MA1101 M6-1 02-10-13

22
MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013

Transcript of MA1101 M6-1 02-10-13

MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/2014

2 Oktober 2013

Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2

2.1 Dua Masalah Satu Tema2.2 Turunan2.3 Aturan Turunan2.4 Turunan Fungsi Trigonometri2 5 Aturan Rantai2.5 Aturan Rantai2.6 Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi2 7 Turunan Implisit2.7 Turunan Implisit2.8 Laju yang Berkaitan2 9 Dif i l d H i2.9 Diferensial dan Hampiran10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 2

BAB 3. PENGGUNAAN TURUNANMA1101 MATEMATIKA 1A

BAB 3. PENGGUNAAN TURUNAN

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 3

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

3 1 Maksimum dan Minimum3.1 Maksimum dan Minimum

Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi yang diberikandari suatu fungsi yang diberikan.

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Menentukan selang kemonotonan (dan titikekstrim), serta selang kecekungan dan titik) g gbelok, dari suatu fungsi yang diberikan.

10/02/2013 4(c) Hendra Gunawan

3.1 MAKSIMUM DANMINIMUMMA1101 MATEMATIKA 1A

Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi yang diberikan.

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5

Maksimum dan MinimumMaksimum dan MinimumMisalkan f : I→ R dan c є I. (Pada umumnya, Ime‐rupakan suatu selang di R)rupakan suatu selang di R). Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥ f(x)untuk setiap x є I.Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x)untuk setiap x є I. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrimNilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim.

4yContoh 1. Misalkan f(x) = x2, 

x є [ 1 2] Nilai maksimumnyax є [‐1,2]. Nilai maksimumnyaadalah 4 [= f(2)], sedangkannilai minimumnya adalah 0

‐1 20 x10/02/2013 6(c) Hendra Gunawan

nilai minimumnya adalah 0[= f(0)]. Perhatikan grafiknya.

Teorema Eksistensi Nilai EkstrimTeorema Eksistensi Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada [a b] maka f akan mencapaiJika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapainilai maksimum dan minimum pada [a,b].

Catatan. Teorema ini mengatakan bahwakekontinuan merupakan syarat cukup untukkekontinuan merupakan syarat cukup untukeksistensi nilai ekstrim (maksimum danminimum).

Sbg contoh fungsi pada Contoh 1 merupakanSbg contoh, fungsi pada Contoh 1 merupakanfungsi yang kontinu pada [‐1,2], shg mempunyainilai maksimum dan minimum pada [‐1 2]nilai maksimum dan minimum pada [ 1,2].

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7

ContohContoh

2. Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mem‐2. Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x) = ‐1, jika x = 0,jik 0 1= x, jika 0 < x < 1,

= 2, jika x = 1,

mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilaiminimum ‐1 [= f(0)] Gambar grafiknya!minimum  1 [  f(0)]. Gambar grafiknya!

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 8

ContohContoh

3. Namun demikian, ketakkontinuan tidak3. Namun demikian, ketakkontinuan tidakmenjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagaicontoh, fungsi

1

g(x) = ½, jika x = 0 atau 1,

1

= x, jika 0 < x < 1,10

tidak mempunyai nilai ekstrim, baikmaksimum maupun minimum.

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 9

Teorema Lokasi Titik EkstrimTeorema Lokasi Titik EkstrimMisalkan daerah asal f adalah selang I yang memuattitik c Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslahtitik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslahmerupakan titik kritis, yakni c merupakan

(i) titik ujung selang I,( ) j g gatau (ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0,atau (iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada.

Catatan. Teorema ini mengatakan bahwa nilai ekstrimhanya mungkin tercapai di titik kritis, karena ituteorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis. Untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi, teorema

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 10

ini menganjurkan utk mencari titik‐titik kritisnya dulu.

ContohContoh

4. Fungsi f(x) = x2, x є [‐1,2],  4y

. u gs f( ) , є [ , ],mencapai nilai maksimum 4di x = 2 (titik ujung kanan) d l ddan nilai minimum 0 di x = 0(titik stasioner).

5 F i f( ) | | [ 1 2]

‐1 20 x

5. Fungsi f(x) = |x|, x є [‐1,2], mencapai nilai maksimum 2di x = 2 (titik ujung kanan)

2

y

di x   2 (titik ujung kanan) dan nilai minimum 0 di x = 0(titik singular). ‐1 20 x

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 11

Contoh 6. Tentukan nilai maksimum dan minimum 

( ) 3 2fungsi f(x) = ‐2x3 + 3x2 + 1 pada [‐1,2].

Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = ‐6x2 + 6x = 6x(1 – x).f f ( ) ( )Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titiksingularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat

(empat titik kritis, yakni ‐1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujungselang dan dua titik stasioner).M t T Ek i t i Nil i Ek t i d TMenurut Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim dan TeoremaLokasi Titik Ekstrim, fmencapai nilai ekstrim di titik kritistsb Sekarang bandingkan nilai f di titik‐titik kritis tsb:tsb. Sekarang bandingkan nilai f di titik titik kritis tsb:

f(‐1) = 6,    f(0) = 1,    f(1) = 2,    f(2) = ‐3.Jadi fmencapai nilai maksimum 6 di x = ‐1 (titik ujung

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 12

kiri) dan nilai minimum ‐3 di x = 2 (titik ujung kanan).

LatihanLatihan

1 Tentukan nilai ekstrim fungsi f(x) = x3 – 12x1. Tentukan nilai ekstrim fungsi f(x) = x 12x pada [‐3,3]. 

2 Tentukan titik titik kritis fungsi2. Tentukan titik‐titik kritis fungsi

g(x)= 50x – x2/2, jika 0 ≤ x ≤ 20,= 60x – x2, jika 20 < x ≤ 60.

Tentukan nilai maksimum dan minimumnyaTentukan nilai maksimum dan minimumnya.[Ingat baik‐baik fungsi ini; nanti akan ketemu lagi!]

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 13

3.2 KEMONOTONAN & KECEKUNGANMA1101 MATEMATIKA 1A

Menentukan selang kemonotonan (dan titikekstrim), serta selang kecekungan dan titikbelok, dari suatu fungsi yang diberikan

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 14

KemonotonanKemonotonan

Fungsi f dikatakan naik pada selang I apabilaFungsi f dikatakan naik pada selang I apabilauntuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku

f(x) < f(y)f(x) < f(y). 

Fungsi f dikatakan turun pada selang I apabilak i I d b l kuntuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku

f(x) > f(y).

Fungsi naik atau turun pada selang I dikatakanmonoton pada I.p

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 15

Teorema Kemonotonan FungsiTeorema Kemonotonan Fungsi

Misalkan f kontinu dan mempunyai turunanMisalkan f kontinu dan mempunyai turunanpada I. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, makaf naik pada I Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є If naik pada I. Jika f  (x) < 0 untuk setiap x є I, maka f turun pada I.

Catatan PadaCatatan. Padagambar disamping, titik

c

p g,c merupakantitik minimum.

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 16

xc

Contoh 1Contoh 1

Diketahui f(x) = x3 – 12x. Kita hitung turunannya:Diketahui f(x)   x 12x. Kita hitung turunannya:

f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2).

Periksa tanda f ’(x) pada garis bilangan real:

‐2 2

+ + + – – – + + +

Menurut Teorema Kemonotonan, fungsi f naikpada (‐∞,‐2) dan juga pada (2,∞); dan f turunpada (‐2,2). [Ctt. x = ‐2 titik maks, x = 2 titik min.]10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 17

KecekunganKecekungan

Misalkan fmempunyai turunanMisalkan fmempunyai turunanpada I = (a,b). 

Jika f ’ naik pada I maka grafik cekung ke atasJika f  naik pada I, maka grafik

fungsi f cekung ke atas pada I.

g

Jika f ’ turun pada I, maka grafik

fungsi f cekung ke bawah pada I. cekung ke bawahg f g p cekung ke bawah

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 18

Teorema Kecekungan FungsiTeorema Kecekungan Fungsi

Misalkan f mempunyai turunan keduapada I. Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, makagrafik fungsi f cekung ke bawah pada I.

Penjelasan. Jika f ’’(x) > 0, makaf ’(x) naik Jadi f cekung ke atas cekung ke atas

f’’(x) > 0

f  (x) naik. Jadi f cekung ke atas. Jika f ’’(x) < 0, maka f ’(x) turun. Jadi f cekung ke bawah. 

cekung ke atas

f’’( )

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 19

f g

cekung ke bawah

f’’(x) < 0

Contoh 2Contoh 2Diketahui f(x) = x3 – 12x. Maka, f ’(x) = 3x2 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tanda f ’’(x):

– – – + + +

Menurut Teorema Kecekungan grafik fungsi f0

– – – + + +

Menurut Teorema Kecekungan, grafik fungsi fcekung ke atas pada (0,∞) dan cekung kebawah pada (‐∞,0).bawah pada ( ,0).Catatan. Titik x = 0 merupakan titik infleksi(titik belok) grafik fungsi f. Di titik ini, grafik(t t be o ) g a u gs f t t , g afungsi f mengalami perubahan kecekungan.10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 20

Grafik fungsi f(x) = x3 12xGrafik fungsi f(x) = x3 – 12x.

20

8

12

16

0

4

8

-12

-8

-4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-20

-16

12

10/02/2013 21(c) Hendra Gunawan

LatihanLatihan1. Tentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = 

3 2 2 1 ik t t T t k lx3 – 2x2 + x + 1 naik atau turun. Tentukan pula pada selang mana ia cekung ke atas atau cekungke bawah serta titik belok nya bila adake bawah, serta titik belok‐nya, bila ada.

2. Air dituangkan ke dalam tangki berbentukkerucut terbalik dengan laju 8 dm3/menitkerucut terbalik dengan laju 8 dm3/menit. Jika tinggi tangki tersebut adalah 24 dm danjari‐jari permukaan atasnya 12 dm nyatakanjari‐jari permukaan atasnya 12 dm, nyatakantinggi air (h) sebagai fungsi dari waktu (t). Selidiki kemonotonan dan kecekungan grafikSelidiki kemonotonan dan kecekungan grafikfungsi h(t).

10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 22