Makalah Dasar-dasar Statistika "Himpunan"

TUGAS DASAR-DASAR STATISTIKA

DISUSUN OLEH :

NAMA : YEDHI

NIM : 1404411142

KELAS : 2D

UNIVERSITAS COKROAMINOTO PALOPO

TAHUN AJARAN 2014/2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini guna memenuhi tugas mata kuliah Dasar - Dasar Statistika. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca dalam administrasi pendidikan dalam profesi keguruan dan lain-lain.

Harapan saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga saya dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.

Makalah ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat kurang. Oleh kerena itu saya harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

Palopo, 21 Maret 2015

Penyusu

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.................................................................................................................KATA PENGANTAR................................................................................................................DAFTAR ISI..............................................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN.........................................................................................................1.1 Latar Belakang......................................................................................................................1.2 Rumusan Masalah.................................................................................................................1.3 Tujuan Makalah....................................................................................................................1.4 Manfaat.................................................................................................................................

BAB II PEMBAHASAN...........................................................................................................2.1 Pengertian Himpunan...........................................................................................................2.2 Cara Penulisan Himpunan....................................................................................................2.3 Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)..................................2.4 Macam-Macam Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika) .............................2.5 Operasi Pada Himpunan.......................................................................................................2.6 Sifat-sifat Operasi pada Himpunan ......................................................................................2.7 Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari..............................................

BAB III PENUTUP ..................................................................................................................3.1 Kesimpulan ..........................................................................................................................3.2 Saran ....................................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu

dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar

merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar

matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa

manfaat trigonometri?".

Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang

terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam

kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu

menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan

serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam

kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil

jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau

matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam

kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap

sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika

himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan

karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam

kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa

Jurusan S1 Manajemen STIE Satya Dharma Singaraja, kumpulan koran bekas, koleksi perangko,

kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan,

kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat

dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya

pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian

pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep

mengenai teori himpunan.

1.2. Rumusan Masalah

2.1 Apa Pengertian Himpunan ?

2.2 Bagaimana Cara Penulisan Himpunan ?

2.3 Bagaimana Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika) ?

2.4 Jelaskan Macam-Macam Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika) ?

2.5 Bagaimana Operasi Pada Himpunan ?

2.6 Jelaskan Sifat-sifat Operasi pada Himpunan ?

2.7 Apa Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari ?

1.3. Tujuan

Untuk mengetahui tentang himpunan, syarat agar dapat disebut sebagai himpunan dan

ketentuan-ketentuan lainnya dari himpunan.

1.4. Manfaat

Manfaat dari makalah ini adalah untuk meningkatkan pengetahuan penyusun dan

pembaca megenai Himpunan.

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian Himpunan

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap

sebagai Bapak teori himpunan. Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek

yang didefinisikan dengan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang

dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau

tidak.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah

himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

- Himpunan anak yang berusia 12 tahun

- Himpunan bilangan asli genap

- Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

- Himpunan anak-anak malas

- Himpunan wanita-wanita cantik

- Himpunan lukisan indah

2.2. Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1) Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda

kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini

disebut juga cara Tabulasi.

Contoh: A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2) Menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3) Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role)

dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya

himpunan berikut ini :

1. A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

2. B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika,

matematika diskrit, statistika, fisika

3. C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

4. D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

5. E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

Penyelesaian :

1. A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

· Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

A = {2, 3, 4, 5}

· Dengan menulis sifat-sifatnya

A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

2. B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika,

matematika diskrit, statistika, fisika

· Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika}.

· Dengan menulis sifat-sifatnya

B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara

anggota-anggotanya.

3. C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya,

karena jumlah anggota C tak terhingga.

Dengan menulis sifat-sifatnya

C = {x | x > 5, x Î Riil}

4. D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

D = {2, 4, 6, 8, 10}


D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}

5. E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak

terhingga.


E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}

4) Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika

Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat

dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

2.3. Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk

menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Î” (baca: anggota) sedangkan

untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing” Ï” (baca: bukan

anggota).

A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.

Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A

Bukan keanggotaan suatu himpunan A.

Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.

Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan

· Banyaknya unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut

│A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).

Contoh Soal:

Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :

1. A = {2, 4, 6, 8, 10}

2. B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

3. C = {x | x > 5, x Î Riil}

4. D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

5. E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

Penyelesaian :

1. A = {2, 4, 6, 8, 10}

n (A) = 5

2. B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

B = {2, 3, 4, 5}

n(B) = 4

3. C = {x | x > 5, x Î Riil}

n(C) = ~

4. D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}

n(D) = 10

5. E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

n(E) = 6

2.4. Macam-Macam Himpunan (Menurut buku Ensiklopedia Matematika)

1) Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika

setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol : A ⊂ B

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A

Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga

merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2) Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama

sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Contoh :

A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }

Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air maka A = ø

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai

satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3) Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti

himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek

yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan

suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan

bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi

himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah

4) Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a

bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak

anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh :

a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.

b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.

5) Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan

berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses

perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya

tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh :

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak

akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.

6) Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula

sebaliknya.

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e }

Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang

anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki

anggota yaitu { c,d,e }.

7) Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling

lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu

tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

8) Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di

misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga

merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : AC =

{x│x Î U, x Ï A}

9) Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau

ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = { r,s,t,u } →n (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila

himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

2.5. Operasi pada Himpunan

a) Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya

merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

b) Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya

merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

c) Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang

anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.

Notasi : Ac = {x | x Î S Ù x Ï A} atau = {x | x Î S Ù x Ï A}

d) Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota

himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen

himpunan B terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B = A Ç

e) Beda Setangkup

Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang

anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È (B – A)

2.6. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1) Hukum Identitasa) A È f = Ab) A Ç S = Ac) A Å f = A

2) Hukum Nulla) A Ç f = fb) A È S = Sc) A Å A = f

3) Hukum Komplemena) A È Ac = Sb) A Ç Ac = f

4) Hukum Idempotena) A È A = Ab) A Ç A = A

5) Hukum Involusi(Ac)c = A

6) Hukum Penyerapana) A È (A Ç B) = Sb) A Ç (A È B) = A

7) Hukum Komutatifa) A È B = B È Ab) A Ç B = B Ç Ac) A Å B = B Å A

8) Hukum Asosiatifa) A È (B È C) = (A È B) È Cb) A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç Cc) A Å (B Å C) = (A Å B) Å C

9) Hukum Distributifa) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)b) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

10) Hukum De Morgana) (A Ç B) c = A c È B c

b) (A È B) c = A c Ç B c

2.7. Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan

akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki

peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1). Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis,

lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2). Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3). Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan

mandiri.

4). Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas

sistematis.

5). Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir,

kekeliruan serta kesesatan.

6). Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Ada beberapa hal yang bisa disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya yaitu:

1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai

arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana

bukan anggota himpunan.

2. Dengan mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan

memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.

3.2. Saran

Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk

kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin

ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih seius dalam mempelajari

matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk

dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan

kita.

DAFTAR PUSTAKA

Lipschuts,S; Silaban, P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_28matematika29 diakses pada tanggal 25 Juni 2013

http://nurdhinlengke.blogspot.com/2013/03/makalah-himpunan.html diakses pada tanggal 25

Juni 2013

http://rumushitung.com/2013/05/25/soal-himpunan-matematika-dan-pembahasannya diakses

pada tanggal 25 Juni 2013

http://anggaradana.blogspot.com/2013/09/makalah-himpunan-dan-anggota-anggotanya.html

Makalah Dasar-dasar Statistika "Himpunan"

Education

Transcript of Makalah Dasar-dasar Statistika "Himpunan"