Lecture 4

Lecture 8Estimasi StatistikaNimatul Izza, STP., MTTUJUANSetelah menyelesaikan perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat :Membedakan antara estimasi titik dan estimasi intervalMembuat dan menginterpretasikan Estimasi Interval Konfidensi untuk rerata populasi tunggal menggunakan distribusi Z dan tMembuat dan menginterpretasikan estimasi interval konfidensi untuk proporsi populasi tunggal Interval KonfidensiIsi dari bab ini Interval Konfidensi untuk rerata populasi, Varians dari populasi 2 diketahuiVarians dari populasi 2 tidak diketahuiInterval Konfidensi untuk Proporsi Populasi, (sampel besar)DefinisiSebuah estimator dari sebuah populasi adalah :Sebuah variabel acak yang tergantung pada informasi sampelyang memberikan sebuah pendekatan pada parameter yang tidak diketahuiSebuah nilai spesifik dari variabel acak tersebut adalah estimasi

Estimasi Titik dan IntervalSuatu Estimasi titik adalah angka tunggal, Suatu Interval konfidensi menyediakan informasi tambahan tentang variabilitasEstimasi TitikBatas Bawah KonfidensiBatas Atas KonfidensiLebar Interval KonfidensiEstimasi TitikKita dapat mengestimasi parameter populasi

Dengan sebuah statistik sampel(Estimasi Titik)MeanProportionP x

Estimator tak biasSuatu estimator titikdikatakan estimator tak bias dari parameter , jika nilai yang diharapkan, atau rerata dari distribusi sampel adalah ,

Contoh: Rerata sampel adalah suatu estimator takbias dari Varians sampel adalah estimator takbias dari 2Proporsi sampel adalah estimator takbias dari P

Estimator tak bias is an unbiased estimator, is biased:

BIASAnggap adalah estimator dari

Bias dalam didefinisikan sebagai selisih antara reratanya dengan

Bias dari suatu estimator takbias adalah 0

KonsistensiLet be an estimator of

is a consistent estimator of if the difference between the expected value of and decreases as the sample size increases

Consistency is desired when unbiased estimators cannot be obtained

Estimator paling efisienJika ada beberapa estimator tak bias dari ,Estimator yang paling efisien atau varians estimator takbias minimum dari adalah estimator tak bias dengan varians yang paling kecil Anggap dan menjadi dua estimator takbias dari , berdasarkan observasi sampel dengan jumlah yang sama. Maka :

dikatakan lebih efisien dari, jika

Efisiensi relative dari pada adalah rasio dari masing-masing variannya :

Interval KonfidensiSeberapa besar ketidaktentuan yang berkaitan dengan estimasi titik dari parameter populasi?

Suatu Estimasi Interval menyediakan informasi lebih tentang karakteristik populasi dari pada estimasi titik.

Estimasi interval tersebut disebut Interval Konfidensi/kepercayaanEstimasi Interval KonfidensiSebuah interval memberikan rentang dari nilai-nilai :Mempertimbangkan variasi pertimbangan dalam sampel statistik dari sampel ke sampelBerdasarkan observasi dari 1 sampelMemberikan informasi tentang kedekatan pada parameter populasi yang tidak diketahuiDinyatakan dalam tingkat kepercayaan/ konfidensi (level of confidence)Tidak mungkin 100% Interval konfidensi dan Tingkat konfidensiJika P(a < < b) = 1 - , maka interval dari a ke b disebut 100(1 - )% interval konfidensi dari .

Kuantitas (1 - ) disebut tingkat konfidensi dari interval (nilai berada antara 0 dan 1)

Dalam sampel hasil ulangan dari populasi, nilai sebenarnya dari parameter akan termasuk dalam interval 100(1 - )%. Interval konfidensi yang dikalkulasi dengan cara ini ditulis dengan a< < b dengan konfidensi 100(1 - )%.Proses Estimasi(rerata, , tidak diketahui)PopulasiSampel AcakRerata X = 50SampelSaya 95% yakin bahwa berada diantara 40 & 60Tingkat Konfidensi/ Kepercayaan, (1-)Misal, tingkat konfidensi = 95% Juga dapat ditulis (1 - ) = 0.95Sebuah interpretasi frekuensi relative :Dari sampel yang diulang, 95% dari semua interval kepercayaan yang dibuat akan berisi parameter yang benar dan tidak diketahui

Interval tertentu akan berisi atau tidak akan berisi parameter yang benarTidak ada probabilitas yang terlibat dalam interval tertentuFormula UmumFormula umum untuk semua interval konfidensi adalah :

Nilai dari faktor reliabilitas tergantung pada tingkat konfidensi yang diinginkanEstimasi Titik (Faktor Reliabilitas)(Standard Error)Rerata Populasi 2 UnknownIntervalKonfidensiProporsi Populasi 2 KnownInterval KonfidensiInterval Konfidensi untuk (2 Known)Asumsi-asumsi :Varians populasi, 2 diketahui (known)Populasi merupakan distribusi normalJika populasi tidak normal, gunakan sampel besarEstimasi interval konfidensi :

(dengan z/2 adalah nilai distribusi normal untuk probabilitas /2 di setiap ekor )

Interval konfidensi,

Dapat juga ditulis sbb :where ME is called the margin of error

Lebar interval, w, sama dengan dua kalinya ME

Margin of ErrorMengurangi Margin of ErrorMargin of error dapat dikurangi jika :

Standar deviasi populasi dapat dikurangu ()

Ukuran sampel meningkat (n)

Tingkat konfidensi menurun, (1 )

Menemukan Faktor Reliabilitas, z/2Misal, menggunakan 95% interval konfidensi :z = -1.96z = 1.96

Point EstimateLower Confidence LimitUpperConfidence LimitZ units:X units:0Temukan z.025 = 1.96 dari tabel standar distribusi normalTingkat Konfidensi (Umum)Tingkat Konfidensi Koefisien konfidensi , Nilai Z/21.281.6451.962.332.583.083.27.80.90.95.98.99.998.99980%90%95%98%99%99.8%99.9%

Tingkat konfidensi yang umum digunakan adalah 90%, 95%, and 99%Interval dan Tingkat Konfidensi

Interval konfidensi Luas interval dari

to

100(1-)%dari interval yang dibuat mengandung ; 100()% tidak.Distribusi sampel Rerata

xx1x2

Contoh11 sampel sirkuit dari populasi normal besar memiliki ketahanan rata-rata 2,20 ohm. Kita tahu dari pengujian terakhir bahwa deviasi standar populasi adalah 0,35 ohm.

Tentukan 95% interval konfidensi untuk ketahanan rerata populasi yang sebenarnya.

11 sampel sirkuit dari populasi normal besar memiliki tahanan rata-rata 2,20 ohm. Kita tahu dari pengujian terakhir bahwa deviasi standar populasi adalah 0,35 ohm.. Penyelesaian :

Contoh (Lanjutan)InterpretasiKita 95% yakin bahwa rerata tahanan yang sebenarnya berada diantara 1.9932 dan 2.4068 ohm. Meskipun rerata yang sebenarnya mungkin atau tidak berada pada interval ini, 95% dari interval yang terbentuk dengan cara ini akan mengandung rerata yang sebenarnya.

Rerata Populasi 2 UnknownIntervalKonfidensiProporsi Populasi 2 KnownInterval KonfidensiTabel Distribusi tPertimbangkan sampel acak dari sejumlah n observasiDengan rerata x dan standard deviasi s Dari populasi distribusi normal dengan rerata

Maka variabelnya

Ikuti tabel Distribusi t dengan (n-1) derajat bebas

Interval konfidensi (2 Unknown) Jika standar deviasi populasi () tidak diketahui, kita dapat menggantikan dengan standar deviasi sampel, s.Hal ini memperkenalkan ketidakpastian ekstra, karena s adalah variabel dari sampel ke sampelJadi kita menggunakan distribusi tInterval konfidensi ( Unknown) Asumsi-asumsiStandar deviasi populasi tidak diketahui (unknown)Populasi adalah distribusi normalJika populasi tidak normal, digunakan sampel besarMenggunakan distribusi t tabelEstimasi interval konfidensi:

dengan tn-1,/2 adalah nilai kritis distribusi t dengan n-1 (df) dan luas /2 di setiap ekor::

Dsitribusi tNilai t tergantung pada derajat bebas (degree of freedom) (d.f.)Jumlah pengamatan yang bebas untuk divariasi setelah rata-rata sampel dihitungd.f. = n - 1t0t (df = 5) t (df = 13)t-distribusi berbentuk lonceng dan simetris, tapi memiliki ekor lebih gemuk dari pada standar normalStandard Normal(t with df = )Note: t Z dengan peningkatan nDistribusi tUpper Tail Areadf

.10.025.05112.706233.182t02.920Badan tabel mengandung nilai t, bukan probabilitasmisal: n = 3 df = n - 1 = 2 = .10 /2 =.05/2 = .053.0781.8861.6386.3142.9202.3534.303Tabel tNilai distribusi tDengan perbandingan pada nilai ZConfidence t t t Z Level (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ____

.80 1.372 1.325 1.310 1.282 .90 1.812 1.725 1.697 1.645 .95 2.228 2.086 2.042 1.960 .99 3.169 2.845 2.750 2.576Note: t Z dengan peningkatan nContoh sampel acak sebanyak n = 25 memiliki x = 50 dan s = 8. buatlah 95% interval konfidensi untuk

d.f. = n 1 = 24, so

Interval konfidensinya adalah :

Rerata Populasi 2 UnknownIntervalKonfidensiProporsi Populasi 2 KnownInterval KonfidensiInterval konfidensi untuk Proporsi populasi, pEstimasi interval proporsi populasi (P) dapat dihitung dengan menambahkan penyisihan ketidakpastian terhadap proporsi sampel ( )

Interval konfidensi untuk Proporsi populasi, pIngat bahwa distribusi sampel proporsi mendekati normal jika ukuran sampel besar, dengan standar deviasi

Kita akan mengestimasinya dengan data sampel :

Interval konfidensi EndpointsBatas atas dan bawah konfidensi untuk proporsi populasi dihitung dengan persamaan :

Dengan z/2 adalah nilai standar normal untuk tingkat konfidensi yang diinginkan adalah sampel proporsin adalah jumlah sampel

ContohSampel acak sebanyak 100 orang menunjukkan bahwa 25 orang adalah kidal Buatlah interval konfidensi 95% untuk proporsi kidal yang sebenarnya

Sampel acak sebanyak 100 orang menunjukkan bahwa 25 orang adalah kidal. Buatlah interval konfidensi 95% untuk proporsi kidal yang sebenarnya

ContohInterpretasiKita 95% yakin bahwa persentase orang bertangan kidal dalam populasi berkisar antara 16.51% and 33.49%.

Meskipun intervalnya dari 0.1651 sampai 0.3349 mungkin atau tidak mengandung proporsi yang sebenarnya, 95% dari interval yang terbentuk dari 100 sampel dengan cara ini akan mengandung proporsi yang sebenarnya.RangkumanMengenalkan konsep interval konfidensiMendiskusikan tentang estimasi titikMengambangkan estimasi interval konfidensiMembuat estimasi interval konfidensi untuk rerata (2 known)Mengenalkan Tabel distribusi tMenentukan estimasi interval konfidensi (2 unknown)Membuat estimasi interval konfidensi untuk proporsiTerima KasihSee u Next Week