Learning Outcomes

• Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan pengertian non PL dan PL melalui contoh-contoh yang diberikan, serta dapat menyelesaikan masalah-masalah yg ada..

Outline Materi:

• Pengertian Non Linier Programming• Beda PL dan Non PL• Matriks & Hubungannya dgn optimasi.• Fungsi cembung dan cekung.• Contoh kasus..

Pengertian,..

• Teknik linier programing untuk memecahkan masalah pemrograman matematika sudah dikenal luas dan berkembang dengan pesat, karena dpt memberi solusi yg sangat efisen. Namun tidak semua masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai hubungan linier. Beberapa masalah yang dapat dikategorikan sebagai model masalah pemrograman matematika yang terdiri dari fungsi tujuan dan kendala-kendala, sebagaimana juga linier programming, namun bila hubungan antar variabel (fungsi) ternyata tidak linier maka permasalahan seperti itu dinyatakan sebagai Nonlinier programing.

Solusi dari nonlinier programming ternyata lebih kompleks dan tidak semudah linier programing karena cakupan permasalahan yang lebih luas dan penyelesaiannya seing harus menggunakan pendekatan numeric atau Calculus.

Bentuk Umum,

Bentuk umum non linier programming sbb:

Maksimumkan (minimumkan) Z = f(X)Dengan kendala g(X) 0

X 0 f(X) atau g(X) adalah fungsi tdk

linier

Matriks & Hubungannya dgn Operasi,

Konsep dasar program non linear adalah:• Matriks Hessian • Kecembungan dan • Set cembung• Matriks Hessian

Misalkan sebuah fungsi n variabel f(x1,x2,..xn), kemudian dibuat matriks turunan parsial kedua dari fungsi sbb:

= (H)

fnnfnfn

nfff

nfff

..21

::::

2..2221

1..1211

• Maka matriks H dinamakan matriks Hessian.• Untuk matriks (nxn), principal minor ke k (k

n) adalah suatu submatriks dgn ukuran (kxk) yg diperoleh dengan menghapus (n-k) baris dan kolom yg bersesuaian.

Contoh: (Q)=

987

654

321

Maka principal minor ke-1 adalah elemen diagonal yaitu 1,5,9. Sehingga principal minor kedua adalah matriks (2x2)

principal minor ke-3 adalah matriks Q itu sendiri.Leading principal minor ke-k dari suatu matriks (nxn) didapat dgn menghapus (n-k) baris terakhir dan kolom yg bersesuaian.

54

21

97

31

98

65

Untuk contoh Q di atas, mk leading principal minor ke-1 adalah 1 & leading minor ke-2 adalah

sementara yg ke-3 adalah matriks Q sendiri. Banyaknya leading principal determinat suatu matriks (nxn) = n..

54

21

Fungsi Cembung & Cekung,

• Suatu fungsi f(x), utk x=(x1,x2,..x3) disebut fungsi cembung jika dan hanya jika dua titik xa dan xb dengan 0 1, berlakuf[ xa +(1- ) xb] f(xa) + (1-)f(xb)

• Suatu fungsi f adalah fungsi cembung jika matriks Hessian fungsi f adalah positif atau semidefinit positif.

• Suatu fungsi f adalah cekung jika matriks Hessian dari fungsi adalah definit negatif atau semidefinit negatif.

Fungsi Cembung & Cekung(2),Contoh :f(x1,x2,x3)=3x12+2x22-2x1x3+2x2x3-6x1-4x2- x3

2

H =

dengan leading principal determinant H1=6, H2=20 dan H3=16, sehingga H suatu matriks definit positif f adalah fungsi cembung..

222

242

226