LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI

INTEGRASI NUMERIK

ROBIATUL AZIZAH QA

11/316988/PA/14106

LABORATORIUM FISIKA INTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2013

I. JUDUL

Integrasi Numerik

II. PENDAHULUAN

Di jaman yang modern ini, manusia ingin selalu mencari nilai praktis dari

setiap apa yang mereka kerjakan. Baik dalam mengerjakan pekerjaan rumah,

persoalan kantor, perhitungan soal dan lain sebagainya. Manusia cenderung

menggunakan suatu alat yang dapat menggantikan mereka menyelesaikan suatu

persoalan. Salah satunya adalah menciptakan suatu teknologi canggih yang

mempunyai kemampuan yang dapat menggantikan peran manusia dalam mengerjakan

hal-hal yang menjadi tanggung jawab mereka. Mereka mulai menciptakan suatu

terobosan baru baik dalam hal teknologi maupun konsep atau secara teorinya dalam

bentuk suatu program atau aplikasi. Salah satu contoh yang akan kita bahas dalam hal

ini masalah inetgrasi numeri.

Bagi pelajar maupun pengajar, masalah inetgrasi adalah permasalahan yang

akrab di kehidupan mereka dan hamper selalu ditemui dimanapun berada. Integrasi

numeric merupakan pencarian suatu fungsi integral. Persoalan integral ini tidak

semata dalam hal matematis. Di beberapa bidang ilmu selain ilmu sains pun banyak

pula yang menemui persoalan ini. Tidak heran jika di era yang sangat maju ini

muncul suatu metode yang bias dibilang pratis yang berfungsi untuk mencari nilai

integral suatu fungsi numeric. Dalam praktikum Fisika komputasi ini, salah metode

yang akan dibahas dan dipergunakan adalah Metode Simpson.

III. TUJUAN

1. Memahami teknik penyelesaian masalah fisika baku berupa metode analitik2. Dapat menyelesaikan suatu permasalahan Fisika dengan Metode Simpson

IV. DASAR TEORI

Selain pencarian akar-akar fungsi seperti pada Bab sebelumnya, dalam Fisika

Komputasi juga dipelajari mengenai integrasi numeric. Integrasi numeric merupakan

penyelesaian untuk peritungan nilai integral suatu dalam permasalahan fisika dengan

suatu metode tertentu. Metode yang dimaksud disini adalah Metode Simpson, Metode

Simpson merupakan metode integrasi fungsi yang berbentuk sederhana namun

memilki keakuratan yang cukup tinggi. Ungkapannya adalah sebagai berikut :

Dimana x0 dan xn masing-masing adalah batas bawah dan batas atas integral, f i

= f(xi), N adalah cacah interval dan h adalah ukuran langkah atau lebar interval yang

diberikan oleh kaitan :

Perlu ditekankan bahwa dalam menerapkan metode Simpson tersebut cacah

interval yaitu N harus berupa bilangan genap.

V. METODE EKSPERIMEN

A. Membuat direktori baru

Hal awal yang dilakukan sebelum mengerjakan listing code adalah membuat

direktori baru dengan nama integrasi. Sebelum itu, kita buka terlebih dahulu

terminal console. Namun, sebelum direktori dibuat, maka perlu masuk dulu ke

folder nama kita yaitu :

>> cd Robiatul_14106

>> Robiatul_14106 >> mkdir integrasi

Dengan begitu, folder integrasi ada di dalam folder Robiatul_14106

B. Menyelesaikan permasalahan integral

Setelah folder integrasi dibuat, kita membuat suatu file dengan nama

“integrasi.f90” yang nantinya kita tulis dengan listing code yang akan dikerjakan.

Listing code berada pada folder integrasi. Caranya adalah :

>> integrasi >> kwrite integrasi.f90

Setelah itu akan muncul kwrite dan kita tulis listing code seperti berikut :

Listing code untuk fungsi 3x

PROGRAM integrasiIMPLICIT NONEREAL :: x0,xn,h,sum,x2i1,integINTEGER :: n, ix0=0.0xn=1.0n=20h=(xn-x0) /nsum=fung(0) +fung(xn)DO i=1X2i1=x0+ (2*i-1) *hSum=sum+4.0*fung(x2i1)Write(*,*)sumEND DODO i=1 , ( (n/2)-1)X2i=x0+2*i*hSum=sum+2.0*fung (x2i1)Write(*,*)sumEND DOInteg=h*sum/3.0WRITE(*,*) “Nilai integral numeric adalah “,integCONTAINSFUNCTION fung (x)REAL : : fungREAL, INTENT(in) : : xFung=3.0*xEND FUNCTION fungEND PROGRAM integrasi

Listing program tersebut di save dan dicoompile. Setelah ditemukan hasilnya,

nilai dari n divariasikan 20, 4.0, dan 10.0

Listing code program kedua adalah hamir sama dengan yang pertama, hanya saja

fungsinya diganti menjadi :

a) (x) / (1.0+x**5)

Listing programnya juga sama, hanya saja pada fung diganti dengan

fung=(x) / (1.0+x**5)

b) 2x3-6x+(3/x2+1)

Untuk fungsi yang ketiga juga sama, hanya saja pada fung diganti dengan

fung=2*x**3-6*x+(3/(x**2+1))

C. Masuk ke Gnuplot (Pembuatan Grafik)

Tampilannya seperti dibawah ini :

Setelah masuk ke gnuplot, maka plot grafik fungsinya dengan perintah :

fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> gnuplot

G N U P L O T Version 4.2 patchlevel 3 last modified Mar 2008 System: Linux 2.6.25.5-1.1-pae

Copyright (C) 1986 - 1993, 1998, 2004, 2007, 2008 Thomas Williams, Colin Kelley and many others

Type `help` to access the on-line reference manual. The gnuplot FAQ is available from http://www.gnuplot.info/faq/

Send bug reports and suggestions to <http://sourceforge.net/projects/gnuplot>

Terminal type set to 'x11'

Terminal type set to 'x11'gnuplot> set gridgnuplot> set xrange[0:1]gnuplot> plot 3*x

VI. HASIL EKSPERIMEN

Berikut adalah hasil eksperimennya

a) Fungsi 3x

b) Fungsi x/(1+x5)

fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> gfortran integrasi.f90 -o integrasifisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> ./integrasi 3.5999999 5.4000001 8.3999996 12.599999 18.000000 24.600000 32.400002 41.400002 51.600002 63.000000 63.599998 64.799995 66.599998 69.000000 72.000000 75.599998 79.799995 84.599998 90.000000 NIlai integral numerik adalah 1.5000000

fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> gfortran integrasi1.f90 -o integrasi1fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> ./integrasi1 0.69999993 1.2999544 2.2989788 3.6916642 5.4590511 7.5536342 9.8833227 12.307948 14.662999 16.805315 17.005314 17.405186 18.003731 18.795622 19.765320 20.878740 22.077299 23.282410 24.414137 NIlai integral numerik adalah 0.40690228

c) Fungsi 2x3-6x+(3/x2+1)

VII. PEMBAHASAN

Praktikum Fisika Komputasi ini merupakan kali ketiga dilaksanakan. Hal yang

dibahas dalam prkatikum adalah mengenai integrasi numeric. Yaitu penyelesaian

terhadap suatu fungsi guna mencari nilai akar dari persamaan tersebut. Cara yang

digunakan adalah dengan menggunakan beberapa metode yang dalam hal ini adalah

metode Simpson. Metode Simpson merupakan metode integrasi fungsi yang

berbentuk sederhana namun memilki keakuratan yang cukup tinggi. Ungkapannya

adalah sebagai berikut :

fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> gfortran integrasi2.f90 -o integrasi2fisanti010@linux-lz4s:~/Robiatul_14106/integrasi> ./integrasi2 17.089188 21.114361 19.714361 13.712053 4.5738869 -5.7482491 -14.911282 -20.218975 -18.630140 -6.7551050 -3.3538742 -2.7254605 -4.6496964 -8.5431595 -13.543159 -18.572144 -22.369118 -23.499723 -20.356627 NIlai integral numerik adalah -0.67855424

Hal pertama yang dilakukan dalam praktikum ini adalah

1. Membuat folder baru

Membuat folder baru ini tujuannya adalah agar antar file tidak tercampur. Caranya

seperti yang telah dijelaskan pada metode. Folder yang baru dibuat ini dinamakan

folder “integrasi”

2. Membuat listing code (integrasi, integrasi1, dan integrasi2) dan memvariasikan

nilai n

Listing code ini sesuai dengan yang ada pada buku panduan praktikum. Seperti

yang telah dipaparkan dalam metode, listing code yang akan ditulis dalam kwrite

ini ada sebanyak 3 (3 fungsi).

a. Fung 3x

b. Fung x/(1+x5)

c. Fung 2x3-6x+(3/x2+1)

Ketiga fungsi tersebut di tulis dalam kwrite, disimpan dan di compile lalu

dijalankan. Hasil dari masing-masing fungsi tersebut telah dijelaskan pada

hasil eksperimen. Nilai n pda masing-masing listing code divariasikan dari

mulai 20, 2.0, 4.0, 10 dll , dan diamati perbedaan hasil dari masing-masing

nilai n.

3. Memplot grafik dari integrasi dan integrasi1

Memplot grafik ini dilakukan pada fungsi pertama dan kedua. Cara untuk

memplot suatu grafik fungsi juga telah dijelaskan dalam metode eksperimen.

Untuk membuat suatu grafik, terlebih dahulu program harus masuk ke gnuplot.

Yaitu paket program untuk memplot data dan fungsi yang diberikan

pengguna.Untuk dapat mengaktifkan gnuplot caranya adalah mengetik perintah

gnuplot dari terminal console :

>> gnuplot

VIII. KESIMPULAN

Kesimpulan yang dapat diambil dari praktikum Fisika Komputasi ini adalah :

1. Pengguna telah memahami bagaimana cara menyelesaikan masalah fisika selain

teknik baku berupa metode analitik

2. Pengguna dapat menyelesaikan suatu permasalah fisika maupun matematis

mengenai integrasi numeric dengan metode simpson.

IX. DAFTAR PUSTAKA

Nurwantoro, Pekik, Dr, M.S. 2013. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi.

Laboratorium Fisika Atom dan Inti. FMIPA UGM

X. PENGESAHAN

Yogyakarta, 09 April 2013

Asisten Praktikan

Ega Pratama Robiatul Azizah

LAMPIRAN :

Gambar 1. Listing code untuk fungsi 3x

Gambar 3. Hasil integral numeric fungsi 3x

Gambar 4. Masuk ke gnuplot dan memplot grafik

Gambar 2. Grafik fungsi 3x

Gambar 5. Listing Code untuk fungsi (x)/(1.0*x**5)

Gambar 6. Hasil integrasi untuk fungsi (x)/(1.0*x**5) pada n = 2, 4, 10

Gambar 6. Hasil integral numeric untuk fungsi (x)/(1.0*x**5) pada n=2

Gambar 6. Listing Code untuk fungsi 2x3-6x+(3/x2+1)

Gambar 7. Hasil integral numeric untuk fungsi 2x3-6x+(3/x2+1)