Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
-
Upload
lutfi-hakim-d-j -
Category
Documents
-
view
1.863 -
download
255
Transcript of Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 1/25
ST TISTIK NON P R METRIK
Balik lagi bersama statistik non parametrik setelah perjuangan melawan UTS kemarin. Sekarang
kita akan bersama-sama berjuang melawan UAS. Untuk itu sebelum masuk ke materi dalam
pembahasan nonpar setelah UTS ini, perlu diingatkan kembali tentang hal penting, yaitu bahwa
data menurut skala pengukurannya terbagi menjadi empat, yaitu data skala nominal, skalaordinal, skala interval, dan skala rasio. Memahami jenis data tersebut akan mempermudah kita
dalam menentukan statistik uji mana yang tepat digunakan untuk suatu kasus.
Berikut merupakan daftar uji-uji yang akan diajarkan kepada kita setelah UTS genap nanti:
1) Uji k Populasi Dependen:
a) Uji Cochran Q
b) Uji Friedman
2) Uji k Populasi Independen
a) Uji Chi-Square & Koefisien Kontingensi
b) Uji Perluasan Median
c)
Uji Kruskal-Wallis
d) Uji Jonckheere
3) Ukuran Korelasi
a) Koefisien Korelasi Rank Spearman
b) Koefisien Korelasi Rank Kendall
Nah supaya modul ini tidak tambah panjang, mari langsung saja kita bahas satu per satu dari uji-
uji dan ukuran korelasi di atas.
1. Uji k Populasi Dependen
1.1.
Uji Cochran QUji ini merupakan perluasan dari uji Mc Nemar yang digunakan untuk menguji k populasi
dependen, apakah tiga atau lebih populasi tersebut saling berbeda signifikan dalam hal
proporsi atau frekuensi suatu kejadian. Uji ini lakukan ketika data minimal berskala
nominal dengan ketentuan data bersifat dikotomi (sukses atau gagal). Untuk sukses
diberikan angka 1 dan gagal diberi angka 0. Format data untuk k populasi dengan N
observasi disajikan dalam tabel seperti berikut:
Dari tabel diatas dihitung G j yaitu jumlah sukses dalam kolom/populasi ke j dan L i
yaitu jumlah sukses pada baris/observasi ke i. (j=1,2,..,k dan i=1,2,..,N)
SubjekPopulasi/Perlakuan
Li Li2 1 2 … k
1
2…
N
G1 G2 … Gk ∑ Li ∑ Li2
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 2/25
Prosedur Uji Cochran Q:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: proporsi atau frekuensi jawaban tertentu sama dalam masing-masing kolom
o H1: proporsi atau frekuensi jawaban tertentu berbeda dalam masing-masing
kolom Tentukan taraf signifikansi (α).
Isikan skor 1 untuk setiap “sukses” dan skor 0 untuk setiap “gagal” pada tabel Nxk
seperti di atas
Hitung statistik uji:
Keterangan:
Meskipun belum ada ketentuan berapa baris minimalnya, jika banyak baris (N)
tidak terlampau kecil maka Q berdistribusi dengan derajat bebas = k – 1 Tentukan wilayah kritis: Tolak H0 jika Q ≥ ,− atau p-value ≤ α
Contoh Soal Uji Cochran Q:
Dalam suatu perlombaan memasak “Master Chef Junior” yang terdiri dari 15 peserta. Suatu
penelitian ingin meneliti pengaruh 3 kondisi memasak yaitu saat challenge, preasure test
dan kerja tim terhadap penilaian enak-tidaknya masakan peserta. Misal enak = 1, tidak enak
= 0. Jika diketahui data seperti dibawah ujilah bahwa proporsi penilaian enak sama untuk
ketiga kondisi! (alpha= 5%)
Peserta Challenge Preasure Kerja Li Li2
test team
Bryan 1 0 0 1 1
Zidane 1 1 0 2 4
Diandra 0 1 0 1 1
Afaf 1 1 1 3 9
Mathew 0 0 1 1 1
Mala 0 0 1 1 1
Kimy 1 1 0 2 4
Neyla 0 0 0 0 0
Alain 1 1 0 2 4
Salsa 0 0 1 1 1Alex 1 0 1 2 4
Petrik 1 1 1 3 9
Lia 0 1 1 2 4
Vj 0 0 1 1 1
Revo 1 0 1 2 4
G1=8 G2=7 G3=9 ∑Li = 24 ∑Li2= 43
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 3/25
Jawab:
Hipotesis
Ho: proporsi penilaian “enak” sama untuk ketiga kondisi
H1: proporsi penilaian “enak” ada yang berbeda pada ketiga kondisi
Taraf signifikansi: α = 5% Statistik uji:
Wilayah kritis : Tolak Ho jika p-value ≤ alpha (0,05) atau jika Q ≥ ., (5,99)
Keputusan : Terima Ho karena p-value > alpha (0,05) atau karena Q < 5,99
Kesimpulan :
Dengan tingkat kepercayaan 95 % dapat disimpulkan bahwa proporsi penilaian “enak” nya
masakan peserta Master Chef Junior adalah sama untuk ketiga kondisi tersebut (tiga kondisi
tersebut tidak berpengaruh pada penilaian “enak”nya masakan).
1.2. Uji Friedman
Uji ini digunakan pada data k populasi berpasangan dengan skala pengukuran minimal
ordinal. Untuk menguji apakah sampel berasal dari populasi yang sama. Data dibentuk
kedalam tabel 2 arah dengan N baris dan k kolom. Baris merupakan banyaknya subyek/
kelompok dan kolom merupakan banyaknya perlakuan/kondisi. Sehingga tiap-tiap
kelompok subyek menerima k perlakuan. Format data untuk k perlakuan dengan N subyek
disajikan dalam tabel seperti berikut:
Sebelum melalukan uji Friedman pertama-tama kita beri ranking kepada skor-skor dalam
setiap subyek/kelompok . Pemberian ranking 1 adalah untuk skor terendah dan k adalah
untuk skor tertinggi. Jika ada skor yang sama maka diberikan rata-rata ranking dari yang
seharusnya. Kemudian Data yang diamati berupa ranking yang diberikan pada masing-
SubyekPerlakuan
1 2 … K
1
2
…
N
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 4/25
masing subyek/kelompok. Sehingga, jika kita mengamati k perlakuan, ranking dalam tiap
baris antara 1 hingga k. Uji Friedman mencari apakah ranking dari kolom-kolom yang
berlainan berasal dari populasi yang sama. Uji Friedman juga masih berhubungan dengan
Rancangan Acak Kelompok (RAK).
Prosedur Uji Friedman: Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: pemberian perlakuan berbeda tidak mengakibatkan perbedaan respons
o H1: pemberian perlakuan berbeda mengakibatkan perubahan respons
Tentukan taraf signifikansi (α).
Masukkan skor-skor ke dalam tabel dua arah yang memiliki k-kolom (kondisi) dan
N-baris (kelompok atau subjek) lalu berikan ranking skor-skor itu pada masing-
masing baris dari 1 sampai k (dari skor terkecil ke skor terbesar)
Hitung statistik uji:
Keterangan:
N = banyak baris
k = banyak kolom
Rj = jumlah ranking pada
kolom ke-j (j=1,2,..,k)
∑ = = jumlah kuadrat
ranking pada semua k-kolom
Tentukan wilayah kritis:
o
Untuk sampel N kecil
≤ 9
3, lihat table
o
Untuk sampel ≤ 4 4, lihat tabel o
Untuk sampel besar > 9, lihat tabel C dengan db = k-1.
o Tolak Ho jika p-value ≤ α (kalau pake tabel atau ) atau ≥ ;12
(kalau pake tabel C)
Contoh Soal Uji Friedman:
Suatu penelitian ingin mengetahui
perbedaan produktivitas mesin pembuat
sepatu yang dihasilkan. Dalam 3 shift kerja
(pagi, sore, malam) diambil 1 karyawan
untuk tiap tipe mesin yang berbeda. Dariobservasi tersebut dihasilkan data sbb :
dengan mengasumsikan karyawan memiliki tingkat kinerja yang sama. Ujilah apakah
pernyataan bahwa perbedaan mesin mengakibatkan perbedaan jumlah produksi sepatu
benar! (α=5%)
Jawab:
ShiftTipe Mesin
I II III IV
Pagi 15 14 11 19
Sore 22 26 32 17Malam 10 8 17 14
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 5/25
Hipotesis
Ho : Perbedaan mesin tidak mengakibatkan perbedaan jumlah produksi sepatu
H1 : Perbedaan mesin mengakibatkan perbedaan jumlah produksi sepatu
Taraf signifikansi: α = 0,05
N = 3(sampel kecil) ; k = 4
Statistik Uji :
ShiftTipe Mesin
I II III IV
Pagi 3 2 1 4
Sore 2 3 4 1
Malam 2 1 4 3
∑Rj 7 6 9 8
Wilayah kritis: Tolak Ho jika p-value ≤ α (0,05)
Keputusan : Terima Ho karena p-value > α
Kesimpulan :
Dengan tingkat kepercayaan 95 % dapat disimpulkan bahwa perbedaan mesin tidak
mengakibatkan perbedaan jumlah sepatu yang diproduksi.
2. Uji k Populasi Independen
2.1. Uji Chi-Square & Koefisien Kontingensi
A. Uji Chi-Square
Uji merupakan uji untuk menentukan signifikansi perbedaan-perbedaan (perbedaan
proporsi) antara lebih dari dua populasi independen yang memiliki kategori diskrit dengan
skala pengukuran minimal nominal. Uji ini merupakan perluasan dari uji dua populasi
independen yang sudah diajarkan sebelum UTS. Namun ada perbedaan yaitu uji dua
populasi independen digunakan untuk menentukan ada tidaknya hubungan antara dua
variabel sedangkan uji k populasi independen digunakan untuk menentukan apakah
proporsi dari k populasi independen berdasarkan kategorinya sama atau berbeda. Data
disajikan dalam bentuk tabel seperti ini:
KategoriPopulasi/Perlakuan
Jumlah1 2 … k
1 O11 (E11) O12 (E12) … O1k (E1k) O1.
2 O21(E21) O22 (E22) … O2k (E2k) O2.
… … … … … …
R Or1(Er1) Or2 (Er2) … Ork (Erk) Or.
12 1 = 3 1
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 6/25
Jumlah O.1 O.2 … O.k N
Keterangan:
. .
Syarat-syarat :
a. Frekuensi harapan () tidak boleh terlalu kecil b. Jika lebih dari 20% di antara sel-sel itu mempunyai frekuensi harapan kurang dari 5
atau sembarang sel mempunyai frekuensi harapan < 1 maka gabungkan populasi tersebut
untuk meningkatkan frekuensi harapan agar lebih dari 5.
Prosedur Uji Chi-Square (k populasi independen):
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: tidak ada perbedaan proposi populasi berdasarkan kategorinya (p1=p2=...=pk )
o H1: minimal ada sepasang proporsi populasi berbeda
Tentukan taraf signifikansi ()
Bentuk tabel seperti tabel diatas serta hitung frekuensi harapan pada masing-masing sel
Hitung statistik uji:
( )
=
=
Derajat bebas = (r-1)(k-1)
Tentukan wilayah kritis: Tolak H0 jika hit ≥
;r−k− atau jika p-value ≤ α
Contoh Uji Chi-Square k populasi independen:
Dalam suatu penyelidikan mengenai sifat dan akibat stratifikasi sosial dalam suatu
masyarakat kecil di Barat Tengah Amerika Serikat, Hollingsead menemukan bahwa para
siswa membagi diri mereka kedalam lima status kelas sosial dan mencatatkan diri mereka
pada kurikulum-kurikulum sekolah yang berbeda. Data sebagai berikut:
Ujilah hipotesis apakah proporsi siswa dalam ketiga kurikulum sekolah sama untuk setiapkelas sosial! (α=5%)
Jawab:
Hipotesis
Ho : proporsi siswa yang tercatat dalam ketiga kurikulum sekolah sama untuk semua
kelas sosial.
Kurikulum Kelas SosialTotal
Sekolah I & II III IV V
Persiapan PT 23 40 16 2 81
Umum 11 75 107 14 207
Perdagangan 1 31 60 10 102
Total 35 146 183 26 390
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 7/25
H1 : proporsi siswa yang tercatat dalam ketiga kurikulum sekolah tidak semua sama untuk
semua kelas sosial.
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji:
Kurikulum KelasTotalSekolah I & II III IV V
Persiapan PT 23 (7,3) 40 (30,3) 16 (38,0) 2 (5,4) 81
Umum 11 (18,6) 75 (77,5) 107 (97,1) 14 (13,8) 207
Perdagangan 1 (9,1) 31 (38,2) 60 (47,9) 10 (6,8) 102
Total 35 146 183 26 390
∑ ∑ (−)==
−,, ⋯ −,
, 69,2
db= (r-1)(k-1)=(2)(3)=6
Wilayah kritis: Tolak Ho jika hit ≥ ,; (=12,59) Keputusan: Tolak Ho karena
hit ≥12,59 yaitu 69,2
Kesimpulan:
Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa proporsi siswa yang tercatat
dalam ketiga kurikulum sekolah tidak semua sama untuk semua kelas sosial.
B. Koefisien Kontingensi
Koefisien kontingensi merupakan suatu ukuran yang menunjukkan relasi antara dua
himpunan atribut dengan informasi kategori (skala nominal). Sebenarnya materi ini masuk
dalam bab ukuran korelasi, akan tetapi di kurikulum yang baru materi ini digabungkan
dengan uji chi-square karena ada kesamaan dalam hal statistik uji yang digunakan meski
fungsi dari statistik uji tersebut berbeda. Jika uji k populasi independen digunakan untuk
menentukan apakah proporsi dari k populasi independen berdasarkan kategorinya sama atau
berbeda maka uji untuk koefisien korelasi digunakan untuk melihat apakah ada relasi
antara dua variabel atau tidak. Data disajikan dalam bentuk tabel seperti ini:
Variabel QVariabel P
Jumlah1 2 … k
1 O11 (E11) O12 (E12) … O1k (E1k) O1.
2 O21(E21) O22 (E22) … O2k (E2k) O2.
… … … … … …
R Or1(Er1) Or2 (Er2) … Ork (Erk) Or.Jumlah O.1 O.2 … O.k N
*) syarat dan keterangan sama seperti uji chi-square k populasi independen
Kelemahan koefisien kontingensi:
a) Syarat koefisien korelasi adalah bernilai nol jika tidak terdapat asosiasi, dan bernilai 1
untuk asosiasi penuh. Namun koefisien kontingensi tidak dapat bernilai 1.
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 8/25
b) Antar koefisien kontingensi tidak dapat dibandingkan jika keduanya tidak dihasilkan
dari tabel kontingensi yang berukuran sama, misalnya 2x2, 3x3, dll.
c) Data harus sesuai untuk perhitungan sebelum digunakan untuk menghitung C
d) Koefisien kontingensi tidak bisa secara langsung dibandingkan dengan ukuran korelasi
lain seperti R-Pearson, R-Spearman, R-Kendall.
Prosedur Uji Koefisien Kontingensi
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: tidak ada relasi antara variabel P dan variabel Q
o H1: ada relasi antara variabel P dan variabel Q
Tentukan taraf signifikansi ()
Bentuk tabel seperti tabel diatas serta hitung frekuensi harapan pada masing-
masing sel
Hitung statistik uji:
( )
=
=
Derajat bebas = (r-1)(k-1)
C: ukuran koefisien kontingensi
Tentukan wilayah kritis: Tolak H0 jika hit ≥
;r−k− atau jika p-value ≤ α
Ketika Ho diterima berarti nilai C tersebut tidak signifikan menggambarkan
hubungan antara variabel P dan Q, ketika Ho ditolak berarti nilai C tersebut
signifikan.
Contoh koefisien kontingensi:
Misal dari contoh uji chi-square k populasi independen diatas juga ditanyakan bagaimana
korelasi antara kelas sosial dan kurikulum sekolah, maka:
Hipotesis:
Ho : tidak ada relasi antara kelas sosial dan kurikulum sekolah
H1 : ada relasi antara kelas social dan kurikulum sekolah
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji: Telah dihitung bahwa 69,2 maka:
+
,+ , 0,39
Wilayah kritis: Tolak Ho jika
hit ≥ ,; (=12,59)
Keputusan: Tolak Ho karena hit ≥12,59 yaitu 69,2
Kesimpulan:
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 9/25
Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa bahwa status kelas sosial dan
pilihan kurikulum sekolah mempunyai hubungan dalam populasi yang mana siswa Elmtown
sebagai sampelnya. Kita menyimpulkan bahwa C = 0,39 signifikan.
2.2. Uji Perluasan Median
Uji perluasan median merupakan uji untuk menentukan apakah k populasi independen
memiliki median yang sama dengan skala pengukuran minimal ordinal. Uji ini
merupakan perluasan dari uji median dua populasi independen yang sudah diajarkan
sebelum UTS. Prinsipnya sama dengan uji median dua populasi dimana kita membagi data
setiap populasi/perlakuan kedalam dua kategori, yaitu diatas median dan dibawah atau sama
dengan median. Masing-masing populasi/perlakuan bisa mempunyai jumlah sampel yang
berbeda. Median yang digunakan adalah median gabungan dari seluruh sampel. Format data
dari k perlakuan adalah sebagai berikut:
Populasi/Perlakuan Jumlah1 2 … k
> Median O11 (E11) O12 (E12) … O1k (E1k) O1.
≤ Median O21(E21) O22 (E22) … O2k (E2k) O2.
Jumlah O.1 O.2 … O.k N
Keterangan:
Oij = banyak observasi yang pada baris ke-i dan populasi ke j (i=1,2 dan j=1,2,…,k)
. .
Syarat-syarat :a. Frekuensi harapan () tidak boleh terlalu kecil
b. Jika lebih dari 20% di antara sel-sel itu mempunyai frekuensi harapan kurang dari 5
atau sembarang sel mempunyai frekuensi harapan < 1 maka gabungkan populasi tersebut
untuk meningkatkan frekuensi harapan agar lebih dari 5.
Prosedur Uji Perluasan Median:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: k populasi memiliki median yang sama
o H1: minimal ada sepasang populasi dengan nilai median berbeda
Tentukan taraf signifikansi (
) Cari median gabungan dari seluruh sampel, lalu buat tabel 2xk seperti diatas dan
isi sel-selnya serta cari frekuensi harapan dari tiap sel
Hitung statistik uji:
( )
=
=
Derajat bebas = (r-1)(k-1)=(2-1)(k-1) = (k-1)
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 10/25
Tentukan wilayah kritis: Tolak H0 jika hit ≥
;k− atau jika p-value ≤ α
Contoh Uji Perluasan Median:
Seorang peneliti ingin meneliti pengaruh jenjang pendidikan ibu dengan frekuensi
kunjungan ke sekolah anaknya. Dari 440 anak diambil sampel 10%. Terambil 44 orang ibu
dari anak anak tersebut. Ibu-ibu tersebut digolongkan berdasarkan pendidikan. Data sebagai
berikut:
SD SMP SMA PT
4 2 2 9
3 4 0 4
0 1 4 2
7 6 3 3
1 3 8 2
2 0 0 4
0 2 5 53 5 2 2
5 1 1 2
1 2 7 6
1 6
5
1
Apakah ada perbedaan frekuensi kunjungan sekolah diantara para ibu yang berbeda
jenjang pendidikannya? (Uji dengan α = 5% )
Jawab:
Hipotesis:
Ho : tidak ada perbedaan dalam frekuensi kunjungan sekolah diantara para ibu yang
berbeda jenjang pendidikannya
H1 : ada perbedaan dalam frekuensi kunjungan sekolah diantara para ibu yang berbeda
jenjang pendidikannya
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji:
Dari data pada soal bisa kita cari:
Data = Frekuensi:
0 = 51 = 7
2 = 10
3 = 5
4 = 5 Median = 2,5
5 = 5
6 = 3
7 = 2
SD SMP SMA PT Total
> Median 5 4 7 6 22
(5) (5,5) (6,5) (5)
≤ Median 5 7 6 4 22
(5) (5,5) (6,5) (5)
10 11 13 10 44
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 11/25
8 = 1
9 = 1
( )
=
=
5 5
5 45,5
5,5 ⋯ 4 5
5 1,2951
1 4 1 3
Wilayah kritis: Tolak Ho jika hit ≥ ,; (=7,82)
Keputusan : Terima Ho karena
hit(=1,2951) < ,; (=7,82)
Kesimpulan :
Dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan
dalam frekuensi kunjungan sekolah diantara para ibu yang berbeda jenjang pendidikannya
2.3. Uji Kruskal-Wallis
Uji ini digunakan pada data k populasi independen dengan skala pengukuran minimal
ordinal. Untuk menguji apakah sampel berasal dari populasi yang berbeda-beda. Datadibentuk kedalam tabel dengan k kolom dan masing-masing kolom mempunyai sampel
sebanyak n j. Format data untuk k populasi/perlakuan adalah:
Populasi/Perlakuan
1 2 … k
1
2.
.
.
Sebelum melalukan uji Kruskal-Wallis pertama-tama kita beri ranking kepada seluruh
sampel. Pemberian ranking adalah untuk seluruh skor tanpa memperhatikan
populasi/perlakuannya, ranking 1 adalah untuk skor terendah dan N adalah untuk skor
tertinggi. Jika ada skor yang sama maka diberikan rata-rata ranking dari yang seharusnya.
Kemudian data yang diamati berupa ranking yang diberikan pada seluruh sampel tersebut.
Uji Kruskal-Wallis menentukan apakah perbedaan jumlah ranking tiap populasi sangat
berlainan sehingga kecil kemungkinan sampel-sampel itu semuanya ditarik dari populasi
yang sama. Uji Kruskal-Wallis juga masih berhubungan dengan Rancangan Acak Lengkap
(RAL).
Prosedur Uji Kruskal-Wallis:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0: k populasi memiliki nilai tengah yang sama (sampel berasal dari populasi
yang sama)
o H1: minimal ada sepasang populasi dengan nilai tengah berbeda (sampel berasal
dari populasi berbeda)
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 12/25
Tentukan taraf signifikansi ()
Masukkan skor-skor ke dalam tabel k kolom lalu berikan ranking seluruh skor-skor
itu tanpa memperhatikan populasinya dari 1 sampai N (dari skor terkecil ke skor
terbesar)
Hitung statistik uji:
Keterangan:
k = banyak populasi
n j =banyaknya sampel dalam tiap populasi
N =∑n j = banyaknya sampel dalam semua populasi(total sampel)
R j = jumlah ranking pada populasi ke-j (j=1,2,..,k)
*Jika banyak data yang sama maka gunakan faktor koreksi untuk statistik uji
diatas, rumus koreksi:
Dimana T = t3 – t dan t adalah frekuensi setiap observasi yang berangka samaMaka statistik uji menjadi:
Keterangan: rumus ini digunkan ketika terdapat lebih dari 25% data berangka sama
Tentukan wilayah kritis:
o
Untuk sampel kecil (k=3 dan n j≤5), lihat table O
o Untuk sampel besar (n j>5) gunakan tabel C dengan db = k-1
o Tolak Ho jika p-value ≤ α atau ≥ ;12
Contoh Soal Uji Kruskal-Wallis:
Untuk mendukung program STIS Bersih, SEMA
mengadakan sebuah survei yang bertujuan untuk
mengetahui pendapat mahasiswa STIS mengenai
kebersihan kampus STIS. SEMA ingin
membandingkan hasil rating kebersihan untuk 3 sesi
yang berbeda, yaitu sesi 1,sesi 2, dan sesi 3. Rating
digolongkan dalam 4 kategori yaitu:
1=sangat kotor 3=bersih
2=kotor 4=sangat bersih
Diperoleh data sebagai berikut:
Sesi 1 Sesi 2 Sesi 3
4 2 2
4 3 1
3 3 1
4 2 23 1 3
3 3 3
3 4 2
3
2
3
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 13/25
Dengan tingkat kepercayaan 95 %, dapatkah SEMA mengatakan bahwa mahasiswa STIS
dapat menjaga kebersihan kampus yang sama sepanjang sesi?
Jawab:
Hipotesis:
Ho : Tidak ada perbedaan mahasiswa STIS dalam menjaga kebersihan kampus sepanjangsesi
H1 : ada perbedaan mahasiswa STIS dalam menjaga kebersihan kampus sepanjang sesi
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji:
Sesi 1 R Sesi 2 R Sesi 3 R
4 22.5 2 6.5 2 6.5
4 22.5 3 15 1 2
3 15 3 15 1 2
4 22.5 2 6.5 2 6.5
3 15 1 2 3 15
3 15 3 15 3 15
3 15 4 22.5 2 6.5
3 15
2 6.5
3 15
R1 164 R2 82.5 R3 53.5
Karena banyak data yang berangka sama maka digunakan faktor koreksi (T = t3 – t)
Data 1 2 3 4
t 3 6 11 4
T 24 210 1320 60
12
24241[164
10 82,5
7 53,5
7 ] 3 2 4 1
1 242101320 6024 24
7.266104 Derajat bebas = k-1 = 3-1 = 2
Wilayah kritis: Tolak Ho jika H ≥ ,; 5,991
Keputusan: Tolak Ho karena
hit(=7,266104) > ,; (=5,991)
Kesimpulan:
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 14/25
Dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan mahasiswa
STIS dalam menjaga kebersihan kampus sepanjang sesi.
2.4. Uji Jonckheere
Uji ini digunakan pada data k populasi independen dengan skala pengukuran minimalordinal. Untuk uji alternatif data berurut, mirip dengan uji median dimana untuk menguji
apakah k populasi independen memiliki median yang berbeda, tapi mempunyai hipotesis
alternatif yang lebih spesifik. Terlebih dahulu populasi diurutkan berdasarkan prioritas
tertentu. Kemudian masukkan data kedalam tabel secara urut per populasi, dimana populasi
terkecil di kolom 1 dan terbesar di kolom k dan masing-masing kolom mempunyai sampel
sebanyak n j (j=1,2,..,k). Format data untuk k populasi/perlakuan adalah:
Populasi/Perlakuan Perhitungan
1 2 ... K i 1 1 ... ... k-1
j 2 3 ... ... k
X11 X12 X1k
X12 X22 X2k
. . .
. . .
. . .
Uij
Untuk kolom perhitungan kita isikan statistik uji U Mann-Whitney, misal kolom i=1, j=2,
berarti kita bandingkan populasi 1 dan 2, baris pertama di kolom i=1, j=2 berarti banyaknya
data pada populasi 2 yang melebihi X11 ( jika ada data yang sama maka ditambah lagi
0,5 kali banyak data yang sama), baris kedua berarti banyaknya data pada populasi 2 yang
melebihi X12, begitu seterusnya hingga X1n1, lalu lanjut ke kolom berikutnya dan lakukan
langkah yang sama hingga kolom i=k-1, j=k. banyaknya kolom perhitungan = k C2. Contoh
kasus: Dalam sebuah riset tentang kemujaraban sejenis obat, misalnya seorang peneliti
mungkin ingin tahu apakah data sampel menunjukkan bahwa peningkatan dosis dibarengi
dengan peningkatan reaksi (respon).
Prosedur Uji Jonckheere:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
o H0:
1 2 ⋯ (populasi memiliki median yang sama)
o
H1: 1 2 ⋯ (populasi memiliki median yang berurutan)
Tentukan taraf signifikansi ()
Hitung statistik uji:Bentuk tabel seperti tabel diatas lalu:
SAMPEL KECIL (nj ≤ 8, k=3) atau (2 ≤ n ≤ 6, untuk k=4,5,6,7,8)
J ∑ < = ∑ ∑ =+−=
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 15/25
Dimana = ∑ # (,)ℎ= atau = ∑ # ℎ, =
1, jika <
dengan , bernilai: ½, jika =
0, jika
>
SAMPEL BESAR (Jika banyaknya grup k dan banyaknya pengamatan
dalam setiap grup sangat besar)
∗ −
Dimana:
J ∑ <
=
−
∑
= {2 3
∑ = 2 3}
N = total observasi
Tentukan wilayah kritis:
o Sampel kecil: Tolak Ho jika Job > Jtabel atau p-value≤
Dimana Jtabel:
Jika k=3, serta n1, n2, n3 ≤ 8, J tabel dari tabel P bag. 1 (Siegel versiInternational)
Jika k=4,5,6 serta jumlah nj sama, dan kurang dari 7, J tabel dari tabel P bag. 2
(Siegel versi International)
o Sampel besar: Tolak Ho jika ∗ >
atau p-value≤
Contoh Soal Uji Jonckheere:
Svenningsen melaporkan hasil dari penelitian mengenai titrasi asam basa dalam ginjal
yang dilakukan pada 24 bayi yang dipilih secara acak dari populasi 516 bayi yang baru
lahir. Bayi-bayi yang diteliti dibagi menjadi 3 kelompok berdasarkan analisis kimiawi
pada tes urine yang dilakukan sebagai berikut:
Kelompok I Kelompok II Kelompok III
(bayi cukup
bulan/normal)(bayi prematur)
(bayi prematur dg asidosis
berumur 1-3 minggu)
4,5 4,1 7,3
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 16/25
3,9 3,9 8,4
5 3,2 6,9
4,8 4,6 7,3
4,1 5,1 8,2
4,6 4,9 6,2
5 8,2
4,3 7,9
5,2
5,3
Uji Ho tidak ada perbedaan median dalam populasi, melawan H1 terdapat penurunan nilai
kimiawi dari kelompok III ke kelompok I secara berurut! (alpha = 5%)
Jawab:
Hipotesis:
Ho : kelompok-kelompok bayi berdasarkan analisis kimiawi pada urine-nya tidak ada
kecenderungan menurun ( )H1 :
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji: (sampel besar)
I II III i 1 1 2
j 2 3 3
4,5 4,1 7,3 6 8 8
3,9 3,9 8,4 8,5 8 8
5 3,2 6,9 3,5 8 8
4,8 4,6 7,3 5 8 8
4,1 5,1 8,2 7,5 8 8
4,6 4,9 6,2 5,5 8 8
5 8,2 8
4,3 7,9 8
5,2 8
5,3 8
Uij 36 48 80
J
∑ <
= U12 + U13 + U23
= 36 + 48 + 80= 164
=
−
∑ 2 =
− ++ = 94 = 2 3
∑ 2= 2 3
= {24(2 . 2 4 3 ) 62 . 6 3 102 . 8 3 82.103}
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 17/25
= (29376 – 540 – 2300 – 1216)
= (25320) = 351,667 √ 351,667 18,7528
∗= − =
− 18,7528 = 3,73
Wilayah kritis: Tolak Ho jika ∗ > , 1,645 Keputusan: Tolak Ho karena ∗ 3,73 > , 1,645
Kesimpulan:
Dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%, dapat disimpulkan bahwa median kelompok-
kelompok bayi berdasarkan analisis kimiawi pada urine nya ada kecenderungan menurun
dari kelompok III ke kelompok I secara berurut
.
3. Ukuran Korelasi
3.1.
Koefisien Korelasi Rank SpearmanKoefisien korelasi spearman merupakan suatu ukuran asosiasi atau hubungan antara data
berpasangan yang dapat digunakan pada kondisi satu atau kedua variabel yang diukur adalah
skala ordinal (berbentuk ranking) atau kedua variabel adalah kuantitatif namun kondisi
normal tidak terpenuhi. Simbol ukuran populasinya adalah ρ dan ukuran sampelnya r s.
Koefisien korelasi ini menggunakan ranking dalam proses perhitungan dan pengujiannya,
sehingga kita perlu mengubah data (dalam skor) kedalam data ranking. Data setelah
diranking disajikan dalam tabel sebagai berikut:
SubjekRanking
Selisih (di) di2
Variabel X Variabel Y
1 R(X1) R(Y1) d1 = R(X1) – R(Y1) d12
2 R(X2) R(Y2) d2 = R(X2) – R(Y2) d22
… … … …
N R(X N) R(Y N) d N = R(X N) – R(Y N) d N2
Ket:
N = Jumlah Sampel/Subjek
R(Xi) = Ranking dari skor ke-i di variabel X
R(Yi) = Ranking dari skor ke-i di variabel Y
di = Selisih antara R(Xi) dengan R(Yi)
di2 = Kuadrat dari selisih antara R(Xi) dengan R(Yi)
Perangkingan dilakukan di masing-masing variabel, pembuatan ranking dapat dimulai dari
nilai terkecil atau nilai terbesar tergantung permasalahannya. Bila ada data yang nilainya
sama, maka pembuatan ranking didasarkan pada nilai rata-rata dari ranking-ranking data
yang seharusnya. Formula r s untuk korelasi Spearman adalah sebagai berikut:
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 18/25
Rumus diatas digunakan jika tidak ada data yang mempunyai ranking yang sama, jika
banyak data dengan ranking sama (memiliki skor yang sama) maka formula r s untuk korelasi
Spearman adalah sebagai berikut:
, dimana:
Setelah didapatkan koefisien korelasi spearman, maka langkah selanjutlah adalahmelakukan uji hipotesis apakah koefisien korelasi yang dihitung tadi itu signifikan dalam
menggambarkan hubungan antara X dan Y.
Prosedur Uji Korelasi Spearman:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:
#) Uji dua sisi :
o H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent (r s = 0))
o H1 : Ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y dependent (r s ≠ 0))
#) Uji satu sisi :
o
H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent (r s = 0))o H1 : Peningkatan nilai-nilai X diikuti dengan peningkatan nilai-nilai Y (X dan Y
berhubungan positif (r s > 0))
ATAU
o H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent (r s = 0))
o H1 : Peningkatan nilai-nilai X diikuti dengan penurunan nilai-nilai Y (X dan Y
berhubungan negatif(r s < 0))
Tentukan taraf signifikansi:
o Untuk uji satu sisi:
o Untuk uji dua sisi: /2
Hitung statistik uji:
Sampel Kecil (4 ≤ N ≤ 20):
Untuk sampel kecil ini statistik uji yang digunakan adalah r s dengan rumus ygtertera diatas.
Sampel Sedang (21 ≤ N ≤ 50):Untuk ukuran sampel sedang, digunakan statistik uji berikut:
Berdistribusi T dengan derajat bebas = N-2
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 19/25
Sampel Besar (N>50):Untuk ukuran sampel besar, digunakan statistik uji berikut:
Berdistribusi Normal Standar {N(0,1)}
Tentukan wilayah kritis
Sample Size Tolak H0 jika,
Kecil (4 ≤ N ≤ 20) r s(obs) ≥ r s tabel / p-value ≤ => Tabel P
Sedang (21 ≤ N ≤ 50) t(obs) ≤ -ttabel atau t(obs) ≥ ttabel => Tabel B
Besar (N >50) z(obs) ≤ -ztabel atau z(obs) ≥ ztabel => Tabel A
Contoh Soal Korelasi Spearman:
Sebagai bagian dari studi tentang akibat tekanan kelompok terhadap individu untuk
melakukan penyesuaian diri dalam situasi yang melibatkan risiko keuangan, peneliti
membuat suatu skala keotoriteran dan skala untuk mengukur perjuangan untuk status sosialterhadap 12 mahasiswa. Data sebagai berikut:
Ujilah dengan korelasi rank spearman apakah kedua variable tersebut berhubungan positif!
Jawab:
Hipotesis:
Ho : Tidak terdapat hubungan antara keotoriteran dan perjuangan status sosial dalam diri
mahasiswaH1 : Terdapat hubungan yang positif antara keotoriteran dengan perjuangan status sosial
dalam diri mahasiswa (UJI SATU SISI)
Taraf signifikansi: α = 0,01
Statistik uji: (sampel kecil)
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 20/25
Wilayah kritis: H0 ditolak jika r s(obs) ≥ r s table (= 0,712)
Keputusan: Tolak H0 karena r s(obs) (= 0,82) ≥ r s table (= 0,712)
Kesimpulan:
Dengan kepercayaan 99%, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan yang positif
antara keotoriteran dengan perjuangan status social dalam diri mahasiswa.
3.2. Koefisien Korelasi Rank Kendall
Kendall () adalah ukuran korelasi yang setara dengan Spearman. Koefisien korelasi kendall
() merupakan suatu nilai yang menunjukkan derajat asosiasi atau korelasi antara dua
himpunan variabel. Data sekurang-kurangnya diukur pada skala ordinal, sehingga data
X dan Y dapat disusun peringkat/rank-nya. Pemberian ranking variabel X dan Y dari 1
hingga N, bisa secara ascending atau descending . Bila ada data yang nilainya sama, maka
pembuatan ranking didasarkan pada nilai rata-rata dari ranking-ranking data yang seharusnya. Setelah data diubah dalam ranking kemudian urutkan data tersebut berdasarkan
ranking salah satu variabelnya (bisa X atau Y, tapi biasanya X). Kemudian susunlah data
yang sudah diurutkan tersebut (misal yang diurutkan adalah X) dalam tabel seperti berikut:
X Y Concordant Discordant
R(X1) R(Y1) C1 D1
R(X2) R(Y2) C2 D2
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 21/25
… … … …
R(Xi) R(Yi) Ci Di
… … … …
R(X N) R(Y N) C N D N
Jumlah Nc Nd
Ket:
N = Jumlah Sampel/Subjek
R(Xi) = Ranking ke-i di variabel X {R(X1) ≤ R(X2) ≤ … ≤ R(X N)}
R(Yi) = Ranking di variabel Y yang berpasangan dengan ranking ke-i di variabel X
Ci = banyaknya ranking dibawah R(Yi) yang melebihi ( > ) R(Yi)
Di = banyaknya ranking dibawah R(Yi) yang kurang ( < ) R(Yi)
Nc = Jumlah dari Ci
Nd = Jumlah dari Di
Contoh: data (x,y): (20,60) ; (16,41) ; (14,45) ; (21,41) ; (23,56)
Subjek R(Xi) R(Yi)
Diurutkan
R(Xi)-nya
Subjek R(Xi) R(Yi) Concordant Discordant
1 3 5 3 1 3 2 2
2 2 1,5 2 2 1.5 2 0
3 1 3 1 3 5 0 2
4 4 1,5 4 4 1.5 1 0
5 5 4 5 5 4 0 0
Jumlah Nc = 5 Nd = 4
Dapat dilihat bahwa C1 diatas adalah 2, artinya ada 2 rangking dibawah R(Y1) yang lebih
dari R(Y1) { 5 dan 4 melebihi R(Y1) = 3 }. D1 = 2, artinya ada 2 rangking dibawah R(Y1)
yang kurang R(Y1) { 1,5 dan 1,5 kurang dari R(Y1) = 3 }.Setelah dibentuk tabel seperti diatas kemudian dapat dihitung koefisien korelasi kendall
seperti berikut:
Jika tidak ada ranking yang sama:
Jika ada ranking yang sama:
Dimana t adalah banyak Dimana t adalah banyak
observasi yg bernilai observasi yg bernilai
sama di setiap skor di X sama di setiap skor di Y
Keterangan:
S = Nc - Nd
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 22/25
Setelah didapatkan koefisien korelasi kendall, maka langkah selanjutlah adalah melakukan
uji hipotesis apakah koefisien korelasi yang dihitung tadi itu signifikan dalam
menggambarkan hubungan antara X dan Y.
Prosedur Uji Korelasi Kendall:
Tentukan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif:#) Uji dua sisi :
o H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent ( = 0))
o H1 : Ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y dependent ( ≠ 0))
#) Uji satu sisi :
o H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent ( = 0))
o H1 : Peningkatan nilai-nilai X diikuti dengan peningkatan nilai-nilai Y (X dan Y
berhubungan positif ( > 0))
ATAU
o H0 : Tidak ada hubungan antara X dan Y ( X dan Y independent (
= 0))
o
H1 : Peningkatan nilai-nilai X diikuti dengan penurunan nilai-nilai Y (X dan Y berhubungan negatif ( < 0))
Tentukan taraf signifikansi (α)
Hitung statistik uji:
Sampel Kecil (N ≤ 10):Untuk sampel kecil ini statistik uji yang digunakan:
S = Nc - Nd
Lalu lihat tabel Q dan cari p-value berdasarkan N dan S.
Sampel Besar (N > 10)Untuk ukuran sampel besar, digunakan statistik uji berikut:
−
Dengan 0 dan +− Sehingga
22591
Tentukan wilayah kritis:
Sampel kecil:
Tolak H0 jika p-value ≤ α
Sampel besar:Tolak H0 jika Z ob ≤ - Z tabel atau Z ob ≥ Z tabel
Contoh Soal Korelasi Kendall:
Misalkan kita minta juri X dan Y untuk memberi penilaian kepada 12 karya tulis menurut
kualitas gaya pemaparan. Berikut data penilaiannya:
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 23/25
Peserta A B C D E F G H I J K L
Penilaian JuriX 89 87 94 96 75 64 68 80 79 61 83 74
Y 95 95 90 90 86 84 81 78 73 69 69 60
Dengan menggunakan koefisien korelasi kendall apakah dapat disimpulkan bahwa
terdapat hubungan yang berbanding lurus antara penilaian juri X dan juri Y?
Jawab:
Hipotesis:
H0 : Tidak terdapat hubungan antara penilaian juri X dan juri Y(=0)
H1 : Terdapat hubungan yang berbanding lurus antara penilaian juri X dan juri Y( > 0)
(UJI SATU SISI)
Taraf signifikansi: α = 0,05
Statistik uji: (sampel besar)
Peserta A B C D E F G H I J K L
Ranking X 3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9Y 1.5 1.5 3.5 3.5 5 6 7 8 9 10.5 10.5 12
Diurutkan R(Xi)-nya menjadi :
Peserta D C A B K H I E L G F J
JumlahRanking
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Y 3.5 3.5 1.5 1.5 10.5 8 9 5 12 7 6 10.5
Concordant 8 8 8 8 1 3 2 4 0 1 1 0 44
Discordant 2 2 0 0 5 3 3 0 3 1 0 0 19
44 19 25
Karena ada data yang berangka sama di Y maka digunakan faktor koreksi:
Data 95 90 69
ty 2 2 2
ty(ty-1) 2 2 2
= 0,5{2+2+2) = 3
25 12 121 2 1 0 12 121 2 1 3
0,39
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 24/25
76.1
112129
51222
39.0
19
522
N N
N Z
ob
Wilayah kritis: Tolak H0 jika Zob ≥ Z0,05 (=1,645)
Keputusan: Tolak H0 karena Zob (1,76) > Z0,05 (=1,645)
Kesimpulan:
Dengan tingkat keyakinan 95% dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan yang
berbanding lurus antara penilaian juri X dan juri Y dengan = 0.39
7/24/2019 Kumpulan Soal Statistika Non Parametrik (nonpar)
http://slidepdf.com/reader/full/kumpulan-soal-statistika-non-parametrik-nonpar 25/25
Untuk memudahkan dalam menentukan statistik uji, berikut tabel ajaib yang dapat membantu:
Data/Sifat Dependen Independen Koefisien Korelasi
Nominal Tes Cochran Uji Chi Square k-Independent Kontingency-C
Ordinal Uji Friedman Perluasan MedianKruskall-Wallis
Jonckheree
Rank SpearmanKendall