Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya. Pernyataan dibedakan menjadi: 1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan. 2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau

lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika.

2. Pernyataan Berkuantor

2.1 Pernyataan Berkuantor Universal (umum) Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata semua atau setiap. Notasi: dibaca semua/setiap. pContoh: 1) Semua siswa ingin lulus ujian 2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2

2.2 Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus)

Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada atau beberapa.

Notasi: dibaca ada /beberapa p. p Contoh:

(1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru (2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir

3. Pernyataan Majemuk

3.1 Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p dan q” yang dibaca “p dan q” Tabel kebenaran Konjungsi:

p q p q B B S S

B S B S

B S S S

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa 

p  q bernilai benar apabila p benar, q benar. Selain dari itu p  q bernilai salah.

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

3.2 i dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q

Disjungsi Disjungs ” yang dibaca “p atau q”.

abel Kebenaran Disjungsi:

T

p q p qB B S S S S

B S B

B B B

3.3

q” yang dibaca:

2) q hanya jika p 4) q syarat perlu bagi p

Tabel Kebenaran Implikasi:

Implikasi (Pernyataan Bersyarat) Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p 1) jika p maka q 3) p syarat cukup bagi q

p q p q B B S S S B

B S B

B S B

3.4 v an tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca:

3) q syarat cukup dan perlu dibagi p

Ekivalensi (Biimplikasi) Eki alensi dari dua pernyata1) p jika dan hanya jika q 2) p syarat cukup dan perlu dibagi q

)()( pqqpqp

Tabel Kebenaran Ekivalensi:

p q p q B B S S S B

B S B

B S S

4. Negasi

4.1 nyataan p ditulis ~p dan dibaca:

i alnya 

benar. Selain dari itu p  q bernilai salah.

eadaan, kecuali apabila p benar dan q salah.

 tunggalnya sama selain dari itu salah.

Negasi dari Pernyataan Tunggal Negasi dari per

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilabenar apabila salah satu pernyataan tungg

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilai benar untuk semua k

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilai benar apabila nilai kebenaran pernyataan

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

1) Tidak p 2) Bukan p 3) Tidak benar p

Tabel kebenaran:

p ~p B S B

S

4.2 n B

h y ~p : ada x tidak y ~p : semua x tidak y

Contoh

1)

2) anjil

3) negatif

4) 7 ~p : semua x berlaku x 7

4.3 Negasi dari Pernyataan Majemuk

4.3.1 N si

~(p q) ~p ~q

4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi ~(p q) ~p ~q

4.3.3 Negasi dai Implikasi

~(p q) p ~q

4.3.4 N (q p)]

p ~q q ~p

. Variasi Pernyataan Bersyarat

tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu n kontraposisi.

Negasi dari Pernyataa erkuantor p : semua x adala p : ada x adalah y

: p : Semua siswa hadir di kelas ini ~p : Ada siswa tidak hadir di kelas ini p : Semua bilangan prima adalah ganjil ~p : Ada bilangan prima yang tidak gp : Ada bilangan prima yang negatif ~p : Semua bilangan prima tidakp : Ada harga x sehingga x <

egasi dari Konjuga

egasi dari Ekivalensi ~(p q) ~[(p q) ~(p q) (q p)

5

Dari implikasi p q dapat dibuat invers, konvers, daImplikasi : p q Konvers : q p

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Invers : ~ p ~q Kontraposisi : ~q ~p

Tabel kebenaran

p q ~p ~q p q ~p ~q q p ~q ~p B B S S S B B B B B B

B S B

S S B

S B S

B S B

B B S

B B S

B S B

1) dengan kontraposisi:

2) gan konvers ~p ~q q p

sukses

Kontraposisi: Jika kamu tidak sukses, maka kamu tidak rajin

. Tautologi dan Kontradiksi

pernyataan yang selalu benar Contoh : p ~p

Dari tabel terlihat bahwa: Implikasi ekivalen p q ~q ~p Invers ekivalen den

Contoh: Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu sukses Invers : Jika kamu tidak rajin, maka kamu tidakKonvers : Jika kamu sukses, maka kamu rajin

6

Tautologi adalah

p ~p p p ~B S B B

S B

7. Sifat operasi Logika

7.1 Sifat Id

(2). p p p

7.2 S

(2). p q q p

7.3 S

(2). p (q r) (p q) r

 pernyataan yang selalu salah 

ontoh : p  ~p  

empoten (1). p p p

ifat Komutatif (1). p q q p

ifat Assosiatif (1). p (q r) (p q) r

Kontradiksi adalah

C

p  ~p  p  p  ~B S  B  S 

S  S 

 

7.4 S

(2). p (q r) (p q) r

7.5 S d

(2). (4). p k k

k : kontradiksi

7.6 Sifat Komplemen

(5). ~k = t (3). ~(~p) p

7.7 S

(2). ~(p q) ~p ~q

7.8 Sp q ~q p p q

. Penarikan Kesimpulan

8.1 p q … premis 1

ifat Distributif (1). p (q r) (p q) r

ifat I entitas (1). p t t (3). p t p

p k p t : tautologi

(1). p ~p t (4). ~t = k (2). p ~p k

ifat Idempoten (1). p~(p q) ~p ~q

ifat Implikasi

8

Modus Ponens

kesimpulan ... q

2 premis ... p

8.2 M

p q … premis 1 odus Tollens

kesimpulan ... p~

2 premis ... q~

8.3 S

p q … premis 1 ilogisme

kesimpulan ...r p

2 premis ...r q

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna