LecNote 1 (Intro)

of 36/36
FINITE ELEMENT METHOD (Metode Elemen Hingga) Lecture Notes Civil Engineering Department Sebelas Maret University by Agus Supriyadi
  • date post

    29-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    84
  • download

    5

Embed Size (px)

description

Metode Elemen Hingga

Transcript of LecNote 1 (Intro)

  • FINITE ELEMENT METHOD(Metode Elemen Hingga)Lecture NotesCivil Engineering DepartmentSebelas Maret Universityby Agus Supriyadi

  • What?How ?Why?

  • Deskripsi Matakuliah (Descriptions)

  • Deskripsi Matakuliah (lanjutan)

  • Pokok BahasanPendahuluan : konsep dasar, filosofi penyelesaian masalah, tipe elemen-hingga, tahapan umum analisis, aplikasi.Konsep penurunan matriks kekakuan elemen.Aplikasi pada struktur dengan berbagai variasi tipe elemen satu-dimensi (line element).Elemen dua-dimensi (2-dimensional element) :Plane stress, Plane strainConstant strain triangle (CST)Isoparametric element, Natural coordinateRectangular elementAxisymmetric elementElemen tiga-dimensi (3-dimensional element), solid element, brick elementPengantar aplikasi non struktural : heat transfer, thermal stress.

  • Pendahuluan (Introduction)Suatu benda (kontinum) dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil dan sederhana (disebut elemen hingga)Masalah (pada kontinum) dengan jumlah degrees of freedom (d.o.f) tak berhingga, diubah menjadi masalah dengan d.o.f. tertentu (berhingga) sehingga penyelesaian menjadi lebih sederhanaFEM merupakan metode numerik berorientasi komputer, bersifat pendekatan (tidak eksak)Pendekatan didasarkan asumsi perpindahan, atau tegangan, atau kombinasi keduanyaDigunakan untuk menyelesaikan berbagai problem engineering (penekanan pada analisis struktur).What is Finite Element Method (FEM) ?

  • Pendahuluan (Introduction)Problem engineering yang dapat diselesaikan dengan FEM antara lain :Structural problem : menghitung defleksi, gaya-dalam, tegangan-dalam, reaksi, vibrasi, tekukNon structural problem : rambatan panas, aliran fluida, transportasi massa, potensial elektromagnit,

  • Prinsip Finite Element AnalysisBenda (kontinum) dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen yang lebih kecil dan sederhana geometrinya (garis, segitiga, segiempat, kubus, dsb) elemen-hinggaPerilaku masing-masing elemen-hingga dirumuskan dengan persamaan yang lebih sederhana (element equations)Antara elemen satu dengan lainnya, dihubungkan (dibatasi) oleh titik-simpul (nodal point / node), dan / atau garis batas, dan/atau permukaan.Proses pemodelan seperti ini disebut discretization (diskritisasi).

  • Prinsip Finite Element AnalysisElemen-elemen digabungkan kembali menjadi satu kesatuan struktur. Demikian pula element equations digabungkan menjadi 1 set persamaan simultan pada tataran sumbu struktur (global equations).Solusi persamaan simultan menghasilkan 1 set nilai perpindahan pada tataran sumbu struktur.Perpindahan struktur ditransformasikan menjadi perpindahan individual element, sehingga gaya-dalam elemen dapat dihitung.

  • Prinsip Finite Element AnalysisSetiap node mempunyai sejumlah komponen perpindahan atau degrees of freedom (d.o.f.). Node merupakan titik bermateri pada suatu struktur, yang dapat mewakili besaran-besaran pada struktur (misalnya perpindahan).Pada prinsipnya, suatu struktur merupakan sistem kontinum yang mempunyai jumlah d.o.f. tak terhingga. Perpindahan pada sistem struktur bersifat kontinyu.Banyaknya d.o.f. atau banyaknya elemen yang dimodelkan dalam suatu sistem struktur akan mempengaruhi tingkat kontinyuitas dan ketelitian hasil analisis.

  • Prinsip Finite Element AnalysisSifat khas : elemen dapat diisolir (dipandang sbg. bagian yang bebas dan seimbang), tidak tergantung pada elemen lain, sehingga dimungkinkan untuk menggabungkan berbagai tipe elemen yang berbeda, asalkan d.o.f. titik-nodal batasnya cocokFormulasi Finite Element Analysis disajikan dalam bentuk matriks. Pendekatan yang lazim digunakan adalah Metode Kekakuan (Stiffness Matrix)

  • How is Finite Element Analysis Useful ? FEM dapat diterapkan dalam kondisi kasus :Geometri tidak teraturTipe beban yang kompleksSifat material bervariasiBerbagai jenis perletakan (boundary condition)Perilaku non-linierDinamis

  • Type of Analysis on Structuressmall deflection and elastic material properties (linear analysis),small deflection and plastic material properties (material nonlinearity),large deflection and elastic material properties (geometric nonlinearity),simultaneous large deflection and plastic material properties (material & geometric nonlinearity)

    untuk tingkat S1 ditekankan pada kasus 1

  • Filosofi & Proses Penyelesaian Masalahdalam Finite Element AnalysisPhysical ProblemMathematical modelGoverned by differential equations.Assumtion on : geometry, kinematics, material laws, loading, boundary condition, etc.Finite Element solutionAssessment of accuracy of finite element solution of mathematical modelInterpretation of resultsDesign improvement, structural optimizationChange of physical problemImprove mathematical modelRefine mesh, solution parameters, etcRefine analysisFinite elm. solution of mathematical model

  • Contoh konsep pemodelan matematis Figure 1.a :Physical problem sebuah bracket dengan beban W di ujungnyaFigure 1.b :Pemodelan sebagai BEAM

  • (lihat gambar 1.a & 1.b) :Pemilihan model matematis tergantung pada : fenomena yang ingin diprediksi, geometri benda, sifat material, beban dan tumpuan.Bracket bertumpu pada kolom yang sangat tebal. Deskripsi sangat tebal berarti relatif terhadap tebal t dan tinggi h dari bracket. Pernyataan ini diterjemahkan sebagai asumsi bahwa bracket ditumpu oleh kolom yang kaku (sebagai kondisi batas / boundary condition).

  • (See Figure 1.a dan 1.b) :Bekerjanya beban W pada struktur bracket dipandang sangat lambat. Deskripsi sangat lambat adalah relatif terhadap periode-alami dari sistem bracket. Pernyataan ini diterjemahkan bahwa jenis analisis statis cukup memadai (tidak harus analisis dinamis).Pemilihan model matematis :misalkan fenomena / respon yang ingin diprediksi hanya berupa momen lentur pada irisan A-A dan defleksi pada titik ujung (posisi beban W), maka cukup dipilih model matematis sebagai beam. (Figure1.b)

  • Contoh konsep pemodelan matematisModel matematis yang komprehensif mampu menunjukkan perilaku tiga-dimensi (mendekati kondisi sebenarnya).Model ini menunjukkan geometri bracket yang lebih akurat dibandingkan dengan model beam (elemen dimensi satu)Untuk maksud ini, dapat dipilih model plane stress

  • Kesimpulan penting tentang model matematis Pemilihan model matematis tergantung pada jenis respon yang ingin diprediksi.Model matematis yang efektif adalah model yang mampu memberikan jawaban dengan handal dengan minimum cost.FEM dapat menyelesaikan dengan akurat hanya pada model matematis yang dipilih, dan tidak dapat memprediksi informasi lainnya (selain dari apa yang terkandung di dalam model yang telah dipilih)

  • General Steps of Finite Element Analysis1. Discretize and Select Element Types2. Select a Displacement Function 3. Define the Strain-Displacement and Stress-Strain Relationships4. Derive the Element Stiffness Matrix and Equations {f} = [k] {d}5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary Conditions6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)7. Solve for the Element Forces or Stresses8. Interpret the Result

  • 1. Discretize & Select Element Type Membagi benda (sebagai satu sistem kontinum) menjadi beberapa elemen, dan memilih tipe elemen apa yang paling cocok untuk masing-masing elemen tersebut.Penetapan total jumlah elemen, variasi ukuran, serta tipe elemen, merupakan keputusan awal yang penting dalam analisis.Dari satu segi alasan, ukuran elemen sebaiknya cukup kecil (jumlah banyak) agar diperoleh hasil analisis yang dapat mewakili dengan baik. Namun dari segi alasan lain, elemen sebaiknya cukup besar (jumlah sedikit), agar problem komputasi menjadi kecil.

  • Discretize & Select Element TypeTipe dasar elemen-hingga dibedakan menjadi 4 macam :Line Element (elemen satu dimensi), digunakan untuk memodelkan beam, truss (space truss, plane truss), frame (space frame, plane frame), grid, dan kabel.(sebagian besar aplikasi tipe elemen ini telah dibahas dalam m.k. Analisis Struktur dengan Metode Matriks)Plane Element (elemen dua dimensi, elemen bidang), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan / regangan bidang (plane stress / plane strain), pelat lentur (plate bending), membran (pelat tipis). Axisymmetric Element, pengembangan plane element untuk memodelkan jenis benda-putar.Solid Element (elemen tiga dimensi), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan tiga dimensi.

  • Line element (elemen satu dimensi)Contoh struktur dengan model line element, sebuah space frame

  • Plane element (elemen dimensi dua)xy123xy2134Elemen segi-tiga 3-nodeTriangular elementElemen segi-empat 4-nodeQuadrilateral element

  • Contoh struktur dengan model plane elementPlate bendingContoh : pelat lantaiMembrane, Plane StressContoh : shear wall

  • Solid element (elemen dimensi tiga)xyz12345678Hexahedral (brick element) 8 nodeContoh struktur dengan model brick element

  • Elemen Axisymmetric Sudut putar Sumbu putarRadius rdomesilinder

  • Contoh iIustrasi pemodelan1 sistem strukturdiskretisasi4 blok elemen (plane element, shell, plate bending)Elemen frame 3D

  • 2. Select a Displacement FunctionPemilihan fungsi perpindahan pada setiap elemenFungsi linier, kuadrat, dan polinomial pangkat 3, sering digunakan karena sederhana. Fungsi trigonometri juga dapat digunakan.Contoh u(x) = a1 + a2 xu(x) = a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4Banyaknya koefisien ai menunjukkan total d.o.f. pada elemen

  • 3. Define the Strain-Displacement and Stress Strain RelationshipsHubungan regangan-perpindahan dan tegangan-regangan diperlukan dalam penurunan persamaan pada masing-masing elemen.Pada kasus satu dimensi (misal dalam arah x), hubungan regangan x dengan perpindahan u (untuk regangan kecil)Hukum constitutive menghubungkan tegangan x dengan regangan x. Hubungan yang paling sederhana dinyatakan dengan Hukum Hooke :

    E : modulus elastis

  • 4. Derive the Element Stiffness Matrix and EquationMetode keseimbangan langsung (direct equilibrium)Diturunkan dengan prinsip persamaan keseimbangan gaya pada elemen.Paling mudah diterapkan pada jenis elemen dimensi satu (misal : beam, truss).Metode energi :Diturunkan dengan prinsip virtual work, energi potensial minimum, teorema Castigliano.Cocok diterapkan pada jenis elemen dimensi dua dan dimensi tiga.Metode Galerkin, metode Ritz :Menghasilkan formulasi yang sama dengan metode energi. Digunakan khususnya bila fungsi energi potensial tidak dapat disusun.

  • Element equations (based on Stiffness Method)Vector ofnodal forcesElement Stiffness MatrixVector of unknown nodal d.o.f. (displacements)

  • 5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary ConditionsSemua persamaan elemen yang diperoleh pada tahap 4, dijumlahkan (dirakit) menjadi satu persamaan simultan dengan prinsip superposisi (Direct Stiffness Method).Persamaan global [F] = [K] {D}Sifat matriks [K] global :SimetrisKoefisien pada diagonal utama selalu bernilai positifBila kondisi-batas belum diterapkan [K] bersifat singular (determinan NOL, tidak ada invers), tidak ada penyelesaian persamaan, rigid body movement.Agar persamaan global dapat diselesaikan, harus diberikan kondisi-batas yang cukup.

  • 6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)Metode yang cocok diterapkan untuk aplikasi program komputer, misalnya : eliminasi Gauss, iterasi Gauss-Seidel.Metode invers matriks kurang cocok diterapkan pada program komputer, karena penggunaan memory yang besar.

  • 7. Solve for the Element Forces or Stresses8. Interpret the resultPrinsip analisis ini telah banyak diberikan dalam matakuliah Analisis Struktur dengan Metode Matriks (metode direct stiffness matrix) khusus untuk model elemen satu dimensi (line element)