* Linear Programming

*Pengantar

*Masalah programming berkaitan dengan penggunaan atau alokasi optimal dari sumber daya yang terbatas untuk memenuhi tujuan tertentu ada kendala-kendala (basic conditions) dan tujuan (objectives)

*Suatu solusi yang memenuhi kendala permasalahan dan tujuan yang telah ditentukan disebut dengan solusi optimal (optimal solution)

*Di perkuliahan ini kita hanya akan membahas sebagian dari masalah programming linear programming models

*Secara matematis, hubungan antar variabel dalam model programming linier dinyatakan sebagai berikut

di mana a dan b adalah konstanta dan x adalah variable yang tidak diketahui

*Suatu model matematis linier yang lengkap akan terdiri dari sekelompok persamaan linier di atas yang merupakan representasi dari kendala-kendala dan persamaan tujuan (objective)

1 1 2 2 ... ...j j n na x a x a x a x b

*Sistem persamaan linier berikut

memiliki solusi unik x1=1 dan x2=2.

*Namun sistem persamaan linier memiliki solusi yang tak terhingga banyaknya (infinite number of solutions). Karena bisa dituliskan bahwa

Untuk setiap nilai x1 (atau x2) kita memiliki nilai solusi bagi x2 (atau x1) Restriksi non-negatif bisa mengurangi jumlah solusi yang mungkin

1 2

1 2

2 3 8

2 5

x x

x x

1 22 8x x

1 28 2x x 1

2 124x x

* Contoh model programming linier (2)

*Sistem seperti yang tadi memiliki jumlah variabel yang lebih banyak dibandingkan dengan jumlah persamaan disebut dengan sistem yang underdetermined

*Sistem yang memiliki jumlah variabel yang sama banyaknya dengan jumlah persamaan disebut dengan sistem yang determined

* Mendapatkan sistem yang determined

*Sistem yang determined mungkin didapatkan dengan memaksa satu atau lebih variabel bernilai nol. Contohnya

Memiliki tiga solusi di mana salah satu variabel dipaksa bernilai nol

1 2 3

1 2 3

2 3 8

2 2 5

x x x

x x x

11 11 2 34 4

11 21 2 33 3

1 2 3

0

0

1 2 0

x x x

x x x

x x x

Non-negative solution

*Fungsi tujuan

*Fungsi tujuan berguna sebagai kriteria memilih alternatif solusi. Contohnya, andaikan dalam sistem kita terdahulu

memiliki fungsi tujuan memaksimumkan

*Maka solusi non-negatif yang memenuhi fungsi tujuan tersebut adalah

1 2 3

1 2 3

2 3 8

2 2 5

x x x

x x x

1 2 3x x x

11 21 2 33 30x x x

*Bentuk umum

*Bentuk umum model matematis programming linier

Minimisasi fungsi tujuan

Yang tunduk kepada kendala (subject to conditions)

dan kendala non-negatif

di mana m < n

1 1 2 2 ... ...j j n nc x c x c x c x

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

... ...

... ...

... ...

j j n n

j j n n

m m mj j mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

1 1, ,..., ,..., 0j nx x x x

*Contoh kasus: transportasi (1)

* Satu perusahaan ingin mengirimkan produknya dari beberapa gu-dang ke beberapa toko retail. Setiap toko membutuhkan sejumlah produk, dan setiap gudang dapat mengirimkan juga sejumlah produk

*Beberapa definisi:m = jumlah gudangn = jumlah toko

ai = jumlah yang bisa dikirim dari gudang i

bj = jumlah yang dibutuhkan oleh toko j

xij = jumlah yang dikirim dari gudang i ke toko j

*Asumsi: Σi ai = Σj bj

*Contoh kasus: transportasi (2)

*Nilai xij adalah yang akan dicari. Matriks transportasinya ialah T o k o

1 2 3

gudang1 x11 x12 x13 a1

2 x21 x22 x23 a2

b1 b2 b3

Oleh karena itu harus benar bahwauntuk gudang 1: x11 + x12 + x13 = a1untuk gudang 2: x21 + x22 + x23 = a2

Sedangkan untuk tokotoko 1: x11 + x21 = b1toko 2: x12 + x22 = b2toko 3: x13 + x23 = b3

*Contoh kasus:

transportasi (3)

*Asumsikan pula perusahaan ingin meminimumkan biaya transportasi perusahaan mengetahui biaya transportasi antara satu gudang dan satu toko (cij)

*Katakan bahwa biaya transportasi ditunjukkan oleh tabel berikut:

T o k o

1 2 3

gudang1 1 2 4

2 3 2 1

5

108 5 2

*Contoh kasus: transportasi (4)

* Permasalahannya menjadi

Minimize x11+2x12+4x13+3x21+2x22+ x23

subject to x11+ x12+ x13 = 5

x21+ x22+ x23 = 10

x11 + x21 = 8

x12 + x22 = 5

x13 + x23 = 2

xij 0

*Contoh kasus: analisis aktifitas

(1)

*Suatu perusahaan memproduksi output. Perusahaan ini memiliki sejumlah input bahan baku, tenaga kerja dan peralatan. Perusahaan ini tahu berapa besar komoditi input i yang dibutuhkan untuk memproduksi output j. Perusahaan juga tahu berapa besar profit yang akan diperoleh untuk setiap unit produk j.

*Jumlah input i yang digunakan harus lebih kecil dari (atau sama dengan) yang tersedia di perusahaan (bi). Notasikan jumlah input i yang digunakan untuk memproduksi output j dengan aij. Profit untuk setiap unit produk j dinotasikan dengan cj.

*Contoh kasus: analisis aktifitas

(2)

*Permasalahan perusahaan

Maximize c1x1+ c2x2+…+ cnxn

subject to a11x1 + a12x2+ …+ a1nxn b1

a21x1+ a22x2+ …+ a2nxn b2

……

am1x1+ am2x2+ …+ amnxn bm

xj 0

* Properti solusi programming linier (1)

* Permasalahan umum programming linier

Minimize c1x1+ c2x2+…+ cnxn (1.1)

subject to a11x1 + a12x2+ …+ a1nxn b1 )

a21x1+ a22x2+ …+ a2nxn b2 )

…… ) (1.2)

am1x1+ am2x2+ …+ amnxn bm

)

xj 0 (1.3)

* Properti solusi programming linier (2)

*Definition 1A feasible solution to the linear programming problem is a vector X=(x1, x2,…,xn ) that satisfies the (1.2) and (1.3)

*Definition 2aA basic solution to the constraints (1.2) is a solution obtained by setting n-m variables equal to zero and solving for the remaining m variables, provided that the determinant of the coefficients of these m variables is nonzero. The m variables are called basic variables.

*Definition 2bA basic feasible solution is a basic solution which also satisfies (1.3); that is, all basic variables are nonnegative.

* Properti solusi programming linier (3)

*Definition 3

A nondegenerate basic feasible solution is a basic feasible solution with exactly m positive xi; that is, all basic variables are positive

*Definition 4

A minimum feasible solution is a feasible solution which also minimizes (1.1)

*Definition 5

An optimal basic feasible solution is a basic solution that satisfies conditions (1.1), (1.2) and (1.3)

* Properti solusi programming linier (4)

*Theorem 1The set of all feasible solutions to the linear-programming problem is a convex set

*Theorem 2The objective function (1.1) assumes its minimum at an extreme point of the convex set K generated by the set of feasible solutions to the problem. It if assumes its minimum at more than one extreme points, then it takes on the same value for every convex combination of those particular points

*Theorem 3

If a set of k m vectors P1, P2, …,Pk can be found that is linearly independent and such that x1P1+ x2P2+ …+ xkPk = P0 and all xi 0, then the point X=(x1, x2, …, xk, 0, …,0) is an extreme point of the convex set of feasible solutions.

* Properti solusi programming linier (5)

*Theorem 4

If X=(x1, x2, …, xn) is an extreme point of K, then the vectors associated with positive xi form a linearly independent set. From this it follows that, at most m of the xi are positive.

*Theorem 5

X=(x1, x2, …, xk) is an extreme point of K if and only if the positive xj are coefficients of linearly independent vectors Pj in j=1 xjPj = P0.

Perusahaan Cat “apik” memproduksi 2 jenis cat yaitu cat Eksterior dan cat Interior, dua bahan mentah A dan B digunakan untuk membuat cat-cat tersebut. Ketersediaan bahan A adalah 6 ton dan ketersediaan bahan B adalah 8 ton. Perbandingan bahan A dan B untuk membuat cat eksterior adalah 1 : 2 dan perbandingan bahan A dan B untuk membuat cat interior adalah 2 : 1. Bila harga jual cat eksterior Rp. 65.000/klg dan harga jual cat interior Rp. 60.000/klg, tentukan formulasi LP nya !

*PT. XYZ memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu, yang berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp. 27.000,-/lusin yang setiap lusinnya memerlukan biaya material sebesar Rp. 10.000,- serta biaya tenaga kerja sebesar Rp. 14.000,-. Kereta api yang dijual seharga Rp. 21.000,-/lusin memerlukan biaya material sebesar Rp. 9.000,- dan biaya tenaga kerja Rp. 10.000,-. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu, sedangkan setiap lusin kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Jam kerja yang tersedia per minggunya 100 jam untuk pemolesan dan 80 jam untuk pekerjaan kayu. Setiap minggunya permintaan untuk kereta api tidak terbatas, tetapi untuk boneka hanya 40 lusin yang terjual per minggunya. Bagaimanakah formulasi dari persoalan diatas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan masing-masing yang harus dibuat setiap minggu agar diperoleh keuntungan yang maksimum ?

* PT. Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untuk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah Rp. 5 jt/menit, sedangkan pada acara olahraga biayanya adalah Rp. 10 jt/menit. Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya oleh 24 juta pemirsa pria, bagaimanakah stategi promosi itu sebaiknya ?