Linier Programming
description
Transcript of Linier Programming
Linier ProgrammingDenny Agustiawan
@STMIK ASIA2012
Linear Programming1 • Metode Grafis
2 • Metode Simplex
3 • Big M
4 • Dualitas
5 • Sensitifitas
Metode GrafisLi
near
Pr
ogra
mm
ing
+
Maks. 2 variabel (X, Y)Informasi sedikit
-
Dibentuk Kurva Kartesius
Memiliki Fungsi Tujuan Memiliki Fungsi Batasan
Memiliki Area Visible
Metode GrafisLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Contoh 1. PT Dimensi adalah Sebuah perusahaan furniture produsen meja dan
kursi yang harus diproses melalui perakitan dan Pengecatan. Proses perakitan memiliki batas pengerjaan selama 60 jam dalam sekali proses, dan proses Pengecatan memiliki batas pengerjaan selama 48 jam. Untuk menghasilkan suatu meja dibutuhkan masing – masing 4 jam proses perakitan dan 2 jam proses Pengecatan, sedangkan satu kursi membutuhkan masing – masing 2 jam proses perakitan dan 4 jam proses Pengecatan. Laba untuk setiap meja sebesar $8 dan tiap kursi $6. Perusahaan ingin menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursi yang diproduksi sehingga menghasilkan laba maksimal.
Langkah – langkah Penyelesaian :1. Merumuskan permasalahan kedalam model matematisa) Fungsi Tujuanb) Fungsi – fungsi yang menjadi batasan/kendala
2. Menggambarkan semua model yang terbentuk3. Menentukan area yang menjadi solusi (feasible)4. Mencarii koordinat yang optimal dari fungsi tujuan5. Terakhir memasukkan nilai koordinat yang optimal kedalam fungsi tujuan
Metode GrafisLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Informasi Produksi PT DimensiTotal jam
Meja Kursi tersediaPerakitan 4 2 60
Pemolesan 2 4 48Laba/unit $8 $6
Waktu kerja(jam)Titik O(0,0) : Z = 8(0) + 6(0) = 0Titik A(15,0) : Z = 8(15) + 6(0) = 120Titik B(12,6) : Z = 8(12) + 6(6) = 132Titik C(0,12) : Z = 8(0) + 6(12) = 72
Metode GrafisLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Latihan Soal :
Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua merek pupuk kimia yaitu super dan top. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.
Seorang petani sering membutuhkan paling sedikit 16Kg nitrogen dan 24Kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk menjadi minimal dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.Selesaikan dengan metode Grafik.
Penjualan pupukJenis Harga
N(kg/sak) P(kg/sak) (Kg/sak)Super 2 4 $6Top 4 3 $3
kandungan bahan
Metode GrafisLi
near
Pr
ogra
mm
ing
•Tentukan daerah feasible dari permasalahan berikut :Fungsi tujuan : maks Z = 400x1 +200X2Fungsi batasan :x1 + x2 = 302x1 + 8x2 ≥ 80x1 ≤ 20x1,x2 ≥0
•Tentukan daerah feasible dari permasalahan berikut :x1 + x2 ≤ 44x1 + 3x2 ≤ 12-x1 + x2 ≥ 1x1 + x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0manakah yang termasuk batasan redundan? Reduksi system batasan sehingga menjadi fungsi yang lebih
sederhana.
Sebuah industry keramik membuat dua buah jenis produk unggulan yaitu jenis A dan jenis B. untuk menghasilkan satu buah jenis A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam, dan bahan baku 4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan bahan baku 3 kg. waktu dan bahan baku yang tersedia masing-masing 40 jam dan 120 Kg. keuntungan untuk tiap unit A dan B masing masing adalah $40 dan $50.1. Tentukan model program linier untuk persoalan diatas.2. Tentukan solusinya dengan menggunkan metode grafik.
Metode Simplex
Line
ar
Prog
ram
min
g
+
Bila digunakan untuk kasus minimasi atau model tidak umum maka perhitungan manual semakin rumit, sehingga butuh aplikasi /software.
-
Cj C1 C2 … Cn 0 0 … 0k x1 x2 … xn s1 s2 … sm
variabel Tujuan qdasar
s1 0 b1 a11 a12 … a1n 1 0 … 0s2 0 b2 a21 a22 … a2n 0 1 … 0… … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … …
sm 0 bm am1 am2 … amn 0 0 … 1Zj 0 0 0 … 0 0 0 … 0
Cj-Zj C1 C2 … Cn 0 0 … 0
Bentuk Tabel Dasar
Metode SIMPLEX
Line
ar
Prog
ram
min
gContoh pada Kasus PT Dimensi
Formulasi dan standarisasi model program linier dalam bentuk model simplek.
Maks Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2
Batasan-batasan :4x1 + 2x2 + 1.s1 + 0.s2 = 602x1 + 4x2 + 0.s1 + 1.s2 = 48X1,x2,s1,s2 ≥ 0.
Susunan Tabel Simpleks Sebagai berikut :Cj 8 6 0 0k x1 x2 s1 s2
variabel dasar Tujuan qs1 0 60 4 2 1 0s2 0 48 2 4 0 1
Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 8 6 0 0
NB: Variabel dasar (s1, s2 atau yang lain harus selalu positif bila negatif maka yang masuk variabel dasar adalah selain s yang positif
Metode SIMPLEX
Line
ar
Prog
ram
min
g Cj 8 6 0 0k x1 x2 s1 s2
variabel dasar Tujuan qs1 0 60 4 2 1 0s2 0 48 2 4 0 1
Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 8 6 0 0
Metode SIMPLEX
Line
ar
Prog
ram
min
gLangkah – langkah penyelesaian :1. Menetukan kolom kunci.
Untuk maksimalisasi cari nilai (cj – Zj) yang positif dan terbesar
sedang untuk minimasi kebalikannya. Sehingga diperoleh kolom x1 sebagai kolom kunci
dimana nilai (cj – Zj) = 82. Menentukan baris kunci.
Kriteria baris kunci adalah baris yang memiliki nilai rasio kuantitasnya adalah positif terkecil. Dari tabel diatas s1 merupakan baris kunci karena memiliki nilai rasio paling kecil yaitu 15.3. Transformasi baris – baris variable.
Dari langkah 3 dan 4 diperoleh hasil bahwa nilai kunci adalah 4.4. Transformasi baris s1
Karena yang terpilih adalah baris s1 maka variable dasar s1 digantikan dengan variabel x1, sedangkan nilai-nilai baris tersebut di bagi dengan nilai kuncinya (4).
Sedangkan selain baris kunci dilakukan transformasi dengan cara : Baris baru selain baris kunci = baris lama – (rasio kunci x baris kunci lama)
Metode SIMPLEX
Line
ar
Prog
ram
min
gCj C1 C2 0 0 Rasiok x1 x2 s1 s2
v. dasar Tujuan qs1 0 60 4 2 1 0 60/4=15s2 0 48 2 4 0 1 48/2=24
Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 8 6 0 0
Iterasi 1 Cj 8 6 0 0k x1 x2 s1 s2 Rasio
v.dasar Tujuan q barux1 8 15 1 1/2 1/4 0 15:1/2=30s2 0 18 0 3 -1/3 1 18/3=6
Zj 120 8 4 2 0Cj-Zj 0 2 -2 0
Semua dibagi dengan 4
[48 2 4 0 1][60 4 2 1 0] x (2/4) -[18 0 3 . . .]
8 x 15 = 1208 x 1 = 88 x 1/2 = 48 x 1/4 = 2
Metode SIMPLEX
Line
ar
Prog
ram
min
gIterasi 2 Cj 8 6 0 0
k x1 x2 s1 s2 Rasio v. dasar Tujuan q baru
x1 8 12 1 0 1/3 -1/6x2 6 6 0 1 -1/6 1/3
Zj 132 8 6 5/3 2/3Cj-Zj 0 0 -5/3 -2/3
Hasil adalah sebagai berikut :1. Pada baris x1 diperoleh jumlah produksi sebesar 12 buah meja2. Pada baris x2 diperoleh jumlah produksi sebesar 8 buah kursi3. Hasil ini sama dengan hasil dari metode Grafik.
Sebuah industry keramik membuat 2 jenis produk unggulan, jenis A dan B. untuk menghasilkan satu buah jenis A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam dan bahan baku 4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan bahan baku 3 kg. waktu dan bahan baku yang tersedia masing-masing 40 jam dan 120 kg. Keuntungan tiap unit A dan B masing-masing $40 dan $50.
Tentukan Model Program linier untuk persoalan diatas dengan metode Simpleks.
Metode Big MLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Penyimpangan – penyimpangan dari bentuk standard :
Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3 dengan batas : X1 - 2X2 + X3 ≤ 11 - 4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3 2X1 - X3 = -1 X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk model Simpleks big M :Minimumkan Z = - 3X1 + X2 + X3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Batasan :X1 - 2X2 + X3 + S1 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - S2 + A1 = 3 -2X1 + X3 + A2 = 1
Metode Big MLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Cj -3 1 1 0 0 M Mk x1 x2 x3 s1 s2 A1 A2 Rasio
V.D T qs1 0 11 1 -2 1 1 0 0 0 ,11/1=11A1 0 3 -4 1 2 0 -1 1 0 3/2=1,5A2 0 1 -2 0 1 0 0 0 1 1/1=1
Zj 4M 3-6M -1+M -1+3M 0 -M 0 0Cj-Zj
Cj -3 1 1 0 0 M Mk x1 x2 s1 s2
V.D T qs1 0 10 3 -2 0 1 0 0 -1 *A1 0 1 0 1 0 0 -1 1 -2 1/1=1x3 1 1 -2 0 1 0 0 0 1 *
Zj 1+M 1 -1+M 0 0 -M 0 1-3MCj -3 1 1 0 0 M Mk x1 x2 s1 s2
V.D T qs1 0 12 3 0 0 1 -2 2 -5 12/3=4x2 1 1 0 1 0 0 -1 1 -2 *x3 1 1 -2 0 1 0 0 0 1 *
Zj 2 1 0 0 0 1 1-M 1-MCj -3 1 1 0 0 M Mk x1 x2 s1 s2
V.D T qx1 -3 4 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3x2 1 1 0 1 0 0 -1 1 -2x3 1 9 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3
Zj -2 0 0 0 -1/3 -1/3 (1/3)-M (2/3)-M
DualLi
near
Pr
ogra
mm
ing
Persoalan Primal Persoalan DualFungsi Tujuan :Maks Z = 8x1 + 6y2Batasan :4x1 + 2x2 ≤ 602x1 + 4x2 ≤ 48
Fungsi Tujuan :Min yo = 60y1 + 48 y2Batasan :4y1 + 2 y2 ≥ 82y1 + 4y2 ≥ 6
SensitifitasLi
near
Pr
ogra
mm
ingPada dasarnya perubahan perubahan yang mungkin terjadi
setelah tercapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa sebab yakni :1. Keterbatasan kapasitas sumber. (nilai kanan fungsi batasan)2. Koefisien fungsi tujuan. (perubahan nilai keutungan perunit)3. Koefisien fungsi batasan. (perubahan komposisi produksi)4. Penambahan variabel baru. (muncul produk baru)5. Penambahan batasan baru.(muncul kendala baru dalam
memproduksi akibat perubahan ekonomi)