1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain) serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum

Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).

Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan (1.5c) akan didapat

02

2 2

xx yyxy

.sin .cos

atau 

(1.8) Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut

 sin

costan

2

22

2p

pp

xy

xx yy

Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di atas ke persamaan (1.5a) akan didapat

Sehingga 

Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan (1.5b), akan didapat

x xxx yy xx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

' '

( ) ( )

2 2 4

2

42 2

2

2 2

x xxx yy

xx yy xy

xx yy xy' '

. ( )( )

2

1

2 44

2 2

2 2

x xxx yy

xx yy xy' '.

( )

2

1

242 2

y yxx yy

xx yy xy' '.

( )

2

1

242 2

Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah 1 2 , maka kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan

  (1.9) Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga sxx , syy dan txy adalah tetap atau konstan, sehingga tx’y’ merupakan suatu fungsi q, atau tx’y’ = f(q). Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap q sama dengan nol. Jadi

 

1 22 2

2

1

24,

.( )

xx yy

xx yy xy

atau 

(1.10) Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:

x y xx yyxy

dd

' ' .sin .cos

2

2 2 0

sin

costanmax

maxmax

2

22

2

xx yy

xy

Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di atas ke persamaan (1.5c) akan didapat

 

x yxx yy xx yy

xx yy xy

xy

xx yy xy

xx yy xy

xx yy xy

' '

( )

( ) ( )

. ( )( )

2 4

2

4

1

2 44

2 2

2

2 2

2 2

2 2

Sehingga  Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2q adalah (sxx - syy) dan panjang sisi di sampingnya adalah -2txy. Kondisi ini akan memberikan

  x y xx yy xy' '.

( ) 1

242 2

x y xx yy xy' '.

( ) 1

242 2

Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai

(1.11) Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum

 

max.

( ) 1

242 2

xx yy xy

Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai e1 dan e2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, e1 selalu diambil lebih besar dari e2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut.

 

(1.12a) 

(1.12b)

qp = sudut utama

e1,2 = regangan-regangan utama

gxy = 2exy = regangan geser

sin

costan

2

22p

pp

xy

xx yy

1 22 2

2

1

2,

.( )

xx yy

xx yy xy

(1.13a)

 (1.13b)

 qmax = sudut regangan geser maksimum

gxy = 2exy = regangan geser

sin

costanmax

maxmax

2

22

xx yy

xy

max

.( )

2

1

22 2 xx yy xy

1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang 

Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.

Lingkaran Mohr untuk Tegangan BidangPada persamaan (1.5a), bila suku dipindahkan ke

ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

………(1.14a)Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat 

………(1.14b) Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan

(1.15)Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:

 x y 2

2 2

2 2 2

2 22 2 2 2x

x y x yxy x y xycos sin' sin cos

2 2 2

2

222

2 2 2x y xyx y

x y xycos sin' ' sin cos

22

22

2 2xx y

x yx y

xy' ' '

1. Buatlah sumbu sij , horisontal.

2. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati

batas kiri adalah titik sij = 0.

3. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik sij = 0.

4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan.

 

5. Tentukan letak titik-titik sij = 0 dan sumbu t, serta sij terkecil dan sij terbesar bila belum terlukis pada sumbu sij .

6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.7. Tentukan letak titik A pada koordinat (sij terbesar , txy ).

8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA.9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (sij terkecil , txy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen tersebut.

 

Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.

Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z

untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).c. Besar tegangan geser maksimum

menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang

didapat pada b. di atas.d. Besar perputaran mengelilingi

sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut

lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8).

e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9)

dan dari hasil pada pada d. di atas.

 

Penyelesaian:a. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu sij , horisontal.

2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri.

3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.

4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik syy = - 40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang berjarak (sxx + syy) dari titik syy di sebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik syy .

6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan didapat titik P.

7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx

, txy ) = (280,120).

8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (syy , txy ) = (-40,120).

 

Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapattan 2qmax = - (280 + 40) / (2 x 120) = - 4/3

2qmax = - 53o 08’ atau qmax = - 26o 34’

 

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

tmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapattan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2qp = - 36o 52’ atau qmax = - 18o 26’e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr

s1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.

s2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

 

12 2

22 2

280 40

2

1

2280 40 120 320

280 40

2

1

2280 40 120 80

MPa

MPa

max 1

2280 40 120 200

2 2 MPa

Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang

Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 

………(1.16a)Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat 

………(1.16b) Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan

xx yy

2

2 2

2

2

2

2 22

22

22 2x x

xx yy xx yy xyxx yy

xy' ' cos sin sin cos

2 2

2

2

2

2 22

22

22 2

x y xy xx yyxx yy

x y' ' ' 'cos sin sin cos

(1.17)

Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang

yang pusatnya di dengan jari-jari

Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan mengganti sxx , syy dan txy berturut-turut menjadi exx , eyy dan gxy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.

 

2 2 2 2

2 2 2 2x xxx yy x y xx yy x y

' '' ' ' '

2

xx yy

20,

2 2

2 2xx yy xy

1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik.

Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut:

(1.18)

Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:

(1.19)

 

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

1

1

1

xyxy xy xy

xzxz xz xz

yzyz yz yz

G E

G E

G E

2 2

1

2 2

1

2 2

1

Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan:

(1.20)

Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:

(1.21)

 

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

1 1 21

1 1 21

1 1 21

xy xy xy xy

xz xz xz xz

yz yz yz yz

E EG

E EG

E EG

1 2 1

1 2 1

1 2 1

Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud.

 

Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / 2(1 + n).

Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi.

b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi.

c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.

e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk

mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan

(1.8).f. Besar regangan-regangan

utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-

persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.

Penyelesaian:a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan

didapat:

b. Lingkaran Mohr:1) Buat sumbu eij horisontal.

2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri.

xx

yy

1

200000280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458

1

20000040 0,29.280 0,29.0 0,000606 606

xy atau

xyxy

2

1 0,29 120

2000000,000774 774 1548

.

3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga merupakan titik di dekat batas kanan.

4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian ditentukan titik eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah

kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di sebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan titik eyy .

6) Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx akan didapat titik P.

7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy ) = (1458,774).

8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari

sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.9) Dengan menarik garis dari A

lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (eyy ,

exy ) = (-606,-774).

 

 

c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qmax = - (1458 + 606) / (2 x 774) = - 4/3

2qmax = - 53o 08’ atauqmax = - 26o 34’

  d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

exy-max = 5,2 x 250me = 1300me.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2qp = - 36o 52’ atauqmax = - 18o 26’

 

maxmax (

2

1

221458 606) 21548 1290 xy

f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr

e1 = 6,9 x 250me = 1725me.

e2 = -3,5 x 250me = -875me

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

1

2

1458 606

2

1

221458 606 21548 1716

1458 606

2

1

221458 606 21548 864