isi makalah logika (fungsi).docx

BAB IFUNGSI

A. DEFINISI FUNGSISuatu himpunan f dari A x B (perkalian himpunan A dan B) disebut sebuah fungsi dari A ke B jika setiap anggota A yang muncul sebagai pasangan terurut dengan anggota B, muncul hanya sekali. Dengan kata lain, fungsi f tidak akan pernah memiliki dua anggota pasangan terurut yang memiliki elemen pertama yang sama.

Bila f memasangkan elemen himpunan A tepat dengan satu elemen bimpunan B, maka pemasangan ini adalah sebuah fungsi (cara lain mendefinisikan fungsi), yang dilambangkan dengan

dan dibaca sebagai f adalah fungsi dari A ke dalam B. Anggota B yang menjadi pasangan a oleh f dan ditulis sebagaib = f (a)disebut bayangan a (dibaca sebagai f dari a).

Pada fungsi f yang memasangkan anggota himpunan A dan B, himpunan A disebut sebagai domain (daerah asal) dari fungsi f. Dan himpunan B disebut sebagai codomain (daerah kawan) dari f. Himpunan anggota B yang menjadi pasangan a disebut range (daerah hasil), dan ditulis sebagaif (A)Pendefinisian fungsi dapat dilakukan dengan beberapa cara:1. Didefinisikan sebagai relasi yang memenuhi sifat tertentu;2. Dengan rumus dan grafik Cartesius;3. Sebagai pasangan berurutan;4. Dengan diagram panah.

B. RELASI DAN FUNGSI Fungsi dari P ke Q ditulis f : P Q adalah sebuah relasi (hubungan) khusus yang memasangkan tiap elemen dari himpunan P dengan tepat satu elemen dari himpunan Q. Pada relasi dari P ke Q, himpunan P dinamakan daerah asal (domain) dan himpunan Q dinamakan daerah kawan (kodomain); sedangkan himpunan semua peta di Q dinamakan daerah hasil (range).

f : x y

x disebut variabel bebasy disebut variabel tak-bebas.

Jika x P dan y Q sehingga pasangan-terurut (x, y) f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f.

Contoh 1 : 1. Jika daerah asal A ditetapkan A = {xI 1 x 5, x R},a. Carilah f(1), f(2), f(3), f(4) dan f(5)b. Gambarkan grafik fungsi y = f(x) = x + 1 dalam bidang Cartesiusc. Carilah daerah hasil dari fungsi fPenyelesaian :

a. f(x) = x + 2f(1) = 1 + 2 = 3f(2) = 2 + 2 = 4f(3) = 3 + 2 = 5f(4) = 4 + 2 = 6f(5) = 5 + 2 = 7b. Grafik fungsi y = f(x) = x + 2

c. Daerah hasil Rf = {y I 3 y 7, y R}

Contoh 2:Diketahui dan f : A R ditentukan oleh Maka tentukan daerah asal(domain), daerah kawan (kodomain) serta range atau daerah hasilnya!Penyelesaian:A={-1,0,1,2,3} , didapat Sehingga diperoleh daerah asal adalah A={-1,0,1,2,3} dan daerah hasil atau range adalah ={-1,0,3,8} dengan daerah kawan C. MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS

Ada beberapa fungsi yang mempunyai ciri spesifik di antaranya : fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi genap, fungsi ganjil, fungsi modulus, dan fungsi tangga.1. Fungsi KonstanUntuk semua unsur dalam himpunan A berkaitan hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B. Fungsi konstan ditulis f : x k, k = konstanta, x R.Grafik fungsi konstan merupakan garis yang sejajar dengan sumbu X .Contoh :Buat diagram panah dan grafik pada bidang Cartesius untuk fungsi y = 5.( 2 x 2 dan x bilangan bulat)

Jawab : Diagram panahGrafik pada bidang Cartesius

2. Fungsi IdentitasSemua unsur dalam himpunan A berkaitan dengan dirinya sendiri.Grafik fungsi identitas y = x untuk x R Contoh :Buat diagram panah dan grafik pada bidang Cartesius untuk fungsi y = 5, (x 3 dan x bilangan cacah)

Jawab :Diagram panahGrafik pada bidang Cartesius

3. Fungsi Mutlak atau ModulusModulus atau nilai mutlak dari sebuah bilangan real x

+x, jika x > 0| x | = 0, jika x = 0 -x , jika x < 0

Contoh : Diketahui fungsi f:x I x I dengan x RCarilah f( 3) , f( 2), f(1), f(0), f(1), f(2) dan f(3)Jawab :f(x)= I x If( 3)= l 3 l = 3f( 2)= I 2 I = 2f(1)= I 1 I = 1f(0)= I 0 I = 0f(1)= I 1 I = 1f(2)= I 2 I = 2f(3)= l 3 l = 34. Fungsi LinearFungsi f: RR didefinisikan oleh f(x) = mx + n, dengan m dan n adalah konstanta dan variabel atau peubahnya berpangkat satu dinamakan fungsi linear. Grafiknya berbentuk garis lurus.

5. Fungsi KuadratFungsi kuadrat telah disampaikan di SMP, yaitu fungsi yang memiliki bentuk umum dengan ,b, c konstanta dan grafiknya berbentuk parabola.

6.Fungsi Tangga Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar dalam perhitungan matematika sering dilakukan pembulatanContoh : 0,2; 0,3; 0,78 dan seterusnya untuk semua x R dan 0 x < 1 dibulatkan ke bawah menjadi 01,1; 1,2; 1,57 dan seterusnya yang kurang x R dan 1 x < 2 dibulatkan ke bawah menjadi 1.Suatu nilai bulat terbesar yang kurang dari x dilambangkan dengan [[ x ]]. 2 x < 1 [[ x ]] = 21 x < 0 [[ x ]] = 10 x < 1 [[ x ]] = 01 x < 2 [[ x ]] = 12 x < 3 [[ x ]] = 2Fungsi f: x [[ x ]] disebut fungsi nilai bulat terbesarGrafik fungsi y = f(x) = [[ x ]] untuk x R Grafiknya menyerupai tangga maka f(x) = [[ x ]] sering disebut fungsi tangga

C. SIFAT- SIFAT FUNGSI1. Fungsi InjektifFungsi f : A B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f(a1) f(a2)

Contoh :Himpunan P = {1, 2, 3} dan Q = {p, q, r}.

Fungsi f adalah fungsi injektif

Untuk mengetahui fungsi injektif atau bukan, dapat dilihat melalui grafik 1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) pada bidang Cartesius2. Ambillah nilai-nilai x1, x2 anggota daerah asal dan x1 x2a. Jika f(x1) f(x2) maka f merupakan fungsi injektif b. Jika f(x1) = f(x2) maka f bukan fungsi injektif

Contoh : 1. Manakah yang merupakan fungsi injektif di bawah ini : a)y = f(x) = x2, x Rb)y = f(x) = x3, x R

Jawab :

ba

bukan fungsi injektif

fungsi injektif

2. Fungsi surjektif Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = BContoh :Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {a, b, c, d}

Fungsi adalah fungsi ontoRf = {a, b, c, d}Rf = B

3. Fungsi BijektifFungsi f: AB dikatakan bijektif jika setiap elemen di A dipasangkan dengan tepat satu elemen di B dan setiap elemen di B mempunyai tepat satu elemen di A. Maka, dengan kata lain suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif atau berkorespondensi satu- satu jika fungsi tersebut bersifat injektif dan subyektif.Tips:Langkah- langkah untuk membuktikan f: AB merupakan fungsi bijektif adalah: Buktikan f berlaku fungsi injektif dengan cara memilih sembarang unsur , dengan dan tunjukkan bahwa atau pilih unsur f(), f() dengan f() = f() dan tunjukkan bahwa = Buktikan f adalah fungsi surjektif dengan cara menunjukkan setiap unsur memiliki pasangan sehingga f(B) = A.contoh :Fungsi f : A BFungsi f : A BA = {0, 1, 2} dan B = {a, b, c} A = {0, 1, 2} dan B = {a, b, c,

4. Fungsi IntoFungsi f: AB dikatakan fungsi dari A ke dalam B, jika sekurang-kurangnya ada satu unsur yang bukan peta dari atau contoh fungsi into:

A BA B

5. Fungsi Genap dan Fungsi GanjilFungsi f : x y = f(x) disebut fungsi genap jika f(- x) = + f(x)Grafik fungsi genap selalu simetri terhadap sumbu Y

Fungsi f : x y = f(x) disebut fungsi ganjil jika f(- x) = - f(x)Grafik fungsi ganjil selalu simetri terhadap titik asal O

Jika suatu fungsi y = f(x) tidak memenuhi keduanya maka disebut fungsi tak genap dan tak ganjil

Contoh : Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil ?a)f(x) =x2b)f(x) =x3 c)f(x) =x3 + 1

Jawab : a)f(x)= x2 f( x)= ( x)2 = x2f( x) = + f(x)f(x) = x2 fungsi genap

b)f(x) = x3 f( x) = ( x)3 = x3 f(x) = x3f( x) = f(x) f(x) = x3 fungsi ganjil

c)f(x)= x3 + 1f( x)= ( x)3 + 1 = x3 + 1 f(x) = (x3 + 1)= x3 1

f( x) + f(x) dan f( x) f(x) maka f(x) = x3 1 bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.

D. ALJABAR FUNGSIJika dan adalah domain dari fungsi f dan fungsi g , peta dari f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut, maka: Jumlah fungsi f dan g adalah: dengan Selisih fungsi f dan g adalah: dengan Hasil kali fungsi f dan g adalah: dengan

Hasil bagi fungsi f dan g adalah:dengan , dengan Contoh:1. Diketahuidan g(x) = 2x + 3 dengan f dan g pada R. tentukan dan serta prapeta dari 19 untuk fungsi f + g !Penyelesaian:Jadi, Jadi,

x = -6 atau x = 3Jadi, prapeta dari 19 untuk f + g adalah x = -6 atau x = 3

2. Diketahui dan g(x) = log (2 x). Tentukan a. (f + g)(x)b. dan c.

Penyelesaian:a.b. , sehingga > 0 - x > -2 x < 2, jadi c. E. FUNGSI KOMPOSISI1. Pengertian Fungsi KomposisiOperasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi)Fungsi baru dapat dibentuk dengan operasi komposisi a. (f o g) (x), dibaca: f komposisi g x atau f g xb. (g o f) (x), dibaca, g komposisi fx atau g f x

dengan begitu dapat digambarkan dengan

fg

ABCKeterangan:Fungsi f : A B; fungsi g: BC dan h: ACJika f : x y dilanjutkan dengan g : y z Sehingga diperoleh : y = f(x) dan z = g(y) maka z juga dapat dinyatakan dengan f(g(x)).

Fungsi h : A C atau h : x z yang ditentukan oleh g(f(x)) disebut fungsi komposisi. Bentuk komposisi (x) = g (f(x)) dimana komposisi fungsi tersebutdikerjakan dari belakang yaitudengan memasukkan x ke fungsi f(x) kemudian fungsi f(x) dimasukkan ke g(x), sehingga seluruhfungsi f(x) dianggap sebagai x dalam g(x).

Dengan begitu, fungsi komposisi dapat diartikan sebagai penggabungan atau penggandaan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi.

Jika fungsi f: AB dan g: BC dengan dimana adalah range fungsi dan merupakan domain fungsi g sehingga Jika f: xy maka y = f(x)..(1)Jika g: yz maka z = f(y)..(2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:z = g( f(x))...(3)Fungsi h : AC yang memetakan setiap ke adalah fungsi komposisi dari f dan g yang dinyatakan h : atau z = h (x) = ()(x)(4)Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke persamaan 4 akan diperoleh rumus komposisi dari f dan g yaitu:

Dibaca g bundaran f(x) atau g komposisi f sama dengan g (f(x)) artinya x dipetakan oleh f dan dilanjutkan oleh g.

Contoh:Diketahui : f(x) = 2x -1 dan g(x) = x - x + 3. tentukan () (x) dan (x)!Jawab: () (x) = g (f(x)) = g (2x 1) = ( 2x 1) - (2x-1) + 3 = (4x - 4x + 1) 2x + 2 = 4x - 6x + 3

(x) = f (g(x)) = f (x - x + 3) = 2(x - x + 3) + 3 = 2x - 2x + 92. Syarat Dua Fungsi dapat DikomposisikanDua fungsi f: A B dan g: BC dapat digabungkan menjadi fungsi baru, : AC jika range (A) domain (B)Misalkan:a. fungsi f(x) = x + 1 dan g(x) = x, maka fungsi komposisi adalah: ()(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = x + 1 Kedua fungsi tersebut dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi . Sebab irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakan himpunan kosong.

b. fungsi f(x) = x+ 2 dan g(x) = 1, maka maka fungsi komposisi tidak dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g f sebab irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi x merupakan himpunan kosong.()(x) = g(f(x) = g(x+ 2) Sehingga fungsi tersebut tidak punya penyelesaian.Dari kedua masalah tersebut, dapat disimpulkan bahwa syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong, atau .Contoh:1. Diketahui : f(x) = 2x -1 dan g(x) = x - x + 3. tentukan () (x) dan (x)!Jawab: () (x) = g (f(x)) = g (2x 1) = ( 2x 1) - (2x-1) + 3 = (4x - 4x + 1) 2x + 2 = 4x - 6x + 3(x) = f (g(x)) = f (x - x + 3) = 2(x - x + 3) + 3= 2x - 2x + 9

2. Fungsi f, g, dan h didefinisikan sebagai berikut f(x) = x + 2, g(x) = 3x dan h(x) = x. tentukan:a. b. Jawab:a. = g (f(x)) = g (x + 2) = 3 (x + 2) = 3x + 6 = h (3x + 6) = (3x + 6) = 9x + 36x + 36b. = h (g(x)) = h (3x) = (3x) = 9x = {f(x)} = (x + 2) = 9 (x + 2) = 9 (x + 4x + 4) = 9x + 36x + 363. diketahui : l(x) = x dan f(x) = x + 1 , carilah , , dan berilah kesimpulan! Jawab: = l(f(x)) = l(x + 1) = x + 1= f(l(x))= f (x)= x + 1Kesimpulannya = = f untuk setiap f.

3. Sifat- sifat Fungsi Komposisia. Assosiatif Jika f: A B , g: B C, dan h: C D, maka = b. Sifat Identitas Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, sehingga = c. Tidak KomutatifJika f: A B , g: B C,

4. Menentukan fungsi f atau g jika fungsi komposisi dari f atau g diketahuiSetelah dapat menentukan fungsi komposisi atau jika fungsi f dan g diketahui, bagaimana jika yang terjadi adalah sebaliknya? Jika fungsi yang diketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara menentukan fungsi lainnya?Untuk menyelesaikan permasalahan yang seperti itu, dapat dilihat contoh dibawah ini.Contoh: 1. Diketahui : g (x) = x 1 dan (x) = x - 4x + 3, tentukan f(x)!Jawab:(x) = x - 4x + 3f ( g(x) ) = x - 4x + 3f ( x 1) = x - 4x + 3misalkan : x 1 = ax = a + 1, maka f (a + 1) = (a + 1) - 4( a + 1) + 3 = a + 2a + 1 4a 4 + 3 = a - 2a Sehingga f (x) = x -2x

2. Diketahui : g (x) = 3x + 2 dan () (x) = 4x 3. tentukan f (x)!Jawab:() (x) = 4x 3 g ( f(x)) = 4x 3 3( f (x)) + 2 = 4x 3 3 f(x) = 4x 3 f(x) =

F. FUNGSI INVERS1. Pengertian Invers Suatu FungsiJika fungsi f memetakan setiap ke dibuat kebalikan fungsi f yaitu fungsi g yang mengembalikan unsur y tersebut ke unsur x semula. Tetapi g belum tentu sebuah fungsi. Jika f : A B, fungsi korespondensi satu-satu , maka balikan fungsi f (invers fungsi f) akan merupakan fungsi dan disebut juga invers, ditulis .

ABf

2. Syarat Suatu Fungsi Mempunyai InversSuatu fungsi f : A B mempunyai invers g : B A, bila setiap anggota B adalah peta dari tepat satu anggota A, yaitu bila A dan B berkorespondensi satu-satu. Bila g ada, maka dinyatakan (dibaca f invers). Sedang daerah hasil dari f adalah daerah asal dari dan daerah asal dari f adalah daerah hasil dari .Jadi, agar invers suatu fungsi merupakan sebuah fungsi, maka harus dipenuhi hal-hal berikut:

Bila f dan merupakan fungsi- fungsi invers, maka f(x) = y (y)= x3. Menentukan Rumus Fungsi InversUntuk menentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x), perhatikan langkah-langkah berikut:a. Kita misalkan f(x) = yb. Kita nyatakan x dalam bentuk fungsi yc. Kita tentukan rumus dari (x) dengan menukarkan y dengan x pada hasil yang diperoleh dari langkah b.d. Kita cek apakah , jika memenuhi syarat tersebut, maka rumus (x) yang didapat merupakan invers dari f(x).Contoh:1.f(x) = 3x + 2, tentukan (x) dan (1)!

Jawab:

f(x) = 3x + 2 y = 3x + 2 3x = y 2 x = (y) = (x) = (1) = = 2. f(x) = , . Tentukan:a. (x)b. daerah asal dan daerah hasil fc. daerah asal dan daerah hasil .Jawab:

a. f(x) = y = y(3 x) = x + 23y yx = x + 2- yx x = 2 3yx(- y -1) = 2 3y x = = = , sehingga (x) = ,

b. daerah asal fungsi f : { x |}daerah hasil fungsi f = : { x|}c. daerah asal fungsi : {x|}daerah hasil fungsi = f : {x | }2. Tentukan invers dari f(x) = !Jawab:f(x) = y = log y = log log y = 2x log 5 2x = 2x = x = = , jadi (x) = 3. Beberapa Rumus Fungsi Inversa. jika , maka b. jika , maka c. jika , maka d. jika inversnya adalahe. jika , maka f. jika , maka g. jika maka

4. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

ABC

fg

fg

Bila suatu fungsi h : A C ditentukan oleh h = , dengan f : A B dan g : B C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah atau dirumuskan:

Contoh:1. diketahui f : RR dan g: RR didefinisikan oleh dan g(x) = 4- x, tentukan :a. dan b. dan c. d. e. Penyelesaian: diketahui : b.= Misalkan = y Jadi = c.= = Jadi = xd. == e.= = = =Jadi, = x

Dari contoh diatas, terlihat jawaban c sama dengan jawaban e dan jawaban b sama dengan jawaban d. sehingga dapat disimpulkan bahwa: = = x dengan I(x) = x adalah fungsi identitas, maka = I(x) = x = I(x)5. Grafik Fungsi InversGambar grafik pada fungsi invers merupakan kebalikan dari grafik pada fungsi komposisi. Sebelum menggambar grafik fungsi invers, langkah yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi inversnya terlebih dulu kemudian menentukan daerah asal, dan akhirnya daerah hasil.Contoh:Diketahui bahwa dan = . Substitusikan sembarang nilai x yang sama pada kedua fungsi sehingga

diperoleh:Pada Pada = . Jika x = -1 y = 28jika x = -1 y = x = 0 y = 23 x = 0 y = x = 1 y = 18 dst. x = 1 y = dst.Sehingga grafiknya:y

28

23

= 18

5x-10123

DAFTAR PUSTAKA

http ://funmatika.files.wordpress.com/2012/01/boo.doc

http ://andy madrit.files.wordpress.com/2010/bab 3 fungsi1.doc

http ://mti.ugm.ac.id/~adji/courses/resources/lectures/dismath/fungsi.doc

15 | Page