Kurikulum 2013 e l a matematika wajib X

matematika wajib

ATURAN SEGITIGA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.1. Memahami aturan sinus dan kosinus, serta pembuktiannya.2. Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus dalam pemecahan masalah matematika

maupun masalah nyata.3. Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan luas segitiga.4. Dapat menyelesaikan masalah matematika maupun masalah nyata yang berkaitan

dengan luas segitiga.

X

Kelas

LUAS SEG

ITIGA

ATURAN SINUS

ATURAN KOSINUS

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac . cos B

c2 = a

2 + b2 – 2ab c

os C

BA

C

a

?

?

b

c

Lac

=1

2

sin B

Lbc

=1

2

sinA

L ab=12

sinC

cos C=+2

2 2 2a b cab−

cos B=+2

2 2 2a c bac−

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

cos A =+2

2 2 2b c abc−

a b csin A

=sin B

=sin C

Kurikulum 2013

2

A. Aturan Sinus

Untuk sembarang segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku aturan sinus berikut.

a b csin sin sinA B C

= =

Pembuktian:

Perhatikan segitiga sembarang ABC dengan sisi AB = c, sisi BC = a, dan sisi AC = b. Pada sisi AB, ditarik garis tinggi h seperti gambar berikut.

C

A BDc

hb a

Pada segitiga ADC, berlaku:

sin sinA A= → = ⋅hb

h b

Pada segitiga BDC, berlaku:

sin sinB B= → = ⋅

ha

h a

Dengan proses substitusi, akan didapatkan:

b ab a

⋅ = ⋅

=

sin sin

sin sin

A B

B A

Jika proses yang sama dilanjutkan dengan menggunakan garis tinggi pada AC, akan didapatkan aturan sinus yang melibatkan semua sisi dan sudut. Syarat penggunaan aturan ini adalah soal harus melibatkan dua pasang sudut-sisi yang saling berhadapan, dengan salah satunya tidak diketahui.

3

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar berikut!

A B

7 cm8 cm

10 cm

C

Jika nilai sin C =13

, nilai dari sin A dan sin B adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan aturan sinus berlaku:

ABC

ACB

B

B

sin sin

sin

sin

=

=

=

1013

8

415

Kemudian dengan menggunakan aturan yang sama, diperoleh:

ABC

BCA

A

A

sin sin

sin

sin

=

=

=

1013

7

730

Jadi, nilai sin A = 7

30 dan sin B =

415

.

4

55°

44 m

56 m

Contoh Soal 2

Menara Pisa awalnya dibangun dengan tinggi 56 meter. Oleh karena rentannya tanah pada fondasi, maka terjadi kemiringan. Jika pada jarak 44 meter dari dasar menara diperoleh sudut elevasi sebesar 55°, berapakah derajat kemiringan menara Pisa dari posisi awalnya?

(soal aplikasi aturan sinus pada buku “Algebra and Trigonometry edisi ketiga” yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:

Persoalan aplikasi trigonometri di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut.

44 meterA B

55o

x

56 m

eter

C

Dengan menggunakan aturan sinus, akan didapatkan persamaan berikut.

ABC

ACB

C

C

C

sin sin

sin sin

sinsin

sin ,

=

=°

=⋅ °

==

44 5655

44 5556

0 64364C 00 06 40, ° ≈ °

Dengan demikian, besar sudut A = 180° – (B + C) atau ∠A = 85°.

Jadi, besar derajat kemiringannya adalah x = 90° – A = 5°.

5

Contoh Soal 3

25,5o

1 mil

20,5o

Pada saat yang sama, sebuah balon udara terlihat oleh 2 orang teman yang terpisah sejauh 1 mil tepat di hadapan balon. Jika sudut elevasi dari dua orang ini berturut-turut adalah 20,5° dan 25,5°, berapakah tinggi balon udara pada saat itu? (soal aplikasi aturan sinus pada buku “Algebra and Trigonometry edisi ketiga” yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:


20,5o 25,5o

DA B1 mil

x

C

Oleh karena besar ∠ABC = 180° – 25,5° = 154,5°, maka besar ∠ACB =180° – (20,5° + 154,5°) = 5°.

Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC, didapatkan persamaan berikut.

ABC

BCABC

BC

BC

sin sin

sin sin ,sin ,

sin

=

°=

°

=°

°≈

15 20 5

20 55

4

6

Perhatikan segitiga BDC!

sin CBD

sin CBD

mil

=

= ⋅= ⋅ °≈

x

xxx

BCBC4 25 51 7

sin ,,

Jadi, ketinggian balon pada saat itu mendekati 1,7 mil.

B. Aturan Kosinus

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku aturan kosinus berikut.

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + − ⋅

= + − ⋅

= + − ⋅

c A

c B

c C

os

os

os

Pembuktian:

Perhatikan segitiga berikut!

Ac

b a

h

D

C

B

Pada segitiga siku-siku ADC, berlaku:

h2 = b2 – AD2 .... (1)

Pada segitiga siku-siku BDC, berlaku:

h2 = a2 – BD2 .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

b2 – AD2 = a2 – BD2

Oleh karena BD = c – AD, maka:

b a c

b a c c

a b c c

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

− = − −

− = − + ⋅ ⋅ −

= + − ⋅ ⋅

AD AD

AD AD AD

AD

( )

7

Pada segitiga ADC berlaku AD = b.cos A, sehingga persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A.

Dengan cara yang sama, akan diperoleh aturan-aturan kosinus lainnya.

Contoh Soal 4


AB

C

10 cm

5 cm

30°

Panjang sisi BC pada gambar tersebut adalah ....

Pembahasan:

AB

C

ab = 10 cm

c = 5 cm

30°

Dengan menggunakan aturan kosinus, didapatkan:

BC A2 2 2 2

2 2 2

2

2

10 5 2 10 5 30

125 1001

= = + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

= − ⋅

a b b c

a

a

c cos

cos

223

125 50 3

5 5 2 3

a

a

= −

= − cm

Jadi, panjang sisi BC adalah 5 5 2 3− cm.

8

Contoh Soal 5

Pada suatu segitiga ABC diketahui a = 8, b = 6, dan c = 7. Tentukan besar masing-masing sudutnya!

Pembahasan:

Sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

a b b c

b ab c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

26 7 8

2 6 7

= + − ⋅ ⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

c cos

cosc

cos

cos

A

A

A

AA

AA

=

=≈ °

−

0 25

0 2576

1

,

cos ( , )

Sudut B juga dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

b a c a c

a c ba c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

28 7 6

2 8 7

= + − ⋅ ⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

cos

cos

cos

cos

B

B

B

BB

BB

=

=≈ °

−

0 6875

0 687547

1

,

cos ( , )

Sudut C cukup ditentukan dengan menggunakan sifat segitiga berikut.

C A BCC

= °− += °− °+ °= °

180180 76 4757

( )( )

Jadi, besar masing-masing sudut adalah 76°, 47°, dan 57°.

9

Contoh Soal 6

Sinus sudut terbesar pada segitiga PQR yang memiliki ukuran sisi PQ = 6, QR = 4, dan PR = 8 adalah ....

Pembahasan:

Diketahui sisi PQ = r = 6, QR = p = 4, dan PR = q = 8.

Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terbesar. Oleh karena itu, sudut yang dicari nilai sinusnya adalah ∠Q, dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:

q p p r

p r qp r

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

4 6 82 4 6

= + − ⋅ ⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

r cos

cos

cos

cos

Q

Q

Q

QQ = −14

6

48

P

R

Q

Oleh karena yang dicari adalah nilai sinusnya, maka tidak perlu mengetahui besaran sudutnya. Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:

sin cos

sin

sin

Q Q

Q

Q

= −

= −

=

1

11

1614

15

2

Jadi, sinus sudut terbesarnya adalah 14

15 .

C. Aplikasi Aturan Kosinus

Contoh Soal 7

Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan jurusan tiga angka 102° dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232°. Jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam, hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam! (Soal pada buku pegangan Matematika kurikulum 2013 Semester 1)

10

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut!

utara

A

M

102° 232°

jarak kapal A dan B

B

Oleh karena kecepatan A 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 90 km. Oleh karena kecepatan B 45 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 135 km. Di lain pihak, besaran ∠ = °− ° = °AMB 232 102 130 . Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

AB AM BM AM BM M

ABAB

2 2 2

2 2 2

2

90 135 2 90 135 13020

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °=

cos

cos44 8, km

Jadi, jarak kedua kapal tersebut adalah 204,8 km.

Contoh Soal 8

Lapangan Baseball berbentuk persegi dengan panjang setiap sisinya 90 kaki. Jika tempat pelempar bola (pitcher) terletak 60,5 kaki dari tempat pemukul (home plate), maka berapa jauh jarak dari pelempar bola ke basis ketiga (third base)? (Contoh soal pada buku Algebra and Trigonometry edisi ketiga Cynthia Young)

11

basis kedua

home plate

tempat pelempar bola

? ?60,5 kaki

90 kaki

45°

90 kaki

90 kaki

90 kaki

basis pertamabasis ketiga

Pembahasan:


basis kedua

home plate

tempat pelempar bola

? ?60,5 kaki

90 kaki

45o

90 kaki

90 kaki

90 kaki

basis pertamabasis ketiga

A

BC

Pada segitiga ABC, berlaku:

BC AB AC AB AC

BC

BC

2 2 2

2 2 2

2 45

90 60 5 2 90 60 512

2

64

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

= + − ⋅ ⋅ ⋅

≈

cos

, ,

kkaki

Jadi, jarak pelempar bola ke basis ketiga adalah 64 kaki.

12

Contoh Soal 9

Sebuah satelit (S) pada orbit T

R

C

Shorison

lingkaran di sekitar Bumi terlihat dari stasiun pengawasan T (lihat gambar). Jika jarak TS yang ditentukan dengan radar adalah 1.034 mil dan sudut elevasi di atas ufuk adalah 32,4°, berapakah jarak satelit dari pusat bumi (C) pada saat terlihat? (Jari-jari bumi adalah 3.964 mil). (Soal di buku College Algebra with Trigonometry 9th ed. - R. Barnett, et. al., McGraw-Hill, 2011)

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut!

T

R

Shorison

C

32,4o

Diketahui ST = c = 1034 mil, CT = c = 3964 mil, CS = t, dan besar sudut STC:

∠ = °+ °∠ = °

STCSTC

90 32 4122 4

,,

Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

t c s c s

t

2 2 2

2 2 2

2

1034 3964 2 1034 3964 122 4

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

cos STC

cos ,tt ≈ 4601 62, mil

Jadi, jarak satelit dari pusat bumi mendekati 4601,62 mil.

13

D. Luas Segitiga

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C berlaku rumus luas segitiga berikut.

Luas ABC∆ = × ⋅ = × ⋅ = × ⋅12

12

12

ab bc acsin sin sinC A B

Pembuktian:


Ac

b a

h

D

C

B

Luas segitiga di atas (L) dapat dinyatakan dengan rumus berikut.

L

L

= × ×

= × ×

1212

AB CD

c h

Pada segitiga ADC, berlaku:

sin sinA A= → =hb

h b

Nilai h kamu substitusikan ke rumus luas, sehingga akan didapatkan: L c b= ⋅ ⋅12

sin A (terbukti).

Dengan cara yang sama dan dengan menggunakan aturan sinus, akan diperoleh rumus luas segitiga yang lainnya.

14

Contoh Soal 10


B

10

14

60o

A

C

Luas segitiga tersebut adalah ....

Pembahasan:

B

a = 10

c = 14

60o

A

C

L a c

L

L

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ °

=

1212

10 14 60

35 3

sin

sin

B

satuan luas

Jadi, luas segitiga di atas adalah 35 3 satuan luas.

Contoh Soal 11

Suatu segitiga ABC memiliki panjang sisi AB cm BC cm= =2 3, , dan AC = 5 cm. Luas segitiga ABC adalah ....

15

Pembahasan:


A B

C

c = AB cm BC cm= =2 3, , cm

a = AB cm BC cm= =2 3, , cmb = AC = 5 cm

Misalnya kamu hendak menggunakan rumus L b c= ⋅ ⋅ ⋅12

sin A.

Nilai b dan c sudah diketahui, namun nilai sin A belum. Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

a b c b c

b c ab c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

5 2 3

2

= + − ⋅ ⋅ ⋅

=+ −⋅ ⋅

=( ) + ( ) − ( )

⋅

cos

cos

cos

A

A

A55 2

5 2 3

2 102

10

⋅

=+ −

=

cos

cos

A

A

Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:

sin

sin

A

A

= −

= =

12

10

610

15

15

2

Dengan demikian, luas segitiga ABC adalah sebagai berikut:

L b c

L

L

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

=

1212

5 215

15

12

6

sin A

cm2

16

Jadi, luas segitiga ABC adalah 12

6 2cm .

Contoh Soal 12

Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki × 25 kaki memiliki bentuk seperti balok terbuka dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya. Jika dua bagian dari atap membentuk sudut 50° dan 33° dengan bidang datar sebagaimana dalam gambar, tentukan luas dari segitiga yang terbentuk tersebut! (Soal pada buku Algebra and Trigonometry, edisi ketiga, Cynthia Young)

x50°

a

b

15 kaki

25 kaki

33°

Pembahasan:

Perhatikan segitiga yang terbentuk pada atap tersebut!

A B

ab

33° 50°

c = 15 kaki

C

17

Besar sudut C dapat ditentukan sebagai berikut.

CC= °− °+ °= °

180 33 5097

( )

Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh:

c b

b

b

b

sin sin

sin sinsinsin

C B=

°=

°

= ×°°

≈

1597 50

155097

12 kaki

Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah sebagai berikut:

L b c

L

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ °

≈

1212

12 15 33

49 2

sin

sin

A

L

kaki

Jadi, luas segitiga yang terbentuk tersebut adalah 49 kaki2.

Kurikulum 2013 e l a matematika wajib X

Documents

Transcript of Kurikulum 2013 e l a matematika wajib X