pengolahan sinyal digital.

Contoh 4.3 :

Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :

DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

k=0 41111

)().()0(3

0

3

0

0

nn

jn nfenfF

k=1 0).(

).()1(

3

0

5.0

3

0

4/2

n

jn

n

nj

enf

enfF

k=2 0).().()2(

3

0

3

0

4/4

n

jn

n

nj enfenfF

k=3 0).().()3(

3

0

5.13

0

4/6

n

nj

n

nnj enfenfF

Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi

f(t)

t3210

informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya.

Contoh 4.3 :

Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :

DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

7

0

8/7

0

8/2 ).().()(n

nkj

n

nkj enfenfkF

Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :

k F(k)

0 12

1 0

2 -2 – 2j

3 0

4 0

5 0

6 -2 + 2j

7 0

Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut :

0 1 2 3

t

f(t)

2

1

0 1 2 3

k Real{F(k)} Im{F(k)}

0 12 0

1 0 0

2 -2 -2

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 -2 2

7 0 0

Dan dapat digambarkan sebagai berikut :

Bagian Real Bagian Imaginer

Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer

Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :

Magnitude : 22 )(Im)(Re)( kfkfkF

Phase :

)(Re)(Im)(

kFkFkFArg

Magnitude Phase

Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer

Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:

k F(k) K F(k)

0 12 8 12

1 0 9 0

2 -2 – 2j 10 -2 – 2j

3 0 11 0

4 0 12 0

5 0 13 0

6 -2 + 2j 14 -2 + 2j

7 0 15 0

Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan terjadinya periodik. Ini sebagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).

Transformasi Fourier Diskrit 2D

Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai berikut :

1

1

2

2

222111

0 0

)//(22121 ).,(),(

N

n

N

n

NnkNnkTjennfkkF

DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan sebagai fungsi 2D.

Contoh 4.4 :

Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :

0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0

Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :

Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)

DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :

4

0

6

0

)6/4/(22121

1 2

2211).,(),(n n

nknkTjennfkkF

Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :

16 0 -2 - 3.46i 0 -2 + 3.46i

0

0 -1.27 - 4.73i

0 0 0 4.73 - 1.27i

0 0 0 0 0 0

0 -4.73+ 1.27i

0 0 0 1.27 + 4.73i

Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :

Bagian Real Bagian Imaginer

Gambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D

Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :

Magnitude =

16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0

0 4.8990 0 0 0 4.8990

0 0 0 0 0 0

0 4.8990 0 0 0 4.8990

Phase =

0 0 -2.0944 0 2.0944 0

0 -1.8326 0 0 0 -2.8798

0 0 0 0 0 0

0 2.8798 0 0 0 1.8326

Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :

Magnitude Phase

Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase

Fast Fourier Transform

Meskipun DFT memainkan peranan yang penting sebagai prosedur matematis untuk menentukan isi frekuensi dari urutan domain waktu, namun sangat tidak efisien. Jumlah titik dalam DFT meningkat menjadi ratusan atau ribuan, sehingga jumlah- jumlah yang dihitung menjadi tidak dapat ditentukan. Pada tahun 1965 sebuah makalah diterbitkan oleh Cooley dan Tukey menjelaskan algoritma yang sangat  efisien untuk menerapkan DFT Cooley, J. & Tukey, J. 1965. Algoritma yang sekarang dikenal sebagai Fast Fourier Transform (FFT). Sebelum munculnya FFT, seribu titik DFT membutuhkan waktu begitu lama untuk melakukan perhitungan yang pada saat itu masih terbatas pada komputer-komputer berspesifikasi rendah. Gagasan Cooley dan Tukey, dan perkembangan industri semikonduktor menjadikan jumlah N-titik DFT semisal 1024- titik, dapat dilakukan dalam beberapa detik saja pada komputer berspesifikasi rendah.

Meskipun telah banyak bermacam-macam algoritma FFT yang dikembangkan, algoritma FFT radix-2 merupakan proses yang sangat efisien untuk melakukan DFT yang memiliki kendala pada ukuran jumlah titik dipangkatkan dua. FFT radix-2 menghilangkan redundansi dan mengurangi jumlah operasi aritmatika yang  diperlukan. Sebuah DFT 8-titik, harus melakukan N2 atau 64 perkalian kompleks. Sedangkan FFT melakukan (N/2)log2N yang memberikan penurunan yang signifikan dari N2 perkalian kompleks. Ketika N = 512 maka DFT memerlukan 200 kali perkalian kompleks dari yang diperlukan oleh FFT.

Gambar Perbandingan jumlah perkalian kompleks DFT dengan FFT

FFT beroperasi dimulai dengan menguraikan (dekomposisi) sinyal domain waktu titik N ke N sinyal domain waktu hingga masing-masing terdiri dari satu titik. Selanjutnya menghitung N frekuensi spektrum yang berkorespondensi dengan N sinyal domain waktu. Terakhir, spektrum N disintesis menjadi spektrum frekuensi tunggal.

Gambar Diagram Alir

Dalam proses dekomposisi diperlukan tahapan Log2N. Sebagai contoh, sinyal 16 titik (24) memerlukan 4 tahapan, sinyal 512 titik (29) membutuhkan 9 tahap,  sinyal 4096 titik (212) membutuhkan 12 tahapan. Dalam Gambar1, sinyal 16 titik terurai melalui empat tahap yang terpisah. Tahap pertama memisahkan sinyal 16 titik menjadi dua sinyal masing-masing terdiri dari 8 titik. Tahap kedua menguraikan data menjadi empat sinyal terdiri dari 4 titik. Pola ini berlanjut sampai sinyal N terdiri dari satu   titik. Dekomposisi digunakan setiap kali sinyal dipecah menjadi dua, yaitu sinyal dipisahkan menjadi sampel genap dan sample ganjil.

Gambar1

Setelah dekomposisi, dilakukan Pengurutan Pembalikan Bit (Bit Reversal Sorting), yaitu menata ulang urutan sampel sinyal domain waktu N dengan menghitung dalam biner dengan bit membalik dari kiri ke kanan. Asumsi N adalah kelipatan dari 2, yaitu N = 2r untuk beberapa bilangan bulat r=1, 2, dst. Algoritma FFT memecah sampel menjadi dua bagian yaitu bagian genap dan bagian ganjil.

Tabel Pengurutan Pembalikan Bit

Persamaan 2.2 dibagi menjadi bagian ganjil dan bagian genap sebagai berikut:

Karena rumusan yang didapat panjang, sehingga digunakan notasi standar untuk menyederhanakannya. Didefenisikan WN = 𝑒−𝑗2𝜋/𝑁  yang merepresentasikan nth root of unity. Persamaan 2.4 dapat ditulis:

Sintesis domain frekuensi membutuhkan tiga perulangan. Perulangan luar menjalankan tahapan Log2N (setiap tingkat mulai dari bawah dan bergerak ke atas).

Perulangan bagian tengah bergerak melalui masing-masing spektrum frekuensi individu dalam tahap sedang dikerjakan (masing-masing kotak pada setiap tingkat). Dalam pemrosesan sinyal digital dikenal istilah butterfly. Butterfly digunakan untuk menggambarkan peruraian (decimation) yang terjadi. Karena tampilannya yang bersayap maka disebut butterfly. Butterfly adalah elemen komputasi dasar FFT, mengubah dua poin kompleks menjadi dua poin kompleks lainnya. Ada dua jenis peruraian, peruraian dalam waktu (decimation in time-DIT) dan peruraian dalam frekuensi (decimation in frekuensi-DIF). Gambar dari butterfly dasar untuk kedua jenis peruraian tersebut dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4

Gambar 3 FFT butterfly dasar untuk peruraian dalam waktu Lyons, Richard G. 1997. Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR.

Gambar 4 FFT

Perulangan paling dalam menggunakan butterfly untuk menghitung poin dalam setiap spektrum frekuensi (perulangan melalui sampel dalam setiap kotak). Gambar 5 menunjukkan implemetasi FFT dari empat spektrum dua titik dan dua spektrum empat titik. Gambar 5 terbentuk dari pola dasar pada Gambar 3 berulang-ulang.

Gambar 5 FFT

BAB IIIPENUTUP

Kesimpulan Transformasi merupakan suatu langkah yang harus dilakukan untuk mengubah penyajian suatu sinyal dari suatu domain ke domain yang lain. Dalam hal ini Transformasi Fourier mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi, sedangkan Transfomasi wavelet mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi dan skala.

Pada konsep pengolahan citra pun, kita harus mengubah suatu citra dari satu domain ke domain lainnya. Perubahan ini bertujuan untuk mempermudah pengkodean. Dari kedua jenis transformasi diatas transformasi yang paling cocok untuk kompresi adalah transformasi wavelet. Hal ini dikarenakan jika kita melakukan kompresi pada bagian detail, citra invers atau citra hasil rekonstruksi tidak akan terlalu berbeda dengan citra awal

Daftar pustaka Departmen Teknik Elektro, Modul Praktikum Pengolahan Citra dan Pengenalan Pola ,

Institut Teknologi Bandung. Paul Wintz, 2000, Digital Image Processing , Prentice-Hall. MatLab 6 Help. William J Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers , The McGraw-Hill

Companies, Inc. http://iprg.ee.itb.ac.id/lab_works.html http://www.cs.ui.ac.id/WebKuliah/citra/2005 http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html http://www.landasanteori.com/2015/10/pengertian-transformasi-fourier-diskrit.html