Kunji Jawaban MTk Clas Xll Lps

169

Transcript of Kunji Jawaban MTk Clas Xll Lps

  • 1Matematika Kelas XII Program IPS

    1. M e n g g u n a k a n

    konsep integral dalam

    pemecahan masalah

    sederhana.

    Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

    Teliti

    Cermat

    Teliti dalam menentukan hasil integral fungsi aljabar.

    Cermat dalam menentukan batas-batas daerah untuk

    dihitung luasnya.

    Pada bab ini akan dipelajari:1. Integral sebagai Kebalikan dari Turunan (Antiderivatif)2. Integral Tak Tentu3. Integral Tertentu4. Integral Substitusi5. Integral Parsial6. Luas Daerah di Bawah Kurva

    Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter

    1.1 Memahami konsep in-

    tegral tak tentu dan in-

    tegral tentu.

    1.2 Menghitung integral

    tak tentu dan integral

    tentu dari fungsi

    aljabar sederhana.

    1.3 Menggunakan integral

    untuk menghitung

    luas daerah di bawah

    kurva.

    Menentukan integral fungsi aljabar Menentukan luas daerah di bawah

    kurva

    Menentukan integral tak tentu

    Menentukan integral tertentu

    Menentukan rumus fungsi jika

    diketahui turunannya

    Menentukan luas daerah yang

    dibatasi satu kurva

    Menentukan luas daerah yang

    dibatasi dua kurva

    Siswa mampu menentukan integral

    fungsi aljabar

    Siswa mampu menentukan luas

    daerah di bawah kurva

    Menentukan integral dengan

    metode pengintegralan

    Melakukan pengintegralan dengan

    metode substitusi

    Melakukan pengintegralan dengan

    metode parsial

    Siswa mampu menentukan integral

    dengan metode pengintegralan

    Siswa dapat menggunakan konsep integral

    dalam pemecahan masalah sederhana

    Integral

  • 2 Integral

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: b

    (4x3 6x2 + 2x + 3) dx=

    + x3 + 1

    + x2 + 1 +

    + x1 + 1 + 3x + c

    =

    x4

    x3 +

    x2 + 3x + c

    = x4 2x3 + x2 + 3x + c

    2. Jawaban: a

    dx =

    dx

    = (3x 4x) dx=

    + x

    + 1

    + x1 + 1 + c

    =

    x

    x2 + c

    = 6 2x2 + c

    3. Jawaban: b

    f(x) dx = dx= x

    dx

    =

    + x

    + 1 + c1

    =

    x

    + c1

    =

    x + c1

    g(x) dx = 2x3 dx= 2

    + x3 + 1 + c2

    =

    x4 + c2

    =

    x4 + c2

    f(x) dx + g(x) dx =

    x +

    x4 + c

    4. Jawaban: d

    f(x) = 3x2 + 6x 5 dan f(1) = 8f(x) = f(x) dx

    = (3x2 + 6x 5) dx= 3

    x3 + 6

    x2 5x + c

    = x3 + 3x2 5x + c

    f(1) = 8 (1)3 + 3(1)2 5(1) + c = 8 1 + 3 + 5 + c = 8 c = 1

    Jadi, f(x) = x3 + 3x2 5x + 1.

    5. Jawaban: a

    MC = 1.000 8x + 6x2

    TC = MC dx = (1.000 8x + 6x2) dx= 1.000x 4x2 + 2x3 + c

    x = 0 TC = 40.000 0 0 + 0 + c = 40.000 c = 40.000

    Jadi, rumus biaya totalnya adalah

    TC = 2x3 4x2 + 1.000x + 40.000.

    6. Jawaban: d

    (3x2 4x + 5) dx

    =

    + = (23 2(2)2 + 5(2)) ((2)3 2(2)2 + 5(2))

    = (8 8 + 10) (8 8 10)

    = 10 (26) = 36

    7. Jawaban: e

    (x2 + 6x 8) dx

    =

    +

    = (

    (4)3 + 3(4)2 8(4)) (

    (2)3 + 3(2)2 8(2))

    = (

    + 48 32) (

    + 12 16)

    = (

    ) (

    ) =

    8. Jawaban: d

    + dx = 10 x2 + x

    = 10

    (9 + 3) (a2 + a) = 10 12 a2 a = 10 a2 + a 2 = 0 (a + 2)(a 1) = 0 a = 2 atau a = 1Jadi, salah satu nilai a adalah 1.

  • 3Matematika Kelas XII Program IPS

    9. Jawaban: c

    2x + y = 3 x =

    x dy =

    dy

    =

    (3 y) dy

    =

    3y

    y2

    =

    ((3

    ) (3

    ))

    =

    (6) = 3

    10. Jawaban: b

    f(x) dx = 2

    2f(x) dx = 2 2

    f(x) dx = 2

    f(x) dx = 1

    f(x) dx =

    f(x) dx +

    f(x) dx

    2 =

    f(x) dx + 1

    f(x) dx = 2 1 = 1

    Jadi,

    f(x) dx = 1.

    B. Uraian

    1. a. x4 dx = + x4 + 1 + c

    =

    x5 + c

    b. dx = x3 dx

    =

    + x3 + 1 + c

    =

    x2 + c

    =

    + c

    c.

    dx = x dx

    =

    + x

    + 1 + c

    = 2x

    + c

    =

    + c

    d.

    dx = x2 dx

    = x dx=

    + x

    + 1 + c

    =

    x

    + c

    =

    x2 + c

    2. a. f(x) dx = (6x2 3x + 2) dx= 6

    x3 3

    x2 + 2x + c

    = 2x3

    x2 + 2x + c

    b. f(x) dx = (3x 4 ) dx= (3x 4x) dx= (3x

    4x) dx

    = 3

    x

    4

    x2 + c

    =

    x2 2x2 + c

    c. f(x) dx = (3x + 2)2 dx= (9x2 + 12x + 4) dx= 9

    x3 + 12

    x2 + 4x + c

    = 3x3 + 6x2 + 4x + c

    d. f(x) dx = (2 + 1)(3 2) dx= (6x 2) dx= (6x x

    2) dx

    = 6

    x2

    x

    2x + c

    = 3x2

    x 2x + c

  • 4 Integral

    3. f(x) = 2x + 2y = f(x) = f(x) dx

    = (2x + 2) dx= x2 + 2x + c

    Kurva melalui titik (2, 5).

    y = x2 + 2x + c

    5 = 22 + 2(2) + c 5 = 4 + 4 + c 5 = 8 + c c = 3Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 + 2x 3.

    4. MC = 12x 8

    TC = MC dx= (12x 8) dx= 6x2 8x + c

    TC(5) = 130

    6(5)2 8(5) + c = 130 150 40 + c = 130 110 + c = 130 c = 20Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuan

    rupiah) adalah TC = 6x2 8x + 20.

    5. a. f(x) = 4 6xf(x) = f(x) dx = (4 6x) dx

    = 4x 3x2 + c

    f(3) = 12 4(3) 3(3)2 + c = 12 12 27 + c = 12 c = 3

    Jadi, f(x) = 3x2 + 4x + 3.

    b.

    f(x) dx =

    (3x2 + 4x + 3) dx

    =

    + + = (8 + 8 + 6) (1 + 2 3)

    = 6 0

    = 6

    6. f(x) = 12x2 4x + 2

    g(x) = 8 2x

    a.

    g(x) dx =

    (8 2x) dx =

    = (8 1) (16 4)

    = 7 (20)

    = 27

    g(x) dx =

    (8 2x) dx =

    = (24 9) (8 1)

    = 15 7

    = 8

    g(x) dx

    g(x) dx = 27 8 = 19

    b.

    =

    (12x2 4x + 2) dx

    =

    + = (108 18 + 6) (32 8 4)

    = 96 (44)

    = 140

    =

    +

    = 27 + 8

    = 35

    +

    = 140 + 35 = 175

    c.

    = 2

    5

    = 2 140 5 35

    = 280 175

    = 105

    7. a.

    10r dr = 10

    dr

    = 10

    = 4(

    )= 4(32 0)

    = 128

    b.

    (2p 5) dp =

    = (22 5 2) ((1)2 5(1))

    = (4 10) (1 + 5)

    = 6 6

    = 12

    c.

    + ) dy

    =

    + y2) dy

    =

    = (

    (2)3 (2)1) (

    (4)3 (4)1)

  • 5Matematika Kelas XII Program IPS

    =

    ++

    =

    ++

    =

    = 18

    d.

    2)(x + 5) dx

    =

    + 3x 10) dx

    =

    +

    = 0 (

    (2)3 +

    (2)2 10(2))

    =

    20

    = 2

    6 20

    = 23

    8. a.

    (4x a) dx = 12

    = 12(18 3a) (2 a) = 12 16 2a = 12 2a = 4 a = 2

    b.

    (3 2x) dx = 14

    = 14

    (3a a2) (3 1) = 14 3a a2 + 4 = 14 a2 3a 18 = 0 (a + 3)(a 6) = 0 a = 3 atau a = 6Jadi, nilai a = 6.

    9. y2 = 2 x x = 2 y2

    a.

    x dy =

    (2 y2) dy

    =

    = ((2

    ) (2 +

    ))

    = 2

    + 2

    = 3

    b.

    (x + x2) dy

    =

    ((2 y2) + (2 y2)2) dy

    =

    (2 y2 + 4 4y2 + y4) dy

    =

    (6 5y2 + y4) dy

    =

    y3 +

    y5

    = (6

    +

    ) 0

    = 4

    10. a.

    2g(x) dx = 6 2

    g(x) dx = 6

    g(x) dx = 3

    b.

    (2f(x) 3g(x)) dx

    = 2

    f(x) dx 3

    g(x) dx

    = 2(8) 3(3)

    = 7

  • 6 Integral

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: c

    Misalkan u = x2 12

    = 2x 2x dx = du

    2x(x2 12)4 dx = (x2 12)4 2x dx= u4 du=

    u5 + c

    =

    (x2 12)5 + c

    2. Jawaban: c

    Misalkan u = x2 6x + 2

    = 2x 6

    = 2(x 3)

    du = 2(x 3) dx (x 3)(x2 6x + 2) dx= (x2 6x + 2)(x 3) dx= u

    du

    =

    u du

    =

    (

    u2) + c

    =

    u2 + c

    =

    (x2 6x + 2)2 + c

    3. Jawaban: e

    Misalkan u = x2 2

    = 2x du = 2x dx

    2x dx = 2x dx= du=

    du

    =

    + c

    =

    u + c

    =

    (x2 2) + c

    4. Jawaban: c

    Misalkan u = 3x2 + 9x 1

    = 6x + 9 = 3(2x + 3)

    (2x + 3) dx =

    ++

    dx

    = (3x2 + 9x 1) (2x + 3) dx=

    =

    du

    =

    2u

    + c

    =

    + + c

    5. Jawaban: a

    8x(6x

    dx

    =

    x(6x

    6 dx

    =

    x(6x

    d(6x 1)

    =

    x d

    (6x

    =

    (x

    (6x

    (6x

    dx)

    = x(6x

    (6x

    6 dx

    = x(6x

    (6x

    + c

    = x(6x

    (6x

    + c

    6. Jawaban: a

    f(x) dx = 6Misalkan u = 5 x

    = 1 dx = du

    x = 1 u = 5 1 = 4x = 4 u = 5 4 = 1

    f(5 x) dx=

    f(u)(du)

    =

    f(u)(du)

    =

    f(u) du = 6

  • 7Matematika Kelas XII Program IPS

    7. Jawaban: b

    Misalkan u = 4 2x

    = 2 dx =

    x = 1 u = 4 2 = 2x = 2 u = 4 4 = 0

    (4 2x)4 dx =

    u4

    =

    u4 du

    =

    =

    (05 25)

    =

    (32)

    = 3,2

    8. Jawaban: d

    Misalkan u = 3x2 2

    = 6x du = 6x dx

    3x(3x2 2)2 dx =

    (3x2 2)2 3x dx

    =

    u2(

    du)

    =

    u2 du

    =

    =

    =

    =

    ((3 2)3 (0 2)3)

    =

    (1 (8))

    =

    (9)

    =

    9. Jawaban: c

    Misalkan u = 9 x3 du = 3x2 dx

    du = x2 dx

    dx = (9 x3) x2 dx

    =

    du = (2)u

    + c

    =

    + c =

    + c

    dx =

    =

    =

    =

    =

    10. Jawaban: c

    x dx=

    x 4 dx

    =

    x(4x +

    d(4x + 1)

    =

    x d

    (4x +

    =

    (x

    (4x +

    (4x +

    dx)

    =

    (

    x (4x +

    (4x +

    4 dx)

    =

    (

    x(4x +

    (4x +

    ) + c

    + dx=

    + + =

    ((

    2 27

    243) (0

    ))

    =

    (36

    +

    )

    =

    =

    = 4

    B. Uraian

    1. a. Misalkan u = 5 x

    = 1 dx = du

    dx =

    (du)

    = 2 u du= 2 2u

    + c

    = 4 + c

  • 8 Integral

    b. Misalkan u = x2 3

    = 2x 2x dx = du

    2x(x2 3)3 dx = (x2 3)3 2x dx= u3 du=

    u4 + c

    =

    (x2 3)4 + c

    c. Misalkan u = 2x 3

    = 2 dx =

    (4x 6) dx= (2(2x 3)(2x 3) dx= 2 (2x 3) dx= 2 u

    = u du=

    u

    + c

    =

    (2x 3)2 + c

    d. Misalkan u = 4 3x2

    = 6x x dx =

    dx = 3 (4 3x2)2 x dx

    = 3 u2

    =

    u2 du

    =

    u1 + c

    =

    + c

    =

    + c

    =

    + c

    2. Misalkan u = x2 4x 1

    = 2x 4 du = (2x 4) dx = 2(2 x) dx

    (2 x) dx =

    du

    x = 0 u = 0 0 1 = 1x = 2 u = 4 8 1 = 5

    dx =

    4x 1)2 (2 x) dx=

    ( ) du

    =

    du

    =

    =

    =

    =

    (

    )

    =

    3. Misalkan u = x4 3x3 + 2

    = (4x3 9x2) dx

    + dx=

    (x4 3x3 + 2)2(4x3 9x2) dx

    =

    u2 du

    =

    =

    + = (

    +

    + )

    = (

    )

    = (

    ) =

    4. a. x (2x 1)4 dxMisalkan

    u = x

    = 1

    du = dxdv = (2x 1)4 dx

    v = (2x 1)4 dx= (2x 1)4

    d(2x 1)

    =

    (2x 1)4 d(2x 1)

    =

    (2x 1)5

    =

    (2x 1)5

  • 9Matematika Kelas XII Program IPS

    u dv = uv v du x (2x 1)4 dx= x

    (2x 1)5

    (2x 1)5 dx

    =

    x(2x 1)5

    (2x 1)5 2 dx

    =

    x(2x 1)5

    (2x 1)6 + c

    =

    x(2x 1)5

    (2x 1)6 + c

    b.

    + dx = (3x + 2)(x 4)

    dx

    Misalkan

    u = 3x + 2

    = 3

    du = 3 dxdv = (x 4)

    dx

    v = (x 4) dx= (x 4) d(x 4)=

    (x 4)

    = 2(x 4)

    u dv = uv v du

    + dx

    = (3x + 2) 2(x 4)

    2(x 4) 3 dx= (6x + 4) 6 (x 4)

    d(x 4)

    = (6x + 4) 6

    (x 4)

    + c

    = (6x + 4) 4(x 4) + c= (6x + 4 4x + 16) + c= (2x + 20) + c

    5. a. Misalkan

    u = 4x du = 4 dxdv =

    dx =

    dx

    v =

    dx

    =

    (1)dx

    =

    d(4 x)

    = 2

    u dv = uv v du

    dx

    = 4x d(2

    )= 4x (2

    ) (2

    ) 4 dx

    = 8x

    8

    (1) dx

    = 8x

    8

    d(4 x)

    = 8x

    8

    + c

    = 8x

    + c

    Jadi, f(x) dx = 8x

    + c.

    b.

    f(x) dx =

    = (24

    ) (0

    )

    =

    +

    =

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: c

    Persamaan garis:

    2x + 3y 12 = 0

    3y = 2x + 12 y =

    x + 4

    Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y =

    x +

    4 dan sumbu X pada interval 1 x 3. Luasdaerah yang diarsir:

    L =

    ( x + 4) dx

  • 10 Integral

    2. Jawaban: c

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    y dx

    =

    (4 x2) dx

    =

    = (4

    ) (4 +

    )

    =

    (

    )

    =

    = 7

    satuan luas

    3. Jawaban: d

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    y dx

    =

    (x2 + 3x + 10) dx

    =

    + +

    = (

    +

    + 50) (

    +

    10)

    =

    +

    + 50 + 10

    =

    +

    + 60

    = 42 + 36 + 60

    = 54 satuan luas

    4. Jawaban: c

    Daerah yang diarsir dibatasi parabola

    y = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 x 2.Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (x2 + 1) dx

    =

    x3 + x

    = (

    + 2) 0

    = 4

    satuan luas

    5. Jawaban: c

    Daerah yang diarsir dibatasi

    oleh parabola y = (3 x)2

    dan sumbu X pada interval

    0 x 3.Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (3 x)2 dx

    =

    (9 6x + x2) dx

    =

    +

    = (27 27 + 9) 0

    = 9 satuan luas

    6. Jawaban: d

    Perpotongan kedua kurva:

    Substitusikan y = ke x + y 6 = 0.

    x + 6 = 0 ( )2 + 6 = 0 ( + 3)( 2) = 0 = 3 atau = 2 (tidak ada) x = 4

    Y

    X

    y = 4 x2

    3 2 1 0 1 2 3

    4

    Y

    X

    y = x2 + 3x + 10

    2 10 1 2 3 4 5

    10

    Y

    X

    y =

    x + y 6 = 0

    0 4 6

    I II

  • 11Matematika Kelas XII Program IPS

    Daerah I dibatasi oleh kurva y = dan sumbu

    X pada interval 0 x 4.Luas daerah I: LI =

    dx

    Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 x dan sumbu X

    pada interval 4 x 6.Luas daerah II: LII =

    (6 x) dx

    Luas daerah yang diarsir:

    L = LI + LII =

    dx +

    (6 x) dx

    =

    dx

    (x 6) dx

    7. Jawaban: c

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    4x dx +

    (6 + 5x x2) dx

    = 2x2

    + 6x +

    x2

    x3

    = (18 0) + ((36 + 90 72) (18 +

    9))

    = 18 + 54 31

    = 40

    satuan luas

    8. Jawaban: b

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    ((4 x2) (x + 2)) dx

    =

    (2 x2 + x) dx

    =

    +

    = (2(2)

    (2)3 +

    (2)2) 0

    = 4

    + 2

    =

    satuan luas

    9. Jawaban: c

    y = x2

    y = 2x

    0 = x2 2x

    x(x 2) = 0 x = 0 atau x = 2Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2.

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (2x x2) dx

    = x2

    x3

    = (22

    (2)3) 0

    = 4

    =

    satuan luas

    10. Jawaban: e

    Daerah I pada interval 2 x 4 dan dibatasi olehgaris y

    1 = x 2 dan sumbu X.

    Luas daerah I:

    LI =

    y1 dx

    =

    (x 2) dx

    =

    = (8 8) (2 4)

    = 0 (2)

    = 2 satuan luas

    0

    Y

    X3

    y = 6 + 5x x2

    6

    y = 4x

    1

    6

    0

    Y

    X

    2

    y = 4 x2

    4

    y = x + 22

    Y

    X

    0 2 4 5

    y2 = x2 6x + 8

    y1 = x 2

    I

    II

  • 12 Integral

    Daerah II pada interval 4 x 5 dan dibatasi olehgaris y

    1 = x 2 dan parabola y

    2 = x2 6x + 8.

    Luas daerah II:

    LII

    =

    (y1 y2) dx

    =

    ((x 2) (x2 6x + 8)) dx

    =

    (7x x2 10) dx

    =

    = (

    50) (56

    40)

    = 4

    (5

    )

    = 1

    satuan luas

    Luas daerah yang diarsir:

    L = LI + L

    II

    = 2 + 1

    = 3

    satuan luas

    B. Uraian

    1. a. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua

    bagian.

    Daerah I dibatasi parabola y =

    x2 dan

    sumbu X pada interval 0 x 2.Daerah II dibatasi garis y = 4 x dan

    sumbu X pada interval 2 x 4.Luas daerah yang diarsir:

    L = LI + LII

    =

    x2 dx +

    (4 x) dx

    =

    x3

    + 4x

    x2

    = (

    0) + (16 8) (8 2)

    =

    + 2

    = 3

    satuan luas

    b. Daerah yang diarsir dibatasi parabola

    y = 8 2x2 dan garis y = 2 x pada interval

    0 x 2.Luas daerah yang diarsir:

    L =

    ((8 2x2) (x + 2)) dx

    =

    (6 2x2 + x) dx

    =

    +

    = 12

    + 2 0

    = 8

    satuan luas

    2. a. Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 x, dan

    sumbu X.

    b. Luas daerah D:

    L =

    2x dx +

    (3 x) dx

    = x2

    + 3x

    x2

    = (1 0) + (9

    ) (3

    )

    = 1 + 4

    2

    = 3 satuan luas

    3. Jawaban:

    Daerah D dibatasi pa-

    rabola y = x2 + x + 6 dan

    garis y = 2x + 4.

    y = 2x + 4

    y = x2 + x + 6

    0 = x2 + x 2

    (x + 2)(x 1) = 0 x = 2 atau x = 1Diperoleh batas pengintegralan 2 x 1.

    0

    Y

    X3

    y = 3 x

    1

    y = 2x

    3

    2

  • 13Matematika Kelas XII Program IPS

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    ((x2 + x + 6) (2x + 4)) dx

    =

    (x2 x + 2) dx

    =

    x3

    x2 + 2x

    = (

    + 2) (

    2 4)

    = (1

    ) (3

    )

    = 4

    satuan luas

    4. a.

    b. Luas daerah D

    LI =

    (y1 y2) dx

    =

    ((x + 2) x2) dx

    =

    (x + 2 x2) dx

    =

    +

    = (

    + 2

    )

    =

    +

    =

    LII =

    (y2 y1) dx

    =

    (x2 (x + 2)) dx

    =

    (x2 + x 2) dx

    =

    +

    = (

    +

    4) (

    +

    2)

    = (

    2) (

    +

    2)

    =

    2 + 2

    =

    =

    =

    Luas daerah yang diarsir:

    L = LI + LII

    =

    +

    =

    = 3

    Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.

    5. a. Titik potong antara kedua kurva

    (x + 2)2 = 10 x2

    x2 + 4x + 4 = 10 x2 2x2 + 4x 6 = 0 x2 + 2x 3 = 0 (x 1) (x + 3) = 0 x = 1 atau x = 3

    Y

    X

    x = 2y

    1 = x + 2

    y2 = x2

    2 1 0 1 2

    4

    3

    2

    1 III

    y = (x + 2)2

    y = 10 x2

    Y

    X3 1

    D

  • 14 Integral

    b. Luas daerah D

    L =

    ((10 x2) (x + 2)2) dx

    =

    ((10 x2) (x2 + 4x + 4)) dx

    =

    (6 2x2 4x) dx

    =

    = (6

    2) (18 (

    ) 18)

    = (3

    ) (18)

    = 21

    Jadi, luas daerah D adalah 21

    satuan luas.

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: a

    (2x + 3) dx = + x1 + 1 + 3x + c

    =

    x2 + 3x + c

    = x2 + 3x + c

    2. Jawaban: a

    x(2 + 3x) dx = (2x + 3x2) dx= 2

    x2 + 3

    x3 + c

    = x2 + x3 + c

    3. Jawaban: b

    (x + 3)(3x 1) dx= (3x2 + 8x 3) dx= 3 x2 dx + 8 x1 dx 3 x0 dx=

    + x2 + 1 +

    + x1 + 1

    + x0 + 1 + c= x3 + 4x2 3x + c

    4. Jawaban: c

    3x3 dx = 3 x dx= 3

    x

    + c

    =

    x4 + c

    5. Jawaban: d

    dx = x2 dx

    = x dx=

    x

    + c

    =

    x2 + c

    6. Jawaban: c

    f(x) = 4x 3f(x) = f(x) dx

    = (4x 3) dx= 2x2 3x + c

    f(1) = 9

    2(1)2 3(1) + c = 9 2 + 3 + c = 9 c = 4Jadi, f(x) = 2x2 3x + 4.

    7. Jawaban: a

    f(x) = f(x) dx= (x2 + 3x 1) dx=

    x3 +

    x2 x + c

    f(1) =

    13 +

    12 1 + c =

    +

    1 + c =

    + c =

    c = 0

    Jadi, f(x) =

    x3 +

    x2 x.

    8. Jawaban: b

    = 3x2 + 4x 5

    Persamaan kurva:

    y = (3x2 + 4x 5) dx = x3 + 2x2 5x + cKurva melalui titik (1, 2).

    (1, 2) 2 = 1 + 2 5 + c c = 4

    Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 5x + 4

    9. Jawaban: d

    MC = 8x 5

    TC = MC dx= (8x 5) dx= 4x2 5x + c

  • 15Matematika Kelas XII Program IPS

    TC(5) = 80

    4(52) 5(5) + c = 80 100 25 + c = 80 75 + c = 80 c = 5Jadi, TC = 4x2 5x + 5.

    10. Jawaban: d

    2x(8 x2) dx =

    (16x 2x3) dx

    =

    =

    = (32 8) 0

    = 24

    11. Jawaban: d

    1) dx =

    = (32 3) (b2 b)

    = 6 b2 + b

    1) dx = 6 6 b2 + b = 6 b2 b = 0 b (b 1) = 0 b = 0 atau b = 1Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1.

    12. Jawaban: d

    dx = 4

    ax3 dx = 4

    = 4

    (

    ) = 4

    (

    1) = 4

    (

    ) = 4

    = 4

    4a = 36 a = 9

    13. Jawaban: b

    f(x) dx = 3

    2g(x) dx = 4 2

    g(x) dx = 4

    g(x) dx = 2

    (2f(x) g(x)) dx

    = 2

    f(x) dx

    g(x) dx

    = 2(3) (2)

    = 8

    14. Jawaban: b

    (3x 2)2 dx = 8

    (3x 2)2 dx =

    (3x 2)2 dx = 5

    (3x 2)2 dx =

    (3x 2)2 dx +

    (3x 2)2 dx

    = 8 + (5) = 3

    15. Jawaban: e

    Misalkan u = 2x + 5

    = 2

    du = dx

    dx =

    du

    = 3 u2 du= 3

    u1 + c

    =

    + c

    =

    + + c

    16. Jawaban: c

    Misalkan u = 3x2 1

    = 6x du = 6x dx

    3x(3x2 1)2 dx = (3x2 1)2 3x dx= u2(

    du)

    =

    u2 du

    =

    u3 + c

    =

    (3x2 1)3 + c

  • 16 Integral

    17. Jawaban: d

    Misalkan u = 1 + 2x x2

    = 2 2x = 2(x 1)

    (x 1) dx =

    + dx= (1 + 2x x2)3 (x 1) dx= u3

    =

    u3 du

    =

    u2 + c

    =

    (1 + 2x x2)2 + c

    =

    + + c

    18. Jawaban: b

    Misalkan u = 1 2x2

    = 4x du = 4x dx

    dx = (1 2x2)

    (4x dx)

    = u du=

    u

    + c

    = 2 + c

    = 2 + c

    19. Jawaban: c

    Misalkan u = x2 3x + 8

    = 2x 3 du = (2x 3) dx

    dx = (x2 3x +

    2(2x 3) dx

    =

    2 du

    = 2

    +

    + c

    = 2 2

    + c

    = 4 + c

    = 4 + c

    20. Jawaban: d

    Misalkan u = x2 2

    = 2x du = 2x dx

    4x(x2 2)4 dx =

    (x2 2)4 4x dx

    =

    u4(2 du)

    = 2

    u4 du

    = 2

    =

    =

    (25 (2)5)

    =

    (32 (32))

    =

    (64)

    =

    21. Jawaban: c

    3x + dx =

    + 6x dx

    =

    ( ) + d (3x2 + 1)

    =

    +

    =

    (

    + + )

    =

    (8 1)

    =

    22. Jawaban: c

    Misalkan

    u = 4x du = 4 dxdv = (x 2)3 dx

    v = (x 2)3 dx= (x 2)3 d(x 2)=

    (x 2)4

    u dv = uv v du

  • 17Matematika Kelas XII Program IPS

    4x(x 2)3 dx= (4x)

    (x 2)4

    (x 2)4 (4 dx)

    = x(x 2)4 (x 2)4 d(x 2)= x(x 2)4

    (x 2)5 + c

    =

    (x 2)4 (5x (x 2)) + c

    =

    (4x + 2)(x 2)4 + c

    23. Jawaban: d

    Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2

    x)2 dan sumbu X pada interval 0 x 2.Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (2 x)2 dx

    =

    (4 4x + x2) dx

    =

    +

    = (8 8 +

    ) 0

    =

    satuan luas

    24. Jawaban: c

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    y dx

    =

    (x2 + 4x + 5) dx

    =

    + +

    = (

    + 32 + 20) (

    + 2 + 5)

    = (

    + 52) (

    + 7)

    =

    +

    + 52 7

    =

    + 45 = 21 + 45

    = 24 satuan luas

    25. Jawaban: c

    L =

    + 4x) dx

    =

    = (9 + 18) (

    + 2) = 7

    satuan luas

    26. Jawaban: a

    Tentukan titik potong antara kedua kurva

    y = x2 x2 = x

    y = x x2 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 atau x = 1

    L =

    (x x2) dx

    =

    = (

    ) 0

    =

    satuan luas

    27. Jawaban: e

    y = 2 x2 4x 3 = 2 x2 4x 5 = 0 (x + 1)(x 5) = 0 x = 1 atau x = 5

    Parabola dan garis berpotongan di titik (1, 0) dan

    (5, 0).

    Y

    X

    y = x2 + 4x + 5

    8

    5

    1 0 1 2 3 4 5

    Y

    X0 1 2 3 4

    y = x2 + 4x

    0

    Y

    X

    y = x2 4x 3

    51

    y = 22

  • 18 Integral

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (2 (x2 4x 3)) dx

    =

    (x2 + 4x + 5) dx

    =

    (x2 4x 5) dx

    =

    x3 2x2 5x

    = ((

    50 25) (

    2 + 5))

    = (33

    2

    )

    = 36 satuan luas

    28. Jawaban: e

    Luas daerah pada interval 0 x 1

    LI =

    ((2 x) x2) dx

    =

    (2 x x2) dx

    =

    = (2(1)

    (1)2

    (1)3) 0

    = 2

    =

    satuan luas

    Luas daerah pada interval 1 x 2

    LII =

    (x2 (2 x)) dx

    =

    (x2 + x 2) dx

    =

    +

    = (

    + 2 4) (

    +

    2)

    =

    (

    )

    =

    satuan luas

    Luas daerah yang diarsir:

    L = LI + LII

    =

    +

    =

    = 3 satuan luas

    29. Jawaban: c

    Menentukan titik potong antara kedua kurva

    y = x2 x 2

    y = x + 1

    0 = x2 2x 3

    (x + 1)(x 3) = 0 x = 1 atau x = 3

    Luas daerah yang diarsir:

    L =

    (y1 y2) dx =

    ((x + 1) (x2 x 2)) dx

    =

    (2x x2 + 3) dx

    =

    +

    = (9 9 + 9) 0

    = 9 satuan luas

    30. Jawaban: c

    Titik potong kedua kurva:

    y1 = y2 6x x2 = x2 2x 2x2 8x = 0 2x(x 4) = 0 x = 0 atau x = 4

    Y

    X

    y1 = x + 1

    y2 = x2 x 2

    1

    1

    2

    0 2 3

    Y

    X0 2 4

    y = 6x x2

    y = x2 2x

    6

  • 19Matematika Kelas XII Program IPS

    Luas=

    ((6x x2) (x2 2x)) dx

    =

    (8x 2x2) dx

    =

    = 4(4)2

    (4)3 0

    =

    satuan luas

    B. Uraian

    1. a. (2x + 3)(3x 2) dx= (6x2 + 5x 6) dx= 6

    x3 + 5

    x2 6x + c

    = 2x3 +

    x2 6x + c

    b. (3 2 )2 dx= (9 12x + 4x) dx= 9x 12

    x

    + 4

    x2 + c

    = 9x 8x + 2x2 + c

    2. a.

    dx =

    (3 2x) dx

    =

    = (3 1) (0 0)

    = 2

    b.

    (12 14x + x2) dx

    = 12x 7x2 +

    x3

    = (24 28 +

    ) (12 7 +

    )

    = 6

    3. a.

    y dx =

    (2x + 1) dx

    = x

    2 + x

    = (16 + 4) (1 + (1))

    = 20

    b.

    (y2 y) dx

    =

    ((2x + 1)2 (2x + 1)) dx

    =

    (4x2 + 4x + 1 2x 1) dx

    =

    (4x2 + 2x) dx

    =

    x3 + x2

    = (

    + 4) 0

    = 14

    4. a. f(x) = mx 4f(1) = 2 m 4 = 2

    m = 6Diperoleh f(x) = 6x 4f(x) = f(x) dx = (6x 4) dx

    = 3x2 4x + c

    f(1) = 3 3(1)2 4(1) + c = 3 3 + 4 + c = 3 c = 4

    Jadi, f(x) = 3x2 4x 4.

    b. f(x) dx = (3x2 4x 4) dx= x3 2x2 4x + c

    5. Misalkan u = x2 x + 8

    = 2x 1 du = (2x 1) dx

    (6x 3) + dx= 3 + (2x 1)dx= 3 du= 3 u du= 3

    u

    + c

    = 2 + c

    = 2u + c

    = 2(x2 x + 8) + + c6. Misalkanu = x2 4x + 2

    = 2x 4 du = (2x 4) dx

    x = 0 u = 0 0 + 2 = 2x = 1 u = 1 4 + 2 = 1

  • 20 Integral

    dx

    =

    (x2 4x + 2)2 4(2x 4) dx

    = 4

    u2 du

    = 4

    = 4

    = 4(

    )

    = 4 (

    )

    = 6

    7.

    4x(x 3)3 dxTurunan Integral

    4x (x 3)3

    4

    (x 3)4

    0

    (x 3)5

    4x(x 3)4 dx

    =

    =

    =

    =

    +

    =

    +

    = (1)4

    (16 + 3) (1)4

    (8 + 3)

    =

    =

    = 1

    Jadi,

    4x(x 3)3 dx = 1

    .

    8. a. Titik potong kurva dengan sumbu X

    x2 4x + 3 = 0

    (x 1)(x 3) = 0 x = 1 atau x = 3

    L =

    (x2 4x + 3) dx

    =

    +

    = ((9 18 + 9) (

    2 + 3))

    = (0 1

    )

    = 1

    satuan luas

    b. Titik potong kurva dengan sumbu X

    8 2x2 = 0

    2x2 = 8 x2 = 4 x = 2 atau x = 2L =

    2x2) dx

    =

    = (8 2

    23) (8 (2)

    (2)3)

    = (16

    ) (16 (

    )

    = 10

    (10

    )

    = 21

    satuan luas

    9.

    LI =

    x3 dx

    =

    = (

    04

    (3)4)

    +

    3 0 3

    Y

    X

    I

    II

  • 21Matematika Kelas XII Program IPS

    = (0

    )

    =

    satuan luas

    LII simetris dengan L

    I L

    II =

    satuan luas

    Jadi, L = LI + L

    II=

    +

    =

    = 40

    satuan luas

    10. a. Daerah D

    b. Luas daerah D

    L =

    (y1 y2) dx

    =

    ((x2 + 3x + 4) (x2 3x 4)) dx

    =

    (2x2 + 6x + 8) dx

    =

    + +

    = (

    + 48 + 32) (

    + 3 8)

    = (

    + 80) (

    5)

    =

    + 85

    =

    +

    =

    = 41

    Jadi, luas daerah D adalah 41

    satuan luas.

    Y

    X

    y1 = x2 + 3x + 4

    y2 = x2 3x 4

    4

    4

    1 0 4

  • 22 Program Linear

    2. Menyelesaikan masalah

    program linear.

    Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

    Rasa ingin

    tahu

    Menanyakan cara membuat model matematika dari

    permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan

    pertidaksamaan linear dan program linear.

    Pada bab ini akan dipelajari:1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel2. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel3. Nilai optimum suatu fungsi objektif4. Model matematika dari masalah program linear5. Penyelesaian masalah program linear

    2.1 Menyelesaikan sistem

    pertidaksamaan linear

    dua variabel.

    2.2 Merancang model mate-

    matika dari masalah

    program linear.

    2.3 Menyelesaikan model

    matematika dari masa-

    lah program linear dan

    penafsirannya.

    Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter

    Menentukan daerah penyelesaian

    sistem pertidaksamaan linear dua

    variabel

    Menentukan sistem pertidak-

    samaan linear dua variabel dari

    suatu daerah penyelesaian

    Menyelesaikan sistem persamaan

    linear dua variabel

    Menentukan nilai optimum fungsi

    objektif

    Menentukan nilai optimum fungsi

    objektif menggunakan metode uji

    titik sudut

    Menentukan nilai optimum fungsi

    objektif menggunakan metode garis

    selidik

    Siswa dapat menyelesaikan

    masalah program linear

    Menyelesaikan model matematika

    Menafsirkan penyelesaian model

    matematika

    Merancang dan menyelesaikan

    model matematika masalah program

    linear

    Menerjemahkan dan menyelesaikan

    permasalahan menggunakan

    program linear

    Program Linear

    Mendeskripsikan dan menyelesaikan

    sistem pertidaksamaan linear dua

    variabel

    Siswa mampu menyelesaikan

    sistem pertidaksamaan linear

    Siswa mampu menentukan nilai

    optimum suatu fungsi

    Siswa mampu menyelesaikan

    masalah program linear

  • 23Matematika Kelas XII Program IPS

    4) Daerah penyelesaian di atas sumbu X, maka

    y 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya:

    x 0; y 0; 3x + 2y 6; 2x + 3y 124. Jawaban: a

    Garis 3x + 2y = 21 melalui titik (0,

    ) dan titik

    (7, 0).

    Daerah penyelesaian 3x + 2y 21 di kanan garisdari 3x + 2y = 21.

    Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik

    (6, 0).

    Daerah penyelesaian 2x + 3y 12 di kiri garis2x + 3y = 12.

    Daerah penyelesaian x 0 di kiri sumbu Y dandaerah penyelesaian y 0 di atas sumbu X.Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak-

    samaan tersebut adalah:

    5. Jawaban: d

    1) Garis x + y = 3 melalui titik (9, 0) dan titik (0, 3).

    Daerah penyelesaian x + y 3 dibatasi garisx + y = 3 dan tidak memuat (0, 0).

    2) Garis y x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5).

    Daerah penyelesaian y x 0 dibatasi garisy x = 0 dan membuat titik (0, 3)

    3) Garis 5y x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik (5,

    5). Daerah penyelesaian 5y x 20 dibatasigaris 5y x = 20 dan memuat titik (0, 0).

    4) Derah penyelesaian y 0 merupakan daerahdi atas sumbu X.

    Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempat

    daerah tersebut yaitu daerah IV.

    6. Jawaban: b

    1) Daerah penyelesaian y 2x di kanan garisy = 2x.

    2) Daerah penyelesaian 3y 2x di kiri garis3y = 2x.

    3) Daerah penyelesaian 2y + x 20 di kiri garis2y + x = 20.

    4) Daerah penyelesaian x + y 3 di kanan garisx + y = 3.

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: b

    Garis 3x 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5,

    0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 3).

    Uji titik (0, 0) ke 3x 5y 15 3 0 5 0 15(bernilai benar).

    Daerah penyelesaian 3x 5y 15 dibatasi garis3x 5y = 15 dan memuat titik (0, 0).

    Jadi, grafik daerah

    himpunan penyele-

    saiannya seperti grafik

    di samping.

    2. Jawaban: c

    Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan

    titik (0, 1):

    =

    ++

    =

    +

    x 2y = 2 2y x = 2Titik (1, 0) pada daerah penyelesaian.

    Uji titik (1, 0) ke 2y x:

    2y x 0 (1) = 1 < 2Jadi, pertidaksamaannya 2y x < 2.

    3. Jawaban: c

    1) Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan

    titik (0, 3):

    +

    = 1 (kali 6)

    3x + 2y = 6Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian uji titik

    (1, 1) ke 3x + 2y:

    3(1) + 2(1) = 1 6Jadi PtLDV-nya 3x + 2y 6.

    2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan

    (6, 0):

    +

    = 1 (kali 24)

    4x + 6y = 24 2x + 3y = 12Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian uji titik

    (1, 1) ke 2x + 3y.

    2 1 + 3 1 = 5 < 12Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y 12

    3) Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y,

    maka x 0.

    X

    Y

    0 5

    3

    Y

    X

    7 6 0

    4

  • 24 Program Linear

    Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

    Dari gambar terlihat daerah penyelesaian ber-

    bentuk segi empat.

    7. Jawaban: b

    1) Garis x 3y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik

    (0, 1).

    Uji titik (0, 0) ke x 3y 3:0 3 0 3 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x 3y 3 dibatasigaris x 3y = 3 dan tidak memuat titik (0, 0).

    2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik

    (0, 4).

    Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y 12:3 0 + 4 0 12 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x + 4y 12 dibatasigaris 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0).

    3) Daerah penyelesaian yang memenuhi y 0di atas sumbu X.

    Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

    Daerah yang diarsir berbentuk segitiga.

    Panjang alas = AC = 3 1 = 2

    Garis x 3y = 3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan di

    titik B.

    3x + 4y = 12 1 3x + 4y = 12

    x 3y = 3 3 3x 9y = 9

    13y = 21

    y =

    x =

    Diperoleh koordinat B (

    ,

    ).

    Tinggi segitiga = xB =

    L =

    a t

    =

    AC xB

    =

    2

    =

    = 1

    Jadi, luas daerah yang diarsir 1

    satuan.

    8. Jawaban: e

    a.

    ABCD berbentuk trapesium.

    Luas ABCD =

    AB(AD + BC)

    =

    5(3 + 6)

    = 22

    satuan

    b.

    ABCD berbentuk layang-layang.

    Luas ABCD =

    AC BD

    =

    7 4 = 14 satuan

    c.

    ABCD berbentuk persegi.

    Y

    X0

    10

    3

    3 20

    y = 2x

    3y = 2x

    2y + x = 20

    x + y = 3

    Y

    X

    x 3y = 3

    3

    3x + 4y = 12

    4

    C

    1B

    A

    3

    0

    Y

    X

    A

    B C

    D3

    0 12

    2

    y = 3

    y = 2

    Y

    X

    A

    B

    C

    D4

    2

    2x + y = 2

    2x 5y = 4

    0

    Y

    X

    A

    B

    C

    D5

    3

    2

    0 1 32

    2x 3y = 13

    2x 3y = 0

    3x + 2y = 13

    3x + 2y = 0

  • 25Matematika Kelas XII Program IPS

    Luas ABCD = AB BC

    = = 13 satuan

    d.

    ABCD berbentuk segitiga.

    Luas ABCD =

    BC AD

    =

    8 5 = 20 satuan

    e.

    ABCD berbentuk belah ketupat.

    Luas ABCD = AB BC

    =

    = 12 satuan

    9. Jawaban: b

    1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, 2) dan (2, 1)

    tidak memenuhi pertidaksamaan y 0 karena2 < 0 dan 1 < 0.

    2)

    Titik (1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1) di dalam daerah

    penyelesaian sistem pertidaksamaan pilihan b.

    3) Pada pilihan c, titik (1, 2) tidak memenuhi

    pertidaksamaan 5x 3y 15 karena5 1 3(2) = 11 15.

    Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b.

    10. Jawaban: c

    a.

    Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang.

    b.

    Daerah penyelesaian berbentuk segi empat.

    c.

    Daerah penyelesaian berbentuk belah

    ketupat.

    d.

    Daerah penyelesaian berbentuk layang-

    layang.

    Y

    X

    A

    B C

    3

    0 5

    2

    x y = 1

    y = 2

    5x + 3y = 19

    Y

    X

    A

    B

    C

    D

    4

    04 2

    2

    3x 2y = 2

    3x + 2y = 23x 2y = 14

    3x + 2y = 10

    Y

    X4 3 2 1 1 2 3

    5x 3y = 15

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    3x + 5y = 15

    3x + 4y = 12

    Y

    X

    3x + 2y = 4

    y = 1

    y = 2

    3x + 2y = 11

    1

    2

    2 0 3 5

    Y

    X

    2x 3y = 6

    2x + 3y = 62x 3y = 18

    2x + 3y = 6

    6 3 0

    4

    2

    Y

    X

    y = 2

    x + 3y = 4

    2x y = 2x = 4

    4 0 2

    2

    2

    Y

    X

    y x = 0

    2x 5y = 20

    2x + 5y = 0

    x + y = 4

    2 0 5

    2

    4

  • 26 Program Linear

    Y

    X

    y = 1

    y = 2

    x + y = 13x y = 13

    5 4 0 3

    1

    2

    e.

    Daerah penyelesaian berbentuk trapesium.

    Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyele-

    saiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.

    B. Uraian

    1. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan

    titik (2, 0):

    =

    =

    2y + 6 = 3x 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kanan garis 3x 2y =

    6, maka pertidaksamaannya 3x 2y 6.2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan

    titik (6, 0):

    =

    =

    6y 24 = 4x 2x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri garis 2x + 3y =

    12, maka pertidaksamaannya 2x + 3y 12.3) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan

    titik (2, 0):

    =

    +=

    2y + 6 = 3x 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kiri garis 3x 2y = 6,

    maka pertidaksamaannya 3x 2y 6.4) Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y dan

    di atas sumbu X maka x 0 dan y 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:

    3x 2y 62x + 3y 123x 2y 6

    y 0x 0

    2. a. 1) Garis x y = 2 melalui titik (0, 2) dan

    titik (2, 0).

    Daerah penyelesian x y 2 dibatasigaris x y = 2 dan memuat titik (0, 0).

    2) Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0,

    )

    dan titik (8, 0).

    Daerah penyelesaian 2x + 3y 16dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuat

    titik (0, 0).

    3) Garis x y = 3 melalui titik (0,3) dan

    titik (3, 0).

    Daerah penyelesaian x y 3 dibatasigaris x y = 3 dan memuat titik (0, 0).

    4) Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dan

    titik (3, 0).

    Daerah penyelesaian 2x + 3y 6 dibatasigaris 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik

    (0, 0).

    5) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y dan daerah penyelesaian y 0di atas sumbu X.

    Daerah penyelesaian:

    b. 1) Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dan titik

    (0, 2).

    Daerah penyelesaian x + y 2 dibatasigaris x + y = 2 dan tidak memuat titik

    (0, 0).

    Garis x y = 2 melalui titik (2, 0) dan

    (0, 2).

    Daerah penyelesaian x y 2 dibatasigaris x y = 2 dan memuat titik (0, 0).

    Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan

    (0, 6).

    Daerah penyelesaian x + y 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat (0, 0).

    Garis x 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan

    (0, 3).

    Daerah penyelesaian x 2y 6 dibatasigaris x 2y = 6 dan memuat titik (0, 0).

    Y

    X

    3

    x y = 2

    x y = 3

    2x + 3y = 16

    2x + 3y = 6

    2 3 8

    2

  • 27Matematika Kelas XII Program IPS

    Daerah penyelesaian:

    3. a. 1) Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dan

    titik (0, 10).

    Daerah penyelesaian 2x + y 10 dibatasigaris 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0).

    2) Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan titik

    (0, 6).

    Daerah penyelesaian x + y 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).

    3) Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dan

    titik (0, 5).

    Daerah penyelesaian x + 2y 0 dibatasigaris x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0).

    4) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y dan daerah penyelesian y 0di atas sumbu X.

    Daerah penyelesaian:

    b. Daerah himpunan penyelesaian:

    LI = LVI =

    2 1 = 1 satuan

    LII = LIII = LIV = 2 2 = 4 satuan

    LV =

    2 2 = 2 satuan

    Luas daerah himpunan penyelesaian.

    = LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI= 3 LII + 2 LI + LV = 3 4 + 2 1 + 2

    = 12 + 2 + 2 = 16 satuan

    Jadi, luas daerah himpunan penyelesaiannya

    16 satuan luas.

    4.

    1) Persamaan garis yang melalui titik A(4, 4)

    dan D(0, 4) adalah y = 4.

    Daerah penyelesaian di bawah garis y = 4

    sehingga pertidaksamaannya y 4.2) Persamaan garis yang melalui titik A4, 4)

    dan B(4, 0) adalah x = 4.

    Daerah penyelesaian di kanan garis x = 4

    sehingga pertidaksamaannya x 4.3) Persamaan garis yang melalui titik B(4, 0)

    dan titik C(3, 3):

    =

    =

    + +

    = x + 4

    y = 3x 12 3x + y = 12Daerah penyelesaian di kanan garis 3x + y

    = 12 maka pertidaksamaannya 3x + y 12.4) Persamaan garis yang melalui titik C(3, 3)

    dan titik D(0, 4):

    =

    =

    =

    3y 12 = 7x 7x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri garis 7x + 3y

    = 12 maka pertidaksamaannya 7x + 3y 12.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah

    y 4x 4

    3x + y 127x + 3y 12

    Y

    X

    6 x y = 2

    2

    3

    2 2 6

    x + y = 6

    x + y = 2

    x 2y = 6

    0 5 6 10X

    Y

    x + 2y = 10

    x + y = 6

    2x + y = 1010

    6

    5

    I

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 5

    V

    VIIV

    II

    III

    Y

    X

    A

    B

    C

    D

    4 0 3

    4

    3

  • 28 Program Linear

    5.

    Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah

    AC dan BD.

    Panjang AC = + =

    + + =

    + = = =

    Panjang BD = + =

    + + += + = =

    Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesai-

    an sistem pertidaksamaan adalah dan .

    A

    Y

    X

    5

    2

    0

    2

    3

    4

    5x y = 13

    B

    C

    D

    x + 2y = 4

    5x 2y = 20

    2 32

    3x + 5y = 19

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: c

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y:

    Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18.

    2. Jawaban: a

    Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik

    (8, 0) adalah 8x + 8y = 64 x + y = 8 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik

    (12, 0) adalah 4x + 12y = 48 x + 3y = 12 . . . (2)Menentukan perpotongan garis x + y = 8 dan

    x + 3y = 12.

    Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):

    x + 3y = 12

    x + y = 8

    2y = 4 y = 2Substitusi y = 2 ke x + y = 8:

    x + 2 = 8 x = 6Diperoleh titik potong kedua garis (6, 2).

    Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0),

    B(6, 2), dan C(0, 8).

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y:

    Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4yadalah 26.

    3. Jawaban: b

    Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan

    (0, 4) adalah 4x 2y = 8 atau 2x y = 4.

    Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan

    (0, 2) adalah 2x 3y = 6.

    Persamaan garis yang melalui titik (7, 0) dan

    (0, 7) adalah x + y = 7.

    Garis 2x 3y = 6 dan x + y = 7 berpotongan di

    titik C(3, 4).

    Garis 2x y = 4 dan x + y = 7 berpotongan di titik

    D(1, 6).

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y x.

    Nilai minimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y x

    adalah 6.

    4. Jawaban: e

    Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.

    Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan

    (0, 2) adalah y x = 2.

    Persamaan garis yang melalui (4, 0) dan (0, 2)

    adalah x 2y = 4.

    Persamaan garis yang melalui (2, 0) dan (0, 4)

    adalah 2x + y = 4.

    Persamaan garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4)

    adalah 2x + 3y = 12.

    Titik A adalah titik potong antara garis x 2y = 4

    dan 2x + y = 4.

    x 2y = 4 1 x 2y = 4

    2x + y = 4 2 4x + 2y = 8 +

    5x = 4

    x =

    Titik Pojok

    (2, 0)

    (4, 1)

    (6, 4)

    (2, 5)

    (0, 1)

    f(x, y) = x + 3y

    2 + 3(0) = 2

    4 + 3(1) = 7

    6 + 3(4) = 18

    2 + 3(5) = 17

    0 + 3(1) = 3

    Titik Pojok

    A(12, 0)

    B(6, 2)

    C(0, 8)

    f(x, y) = 3x + 4y

    3(12) + 4(0) = 36

    3(6) + 4(2) = 26

    3(0) + 4(8) = 32

    A(0, 4)

    B(0, 2)

    C(3, 4)

    D(1, 6)

    3 4 0 = 12

    3 2 0 = 6

    3 4 3 = 9

    3 6 1 = 17

    Titik Pojok f(x, y) = 3y x

  • 29Matematika Kelas XII Program IPS

    Y

    X0

    12

    8

    6 8

    A

    B(4, 4)

    C

    2x + y = 12

    x + y = 8

    x 2y = 4

    2y = 4

    + 4 = 2y

    = 2y

    = y

    Diperoleh titik A (

    ,

    ).

    Titik B adalah titik potong antara garis y x = 2

    dan 2x + y = 4.

    x + y = 2

    2x + y = 4

    3x = 6

    x = 2x + y = 2

    2 + y = 2 y = 0Diperoleh titik B (2, 0).

    Titik C adalah titik potong antara garis y x = 2

    dan 2x + 3y = 12.

    x + y = 2 2 2x + 2y = 4

    2x + 3y = 12 1 2x + 3y = 12 +

    5y = 8

    y =

    x +

    = 2

    2 +

    = x

    = x

    Diperoleh titik C (

    ,

    ).

    Titik D adalah titik potong antara garis x 2y = 4

    dan 2x + 3y = 12.

    x 2y = 4 2 2x 4y = 8

    2x + 3y = 12 1 2x + 3y = 12 +

    7y = 20

    y =

    x 2y = 4

    x 2(

    ) = 4

    x

    = 4

    x = 4 +

    x =

    Diperoleh titik D (

    ,

    ).

    Diperoleh garis selidik sebagai berikut.

    g1 5x + 5y = 10g2 5x + 5y = 16g3 5x + 5y = g4 5x + 5y = 26Garis selidik yang menyebabkan nilai f(x, y) mini-

    mum adalah 5x + 5y = 10.

    5. Jawaban: d

    Garis x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0).

    Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0).

    Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan di

    titik B(4, 4).

    Uji (0, 0) Penyelesaian

    x + y 8 0 + 0 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0)2x + y 12 0 + 0 12 Benar Memuat titik (0, 0)

    Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x 2y:

    Nilai maksimum z = x 2y adalah 4 dan nilai

    minimum 24.

    Dengan demikian, M = 4 dan m = 24.

    Jadi, nilai M m = 4 (24) = 20.

    6. Jawaban: b

    Garis 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0).

    Uji titik (0, 0) ke 2x + y 8.2(0) + 0 8 (salah)

    Y

    X

    A

    B

    C

    D4

    2

    0 2 62

    2

    g1

    g2g3 g4g

    A(0, 8)

    B(4, 4)

    C(0, 12)

    0 2(8) = 16

    4 2(4) = 4

    0 2(12) = 24

    Titik Pojok z = x 2y

  • 30 Program Linear

    Daerah 2x + y 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dantidak memuat titik (0, 0).

    Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4

    di titik A(2, 4).

    Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik

    B(

    , 1).

    Uji titik pojok ke fugnsi objektif f(x, y) = 5x + 10y:

    Jadi, nilai minimum SPtLDV tersebut 27,5.

    7. Jawaban: c

    a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan

    (3, 0).

    Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan

    (6, 0).

    Garis x 2y = 6 melalui titik (0, 3) dan

    (6, 0).

    Uji titik (0, 0) ke tiap-tiap pertidaksamaan:

    b. Garis 4x + y = 12 dan x 2y = 6 berpotongan

    di titik A(2, 4).

    Garis 2x + y = 12 dan x 2y = 6 berpotongan

    di titik D(

    ,

    ).

    c. Daerah penyelesaian:

    d. Uji titik pojok f(x, y) = 10x + 15y:

    Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15y

    adalah 108.

    8. Jawaban: d

    Persamaan garis selidik: 2x + 3y = k.

    Garis g pada gambar berikut merupakan garis

    selidik. Persamaan garis g: 2x + 3y = 6.

    Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) dicapai di titik

    pojok daerah penyelesaian yang dilalui garis

    selidik paling kiri.

    a.

    Garis selidik paling kiri mempunyai persama-

    an 2x + 3y = 2 maka nilai minimum f(x, y) =

    2x + 3y adalah 2.

    b.

    Y

    X

    y = 2

    y = 1

    8

    4

    1

    0 4 7

    2x + y = 8

    B C

    A D

    A(2, 4)

    B(

    , 1)

    C(7, 1)

    D(7, 4)

    5(2) + 10(4) = 50

    5(

    ) + 10(1) = 27,5

    5(7) + 10(1) = 45

    5(7) + 10(4) = 75

    Titik Pojok f(x, y) = 5x + 10y

    4x + y 122x + y 12x 2y 6

    0 12 (salah)0 12 (benar)0 6 (benar)

    Pertidaksamaan Uji Titik (0, 0)

    Tidak memuat

    (0, 0)

    Memuat (0, 0)

    Memuat (0, 0)

    Penyelesaian

    Y

    X

    12

    3

    D

    A

    B C

    x 2y = 6

    4x + y = 12

    6 3 62x + y = 12

    0

    A(2, 4)

    B(3, 0)

    C(6, 0)

    D(

    ,

    )

    10(2) + 15(4) = 80

    10(3) + 15(0) = 30

    10(6) + 15(0) = 60

    10(

    ) + 15(

    ) = 108

    Titik Pojok f(x, y) = 10x + 15y

    Y

    X

    x y = 4

    x + 3y = 12

    2x + 3y = 23x + y = 4

    g

    c

    0

    4

    2

    2

    4

    2 3 4 6

    Y

    X

    x + y = 7

    2x + 3y = 9

    x + 3y = 9

    3 7 9

    7

    3

    2

    g

  • 31Matematika Kelas XII Program IPS

    Garis selidik paling kiri mempunyai persama-

    an 2x + 3y = 9, maka nilai minimum f(x, y) =

    2x + 3y adalah 9.

    c.

    Garis selidik paling kiri mempunyai persama-

    an 2x + 3y = 4, maka nilai minimum f(x, y) =

    2x + 3y adalah 4.

    d.

    Garis selidik paling kiri mempunyai persama-

    an 2x + 3y = 2, maka nilai minimum f(x, y) =

    2x + 3y adalah 2.

    e.

    Garis selidik paling kiri mempunyai persama-

    an 2x + 3y = 12, maka nilai minimum f(x, y) =

    2x + 3y adalah 12.

    9. Jawaban: a

    Uji titik pojok:

    Fungsi objektif f(x, y) = 5.000 x y mempunyai

    nilai maksimum 5.000 dan mempunyai nilai

    minimum 4.996.

    Jadi, fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai

    maksimum.

    10. Jawaban: c

    Misal: x = banyak tanaman anggrek (pot)

    y = banyak tanaman hias (pot)

    Paling sedikit 30 pot tanaman anggrek.

    Diperoleh pertidaksamaan x 30 . . . (1)Paling sedikit 40 pot tanaman hias.

    Diperoleh pertidaksamaan y 40 . . . (2)Kios dapat menampung tidak lebih dari 120 pot.

    Diperoleh pertidaksamaan:

    x + y 120 . . . (3)Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 10.000x + 15.000y

    dengan kendala:

    x 30y 40

    x + y 120

    Y

    X

    5x + 6y = 302x + 3y = 4 3x + 2y = 6

    0 2 3 6

    g

    a

    5

    3

    2

    Y

    X

    x + 4y = 6

    5x + 6y = 30

    2y 3x = 10

    2x + 3y = 2

    2 0 3 6

    g5

    2

    Y

    X

    2x 3y = 0

    x + 6y = 30

    2x + 3y = 12

    x + y = 5

    g

    d

    3 5 6

    5

    4

    2

    Titik Pojok

    A(0, 1)

    O(0, 0)

    B(3, 0)

    C(2, 2)

    f(x, y) = 5.000x x y

    5.000 0 1 = 4.999

    5.000 0 0 = 5.000

    5.000 3 0 = 4.997

    5.000 2 2 = 4.996

    Y

    X

    x 2y + 2 = 0

    2x + y 6 = 0

    AB

    C(2, 2)

    2 0 3

    6

    1 O

    Jenis Tanaman

    Anggrek

    Hias

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    120

    Keuntungan

    10.000

    15.000

  • 32 Program Linear

    Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu.

    Pertidaksamaan yang memenuhi

    x + y 40 . . . (1)Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00.

    Pertidaksamaan yang memenuhi

    60.000x + 80.000y 3.000.000 3x + 4y 150 . . . (2)Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidak-

    samaan yang memenuhi x 0 . . . (3)Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidak-

    samaan yang memenuhi y 0 . . . (4)Sehingga diperoleh SPtLDV:

    3x + 4y 150x + y 40

    x 0y 0

    13. Jawaban: c

    Misal: x = banyak mobil

    y = banyak bus

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengan

    kendala:

    x + y 586x + 24y 600 x + 4y 100

    x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke fungsi objektif

    f(x, y) = 2.000x + 3.500y

    Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah

    137.000.

    Jadi, jika tempat parkir penuh biaya parkir

    maksimum mencapai Rp137.000,00.

    Daerah penyelesaian SPtLDV:

    Uji titik pojok ke f(x, y) = 10.000x + 15.000y

    Nilai maksimum f(x, y) = 10.000x + 15.000y adalah

    1.650.000.

    Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh

    Rp1.650.000,00.

    11. Jawaban: d

    Persamaan garis yang melalui titik (4, 0) dan titik

    (0, 8) adalah 2x + y = 8.

    Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan titik

    (0, 4) adalah 2x + 3y = 12.

    Perpotongan garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12

    adalah:

    2x + y = 8 2x + y = 8

    2x + 3y = 12 2x + 2 = 8 x = 3

    2y = 4

    y = 2Diperoleh titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y

    = 12 adalah (3, 2).

    Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi

    objektif f(x, y) = 5x + 4y.

    Diperoleh nilai maksimum bentuk objektif f(x, y) =

    5x + 4y adalah 23.

    12. Jawaban: a

    Misal: x = banyak sepatu jenis I

    y = banyak sepatu jenis II

    Y

    120

    40

    C(30, 90)

    B(80, 40)

    A(30, 40)

    X0

    x = 30 x + y = 120120

    y = 40

    Titik Pojok

    A(30, 40)

    B(80, 40)

    C(30, 90)

    f(x, y) = 10.000x + 15.000y

    10.000(30) + 15.000(40) = 900.000

    10.000(80) + 15.000(40) = 1.400.000

    10.000(30) + 15.000(90) = 1.650.000

    Titik Pojok

    (0, 0)

    (4, 0)

    (3, 2)

    (0, 4)

    f(x, y) = 5x + 4y

    5(0) + 4(0) = 0

    5(4) + 4(0) = 20

    5(3) + 4(2) = 23

    5(0) + 4(4) = 16

    Sepatu

    Jenis I

    Jenis II

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    40

    Harga

    60.000

    80.000

    3.000.000

    Jenis Kendaraan

    Mobil

    Bus

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    58

    Luas

    6

    24

    600

    Biaya Parkir

    2.000

    3.500

    Y

    XA

    C

    58

    25

    0 58 100

    B(44, 14)

    x + 4y = 100x + y = 58

    Titik Pojok

    O(0, 0)

    A(58, 0)

    B(44, 14)

    C(0, 25)

    f(x, y) = 2.000x + 3.500y

    2.000(0) + 3.500(0) = 0

    2.000(58) + 3.500(0) = 116.000

    2.000(44) + 3.500(14) = 137.000

    2.000(0) + 3.500(25) = 87.500

  • 33Matematika Kelas XII Program IPS

    14. Jawaban: a

    Uji setiap titik pojok ke dalam fungsi tujuan.

    Jadi, fungsi tujuan yang memiliki nilai sama di titik

    C dan D adalah f(x, y) = 2x + y.

    15. Jawaban: d

    Misalkan: x = banyak sapi

    y = banyak kambing

    Jenis Hewan Banyak Harga Beli Keuntungan

    Sapi x 9.000.000 1.300.000

    Kambing y 600.000 200.000

    Pembatas 15 43.200.000

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y

    dengan kendala:

    x + y 159.000.000x + 600.000y 43.200.000 15x + y 72x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y:

    Titik Pojok f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y

    O (0,0) 1.300.000(0) + 200.000(0) = 0

    A(

    , 0) 1.300.000(

    ) + 200.000(0) = 6.240.000

    B (4, 12) 1.300.000(4) + 200.000(12) = 7.600.000

    C (0, 15) 1.300.000(0) + 200.000(15) = 3.000.000

    Nilai f(x, y) terbesar 7.600.000 dicapai di titik

    B(4,12) atau pada saat x = 4 dan y = 12.

    Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika Pak

    Mahmud membeli 4 ekor sapi dan 12 ekor kambing.

    B. Uraian

    1. a. Persamaan garis g adalah x y = 10.

    Koordinat titik A(0, 25).

    Garis selidik yang melalui titik A memiliki

    persamaan x y = 25.

    Koordinat titik B(15, 5).

    Garis selidik yang melalui titik B memiliki

    persamaan x y = 10.

    Koordinat titik C(30, 40).

    Garis selidik yang melalui titik C memiliki

    persamaan x y = 10.

    Persamaan garis melalui titik (10, 0) dan

    (0, 25) adalah 5x 2y = 50.

    Garis 5x 2y = 50 dan y = 40 berpotongan

    di titik D.

    Substitusi y = 40 ke 5x 2y = 50 diperoleh:

    5x 2 40 = 50

    5x 80 = 50 5x = 30 x = 6Diperoleh koordinat itik D(6, 40).

    Garis selidik yang melalui titik D(6, 40)

    memiliki persamaan x y = 36.

    Jadi, nilai maksimumnya 10 dan nilai

    minimumnya 36.

    b. Persamaan garis g adalah x + y = 4.

    Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan

    (0, 4) adalah 2x y = 4.

    Persamaan garis yang melalui titik A dan B

    adalah 2x + y = 12.

    Persamaan garis yang melalui titik C dan D

    adalah x + y = 12.

    Garis 2x y = 4 dan 2x + y = 12 berpotongan

    di titik A.

    2x y = 4

    2x + y = 12 + 4x = 8

    x = 2 y = 8

    Diperoleh koordinat titik A(2, 8).

    Garis 2x y = 4 dan x + y = 12 berpotongan

    di titik D.

    2x y = 4

    x + y = 12 + 3x = 8

    x =

    y =

    Diperoleh koordinat titik D(

    ,

    ).

    Garis selidik yang melalui titik A(2, 8) memiliki

    persamaan x + y = 10.

    Garis selidik yang melalui titik B(6, 0) memiliki

    persamaan x + y = 6.

    f(x, y)

    A(2, 4)

    B(4, 2)

    C(6, 2)

    D(3, 8)

    2x + y

    8

    10

    14

    14

    x + y

    6

    6

    8

    11

    3x 2y

    2

    8

    14

    7

    x + 2y

    10

    8

    10

    19

    2x + 3y

    16

    14

    18

    30

    X

    x + y = 15

    15A

    O

    B(4, 12)

    15x + y = 72

    C15

    Y

    72

  • 34 Program Linear

    Garis selidik yang melalui titik C(12, 0)

    memiliki persamaan x + y = 12.

    Garis selidik yang melalui titik D(

    ,

    )

    memiliki persamaan x + y = 12.

    Jadi, nilai maksimumnya 12 dan nilai

    minimumnya 6.

    2. a. Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan titik

    (0, 24).Daerah penyelesaian 2x + y 24 dibatasigaris 2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0).Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan titik(0, 6).Daerah penyelesaian x + 2y 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x y = 2 yang melalui titik (2, 0) dan(0, 2).Daerah penyelesaian x y 2 dibatasi garisx y = 2 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x 0; y 0 di kuadran I.Daerah penyelesaian:

    Garis x y = 2 dan x + 2y = 12 berpotongandi titik A.x y = 2x + 2y = 12

    3y = 14

    y =

    x =

    Diperoleh koordinat titik A(

    ,

    ).

    Garis 2x + y = 24 dan x y = 2 berpotongan

    di titik C.2x + y = 24

    x y = 2 +

    3x = 22

    x =

    y =

    Diperoleh koordinat titik A(

    ,

    ).

    Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 6y 3x:

    Jadi, nilai maksimumnya 34.

    b. Garis 3y x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik

    (12, 0).

    Daerah penyelesaian 3y x 12 di kiri garis3y x = 12.

    Garis y x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik

    (20, 0).

    Daerah penyelesaian y x 20 di kanan garisy x = 20.

    Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik

    (16, 0).

    Daerah penyelesaian y + 2x 32 di kanangaris y + 2x = 32.

    Daerah penyelesaian x 24 di kiri garisx = 24.

    Titik potong garis 3y x = 12 dan garis

    y + 2x = 32 adalah A(12, 8).

    Titik potong garis y x = 20 dan y + 2x = 32

    adalah D(4, 24).

    Titik potong garis 3y x = 12 dan x = 24

    adalah B(24, 12).

    Titik potong garis y x = 20 dan x = 24 adalah

    C(24, 44).

    Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = x + 2y:

    Diperoleh nilai minimum 28.

    Y

    XB

    C

    A

    24

    2 12

    2x + y = 24

    x y = 2

    x + 2y = 12

    6

    2

    0

    A(

    ,

    )

    B(12, 0)

    C(

    ,

    )

    20

    36

    34

    Titik f(x, y) = 6y 3x

    Y

    X

    C

    B3y x = 12

    A

    y + 2x = 32

    20 12 12 16 24

    44

    32

    24

    20

    12

    8

    4

    y x = 20

    D

    A(12, 8)

    B(24, 12)

    C(24, 44)

    D(4, 24)

    28

    48

    112

    52

    Titik f(x, y) = x + 2y

  • 35Matematika Kelas XII Program IPS

    3. Garis 2x 3y = 12 melalui titik (6, 0) dan (0, 4).

    Garis x + 2y = 4 melalui titik (4, 0) dan (0, 2).

    Uji titik (0, 0) ke masing-masing pertidaksamaan:

    Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan.

    Garis x = 2 dan x + 2y = 4 berpotongan di titik

    A(2, 1).

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y + x:

    Jadi, nilai minimum f(x, y) pada daerah penyelesai-

    an SPtLDV tersebut adalah 4.

    4. a. Misal: x = banyak boneka

    y = banyak mobil mainan

    Jenis Banyak Harga Keutungan

    Boneka x 15.000 5.000

    Mobil mainan y 45.000 20.000

    mainan

    Pembatas 42 900.000

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 5.000x + 20.000y

    dengan kendala:

    x + y 4215.000x + 45.000y 900.000 x + 3y 60x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Titik B adalah perpotongan garis x + y = 42

    dan x + 3y = 60 adalah:

    x + y = 42

    x + 3y = 60

    2y = 18

    y = 9x + y = 42

    x + 9 = 42 x = 33Diperoleh koordinat titik B(33, 9).

    Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap

    fungsi objektif f(x, y) = 5.000x + 20.000y:

    Besar keuntungan maksimum yang mungkin

    diperoleh pedagang tersebut Rp400.000,00.

    b. Untuk mendapatkan keuntungan maksimum,

    maka banyak mainan yang harus dibeli

    adalah 20 mobil mainan.

    5. Misalkan: x = banyak sabun A

    y = banyak sabun B

    Model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 800x + 600y

    dengan kendala:

    x + y 5004x + 3y 1.800

    x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Garis x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800 berpotongan

    di titik B.

    Pertidaksamaan

    2x 3y 12x + 2y 4

    Uji Titik (0, 0)

    0 12 (benar)0 4 (salah)

    Penyelesaian

    memuat (0, 0)

    tidak memuat (0, 0)

    Y

    XBA

    2

    4

    2 4 6C

    2x 3y = 12

    x + 2y = 4

    x = 6x = 2

    0

    (2, 1)

    (4, 0)

    (6, 0)

    5

    4

    6

    Titik Nilai f(x, y) = 3y + x

    Y

    XA

    B

    C

    42

    20

    0 42 60

    O(0, 0)

    A(42, 0)

    B(33, 9)

    C(0, 20)

    5.000(0) + 20.000(0) = 0

    5.000(42) + 20.000(0) = 210.000

    5.000(33) + 20.000(9) = 183.000

    5.000(0) + 20.000(20) = 400.000

    Titik f(x, y) = 5.000x + 20.000y

    Jenis

    A

    B

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    500

    Keuntungan

    800

    600

    Harga Beli

    4.000

    3.000

    1.800.00

    Y

    X

    B

    A0 450 500

    600

    500C

  • 36 Program Linear

    3x + 3y = 1.500

    4x + 3y = 1.800

    x = 300

    y = 200

    Koordinat B(300, 200).

    Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 800x + 600y.

    Keuntungan maksimum Rp360.000,00 diperoleh

    jika pedagang menjual 300 sabun A dan 200 sabun B.

    O(0, 0)

    A(450, 0)

    B(300, 200)

    C(0, 500)

    0

    340.000

    360.000

    300.000

    Titik f(x, y) = 800x + 600y

    A. Pilihan Ganda

    1. Jawaban: d

    Garis x 2y 8 memotong sumbu X di titik (8,0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah

    penyelesaian x 2y 8 di kanan garis x 2y = 8.Jadi, daerah penyelesaian dari x 2y 8 adalahdaerah yang dibatasi garis x 2y = 8 dan memuat

    (0, 0).

    2. Jawaban: c

    Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan titik

    (0, 3):

    =

    ++

    =

    +

    2y = 3x + 6 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kanan garis 3x 2y = 6,

    maka pertidaksamaanya 3x 2y 6.3. Jawaban: b

    Garis y x = 4 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 0).

    Daerah penyelesaian y x 4 di kiri garis y x = 4.Garis 7x + 4y = 28 melalui titik (0, 7) dan titik

    (4, 0).

    Daerah penyelesaian 7x + 4y 28 di kiri garis7x + 4y = 28.

    Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan (4, 0).

    Daerah penyelesaian y 0 di atas sumbu X dandaerah penyelesaian x 0 di kiri sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalah

    pilihan b.

    4. Jawaban: b

    1) Garis 2x + y = 8 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8).

    Uji titik (0, 0) ke 2x + y 8: 2(0) + 0 8 (bernilai salah)Daerah penyelesaian 2x + y 8 dibatasigaris 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).

    2) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan titik

    (12, 0).

    Uji titik (0, 0) ke x + 2y 12: 0 + 2(0) 12 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x + 2y 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).

    3) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y.

    4) Daerah penyelesaian y 3 di atas garis y = 3.Daerah penyelesaian:

    Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh

    daerah II.

    5. Jawaban: d

    Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan (0, 6).

    Daerah penyelesaian x + 2y 12 adalah daerahyang dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat

    (0, 0).

    Garis x y = 2 melalui titik (2, 0) dan (0, 2).

    Daerah penyelesaian x y 2 adalah daerah yangdibatasi garis x y = 2 dan tidak memuat (0, 0).

    Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan (0, 24).

    Daerah penyelesaian 2x + y 24 adalah daerahyang dibatasi garis 2x + y = 24 dan memuat (0,

    0).

    x 0; y 0 adalah bahwa daerah penyelesaiannyadi kuadran I.

    Y

    X

    I

    IIIIIIV

    VVI

    0 4 12

    8

    6

    3

  • 37Matematika Kelas XII Program IPS

    Daerah penyelesaiannya:

    6. Jawaban: e

    a.

    ABCD berbentuk trapesium.

    Luas ABCD =

    CD (AD + BC)

    =

    4 (9 + 3) = 24 satuan

    Luas daerah penyelesaiannya 24 satuan.

    b.

    ABCD berbentuk jajargenjang.

    Luas ABCD = alas tinggi

    = 5 4 = 20 satuan

    Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan.

    c.

    ABCD berbentuk layang-layang.

    Luas ABCD =

    BD AC

    =

    6 4

    = 12 satuan

    Luas daerah penyelesaiannya 12 satuan.

    d.

    ABCD berbentuk persegi.

    Luas daerah penyelesaian ABCD

    = AB BC

    = = 20 satuan

    Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan.

    e.

    ABCD berbentuk persegi panjang.

    Luas ABCD = AD DC

    = 2

    = 26 satuan

    Luas daerah penyelesaiannya 26 satuan.

    Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah

    penyelesaiannya mempunyai luas 26 satuan

    adalah pilihan e.

    7. Jawaban: d

    Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

    x + y 8, x + y 5, dan 0 x 6:

    Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang

    dengan panjang alas CD = 8 5 = 3 satuan dan

    tinggi CT = 6 0 = 6 satuan.

    Luas daerah yang diarsir= alas tinggi

    = 3 6 = 18 satuan

    Jadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.

    Y

    X62

    0 122

    24

    x y = 2

    x + 2y = 12

    2x + y = 24

    Y

    X

    A D

    B C0 6 9

    2x + 3y = 12

    4 y = 4

    x = 9

    Y

    XB C

    5 0 1 62x + 3y = 2

    Ay = 4D

    2x + 3y = 12

    Y

    XB

    D

    32

    y 2x = 6

    A

    3x 2y = 2

    C

    2x + y = 6

    6

    2

    1

    3x + 2y = 2

    2 3

    Y

    X

    B

    C

    0 2 3 4 62x + y = 6

    A

    2y x = 2

    D

    2x + y = 16

    6

    4

    2

    2y x = 12

    Y

    X

    B

    C

    2 0

    2x + 3y = 1

    A

    3x 2y = 18

    D

    2x + 3y = 12

    4

    2y 3x = 8

    64

    Y

    X

    8

    5

    0 5 6 8

    B

    x + y = 8

    Ax + y = 5

    C

    D

    T

  • 38 Program Linear

    8. Jawaban: b

    Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

    berbentuk jajargenjang.

    9. Jawaban: c

    Garis x + 3y = 3 melalui (3, 0) dan (0, 1).

    Daerah penyelesaian x + 3y 3 di kanan garisx + 3y = 3.

    Garis y x = 5 melalui (5, 0) dan (0, 5).

    Daerah penyelesaian y x 5 di kanan garisy x = 5.

    Garis 4x + 3y = 12 melalui (3, 0) dan (0, 4).

    Daerah penyelesaian 4x + 3y 0 di kiri garis4x + 3y = 12.

    Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerah

    penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut

    adalah {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2),

    (3, 1)}.

    10. Jawaban: c

    a.

    OABC berbentuk belah ketupat.

    Luas OABC =

    diagonal diagonal

    =

    OB AC

    =

    8 6 = 24 satuan

    b.

    ABCD berbentuk persegi panjang

    Luas ABCD = panjang lebar

    = AB BC

    = 4 7

    = 28 satuan

    c.

    ABCD berbentuk persegi

    AB = BC

    =

    +

    = + + =

    + =

    Luas ABCD = sisi sisi

    = AB BC

    =

    = 18 satuan

    d.

    ABCD berbentuk jajargenjang

    Y

    X2 0 4

    4

    2

    4

    y x = 2

    y + 2x = 8

    y + 2x = 4

    x y = 4

    Y

    X

    5

    4

    15 3 3

    y x = 5

    0

    4x + 3y = 12

    x + 3y = 3

    Y

    X

    A

    B

    C

    O

    4y 3x = 0

    3x 4y = 24

    3x + 4y = 24

    3x + 4y = 0

    4 8

    3

    3

    Y

    X

    A

    B C

    Dy = 2

    y = 2

    x = 4x = 3

    3 0 4

    2

    2

    Y

    X

    x = 2

    x + 5y = 2

    x + 5y = 18

    x = 3

    A

    B

    C

    D

    3 0 2

    1

    3

    4

    E

    Y

    X

    y x = 4

    x y = 2

    x + y = 2

    x + y = 4

    A

    B

    C

    D

    4

    2

    1

    2

    3

    4

    4 1 0 2

  • 39Matematika Kelas XII Program IPS

    Luas ABCD = alas tinggi

    = AB BE

    = 4 5 = 20 satuan

    e.

    ABCD berbentuk trapesium

    Luas ABCD =

    AE(AD + BC)

    =

    4(4 + 7) = 22 satuan

    Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah

    penyelesaiannya mempunyai luas 18 satuan

    pilihan c.

    11. Jawaban: e

    a.

    Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian.

    b.

    Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian.

    c.

    Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerah

    penyelesaian.

    d.

    Titik (0, 3) dan (1, 3) di luar daerah

    penyelesaian.

    e.

    Titik (1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2),

    (1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian.

    Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaian

    pertidaksamaan pada pilihan e.

    12. Jawaban: b

    Garis x + y = 4 memotong sumbu Y di titik A(0, 4).

    Garis x + y = 4 dan garis x + 2y = 12 berpotongan

    di titik B(

    ,

    ).

    Garis x + 2y = 12 dan garis 2x + y = 12

    berpotongan di titik C(4, 4).

    Garis 2x + y = 12 memotong sumbu X di titik

    D(6, 0).

    Uji titik setiap titik pojok ke fungsi tujuan.

    Perhatikan kolom kedua.

    Dari kolom kedua terlihat f(x, y) = 4x + 9y mencapai

    maksimum di titik B.

    Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum di

    titik B adalah f(x, y) = 4x + 9y.

    Y

    X

    4x + y = 18

    y 2x = 2

    A

    B C

    D

    E

    2

    2

    y = 2

    y = 2

    2 0 4 5

    Y

    X

    5y 3x = 15

    2x + y = 4

    5 4 3 2 1 0 1 2

    4

    3

    2

    1

    X

    Yy 2x = 4

    3x + 5y = 15

    2 1 0 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    Y

    X

    x + 2y = 43y 5x = 15

    3 2 1 0 1 2 3 4

    5

    4

    3

    2

    1

    Y

    X

    2y x = 4

    3x + 5y = 15

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    3

    2

    f(x, y)

    A(0, 4)

    B(

    ,

    )

    C(4, 4)

    D(6, )

    4x 9y

    36

    53

    53

    24

    4x + 9y

    36

    53

    52

    24

    10x + 18y

    72

    100

    112

    60

    20x + 2y

    8

    37

    88

    120

    7x + 12y

    18

    73

    76

    42

  • 40 Program Linear

    13. Jawaban: b

    Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (3, 0)

    adalah 6x + 3y = 18 2x + y = 6.Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (8, 0)

    adalah 4x + 8y = 32 x + 2y = 8.Menentukan perpotongan garis 2x + y = 6 dan

    x + 2y = 8.

    Eliminasi y dari 2x + y = 6 dan x + 2y = 8:

    2x + y = 6 2 4x + 2y = 12

    x + 2y = 8 1 x + 2y = 8

    3x = 4 x =

    Substitusi x = ke 2x + y = 6:

    2(

    ) + y = 6

    y = 6

    =

    Diperoleh titik potong kedua garis (

    ,

    ).

    Titik pojok daerah yang diarsir adalah

    A(0, 4), B(0, 6), dan C(

    ,

    ).

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 60x + 30y

    Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 60x + 30y adalah

    180.

    14. Jawaban: d

    Persamaan garis yang melalui (12, 0) dan (0, 6)

    adalah 6x + 12y = 72 x + 2y = 12 . . . (i)Persamaan garis yang melalui (8, 0) dan (0, 12)

    adalah 12x + 8y = 96 3x + 2y = 24 . . . (ii)Garis x + 2y = 12 dan 3x + 2y = 24 berpotongan di

    titik (6, 3).

    Titik pojok daerah penyelesaiannya yaitu (12, 0),

    (6, 3), dan (0, 12).

    Uji titik pojok ke fungsi objektif.

    Jadi, nilai minimum f(x, y) = 3x + 5y dari daerah

    yang diarsir adalah 33.

    15. Jawaban: c

    Persamaan garis yang melalui (0, 5) dan (5, 0)

    adalah x + y = 5.

    Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (6, 0)

    adalah 4x + 6y = 24 2x + 3y = 12.

    Menentukan perpotongan garis x + y = 5 dan

    2x + 3y = 12.

    Eliminasi x dari x + y = 5 dan 2x + 3y = 12:

    x + y = 5 2 2x + 2y = 10

    2x + 3y= 12 1 2x + 3y= 12

    y = 2

    y = 2Substitusi y = 2 ke x + y = 5:

    x + 2 = 5 x = 3Diperoleh titik potong kedua garis (3, 2).

    Titik pojok daerah yang diarsir adalah

    A(0, 0), B(5, 0), C(3, 2) dan D(0, 4).

    Uji titik pojok ke f(x, y) = 5x + 6y:

    Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 5x + 6y adalah 27.

    16. Jawaban: a

    Misal: x = banyak penumpang pelajar

    y = banyak penumpang mahasiswa/umum

    Daya muat paling banyak 50 orang, sehingga

    harus memenuhi x + y 50 . . . (1)Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari

    Rp75.000,00 sehingga harus memenuhi

    1.500x + 2.500 75.000 3x + 5y 150 . . . (2)Banyak penumpang pelajar atau mahasiswa/

    umum tidak boleh negatif sehingga harus

    memenuhi x 0, y 0 . . . (3)Banyak penumpang merupakan bilangan

    cacah x, y C . . . (4)Diperoleh sistem pertidaksamaan:

    x + y 503x + 5y 150

    x 0y 0

    x, y C17. Jawaban: a

    Persamaan garis AB melalui titik (3, 0) dan B(2, 2).

    =

    =

    y = 2x 6

    Titik Pojok

    A(0, 4)

    B(0, 6)

    C(

    ,

    )

    f(x, y) = 60x + 30y

    60(0) + 30(4) = 120

    60(0) + 30(6) = 180

    60(

    ) + 30(

    ) = 180

    (12, 0)

    (6, 3)

    (0, 12)

    36

    33

    60

    Titik Pojok f(x, y) = 3x + 5y

    Titik Pojok

    A(0, 0)

    B(5, 0)

    C(3, 2)

    D(0, 4)

    f(x, y) = 5x + 6y

    5(0) + 6(0) = 0

    5(5) + 6(0) = 25

    5(3) + 6(2) = 27

    5(0) + 6(4) = 24

    Penumpang

    Pelajar

    Mahasiswa/umum

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    50

    Tarif

    1.500

    2.500

    75.000

  • 41Matematika Kelas XII Program IPS

    A merupakan titik yang terletak pada garis AB,

    dengan absis 4.

    Koordinat titik A:

    2x + y = 6

    2(4) + y = 6 8 + y = 6 y = 2Diperoleh koordinat titik A(4, 2).

    Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi

    objektif f(x, y) = 4x 2y 1.

    Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x 2y 1 di

    atas mencapai minimum 21 yaitu di titik A(4, 2).

    18. Jawaban: a

    Misal: x = banyak kartu undangan jenis I

    y = banyak kartu undangan jenis II

    Karton biru yang digunakan tidak boleh melebihi

    persediaan yang ada dan diperoleh pertidak-

    samaan:

    30x + 45y 200 . . . (1)Karton kuning yang digunakan tidak boleh melebihi

    persediaan yang ada dan diperoleh pertidaksamaan

    25x + 35y 300 . . . (2)Banyak kartu undangan jenis I dan II tidak boleh

    negatif dan diperoleh pertidaksamaan:

    x 0 . . . (3)y 0 . . . (4)Diperoleh sistem pertidaksamaan:

    30x + 45y 20025x + 35y 300

    x 0y 0

    19. Jawaban: c

    Misalkan: x = banyak bus

    y = banyak mobil

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 3.500x + 2.000y dengan

    kendala:

    x + y 5824x + 6y 600 4x + y 100x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    B adalah perpotongan antara garis x + y = 58 dan

    4x + y = 100.

    x + y = 58

    4x + y = 100

    3x = 42

    x = 14x + y = 58

    14 + x = 58 y = 44Diperoleh koordinat titik B(44, 14).

    Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi

    objektif f(x, y) = 3.500x + 2.000y.

    Diperoleh nilai maksimum fungsi objektif di atas

    adalah 137.000 sehingga biaya parkir maksimum

    yang dapat diperoleh adalah Rp137.500,00.

    20. Jawaban: d

    Misal: x = banyak barang jenis I

    y = banyak barang jenis II

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 4.000x + 5.000y dengan

    kendala:

    x + y 22030.000x + 25.000y 6.000.000 6x + 5y 1.200x 0y 0

    A(4, 2)

    B(2, 2)

    C(4, 4)

    D(0, 4)

    4(4) 2(2) 1 = 21

    4(2) 2(2) 1 = 5

    4(4) 2(4) 1 = 23

    4(0) 2(4) 1 = 9

    Titik Pojok f(x, y) = 4x 2y 1

    Kartu Undangan

    Jenis I

    Jenis II

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    Karton Biru

    30

    45

    200

    Karton Kuning

    25

    35

    300

    Jenis

    Bus

    Mobil

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    58

    Luas (m2)

    24

    6

    600

    Biaya

    3.500,00

    2.000,00

    Y

    XA

    B

    C58

    0 25 58

    100

    O(0, 0)

    A(25, 0)

    B(14, 44)

    C(0, 58)

    3.500(0) + 2.000(0) = 0

    3.500(25) + 2.000(0) = 87.500

    3.500(14) + 2.000(44) = 137.000

    3.500(0) + 2.000(58) = 116.000

    Titik Pojok f(x, y) = 3.500x + 2.000y

    Barang

    Jenis I

    Jenis II

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    220

    Keuntungan

    4.000

    5.000

    Modal

    30.000

    25.000

    6.000.000

  • 42 Program Linear

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x

    + 5.000y:

    Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.100.000.

    Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh

    Rp1.100.000,00.

    21. Jawaban: c

    Misal: x = banyak toko tipe A

    y = banyak toko tipe B

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 7x + 4y (juta) dengan

    kendala:

    x + y 125100x + 75y 10.000 4x + 3y 400x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 7x + 4y (juta):

    Nilai maksimum f(x, y) adalah 700 juta.

    Jadi, keuntungan maksimum dari penjualan toko

    Rp700.000.000,00.

    22. Jawaban: b

    Misalkan: x = banyak pakaian jenis I

    y = banyak pakaian jenis II

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 50.000y

    dengan kendala:

    2x + 5y 704x +3y 84

    x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 25.000x + 50.000y:

    Titik Pojok f(x, y) = 25.000x + 50.000y

    O(0, 0) 25.000(0) + 50.000(0) = 0

    A(21, 0) 25.000(21) + 50.000(0) = 525.000

    B(15, 8) 25.000(15) + 50.000(8) = 775.000

    C(0, 14) 25.000(0) + 50.000(14) = 700.000

    Nilai maksimum f(x, y) = 25.000x + 50.000y adalah

    775.000 yang dicapai di x = 15 dan y = 8.

    Jadi, agar memperoleh laba sebesar-besarnya

    penjahit harus membuat 15 pakaian jenis I dan

    8 pakaian jenis II.

    23. Jawaban: a

    Misal: x = banyak keripik rasa cokelat

    y = banyak keripik rasa keju

    Titik Pojok

    O(0, 0)

    A(200, 0)

    B(100, 120)

    C(0, 220)

    f(x, y) = 4.000x + 5.000y

    4.000(0) + 5.000(0) = 0

    4.000(200) + 5.000(0) = 800.000

    4.000(100) + 5.000(120) = 1.000.000

    4.000(0) + 5.000(220) = 1.100.000

    Y

    X

    B(100, 120)

    200 220

    240220

    O A

    6x + 5y = 1.200

    x + y = 220

    C

    Barang

    Tipe A

    Tipe B

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    125

    Keuntungan

    (Juta)

    7

    4

    Luas Tanah

    (m2)

    100

    75

    10.000

    Y

    XA

    O 100 125x + y = 125

    133,3

    125

    B(25, 100)

    4x + 3y = 400

    C

    Titik Pojok

    O(0, 0)

    A(100, 0)

    B(25, 100)

    C(0, 125)

    Subtitusi ke f(x, y) = 7x + 4y (juta)

    7(0) + 4(0) = 0

    7(100) + 4(0) = 700

    7(25) + 4(100) = 575

    7(0) + 4(125) = 500

    Pakaian

    Jenis I

    Jenis II

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    Kain Katun

    (m)

    2

    5

    70

    Kain Sutra

    (m)

    4

    3

    84

    Laba

    25.000

    50.000

    28

    14

    O 21 35A

    B(15, 8)

    C

    Y

    X

    4x + 3y = 84

    2x + 5y = 70

    Keripik

    Cokelat

    Keju

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    40

    Modal

    10.000

    15.000

    500.000

    Keuntungan

    2.500

    3.000

  • 43Matematika Kelas XII Program IPS

    Model matematika yang sesuai permasalahan

    adalah memaksimumkan fungsi objektif

    f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala:

    x + y 402x + 3y 100

    x, y 0Garis x + y = 40 melalui (0, 40) dan (40, 0).

    Daerah penyelesaian x + y 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).

    Garis 2x + 3y = 100 melalui (50, 0) dan (0,

    ).

    Daerah penyelesaian 2x + 3y 100 dibatasi2x + 3y = 100 dan memuat titik (0, 0).

    Daerah penyelesaian x 0; y 0 adalah daerahdi kuadran I.

    Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 100 berpotongan di

    titik B.

    2x + 2y = 80

    2x + 3y = 100

    y = 20

    x = 20

    Diperoleh koordinat titik B(20, 20).

    Uji titik pojok penyelesaian pada fungsi objektif.

    Jadi, keuntungan terbesar Rp110.000,00.

    24. Jawaban: b

    Misalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam

    goreng

    y = banyak menu dengan lauk bebek

    goreng

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 15.000x + 20.000y

    dengan kendala:

    x + y 100x 50y 40

    Daerah penyelesaian:

    A merupakan perpotongan garis x = 50 dengan

    y = 40. Diperoleh titik A(50, 40)

    B merupakan perpotongan garis x + y = 100

    dengan y = 40.

    x + y = 100

    x + 40 = 100 x = 60Diperoleh titik B(60, 40).

    C merupakan perpotongan garis x = 50 dengan

    x + y = 100.

    x + y = 100

    50 + y = 100 y = 50Diperoleh koordinat titik C(50, 50).

    Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam ke

    fungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y:

    Diperoleh nilai maksimum 1.750.000 yang

    diperoleh saat warung tersebut menyediakan 50

    porsi menu dengan lauk ayam goreng dan 50 porsi

    menu dengan lauk bebek goreng.

    25. Jawaban: c

    Misalkan: x = banyak tempe

    y = banyak tahu

    O(0, 0)

    A(40, 0)

    B(20, 20)

    C(0,

    )

    0

    100.000

    110.000

    100.000

    Titik f(x, y) = 2.500x + 3.000y

    Y

    X

    40

    40 50

    C

    B

    AO

    Y

    X

    A B

    C

    100

    40

    0 50 100

    y = 40

    x + y = 100

    Menu

    Ayam goreng

    Bebek goreng

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    100

    Harga

    15.000

    20.000

    Porsi

    x

    50

    Porsi

    y

    40

    Titik Pojok

    A(50, 40)

    B(60, 40)

    C(50, 50)

    f(x, y) = 15.000x + 20.000y

    15.000(50) + 20.000(40) = 1.550.000

    15.000(60) + 20.000(40) = 1.700.000

    15.000(50) + 20.000(50) = 1.750.000

    Jenis

    Tempe

    Tahu

    Pembatas

    Banyak

    x

    y

    400

    Keuntungan

    500

    1.000

    Harga Beli

    2.500

    4.000

    1.450.000

  • 44 Program Linear

    Diperoleh model matematika:

    Memaksimumkan f(x, y) = 500x + 1.000y dengan

    kendala:

    x + y 4002.500x + 4.000y 1.450.000 5x + 8y 2.900x 0y 0

    Daerah penyelesaian:

    Uji titik pojok ke f(x, y) = 500x + 1.000y:

    Nilai maksimum f(x, y) = 500x + 1.000y adalah

    362.500.

    Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebut

    Rp362.500,00.

    26. Jawaban: e

    Misalkan: x = banyak tablet jenis I

    y = banyak tablet jenis II

    Diperoleh model matematika:

    Meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengan

    kendala:

    5x + 10y 25 x + 2y 53x + y 5x 0y 0

    Garis x + 2y = 5 melalui (5, 0) dan (0,

    ).

    Daerah penyelesian x + 2y 5 dibatasi garisx + 2y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).

    Garis 3x + y = 5 melalui (

    , 0) dan (0, 5).

    Daerah penyelesian 3x + y 5 dibatasi garis3x + y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).

    Daerah penyelesaian x 0 dan y 0 berarti daerahpenyelesaiannya di kuadran I.

    Daerah penyelesaian:

    Menentukan titik

    potong garis x+ 2y

    = 5 dan 3x + y = 5.

    x + 2y = 5

    6x + 2y = 10

    5x = 5

    x = 1y = 2

    Diperoleh titik potong (1, 2).

    Uji titik pojok penyelesaian.

    Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian

    tablet per hari Rp20.000,00.

    27. Jawaban: dMisal: x = banyak barang jenis I

    y = banyak barang jenis II

    Barang Bahan A Bahan B Bahan C Harga

    Jenis I 1 3 2 40.000