MODULMATEMATIKA

MATRIKS

KUSNADI, S.Pd

www.mate-math.blogspot.com

M A T R I K S

A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS

1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS

Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ].Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.

Contoh 1: Diketahui matriks A = [−1 2 4

3 3 −50 −4 −2 ]

Tentukan :a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3

b. banyak kolom e. b3. 2

c. elemen-elemen baris ke-2 f. b1. 3

Penyelesaian : a. banyak baris = 3 baris

b. banyak kolom = 3 kolom c. celemen-elemen baris ke-2 = 3, 3, - 5

d. elemen-elemen kolom ke-3 = 4, - 5, - 2

e. b3. 2 = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = - 4

f. b1. 3 = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 4

Contoh 2: Diketahui

X=[1 42 53 6 ]

Tentukan letak elemen 2 dan 6 !

Penyelesaian :

elemen 2 = x21 .

elemen 6 = x32 .

2. ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.Amxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

Contoh 3: Diketahui P=[1 3 −2 4

5 0 2 3 ] Tentukan ordo matriks P

Penyelesaian : Ordo matriks P = 2 x 4

3. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks NolYaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Misal : A=[0 0

0 0 ]2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

Misal : B=[−1 0 2 3 ]

3. Matriks KolomYaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Misal :

C=[ 2−1

0 ]4. Matriks Bujur sangkar

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Misal :

D=[ 1 2 30 2 1

−2 3 0 ]5. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

Misal :

E=[−1 0 00 2 00 0 3 ]

6. Matriks Satuan (Identitas)Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

Misal :

F=[1 0 00 1 00 0 1 ]

7. Matriks SkalarYaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Misal :

G=[3 0 00 3 00 0 3 ]

8. Matriks Segitiga AtasYaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Misal :

H=[2 1 −30 1 40 0 5 ]

9. Matriks Segitiga BawahYaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Misal :

K=[3 0 04 4 01 −3 2 ]

LATIHAN SOAL

1. Diketahui

P=[1 −1 2 4 50 3 2 5 31 0 −1 3 5 ]

Tentukan :a. elemen-elemen baris ke-2b. elemen-elemen kolom ke-2c. elemen-elemen kolom ke-4d. elemen baris ke-1 kolom ke-3e. elemen baris ke-3 kolom ke-5f. ordo P

2. Diketahui

X=[ 2 −3 5 13 −1 4 0

−4 0 −2 6 ]Tentrukan :a. ordo Xb. elemen-elemen baris ke-2

c. x2. 3

d. x3. 1

e. x3. 2

3. Diketahui

A=[ 2 4 60 −2 −5

−1 5 13 2 −4

]Tentukan letak elemen :a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0

4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?

a. A=[1 2

0 1 ]b. B=[−1 0 2 ]

c.

C=[ 3 0 0−1 3 04 3 3 ]

d.

D=[4 0 00 4 00 0 4 ]

5. Berikan contoh lain dari matriks :a. skalar b. segitiga bawahc. segitiga atas d. Diagonal

4. KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh 1: Mana matriks yang sama ?

A=[1 2

3 4 ]

B=[2 41 3 ] C=[1 2

3 4 ] D=[ 1 √4√9 22 ]

Penyelesaian : Matriks yang sama yaitu matriks A dan C

Contoh 2: Tentukan x dan y dari [3 10 −5 ]=[ 3 x

2 y −5 ]Penyelesaian : x = 1

2y = 0 ⇒ y = 0

5. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.

Transpose matriks A dinyatakan dengan AT

atau A’.

Contoh 3: Jika P=[1 2 3

4 5 6 ] maka tentukan P

T

Penyelesaian :

Pt=[1 42 53 6 ]

LATIHAN SOAL

1. Tentukan x dan y dari :

a. [3 3 x8 −5 ]=[ 3 −9

2 y −5 ]b.

[ 12

x 1

0 y+3 ]=[ 4 10 x ]

c. [−4 y+12 x 3 ]=[ −4 2 y−x

x−5 3 ]d.

[ x+2 yx− y ]=[14 ]

2. Tentukan a, b, c dan d dari :

a. [ 5 2a−63b 4 ]=[5 2b

6 4 ]b.

[ 10b

2c

a−2 bd ]=[−a −6c 8 ]

c. [ −3 a

b+1d2 ]=[ c

bd−3

a−2 5 ]d.

[ a+c 3b+4 d−b+3d 2a−c ]=[1 15

8 5 ]3. Tentukan transposenya dari :

a. A=[−1 2 3

4 5 0 ]b.

B=[ 4 2 15 0 3

−1 2 5 ]4. Tentukan c jika

A=[4 a 42b 3c ]

, B=[c−6b 2a

4a+2 2b+14 ] dan A=BT

B. OPERASI MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

Contoh 1: Jika A=[ 3 4

−1 2 ] dan

B=[−3 20 5 ]

maka tentukan A + B

Penyelesaian : A + B = …

Contoh 2: Jika A=[2 0

1 3 ], B=[3 1

2 4 ] dan

C=[5 −24 0 ]

, tentukan : a. A + B b. B + A c. A + (B + C) d. (A + B) + C

Penyelesaian : a. A + B = …

b. B + A = …

c. A + (B + C) = …

d. (A + B) + C = …

Contoh 3: Diketahui A=[1 2

3 4 ], −A=[−1 −2

−3 −4 ] dan

O=[0 00 0 ]

.

Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A

Penyelesaian : a. A + (-A) = … (-A) + A = …

b. A + O = …

O + A = …

Sifat-sifat penjumlahan matriks :1. A + B = B + A (bersifat komutatif)2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh 4: Jika A=[ 2 −3

−1 4 ] dan

B=[4 −13 −5 ]

, maka tentukan : a. A – B b. B – A

Penyelesaian : a. A – B = …

b. B – A = …

Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1. A – B ¿ B – A (tidak komutatif)2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakanlah !

a. [10−2]+[−3

5 ] b.

[ 2 1−1 5 ]+[ 3 −4

10 −5 ]c.

[ 5−2]+[−1 3 ]

d. [ 0 2−1 5 ]−[−2 3

4 −7 ]e.

[5 −1 34 2 −8 ]−[−3 4 −1

3 −5 −7 ]

f. [−5 4

2 −1 ]+[7 −30 4 ]−[−1 2

−3 5 ]g.

[2 −14 3 ]−[−7 2

−5 1 ]+[4 −21 0 ]

h. [ 2 −1 ]−[ 3 −4 ]−[−5 −4 ] i. [2x− y x

2 y −3 y+5x ]−[3 y −x5 x 4 x− y ]

2. Tentukan x jika [2 −34 5 ]+x=[−1 4

2 −3 ]

3. Tentukan x jika −x+[−4 −1

3 −5 ]=[ 7 2−6 3 ]

4. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.[a bc d ]−[8 −4

1 5 ]=[0 31 −1 ]

b.[a+b a

c c−d ]−[4 −23 5 ]=[4 0

1 5 ]

3. PERKALIAN MATRIKS

3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh 1: Jika A=[2 −1

3 −5 ] maka tentukan :

a. 2A b. −1

2A

Penyelesaian : a. 2A = 2[2 −1

3 −5 ]=[4 −26 −10 ]

b. −1

2A

= …

Contoh 2: Jika A=[4 −2

1 3 ] dan

B=[6 43 −1 ]

maka tentukan : a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A

Penyelesaian : a. 2(A + B) = …

b. 2A + 2B = …

c. 2(3A) = …

d. 6A = …

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :1. k(A + B) = …2. (k + l)A = …3. k(lA) = …

LATIHAN SOAL

1. Jika A=[2 −5

3 1 ] dan

B=[−1 42 0 ]

, maka tentukan :

a. 2A + 2B b. 3A – 2B c.

12( A+B )

d. –4(A – B)

2. Tentukan matriks X jika:

a. 2 X=[ 4 −6

10 8 ]b.

2 X+[3 −25 4 ]=[7 6

3 0 ]

c. 2 X−[ 5 1

10 0 ]=[1 −32 4 ]

d. [1 00 −1 ]=1

2X−[0 −3

12

−1 ]3. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.2[a 2

1 d ]+3[−1 bc −3 ]=[5 7

4 −5 ]

b.4 [a+1 c

b 3a ]−12 [ 4b 8d+2

2c+4 6 ]=3 [b−2 c−4 6 ]

4. Diketahui A=[ a 4

2b 3c ] dan

B=[2c−3b 2a+1a b+7 ]

. Jika A=2BT, maka tentukan

nilai c !

3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Ordo hasil perkalian matriks Amxn dengan Bnxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino).

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal : A=[a b

c d ] dan

B=[ p r tq s u ]

maka :

AB = [a bc d ] [ p r t

q s u ] =

[ap+bq ar+bs at +bucp+dq cr+ds ct+du ]

Contoh 1: Diketahui A=[1 2

3 4 ] ,B=[24 ] ,C= [3 5 ] dan

D=[5 67 8 ]

. Terntukan : a. AB b. AC c. AD

Penyelesaian : a. AB = …

b. AC tidak dapat dikalikan, karena …

c. AD = …

Contoh 2: Diketahui A=[−1 2

2 3 ] ,B=[ 4 02 1 ]

dan C=[3 −2

1 3 ].

Tentukan : a. AB b. BA c. (AB)C d. A(BC) e. A(B + C) f. AB + AC g. AI h. IA

Penyelesaian : a. AB = …

b. BA = …

c. (AB)C = …

d. A(BC) = …

e. A(B + C) = …

f. AB + AC = …

g. AI = …

h. IA = …

Sifat-sifat perkalian matriks :1. Umumnya tidak komutatif (AB ¿ BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)

3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

4. Identitas : IA = AI = A

5. k(AB) = (kA)B

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan !

a. [−3 4 ] [52 ]

b. [ 1 −2 ] [3 1

0 −4 ] c.

[ 4 6−8 −9 ] [ 1

2−1

3 ]

d. [0 34 −1 ] [51 ]

e. [3 −41 0 ] [ 3 5

−2 1 ]f.

[2 41 3 ] [2 −1 4

3 0 2 ]

g.

[−1 0 34 2 5 ] [3 1

4 −20 −3 ]

h. [5 2 −14 6 −37 0 2 ] [−1 2 −4

4 1 −52 3 −3 ]

2. Diketahui X=[−3 −1

2 4 ]. Jika X

2=X . X dan X3=X . X . X maka tentukan :

a. X2

b. X3

3. Jika A=[1 2 0

3 4 2 ] dan

B=[ 4 2−1 10 0 ]

maka tentukan :

a. ( BA)T b. ( AB)T

4. Tentukan a jika [−1 d−b 3 ]+[ 4 −5

−3 b ]=[ 2 −1−4 3 ] [2c 1

c a+1 ]C. INVERS MATRIKS

1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2

Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu I=[1 0

0 1 ] maka A dan B dikatakan

saling invers. Invers matriks A dinotasikan A−1

.

Misal A=[a b

c d ] dan

B=[ p qr s ]

maka :

AB = I ⇒ [a bc d ][ p q

r s ]=[1 00 1 ]

⇒[ap+br aq+bscp+dr cq+ds ]=[1 0

0 1 ]ap + br = 1

⇒ p= d

ad−bc dan r= −c

ad−bccp + dr = 0

aq + bs = 0

⇒ q= −b

ad−bc dan s= a

ad−bc cq + ds = 1

Karena B=A−1 =

[ p qr s ]

maka A−1= 1

ad−bc [ d −b−c a ]

ad – bc disebut Determinan (D) atau |A| atau det(A).

Jadi D=|A|=det( A )=ad−bc .Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks

Singular. Jika ad – bc ¿0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.

Contoh 1: Tentukan determinan A=[2 −3

5 −1 ]

Penyelesaian : |A|=. .. .

Contoh 2: Tentukan invers dari P=[ 5 2

−3 −1 ]

Penyelesaian : P−1=.. . .

Contoh 3: Tentukan x jika A=[ 5 6

−2 x ] merupakan matriks singular !

Penyelesaian : ad – bc = 0 ⇒ …

Contoh 4: Tentukan matriks X jika X [2 −1

3 2 ]=[13 −3−3 −2 ]

Penyelesaian : XA = B ⇒ X = BA−1 = …

Jika ada persamaan matriks berbentuk :

AX = B maka X=A−1B

XA = B maka X = BA−1

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinannya !

a. A=[5 3

3 2 ]b. B =

[4 62 3 ]

c. C=[ 2 3

−3 −1 ]d.

D=[ 4 −5−2 3 ]

2. Tentukan inversnya ! (jika ada)

a. A=[−1 1

5 3 ]b.

B=[ 5 −1−4 0 ]

c. C=[ 4 8

−3 −6 ]d.

D=[10 −68 −5 ]

3. Tentukan x jika P=[ x −8

−x 2x ] singular

4. Tentukan matriks X jika :

a. X [4 5

2 0 ]=[ 8 514 15 ]

b. [1 23 4 ]X=[4 3

2 −1 ]

c. [3 −21 4 ]X=[28

−14]d.

X [2 −14 1 ]=[ 8 2

14 510 −2 ]

2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3

2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-52. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah

perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.

A=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

⇒ det (A) =

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|a11 a12

a21 a22

a31 a32

|

= ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … )

Contoh 1: Jika

P=[1 2 31 3 41 4 3 ]

maka tentukan |P|

Penyelesaian :

|P|=|. .. . .. . . .. ... .. . .. . . .. ... .. . .. . . .. ..

|.. . . .. .... . . .. .... . . .. ..

| = …

= …

MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT

Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i

dan kolom ke-j, dan ditulis dengan M ij . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian M ij dengan (−1 )i+ j

dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).

Contoh 2: Diketahui

M=[ 1 2 −1−1 1 22 −1 1 ]

. Tentukan :

a. M 12 b. M 22 c. A31 d. A23 e. Adj(M)

Penyelesaian : a. M 12 = |. .. . . .. .. .. . . .. .

|=. .. .

b. M 22 = |. .. . . .. .. .. . . .. .

|=. .. .

c. A31 = (−1 ). . .+ .. . .|. . .. . .. .

. . .. . .. .|=. .. .

d. A23 = (−1 ). . .+ .. . .|. . .. . .. .

. . .. . .. .|=. .. .

e. Adj(M) =

[−|. .. . ... .. . ..

| −|. . . .. .. . . .. .

| |.. . . .... . . ..

|

|. .. . ... .. . ..

| |. . . .. .. . . .. .

| −|. .. . ... .. . ..

|

|. .. . ... .. . ..

| −|. . . .. .. . . .. .

| |.. . . .... . . ..

| ]T

= [ .. . .. . . .... . .. . . .... . .. . . .. ]

T

= [ .. . .. . . .... . .. . . .... . .. . . .. ]

2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3

Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :

A−1= 1|A|

Adj ( A )

Contoh 3: Tentukan invers dari

P=[1 2 31 3 41 4 5 ]

Penyelesaian :

|P|=|. .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. . .. . . .

|. .. . ... .. . ... .. . ..

|=. . ..

Adj( P )=[ |. . . .. .. . . .. .

| −|. .. . ... .. . ..

| |. . . .. .. . . .. .

|

−|.. . .. ... . .. .

| |. .. . ... .. . ..

| −|.. . .. ... . .. .

|

|. . . .. .. . . .. .

| −|. .. . ... .. . ..

| |. . . .. .. . . .. .

| ] =….

P−1=.. ... . [ . .. . .. . . .

. .. . .. . . .

. .. . .. . . . ]=.. . .

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinan dari :

a.

A=[−1 2 03 2 10 3 1 ]

b.

B=[ 4 −2 1−3 3 01 −1 2 ]

c.

C=[ 5 −2 4−1 0 34 −1 2 ]

2. Tentukan x jika

|3 x 14 0 −1

−2 1 −3|=35

3. Diketahui

X=[ 4 2 −20 1 13 −4 −1 ]

. Tentukan :

a. M 21 b. M 33 c. A12 d. A22 e. Adj(X)

4. Tentukan inversnya dari :

a.

P=[ 4 0 2−1 3 2−1 1 0 ]

b.

Q=[5 −2 13 3 40 −1 2 ]