LecNote 1 (Intro)

36
FINITE ELEMENT METHOD (Metode Elemen Hingga) Lecture Notes Civil Engineering Department Sebelas Maret University by Agus Supriyadi

description

Metode Elemen Hingga

Transcript of LecNote 1 (Intro)

Page 1: LecNote 1 (Intro)

FINITE ELEMENT METHOD(Metode Elemen Hingga)

Lecture Notes

Civil Engineering DepartmentSebelas Maret Universityby Agus Supriyadi

Page 2: LecNote 1 (Intro)

What…?How… ?Why…?

Page 3: LecNote 1 (Intro)

Deskripsi Matakuliah (Descriptions)

Nama matakuliah Metode Elemen HinggaFinite Element Methods

Semester & Kredit Point VII – 3 SKS - Pilihan Wajib

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami konsep dasar Metode Elemen Hingga sebagai cara analisis untuk mengetahui respons struktur (perpindahan, tegangan, gaya-dalam) pada berbagai jenis struktur akibat pengaruh gaya-luar.

Page 4: LecNote 1 (Intro)

Deskripsi Matakuliah (lanjutan)

Metode Pembelajaran

ceramah, diskusi, tugas terstruktur, presentasi kelompok

Referensi Logan D.L., “A First Course in The Finite Element Method”,Yang,

T.Y., “Finite Element Structural Analysis”,

Weaver, “Finite Element for Structural Analysis”

CSI, “SAP2000 Analysis Reference Manual”

Cara Evaluasi / Penilaian

Penilaian tugas / diskusi / presentasiPenilaian UTSPenilaian UASSyarat presensi ≥ 75%

Page 5: LecNote 1 (Intro)

Pokok Bahasan1. Pendahuluan : konsep dasar, filosofi penyelesaian

masalah, tipe elemen-hingga, tahapan umum analisis, aplikasi.

2. Konsep penurunan matriks kekakuan elemen.3. Aplikasi pada struktur dengan berbagai variasi tipe elemen

satu-dimensi (line element).4. Elemen dua-dimensi (2-dimensional element) :

Plane stress, Plane strain Constant strain triangle (CST) Isoparametric element, Natural coordinate Rectangular element Axisymmetric element

5. Elemen tiga-dimensi (3-dimensional element), solid element, brick element

6. Pengantar aplikasi non struktural : heat transfer, thermal stress.

Page 6: LecNote 1 (Intro)

Pendahuluan (Introduction)

Suatu benda (kontinum) dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil dan sederhana (disebut elemen hingga)

Masalah (pada kontinum) dengan jumlah degrees of freedom (d.o.f) tak berhingga, diubah menjadi masalah dengan d.o.f. tertentu (berhingga) sehingga penyelesaian menjadi lebih sederhana

FEM merupakan metode numerik berorientasi komputer, bersifat pendekatan (tidak eksak)

Pendekatan didasarkan asumsi perpindahan, atau tegangan, atau kombinasi keduanya

Digunakan untuk menyelesaikan berbagai problem engineering (penekanan pada analisis struktur).

What is Finite Element Method (FEM) …?

Page 7: LecNote 1 (Intro)

Pendahuluan (Introduction)

Problem engineering yang dapat diselesaikan dengan FEM antara lain :

Structural problem : menghitung defleksi, gaya-dalam, tegangan-dalam, reaksi, vibrasi, tekuk

Non structural problem : rambatan panas, aliran fluida, transportasi massa, potensial elektromagnit,

Page 8: LecNote 1 (Intro)

Prinsip Finite Element Analysis Benda (kontinum) dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen

yang lebih kecil dan sederhana geometrinya (garis, segitiga, segiempat, kubus, dsb) elemen-hingga

Perilaku masing-masing elemen-hingga dirumuskan dengan persamaan yang lebih sederhana (element equations)

Antara elemen satu dengan lainnya, dihubungkan (dibatasi) oleh titik-simpul (nodal point / node), dan / atau garis batas, dan/atau permukaan.

Proses pemodelan seperti ini disebut discretization (diskritisasi).

Page 9: LecNote 1 (Intro)

Prinsip Finite Element Analysis

Elemen-elemen digabungkan kembali menjadi satu kesatuan struktur. Demikian pula element equations digabungkan menjadi 1 set persamaan simultan pada tataran sumbu struktur (global equations).

Solusi persamaan simultan menghasilkan 1 set nilai perpindahan pada tataran sumbu struktur.

Perpindahan struktur ditransformasikan menjadi perpindahan individual element, sehingga gaya-dalam elemen dapat dihitung.

Page 10: LecNote 1 (Intro)

Setiap node mempunyai sejumlah komponen perpindahan atau degrees of freedom (d.o.f.). Node merupakan titik bermateri pada suatu struktur, yang dapat mewakili besaran-besaran pada struktur (misalnya perpindahan).

Pada prinsipnya, suatu struktur merupakan sistem kontinum yang mempunyai jumlah d.o.f. tak terhingga. Perpindahan pada sistem struktur bersifat kontinyu.

Banyaknya d.o.f. atau banyaknya elemen yang dimodelkan dalam suatu sistem struktur akan mempengaruhi tingkat kontinyuitas dan ketelitian hasil analisis.

Prinsip Finite Element Analysis

Page 11: LecNote 1 (Intro)

Sifat khas : elemen dapat “diisolir” (dipandang sbg. bagian yang bebas dan seimbang), tidak tergantung pada elemen lain, sehingga dimungkinkan untuk menggabungkan berbagai tipe elemen yang berbeda, asalkan d.o.f. titik-nodal batasnya cocok

Formulasi Finite Element Analysis disajikan dalam bentuk matriks. Pendekatan yang lazim digunakan adalah Metode Kekakuan (Stiffness Matrix)

Prinsip Finite Element Analysis

Page 12: LecNote 1 (Intro)

How is Finite Element Analysis Useful ?

FEM dapat diterapkan dalam kondisi kasus : Geometri tidak teratur Tipe beban yang kompleks Sifat material bervariasi Berbagai jenis perletakan (boundary condition) Perilaku non-linier Dinamis

Page 13: LecNote 1 (Intro)
Page 14: LecNote 1 (Intro)

small deflection and elastic material properties (linear analysis),

small deflection and plastic material properties (material nonlinearity),

large deflection and elastic material properties (geometric nonlinearity),

simultaneous large deflection and plastic material properties (material & geometric nonlinearity)

untuk tingkat S1 ditekankan pada kasus 1

Type of Analysis on Structures

Page 15: LecNote 1 (Intro)

Filosofi & Proses Penyelesaian Masalahdalam Finite Element Analysis

Physical Problem

Mathematical modelGoverned by differential equations.

Assumtion on : geometry, kinematics, material laws, loading, boundary condition, etc.

Finite Element solution

Assessment of accuracy of finite element solution of mathematical model

Interpretation of results

Design improvement, structural optimization

Change of physical problem

Improve mathematical model

Refine mesh, solution parameters, etc

Refine analysis

Fini

te e

lm. s

olut

ion

of

mat

hem

atic

al m

odel

Page 16: LecNote 1 (Intro)

Contoh konsep pemodelan matematis

Figure 1.a :Physical problem sebuah bracket dengan beban W di ujungnya

Figure 1.b :Pemodelan sebagai BEAM

Page 17: LecNote 1 (Intro)

(lihat gambar 1.a & 1.b) :

Pemilihan model matematis tergantung pada : fenomena yang ingin diprediksi, geometri benda, sifat material, beban dan tumpuan.

Bracket bertumpu pada kolom yang “sangat tebal”. Deskripsi “sangat tebal” berarti relatif terhadap tebal t dan tinggi h dari bracket. Pernyataan ini diterjemahkan sebagai asumsi bahwa bracket ditumpu oleh kolom yang kaku (sebagai kondisi batas / boundary condition).

Page 18: LecNote 1 (Intro)

(See Figure 1.a dan 1.b) :

Bekerjanya beban W pada struktur bracket dipandang “sangat lambat”. Deskripsi “sangat lambat” adalah relatif terhadap periode-alami dari sistem bracket. Pernyataan ini diterjemahkan bahwa jenis analisis statis cukup memadai (tidak harus analisis dinamis).

Pemilihan model matematis :

misalkan fenomena / respon yang ingin diprediksi hanya berupa momen lentur pada irisan A-A dan defleksi pada titik ujung (posisi beban W), maka cukup dipilih model matematis sebagai beam. (Figure1.b)

Page 19: LecNote 1 (Intro)

Contoh konsep pemodelan matematis

Model matematis yang “komprehensif” mampu menunjukkan perilaku tiga-dimensi (mendekati kondisi sebenarnya).

Model ini menunjukkan geometri bracket yang lebih akurat dibandingkan dengan model beam (elemen dimensi satu)

Untuk maksud ini, dapat dipilih model plane stress

Page 20: LecNote 1 (Intro)

Kesimpulan penting tentang model matematis

Pemilihan model matematis tergantung pada jenis respon yang ingin diprediksi.

Model matematis yang efektif adalah model yang mampu memberikan jawaban dengan handal dengan minimum cost.

FEM dapat menyelesaikan dengan akurat hanya pada model matematis yang dipilih, dan tidak dapat memprediksi informasi lainnya (selain dari apa yang terkandung di dalam model yang telah dipilih)

Page 21: LecNote 1 (Intro)

General Steps of Finite Element Analysis1. Discretize and Select Element Types

2. Select a Displacement Function

3. Define the Strain-Displacement and Stress-Strain Relationships

4. Derive the Element Stiffness Matrix and Equations {f} = [k] {d}

5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary Conditions

6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)

7. Solve for the Element Forces or Stresses

8. Interpret the Result

Page 22: LecNote 1 (Intro)

1. Discretize & Select Element Type

Membagi benda (sebagai satu sistem kontinum) menjadi beberapa elemen, dan memilih tipe elemen apa yang paling cocok untuk masing-masing elemen tersebut.

Penetapan total jumlah elemen, variasi ukuran, serta tipe elemen, merupakan keputusan awal yang penting dalam analisis.

Dari satu segi alasan, ukuran elemen sebaiknya cukup kecil (jumlah banyak) agar diperoleh hasil analisis yang dapat mewakili dengan baik. Namun dari segi alasan lain, elemen sebaiknya cukup besar (jumlah sedikit), agar problem komputasi menjadi kecil.

Page 23: LecNote 1 (Intro)

Discretize & Select Element Type Tipe dasar elemen-hingga dibedakan menjadi 4 macam :

Line Element (elemen satu dimensi), digunakan untuk memodelkan beam, truss (space truss, plane truss), frame (space frame, plane frame), grid, dan kabel.

(sebagian besar aplikasi tipe elemen ini telah dibahas dalam m.k. Analisis Struktur dengan Metode Matriks)

Plane Element (elemen dua dimensi, elemen bidang), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan / regangan bidang (plane stress / plane strain), pelat lentur (plate bending), membran (pelat tipis).

Axisymmetric Element, pengembangan plane element untuk memodelkan jenis benda-putar.

Solid Element (elemen tiga dimensi), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan tiga dimensi.

Page 24: LecNote 1 (Intro)

Line element (elemen satu dimensi)

Contoh struktur dengan model line element, sebuah space frame

1 2 x

ySebuah line element dengan 2 node

Page 25: LecNote 1 (Intro)

Plane element (elemen dimensi dua)

x

y

1 2

3

x

y

21

34

Elemen segi-tiga 3-node

Triangular element

Elemen segi-empat 4-nodeQuadrilateral element

Page 26: LecNote 1 (Intro)

Contoh struktur dengan model plane element

Plate bendingContoh : pelat lantai Membrane, Plane Stress

Contoh : shear wall

Page 27: LecNote 1 (Intro)

Solid element (elemen dimensi tiga)

x

y

z1 2

34

5 6

78

Hexahedral (brick element) 8 node

Contoh struktur dengan model brick element

Page 28: LecNote 1 (Intro)

Elemen Axisymmetric

Sudut putar

Sumbu putar

Radius r

domesilinder

Page 29: LecNote 1 (Intro)

Contoh iIustrasi pemodelan

1 sistem struktur

diskretisasi

4 blok elemen (plane element, shell, plate bending)

Elemen frame 3D

Page 30: LecNote 1 (Intro)

2. Select a Displacement Function

Pemilihan fungsi perpindahan pada setiap elemen

Fungsi linier, kuadrat, dan polinomial pangkat 3, sering digunakan karena sederhana. Fungsi trigonometri juga dapat digunakan.

Contoh

u(x) = a1 + a2 x

u(x) = a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4

Banyaknya koefisien ai menunjukkan total d.o.f. pada elemen

Page 31: LecNote 1 (Intro)

3. Define the Strain-Displacement and Stress Strain Relationships

Hubungan regangan-perpindahan dan tegangan-regangan diperlukan dalam penurunan persamaan pada masing-masing elemen.

Pada kasus satu dimensi (misal dalam arah x), hubungan regangan x dengan perpindahan u (untuk regangan kecil)

Hukum constitutive menghubungkan tegangan x dengan regangan x. Hubungan yang paling sederhana dinyatakan dengan Hukum Hooke :

E : modulus elastis

dx

dux

xx E .

Page 32: LecNote 1 (Intro)

4. Derive the Element Stiffness Matrix and Equation

Metode keseimbangan langsung (direct equilibrium) Diturunkan dengan prinsip persamaan keseimbangan

gaya pada elemen. Paling mudah diterapkan pada jenis elemen dimensi satu

(misal : beam, truss). Metode energi :

Diturunkan dengan prinsip virtual work, energi potensial minimum, teorema Castigliano.

Cocok diterapkan pada jenis elemen dimensi dua dan dimensi tiga.

Metode Galerkin, metode Ritz : Menghasilkan formulasi yang sama dengan metode

energi. Digunakan khususnya bila fungsi energi potensial tidak dapat disusun.

Page 33: LecNote 1 (Intro)

Element equations (based on Stiffness Method)

nnnn

n

n

n

n d

d

d

d

kk

kkkk

kkkk

kkkk

f

f

f

f

.

...

.....

.

.

.

.3

2

1

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

Vector ofnodal forces

Element Stiffness MatrixVector of unknown nodal

d.o.f. (displacements)

Page 34: LecNote 1 (Intro)

5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary Conditions

Semua persamaan elemen yang diperoleh pada tahap 4, “dijumlahkan” (dirakit) menjadi satu persamaan simultan dengan prinsip superposisi (Direct Stiffness Method).

Persamaan global [F] = [K] {D} Sifat matriks [K] global :

Simetris Koefisien pada diagonal utama selalu bernilai positif Bila kondisi-batas belum diterapkan [K] bersifat singular

(determinan NOL, tidak ada invers), tidak ada penyelesaian persamaan, rigid body movement.

Agar persamaan global dapat diselesaikan, harus diberikan kondisi-batas yang cukup.

Page 35: LecNote 1 (Intro)

6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)

Metode yang cocok diterapkan untuk aplikasi program komputer, misalnya : eliminasi Gauss, iterasi Gauss-Seidel.

Metode invers matriks kurang cocok diterapkan pada program komputer, karena penggunaan memory yang besar.

Page 36: LecNote 1 (Intro)

7. Solve for the Element Forces or Stresses

8. Interpret the result

Prinsip analisis ini telah banyak diberikan dalam matakuliah Analisis Struktur dengan Metode Matriks (metode direct stiffness matrix) khusus untuk model elemen satu dimensi (line element)