BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Baik di dalam dunia engineering, ekonomi, social, budaya maupun dunia

teoritis (termasuk dunia komputer), kita sering menghadapi suatu yang sering

disebut sebagai “ketidakpastian”. Ketidakpastian terjadi akibat keterbatasan

manusia itu sendiri di dalam dunianya dalam mengukur menghitung, menalar,

meramal suatu hal baik yang akan dating maupun yang ada di depan mata,

termasuk yang telah terjadi. Sudah sejak awal zaman, ketidakpastian diantisipasi

menusia dengan berbagai cara. Ada cara yang bersifat prophecy dan supranatural,

ada pula yang lebih rasional dengan mempelajari periodisitas (pengulangan)

gejala alam untuk mengurangi tingkat ketidakpastian itu mungkin menjadi faktor

pemicu dinamika roda kehidupan itu sendiri. Dengan kata lain, walau

ketidakpastian itu seringkali menjadi sumber kesulitan, tetapi juga sekaligus

merupakan blessing.

Teori probabilitas bisa dikatakan merupakan salah satu ilmu untuk

“mengukur” ketidakpastian hingga ke tingkat yang lebih manageable dan

predictable.Teori probabilitas digunakan bukan hanya untuk hal-hal yang praktis,

bahkan juga untuk hal-hal yang teoritis ketika model-model matematis tidak dapat

lagi disusun secara komprehensif untuk memecahkan suatu masalah.Apalagi

dunia engineering yang pada umumnya memerlukan pertimbangan yang lebih

singkat dan pragmatis sangat mengandalkan konsep-konsep di dalam teori

probabilitas.

Metode statistika adalah “muka” dari teori probabilitas. Metode statistika

digunakan untuk melakukan pengukuran kuantitatif yang aproksimatif akan suatu

hal. Konsep metodologis yang digunakan di dalam statistika dikembangkan

berdasarkan teori probabilitas.Dalam penggunaanya, hasil pengukuran statistika

sudah dapat dianggap memadai. Namun, untuk memahami apa yang ada di balik

angka-angka hasil penghitungan statistika tersebut memerlukan pemahaman

mengenai model probabilitas yang digunakannya, yang artinya perlu kembali ke

teori probabilitas. Tanpa pemahaman tersebut, seringkali statistic digunakan untuk

Probabilitas 1

melegitimasi suatu kebohongan (dikenal sebagai kebohongan statistika) ketika

statistic digunakan sementara model dasar probabilitas yang terkait tidak

sesuai/relevan dengan situasi yang sebenarnya.

Probabilitas hanyalah suatu sistematika ilmu untuk mempelajari

ketidakpastian. Seakurat-akuratnya model probabilitas yang digunakan, tetap saja

ketidakpastiaan itu masih ada walau dengan kadar yang amat tipis. Dan

ketidakpastiaan yang tipis itu pada gilirannya dapat menghasilkan hasil yang

ekstrim. Jadi penting bagi kitamemahami apa yang bisa diberikan oleh teori

probabilitas dan turuna-turunannya.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana pengertian probabilitas dan konsep dasar hukum probabilitas?

2. Bagaimana konsep ruang sampel dan peristiwa?

3. Bagaimana konsep mengenai probabilitas suatu peristiwa?

4. Bagaimana analisis kombinatorik probabilitas?

5. Bagaimana probabilitas bersyarat dari suatu peristiwa?

6. Bagaimana manfaat teori probabilitas dalam penelitian?

1.3 Tujuan

1. Untuk memahami dan menjelaskan pengertian probabilitas.

2. Untuk memahami dan menjelaskan ruang sampel dan peristiwa.

3. Untuk memahami dan menjelaskan konsep mengenai probabilitas suatu

peristiwa.

4. Untuk memahami dan menjelaskan analisis kombinatorik probabilitas.

5. Untuk memahami dan menjelaskan probabilitas bersyarat dari suatu

peristiwa.

6. Untuk memahami dan menjelaskan manfaat teori probabilitas dalam

penelitian.

Probabilitas 2

1.4 Manfaat

Manfaat yang dapat diperoleh baik oleh penulis maupun pembaca adalah:

Meningkatkan keterampilan menyusun suatu karya ilmiah dalam bentuk makalah

yang sesuai dengan sistematika penyusunan karya tulis, memberi pengetahuan

terkait probabilitas yang nantinya pengetahuan yang diperoleh dapat diberdayakan

ketika hendak meneliti suatu pengetahuan baru agar bisa dihasilkan ilmu

pengtahuan yang benar-benar berfaedah bagi kehidupan manusia

Probabilitas 3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa

pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana.Biasanya kita dihadapkan

dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita

harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini,

misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung.

Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan

terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan

turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah

probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu

kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu

peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas

antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa

adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan

bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi.

Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang

suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut

hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa.

Dalam kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan “pasti” apa yang

akan terjadi pada waktu yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun

jangka panjang.

Sebuah contoh sederhana adalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit

untuk memastikan bahwa muka gambar atau muka angka yang berada di atas. Jika

terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk memprediksikan apakah

tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkait dengan suatu

ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau gagal dan lain

sebagainya. Semua peristiwa tersebut berada dalam “ketidakpastian” atau

Probabilitas 4

Uncertainty. Dengan demikian, probabilitas atau peluang merupakan “derajat

kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan angka pecahan

antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau

random.

Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Secara lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :

“Probabilitas” ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya

suatu kejadian acak.”

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui:

1.      Eksperimen,

2.      Hasil (outcome)

3.      Kejadian atau peristiwa (event)

Contoh :

Dari eksperimen pelemparan sebuah koin.Hasil (outcome) dari pelemparan

sebuah koin tersebut adalah “MUKA” atau “BELAKANG”.Kumpulan dari

beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (event).Probabilitas biasanya

dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,500,25 atau 0,70) atau bilangan

pecahan (seperti

510

, 25100

, atau 70100

).Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan

1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu

kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1

semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Konsep Dasar Hukum Probabilitas

Probabilitas akan sesuai bila pengamatan terjadi pada objek yang berjumlah

besar. Dengan menggunakan hukum pertambahan, hukum perkalian serta

kombinasi antara kedua hukum tersebut kita dapat menghitung probabilitas suatu

peristiwa pada konsidi-kondisi yang kita inginkan, ini akan sangat berguna dalam

memprediksi suatu peristiwa.

a) Hukum Pertambahan

Probabilitas 5

Bila dua kejadian tak mungkin terjadisecara bersamaan (mutually exclusive)

makaprobabilitas terjadinya salah satu ataubeberapa kejadian pada suatu

percobaanakan mengikuti hukum pertambahan.

P(A1 atau A2) = P (A1) + P (A2)

Misal : Dadu yang mempunyai sisi 6, dan masing-masing sisinya diberi angka

1 – 6. Berapa probabilitas timbulnya angka 1 atau 3 pada suatu pelemparan?

Jawab :P (1 atau 3) = P (1) + P (3) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Probabilitas timbulnya

angka 1 atau 3 pada suatu pelemparan adalah 1/3.

Satu kumpulan kemungkinan yang ‘mutually exclusive’ disebut

‘exhaustive’ bila terdiri dari semua kemungkinan yang bisa terjadi, jumlah

probabilitas adalah 1, yang berarti satu kejadian pasti akan timbul. Seperti pada

contoh diatas kemungkinan keluarnya angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah

‘exhaustive’, maka P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1

Bila dua kejadian tidak mutually excusive, maka harus

dipertimbangkanadanya peristiwa yang terjadi bersama-sama,maka hukum

pertambahan berubah menjadiP(A1 atau A2) = P(A1) + P(a2) – P(A1 danA2).

Misalnya : Berapa probabilitas munculnya kartu Ace atau hati pada penarikan

satu kartu dari satu set lengkap kartu (52 kartu) ?

Jawab : Di dalam hal ini jelas bukan merupakan peristiwa yang bersifat

mutually exclustive karena kartu yang muncul dapat berupa ace hati. P(ace atau

hati) = P(ace) + P(hati) – P(ace hati) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.

b) Hukum Perkalian

Seandainya kita menghadapi dua percobaan misalnya tentang hipertensi

dan kegemukan (obesitas), dalam perhitungan probabilitas timbulnya 2

peristiwa diatas tergantung pada apakah kedua peristiwaindependen atau tidak.

Peristiwa-peristiwa yang independen yaitu bila hasil dari suatu percobaan

tidak dipengaruhi oleh percobaan yang lain. Maka hukum yang berlaku ialah :

P (A dan B) = P(A) X P(B)

Contoh : Bila 2 dadu dilempar, berapa probabilitas timbulnya dua angka 5 ?

Jawab :P(5 dan 5) = P(5) X P(5) = 1/6 X 1/6 = 1/36. Karena hasil dari kedua

dadu adalah independen.

Probabilitas 6

Bila dua peristiwa tidak independen, probabilitas satu peristiwa

dipengaruhioleh peristiwa yang lain atau disebut bahwa probabilitas

terkondisikan oleh peristiwa yang lain. Hal ini dituliskan sebagai P(A/B) yang

dibaca sebagi probabilitas A setelah terjadinya B.

c) Kombinasi Hukum Pertambahan Dan Hukum Perkalian :

Bila kita mengambil dua kartu dari satu set tumpukan kartu standard,

berapa probabilitas untuk mendapat satu kartu ace dan satu kartu king? Ada

dua macam kejadian yang dapat terjadi yaitu mula-mula terambil ace,

kemudian kartu kedua king atau mula-mula terambil king kemudian kedua ace,

maka diketahui:

P(ace dan king) = P(ace) x P(king/ace) + P (king) x P (ace/king)

= 4/52 X 4/51 + 4/52 x 4/51

= 32/2652

2.2 Ruang Sampel dan Peristiwa

Langkah yang harus ditempuh untuk mempelajari konsep peluang, dimulai

dengan eksperimen acak, ruang sampel, lapangan sigma (Medan Peristiwa), dan

kemudian baru fungsi peluang atau peluang terjadinya peristiwa. Eksperimen atau

percobaan acak memiliki 3 ciri, yaitu:

a. Hasilnya tak dapat diduga sebelumnya dengan derajat keyakinan yang

pasti.

b. Semua hasil dapat diidentifikasi dan terkandung dalam sebuah himpunan.

c. Dapat diasumsikan bisa dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang

sama.

Himpunan semua hasil dari suatu eksperimen acak dinamakan ruang

sampel, dan setiap anggotanya dinamakan titik sampel. Ruang sampel yang

diambil adalah ruang sampel yang setiap titiknya (diasumsikan) merupakan hasil

individual, artinya tidak dapat dipecah-pecah lagi dipandang dari berbagai segi.

Notasi untuk ruang sampel, biasanya dengan huruf S, C, atau huruf lainnya. Jika S

terhitung maka S dinamakan ruang sampel diskrit, dan jika S tak terhitung (dan

banyak unsurnya tak terhingga) maka S dinamakan ruang sampel kontinu. Jika

Probabilitas 7

setiap titik sampel dari S memiliki kesempatan yang sama untuk muncul, maka S

dinamakan ruang sampel uniform.

Contoh: Dua dadu bersisi 6 dilempar undi atau di tos sekaligus dari

ketinggian dua meter. Dapat diperlihatkan, bahwa pengetosan dua dadu ini

merupakan sebuah eksperimen acak, yaitu memenuhi semua ciri dari eksperimen

acak. Hasilnya berupa pasangan sisi dadu pertama dan sisi dadu kedua, dan bisa

dinyatakan dengan pasangan angka. Misalnya muncul pasangan (2, 4) ini berarti

sisi dadu pertama muncul sisi bernomor 2 dan sisi dadu kedua muncul sisi

bernomor 4. Semua hasil yang mungkin atau semua pasangan angka yang

mungkin muncul dapat dihimpun dalam sebuah himpunan, dan himpunan ini

adalah ruang sampel dari Eksperimen Acak tersebut. Ruang sampel tersebut dapat

ditulis sebagai S = {(1, 1), (1, 2),…..(1, 6), (2, 1),…..(2, 6),….. (6, 6)} atau S =

{(x, y): x, y = 1,2,3,4,5,6} = {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5,6} Kardinal atau banyak

anggota dari S adalah N(S) =36 . S adalah himpunan terhingga, jelas S terhitung,

jadi S adalah ruang sampel diskrit. Jika diasumsikan setiap titik sampel dari S

memiliki kesempatan yang sama untuk muncul, S adalah ruang sampel uniform.

Catatan: Dadu yang menghasilkan ruang sampel S uniform dinamakan “dadu

jujur” atau “dadu homogin”. Perlu diperhatikan, bahwa tidak setiap dadu bersisi 6,

ada pula dadu yang bersisi tidak 6, misalnya dadu bersisi 4 atau bidang 4

beraturan

Dalam analisis probabilitas tak pernah lepas dengan istilah ruang dan

peristiwa. Data diperoleh baik dari pengamatan kejadian yang tak dapat

dikendalikan atau dari percobaan yang dikendalikan dalam laboratorium. Untuk

penyederhanaan digunakan istilah eksperimen (percobaan) yang didefinisikan

sebagai suatu proses dimana suatu pengamatan (atau pengukuran) dicatat.

Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu

percobaan atau dengan kata lain himpunan seluruh titik sampel yang bisa nampak

dari suatu percobaan. Himpunan dari semua titik sampel untuk suatu eksperimen

disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol S. Setiap hasil dalam ruang

sampel dinamakan elemen atau anggota ruang sampel atau titik sampel.

Contoh ruang sampel S dari kemungkinan hasil bila suatu koin dilemparkan

adalah:

Probabilitas 8

S = {H,T}; dimana H = head (depan); T = tails (belakang)

Contoh ruang sampel S dari dadu yang dilemparkan adalah:

S = 1,2,3,4,5,6}

Pada beberapa eksperimen elemen dari ruang sample dibuat dalam bentuk

diagram pohon. Misalkan, koin di lemparkan, bila hasilnya adalah Head, maka

koin dilemparkan lagi. Namun bila hasilnya tails, maka dadu dilemparkan satu

kali. Elemen diatas dapat digambarkan dalam diagram pohon sbb:

Gambar 1. Diagram Pohon

Sementara kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang

sampel. Contoh ruang sampel ialah pada pelemparan mata datu. Satu kali

pelemparan akan menunjukkan peluangmunculnya mata genap danmata ganjil.

Contoh :

Lemparkan sebuah dadu dan amati angka yang tampil pada permukaan atasnya.

Beberapa peristiwa (event) adalah sebagai berikut:

Peristiwa A: bilangan ganjil

Peristiwa B: sebuah angka yang kurang dari 4

Peristiwa E1: angka 1

Peristiwa E2: angka 2

Peristiwa E3: angka 3

Peristiwa E4: angka 4

Peristiwa E5: angka 5

Peristiwa E6: angka 6

Probabilitas 9

Sebuah peristiwa yang tidak dapat diuraikan disebut peristiwa sederhana.

Peristiwa-peristiwa sederhana dinyatakan dengan simbol E dengan sebuah

subcript.Sebuah peristiwa (event) adalah sebuah kumpulan khusus dari titik-titik

sampel.

Gambar 2. Diagram Vent

Besarnya suatu probabilitas dari peristiwa tertentu dalam sampel yang

terlibat dapat ditentukan secara kuantitatif.

Contoh terkait konsep probabilitas, misalkan kita mempunyai 1 baju, 2

celana dan 3 pasang sepatu. Maka berpakah pasangan pakain lengakap (baju-

celana-sepatu) yang dapat dipakai ketika kita menghadiri suatu acara ditempat

yang berbeda ?

Analisis ini melibatkan kemungkinan bahwa ada sejumlah cara untuk

merangkaikan pakaian ini agar Nampak berbeda kketikan mengahdari suatu acara.

Dalam analiisis tepori probabilitas dijelaskanm bahwa bila kejadian pertama

terjadi dalam p cara yang berbeda, kejadian kedua dengan q cara dan kejadian

ketiga dengan r cara maka banyak keseluruhan cara urutan itu adalah:

P x q x r

Jadi rangkaian pakaianyang dapat dipakan adalah 1 x 2 x 3=6. Ada 6 macam

rangkaian atau cara memkai pakaian in agar Nampak berbeda ketika menghadiri

suatu acara yang berbeda.

Ada beberapa prinsip dasar yang mesti dicapai sebagai dasar dalam analisis

teori probabilitas :

1. Permutasi

Probabilitas 10

Jika ada n unsur berbeda dengan sekali pengambilan r unsur ( r < n)maka

permutasi dari n unsur yang bebeda dengan sekali penhgambilan r unsur di

tulis sebagai :

n P r=n(n−1 )(n−2 ). . .. .. . .. ..( n−r+1 ). .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .atau

n P r=n!

(n−r )!

Dimana n P r adalah banyak cara pengisian r tempat yang berbeda yang

diambil dari n unsur yang berbeda.

Contoh :

Seandainya tersedia 6 pilihan nama, dengan nama Andine, Bella, Cicillya,

Dean, Erlina, dan Fara. Maka permutasi dari 6 unsur dengan pengambilan 5

unsur nama ini adalah :

56 PP rn

720123456!6!56

!656

xxxxxP

Bila dari n unsur itu ada A unsur yang sama ada B unsur yang sama dan

ada C unsur yang sama maka banyaknya permutasi yang berbeda dari n

unsur dengan sekali pengambilan adalah

P= n !A ! B!C !

Contoh :

Terdapat sekumpulan kelereng dengan warna merah kuning hijau . Masing

masing jumlahnya 5 buah. Maka, berapakah banyaknya permutasi yang ada

dalam pengambilan sekali terhadap n unsur yang ada.

P=15 !5 !5 !5!

=15 x14 x 13 x 12 x 11 x10 x 9 x 8 x7 x 6 x 5 !5 !5 x 4 x3 x2 x1 x5 x 4 x 3 x 2 x1

=14 x13 x11 x 9 x7 x 6=756756

2. Kombinasi

Kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan pengambilan r unsur ialah:

n K r=n P r

r !

Kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan sekali pengambilan r ialah

susunan yang mungkin terjadi dari r unsur yang berbeda yang diambil dari n

Probabilitas 11

unsur itu tanpa memperhatikan urutannya. Inilah pembeda dasar antara

2333333333333333333333331111111111111`permutasi dengan kombinasi.

Seorang dewasa telah diuji dengan memilih 1 diantara dua hati. Dua orang ini

ialah abstarksi data yang akan dipilih satu diantaranya. Berapa carakah yang

dapat ditempuh oleh seorang dewasa ini ?Diketahui bahwa n=2 dan r =1.

Maka cara pemilihan itu ialah sebagai berikut :

n K r=n P r

r !

21

12!1

12

1212

xK

PK

Jadi seorang dewasa ini bisa menempuhnya dengan memilih yang pertama

atau yang kedua. Besarnya suatu probabilitas suatu peristiwa merupakan

rangkaian kemungkinan yang mungkin bisa terjadi.

2.3 Probabilitas Suatu Peristiwa

2.3.1 Definisi Probabilitas

Dalam kehidupan sehari – hari kita sudah mengenal istilah probabilitas,

misalnya ada yang memakai istilah kemungkinan, kebolehjadian, kementakan

bahkan dalam bahasa Melayu bisa juga disebut kebarangkalian. Dalam sehari –

hari kita sudah mengenal istilah ini misalnya, kita mengatakan bahwa hari ini

kemungkinan besar akan hujan, atau tidak mungkin dia bisa lulus ujian sarjana

tahun ini. Dalam hal ini kita memakai istilah mungkin karena bisa menduga

sebelumnya, apa yang kira – kira akan terjadi. Disini kita sudah mengenal

probability, meskipun secara sederhana.

Probabilitas biasanya diberi symbol P, dan dinyatakan dalam angka positif,

dengan minimum 0 dan maksimum 1. Sedang symbol untuk probabilitas tidak

terjadinya, biasa dinyatakan dengan Q, yaitu = 1 – P.

Jika P = 0 :Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau

mustahil.Sebagai contoh timbulnya matahari dimalam hari adalah

mustahil, maka mempunyai probabilitas sama dengan 0.

Probabilitas 12

Jika P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi.

Misalnya probabilitas darah mengalir didalam badan orang yang masih

hidup adalah 1.

Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa

tertentu.Terdapat tiga macam pendekatan mengenai pengertian probabilitas, yaitu

pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.

a. Pendekatan Klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas diartikan sebagai hasil

banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin

atau dengan kata lain setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama

untuk terjadi. Dirumuskan:

P (A) = n( A)n (S)

Dengan :

P(A) = probabilitas terjadinya peristiwa A

n(A) = jumlah peristiwa A atau jumlah kemungkinan hasil

n(S) = jumlah peristiwa yang mungkin atau jumlah total kemungkinan

hasil

Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan, ada enam cara yang mungkin dan berkemungkinan

sama, yaitu hasil lemparan ialah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Sehingga P(1) = P(2) =

P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 16

. Jika kejadian A adalah muncul angka genap,

maka peluang munculnya angka genap dalam pelemparan sebuah dadu dapat

terjadi sebanyak tiga cara, yaitu 2, 4, atau 6. Sehingga peluang terjadinya

kejadian A adalah P(A) = 36

= 12

.

b. Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat diartikan

sebagai berikut:

Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika

kondisi stabil.

Probabilitas 13

Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar

percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai

probabilitasemperis yaitu dimana suatu kejadian tidak dianggap sama,

tergantung dari berapa banyak suatu kejadian. Nilai probabilitas ditentunkan

melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari

frekuensi relatif peristiwa tersebut. Dirumuskan:

P(X=x) = lim fn

, n→ ∞

Dengan :

P(X=x) = probabilitas terjadinya peristiwa X

f = frekuensi peristiwa X

n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan

c. Pendekatan Subjektif

Probabilitas adalah sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok

yang didasarkan pada fakta-fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau

berupa terkaan saja. Misalnya, seorang direktur akan memilih seorang

karyawan dari tiga calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon

tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan.

Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi karyawan ditentukan

secara subjektif oleh sang direktur.

2.3.2 Probabilitas Suatu peristiwa

Peristiwa atau kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada

suatu percobaan atau hasil yang dimaksud dari percobaan yang

bersangkutan.Probabilitas suatu kejadian adalah kemungkinan terjadinya kejadian

tersebut yang bervariasi dari tidak pernah terjadi (0=nol) dan pasti terjadi

(1=satu). Secara umum dapat dikatakan bahwa probabilitas merupakan frekuensi

relatif terjadinya suatu peristiwa pada waktu yang lama.

a) Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau

lebih peristiwa tersebut tidak bisa terjadi pada saat bersamaan. Untuk dua

Probabilitas 14

peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

P(A∪B) = P(A)+P(B)

Sehingga untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+ P(C)

Contoh:

Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 20 kelereng hijau, dan 30 kelereng

kuning. Isi kotak itu diaduk dengan baik kemudian diambil sebuah kelereng

secara acak . berapa probabilitas terampilnya hijau atau kuning?

Solusi:

Misal: A = mengambil kelereng merah

B = mengambil kelereng hijau

C = mengambil kelereng kuning

P(A)=

1010+20+30 =0,17; p(B)=

2060 =0,33; p(C)=

3060 =0,50

b) Peristiwa Tidak Saling Lepas (Non Mutually Exclusive)

Dua atau lebih peristiwa dikatan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua

atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua

peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah:

P(A∪B) = P(A)+ P(B)- P(A∩ B)

Contoh:

Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan probabilitas

kelahiran anak berambut kurus, bergelombang, dan kriting masing-masing

adalah 0,5 , 0,4 , dan 0,1. Berapakah besarnya probabilitas kelahiran anak

wanita yang berambat kriting?

Solution:

Probabilitas kelahiran pria dan wanita dalah sama, sehingga p(pa atau W)=

0,50. Probabilitas wanita-kriting=(0,50)(0,1)=0,05

P(W+K)= 0,50+0,1-0,05=0,55

Probabilitas 15

c) Peristiwa Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya

peristiwa yang satutidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa

yang lainnya. Untuk duaperistiwa A dan peristiwa B yang saling bebas,

probabilitas terjadinya peristiwatersebut adalah:

P(A∩B) = P(A) P(B)

Untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas terjadinya

peristiwatersebut adalah sebagai berikut:

P(A∩B ∩C) = P(A) P(B) P(C)

Contoh:

Dua buah dadu dilemparkan secara bebas satu kali. Berapakah probabilitas

munculnya mata 2 dan 6 dari pelempar tersebut?

Solution:

p(2)=

16 ; p(6)=

16 ; p(2dan 6)=

16 .

16 =

136 = 0,03

d) Peristiwa Tidak Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila

terjadinyaperistiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya

peristiwa yang lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas,

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

P(A∩B) = P(A) P(B ¿A)

Untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah sebagai berikut:

P(A∩B ∩C) = P(A) P(B¿A)P(C ¿AB)

e) Peristiwa Bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan

syarat laintelah terjadi. Jika Peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka

probabilitasterjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

P(B|A) = P (B ∩ A)

P( A )

Contoh:

Probabilitas 16

Pada contoh di atas, pengambilan pertama sebuah kelereng berwarna hijau.

Pengambilan pertama tersebut (kelereng warna hijau) tidak lagi disimpan

dalam kotak (tanpa pengambilan). Berapakah probabilitas termpilannya sebuah

kelereng berwarna merah pada pengambilan ke dua, jika pada pengambilan

pertama kelereng berwarna hijau?

Solusion:

p(A|B) =

1010+19+30 =0,17

f) Peristiwa Komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika

peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa

tersebut adalah sebagai berikut:

P(A)+ P(B) =1

2.3.3 Hubungan Probabilitas Teoritik Dengan Probabilitas Empirik

Hubungan probabilitas teoritik dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan

melalui contoh dari pelemparan sebuah mata uang logam yang masih baik. Muka

yang satu dari mata uang logam tersebut kita beri symbol angka(A) dan dan muka

yang lain diberi symbol gambar (G). Jika mata uang logam tersebut dilempar

secara bebas satu kali, maka secara teoritis probabilitas munculnya A dan G

adalah sama yaitu 0,50 (50%). Jika dilemparkan 10 kali maka secara teoritis

probabilitas munculnya A adalah 0,50x10 kali = 5 kali. Demikian juga

probabilitas munculnya G adalah 0,50x10 kali= 5 kali. Namun dalam

kenyataanya, walaupun mata uang tersebut betul-betul masih baik dan cara

pelemparnya betul-betul bebas, jarang sekali dari 10 kali lemparan itu

mendapatkan 5A dan 5G karena ada faktor-faktor kebetualan diluar kekuasaan

tangan manusia untuk mengubah perbandingan probabilitas teoritik tersebut.

Misalnya kenyataan antara A dan G 4 : 6, 7 : 3 dan sebagainya. Probabilitas dari

kenyataan yang muncul disebut probabilitas observasi (observed probability) atau

probailitas empirik.

Probabilitas 17

Probabilitas empirik dari suatu kejadian adalah probabilitas munculnya

kejadian itu dari sejumlah besar observasi. Jika observasi dilakukan tak terhinnga

kali, maka secara praktis dapat dikatakan bahwa probabilitas empirik akan sangat

dekat atau sama dengan probailitas teoritik.

2.3.4 Ekspektasi (Nilai Harap)

Misalnya kita punya sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah

peristiwa terjadi. Peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1,p2, . . . , pk

dan untuk peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2, . . . .,dk.

satuan-satuan ini biasa nol, positif ataupun negative dan tentulah p1 + p2 + . . . +

pk = 1

Maka ekspetasi eksperimen itu. Ditulis

ε=pi d i+ p2 d2+.. . pk dk

ε=∑i=1

k

pi d i

Contoh:

1) Si A dan Si B bertaruh dengan melakukan undian menggunakan sebuah mata

uang. Jika dalam undian itu nampak muka G, si A membayar kepada si B

sebanyak Rp. 5,00. Jika yang nampak muka H, si B membayar Rp. 5,00

dengan peluang 1/2 , kalah ε (untuk si A)=1/2(Rp. 5,00) +1/2(-Rp.

5,00)=Rp.0,00

Untuk Si B juga berlaku yang sama. Berarti untuk jangka waktu yang cukup

lama, dalam persamaan ini si A dan si B masing-masing memang nol rupiah.

2) Produksi semacam barang rusak 6%. Diamnil sebuah sampel acak terdiri atas

50 barang. Maka setiap sampel diharapkan rata-rata berisi 0,06x50=3 barang

rusak.

3) Sebagai contoh, suatu perlombaan memancing ikan menjanjikan hadiah

pertama dan hadiah kedua, masing-masing Rp. 350.000, dan Rp. 150.000.

Seorang yang akan mengikuti perlombaan tersebut harus membeli karcis

perlombaan terlebih dahulu. Berapakah harga karcis yang layak sekiranya

probabilitas untuk memperoleh hadiah pertama adalah 0,01 dan probabilitas

untuk memperoleh hadiah kedua adalah 0,05?

Penyelesaian:

Probabilitas 18

Ada dua harga x dan dua probabilitas, yaitu x1 = Rp. 350.000; x2 = Rp.

150.000, p1 = 0,01 ; p2 = 0,05

H(X) = p1x1 + p2x2 + ....... + pnxn

= 0,01 . Rp. 350.000 + 0,05 . Rp. 150.000

= Rp. 3.500 + Rp. 7.500

= Rp. 11.000

Dengan demikian harga karcis yang layak adalah Rp. 11.000

2.4 Analisis Kombinatorik dalam Probabilitas

Menurut Soejoeti (1984) dalam definisi probabilitas untuk kasus peristiwa

berkemungkinan sama, probabilitas suatu peristiwa A didefinisikan sebagai rasio

banyak elemen dalam A dengan banyak elemen ruang sampel S, yaitu:

P( A )=n( A )n (S )

Sehingga penghitungan probabilitas suatu peristiwa sesungguhnya merupakan

penghitungan banyak elemen yang termasuk di dalam peristiwa itu, dan banyak

elemen seluruhnya di dalam ruang sampel S. Beberapa aturan yang dapat

membantu kita dalam hal ini akan kita pelajari di bawah ini.

1. Aturan 1

Aturan 1 menyatakan jika suatu eksperimen terdiri dari dua bagian

sedemikian hingga bagian pertama menghasilkan k hasil yang berbeda, dan

jika dengan tiap hasil itu dapat dihasilkan m hasil yang berbeda dalam

bagian kedua, maka banyak hasil yang mungkin seluruhnya adalah km.

Tentu saja, aturan ini dapat diperluas untuk eksperimen yang terdiri

dari lebih dari dua bagian. Sebagai contoh, kita pandang eksperimen

pelemparan satu dadu dua kali. Lemparan pertama dapat menghasilkan 6

hasil yang mungkin. Untuk tiap-tiap hasil ini, lemparan kedua dapat

menghasilkan 6 hasil yang mungkin. Jadi hasil yang mungkin seluruhnya

adalah 6 x 6 = 36. Contoh lain, seorang perempuan mempunyai empat drees,

tiga celana dan dua pasang sepatu hak tinggi. Maka banyak cara dia dapat

berpakaian secara berbeda adalah 4 x 3 x 2 = 24.

2. Aturan 2

Probabilitas 19

Banyak susunan atau urutan yang berbeda yang dapat dibentuk dari k

obyek yang diambil dari sekumpulan n obyek yang berbeda dinamakan

banyak permutasi k obyek dari n obyek (ditulis dengan lambang nPk),

dihitung dengan rumus:

nPk = n(n-1) (n-2)…(n-k+1) ………………………………..….. ( Pers. 1)

Khususnya, jika k = n, maka banyak permutasi n obyek yang berbeda

adalah:

nPn = n(n-1) (n-2) … 3. 2. 1 = n! …………………………..... (Pers. 2)

Catatan: n! dinamakan n factorial, dengan definisi:

n! = n(n-1) (n-2) … 3. 2. 1 …………………………………… (Pers. 3)

Misalkan, 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 ; dengan definisi tambahan: 0! = 1

Sebagai contoh, kita bentuk semua bilangan yang terdiri dari tiga

angka yang mungkin dibentuk dengan menggunakan angka-angka 1, 2, 3, 4,

5. Di sini jelas bahwa urutan angka-angka yang membentuk bilangan-

bilangan itu penting, sehingga persoalan ini adalah persoalan permutasi,

maka:

5P3 = 5.4.3 = 60, jika tanpa pengulangan.

(atau 5P3 = 5.5.5 = 125, jika dengan pengulangan)

Dalam banyak hal kita hanya tertarik dengan berapa banyak cara

memilih k obyek tanpa memperdulikan urutannya. Cara pemilihan ini

dinamakan kombinasi [ditulis dengan lambang ( nk )

].

3. Aturan 3

Banyak kombinasi dari n obyek yang berbeda yang diambil k obyek

setiap kali adalah:

(Ckn )= n!

k ! (n−k )! …………………...……………………….. (Pers. 4)

Probabilitas 20

Sebagai contoh, kita mempunyai lima bola dengan warna yang

berbeda-beda. Jika kita ambil tiga bola dari kumpulan lima bola itu, maka

banyak kombinasi yang mungkin adalah:

(C35 )= 5!

3 !2 !=20

Sebagai petunjuk umum, akan bermanfaat untuk diingat bahwa aturan

permutasi digunakan apabila peristiwa yang kita perhatikan digambarkan

dengan adanya urutan tertentu dalam hasil eksperimennya. Apabila urutan

itu tidak penting, maka kita gunakan aturan kombinasi.

Contoh dalam Probabilitas

1) Sebuah kotak berisi 12 bola, di mana 8 diantaranya merah (ditandai M1,

M2, …, M8) dan sisanya biru (B1, B2, B3, B4). Tiga bola diambil

sekaligus dari kotak itu.

a. Berapa banyak hasil yang berbeda yang mungkin?

b. Berapa banyak hasil yang mungkin dengan syarat dua bola yang

terambil biru dan yang satu merah?

c. Apabila pengambilan ketiga bola itu dilakukan secara random

(yaitu, dengan cara sedemikian sehingga tiap kumpulan tiga bola

mempunyai kemungkinan sama akan terpilih), berapa probabilitas

akan diperoleh dua bola biru dan satu bola merah?

Jawab:

a. Banyaknya hasil yang mungkin dari pengambilan tiga bola (tak

berurut dari 12 bola adalah:

(C3

12 )=12!3 !9 !

=220

b. Kombinasi dua bola biru dan empat adalah (C24) dan kombinasi

satu bola merah dari 8 adalah (C18 ) . Dengan aturan 1, banyak hasil

yang mungkin dengan spesifikasi itu adalah:

(C24) (C1

8)= 4 !2!2 !

.8 !

1!7 !=6×8=48

Probabilitas 21

c. Pengambilan secara random mengakibatkan (C312 )hasil yang

mungkin mempunyai kemungkinan yang sama. Jika A = peristiwa

tiga bola yang terambil terdiri dari dua biru dan satu merah, maka:

n( A )=(C24 ) (C1

8)=48

Jadi, probabilitas memperoleh 2 bola biru dan 1 bola merah:

P( A )=(C2

4 ) (C18 )

(C312 )

=48220

2) Dewan penasihat suatu lembaga terdiri dari 15 orang, dimana 9 orang

diantaranya mendukung suatu program tertentu, 4 menentang dan 2

blanko. Seorang reporter ingin memilih 3 orang secara random dari

dewan penasihat tadi dan ingin menyiarkan pandangan mereka dalam

berita TV.

a. Berapa probabilitas bahwa paling sedikit dua orang yang terpilih

akan mendukung dengan program itu?

b. Berapa probabilitas bahwa dua orang pertama yang terpilih akan

mendukung dan orang ketiga akan menentang program itu?

Jawab:

a. Dalam peristiwa yang kita perhatikan disini, urutan orang – orang

yang terambil tidak penting, maka aturan kombinasi yang kita

pakai. Tiga orang dapat dipilih dari 15 orang dalam cara

(kombinasi) yang berkemungkinan sama. Misal A1 dan A2

masing-masing menunjukan terpilihnya dua orang mendukung

dan tiga orang mendukung yang kita hitung adalah P (A1 ∪A2).

Karena kedua peristiwa A1 dan A 2 saling asing, maka:

P (A1 ∪A2) = P (A1) + P ( A2)

n(A1) adalah banyaknya kombinasi tiga orang dari 15 orang,

dimana dua diantaranya mendukung dan satu menentang atau

blanko, maka:

n ( A1)=(C29) (C1

6)=216

sehingga

Probabilitas 22

P ( A1 )=n ( A1 )n( S )

=216455

Demikian juga,

P ( A2 )=n ( A2)n (S )

=(C3

9 ) (C06)

(C313 )

=84455

Jadi,P ( A1∪A2 )=216

455+84

455=300

455

b. Disini urutan orang yang terpilih penting, maka kita gunakan

aturan permutasi. Terdapat 15P3 = 15. 14. 13 = n(s) pilihan berturut

tiga orang dari 15 orang, yang berkemungkinan sama. Banyak

pilihan dimana dua orang pertama mendukung dan yang ketiga

tidak mendukung adalah

N(A3) = 9P2.4P1 = (9.8) (4) = 288

Jadi,

P ( A3 )=n ( A3)n(S )

=2882730

2.5 Probabilitas Bersyarat dari Suatu Peristiwa

Andaikan dalam suatu populasi yang terdiri dari 1000 orang diperoleh

kenyataan – kenyataan sebagai berikut :

Jenis Kelamin Buta warna Normal Jumlah

Laki – laki 60 620 680

Perempuan 75 245 320

Jumlah 135 865 1000

Seorang dipilih secara random dari populasi itu. Jika A adalah peristiwa

bahwa yang terpilih adalah laki – laki dan B peristiwa yang terpilih buta warna,

maka :

P(A) = 680

1000 = 0,68 dan P(B) =

1351000

= 0,35

Sekarang kita pandang persoalan yang berikut. Seseorang dipilih secara

random dari populasi itu, dan didapat seseorang laki – laki, berapakah probabilitas

bahwa dia buta warna? Dengan tambahan keterangan orang yang terpilih laki –

Probabilitas 23

laki, maka disini kita membatasi diri pada sub populasi orang laki – laki, dan

probabilitas yang kita hitung kita tulis P (B/A), dibaca probabilitas bahwa dia buta

warna kalau diketahui dia laki – laki, sama dengan

P(B/A) = n( A ∩ B)

N ( A) =

60680

= 3

34( pers 5)

Probabilitas seperti ini dinamakan probabilitas bersyarat, yang dapat dinyatakan

sebagai perbandingan antara dua probabilitas tak bersyarat, yaitu

P(B/A) = n( A ∩ B)

N ( A) =N ( A ∩ B ) / N (S)

N ( A)/ N (S) =

P (A ∩B)P( A ) (pers

6) Definisi :

Misalkan A dan B dua peristiwa di mana p(B) > 0. Maka probabilitas bersyarat

dari kejadian A, kalau diketahui B terjadi, adalah

P(A/B) = P (A ∩B)

P(B)

Probabilitas bersyarat P(A/B) dapat sama atau tidak sama dengan

probabilitas tak bersyarat P(A)

Contoh :

Sebuah kartu dipilih secara rondom dari satu kartu bridge, dan ternyata

didapat kartu merah. Berapakah probabilitas bahwa a)kartu itu Ace; b) kartu itu

hati

a) P (Ace/Merah) = P (Ace ∩ Mer ah)

P (Merah) =

2/5226/52

¿13

= P (Ace)

b) P (Hati/Merah) = P (Hati∩ Mera h)

P(Mera h) =

13/5226/52

¿ 12

, yang tidak sama

dengan P ( hati ) = 1352

= 14

Kejadian Dependen dan Independen

Dengan rumus ( 6 ) kita dapat menghitung P (A ∩ B), yaitu probabilitas

interseksi dua peristiwa. Jika A dan B dua peristiwa sebarang dalam ruang sampel

S, maka probabilitas peristiwa (A dan B) dapat dihitung dengan salah satu rumus

yang berikut :

Probabilitas 24

P (A∩ B ¿= {P ( A ) . P( AB

)

P ( A ) . P( BA

) (pers 7)

Jika A, B, C simetris dalam rumus di atas, maka untuk menghitung P(A∩

B ∩ C) dapat kita lakukan langkah – langkah sebagai berikut :

P(A∩ B ∩ C) = P [( A ∩ B ∩C) ] = P (A∩ B P(C/A ∩ B)

= P (A) P (B/A) P(C/A ∩ B)

Karena kedudukan A, B dan C simetris dalam rumus di atas, maka untuk

menghitung P (A∩ B ∩ C) dapat digunakan enam rumus sebagai berikut :

P (A∩ B ∩ C) = {P ( A ) P ( B

A )P ( CA

∩ B)

P ( A ) P(CA )P(

BA

∩ C)

P ( B ) P(CB )P( A

B∩ C)

P (B ) P( BA )P( C

A∩ B)

P (C ) P( AC )P( B

A∩C )

P (C ) P( BC )P ( A

B∩C)

Rumus – rumus di atas dapat digeneralisasikan untuk kejadian – kejadian

lebih dari tiga.

P (A1 ∩ A2 ∩… ∩ AK = P(A1) P (A2/A1)… P(AK/A1∩ A2 ∩… AK-1)

Contoh :

Sebuah kotak berisi lima bola putih dan delapan merah. Tiga bola diambil

berturut – turut secara random tanpa pengambilan. Berapakah probabilitasnya

bahwa bola pertama putih, kedua merah, dan ketiga putih ? kita difinisikan

kejadian – kejadian A = bola pertama putih, B = kedua merah, C = ketiga putih,

Maka :

P(A∩ B ∩ C) = P (A) P (B/A) P(C/A ∩ B)

= 5

13 x

812

x 411

= 160

1716

Probabilitas 25

Untuk kejadian A dan B, kadang – kadang kita jumpai sifat P (A) = P (A/B), yaitu

probabilitas tak bersyarat dari A sama dengan probabilitas bersyarat dari A, kalau

diketahui B telah terjadi.

Dalam hal ini kita katakana bahwa A independen dengan B. sifat P(A) =

P(A/B) menyederhanakan rumus (2) menjadi P(A ∩B) = P(A) P(B). tetapi rumus

terakhir ini dapat juga diperoleh kalau kita mulai dengan anggapan bahwa

kejadian B independen dengan A, yaitu p(B) = P(B/A). Jadi A independen dengan

B bilamana dan hanya bilamana B independen dengan A, dan untuk ini P(A∩B) =

P(A) P(B).

Dua kejadian A<B independen jika P(A B) = P(A).P(B) (pers 8).

Jika rumus ini berlaku, maka P(A)= P(A/B) dan P(B) = P(B/A). jika (8) tidak

berlaku, maka A,B dikatakan dependen, dan untuk ini P(A) ≠ P(A/B) dan P(B) ≠

P(B/A).

Secara intuitif, dua kejadian A,B independen jika probabilitas akan terjadi

yang satu tidak dipengaruhi akan terjadi atau tidaknya kejadian yang lain.

Perbedaan antara independensi dan dependensi digambarkan dengan dua kasus,

sampling dengan pengambilan dan sampling tanpa pengambilan.

Contoh :

1. Kita mengambil satu kartu secara random dari satu dek kartu bridge, kita

kembalikan lagi kartu itu, kita kacau deknya, dan mengambil kartu yang

kedua ( sampling dengan pengambilan). Misalkan A, adalah kejadian

“didapat Ace pada pengambilan pertama”, dan A2” didapat Ace pada

pengambilan kedua” karena dalam ruang sampelnya terdapat 52 x 52 hasil

yang berkemungkinan sama, dan 4 x 4 diantaranya termasuk dalam (A2 ∩

A2), malka

P (A1 A2) = 4 X 4

52 X 52 =(

452

) ( 4

52)=

1169

= P(A1) P(A2)

Dengan demikian A1, A2 independen menurut difinisi 8. Contoh ini

menunjukan bahwa “pengambilan kartu” dan “pengacau dek” menjamin

hasil pengambilan kedua tidak dipengaruhi oleh hasil pengambilan

pertama.

2. Kita mengambil dua kartu secara rondom dari satu dek kartu bridge, tanpa

mengembalikan kartu pertama sebelum kartu kedua diambil ( sampling

Probabilitas 26

tanpa pengambilan ). Probabilitas bahwa kedua kartu itu adalah Ace

diberikan dengan rumus

P(A1 ∩ A2) = P (A1) . (P(A2/A1) = 4

52 x

351

= 1

13 x

117

= 1

221

Teorema Bayes

Jika A dan B dua peristiwa sebarang dalam suatu ruang sampel S, maka

dari difisi probabilitas bersyarat dapat kita tulis :

P(A/B) = P (A ∩B)

P(B) =

P ( A ) P(B)P(B)

(pers 9)

Dengan (1) dan (6), penyebut P(B) dapat ditulis :

P(B) =P(B∩A) + P(B ∩ Ac) = P(A). P(B/A) + P(Ac) . P(B/ Ac) (pers 10)

Sehingga

P(A/B) =

P ( A ) . P( BA

)

P ( A ) . P( BA )+P ( A c ) . P(

BA c

) (pers 11)

Rumus ini kadang – kadang berguan dalam aplikasi, jika semua suku ruas

kanan diketahui dan ruas kiri adalah kuantitas yang akan dihitung.

Contoh :

Andaikan dari 1000 orang sarjana yang bekerja pada suatu Instansi, 60

persen adalah laki – laki (A), dan 40 persen perempuan (Ac), dan B

menunjukan sifat “lulusan Undiksha”. Jika kita ketahui bahwa P(B/A) =

0,55 ( 55 persen sarjana laki – laki lulusan UGM) dan P(B/ Ac) = 0,35 ( 35

persen sarjana perempuan lulusa UGM, maka dengan (pers 10)

P(A/B) = (0,60) (0,55) + (0,40) (0,35) =0.47

Dengan (pers 11)

P(A/B = (0,60 )(0,55)

0,47 =

0,330,47

= 0,702

Jadi sekitar 70 persen sarjana lulusan UGM yang bekerja di instansi itu

adalah laki – laki.

2.6 Manfaat Teori Probabilitas dalam Penelitian

Adapun manfaat teori probabilitas dalam penelitian adalah sebagai berikut:

Probabilitas 27

1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena

kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak

sempurna.

2. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas

hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

3. Mengukur derajat ketidakpastian

Contoh:

Jika kita memiliki hipotesis bahwa tingkat cacat balita yang lahir pada sebuah

desa adalah 1 %. Namun, setelah kita mengambil 100 sampel dan ternyata hanya

10 orang balita yang cacat, maka logis kita menolak hipotesis cacat 1 % tersebut

BAB III

PENUTUP

3.1 Simpulan

1. Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu

kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian

suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan

probabilitas antara 0 sampai dengan 1.

Probabilitas 28

2. Himpunan semua hasil dari suatu eksperimen acak dinamakan ruang

sampel, dan setiap anggotanya dinamakan titik sampel. Ruang sampel

yang diambil adalah ruang sampel yang setiap titiknya (diasumsikan)

merupakan hasil individual, artinya tidak dapat dipecah-pecah lagi

dipandang dari berbagai segi.

3. Peristiwa atau kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada

suatu percobaan atau hasil yang dimaksud dari percobaan yang

bersangkutan.Probabilitas suatu kejadian adalah kemungkinan terjadinya

kejadian tersebut yang bervariasi dari tidak pernah terjadi (0=nol) dan

pasti terjadi (1=satu).

4. Menurut Soejoeti (1984) dalam definisi probabilitas untuk kasus peristiwa

berkemungkinan sama, probabilitas suatu peristiwa A didefinisikan

sebagai rasio banyak elemen dalam A dengan banyak elemen ruang

sampel S, yaitu:

P( A )=n( A )n (S )

5. Secara intuitif, dua kejadian A,B independen jika probabilitas akan terjadi

yang satu tidak dipengaruhi akan terjadi atau tidaknya kejadian yang lain.

Perbedaan antara independensi dan dependensi digambarkan dengan dua

kasus, sampling dengan pengambilan dan sampling tanpa pengambilan.

6. manfaat teori probabilitas dalam penelitian adalah membantu peneliti

dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak

ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna, dengan teori

probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang

terkait tentang karakteristik populasi dan mengukur derajat ketidakpastian.

3.2 Saran

Berdasarkan pembahasan dan simpulan, maka saran yang dapat diajukan

adalah kita sebagai calon guru hendaknya memahami tentang konsep probabilitas

agar dapat menerapkankan kedalam proses pembelajaran maupun dapat

memahami secara teoritik dalam menerapkan konsep-konsepnya.

Probabilitas 29