Libro de Matematicas Para Trabajo Nivelacion de Carrera

8/18/2019 Libro de Matematicas Para Trabajo Nivelacion de Carrera

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MÓDULODE

MATEMÁTICAS

NIVELACIÓNDE CARRERA:

MERCADO


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Capítulo 1

Principio !" l#$ica%

& 'o (No )

Si * "ntonc" → Sí & #lo i ↔

O+,"ti-o $"n"ral

Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lógicos, utilizandolas leyes de la lógica y las de las inferencias, ya sea para determinar laconclusión, o para determinar la consistencia interna de un razonamiento.

Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridady generalidad en diferentes razonamientos.

O+,"ti-o "p"cí.ico

1. Conocer la historia de la lógica y su clasificación.

2. Establecer la relación entre lógica y lingüstica.

!. "prender los conectivos lógicos# disyunción, con$unción, negación,

implicación y e%uivalencia.

&. Elaborar la tabla de verdad de enunciados o e'presiones lógicas.

(. "plicar las leyes del )lgebra de proposiciones para realizar demostraciones.

*. +eterminar la conclusión de un grupo de premisas utilizando las

inferencias lógicas.

. +efinir y diferenciar conceptos tales como razonamiento, demostración y

argumento.


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/itoria & clai.icaci#n

Etimológicamente la l#$ica es la ciencia del logos. -riginalmente logossignifica palabra o discurso, por lo %ue en un principio se definió la lógica como

la rama de la gram)tica %ue se ocupaba de ciertas formas de lengua$e.

Como la palabra es la e'presión, o manifestación del pensamiento y elpensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, %ue

la lógica es la ciencia del pensamiento racional es de aclarar %ue la lógica no

se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de lospensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dem)s, Arit#t"l"0 considerado por los griegos. /Elpadre de la lógica0, creo mtodos sistem)ticos para analizar y evaluar dichosargumentos, para lo cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo

procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones

compuestas.

El gran matem)tico ott.ri"! L"i+ni2 en 1*&* fue el primero en intentar reformar la lógica cl)sica, planteando %ue la dependencia lógica entreproposiciones es demostrada, reduciendo argumentos comple$os en simples,

para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma %ue pudiera ser usado por un razonamiento mec)nico y a ste es%uema lógica simbólica3 lo

llamó una caract"rítica uni-"ral%

El proceso de la lógica continuó en el siglo 454. En 16& el matem)tico ingls

"or$" 3ool" en compa7a de Au$utu !" Mor$an hizo notar el parentescoentre las operaciones lógicas con las matem)ticas, pues a partir de losoperadores aritmticos de adición, multiplicación y sustracción crearon los

operadores lógicos e%uivalentes de unión, intersección y negación adem)sformularon los principios del razonamiento simbólico y el an)lisis lógico. "

3ool" se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar laveracidad de proposiciones compuestas.

Este traba$o fue retomado por 8ertrand 9ussell y "lfred :hitehead en 1;1< en

su obra /=rincipio >atem)tico0, %uienes codificaron la lógica simbólica en supresente forma definindola como la /Ci"ncia !" to!a la op"racion"conc"ptual" poi+l"0, por esta razón la fundación de la lógica formalmoderna se le atribuye a ellos.


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Clai.icaci#n !" la l#$ica

?a lógica se puede clasificar como#

1% L#$ica tra!icional o no .or4al%

5% L#$ica i4+#lica o .or4al%

En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del

pensamiento lógico, y los mtodos de inferencia %ue est)n relacionados con ladestreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto se

puede considerar %ue la lógica no formal resume las e'periencias humanasobtenidas del conocimiento y de la observación del mundo circundante.

?a lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual seencarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales %ue

siguen la validez de la inferencia es considerada como uno de los sistemas

mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamientosimbólico, las palabras se manipulan, seg@n las reglas establecidas, como si

fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

?as proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letrasmin@sculas del alfabeto tales como p0 60 r0 0 %%%0 70 &0 2, las cuales reciben elnombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lengua$e

proposicional se hace m)s simple y e'acto %ue el lengua$e natural.

?os siguientes e$emplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones#

p # Aoy es s)bado. 6 # Estudio ingeniera de sistemas. r # Be Dor es llamada la capital del mundo. # 1 no es un n@mero primo. 7 # & F ! G 1


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Estas e'presiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaronlas letras &0 o0 no0 i * "ntonc"0 í & #lo i, %ue sirvieron para unir oenlazar los enunciados.

Con"cti-o L#$ico

Estos trminos de enlace reciben el nombre de Con"cti-o l#$ico y al igual%ue a las proposiciones, tambin se les asignan un lengua$e simbólico, as#

LENUA8E NATURAL LENUA8E 9ORMAL

& '

o J

Bo K

Si * "ntonc" →

Sí & #lo i ↔

V"4o -ario ","4plo !" notaci#n i4+#lica !" lapropoicion":

p# ?as rosas son ro$as.6# ?as rosas tienen espinas.p ' 6# ?as rosas son ro$as y tienen espinas.

r # ?a selección Colombia ganóI.# ?a selección Colombia perdióI.r ( # ?a selección Colombia ganó o perdióI.

t # En el pas hay violencia.

) t # En el pas no hay violencia.

7 # Estudio lógica matem)tica& # Ler un destacado ingeniero de sistemas7 → & # Li estudio lógica matem)tica ser un destacado ingeniero de sistemas.

u # & es un n@mero par.

- # & es divisible por 2.

u ↔ - # & es un n@mero par si y sólo si es divisible por 2.


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En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones# atómicaso simples y moleculares o compuestas, veamos#

Propoicion" i4pl":Le denominan proposiciones simples a%uellas oraciones %ue no utilizan

conectivos lógicos.Estos son algunos e$emplos#

p # El eclipse es un fenómeno natural.

6 # ?a luna es un satlite de la tierra.

r # 2 es el inverso multiplicativo de M2.

# N! es el inverso aditivo de !.

El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero O3 o falsoP3, pero no los dos valores al mismo tiempo, pues de$ara de ser proposición.

Propoicion" Co4pu"ta?as proposiciones compuestas son a%uellas %ue se obtienen combinando dos o

m)s proposiciones simples mediante trminos de enlace.

Estos son algunos e$emplos de proposiciones compuestas#

p: Est) lloviendo.

6: El sol brilla.p ' 6: Est) lloviendo y el sol brilla.

7 # Quieres cafI.& # Quieres tI.7 ( & # %uieres caf o tI.

# ?lueve.r # Aace fro. → r # Li llueve entonces hace fro.

p# Un tri)ngulo es e%uil)tero.

6: Un tri)ngulo tiene sus tres lados iguales.

p ↔ 6# Un tri)ngulo es e%uil)tero si y sólo si tiene sus tres lados iguales.

?a veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor deverdad de cada una de las proposiciones simples %ue la conforman y de la

forma como estn combinadas para establecer este valor, se fi$an criterios %ue

se estudiar)n en las pró'imas secciones de este captulo.

Con"cti-o L#$ico


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Como ya se di$o en la sección anterior, los smbolos %ue sirven para enlazar

dos o m)s proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son# la

con$unción, la disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

La con,unci#n: ; Lean p y 6 dos proposiciones simples. ?a proposición compuesta p y 6simbolizada por /p ' 6/, se denomina la con$unción de p y 6.

E$emplos de con$unción#

E$emplo 1

?a proposición compuesta

r ' # * es n@mero par y entero positivo, est) formada por#

r # * es un n@mero par.

' # y # entero positivo.

E$emplo 2

p ' 6 # Rermino de escribir mi programa de computación y luego $ugartenis

p # Rermino de escribir mi programa de computación.' # y 6 # $ugar tenis.

=ara establecer el valor de verdad de la con$unción, surgen las siguientesposibilidades#

1. Que p y 6 sean verdaderas.2. Que p sea verdadera y 6 sea falsa.!. Que p sea falsa y 6 verdadera.&. Que p y 6 sean falsas.

" continuación se analizan estas posibilidades para el e$emplo 1, el an)lisis del

e$emplo 2 se de$a como e$ercicio.

r: Oerdadera. * es un n@mero par.# Oerdadera. * es un entero positivo. r ' # Oerdadera V3

r: Oerdadera. * es un n@mero par %: Palsa. * no es un entero positivo.

r ' # Palsa 93.

r: Palsa. * no es un n@mero par.


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: Oerdadera. * es un entero positivo%r ' #Palsa 93.

r : Palsa. * no es un n@mero par.# Palsa. * no es un entero positivo.

r ' : Palsa 93.

La !i&unci#n -

Lean p y 6 dos proposiciones simples. ?a proposición p o 6, simbolizada /p -60 se llama disyunción de p y 6.

El operador /o0 se puede usar de dos formas# como /o incluyente0 o como /oe'cluyente0. En el primer caso /o0 incluyente3 hace %ue el valor de verdad de

una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de laproposición disyuntiva mientras %ue en la segunda forma /o0 e'cluyente3 el

valor de verdad de una proposición e'cluye la veracidad de la otra proposición,

esto hace %ue la proposición disyuntiva tome el valor verdadero.

E,"4plo 1% Uo !"l o< inclu&"nt"r - # Suan estudia ingeniera o =aola estudia medicina.r # Suan estudia ingeniera.- # - # =aola estudia medicina.

E,"4plo 5. Uo !"l o< "7clu&"nt"%7 - & # Quieres helado o gaseosa.7 # Quieres helado.- # - Quieres gaseosa.

E,"4plo =# Uo !"l o< "7clu&"nt"

p - 6# "le'andra vive en 8ogot) o en 8arran%uilla.

p # "le'andra vive en 8ogot).

- # - 6 # "le'andra vive en 8arran%uilla.

La n"$aci#n:

Lea p una proposición simple. Le define la negación de p mediante laproposición compuesta no p simbolizada por# /) p0.

E,"4plo 1. p# ! es un n@mero entero primo.K p# ! no es un n@mero entero primo, tambin se puede leer.

Es falso %ue ! es un n@mero entero primo.


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E,"4plo 5. %# El automóvil de Prancisco es ro$o.K %# El automóvil de Prancisco no es ro$o ,o, es falso %ue el automóvil de

Prancisco es ro$o.

El con!icional →

Le dice %ue una proposición compuesta es condicional, si est) formada por dos

proposiciones simples enlazadas por la e'presión i*"ntonc"ip#t"i y la proposición precedida por la e'presión /entonces0, se llamacon"cu"nt" o conclui#n de la implicación. En la e'presión p → 6, elantecedente es p y el consecuente es 6.

?as proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes manerasas#

Li p entonces 6. p sólo si 6. 6 si p. p es suficiente para 6. 6 es necesaria para p.

?os siguientes e$emplos ilustran los anteriores enunciados#

Si un entero es múltiplo de 4 entonces es divisible por 2.

Apruebo el semestre sólo si estudio.

El algoritmo está bien enunciado si el programa corre.

Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.

Cuando una proposición condicional se escribe en una de las anteriores

formas, probablemente, en el lengua$e com@n habr) alguna %ue no seinterprete como se desea, pero como la lógica no permite ambigüedades, stas

se deben escribir seg@n la definición dada en la sección.

E7it"n -aria .or4a !" "nunciar propoicion" con!icional" aí:

5mplicación directa# p → 65mplicación contraria# 6 → p5mplicación recproca# ) p → )

65mplicación contrarrecproca# ) 6 → )

p

E,"4plo 1.+adas las proposiciones p# 54 es divisible por ? 6# 4 es par


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entonces#

?a proposición directa es# p → 6: Li 54 es divisible por ? entonces 4 es par,la contraria es# 6 → p# Li 4 es par entonces 54 es divisible por ?, la

recproca es# ) p → ) 6# si 2m no es divisible por &, entonces m no es par yla contrarrecproca es# ) 6 →) p # Li 4 no es par, entonces 54 no es divisiblepor ?.

E,"4plo 5%

Reniendo en cuenta la proposición directa# ) p → 6 construir las otrasformas de la implicación#

Contraria# % → K p9ecproca# K K p3 → K % p→ K %Contrarrecproca# K % → K K p3

E,"4plo =%K %→p.

=roposición directa# K p → KContraria# K % → K9ecproca# K K p3 → K K

%3

p→ %Contrarrecproca# K K %3 → K K

p3

%→ pEl +icon!icional ↔

Le denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones

simples conectadas por la e'presión í & #lo í


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si 6 entonces 6 y recprocamente. p es una condición necesaria y suficiente para 6. 6 es una condición necesaria y suficiente para p.

E,"4plo 1.+adas las proposiciones#

p# Un tri)ngulo es rect)ngulo. 6# Un tri)ngulo tiene un )ngulo recto.

El +icon!icional p ↔ 6 " pu"!" tra!ucir !" la i$ui"nt" .or4a:

Un tri)ngulo es rect)ngulo s y sólo s tiene un )ngulo recto.

Un tri)ngulo tiene un )ngulo recto s y sólo s es un tri)ngulo rect)ngulo

Li un tri)ngulo es rect)ngulo entonces tiene un )ngulo recto y si un

tri)ngulo tiene un )ngulo recto entonces es un tri)ngulo rect)ngulo.

Una condición necesaria y suficiente para %ue un tri)ngulo searect)ngulo es %ue tenga un )ngulo recto.

Una condición necesaria y suficiente para %ue un tri)ngulo tenga un

)ngulo recto es %ue sea un tri)ngulo rect)ngulo. Un tri)ngulo rect)ngulo es e%uivalente a un tri)ngulo con un )ngulo

recto.

Ta+la !" -"r!a!

D".inici#n

Una tabla de verdad es una representación es%uem)tica de las relaciones entre

proposiciones sirve para determinar los valores de verdad de proposicionescompuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores

de verdad de sus proposiciones simples.

En la elaboración de una tabla de verdad los trminos de enlace tales como la

negación / ) /3, la disyunción / ( /3 y la con$unción / ' /3 se consideranconectivos fundamentales por tal razón, sus valores de verdad constituyen

base para establecer ba$o %u condiciones una proposición compuesta es

verdadera o falsa.

p 6 ) p p ' 6 p ( 6 p → 6 p ↔ 6O O 9 V V V VO P 9 9 V 9 9P O V 9 V V 9P P V 9 9 V V

=ara simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema

binario, mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y @ al valor falso. ?asiguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lógicos#

p 6 ) p p ' 6 p ( 6 p → 6 p ↔ 6


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1 1 @ 1 1 1 11 < @ @ 1 @ @< 1 1 @ 1 1 @< < 1 @ @ 1 1

Contrucci#n !" ta+la !" -"r!a!=ara determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesarioelaborar la correspondiente tabla de verdad para tal fin y mediante el siguiente

e$emplo se enuncian los pasos a seguir#

E,"4plo 1.Contruir la ta+la !" -"r!a! para la propoici#n ) p '6B%

Pao 1%

Le hace un recorrido de iz%uierda a derecha teniendo en cuenta los parntesis.

Pao 5%Le identifica el conectivo %ue aparece dentro del parntesis, en este e$emplo la

con$unción.

Pao =%Le precisa el trmino de enlace %ue precede al parntesis, en el e$emplo la

negación.

Pao ?%Le elabora la tabla con el n@mero de columnas determinado por#

=roposiciones %ue intervienen

Conectivos utilizados dentro del

parntesis

Conectivo utilizado fuera del

parntesis.

?a siguiente tabla ilustra el paso

p 6 p ' 6 ) p ' 6 B

Pao %Le fi$an los valores de verdad en las columnas de las proposiciones p y 6. seilustra en la siguiente tabla

p 6 p ' 6 ) p ' 6 B1 1

1 <

< 1

< <

Pao %


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Le completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposición simple. ?a finalización de la elaboración de la

tabla de verdad es#

p 6 p ' 6 ) p ' 6 B p 6 p ' 6 ) p ' 6 BO O O 9 1 1 1 @O P P V 1 < < 1P O P V < 1 < 1P P P V < < < 1

E,"4plo 5%

Elaborar la tabla de verdad de la proposición# p ( 6B ' p ' 6B%

"l realizar el recorrido de iz%uierda a derecha se observa %ue la proposición

est) conformada por dos parntesis conectados por la disyunción y dentro decada parntesis se identifican la disyunción y la con$unción respectivamente

despus de ste an)lisis se elabora la tabla.

p 6 p ( 6 p ' 6 p ( 6B ' p ' 6B1 1 1 1 11 < 1 < @< 1 1 < @< < < < @

E,"4plo =

Elaborar la tabla de verdad para la doble negación, es decir, ) ) pBp ) p ) ) pB p ) p ) ) pBO P V 1 < 1P O 9 < 1 @

Este resultado permite concluir %ue la doble negación de una proposición es la

misma proposición.

Ta+la !" -"r!a! para lo con"cti-o l#$ico

La con,unci#n

Rabla Bo. 1 ?a con$unción.

p 6 p ' 6O O VO P 9P O 9P P 9


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+e la anterior tabla de verdad podemos concluir %ue la con$unción es verdadera@nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en

cual%uier otro caso la proposición es falsa.

La !i&unci#n

Rabla Bo.2 ?a disyunción.

La n"$aci#n

Rabla Bo.! ?a negación.

El con!icional

Rabla Bo.& El condicional.

El +icon!icional

Rabla Bo.( El 8icondicional.

I4plicaci#n !ir"cta0 contraria0r"cíproca & contrar"cíproca

Rabla de verdad para las cuatro formas de la implicación,

p 6)p

)6

p → 6Dir"cta

6 → pContraria

) p → ) 6R"cíproc

a

) 6 → ) pContrarr"cíporca

1 1 < < 1 1 1 1

1 < < 1 < 1 1 <

< 1 1 < 1 < < 1

< < 1 1 1 1 1 1

Rabla Bo. *. Pormas de la implicación.

Esta tabla permite analizar %ue los valores de verdad correspondientes a las

columnas de la directa y la contrarecpoca coinciden, al igual %ue los de las

p 6 p - 6O O VO P VP O VP P 9

p ) pO 9P V

p 6 p → 6O O VO P 9P O VP P V

p 6 p ↔ 6O O VO P 9P O 9P P V


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columnas de la contraria y de la recproca, por lo tanto estas implicaciones sone%uivalentes, es decir#

1. p → 6 B ↔ ) 6 → ) p B

2. 6 → p B ↔ ) p → ) 6 B

Le propone al estudiante construir la tabla de verdad para las anteriorese%uivalencias.

L"&" !" la l#$ica

Tautolo$ía

Entre las proposiciones compuestas e'isten unas muy importantes por ser siempre verdaderas, independientemente del valor de verdad de las

proposiciones %ue la conforman, este tipo de proposiciones reciben el nombrede tautologas, es decir, una tautologa es una proposición %ue es verdadera en

todos los casos.

E,"4plo 1%

+emostrar %ue la proposición p ( 6 B → ) 6 → p B es verdadera#

=ara verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de

verdad y comprobar %ue en la @ltima columna solamente aparecen valoresverdaderos.

p 6 p ( 6 ) 6 ) 6 → p p ( 6 B → ) 6 → pB

1 1 1 < 1 1

1 < 1 1 1 1

< 1 1 < 1 1

< < < 1 < 1

Rabla Bo. . E$emplo 1.

Una proposición compuesta, %ue es falsa en todos los casosindependientemente de los valores de verdad de las proposiciones %ue la

conforman se llama Contra!icci#n%

E,"4plo 5%HEs p ' ) 6 B ' 6 una tautologaI

=ara responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla de verdad, as#

p 6 ) 6 p ' ) 6 p ' ) 6B ' 6

O O P P 9O P O O 9


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P O P P 9P P O P 9

=or lo tanto esta proposición no es una tautologa, " una contra!icci#n%

+os proposiciones compuestas se consideran lógicamente e%uivalentes sitienen los mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla

de verdad.

E,"4plo =

Establecer si las proposiciones p → 6 B & ) p ( 6 B son lógicamentee%uivalentes. =ara esto hay %ue probar %ue p → 6B ↔ ) p ( 6B, la tabla deverdad es#

p 6 p → 6 ) p ) p (6 p → 6 B ↔ ) p ( 6B

1 1 1 < 1 11 < < < < 1< 1 1 1 1 1< < 1 1 1 1

Como la @ltima columna es toda verdadera tautologa3, se puede concluir %ue

las proposiciones son lógicamente e%uivalentes.

L"&" !"l l$"+ra !" propoicion"?as siguientes son las leyes de la lógica.

1% I!"4pot"ncia: p J p ↔ p p Tp ↔p =% Aociati-a:

p J %3 J r ↔p J % J r 3p T%3 T r ↔p T% T r3

?% Con4utati-a: p J % ↔ % J p p T% ↔% T p

% Ditri+uti-a: p J % T r3 ↔ p J

%3 T p J r3 p T % J r3 ↔ p T %3 J

p T r3

% I!"nti!a!:


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p J < ↔ p , pJ 1 ↔ 1 p T <↔< , p T 1 ↔ p.

F% Co4pl"4"nto:

p J K p ↔ 1, p T K p ↔ <K K p3 ↔ p, K 1 ↔


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p ↔ p J p3 T 1Complemento p ↔ p J

p3 5dentidad.

Le sugiere hacer las demostraciones partiendo del primer miembro.

E,"4plo 5.

+emostrar %ue# p ( 6B ' ) p ( 6B ↔ 6

% J p3 T % J K p3 ↔ %Conmutativa % J p T

K p 3 +istributiva

% J < Complemento

% 5dentidad

E,"4plo =%

+emostrar %ue# p ' 6B ( ) p ' rB ( 6 ' rB J ↔ p ' 6B () p ' rBJ

p T %3 J K p T r3 J % T r3 V ↔ p T %3 J K p T r3 J % T r3 V J < 5dentidad↔ p T %3 J K p T r3 J % T r3V J % T r3 T K % T r3 Complemento↔ p T %3 J K p T r3 J % T r3 T K % T r3 "sociativa

↔ p T %3 J K p T r3 J < Complemento

↔ p T %3 J K p T r3

E,"4plo ?%

+emostrar# p ( ) 6B ' 6 ( rB ' 6 ( ) rB ↔ p ' 6B

p J K %3 T % J r T K r3V +istributiva

p J K %3 T % J


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K p T K % T r3 J p T % T r3V ↔ K p T r3 T 1V ComplementoK p T K % T r3 J p T % T r3V ↔ K p T r3 5dentidadK p T K % T r3 J p T % T r3V ↔ K p J K r3 +W >organ

Capítulo 2:


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A B

C

U

T"oría !" con,unto

Objetivo general

Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teora de

con$untos, b)sicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y su

relación con el lengua$e natural, a la vez %ue son aplicados en la solución deproblemas.

Objetivos específcos

1. 5dentificar las relaciones entre con$untos.

2. +istinguir las diferentes clases de con$untos.

!. 9epresentar gr)ficamente los con$untos.

&. 9ealizar las diferentes operaciones entre con$untos.

(. 9esolver problemas con con$untos.

D".inici#n & $"n"rali!a!"

?as nociones de con$unto y de elemento son ideas primitivas %ue se presentan

en forma intuitiva. ?os con$untos est)n relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas %ue involucran el concepto de

cantidad.

Le puede afirmar %ue un con$unto es una colección de ob$etos, smbolos o

entidades bien definidas, %ue reciben el nombre de miembros o elementos delcon$unto.


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A

xA

x

R"pr""ntaci#n $r.ica

Una forma sencilla de visualizar los con$untos y las relaciones entre ellos, esmediante la utilización de es%uemas gr)ficos llamados círculo !" Eul"r o!ia$ra4a !" V"nn% Estos es%uemas est)n compuestos por una región

cerrada del plano generalmente un rect)ngulo3, la cual representa el con$untouniversal, y por uno o varios crculos %ue representan los con$untos a graficar.

Xeneralmente, los con$untos se identifican con letras may@sculas y suselementos con min@sculas.

=ara indicar %ue un elemento es un miembro

de un con$unto, se utiliza el smbolo ∈<" l"" p"rt"n"c" a3 y

para indicar %ue no est) en el con$unto se

utiliza el smbolo

∉< " l"" no p"rt"n"c" aB%

Esta es la representación gr)fica correspondiente#

x ∈ A x ∉ A

U U

Pigura Bo. 1

9or4a para !"t"r4inar un con,unto:

8)sicamente e'isten dos formas para determinar un con$unto, stas son#

1% Por "7t"ni#n:Un con$unto est) determinado por e'tensión cuando se describe el con$unto

nombrando cada uno de sus elementos. =or e$emplo#


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A G Y2, &, *, 6Z3 G Yientras %ue otros, como por e$emplo#

C K 7 7 " -ocalQ ó D K 7 7 " !í$ito parQ

Que est)n formados por cierto n@mero de elementos distintos, reciben el

nombre de con$untos 9INITOS.

HRodos los con$untos %ue se nombran por comprensión, se pueden escribir por e'tensiónI

El an)lisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar m)s e$emplos %ue $ustifi%uen la respuesta para %ue sean analizados con el

tutor y luego socializados en los e%uipos de traba$o.


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Con,unto "p"cial"

Con,unto -acío

Un con$unto %ue carece de elementos se denomina con$unto vaco y se

simboliza as#

Pigura Bo. 2.Baturalmente el con$unto ∅ forma parte de cual%uier con$unto A, por lo cualse puede afirmar %ue#

∅ ⊂ A

HEl con$unto vaco3 es un subcon$unto de todo con$untoI

E,"4plo 1%Si D K 7 ∈ N 7 ≠ 7 B0 obviamente D es un con$unto %ue carece deelementos, puesto %ue no e'iste ning@n n@mero natural %ue sea diferente a s

mismo.

Con,unto unitario:

Le denomina con$unto unitario al con$unto formado por un sólo elemento.

Pigura Bo. !

E,"4plo:E G Y' \ ' es un primo parZ

El @nico n@mero %ue cumple las dos condiciones ser primo y a la vez par3 es

el n@mero 5, por lo tanto E K 5Q se llama unitario.

Con,unto uni-"ral


24/40

UA

ae

io

u

Cuando se habla o se piensa en los con$untos, es conveniente establecer lanaturaleza de sus elementos, por e$emplo#

?os elementos del con$unto A K a0 "0 iQ pertenecen al con$unto de lasvocales, V K a0 "0 i0 o0 uQ, es decir, A ⊂ V, este con$unto V constituye el

universo del con$unto A, por esta razón se dice %ue V es un con$untoUniversal.

U = Conjunto Universal

A K a0"0iQ

U K V K a0"0i0o0uQ

Pigura Bo. &

Limilarmente, si A K 7 ∈ N 7 " pri4oQ sus elementos son elementos delcon$unto de los n@meros naturales /N0, A ⊂ N y en este caso, N se constituyeen el con$unto universal.

Xeneralmente, el con$unto universal se simboliza con la letra U.

Con,unto !" part" o con,unto !" con,unto

Li " es un con$unto, el con$unto de partes de A, escrito como PA3 est)formado por todos los subcon$untos %ue se pueden formar del con$unto A.

E,"4plo 1%

Li A K 10 =0 Q, entonces el con$unto de partes de A esta formado por lossiguientes subcon$untos#

P AB K 1Q0 =Q0 Q0 10=Q0 10Q0 =0 Q0 10 =0 Q0∅Q%

∅ ∈ PAB & 5n u+con,unto

Not" 6u":Como ya habamos analizado, el con$unto vaco est) en todo con$unto y este

caso no es la e'cepción, por esta razón ∅ ∈ PAB% "dem)s, cave anotar %uelos elementos del con$unto A son a su vez con$untos, por lo %ue se dice %ue elcon$unto PAB constituye una .a4ilia !" con,unto%


25/40

B

A

U

A ⊂ Bx ∈ A

x ∈ B

x

Figura No. 5

El n@mero de elementos del con$unto PAB depende del n@mero de elementosde " en el e$emplo, A tiene ! elementos y PAB tiene G K 5= elementos, engeneral, /Li A tiene nelementos se pueden formar 5n subcon$untos delcon$unto A


26/40

CU A ⊂ B

B ⊂ C

______A ⊂ Cx ∈ A

A xB

$% A ⊂ B & B ⊂ C' enton!es' A ⊂ C

Pigura Bo. *

"a demostración es la siguiente#

L 7 ∈ A entonces 7 ∈ 3 por%ue A ⊂ 3, pero 7 tambin est) en n por%ue3 ⊂ C por lo tanto si 7∈A, entonces 7 ∈ C y esto se cumple para todo

elemento 7 %ue est) en A, debido a %ue el con$unto " est) contenido en elcon$unto 3 y 3 a su vez, est) contenido en C por consiguiente %uedademostrado %ue A ⊂ C.

Li A, 3 y C son tres con$untos no vacos %ue verifican las condiciones A ⊂3 y 3 ⊂ C, H%u se puede concluir de " con respecto a CI

1%5%5 I$ual!a! "ntr" con,unto

El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos

elementos$ es decir$ si todos los elementos de A pertenecen a B % si todos los

elementos de B pertenecen al conjunto A. ?a igualdad entre con$untos se

simboliza de la siguiente forma#

" G 8 i A ⊂ 3 & 3 ⊂ A

A ⊂ BB ⊂ A B = A

Pigura Bo. .

Li M K 10 10 @05Q y N K 50 10@0 1Q,

claramente se observa %ue M ⊂ N y %ue N ⊂ M, por lo tanto M K N.

E,"4plo 5%


27/40

BU B ⊂ A

A ) B______

A≠ B

6

A

!" #

$%

&

'

Li A K 7 7 " !í$itoQ y 3 K 7 7 " !í$ito parQ0 se puede observar %ue 3⊂ A pero A ) 3, por lo tanto el con$unto A no es igual al con$unto 3, lo cualse escribe, A ≠ 3.

Pigura Bo. 6

Con,unto Co4pl"ta4"nt" Di."r"nt" o Di&unto:Es importante destacar %ue cuando dos con$untos son completamente

diferentes no tienen ning@n elemento en com@n3 reciben el nombre de

con$untos disyuntos.

Pigura Bo. ;.

E,"4plo =%?os con$untos A K 7 7 " !í$ito parQ y 3 K 7 7 " !í$ito i4parQ no tienenning@n elemento en com@n, es decir A y 3 son disyuntos.

1%5%= Su+con,unto propioRodo con$unto es subcon$unto de s mismo, es decir, " ⊂ " con " un con$unto

cual%uiera3, si ese subcon$unto se llama 8, entonces se puede afirmar %ue 8es un subcon$unto propio de ", este hecho se simboliza as#

B ( A (se lee B est !onteni"o o es igual al!onjunto A#

E,"4plo 1% "l considerar los con$untos A K 7 7 " -ocalQ & 3 K a0 "0 i0 o0 uQ0 se puedeafirmar %ue A K 3, en particular se observa %ue A * 3 & 3 * A0 lo cualpermite afirmar %ue " es subcon$unto propio de A, y 3 es subcon$unto propio

de A.


28/40

A BU U

E,"4plo 5%?os con$untos A K 10 50 =Q0 3 K 10 =Q0 C K @0 5Q y D K 1Q son todossubcon$untos del con$unto M K @0 10 50 =Q0 pero ninguno es un subcon$untopropio de M, ya %ue con ninguno se puede establecer alguna de lasrelaciones siguientes#

A * M0 3 * M0 C * M0 D * M

Op"racion" "ntr" con,unto

"s como las operaciones suma, resta, multiplicación y división est)n definidas

sobre los n@meros reales, tambin e'isten operaciones definidas entre los

con$untos como la unión, intersección, complemento, diferencia, diferenciasimtrica y producto cartesiano stas se estudiar)n en las siguientes

secciones.

1.Uni#n

Li A y 3 son dos con$untos no vacos, se define la unión entre A y 3 como elcon$unto de todos los elementos %ue pertenecen al con$unto A o al con$unto 3.

Limbólicamente la unión se define as#

A + 3 K 7 7 ∈ A0,0 7 ∈ 3Q0 donde el smbolo,< se lee o


29/40

A BU

#

'

U -/ 01'2'3'4'5''6'7'A - 1'2'3'4'5'/B - 61''5

A + B )*$++"+!+%+6+&,

"

!$ %&6

AU

#

'

"

!$

B

%&6

A - B

Pigura Bo. 1


30/40

UA B U - 01'2'3'4'5''6'7'/

A - 01'2'3'5'6'/B - 71'4''2

A + B )*$++"+!+%+6+&+#+',

"&%$

#

!

6'

A BU

#

'

U - 01'2'3'4'5''6'7'/A - 41'2'3'/B - 61''5

A 8 B ) * ," !$ %

&6

Pigura Bo. 1!

?a figura Bo.! permite apreciar %ue el @nico dgito %ue es a la vez par y primo

es el n@mero 2 esto conlleva a la formulación de la siguiente operación entrecon$untos#

2. Int"r"cci#n

Le define la intersección entre dos con$untos A y 3 como el con$unto formadopor todos los elementos %ue pertenecen simult)neamente al con$unto A y alcon$unto 3.

Limbólicamente la intersección se e'presa as#

A . B - x 9 x ∈ A' / 'x ∈ B1

el smbolo /80 se lee intersección y el smbolo /:0 se lee &.

Cao 1% u" lo con,unto no t"n$an nin$n "l"4"nto "n co4n%con,unto !i&untoB%

a parte subrayada representa la unión entre los con$untos A y 3.

Pigura Bo. 1&.

Le puede observar %ue cuando dos con$untos son diferentes, su intersecciónes vaca y los con$untos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado

Cao 5% u" lo con,unto t"n$an #lo uno "l"4"nto

"n co4n%


31/40

U -/ 01'2'3'4'5''6'7'A - 1'2'3'4'5'/B - 61''5

A 8 B ) *%+6 ,

A BU

#

'

"

!$&

%

6

AU

#

'

"

!$

B

%

&6

Pigura Bo. 1(

Cao =% u" un con,unto "t" cont"ni!o "n "l otro%?a parte sombreada indica la operación#

U =

Y1,2,!,&,(,*,,6,;Z

" = Y1,2,!,&,(,*,Z

8 = Y(,*,Z

A . B - 5''6 1 -B

Pigura Bo. 1*

Esto permite afirmar %ue si A ⊂ 3, entonces. A 8 3 K A an)logamente sepuede inferir %ue si 3 ⊂ A, entonces, A 8 3 K 3%

" continuación se realiza la demostración analtica para el caso ! de la .i$ura

No% 1, la otra situación si 3 ⊂ A0 entonces, A 8 3 K 3, se de$a comoe$ercicio complementario se encuentra al final del captulo3, estademostración es muy similar a la %ue se har) a continuación, sin embargo la

puede consultar en el libro, Reora de con$untos de Leymour ?ipschutz.

Li A ⊂ 3, por definición de contenencia entre con$untos se puede afirmar %uetodo elemento 7 ∈ A, entonces 7 ∈ 3 por definición de intersección, stoselementos 7 forman el con$unto A 8 3 y como todos estos son elementos deA, se puede concluir %ue A 8 3 K A.

E,"4plo 1%+ados los con$untos#


32/40

U -; -N -

0 8 1 )

0 8 2 )

0 8 1 8 2-

0 1U

2

M G Y' ∈ B \ ' esm@ltiplo de 2Z

N G Y' ∈ B \ ' esm@ltiplo de !Z P GY' ∈ B \ ' es

imparZ

Le pueden analizar las siguientes intersecciones#

1. M 8 N G Y*, 12, 16, 2&, !*,[Z, escrito por comprensión es# M 8 N G Y' ∈ B \ ' es m@ltiplo de *Z.

2. M 8 P K ∅, no e'iste ning@n n@mero natural %ue sea m@ltiplo de 5 y ala vez impar.

!. ∅ 8 M K∅, El con$unto vaco est) contenido en cual%uier con$unto, enparticular en M, esto es ∅ ⊂ M, luego se puede concluir %ue ∅ 8 M K

∅%&. =ara hallar la intersección M 8 N 8 P, se puede encontrar la

intersección de M con N y luego con el con$unto =, es decir, hay %ueencontrar los elementos %ue est)n en los tres con$untos# M0 N & P%

En este caso M 8 N K 7 ∈ N 7 " 4ltiplo !" Q y ste intersecado con elcon$unto P est) formado por los m@ltiplos de * %ue son impares, es decir, M 8N 8 P K 7 ∈ N 7 " i4par & 4ltiplo !" Q, por e'tensión el con$unto es#

M 8 N 8 P K ∅0 pues no e'iste ning@n n@mero natural %ue sea a la vez impar

y m@ltiplo de .E,"rcicio propu"to:9epresenta el e$emplo anterior mediante diagramas de Oenn

Pigura Bo. 1

=% Di."r"nciaLeg@n los tres casos estudiados, se puede afirmar %ue al comparar doscon$untos no vacos, puede suceder %ue#

1. Bo tengan ning@n elemento en com@n, con$untos totalmentediferentes3.


33/40

A B#

'

"

!$ %

&6

2. Lólo algunos elementos sean comunes, con$untos parcialmentediferentes o parcialmente iguales3

!. Un con$unto este contenido en el otro.

&. Rengan e'actamente los mismos elementos, con$untos iguales3

En los numerales 1, 2 y !, se puede formar un con$unto con los elementos%ue le faltan a un con$unto para ser igual a otro, este con$unto as formado,

se denomina diferencia entre con$untos. Li A y 3 son dos con$untos no

vacos, entonces se define la diferencia entre A y 3 as#

A 3 K 7 7 ∈ A0 :0 7 ∉ 3Q

Esto se lee# A menos 3, es el con$unto formado por los elementos %ue est)nen el con$unto " pero no en el 3.

En la siguientes gr)ficas, la parte sombreada representa la diferencia entre los

con$untos A y 3.

Cao 1% u" lo con,unto no t"n$an nin$n "l"4"nto "n co4n%con,unto !i&untoB%

U =

Y1,2,!,&,(,*,,6,;Z

" = Y1,2,!,&Z

8 = Y(,*,Z

A < B - A - /'2'3'41 B < A - B - 5''61

Pigura Bo. 16.

Le puede observar %ue cuando dos con$untos son diferentes, su diferencia es

vaca y los con$untos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado

Cao 5% u" lo con,unto t"n$an #lo uno "l"4"nto"n co4n%


34/40

U - 01'2'3'4'5''6'7'/A - 1'2'3'4'5'/B -5 61''

A 3 B ) *$++"+!,

A BU

#

'

"

!$&

%6

AU

#

'

"!$

B

%&6

Pigura Bo. 1;

Cao =% u" un con,unto "t" cont"ni!o "n "l otro%?a parte sombreada indica la operación.

U =

Y1,2,!,&,(,*,,6,;Z

A = Y1,2,!,&,(,*,Z B = Y(,*,Z

A < B - /'2'3'41

8 N " G Y ZPigura Bo. 2<

En la figura 2


35/40

AU

6%

!$

B

&"

#' 4

A B#

'

" !$ %

&6

A K @0 10 50 =0 ?0 0 0 F0 G0 Q y 3 K @0 50 =0 FQ0 entonces#A 3 K 10 ?0 0 0 G0 Q y 3 A K ∅0

U =

Y


36/40

A BU

#

'

"

!$&

%6

AU

#

'

"

!$

B

%

&6

" = Y1,2,!,&Z

8 = Y(,*,Z

A 5 B - /'2'3'4'5''61 B 5 A - /'2'3'4'5''61

Pigura Bo. 22.

Le puede observar %ue cuando dos con$untos son diferentes, su diferencia

simtrica es vaca y los con$untos se llaman disyuntos.

Cao 5% u" lo con,unto t"n$an #lo uno "l"4"nto"nco4n%

U =

Y1,2,!,&,(,*,,6,;Z

" = Y1,2,!,&,(,*Z

8 = Y(,*,Z

A 5 B - /'2'3'4'61 B 5 A - /'2'3'4'61Pigura Bo. 2!Cao =% u" un con,unto "t" cont"ni!o "n "l otro%?a parte sombreada indica la operación.

U =

Y1,2,!,&,(,*,,6,;Z

A = Y1,2,!,&,(,*,Z B = Y(,*,Z

A 5 B - /'2'3'41 B 5 A - /'2'3'41 Pigura Bo. 2&

E,"4plo 1%Li A K 7 7 " una l"tra !" la pala+ra INENIERIAQ & 3 K 7 7 " una

l"tra !" la pala+ra SISTEMASQ, entonces A = 3 K N0 0 R0 M0 S0 TQ%


37/40

U )

A )B )A 8 B )A = B )A + B )

A BU

U )A )B )A 8 B )A = B )A + B )

A BU

E,"rcicio propu"to:9epresenta el e$emplo anterior mediante diagramas de Oenn

Pigura Bo. 2(

E,"4plo 5%+ados los con$untos M K 10 50 =0 ?Q y N K ?0 Q0 la diferencia simtrica entreM y N es# M = N K 10 50 =0 Q0 claramente se puede observar %ue el n@mero &,no pertenece a la diferencia simtrica por%ue forma parte de la intersección

entre M y N.

E,"rcicio propu"to:9epresenta el e$emplo anterior mediante diagramas de Oenn

Pigura Bo. 2*

(. Co4pl"4"nto

Li A es un con$unto no vaco, el complemento de A, simbolizado por AH, est)formado por todos los elementos %ue no pertenecen al con$unto A, es decir,

A> - A! - A? - @A - A - A - x 9 x ∉ A1

En la siguientes gr)ficas, la parte sombreada representa el complemento del

con$unto ".


38/40

#

'

U - 01'2'3'4'5''6'7'/

A - 41'2'3'/B - 61''5

A7 ) *%+6+&+#+',

" !$ %

&6

A B

U - 01'2'3'4'5''6'7'/A - '2'3'4'5'1/B - 61''5

A7 ) *&+#+',

U

#

'

&

A B

!$

"

6%

U - 01'2'3'4'5''6'7'/A - 61'2'3'4'5''/B - 61''5

A7 ) *#+',Figura No. 20

AU

#

'

" !

$

B

% &6

A

Cao 1% u" lo con,unto no t"n$an nin$n "l"4"nto "n co4n%Con,unto !i&untoB%

Pigura Bo. 2.

Cao 5% u" lo con,unto t"n$an #lo uno "l"4"nto"n co4n%

Pigura Bo. 26

Cao =% u" un con,unto "t" cont"ni!o "n "l otro%?a parte sombreada indica la operación.

E,"4plo 1% "l considerar el con$unto universal como el con$unto de los estudiantes de5ngeniera de sistemas de la UB"+ y A como el con$unto de los estudiantes%ue est)n en el primer semestre, el complemento del con$unto A AH3 ser) elcon$unto formado por todos los estudiantes de ingeniera de sistemas de laUB"+ %ue no cursan primer semestre, esto es#

U G Y' ∈ UB"+ \ ' estudia ingeniera de sistemasZ.A G Y' ∈ 5ngeniera de sistemas \ ' ∈ =rimer semestreZ.AH G Y' ∈ 5ngeniera de sistemas \ ' ∉ =rimer semestreZ.

1%?% Pro!ucto Cart"iano

Par or!"na!o o par",a or!"na!a:


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?a e'presión 7 0 & B representa una pare$a ordenada , %ue cumple lacondición de %ue su primera componente, /703 pertenece al con$unto A y lasegunda componente /&03 pertenece al con$unto 3.

Plano cart"iano:

?os pares ordenados 70&B0 X70&B0 70X&B0 X70X&B se representan en el planocartesiano como sigue#

Pro!ucto Cart"iano:Li A y 3 son dos con$untos no vacos, se define el producto cartesiano entre Ay 3 as#

A Y 3 K 7 0 & B 7 Z A 0 ' 0 & Z 3 Q%E$emplo 1.

Li " G Y1, 2,!Z y 8 G YN1,


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Libro de Matematicas Para Trabajo Nivelacion de Carrera

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