2

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam permasalahan non-linier, terutama permasalahan yang mempunyai

hubungan fungsi eksponensial dalam pembentukan polanya dapat dianalisis secara

eksperimental maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah dengan

melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode numerik dalam komputasi akan

sangat membatu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit

diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat membantu setiap

penyelesaian permasalahan apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola

hubungan antar variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan

yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Ada sejumlah metode numerik

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear.

Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan

secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran

bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan

yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan

dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis

matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis,

hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan

pertimbangan dalam pemakaian metode numerik.

Sedangkan Matlab adalah sebuah bahasa high-performance untuk komputasi

teknis. MATLAB merupakan singkatan dari MATrix LABoratory. MATLAB

mengintegrasikan perhitungan, visualisasi dan pemrograman dalam suatu lingkungan

yang mudah digunakan dimana, permasalahan dan solusi dinyatakan dalam notasi

secara matematis yang dikenal umum. Pertama MATLAB dapat digunakan sebagai

kalkulator ilmiah. Berikutnya MATLAB memungkinkan Anda untuk memvisualisasi

data dalam berbagai cara, melakukan aljabar matriks, bekerja dengan polinomial dan

fungsi integrasi. Seperti dalam sebuah kalkulator yang dapat diprogram, Anda dapat

2

menciptakan, mengeksekusi, dan menyimpan urutan perintah sehingga memungkinkan

komputasi dilakukan secara otomatis. MATLAB dapat diperlakukan sebagai sebuah

bahasa pemrograman yang akrab pengguna, yang memungkinkan untuk menangani

kalkulasi matematis dalam suatu cara yang mudah.

1.2. Tujuan Praktikum

Pembuatan laporan ini walau awalnya sebagai tugas mata kuliah Praktik Metode

Numerik sebenarnya juga sangat membantu penulis dan untuk memahami metode

Bisection, Newton Raphson, dan Secant

.

1.3. Manfaat Praktikum

Manfaat dari laporan Praktikum antara lain :

1. Membantu pengguna yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.

2. Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan

sistem persamaan linier.

3. Melatih mahasiswa untuk menggunakan program matlab dan mengetahui

fungsi-fungsinya.

4. Memberikan pelatihan kepada mahasiswa agar dapat menerapkan materi-materi

pada mata kuliah Metode Numerik ke dalam applikasi matlab.

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Pengenalan Matlab

MATLAB adalah sebuah lingkungan komputasi numerikal dan bahasa

pemrograman komputer generasi keempat. Dikembangkan oleh The MathWorks,

MATLAB memungkinkan manipulasi matriks, pem-plot-an fungsi dan data,

implementasi algoritma, pembuatan antarmuka pengguna, dan peng-antarmuka-an

dengan program dalam bahasa lainnya. Meskipun hanya bernuansa numerik, sebuah

kotak kakas (toolbox) yang menggunakan mesin simbolik MuPAD, memungkinkan

akses terhadap kemampuan aljabar komputer. Sebuah paket tambahan, Simulink,

menambahkan simulasi grafis multiranah dan Desain Berdasar-Model untuk sistem

terlekat dan dinamik.

Penggunaan Matlab meliputi bidang-bidang:

• Matematika dan Komputasi

• Pembentukan Algorithm

• Akusisi Data

• Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototipe

• Analisa data, explorasi, dan visualisasi

• Grafik Keilmuan dan bidang Rekayasa

MATLAB merupakan suatu sistem interaktif yang memiliki elemen data

dalam suatu array sehingga tidak lagi kita dipusingkan dengan masalah dimensi. Hal

ini memungkinkan kita untuk memecahkan banyak masalah teknis yang terkait

dengan komputasi, kususnya yang berhubungan dengan matrix dan formulasi vektor,

yang mana masalah tersebut merupakan momok apabila kita harus

menyelesaikannya dengan

menggunakan bahasa level rendah seperti Pascall, C dan Basic. Nama MATLAB

merupakan singkatan dari matrix laboratory.

MATLAB pada awalnya ditulis untuk memudahkan akses perangkat lunak

matrik yang telah dibentuk oleh LINPACK dan EISPACK. Saat ini perangkat

2

MATLAB telah menggabung dengan LAPACK dan BLAS library, yang merupakan

satu kesatuan dari sebuah seni tersendiri dalam perangkat lunak untuk komputasi

matrix. Dalam lingkungan perguruan tinggi teknik, Matlab merupakan perangkat

standar untuk memperkenalkan dan mengembangkan penyajian materi matematika,

rekayasa dan kelimuan. Di industri, MATLAB merupakan perangkat pilihan untuk

penelitian dengan produktifitas yang tingi, pengembangan dan analisanya. Fitur-fitur

MATLAB sudah banyak dikembangkan, dan lebih kita kenal dengan nama toolbox.

Sangat penting bagi seorang pengguna Matlab, toolbox mana yang mandukung

untuk learn dan apply technologi yang sedang dipelajarinya. Toolbox toolbox ini

merupakan kumpulan dari fungsi-fungsi MATLAB (Mfiles) yang telah

dikembangkan ke suatu lingkungan kerja MATLAB untuk memecahkan masalah

dalam kelas particular. Area-area yang sudah bisa dipecahkan dengan toolbox saat

ini meliputi pengolahan sinyal, system kontrol, neural networks, fuzzy logic,

wavelets, dan lain-lain.

2.2. Matriks

Matlab menggunakan matiks sebagai dasar komputasinya, maka pengetahuan

tentang matriks sangatlah diperlukan bagi pengguna matlab.

Matiks khusus

Matriks yang telah didefinisikan oleh matlab.

a. Matriks nol

Matriks yang elemeng bilangannya nol

Bentuk umum:

>> zeros(n,m)

Contoh:

b. Matriks Satu

Matriks yang elemeng bilangannya nol

Bentuk umum:

>> ones(n,m)

>> zeros(2,3)Ans =

0 0 00 0 0

2

Contoh:

c. Matriks identitas

Bentuk umum:

>> eye(n)

Contoh:

d. Matriks bujur sangkar ajaib

Matriks yang memiliki jumlahan yang sama pada tiap baris, kolom maupun

diagonalnya.

Bentuk umum:

>> magic(n)

Contoh:

e. Matriks acak

Matriks isinya bernilai acak berdasarkan distribusi statistik.

Bentuk umum:

>> rand (n,m)

Contoh:

>> ones(2,3)Ans =

1 1 11 1 1

>> eye(3)Ans =

1 0 00 1 00 0 1

>> magic(4)Ans =

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

>> rand(4,4)Ans =

0.61543 0.17627 0.41027 0.813170.79194 0.40571 0.89365 0.00986130.92181 0.93547 0.057891 0.138890.73821 0.9169 0.35287 0.20277

2

Matriks yang didefinisikan

Matlab menyediakan bentuk matriks yang didefinisikan oleh pengguna, yaitu

menggunakan tanda kurung siku ( [ ] ).

Contoh:

Tanda semicolon ‘;’ digunakan untuk memisahkan baris satu dengan yang lainnya.

2.3. Grafik

Plot

Fungsi plot digunkan untuk menggambar grafik 2D dengan skala linier pada

kedua sumbunya.

Contoh:

Plot3

Plot3 digunakan untuk menampilkan grafik 3 dimensi. Plot3 memerlukan 3

argument dengan bentuk plot3(x,y,z), dimana x,y,z merupakan 3 bagian vector yang

sama panjang.

Contoh:

Bar

Fungsi bar digunakan untuk menampilkan data yang berbentuk vector maupun

matriks. grafIk bar digunakan untuk menampilkan sekumpulan data selama kurun

waktu terentu dan cocok untuk menampilkan data dalam bentuk diskrit.

Contoh :

>> A=[ 1 2 3; 3 4 5]A =

1 2 33 4 5

>> x=-10:10;>> y=x.^2;Plot(x,y)

>> t=0:pi/100:10*pi;>> plot3(sin(2*t),cos(2*t),t)

>> t=[10 30 21 52; 34 67 12 23; 90 23 45 26; 58 94 30 20];>> bar(t)>> bar3(t)

2

2.3. Metode Bisection

Misalkan suatu fungsi f (x) kontinu dalam interval tertutup [a,b], f (a) ∗ f (b) < 0

dan c = 1/2( a + b ) , dimana c ∈[a,b] . Interval baru yang dipilih selalu [a,c] atau

[c,b]. Interval yang diambil untuk iterasi berikutnya adalah subsinterval yang di

dalamnya dimungkinkan terdapat akar, namun hal ini bergantung pada apakah f (a)

∗ f (c) < 0 atau f (c) ∗ f (b) < 0. Perhatikanlah proses penentuan interval baru di

bawah ini,

Interval baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai

ukuran interval yang baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan

toleransi kesalahan yang diberikan. Kriteria berhentinya iterasi dapat dipilih dari salah

satu tiga kriteria di bawah ini :

Lebar interval baru: − < ε r r a b , yang dalam hal ini ε adalah nilai toleransi lebar

interval yang mengapit akar eksak.

Nilai fungsi di akar hampiran: f (c) ≈ 0

Galat relatif hampiran akar : dalam hal ini δ adalah galat relatif

hampiran yang diinginkan.

Algoritma Metode Bisection

2

Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana

f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak ‘mengapit’ (secara

intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa sehingga:

f (a) × f (b) £ 0

Algoritma Bisection (f,a,b,akar,e,iter,itmax,flag)

1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan e; dan itmax

2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;

3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2; iter = iter + 1;

4. Jika f(a)·f(c) £ 0 maka b = c jika tidak a = c dan f0 = f(a);

5. Jika (b – a) £ e maka flag = 1 jika iter > itmax maka flag = 2;

6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;

7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2, sebagai akar terbaru;

8. Selesai.

2.2. Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik dan

mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Titik

pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan fB1B(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal xB0B

4. Hitung f(xB0B) dan fB1B(xB0B)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| e ≥ Hitung f(xBiB) dan fB1B(xBiB)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

2.3. Metode Secant

Masalah yang di dapat dalam metode Newton Raphson adalah terkadang sulit

mendapatkan turunan pertama, yakni f’(x). sehingga dengan jalan pendekatan :

2

Didapat :

Persamaan di atas memang memerlukan 2 nilai taksiranawal x, tetapi karena f(x) tidak

membutuhkan perubahan tanda diantara taksiran maka secand bukan metode akolade.

Algoritma Metode Secant

1. Definisikan fungsi F(x)

2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan

x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik

pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan

yang diharapkan.

4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|

hitung yi+1 = F(xi+1)

6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

2

BAB III

HASIL PRAKTIKUM

3.1. Praktikum Pengenalan Matlab

Penjumlahan Matrik

Analisa Program : pertama-tama dimasukkan nilai A, lalu nilai B, digunakan

titik koma untuk memisahkan nilai perbaris. kemudian dicari hasil A+B, syarat

penjumalahn matrik adalah kolom dan baris kedua variabel yaitu A dan B harus

sama.

Perkalian Matrik

2

Analisa Program : perkalian matrik syaratnya jumlah baris divariabel pertama

harus sama dengan jumlah kolom divariabel kedua.

Transfus dan Invers

Analisa Program : perintah B’ atau B transfus berfungsi untuk membalikkan

atau mengganti kolom menjadi baris

Mencari Sisa

2

Analisa Program : jumlah sisa dicari dengan memasukkan rumus jumlah awal

dikali 0.5 dan dipangkatkan waktu per waktu paruh.

For

2

Analisa Program : pertama dimasukkan nilai n yaitu 1:4 for digunakan untuk

melakukan perulangan dan perintahnya n dipangkatkan 3, pertama 1

dipangkatkan 3 sampai 4 dipangkat 3.

While

Analisa Program : pertama dimasukkan nilai n=1, lalu nilai x=0, kemudian x

dibatasi sampai kurang dari 15, setiap perulangan nilai n yang dilakukan

dipangkatkan 2 dan terus berjalan sampai 4 pangkat 2. Perintah stem(x)

digunakan untuk menampilkan kurva.

2

If Else

harga=input('harga 1 toples kue=');

cacah_kue=input('berapa toples kue yang di beli????=');

if cacah_kue>=4

bayar=((cacah_kue*harga)-(cacah_kue*harga*0.1))

else

bayar=(cacah_kue*harga)

end

Analisa Program : jika pembelian melebihi atau 4 toples akan mendapatkan

diskon sebesar 10%, jika tidak maka akan dihitung sesuai dengan harga yang

ditetapkan.

ujian1 = input ('masukkan nilai ujian pertama skala 100, ujian 1=')ujian2 = input ('masukkan nilai ujian pertama skala 100, ujian 2=')ujian3 = input ('masukkan nilai ujian pertama skala 100, ujian 3=')ujian4 = input ('masukkan nilai ujian pertama skala 100, ujian 4=') nilai = (ujian1+ujian2+ujian3+ujian4)/4if nilai>=80 ket='A'else if 70<=nilai & nilai <80 ket='B'else if 60<=nilai & nilai<70 ket='C'else if 50<=nilai &nilai<60 ket='D' else ket='E' end end end

2

end

Hasil ketika di running :

Analisa Program : untuk mencari nilai akhir maka nilai pertama sampai nilai keempat dijumlahkan lalu dibagi keempat. Setelah mendapatkan nilai akhir maka dicocokan dengan kategori yang tersedia.

Switch Case

disp('1. harta')disp('2. nyawa')disp('3. kehormatan') n = input('mau pilih enak apa gak???(masukkan nomor saja) = ');switch n case(1), disp('harta') case(2), disp('nyawa') case(3), disp('kehormatan') otherwise disp('tentukan pilihanmu??')end

Hasil ketika di running :

2

Analisa Program : dipakai untuk menampilkan beberapa pilihan.

Plot

Grafiknya

2

Grafiknya

2

Grafiknya

x=0:0.1:20;y=exp(-x/10).*sin(10*x);plot(x,y)xlabel('Sumbu X')ylabel('Sumbu Y')

Grafiknya

2

Analisa Program : Fungsi plot digunakan untuk menggambar grafik 2D dengan skala linier

pada kedua sumbunya.

3.2. Metode Bisection

function bisection ; disp('METODE BISECTION'); disp('================'); a = input ('masukkan batas kiri internal :'); b = input ('masukkan batas kanan internal :'); eps = input ('masukkan epsilon / batas ketelitian :'); itemax = input ('masukkan jumlah iterasi maksimum :'); alfa = a; disp(' '); disp('memulai proses iterasi'); disp('======================'); tic for i = 1:1:itemax t = (a+b)/2; if (fn(a,alfa)*fn(t,alfa)<=0) b = t; else a = t; end disp (['iterasi ke',num2str(i),',',' akarnya :',num2str(t)]) if (abs(a-b))<=eps break end endwaktu = toc;disp(' ');disp(['akarnya adalah : ',num2str(t)]);disp(['jumlah iterasi : ',num2str(i)]);disp(['selang waktu konvergensi : ',num2str(waktu)]);function f = fn(x,alfa) f = log (2-exp(-x))-x + alfa;

Analisa Program

function bisection : untuk membuat fungsi sendiri (fungsi bisection) di matlab

disp : menampilkan output program (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer

2

input : meminta masukkan ketika program dijalankan dan menyimpannya ke dalam variabel a, b, eps dan itemax untuk menentukan batas atas, batas bawah, epsilon dan iterasi maksimum.

Disp : menampilkan output program (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer

for : melakukan iterasi dari satu hingga batas yang ditentukan dengan kenaikan sebanyak 1

else : alternatif pilihan dari if

break: menghentikan eksekusi dari pengulangan for

toc: mengakhiri fungsi stopwatch dan memasukkan nilainya ke dalam variabel waktu

num2str : mengkonversikan nilai angka pada variabel ke dalam string agar dapat ditampilkan ke layer

Hasil ketika di running :

3.3. Metode Newton Raphson

function newtonrapson; clc; clear; disp('programm metode newton rapson'); disp('============================='); E= 0.0001; x0 = input ('masukkan x awal :'); i = 0; m = 9; xb = 0; disp('__________________________________________'); disp(' i xi f(xi) epsilon ') ; disp('__________________________________________'); while(E<m);

2

fx = exp(x0)-4*x0; gx=exp(x0)- 4; xb=x0-(fx/gx); m=abs(x0-xb); x0=xb; i=i+1; fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n', 1, xb, fx, m); end disp('-------------------------------------------'); fprintf('Akarnya adalah = %10.8f\n, xb'); end

Analisa Program

function newtonraphson : untuk membuat fungsi sendiri (fungsi newtonraphson) di matlab

Clc : membersihkan command windows

Clear : menghapus item (variabel) dari layer dan membersihkan sistem memori

Disp : menampilkan output program (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer

E=0.0001 : memasukkan nilai 0.0001 ke dalam variabel E(sebagai batas ketelitian)

fx= exp(x0)-4*x0;

gx=exp(x0)- 4;

m=abs(x0-xb); memasukkan nilai ke dalam variabel

x0=xb;

i=i+1;

fprintf : menampilkan data (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer dalam format tertentu

end : akhir dari functionHasil ketika di running :

2

3.4. Metode Secant

function secant; clc; clear; disp('Program Metode Secant'); disp('=============================');E=0.0001; x0=input('Masukkan X0 :');xb=input('Masukkan X1 :'); i=0; M=9; disp('_______________________________________________'); disp(' i xi f(xi) epsilon'); disp('_______________________________________________'); while (E<M) fx=exp(x0)-5*x0^2; fxb=exp(xb)-5*xb^2; d = xb - (fxb*(xb-x0)/(fxb-fx)); M=abs(x0-xb); x0 = xb; xb = d; i=i+1; end; disp('_______________________________________________'); fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb); end

2

Analisa program :

function secant : untuk membuat fungsi sendiri (fungsi secant) di matlab

Clc : membersihkan command windows

Clear : menghapus item (variabel) dari layer dan membersihkan sistem memori

Disp : menampilkan output program (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer

fx=exp(x0)-5*x0^2;

fxb=exp(xb)-5*xb^2; menghitung nilai untuk variabel

d=xb-(fxb*(xb-x0)/(fxb-fx));

M=abs(x0-xb);

x0=xb;

xb = d; memasukkan nilai dari variabel

i=i+1;

fprintf : menampilkan data (apa yang ada diantara tanda petik) ke layer dalam format tertentu

end : akhir dari function

Hasil ketika di running :

BAB IVPENUTUP

2

4.1. Kesimpulan

Prinsip-Prinsip Metode Numerik

-> Digunakan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi

-> Metode Numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah

yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik

-> Pendekatannya merupakan analisis matematis

-> Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat

dan mudah

-> Karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan

memakai iterasi (pengulangan)

-> Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik

metode yang digunakan.

Pemakaian Metode Numerik

Pemakaian Metode Numerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan

matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode

analitik, yaitu :

1. Menyelesaikan persamaan non linier

2. Menyelesaikan persamaan simultan

3. Menyelesaikan differensial dan integral

4. Interpolasi dan Regresi

5. Menyelesaikan persamaan differensial

6. Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

DAFTAR PUSTAKA

2

http://jejakjari007.blogspot.com/2010/03/metode-numerik.html

http://saranabuku.com/produk-240-.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Matlab

http://singiters.blogspot.com/2010/03/pengenalan-matlab-71.html