BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode statistik adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan,

penyajian, analisis, dan penafsiran data. Dalam penggunaan statistika terdapat tiga bagian

utama, yaitu statistika deskriptif, probabilitas (peluang) dan statistika inferensi. Statistika

deskriptif bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam bentuk

numerik, tabel, grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat secara

mudah untuk dipahami dan disimpulkan. Sedangkan statistika inferensi menggunakan

konsep probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari

suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel

(Mustafid, 2003). Inferensi statistik dapat dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter

dan uji hipotesis. Estimasi parameter dibedakan menjadi dua yaitu estimasi parameter titik

dan estimasi parameter berupa interval. Inferensi statistik dapat dicari dengan metode klasik

dan metode Bayes (Walpole dan Myers, 1995).

Pada suatu penelitian terkadang diamati karakteristik dari sebuah populasi. Beberapa

macam ukuran statistik digunakan untuk mengetahui karakteristik dari populasi, misalnya

rataan, varian, median, atau proporsi. Pada inferensi statistik ingin diperoleh kesimpulan

mengenai populasi, meskipun tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang

menyusun populasi atau tidak mungkin jika populasinya tak hingga. Dengan berbagai

keterbatasan dan kendala, tidak dimungkinkan mengamati keseluruhan dari elemen populasi,

maka dapat dilakukan langkah alternatif yaitu pendugaan populasi dengan menggunakan

sampel yang diambil secara acak dari sebuah populasi. Pada teori estimasi titik dapat

dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode Bayes. Metode klasik

sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi,

sedangkan metode Bayes disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi

juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Walpole dan

Myers, 1995). Salah satu teknik yang digunakan dalam metode klasik adalah metode

maksimum likelihood. Metode klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak

diketahui harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel. Metode

Bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal

tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang

1

disebut dengan distribusi prior (Bolstad, 2007). Setelah pengamatan dilakukan, informasi

dalam distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorema

Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior yang

selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger, 1990).

Teorema Bayes memungkinkan seseorang untuk memperbaruhi keyakinannya

mengenai sebuah parameter setelah data diperoleh. Sehingga dalam hal ini mengharuskan

adanya keyakinan awal (prior) sebelum memulai inferensi. Pada dasarnya distribusi prior bisa

diperoleh berdasarkan keyakinan subjektif dari peneliti itu sendiri mengenai nilai yang

mungkin untuk parameter yang diestimasi, sehingga perlu diperhatikan bagaimana cara

menentukan prior.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan-permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah :

1. Bagaimana teorema Bayes untuk normal mean dengan prior diskrit ?

2. Bagaimana teorema Bayes untuk normal mean dengan prior kontinu ?

3. Bagaimana memilih normal prior ?

4. Bagaimana Credible interval untuk normal mean ?

5. Bagaimana memprediksi kepadatan untuk pengamatan berikutnya ?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mengetahui bagaimana teorema Bayes untuk normal mean dengan prior

diskrit.

2. Untuk mengetahui bagaimana teorema Bayes untuk normal mean dengan prior

kontinu.

3. Untuk mengetahui bagaimana memilih normal prior.

4. Untuk mengetahui bagaimana Credible interval untuk normal mean.

5. Bagaimana memprediksi kepadatan untuk pengamatan berikutnya.

2

BAB II

PEMBAHASAN

Banyak variabel acak yang tampaknya berdistribusi normal, setidaknya mendekati.

Alasan di balik teorema limit pusat menunjukkan mengapa demikian. Ada beberapa variabel

acak yang mana jumlahnya mendekati tak hingga akan membentuk variabel acak yang

independen yang menyebabkan dia mendekati distribusi normal. Bentuk dari setiap individu

dari variabel acak "rata-rata yang dihasilkan" mendekati ke bentuk normal. Sampel data dari

jumlah distribusi tersebut akan dilakukan pendekatan oleh distribusi normal. Dalam

pembahasan ini kita menunjukkan bagaimana inferensi Bayesian pada sampel acak dari

distribusi normal.

2.1 TEOREMA BAYES UNTUK RERATA NORMAL DENGAN PRIOR DISKRIT

Pengamatan Tunggal

Kita akan melakukan pengamatan tunggal dari fungsi kepadatan peluang (fkp)

bersyarat distribusi normal f(ylμ) dengan varians diketahui σ 2. Ada sejumlah m

kemungkinan nilai μ1,. . . ,μm untuk mean. Kita akan memilih distribusi probabilitas prior

diskrit yang hasilnya akan kita gunakan sebagai parameter, sebelum kita melakukan

pengamatan. Jika kita sama sekali tidak memiliki informasi mengenai prior, kemungkinan

kita akan memberikan kemungkinan yang sama untuk semua prior.

Likelihood memberikan perbandingan bobot dari semua nilai-nilai parameter yang

berdasarkan kemungkinan dari data observasi yang diberikan pada masing – masing nilai

parameter. Posterior sebanding kali prior × likelihood.

Likelihood dari Pengamatan Tunggal

Pengamatan distribusi bersyarat dari y|μ adalah normal dengan mean μ dan varians σ diketahui. Fungsi kepadatan peluangnya adalah

3

Likelihood dari setiap nilai parameter adalah nilai dari pengamatan distribusi pada nilai yang telah diamati. Bagian yang tidak bergantung pada parameter μ sama untuk semua nilai parameter, sehingga dapat dimasukkan ke dalam konstanta proporsionalitas. Bagian yang membentuk fungsi dari parameter μ adalah bagian penting. Berikut bentuk likelihood yang diberikan.

di mana y adalah konstanta tetap pada nilai yang telah diamati dan μ boleh bervariasi sesuai dengan nilai yang mungkin.

Tabel untuk menampilkan Teorema Bayes

Kita menggunakan Tabel untuk membantu dalam menemukan distribusi posterior menggunakan teorema Bayes. Kolom pertama dan kedua berisi nilai-nilai yang mungkin dari parameter μ dan masing – masing probabilitas priornya. Kolom ketiga berisi likelihood, yang mana distribusi pengamatan telah dievaluasi untuk setiap nilai yang mungkin dari μi dimana y telah diyakini pada nilai yang telah diamati. Ada dua metode yang dapat kita gunakan untuk mengevaluasi likelihood.

Berikut contoh soal yang mengandung kedua metode tersebut :

Mencari likelihood dari tabel "koordinat distribusi normal"

Metode pertama adalah untuk mencari likelihood dari tabel "koordinat distribusi

normal”. Diberikan

4

untuk setiap nilai yang mungkin dari μ. Z berdistribusi normal baku (0, 1). Likelihood dapat

ditemukan dengan melihat f(z) pada "koordinat dari distribusi normal baku "yang diberikan

pada Tabel distribusi normal.

Berikut tabel teorema Bayesnya :

Mencari likelihood dari fungsi kepadatan normal.

Metode kedua adalah dengan menggunakan rumus fungsi kepadatan peluang dari

distribusi normal, dengan y adalah nilai kostan sesuai dengan yang diberikan, sedangkan μ

bisa bervariasi sesuai dengan semua nilai yang mungkin.

Untuk sampel acak dari Pengamatan Normal

Biasanya kita memiliki sampel acak y1,. . . ,yn dari pengamatan kecuali pengamatan

tunggal. Posterior selalu sebanding dengan prior × likelihood. Pengamatan pada sampel acak

independen satu sama lain, sehingga likelihood marginal dari sampel adalah hasil dari

observasi individual pada likelihood. Maka diberikan

5

Teorema Bayes dengan sebuah prior diskrit diberikan sebagai berikut.

Kita sedang mempertimbangkan kasus di mana distribusi dari masing-masing

pengamatan yj|μ adalah normal dengan mean μ dan varians σ 2yang diketahui.

Mencari Probabilitas Posterior dengan Menganalisis Pengamatan secara Berurutan

Satu per Satu.

Kita dapat menganalisis suatu pengamatan satu per satu , secara berurutan y1,. . . ,yn

dan biarkan posterior dari pengamatan sebelumnya menjadi prior untuk pengamatan

selanjutnya. Likelihood dari pengamatan tunggal yj adalah kolom nilai dari distribusi

pengamatan pada setiap nilai parameter yang mungkin pada saat sudah diamati.

Perhatikan contoh soal berikut :

6

Mencari probabilitas posterior dengan menganalisis sampel bersama-sama dalam satu

langkah.

Posterior sebanding dengan prior × likelihood, dan likelihood marginal dari sampel

adalah hasil dari likelihood dari masing – masing observasi. Masing-masing pengamatan

adalah normal, sehingga memiliki likelihood normal. Berikut diberikan likelihood

marginalnya.

7

Menjumlahkan pangkat pada eksponennya

Pangkat dari eksponen tersebut bisa dibentuk seperti berikut

Maka diperoleh.

Likelihood dari sampel acak normal y1,. . . ,yn sebanding dengan likelihood dari sampel

mean y.

Ketika kita memasukkan bagian yang tidak melibatkan μ ke perbandingan kita mendapatkan

Kita mengakui bahwa likelihood ini memiliki bentuk distribusi normal dengan rata-

rata μ dan varians σ2

n. Mean sampel y, biasanya didistribusikan dengan mean μ dan varians

σ2

n. Jadi likelihood marginal dari sampel acak sebanding dengan likelihood sampel mean,

sebagai berikut.

8

Berikut contoh soalnya :

Kita dapat menganggap ini sebagai penggambaran nilai tunggal dari sampel mean y,

dari distribusi normal dengan mean μ dan varians σ2

n. Ini akan memudahkan kita dalam

melakukan analisis sampel acak.

2.2 TEOREMA BAYES UNTUK NORMAL MEAN DENGAN PRIOR KONTINU

Kita memiliki sampel acak y1,. . . ,yn dari distribusi normal dengan mean μ dan

varians diketahui σ2

n. Hal ini lebih realistis untuk dipercaya mengenai semua nilai μ yang

mungkin, setidaknya dalam interval. Ini berarti kita harus menggunakan prior kontinu. Kita

ketahui bahwa teorema Bayes dapat diringkas yaitu “posterior sebanding dengan prior ×

likelihood”.

Di sini kita ketahui g(μ) menjadi prior kontinu. Ketika priornya adalah diskrit, kita

mengevaluasi posterior dengan membagi prior × likelihood oleh jumlah prior × likelihood

untuk semua nilai parameter mungkin. Integrasi untuk variabel kontinu adalah analogi dari

penjumlahan untuk variabel diskrit. Oleh karena itu kita dapat mengevaluasi posterior dengan

9

membagi prior × likelihood dengan integral dari prior × likelihood atas semua kisaran nilai

parameter yang mungkin.

Untuk distribusi normal, likelihood dari sampel acak sebanding dengan likelihood

dari sampel mean y.

Ini berlaku untuk prior kontinu g(μ). Namun, itu membutuhkan integrasi yang

mungkin harus dilakukan secara numerik. Kemudian kita akan melihat beberapa kasus

khusus di mana kita dapat menemukan posterior tanpa harus melakukan integrasi. Untuk

kasus - kasus ini, kita harus mampu mengenali kapan kepadatan harus normal dari bentuk

yang diberikan dalam persamaan.

Kepadatan Prior Mentah untuk μ (Prior Jeffrey untuk Normal Mean)

Kita tahu bahwa nilai-nilai aktual yang diberikan oleh prior kepada setiap nilai yang

mungkin adalah tidak penting. Mengalikan semua nilai-nilai prior oleh konstanta yang sama

akan kalikan integral dari prior × likelihood oleh konstanta yang sama, sehingga akan

mengkanselasi dan kita akan mendapatkan posterior yang sama.

Prior mentah memberikan bobot yang sama kepada semua nilai yang mungkin yaitu

g(μ) = 1. Prior mentah ini bukan distribusi prior yang benar-benar tepat karena -

<μ < sehingga tidak dapat diintegrasikan ke 1. Namun demikian, ketidaktepatan

prior ini tidak perlu diperhatikan. Meskipun priornya tidak tepat, posterior akan

mengintegrasikan ke 1, sehingga layak. Prior Jeffrey untuk mean dari distribusi normal

ternyata menjadi prior mentah.

Pengamatan Tunggal Normal

Misalkan y menjadi pengamatan terdistribusi normal dengan mean μ dan varians

diketahui σ 2. Maka likelihoodnya adalah seperti berikut.

10

Karena priornya selalu sama dengan 1, posterior sebanding dengan berikut.

Kita menyadari bahwa dari bentuk dari posterior ini adalah distribusi normal dengan

mean y dan varians σ 2.

Sebuah sampel acak normal y1. . . yn. Pada bagian sebelumnya kita menunjukkan

bahwa likelihood dari sampel acak dari distribusi normal sebanding dengan likelihood dari

sampel mean y. Kita tahu y terdistribusi normal dengan mean μ dan varians σ2

n. Oleh karena

itu likelihood memiliki bentuk sebagai berikut.

Karena priornya selalu sama dengan 1, posterior sebanding dengan berikut.

Kita menyadari bahwa dari bentuk dari posterior ini adalah distribusi normal dengan

mean y dan varians σ2

n.

Kepadatan prior normal untuk μ

Pengamatan tunggal. Pengamatan y adalah variabel acak yang diambil dari

distribusi normal dengan mean μ dan varians σ 2 yang diasumsikan diketahui. Kita memiliki

distribusi prior yang normal dengan mean m dan varians s2. Bentuk kepadatan priornya

sebagai berikut.

Bentuk likelihoodnya adalah

11

Prior dikalikan likelihood maka :

Dapat dijabarkan sebagai berikut :

Kita menyadari bahwa dari bentuk ini posterior adalah distribusi normal yang

memiliki mean dan varians yang diberikan sebagai berikut.

dan

Kita mulai dengan prior normal (m,s2) dan berakhir dengan posterior normal (m’,

(s’)2). Hal ini menunjukkan bahwa distribusi normal adalah keluarga konjugat untuk

distribusi observasi normal dengan varians diketahui. Teorema Bayes bergerak dari satu

12

anggota keluarga konjugat ke anggota yang lain. Karena itu kita tidak perlu melakukan

integrasi dalam rangka untuk mengevaluasi posterior.

Aturan sederhana untuk memperbaharui keluarga normal.

Aturan memperbarui yang diberikan dalam persamaan sebelumnya dapat

disederhanakan. Pertama kita memperkenalkan ketepatan distribusi yang merupakan

kebalikan dari varians. Posterior yang tepat sebagai berikut.

Dengan demikian posterior presisi sama dengan prior presisi ditambah presisi

pengamatan. Mean posterior diberikan sebagai berikut.

Dapat disederhanakan menjadi

Dengan demikian rata-rata posterior adalah rata-rata tertimbang dari prior mean dan

pengamatan, di mana bobotnya sebanding dengan presisi dari presisi posterior. Aturan ini

juga berlaku untuk memperbarui prior mentah. Prior mentah memiliki varians yang tak

terbatas, sehingga memiliki presisi nol. Presisi posterior akan sama dengan presisi prior

dan varians posterior sama dengan varians pengamatan σ 2. Prior mentah tidak didefinisikan

dengan baik oleh prior mean. Kita perhatikan bahwa

sehingga mean posterior menggunakan prior mentah sama dengan observasi y.

13

Variabel acak y1,. . . ,yn.

Variabel acak y1,. . . ,yn diambil dari distribusi normal dengan mean μ dan varians σ 2

yang diasumsikan diketahui. Kita memiliki distribusi prior yang normal dengan mean m dan

varians s2 diberikan sebagai berikut

Kita menggunakan likelihood dari rata – rata sampel, y yang biasanya didistribusikan

dengan mean μ dan varians σ2

n. Presisi dari y adalah (

n

σ2 ).

Kita telah mengurangi masalah untuk memperbarui dengan diberikan pengamatan

tunggal yang normal dari y , yang telah kita dipecahkan. Presisi posterior sama dengan

presisi prior ditambah presisi y.

Varians posterior sama dengan kebalikan dari presisi posterior. Mean posterior sama

dengan rata-rata tertimbang dari mean prior dan y dimana bobotnya sebanding dengan

presisi posterior :

2.3 MEMILIH PRIOR NORMAL

Distribusi prior yang anda pilih harus sesuai dengan prior yang sebenarnya. Setelah

mengamati dari distribusi normal dengan variansi yang diketahui. Keluarga konjugat dari

prior µ adalah normal (m,s2). Jika kita dapat menemukan dari keluarga ini yang sesuai

dengan prior yang sebenarnya, itu akan memudahkan dalam menemukan posterior dengan

teorema bayes. Posterior akan menjadi anggota dari keluarga yang sama dimana parameter

yang telah kita peroleh dari perumusan sebelumnya .

Pertama, tentukan prior mean m anda. Ini adalah nilai prior yang sebenarnya terpusat.

Kemudian kita putuskan standar deviasi kita misalkan s. Dugaan titik atas dan titik bawah

yang anda pilih akan menjadi batas atas dan batas bawah dari nilai kemungkinan µ. Membagi

14

jarak antara dua titik dengan 6 untuk emndapatkan prior standar deviasi s anda. Cara ini

dilakukan dari peluang yang mungkin dari daerah yang anda duga.

Adalah bermanfaat untuk mengecek prior anda adalah ‘equivalent sample size’. Atur

prior anda dengan varians s2 = σ2/neq and solve for neq. ini berlerasi dari prior yang anda

putuskan dari sample. Keyakinan anda sangat menentukan ukuran jumlah sample neq. jika

neq besar, itu menunjukan bahwa anda mempunyai prior yang sangat kuat tentang µ. Jika

samplenya kecil, prior yang anda yakini tidak kuat , dan dengan pasti akan mempengaruhi

posterior anda yang kemungkinan kuat. Hal ini di pengaruhi oleh lebih sederhananya jumlah

sample yang ada.

Jika anda tidak dapat menemukan distribusi prior dari distribusi keluarga konjugat

prior yang anda yakini, maka anda harus menentukan prior yang anda yakini dengan memilih

titikatas dari daerah kemungkinan yang anda yakini, dan diinterpolasi secara liniear.

kemudian anda akan menemukan posterior dengan distribusi.

Berikut contoh soalnya :

15

2.4 CREDIBLE INTERVAL UNTUK NORMAL MEAN

Distribusi posterior g(µly1, . . . , yn) adalah kesimpulan kita untuk µ dari hasil

pengamatan. Kesimpulannya dari masukan dari semua parameter yang anda yakini. Kadang

kita akan menyimpulkan posterior yang kita yakini menjadi rentang dari nilai yang kita

miliki ,terkadang ini tidak dapat dirubah dari beberapa jenis probabilitas, bergantung dari

sampel data yang diberikan.

Interval seperti ini disebut interval bayes kredibel. kesimpulanya daerah hasil yang

mungkin kredibel pada batas tertentu.Akan ada banyak kemungkinan yang muncul dari

interval kredibel sesuai dengan probabilitasnya.pada umumnya , yang paling pendek lebih

disukai. Akan tetapi ,dalam beberapa kasus untuk mencari interval kredibel yang mudah

adalah dengan menyamakan ekor probabilitasnya.

Untuk varians yang diketahui

Ketika y1 , . . . , yn adalah sample acak dari distribusi normal (µ,σ2) ,distribusi

sampel dari ӯ, merupakan sampel mean dengan distribusi normal (µ, σ2 /n) .ini mean untuk

pengamatan tunggal dari distribusi,dan varians nya sama dengan varians pengamatan tunggal

yang dibagi oleh ukuran data.menggunakan salahsatu dari prior seragam , atau normal [m’,

(s’)],dimna kita akan memperbaharuinya dengan aturan berikut:

16

1. presisi berbanding terbalik dengan varians.

2. presisi posterior sama dengan presisi prior ditambahkan dengan presisi mean data.

3. mean posterior berbobot dari penjumlahan mean dan mean sampel, dimana bobot dari

proporsi presisi untuk presisi Posterior .

Interval bayes kita (1 - x 100% ) untuk µ adalah :

Yang mana mean posterior positif atau negative dengan z dikali posterior standar deviasi,

dimana nilai z ditentukan dengan melihat table normal standard. Peluang distribusi Posterior

kita adalah normal dan pasti simetris. Interval kredibel yang digunakan lihat dalam

persamaan 11.7 , dengan mudah kita peroleh peluang ekornya.

Untuk varian yang tidak diketahui

Jika kita tidak mengetahui varian, kita tidak dapat mengetahui presisinya, jadi kita

tidak dapat melakukan yang seharusnya. Untuk itu kita dapat menghitungnya dari sampel

varian Dari data.

Kemudian kita gunakan persamaan sebelumnya untuk menemukan (s’)2 dan m’ dimana kita

akan menggunakan sampel varian dimana kita mengetahui varian σ 2 .

Terdapat beberapa hal yang salah, yaitu munculnya nilai estimasi σ 2 . kita dapat

meperlebar interval kredibel untuk memperbaiki hal ini. Kita akan menggunakan nilai dari

distribusi t dimana . Kita dapat mengambil nilainya dari tabel distribusi Student’s t. Interval

Bayesian yang benar adalah :

Non normal prior

Ketika kita mulai dengan non normal kita menemukan distribusi posterior untuk µ

menggunakan teorema bayes dimana kita memperolehnya dengan mengintegralkanya.

17

Distribusi posterior yang tidak normal kita dapat mencarinya dengan (1-α) X 100% interval

kredibel dengan menemukan batas bawah µ1 dan batas atas µ v yaitu:

disana pasti banyak angka-angka yang muncul. Pilihan yang tepat untuk µ1 dan µ v adalah

dengan kemungkinan interval kredibel.

Berikut contoh soalnya :

2.5 MEMPREDIKSI KEPADATAN UNTUK OBSERVASI SELANJUTNYA

Statistik Bayesian telah memperumum metode untuk mengumpulkan berbagai kondisi

distribusi untuk distribusi berikutnya,yang diperoleh dari sampel data sebelumnya.hal ini disebut

distribusi prediksi. Ini This is a clear advantage over frequentist statistics, yang mana dapat

ditentukan dengan distribusi prediksi untuk berbagai situasi .masalanya adalah bagaimana

menggabungkan ketidakpastian dari sampel yang sebelumnya yang belum pasti.pendekatan bayes

ini dapat disebut marginality ,diperlukan untuk mencari posterior gabungan untuk pengamatan

berikutnya dan parameternya.diberikan untuk sampel acak. Parameter yang diperlakukan sebagai

parameter pengganggu, dan distribusi marginal dari pengamatan berikutnya yang diberikan dari

sampel acak yang dapat dicari dengan mengintegralkan parameter dari distribusi gabungan.

Misalkan yn+l adalah peubah acak berikutnya menggambarkan variable acak setelah y1, . . . , yn.

Kepadatan predictive dari yn+l Iy1, . . . , yn yang mana kepadatan bersyaratnya

Hal ini akan dapat ditemukan dengan teorema bayes . y1, . . . , yn, yn+l adalah peubah acak sampel

dari f(yIµ), yang mana distribusi normal dengan mean µ dan varians σ 2 . distribusi bersyarat dari

peubah acak y1, . . . , yn dan observasi berikutnya yn+l diberikan sebagai berikut:

18

Misalkan distribusi prior g(µ) (dari prior seragam atau prior normal(m,s2)) distribusi gabungan dari

pengamatan dan parameter dari µ adalah:

kepadatan bersyarat dari yn+l dan µ diberikan y1, . . . , yn adalah :

kita telah menemukan posterior normal (µ|y1,. . . , yn, ) dengan posterior presisi yang sama dengan

prior presisi ditambah dengan ӯ presisi dan mean sama dengan bobot rata-rata dari prior mean dan

ӯ dimana bobot proporsi posterior presisi. Katakanlah itu normal dengan mean m n dan varian sn2.

Distribusi dari yn+1 diperoleh dari µ dan y1,. . . , yn yang hanya bergantung pada µ, karena yn+l

adalah gambaran yang dari distribusi(y|µ).ini posterior gabungan (dari pertama sampai ke n

observasi) distribusinya adalah:

distribusi yang kita inginkan diperoleh dengan mengintegralkan terhadap µ dari posterior gabungan. Inilah distribusi marginal posteriornya.

keduanya adalah normal sesuai model yang kita asumsikan jadi:

menambahkan dengan eksponen dan mengabungkanya seperti ini:

19

mengeluarkan factor (1

σ2+ 1

sn2¿ dari eksponentnya dan menyelesaikan pangkat kuadratnya

baris yang pertama bagian yang hanya bergantung pada µ, dan kita mengaturnya sedemikian

sehingga menjadikanya proporsi kepadatan normal , jadi kita dapat mengintegralkan yang ada

dalam kurung dan dapat diperoleh suatu konstanta. Dengan mengaturnya lagi sedemikian rupa kita

peroleh

dengan kita peroleh

kita mengaturnya menjadi fungsi kepadatan peluang normal mean dengan m’=mn dan varian

(s’)2=σ2+sn2 . mean prediksi untuk observasi yn+1 adalah posterior mean dari µ yang diberikan dari

observasi y1, . . . , y., prediksi variansi yang di observasi adalah varian observasi σ 2 ditambah

dengan variansi posterior yang diberikan dari observasi y1 ,. . . , y.

inilah salah satu keuntungan dari pendekatan bayes . hal ini memberikan gambaran yang

jelas bahwa pendekatan marginal akan selalu dapat digunakan untuk membanggun distribusi

prediksi . tidak ada jalan lain untuk mencari hal ini dengan statistic frekuensi .walaupun dalam

banyak kasus kita pandang sebagai normal seperti yang telah kita lakuakan , maka hasilnya akan

sama kita peroleh.

20

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari pembahasan yang telah dikaji mengenai inferensi bayes untuk normal mean

diperoleh beberapa hal sebagai berikut :

1. Teorema Bayes untuk normal mean dengan prior diskrit ada 2 kategori yaitu untuk

pengamatan tunggal dan untuk sampel acak dari pengamatan normal. Cara memperoleh

likelihood pada pengamatan tunggal ada dua metoda yaitu dengan menggunakan tabel

distribusi normal atau dengan menggunakan fungsi kepadatan distribusi normal,

sementara untuk peubah acak dari distribusi normal likelihoodnya didapat dengan

menghitung menggunakan fungsi kepadatan distribusi normal.

2. Dalam teorema Bayes untuk normal mean dengan prior kontinu berbeda pada

posteriornya, dimana bila pada diskrit rumus posteriornya adalah

sementara pada prior kontinu, rumus posteriornya adalah

selain itu juga pada prior kontinu ini, priornya memiliki fungsi kepadatan yang sama

dengan fungsi kepadatan dari distribusi normal, sehingga membutuhkan teknik

pengintegrasian yang cukup sulit, maka dari itu dalam kasus ini dipilih prior Jeffrey

dimana nilai priornya selalu sama dengan 1.

21

3. Keluarga konjugat prior dari observasi normal dengan variansinya adalah keluarga

normal (m,s2 ) .

4. Jika kita mempunyai peubah acak dari pengamatan normal dan menggunakan

prior normal (m,s2 ) posteriornya normal(m’,(s’)2), dimana m’ dan (s’)2 dapat

ditemukan dengan mengikuti aturan dibawah ini:

a. Presisi adalah sebanding terbalik dengan varian

b. Posterior presisi adalah jumlah prior presisi dan presisi dari sampel

c. Mean posterior adalah bobot rerata dari prior mean dan sampel mean,

dimana bobot proporsi dari presisi ke presisi posterior

Cara yang sama untuk memperbaharui dari prior mentah, ingatlah bahwa prior

mentah adalah presisi yang sama dengan nol. Interval Bayesian kredibal untuk µ

dapat ditemukan dengan distribusi posterior. Jika varians σ2 tidak diketahui , kita

gunakan estimasi untuk varians dihitung dari sampel, σ̂ 2 dan menggunakan nilai kritis

dari bistribusi t . menggunakan titik kritis distribusi t mengantinya dari ketidak

pastian dimana yang diketahuinya σ 2 .( hal ini sebenarnya memberikan interval yang

kredibel ketika kita menggunakan g(σ2 ) ∝ 1

σ2 dan mengeluarkan σ 2 keluar dari

posterior gabungan).

5. Distribusi prediksi dari pengamatan adalah normal(m’,(s’)2), dimana mean

m’=mn, posterior , dan (s’)2= σ2 + sn2 , varian observasi ditambah posterior varian.

(posterior varian sn2 mengikuti untuk ketidakpastian dalam mengestimasi µ).

Distribusi prediksi dapat ditemukan dengan memarginalkan keluar µ dari

distribusi gabungan f ¿)

22

3.2 Saran

1. Pada penulisan ini mengedepankan Inferensi Bayesian untuk Normal Mean dan tidak

terlalu memperhatikan aspek – aspek lainnya.

2. Berdasarkan hasil pembuatan makalah yang telah dilakukan maka penulis memberikan

saran untuk makalah selanjutnya menambah teori – teori dan pembuktian rumus

mengenai pembahasan ini.

23

DAFTAR PUSTAKA

Sumber Buku :

Bolstad ,William M.2007 introduction to Bayesian statistic second edition, united state of

America: wiley- interface Ajhon wiley and sons,inc publication

Koch, K. R .2007.Introduction to Bayesian Statistics. Berlin : Almas Schimmel.

Siska ,Ade Candra.(2011). Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes

Menggunakan Prior Konjugat. Skripsi Sarjana Sains Pada Program Studi Statistika

Jurusan Matematika Universitas Dipenogoro Semarang: tidak diterbitkan.

Sumber Lain :

http://www.google.com/url?

sa=t&rct=j&q=inferensial+bayes&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCoQFjAA&url=http://

repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/31979/4/Chapter%2520I.pdf&ei=ErkdUdLpL6-

5iAfgtoBA&usg=AFQjCNEhY-ppAHL9uBDZI3raxArjuo2jQQ&bvm=bv.42553238,d.aGc

(Inferensial Bayes) , 15 Maret 2013 Jam 16.45 WIB

24