Cara Cepat Menghitung Luas Permukaan Prisma Segi Enam

Perhatikan gambar prisma segi enam beraturan di bawah. 

Jika IJ = r dan DJ = t, maka tentukan luas permukaan prisma segi enam beraturan di atas!

Penyelesaian:

Jika menggunakan cara cepat maka luas segitiga sama sisi adalah:L = ¼r2√3

Luas alas prisma adalah:L = 6 x L∆L = 6 x ¼r2√3L = (3/2) r2√3

Luas sisi tegak adalah keliling alas kali tinggi prisma:L = 6r x t

Luas permukaan prisma segi enam beraturan adalah:L = 2 x luas alas + luas sisi tegakL = 2 x (3/2) r2√3 + 6r x tL = 3r2√3 + 6rtL = 3r(r√3+2t)

Jadi luas luas permukaan prisma segi enam beraturan dapat dirumuskan sebagai berikut:L = 3r(r√3+2t)

Di mana:r = panjang rusuk alas prisma segi enam beraturan

t = tinggi prisma segi enam beraturan

Contoh SoalJika panjang rusuk prisma segi enam beraturan 6 cm dan tingginya 10√3 cm, maka tentukan luas permukaan prisma segi enam beraturan tersebut.

Penyelesaian:L = 3r(r√3+2t)L = 3 . (6 cm)(( 6 cm)√3+2 . 10√3)L = (18 cm)(6√3 cm + 20√3 cm)L = (18 cm)(26√3 cm)L = 468√3 cm2

Contoh Soal dan Pembahasan Volume Prisma

Contoh Soal 1Perhatikan gambar prisma segi enam beraturan di bawah.

Jika rusuk 8 cm dan tinggi 12 cm, maka hitung volume prisma segi enam beraturan tersebut!

Penyelesaian:Jika menggunakan cara cepat maka luas segitiga sama sisi adalah:

L. ∆ = ¼r2√3L. ∆ = ¼ (8 cm)2√3L∆ = 16√3 cm2

Luas alas prisma adalah:L. alas = 6 x L∆L. alas = 6 x 16√3 cm2

L. alas = 96√3 cm2

Volume prisma segi enam beraturan adalah:V = L. alsa x tinggiV = 96√3 cm2 x 12 cmV = 1152√3 cm3

Contoh Soal 2Sebuah prisma tegak memiliki volume 432 cm3. Alas prisma tersebut berbentuk  segitiga siku-siku yang panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm. Hitung tinggi prisma tersebut.

Penyelesaian:Hitung luas segitiga terlebih dahulu, yakni:L∆ = ½ x 6 cm x 8 cmL∆ = 24 cm2

Hitung volume prisma dengan rumus, yakni:V = L∆ x t432 cm3 = 24 cm2 x tt = 432 cm3/24 cm2

t = 18 cm

Contoh Soal 3Sebuah lapangan berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 70 m dan lebar 65 m. Lapangan tersebut digenangi air

setinggi 30 cm. Berapa liter air yang menggenangi lapangan itu? (1 liter = 1 dm3).

Penyelesaian:Pertama konversi satuannya terlebih dahulu, yakni:p = 70 m = 700 dml = 65 m = 650 dmt = 30 cm = 3 dm

Luas alas persegi panjang yakni:L. alas = p x lL. alas = 700 dm x 650 dmL. alas = 4,55 x 105 dm2

Volume = L. alas x tVolume = 4,55 x 105 dm2 x 3 dmVolume = 1,365 x 106 dm3

Volume = 1,365 x 106 literJadi volume air tersebut adalah 1,365 x 106 liter atau 1.365.000 liter.

Contoh Soal 4Perhatikan gambar prisma di bawah berikut.

Dari gambar prisma segiempat tersebut, tentukan luas alas prisma (luas ABCD) dan volume prisma ABCD.EFGH.

Penyelesaian:Luas alas prisma (luas ABCD) merupakan luas trapesium maka:

L. ABCD = ½ (CD + AB) x ADL. ABCD = ½ (7 cm + 12 cm) x 6 cmL. ABCD = 57 cm2

Volume prisma ABCD.EFGH maka:V = L. ABCD x AEV = 57 cm2 x 14 cmV = 798 cm3

Contoh Soal 5Perhatikan gambar tenda di bawah berikut.

Sebuah tenda memiliki ukuran seperti pada gambar di atas, tentukan volume tenda tersebut.

Penyelesaian:Luas alas tenda merupakan luas segitiga maka:L. alas = ½ x 2 m x 2,5 mL. alas = 2,5 m2

Volume tenda yaitu:V = L. alas x tinggiV = 2,5 m2 x 3 mV = 7,5 m2

Contoh Soal Prisma Trapesium dan Penyelesaiannya

Contoh SoalPerhatikan gambar di bawah ini.

Hitunglah volume dan luas permukaan prisma pada gambar di atas.

Penyelesaian:Pada gambar di atas merupakan bentuk bangun ruang prisma ABCD.EFGH dengan alasnya berbentuk trapesium ABCD. Untuk mencari volume (V) dari prisma di atas dapat kita gunakan rumus:V = luas alas x tinggiLuas alas (La) sama dengan luas trapesium maka:La = ½ (AB + CD) x AD => (ingat** CD = GH)La = ½ (5 cm + 2 cm) x 4 cm  La = 14 cm2

V = La x BFV = 14 cm2 x 10 cmV = 140 cm3

Sedangkan untuk mencari luas permukaan prisma trapesium di atas Anda harus mencari keliling (K) trapesium ABCD. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Agar diperoleh keliling trapesium tersebut Anda harus mencari panjang BC dengan menggunakan teorema Phytagoras, maka:BC2 = BX2 + CX2

BC2 = 32 + 42

BC2 = 9 + 16BC2 = 25BC = √25BC = 5 cm

K = AB + BC + CD + ADK = 7 cm + 5 cm + 2 cm + 4 cmK = 18 cm

Untuk mencari luas permukaan (L) prisma trapesium dapat menggunakan rumus:L = 2 x luas alas + keliling x tinggiL = (2 x La) + (K x BF)L = (2 x 14 cm2) + (18 cm x 10 cm)L = 28 cm2 + 180 cm2

L = 208 cm2

Jadi, volume dan luas permukaan prisma pada gambar di atas adalah 140 cm3 dan 208 cm2

Cara Menghitung / Mencari Tinggi Limas

Sisi Alas dan Sisi Miring DiketahuiJika sisi alas dan sisi miring limas diketahui maka dapat menggunakan teorema phytagoras untuk mencari tinggi limas tersebut. Untuk contoh soalnya perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1Diketahui limas T.ABCD mempunyai alas persegi dengam ukuran AB = BC = 10 cm dan rusuk-rusuk TA=TB=TC=TD= 25 cm. Tentukan tinggi limas tersebut.

Penyelesaian:Untuk menjawab soal ini harus digambar terlebih dahulu agar mudah memahami soalnya, jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Untuk mencari tinggi limas (TO) dapat menggunakanteorema phyagoras, maka:AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 102 + 102

AC2 = 200AC = 10√2 cm

AO = ½ AC = 5√2 cm

TO2 = TA2 – AO2

TO2 = 252 – (5√2)2

TO2 = 625 – 50TO2 = 575TO = 5√23 cm ≈ 23,98 cmJadi tinggi limas tersebut adalah 5√23 cm atau 23,98 cm

Volume dan Luas Alas DiketahuiJika volume dan luas alas limas diketahui maka tingginya dapat dicari dengan menggunakan rumus:V = 1/3 Luas alas × tinggiTinggi = 3×volume/luas alas

Contoh Soal 2Sebuah limas diketahui volumenya 300 cm3 dan luas alasnya 100 cm2. Hitunglah tinggi limas tersebut.

Penyelesaian:Tinggi = 3 × volume/alasTinggi = 3 × 300 cm3/100 cm2

Tinggi = 9 cmJadi, tinggi limas tersebut adalah 9 cm

Contoh Soal 3Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi yang sisinya 25 cm dan volumenya 6250 cm2. Tentukan tinggi limas tersebut.

Penyelesaian:

Dalam hal ini luas alas tidak diketahui tetapi kita dapat mencarinya dengan menggunakan rumus luas persegiyakni:La = sisi × sisiLa = 25 cm × 25 cmLa = 625 cm2

t = 3×V/La

t = 3×6250 cm3/625 cm2

t = 30 cmJadi tinggi limas dengan alas berbentuk persegi tersebut adalah 30 cm.

Contoh Soal Model Kerangka Balok

Contoh Soal 1Made akan membuat 15 buah kerangka balok yang masing-masing berukuran 30 cm x 20 cm x 15 cm. Bahan yang akan digunakan terbuat dari kawat yang harganya Rp 1.500/m. Hitunglah jumlah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat balok tersebut dan Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli bahan/kawat.

Penyelesaian:Dari soal itu diketahui panjang = 30 cm, lebar 20 cm dan tinggi = 15 cm. Terlebih dahulu hitung berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat satu buah kerangka balok, yaitu:r = 4(p + l + t)r = 4(30 cm + 20 cm + 15 cm)r = 4(65 cm)

r = 260 cm

Kita ketahui bahwa jumlah balok yang akan dibuat sebanyak 15 buah, maka panjang kawat yang diperlukan adalah:r = 15. 260 cmr = 3900 cmr = 39 m

Sekarang kita akan mencari berapa harga yang dibutuhkan untuk membuat kerangka balok kawat tersebut jika harga kawat = Rp 1.500/m, makaHarga = harga kawat x panjang kawatHarga = Rp 1.500/m x 39 mHarga = Rp 58.500,00

Jadi panjang kawat yang diperlukan untuk membuat 15 buah model kerangka balok dengan ukuran (30 cm x 20 cm x 15 cm) adalah 39 m dan biaya yang diperlukan adalah Rp 58.500,00

Contoh Soal 2Hitunglah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kotak kapur tulis berukuran (6 x 4 x 5) cm.

PenyelesaianUntuk membuat model kerangka balok dengan ukuran (6 x 4 x 5) cm dapat digunakan rumus: r = 4(p + l + t)r = 4(6 cm + 4 cm + 5 cm)r = 4(15 cm)r = 60 cm

Contoh Soal 3Diketahui sebatang kawat mempunyai panjang 236 cm. Kawat itu akan dibuat dua model kerangka yaitu berbentuk kubus

dan balok. Jika ukuran balok tersebut (12 x 8 x 5) cm, tentukan panjang rusuk kubus.

PenyelesaianPertama kita mencari berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka balok dengan ukuran (12 x 8 x 5) cm, yaitu:r = 4(p + l + t)r = 4(12 cm + 8 cm + 5 cm)r = 4(25 cm)r = 100 cm

Sisa kawat yang bisa digunakan sebagai kubus adalah:Panjang kubus = panjang kawat - panjang balokPanjang kubus = 236 cm – 100 cmPanjang kubus = 136 cm

Kita ketahui untuk mencari panjang kawat pada model kerangka kubus dapat dicari dengan rumus:r = 12ss = (r/12)s = (136/12)s = 11,3 cm

Contoh Soal 4

Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka seperti gambar di atas?

Penyelesaian:

Untuk menyelesaian soal diatas kita bagi model kerangka tersebut menjadi dua yaitu kubus bagian bawah dan kubus bagian atas. Kita sekarang akan mencari panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka balok bagian bawah dengan ukuran (18 x 5 x 6) cm yaitu:r = 4(p + l + t)r = 4 (18 + 5 + 6) cmr = 4 (29) cmr = 116 cm

Kemudian kita cari panjang model kerangka balok bagian atas dengan ukuran (12 x 5 x 5) cm, karena pada 2 panjang balok bagian atas menggunakan panjang balok bagian bawah maka rumusnya menjadi:r = 2p + 4l + 4tr = (2.12 + 4.5 + 4.5) cmr = (24 + 20 + 20) cmr = 64 cm

Jadi total panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka tersebut adalah 116 cm + 64 cm = 180 cm.

Contoh Soal dan Pembahasan Luas Permukaan Kubus

Contoh Soal 1Hitunglah luas permukaan kubus dengan panjang setiap rusuknya sebagai berikut.

a. 4 cmb. 7 cmc. 10 cmd. 12 cm

Penyelesaian:a. L = 6s2 = 6.(4 cm)2 = 96 cm2

b. L = 6s2 = 6.(7 cm)2 = 294 cm2

c. L = 6s2 = 6.(10 cm)2 = 600 cm2

a. L = 6s2 = 6.(12 cm)2 = 864 cm2

Contoh Soal 2Sebuah benda berbentuk kubus luas permukaannya 1.176 cm2. Berapa panjang rusuk kubus itu?

Penyelesaian:L = 6s2

s = √(L/6)s = √(1.176/6)s = √196s = 14 cmJadi, panjang rusuk kubus tersebut adalah 14 cm.

Contoh Soal 3Dua buah kubus masing-masing panjang rusuknya 6 cm dan 10 cm. Hitunglah perbandingan luas permukaan dua kubus tersebut.Penyelesian:L1 = 6s2 = 6(6 cm)2 = 216 cm2

L2 = 6s2 = 6(10 cm)2 = 600 cm2

L1 : L2 = 216 : 600 = 9 : 25

Jadi perbandingan luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 6 cm dan 10 cm adalah 9 : 25.

Contoh Soal 4                              Volume sebuah kubus sama dengan volume balok yaitu 1.000 cm3. Diketahui panjang balok dua kali panjang kubus dan tinggi balok setengah kali lebar balok. Tentukan luas seluruh permukaan balok.

Penyelesaian:Untuk menjawab soal ini anda harus paham terlebih dahulu konsep volume kubus dan  volume balok. Karena volume balok sama dengan volume kubus maka Anda harus mencari panjang rusuk dari kubus dengan menggunakan volume balok tetapi mengguanakn rumus volume kubus yaituV = s3

1000 cm3 = s3

(10 cm)3 = s3

s = 10 cm

Diketahui bahwa panjang balok sama dengan 2 kali panjang kubus, yaitup = 2sp = 2.10 cmp = 20 cmDan juga diketahui bahwa tinggi balok sama dengan setengah kali dari lebar balok tersebut, makat = ½ lKita sekarang akan mencari lebar (l) pada balok dengan menggunakan konsep volume balok, yaituV = p.l.t1000 cm3 = 20 cm. ½ l.l1000 cm3 = 10 cm.l2

l = √(1000 cm3/10 cm)l = √100 cm2

l = 10 cmmaka tinggi balok yakni

t = ½ lt = ½ .10 cmt = 5 cmSekarang kita akan mencari luas permukaan balok dengan menggunakan rumus:L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(20 cm.10 cm + 20 cm.5 cm + 10 cm.5 cm)L = 2 (200 cm2 +100 cm2 +50 cm2)L = 2(350 cm2)L = 700 cm2

Jadi, luas permukaan balok tersebut adalah 700 cm2

Contoh Soal dan pembahasan Luas Permukaan Balok

Contoh Soal 1Sebuah balok mempunyai luas permukaan 376 cm2. Jika panjang balok 10 cm dan lebar balok 6 cm. Tentukan tinggi balok tersebut?

Penyelesaian:Untuk mencari tinggi balok tersebut gunakan rumus luas permukaan balok yaitu:L  = 2(p.l + p.t + l.t)376 cm2 = 2(10 cm.6 cm + 10 cm.t + 6 cm.t)376 cm2 = 2 (60 cm2 +10 cm.t +6 cm.t)376 cm2 = 2(60 cm2 + 16 cm.t)376 cm2 = 120 cm2 + 32 cm.t376 cm2 – 120 cm2 = 32 cm.t256 cm2 = 32 cm.tt = 256 cm2/32 cm

t = 8 cm

Jadi tinggi balok tersebut adalah 8 cm.

Contoh Soal 2Volume sebuah kubus sama dengan volume balok yaitu 1.000 cm3. Diketahui panjang balok dua kali panjang kubus dan tinggi balok setengah kali lebar balok. Tentukan luas seluruh permukaan balok.

Penyelesaian:Untuk menjawab soal ini anda harus paham terlebih dahulu konsep volume kubus dan  volume balok. Karena volume balok sama dengan volume kubus maka Anda harus mencari panjang rusuk dari kubus tersebut yaituV = s3

1000 cm3 = s3

(10 cm)3 = s3

s = 10 cm

Diketahui bahwa panjang balok sama dengan 2 kali panjang kubus, yaitup = 2sp = 2.10 cmp = 20 cmDan juga diketahui bahwa panjang balok sama dengan setengah tinggi dari balok tersebut, makat = ½ l atau l = 2.tKita sekarang akan mencari tinggi (t) pada balok dengan menggunakan konsep volume balok, yaituV = p.l.t1000 cm3 = 20 cm.2t.t1000 cm3 = 40 cm.t2

t = √(1000 cm3/40 cm)t = √25 cm2

t = 5 cmmaka lebar balok yaknil = 2tl = 2.5 cml = 10 cmSekarang kita akan mencari luas permukaan balok dengan menggunakan rumus:L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(20 cm.10 cm + 20 cm.5 cm + 10 cm.5 cm)L = 2 (200 cm2 +100 cm2 +50 cm2)L = 2(350 cm2)L = 700 cm2

Jadi luas permukaan balok tersebut adalah 700 cm2

Contoh Soal 3Hitunglah luas permukaan balok dengan ukuran sebagai berikut.a. 8 cm x 4 cm x 2 cmb. 8 cm x 3 cm x 4 cmc. 9 cm x 9 cm x 6 cmd. 9 cm x 8 cm x 4 cm

Penyelesaian:a. L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(8 cm.4 cm + 8 cm.2 cm + 4 cm.2 cm)L = 2(32 cm2 + 16 cm2 +  8 cm2)L = 2(58 cm2)L  = 116 cm2

b. L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(8 cm.3 cm + 8 cm.4 cm + 3 cm.4 cm)L = 2(24 cm2 + 32 cm2 + 12 cm2)L = 2(66 cm2)L = 132 cm2

c. L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(9 cm.9 cm + 9 cm.6 cm + 9 cm.6 cm)L = 2(81 cm2 + 54 cm2 + 54 cm2)L = 2(189 cm2)L = 378 cm2

d. L = 2(p.l + p.t + l.t)L = 2(9 cm.8 cm + 9 cm.4 cm + 8 cm.4 cm)L = 2(72 cm2 + 36 cm2 + 32 cm2)L = 2(140 cm2)L = 280 cm2

Contoh Soal 4Suatu balok memiliki luas permukaan 198 cm2. Jika lebar dan tinggi balok masing-masing 6 cm dan 3 cm, tentukan panjang balok tersebut.

Penyelesaian:Untuk mencari panjang balok tersebut gunakan rumus luas permukaan balok yaitu:L = 2(p.l + p.t + l.t)198 cm2 = 2(p.6 cm + p.3 cm + 6 cm.3 cm)198 cm2 = 2(6p cm + 3p cm + 18 cm2)198 cm2 = 2(9p cm + 18 cm2)198 cm2 = 18p cm + 36 cm2

198 cm2 - 36 cm2 = 18p cm162 cm2 = 18p cmp = 162 cm2/18 cmp = 9 cm

Jadi, panjang balok tersebut adalah 9 cm

Contoh Soal 5

Hitunglah perbandingan luas permukaan dua buah balok yang berukuran (6 x 5 x 4) cm dan (8 x 7 x 4) cm.

Penyelesaian:Untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari luas permukaan balok pertama dan balok kedua. Kita akan cari luas permukaan balok yang pertama (L1) atau dengan ukuran (6 x 5 x 4) cmL1 = 2(p.l + p.t + l.t)L1 = 2(6.5 + 6.4 + 5.4)L1 = 2(30 + 24 + 20)L1 = 2(74)L1 = 148 cm2

Sekarang kita akan mencari luas permukaan balok yang kedua (L2) atau dengan ukuran (8 x 7 x 4) cm.L2 = 2(p.l + p.t + l.t)L2 = 2(8.7 + 8.4 + 7.4)L2 = 2(56 + 32 + 28)L2 = 2(116)L2 = 232 cm2

Sekarang kita akan bandingkan luas permukaan balok yang pertama dengan balok yang kedua.L2 : L2 = 148 cm2 : 232 cm2 = 37 : 58

Contoh Soal dan Pembahasan Volume Kubus

Contoh soal 1Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan volume kubus itu!

Penyelesaian:V = s3

V = (5 cm)3

V = 125 cm3

Jadi, volume kubus tersebut adalah  125 cm3

Contoh Soal 2Panjang semua rusuk kubus 240 dm. Hitunglah volume kubus tersebut (dalam cm).

Penyelesaian:Untuk menjawab soal ini anda harus mengkonversi satuan panjang dm menjadi cm. Jika anda bingung silahkan anda lihat postingan cara mengkonversi satuan panjang dan cara mengkonversi dengan menggunakan jembatan keledai. Dari soal diketahui:s = 240 dm = 2.400 cmmaka volumenya:V = s3

V = (2.400 cm)3

V = 13.824.000.000 cm3

V = 1,3824 x 1010 cm3

Jadi volume kubus tersebut adalah 1,3824 x 1010 cm3

Contoh Soal 3Diketahui luas permukaan sebuah kotak berbentuk kubus 96 cm2. Hitunglah volume kotak tersebut.

Penyelesaian:Untuk menjawab soal ini anda harus menguasai konsep luas permukaan kubus. Kita harus mencari panjang rusuk kubus dengan menggunakan luas permukaan kubus yaituL = 6s2

s = √(L/6)

 s = √(96 cm2/6)s = √(16 cm2)s = 4 cmSekarang kita cari volume kubus yaituV = s3

V = (4 cm)3

V = 64 cm3

Jadi, volume kubus tersebut adalah 64 cm3

Contoh Soal 4Sebuah kubus memiliki volume 343 cm3. Jika panjang rusuk kubus tersebut diperbesar menjadi 4 kali panjang rusuk semula, tentukan volume kubus yang baru.

Penyelesaian:Kita harus mencari panjang rusuk awal (s0), yakni:V0 = s3

343 cm3 = s3

(7 cm)3 = s3

s0  = 7 cmSekarang kita hitung panjang jika rusuk tersebut diperbesar 4 kali dari panjang semula, makas1 = 4s0

s1 = 4.7 cms1 = 28 cmSekarang kita hitung volume kubus setelah rusuknya diperbesar 4 kali yakni:V1 = s3

V1 = (28 cm)3

V1 = 21.952 cm3.Jadi volume kubus setelah diperbesar 4 kali adalah 21.952 cm3

Contoh Soal 4

Sebuah kubus panjang rusuknya 8 cm, kemudian rusuk tersebut diperkecil sebesar ¾ kali panjang rusuk semula. Berapa volume kubus sebelum dan setelah diperkecil?

Penyelesaian:Misalkan rusuk sebelum diperkecil s1 dan setelah diperkecil s2, makaV1 = s1

3

V1 = (8 cm)3

V1 = 512 cm3

Sekarang hitung rusuk jika diperkcil ¾ kali semula makas2 = ¾ s1

s2 = ¾ (8 cm)s2 = 6 cmmakaV2 = s1

3

V2 = (6 cm)3

V2 = 216 cm3

Jadi, volume kubus setelah diperkecil adalah 216 cm3

Contoh Soal dan Pembahasan Volume Balok

Contoh Soal 1Sebuah mainan berbentuk balok volumenya 140 cm3. Jika panjang mainan 7 cm dan tinggi mainan 5 cm, tentukan lebar mainan tersebut.

Penyelesaian:V = p.l.t140 cm3 = 7 cm.l. 5 cml =  140 cm3/35 cml = 4 cm

Jadi lebar mainan tersebut adalah 4 cm.

Contoh Soal 2Perbandingan panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok adalah 5 : 4 : 3. Jika volume balok 1.620 cm3, tentukan ukuran balok tersebut.

Penyelesaian:Diketahui:V = 1.620 cm3

p : l : t = 5 : 4 : 3

Ditanyakan: ukuran balok=?

Jawab:p : l = 5 : 4 => p = (5/4)ll : t = 4 : 3 => t = ¾ l

V = p.l.t1.620 cm3 = (5/4)l.l.¾ l1.620 cm3 = (15/16)l3

l3 = 1.620 cm3.(16/15)l3 = 1728 cm3

l = 12 cmkita ketahui bahwa p = (5/4)l dan t = ¾ l makap = (5/4)l = (5/4)12 cm = 15 cmt = (¾) 12 cm = 9 cmJadi ukuran dari balok tersebut adalah (15 x 12 x 9) cm.

Contoh Soal 3Sebuah kubus panjang rusuknya 5 cm, sedangkan sebuah balok berukuran (7 x 5 x 4) cm.a. Tentukan volume kubus dan balok tersebut.b Tentukan perbandingan volume keduanya.

Penyelesaian:a. Untuk mencari volume kubus dan balok gunakan rumus volume kubus dan balok, makaVkubus = s3

Vkubus = (5 cm)3

Vkubus = 125 cm3

Vbalok = p.l.tVbalok = 7 cm x 5 cm x 4 cmVbalok = 140 cm3

b. Dengan mengatahui volume kubus dan balok maka perbandingan volume keduanyaVkubus : Vbalok = 125 cm3 : 140 cm3 = 25 : 28

Contoh Soal 4Volume sebuah balok 120 cm3. Jika panjang balok 6 cm dan lebar balok 5 cm, tentukan tinggi balok tersebut.

Penyelesaian:Vbalok = p.l.t120 cm3 = 6 cm x 5 cm x t120 cm3 = 30 cm2 x tt = 120 cm3/30 cm2

t = 4 cmJadi tinggi balok tersebut adalah 4 cm.

Contoh Soal Model Kerangka Kubus

Contoh Soal 1

Sukma memiliki kawat sepanjang 156 cm. Ia ingin menggunakan kawat tersebut untuk membuat kerangka kubus. Berapa panjang rusuk kubus agar kawat tidak bersisa?

Penyelesaian:Diketahui:r = 156 cm

Ditanyakan:s = ?

Jawab:r = 12ss = r/12s = 156 cm/12s = 13 cm

Contoh soal 2Kawat dengan panjang 9 m akan dibuat 5 buah model kerangka kubus. Berapa panjang maksimal rusuk yang harus dibuat agar menghasilkan 5 buah model kerangka kubus?

Penyelesaian:Kita ketahui bahwa panjang kawat adalah 9 m = 900 cm. Untuk menjawab soal ini kita harus mencari berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat sebuah model kerangka kubus, yaitur = 900 cm/5r = 180 cm

sekarang kita akan mencari panjang rusuk yang bias dibuat, yaitu:r = 12ss = r/12s = 180 cm/12

s = 15 cm

Jadi rusuk yang harus dibuat agar menghasilkan 5 buah kubus dengan panjang kawat 9 m adalah 15 cm.

Pembahasan Soal Latihan Tentang Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran atau Lebih

Contoh Soal 1Gambar di bawah adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut?

Penyelesaian: 

 Diketahui bahwa diameter lingkaran adalah 14 cm, maka jari-jarinya adalah 7 cm. Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:panjang AB = EF = DC = 4 x jari-jari = 28 cm. 

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ½ lingkaran. Maka:panjang busur AD = busur BC = ½ keliling lingkaran =πr = 22 cm

Panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut adalah:panjang tali  = 2 x panjang AB + 2 x panjang busur ADpanjang tali  = 2 x 28 cm + 2 x 22 cmpanjang tali  = 100 cm

Jadi panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut 100 cm

Contoh Soal 2

Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali

yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka

tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

Penyelesaian: 

 Misalkan jari-jari lingkaran kayu tersebut adalah r. Hubungkan titik pusat kedua lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkari kayu, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:panjang AB = EF = DC = 2 x jari-jari = 2r

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ½ lingkaran. Maka:panjang busur AD = busur BC = ½ keliling lingkaran =πr

Panjang tali minimal untuk mengikat dua buah kayu dengan susunan tersebut adalah:

panjang tali = 2 x panjang AB + 2 x panjang busur AD panjang tali = 2 (panjang AB + panjang busur AD)144 cm = 2 (2r + πr) <= sama-sama dibagi 2, maka72 cm = 2r + πr72 cm = 2r + (22/7)r72 cm = (14/7)r + (22/7)r72 cm = (36/7)rr = 72 cm x 7/36r = 14 cmJadi, panjang jari-jari kedua kayu adalah 14 cm

Contoh Soal 3

Gambar di bawah adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 28 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

Penyelesaian: 

 

Diketahui bahwa jari-jari drum adalah 28 cm. Hubungkan titik pusat enam lingkaran drum dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:panjang IH = DE = FG = 4 x jari-jari = 112 cm.Segitiga ABC sama sisi, sehingga∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°;∠IAC = ∠DAB = 90° (siku-siku);∠DAI = ∠HCG = ∠EBF = 360° – (60° + 90° + 90°) =120° 

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenaihubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran, maka:panjang busur ID/ keliling lingkaran = (∠DAI/360°)panjang busur ID/ 2πr = (∠DAI/360°)panjang busur ID = (120°/360°) x 2πrpanjang busur ID = (1/3) x 2πrpanjang busur ID = (1/3) x 2 x (22/7) x 28 cm

panjang busur ID = (176/3) cm 

Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:panjang tali  = 3 x panjang IH + 3 x panjang busur IDpanjang tali  = 3 x 112 cm + 3 x (176/3) cm

panjang tali  = 336 cm + 176 cmpanjang tali  = 512 cm

Jadi, panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut adalah 512 cm

Pembahasan Soal 4Gambar di bawah adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut.

Penyelesaian: 

 Diketahui bahwa jari-jari kaleng adalah 10 cm. Hubungkan titik pusat enam lingkaran kaleng dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:panjang EF = IJ = 4 x jari-jari = 40 cm, danpanjang KL = GH = 2 x jari-jari = 20 cm

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ¼ lingkaran. Maka:panjang LE = FG = HI = JKpanjang LE = ¼ keliling lingkaranpanjang LE = ½πr

Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:panjang tali  = 2 x EF + 2 x KL + 4 x panjang busur LEpanjang tali  = 2 x EF + 2 x KL + 4 x ½πrpanjang tali  = 2 x 40 cm + 2 x 20 cm + 2 x 3,14 x 10 cmpanjang tali  = 80 cm + 40 cm + 62,8 cmpanjang tali  = 182,8 cm

Jadi, panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut adalah 182,8 cm

Pembahasan Soal 4

Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di bawah. Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.

Penyelesaian: 

 Diketahui bahwa jari-jari pipa adalah 3 cm. Hubungkan titik pusat lima lingkaran pipa dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:

panjang FG = HI = JK = LM = NP = 2 x jari-jari = 6 cm.

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ¼ lingkaran. Maka:panjang GH = FPpanjang GH = ¼ keliling lingkaranpanjang GH = ½πrpanjang GH = ½ x 3,14 x 3 cm

panjang GH = 4,71 cm

Segitiga CDE sama sisi, sehingga∠ CED = ∠ EDC = ∠ DCE = 60°;∠KDE = ∠LDC = 90° (siku-siku);∠KDL = 360° – (60° + 90° + 90°) =120°∠MCN = ∠IEJ = 360° – (60° + 90° + 90° + 90°) = 30°

Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai hubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran, maka:panjang busur KL/ keliling lingkaran = (∠KDL/360°)panjang busur KL / 2πr = (∠KDL/360°)panjang busur KL = (120°/360°) x 2πrpanjang busur KL = (1/3) x 2πrpanjang busur KL = (1/3) x 2 x 3,14 x 3 cm

panjang busur KL = 6,28 cm

sedangkan panjang busur IJ adalah:panjang busur IJ/ keliling lingkaran = (∠IEJ/360°)panjang busur IJ / 2πr = (∠IEJ /360°)panjang busur IJ = (30°/360°) x 2πrpanjang busur IJ = (1/12) x 2πrpanjang busur IJ = (1/12) x 2 x 3,14 x 3 cm

panjang busur IJ = 1,57 cm

Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:panjang tali  = 5 x FG + 2 x GH + KL + 2x IJpanjang tali  = 5 x 6 cm + 2 x 4,71 + 6,28 cm + 2 x 1,57cm

panjang tali  = 30 cm + 9,42 cm + 6,28 cm + 3,14 cm

panjang tali  = 48,84 cmJadi, panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut adalah 48,84 cm

Contoh Soal dan Pembahasan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Contoh Soal 1Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.

PenyelesaianDiketahui:d = 24 cmp = 26 cmR = 6 cm

Ditanyakan r = ?

Jawab :d = √(p2 – (R + r)2) ataud2 = p2 – (R + r)2

242 = 262 – (6+ r)2

576 = 676 – (6 + r)2

(6 + r)2 = 676 – 576

(6 + r)2 = 1006 + r = √1006 + r = 10r = 10 – 6r = 4Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm

Contoh Soal 2Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam.

Penyelesaian:Diketahui:p = 24 cmR = 12 cmr = 5 cm

Ditanyakan: d = ?Jawab:d = √(p2 – (R + r)2)d = √(242 – (12 + 5)2)d = √(242 –172)d = √(576 – 289)d = √287d = 16,94Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 16,94 cm

Contoh Soal 3Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.

PenyelesaianSoal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut

Diketahui:p = 30 cmR = 14 cmr = 4 cm

Ditanyakan: d = ?Jawab:d = √(p2 – (R + r)2)d = √(302 – (14 + 4)2)d = √(302 –182)d = √(900 – 324)d = √576d = 24Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm

Contoh Soal 4Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

PenyelesaianDiketahui:d = 15 cm

p = 17 cmR = 3 cm

Ditanyakan r = ?

Jawab :d = √(p2 – (R + r)2) ataud2 = p2 – (R + r)2

152 = 172 – (3+ r)2

225 = 289 – (3 + r)2

(3 + r)2 = 289 – 225(3 + r)2 = 643 + r = 8r = 8 – 3r = 5Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm

Contoh Soal dan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Luar

Contoh Soal 1Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran

PenyelesaianDiketahui:d = 12 cmR = 11 cmr = 2 cmDitanyakan p = ?Jawab :

d = √(p2 – (R - r)2) ataud2 = p2 – (R - r)2

122 = p2 – (11 - 2)2

144 = p2 – 81p2 = 225p = √225   p = 15 cmJadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm

Contoh Soal 2Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:s = 2 cmR = 15 cmr = 8 cm

Ditanyakan: d = ?

Jawab:p = s + R + rp = 2 cm + 15 cm + 8 cmp = 25 cm

d = √(p2 – (R - r)2)

d = √(252 – (15 - 8)2)d = √(625 –49)d = √(576)d = 24 cmJadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm

Contoh Soal 3Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya!

PenyelesaianDiketahui:

d = 12 cmR = 8 cmp = 13 cm

Ditanyakan: r = ?

Jawab:d = √(p2 – (R - r)2) ataud2 = p2 – (R - r)2

122 = 132 – (8 - r)2

144 = 169 – (8 - r)2

(8 - r)2 = 169 –144(8 - r)2 = 25   (8 - r) = √25(8 - r) = 5r = 8 - 5r = 3 cmJadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm

Contoh Soal 4Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua  lingkarannya!

PenyelesaianDiketahui:d = 36 cmR = 29 cmr = 14 cm

Ditanyakan p = ?

Jawab :d = √(p2 – (R - r)2) ataud2 = p2 – (R + r)2

362 = p2 – (29 - 14)2

1296 = p2 – 225p2 = 1296 + 225p2 = 1521p = √1521p = 39 cmJadi, jarak pusat kedua  lingkarannya adalah 39 cm

Contoh Soal 5

Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ= 26

cm, panjang jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm.

Hitung panjang garis singgung persekutuan luar kedua

lingkaran!

Penyelesaian:

p = 26 cm

R = 12 cm

r = 2 cm

d = √(p2 – (R - r)2)

d = √(262 – (12 - 2)2)

d = √(676 –100)

d = √(576)

d = 24 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24

cm

Contoh Soal dan Pembahasan Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Soal 1Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut!

Penyelesaian:Misalkan a = 23, b = 27, dan c = 32s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (23 + 27 + 32)s = 41 cm

L Δ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

L Δ = √(41(41-23)(41-27)(41-32))L Δ = √(41(18)(14)(9))L Δ = √92988L Δ = 304,94 cm2

r = L Δ/sr = 304,94 cm2/41 cmr = 7,4 cm

Soal 2Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah:a. Jari-jari lingkaran dalam segitigab. Keliling lingkaran dalam segitigac. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:a. Untuk menjawab soal ini sama caranya seperti cara menjawab soal no 2 di atas.Misalkan a = 8, b = 12, dan c = 16s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (8 + 12 + 16)s = 18 cm

L Δ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))L Δ = √(18(18-8)(18-12)(18-16))L Δ = √(18(10)(6)(2))L Δ = √2160L Δ = 46,48 cm2

r = L Δ/sr = 46,48 cm2/18 cmr = 2,58 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:K = 2πrK = 2 x 3,14 x 2,58 cmK = 16,20 cm

c. untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:L = πr2

L = 3,14 x (2,58 cm)2

L = 20,9 cm2

Soal 3Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 9 cm, 11, dan 18 cm. Hitunglah:a. Jari-jari lingkaran dalam segitigab. Keliling lingkaran dalam segitigac. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:Soal ini sama seperti soal 3 hanya saja angkanya saja diganti.a. Untuk menjawab soal ini sama caranya seperti cara menjawab soal no 2 di atas.Misalkan a = 9, b = 11, dan c = 18s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (9 + 11 + 18)s = 19 cm

L Δ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))L Δ = √(19(19-9)(19-11)(19-18))L Δ = √(19(10)(8)(1))L Δ = √1520L Δ = 38,99 cm2

r = L Δ/sr = 38,99 cm2/19 cmr = 2,05 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:K = 2πrK = 2 x 3,14 x 2,05 cmK = 12,87 cm

c. untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:L = πr2

L = 3,14 x (2,05 cm)2

L = 13,20 cm2

Soal 5Pada gambar di bawah ini!

OD adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Jika AB = 13 cm, BC = 9 cm, dan AC = 6 cm, hitunglah:a. Luas segitiga ABCb. Panjang ODc. Luas lingkarand. Luas daerah yang diarsir

Penyelesaian:a. Untuk mencari luas sama seperti mencari luas pada soal no 4 di atas, misalkan:BC = a = 9AC = b = 6AB = c = 13

s = ½ keliling ΔABCs = ½ (a + b + c)s = ½ (9 + 6 + 13)s = 14 cm

Luas ΔABC = √(s(s-a)(s-b)(s-c))Luas ΔABC = √(14(14-9)(14-6)(14-13))Luas ΔABC = √(14(5)(8)(1))Luas ΔABC = √560Luas ΔABC = 23,66 cm2

Jadi Luas segitiga ABC adalah 23,66 cm2

b. panjang OD dapat di cari dengan menggunakan rumus mencari jari-jari

lingkaran dalam segitiga, yaitu:

r = Luas ΔABC/sOD = Luas ΔABC/sOD = 23,66 cm2/14 cmOD = 1,69 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran seperti biasa kita gunakan rumus luas lingkaran, yaitu:L = πr2

L = 3,14 x (1,69 cm)2

L = 8,97 cm2

d. Luas daerah yang diarsir dapat dicari dengan cara mengurangkan luas segitiga dengan luas lingkaran, yakni

L. arsir = Luas ΔABC – Luas LingkaranL. arsir = 14,69 cm2

Contoh Soal dan Pembahasan Segi Empat Tali Busur

Contoh Soal 1Perhatikan gambar di bawah.

Jika besar ∠BCD = 88° dan besar ∠ABC = 92°, tentukan besar ∠CDA dan besar ∠DAB.

Penyelesaian:∠CDA + ∠ABC = 180°∠CDA + 92°= 180°∠CDA = 180° - 92°∠CDA = 88°

∠DAB + ∠BCD = 180°∠DAB + 88°= 180°∠DAB = 180° - 88°∠DAB = 92°

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah.

Diketahui ABCD adalah segi empat tali busur dengan∠DCG, ∠ADH, ∠BAE, dan ∠CBF adalah sudut luar segi empat ABCD. Buktikan bahwa besar ∠DCG = ∠BAD dan jika ∠ABC = 80°, tentukan besar ∠ADC dan ∠ADH.

Penyelesaian:∠BCD + ∠DCG = 180° (sudut pelurus)∠BCD = 180° - ∠DCG

∠BCD + ∠BAD = 180° (sudut berhadapan)180° - ∠DCG + ∠BAD = 180°∠DCG = ∠BAD (terbukti)

∠ADC + ∠ABC = 180° (sudut berhadapan)∠ADC + 80° = 180°∠ADC = 180° - 80°∠ADC = 100°

∠ADH + ∠ADC = 180° (sudut pelurus)∠ADH + 100° = 180°∠ADH = 80°

Contoh Soal 3Perhatikan gambar di bawah.

Pada gambar di samping, diketahui ∠BCD = 7x dan∠BAD = 5x. Tentukan  Nilai x, besar ∠BCD dan ∠BAD, dan jika ∠ADC = 112°, hitunglah besar ∠ABC!

Penyelesaian:∠BCD + ∠BAD = 180° (sudut berhadapan)7x + 5x = 180°12x = 180°x = 15°

∠BCD = 7x∠BCD = 7 . 15°∠BCD = 105°

∠BAD = 5x∠BAD = 5 . 15°∠BAD = 85°

∠ABC + ∠ADC = 180° (sudut berhadapan)∠ABC + 112° = 180°∠ABC = 180° - 112°∠ABC = 68°

Contoh Soal 4Perhatikan gambar di bawah.

jika ∠AOC = 72°, hitunglah besar ∠ABC!

Penyelesaian:Untuk memudahkan menjawab soal tersebut kita buatkan sebuah sudut keliling yang menghadap sudut pusat (garis merah), seperti gambar berikut.

Maka:∠AXC = ½ × ∠AOC∠AXC = ½ × 72°∠AXC = 36°

∠ABC + ∠AXC = 180°∠ABC + 36°= 180°

∠ABC = 180° - 36°∠ABC = 144°Jadi, besar ∠ABC = 144°

Contoh Soal Sudut Dua Tali Busur Berpotongan Di Dalam Lingkaran

Contoh Soal 1Perhatikan gambar di bawah.

Jika besar ∠AOC = 65° dan ∠BOD = 140°, tentukan besar ∠AEC dan besar ∠BEC.

Penyelesaian:∠AEC = ½ x (∠AOC + ∠BOD)∠AEC = ½ x (65° + 140°)∠AEC = ½ x 205°∠AEC = 102,5°

∠BEC + ∠ AEC = 180° (sudut berpelurus)∠ BEC + 102,5°= 180°∠ BEC = 180° - 102,5°∠ BEC = 77,5°

Contoh Soal 2Perhatikan gambar di bawah.

Jika besar ∠POQ = 35° dan besar ∠ROS = 50°, tentukan besar ∠PTQ dan ∠QTR.

Penyelesaian:∠PTQ = ½ x (∠POQ + ∠ROS)∠PTQ = ½ x (35° + 50°)∠PTQ = ½ x 85°∠PTQ = 42,5°

∠QTR + ∠PTQ = 180° (sudut berpelurus)∠QTR + 42,5°= 180°∠QTR = 180° - 42,5°∠QTR = 137,5°

Contoh Soal 3Perhatikan gambar di bawah.

Jika besar ∠BOC = 108° dan besar ∠AOD = 80°, maka tentukan besar ∠BEC, besar ∠AED, besar ∠AEB, da besar ∠DEC.

Penyelesaian:∠BEC = ½ x (∠BOC + ∠AOD)∠BEC = ½ x (108° + 80°)∠BEC = ½ x 188°∠BEC = 94°

∠AED = ∠BEC (sudut bertolak belakang)∠AED = 94°

∠AEB + ∠AED = 180° (sudut berpelurus)∠AEB + 94°= 180°∠AEB = 180° - 94°∠AEB = 86°

∠DEC = ∠AEB (sudut bertolak belakang)∠DEC = 86°

Contoh Soal 4Perhatikan gambar di bawah.

Jika besar ∠BOC = 122° dan ∠AOD = 32°, tentukan besar ∠AED, besar ∠BEC, besar ∠DEC, dan besar∠AEB.

Penyelesaian:∠AED = ½ x (∠BOC + ∠AOD)∠AED = ½ x (122° + 32°)

∠AED = ½ x 154°∠AED = 77°

∠BEC = ∠AED (sudut bertolak belakang)∠BEC = 77°

∠DEC + ∠AED = 180° (sudut berpelurus)∠DEC + 77° = 180°∠DEC = 180° - 77°∠DEC = 103°

∠AEB = ∠DEC (sudut bertolak belakang)∠AEB = 103°

Contoh Soal Sudut Dua Tali Busur Berpotongan Di luar Lingkaran

Contoh Soal 1Perhatikan gambar di bawah.

Pada gambar di atas tali busur DE dan GF berpotongan di titik H di luar lingkaran. Diketahui besar ∠DOG = 150° dan ∠EOF = 40°. Tentukan besar ∠DHG, besar∠DFG, besar ∠DFH dan besar ∠FDH.

Penyelesaian:

∠DHG = ½ x (∠DOG - ∠EOF)∠DHG = ½ x (150° - 40°)∠DHG = ½ x 110°∠DHG = 55°

∠DFG = ½ x ∠DOG∠DFG = ½ x 150°∠DFG = 75°

∠DFH + ∠DFG = 180° (sudut berpelurus)∠DFH + 75° = 180°∠DFH = 180° - 75°∠DFH = 105°

∠FDH + ∠DHG + ∠DFH = 180°∠FDH + 55° + 105° = 180°∠FDH + 160 = 180°∠FDH = 180° - 160°∠FDH = 20°

Contoh Soal 2Perhatikan gambar di bawah.

Pada gambar di atas diketahui besar ∠NOM = 30° dan∠KQL = 60°. Tentukan besar ∠KOL dan besar ∠KPL.

Penyelesaian:∠KQN + ∠KQL = 180° (sudut berpelurus)∠KQN + 60° = 180°∠KQN = 120°

∠QKN = ½ x ∠NOM∠QKN = ½ x 30°∠QKN = 15°

∠QNK + ∠KQN + ∠QKN = 180°∠QNK + 120° + 15° = 180°∠QNK + 135° = 180°∠QNK = 180° - 135°∠QNK = 45°

∠KOL = 2 x ∠QNK∠KOL = 2 x 45°∠KOL = 90°

∠KPL = ½ x (∠KOL - ∠NOM)∠KPL = ½ x (90° - 30°)∠KPL = ½ x 60°∠KPL = 30°

Contoh Soal 3Perhatikan gambar di bawah.

Jika diketahui besar sudut pusat AOD sama dengan 94°dan besar sudut pusat BOC sama dengan 40°, tentukan besar sudut AED.

Penyelesaian:

∠AED = ½ x (∠AOD + ∠BOC)∠BEC = ½ x (94° + 40°)∠BEC = ½ x 54°∠BEC = 27°

Contoh Soal dan Pembahasan Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Contoh Soal 1Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut!

Penyelesaian:Misalkana = 23 cmb = 27 cmc = 32 cm

s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (23 + 27 + 32)s = 41 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))LΔ = √(41(41-23)(41-27)(41-32))LΔ = √(41(18)(14)(9))LΔ = √92988LΔ = 304,94 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)r = (23 × 27 × 32)/ (4 × 304,94)r = 19872/1219,76

r = 16,3 cm

Contoh Soal 2Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga, keliling lingkaran luar segitiga, dan luas lingkaran luar segitiga

Penyelesaian:Misalkana = 8b = 12c = 16

s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (8 + 12 + 16)s = 18 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))LΔ = √(18(18-8)(18-12)(18-16))LΔ = √(18(10)(6)(2))LΔ = √2160LΔ = 46,48 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)r = (8 × 12 × 16)/ (4 × 46,48)r = 1536/185,92r = 8,26 cm

Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:K = 2πrK = 2 x 3,14 x 8,26 cmK = 51,87 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:L = πr2

L = 3,14 x (8,26 cm)2

L = 214,23 cm2

Contoh Soal 3Perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 17, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:Misalkana = 6b = 17c = 19

s = ½ keliling segitigas = ½ (a + b + c)s = ½ (6 + 17 + 19)s = 22 cm

LΔ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))LΔ = √(22(22-6)(22-17)(22-19))

LΔ = √(22(16)(5)(3))LΔ = √5280LΔ = 72,66 cm2

r = (a × b × c)/ (4 × LΔ)r = (6 × 17 × 19)/ (4 × 72,66)r = 1938/290,64r = 6,67 cm

Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:LΘ = πr2

LΘ = 3,14 x (6,67 cm)2

LΘ = 139,70 cm2

Untuk mencari luas mencari luas yang diarsir yaitu:

L = LΘ - LΔL = 139,70 cm2 - 72,66 cm2 L = 67,04 cm2  

Contoh Soal Panjang Busur, Luas Juring, dan Tembereng

Contoh Soal 1Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOBCD /14 cm = 140°/35° CD = (140°/35°) x 14 cmCD = 4  x 14 cmCD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.

Hitunglaha. luas juring POQ;b. jari-jari lingkaran;c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut iniLuas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°50 cm2/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm2/1,25Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQπr2 /luas juring POQ = 360°/∠POQπr2/40 cm2 = 360°/60°πr2/40 cm2 = 6πr2 = 40 cm2 x 6πr2 = 240 cm2

r2 = 240 cm2/(22/7)r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOBluas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°luas lingkaran/50 cm2  = 4,8luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2  luas lingkaran = 240 cm2  atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:πr2 = (22/7) x (8,74 cm)πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2

πr2 = 240 cm2

Contoh Soal 3Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglaha. panjang busur di hadapan sudut 30°;b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°panjang AB/125,6 cm = 1/12panjang AB = 125,6 cm/12panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaranluas POQ /πr2= 45°/360°luas POQ = (45°/360°) x πr2luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2luas POQ = 157 cm2

Contoh Soal 4Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.

Penyelesaian:keliling lingkaran tersebut adalahK = 2πrK = 2 x (22/7) x 28 cmK = 176 cmLuas lingkaran tersebut adalahL = πr2 L = (22/7) x (28 cm)2 L = 2464 cm2

Sekarang cari sudut POQ∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°∠ POQ = 36°luas juring  POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaranluas juring  POQ/2464 cm2   = 36°/360°luas juring  POQ  = 0,1 x 2464 cm2 luas juring  POQ  = 246,4 cm2

Contoh Soal 5Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

Penyelesaian:a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, makapanjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaranpanjang AB/2πr = ∠AOB/360°panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°panjang AB/69,08 cm = 0,125panjang AB = 69,08 cm x 0,125panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AOkeliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cmkeliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),makaluas juring  AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaranluas juring  AOB /πr2  = 45°/360°luas juring  AOB = 0,125 x πr2 luas juring  AOB  = 0,125 x 3,14 x (11 cm)2 luas juring  AOB  = 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)luas juring  COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaranluas juring  COD/πr2  = 45°/360°luas juring  COD = 0,125 x πr2 luas juring  COD  = 0,125 x 3,14 x (6 cm)2 luas juring  COD  = 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring  AOB  = 47,49 cm2   - luas juring  COD  = 14,13 cm2 Luas ABCD = 47,49 cm2   - 14,13 cm2 Luas ABCD = 33,36 cm2

Contoh Soal 6Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

penyelesaian:a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:luas juring AOB = ¼ luas lingkaranluas juring AOB = ¼ x πr2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm  )2 luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2 luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggiluas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cmluas ΔAOB = 98 cm2

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOBLuas tembereng = 154 cm2   – 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:luas juring COD/luas lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaranluas juring COD/ πr2  = 60° /360°luas juring COD = (60°/360°) x πr2 luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm  )2 luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2 luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar ∠ COD = 60o , maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,s = ½ x keliling segitigas = ½ x (a + b + c)s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)s = 21 cm

luas ΔCOD = √(s(s-a)(s-a)(s-a)luas ΔCOD = √(21 (21-14)(21-14)(21-14)luas ΔCOD = √(21 x 7 x 7 x 7)luas ΔCOD = √(21 x 343)luas ΔCOD = √(7203)luas ΔCOD = 84,87 cm2

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga CODLuas tembereng = 102,67 cm2 – 84,87 cm2 Luas tembereng = 17,80 cm2

Contoh Soal 7 Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°. Hitunglah besar ∠ QOR.

Penyelesaian:∠ QOR /∠ POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ∠ QOR/45°= 75 cm/50 cm∠ QOR/45°= 1,5∠ QOR = 1,5 x 45°∠ QOR = 67,5°

Contoh Soal 8Pada gambar di bawah, besar ∠ POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.

Hitunglaha. panjang busur besar PQ;b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:panjang PQ/keliling lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaranpanjang PQ /2πr = ∠POQ /360°panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°panjang PQ /125,6 cm = 0,2panjang PQ = 125,6 cm x 0,2panjang PQ = 25,12 cm

luas juring  POQ /Luas Lingkaran = ∠ PQ /∠ 1 lingkaranluas juring  POQ /πr2  = 72°/360°luas juring  POQ = 0,2 x πr2 luas juring  POQ  = 0,2 x 3,14 x (20 cm)2 luas juring  POQ  = 251,2 cm2

Contoh soal dan Pembahasan Tentang Lingkaran

Contoh Soal 1Coba perhatikan gambar di bawah ini!

 

Hitunglah luas dan keliling daerah yang diarsir pada gambar di atas!

Pembahasan:Untuk menjawab soal tersebut kerjakan bagian atsanya saja karena bagian atas dengan bagian bawah luasnya sama. Pada

bagian atas ada dua lingkaran yaitu lingkaran kecil dengan diameter 42 cm dan lingkaran besar dengan diameter 84 cm.

Sekarang hitung luas setengah lingkaran kecil (L1) yakni:L1 =½(¼ πd2)L1 = ½ ¼ (22/7)(42)2

L1 = 693 cm2

Sekarang hitung setengah luas lingkaran besar (L2) yakni:L2 =½(¼ πd2)L2 = ½ ¼ (22/7)(84)2

L2 = 2772 cm2

Luas bagian atasnya (Lx) adalah:Lx = L2 – L1

Lx = 2772 cm2 - 693 cm2

Lx = 2079 cm2

Luas totalnya adalah dua kali luas bagian atasnya yaitu:LTotal = 2 Lx

LTotal = 2 . 2079 cm2

LTotal = 4158 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah 4.158 cm2

Sedangkan untuk mencari keliling gambar tersebut dapat kita gunakan rumus keliling lingkaran dan pada soal tersebut ada dua keliling lingkaran, yakni dua kali setengah lingkaran besar (K1) dan dua kali setengah lingkaran kecil (K2).K1 = πdK1 = (22/7)42 cmK1 = 132 cm

K2 = πdK2 = (22/7)84 cmK2 = 264 cm

Ktotal = K1 + K2

Ktotal = 132 cm + 264 cmKtotal = 396 cm

Jadi keliling gambar tersebut adalah 396 cm

Contoh Soal 2Coba perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan sketsa sebuah taman yang berbentuk persegi dengan panjang sisinya 30 m. Di tengah taman tersebut dibangun sebuah kolam ikan seperti gambar di atas (berwarna putih). Di luar kolam tersebut akan ditanami rumput. Hitunglah berapa luas tanaman rumput tersebut dan  hitung juga biaya yang diperlukan untuk pembelian rumput jika harga rumput Rp. 200.000,00 permeternya.   

Penyelesaian:

Sekarang hitung luas kolam terlebih dahulu. Sama seperti soal no 1, bagian atasnya sama bentuknya seperti bagian atas soal no 1 sedangkan bagian bawahnya berbentuk seperempat lingkaran. Sekarang hitung bagian atas kolam, caranya sama seperti cara menjawab soal no 1, yakni:

Sekarang hitung luas setengah lingkaran kecil (L1) yakni:L1 =½(¼ πd2)L1 = ½ ¼ (22/7)(14)2

L1 = 77 m2

Sekarang hitung setengah luas lingkaran besar (L2) yakni:L2 =½(¼ πd2)L2 = ½ ¼ (22/7)(28)2

L2 = 308 m2

Luas bagian atasnya (Lx) adalah:Lx = L2 – L1

Lx = 308 cm2 - 77 cm2

Lx = 231 m2

Sekarang hitung luas bagian bawahnya yang berbentuk seperempat lingkaran (L3) yakni:L3 =¼ (¼ πd2)L3 = ¼ ¼ (22/7)(14)2

L3 = 38,5 m2

Luas total kolam tersebut adalah luas bagian atas ditambahkan deng luas bagian bawah yakni:Lkolam = Lx + L3

Lkolam = 231 m2 + 38,5 m2

Lkolam = 269,5 m2

Sekarang hitung luas tanaman rumput dengan cara mengurangi luas taman yang berbentuk persegi dengan luas

kolam. Jadi kita hitung terlebih dahulu luas taman tersebut yaitu:Ltaman = sisi . sisiLtaman = 30 m . 30 mLtaman = 900 m2

Luas tanaman rumput yakni:Lrumput = Ltaman - Lkolam

Lrumput  = 900 m2 - 269,5 m2

Lrumput  = 630,5 m2

Sekarang hitung biaya yang diperlukan untuk pembelian rumput yaitu dengan cara  mengalikan luas rumput dengan harga permeternya, maka:Harga = 630,5 m2 . Rp. 200.000,00/m2

Harga = Rp. 126.100.000,00

Jadi, luas tanaman rumput pad ataman tersebut adalah 630,5 m2 dan untuk pembelian rumput menghabiskan dana Rp. 126.100.000,00.

Contoh Soal Tantangan Tingkat TinggiSiapa yang tidak pernah melihat bulan sabit. Hampir semua orang pernah melihatnya. 

Dapatkah kamu menghitung berapa luas gambar sebuah bulan sabit. Coba perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang diameter lingkaran yang besar (BE) sama dengan 56 cm dan diameter lingkaran yang kecil (CD) adalah 42 cm. Sudut yang dibentuk oleh BOC adalah 36° dan sudut BOC sama dengan sudut DOE. Hitunglah gambar sketsa bulan sabit tersebut (yang diarsir warna orange)! Berapa hasilnya silahkan tulis dikomentar.Selamat mencoba utak-atik soal tantangan. Semoga berhasil. Salam Mafia.

Soal dan Pembahasan Luas dan Keliling Arsiran Lingkaran

Hitunglah luas dan keliling daerah yang diarsir?

Penyelesaian:Luas daeah yang diarsir dapat dicari  dengan cara mengurangi luas setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang luasnya setengah (berjari-jari 7 cm). Sekarang cari luas lingkaran yang besar, yakni:L. besar = ½ πr2

L. besar = ½ (22/7)(14 cm)2

L. besar = 308 cm2

Sekarang cari luas lingkaran yang kecil, yakni:L. kecil = 2(½πr2)L. kecil = πr2

L. kecil = (22/7)(7 cm)2

L. kecil = 154 cm2

Sekarang cari luas yang diarsir, yakni:L. arsir = L. besar - L. kecilL. arsir = 308 cm2 - 154 cm2

L. arsir = 154 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 154 cm2

Keliling daeah yang diarsir dapat dicari  dengan cara menjumlahkan keliling setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang kelilingnya setengah

(berjari-jari 7 cm). Sekarang cari keliling lingkaran yang besar, yakni:K. besar = ½(2πr)K. besar = πrK. besar = (22/7)14 cmK. besar = 44 cm

Sekarang cari keliling lingkaran yang kecil, yakni:K. kecil = 2 x ½ x 2πrK. kecil = 2πrK. kecil = 2(22/7)(7 cm)K. kecil = 44 cm

Sekarang cari keliling yang diarsir, yakni:K. arsir = K. besar + K. kecilK. arsir = 44 cm + 44 cmK. arsir = 88 cmJadi, keliling daerah yang diarsir adalah 88 cm

Contoh Soal 2Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:Ada banyak cara untuk menjawab soal di atas, akan tetapi di sini Mafia Online menggunakan konsep luas tembereng. Silahkan baca cara cepat menghitung luas tembereng. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita ambil satu helai daun sehingga panjang sisinya menjadi 7 cm. Untuk memudakan menjawab helai daun tersebut dapat gambarkan menjadi lingkaran yang jari-jarinya 7 cm, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:L = 8 . 14 cm2

L = 112 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 112 cm2

Contoh Soal 3Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:Caranya sama seperti cara menjawab soal sebelumnya di atas. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita buat lingkaran seperti gambar diatas. Sekarang kita cari panjang diameter lingkaran dengan teorema phytagoras, yakni:d = √(72 + 72)d = 7√2 cmSekarang cari jari-jari lingkaran:r = d/2r = 7√2/2r = (7/2)√2 cm

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:L = (2/7)r2

L = (2/7)((7/2)√2 cm)2

L = 7 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:L = 8 . 7 cm2

L = 56 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 56 cm2

Luas JuringSekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari, kemudian ditarik garis OB sehingga terbentuk sudut pusat AOB (∠AOB) dengan luas juring AOB (L.AOB). Kemudian sudut pusat AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOC dengan luas juring AOC (L.AOC). Dengan menggunakan konsep perbandingan senilai maka hubungan antara sudut pusat dengan luas juring, yakni:∠AOB/∠AOC = L.AOB/L.AOC

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOD dengan luas juring AOD? Maka akan berlaku:

∠AOB/∠AOD = L.AOB/L.AOD

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi satu lingkaran penuh? Ingat sudut satu lingkaran penuh besarnya 360° dan luas juring untuk satu lingkaran penuh sama dengan luas lingkaran (L = πr2), maka akan berlaku:∠AOB/∠ lingkaran = L.AOB/L.lingkaran∠AOB/360° = L.AOB/πr2∠AOB = (L.AOB/πr2)360°atauL.AOB = (∠AOB/360°)πr2

Jadi rumus mencari luas juring suatu lingkaran adalah:Luas juring = (Sudut pusat/360°) x luas lingkaran.atauLJ = (α/360°) x πr2

dengan:LJ = luas juringα = sudut pusatπ = 22/7 atau 3,14r = jari-jari lingkaran

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas juring lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7 cm dan sudut pusat 120°. Hitunglah luas juring yang diarsir (berwana kuning) dan hitung juga luas daerah yang tidak diarsir!

Penyelesaian:Luas juring yang diarsir:LJ = (α/360°) x πr2

LJ = (120°/360°) x (22/7) x (7 cm)2

LJ = (1/3) x 154 cm2

LJ = 51,33 cm2

Untuk mencari luas daerah yang tidak diarsir harus dicari sudut pusatnya yakni:α’ = sudut lingkaran – αα’ = 360° – 120°α’ = 240°

LJ = (α’/360°) x πr2

LJ = (240°/360°) x (22/7) x (7 cm)2

LJ = (2/3) x 154 cm2

LJ = (1/3) x 154 cm2

LJ = 102,67 cm2

Jadi, luas juring yang diarsir (berwana kuning) adalah 51,33 cm2 dan luas daerah yang tidak diarsir adalah 102,67 cm2

Untuk pengetahuan tambahan tentang lus juring lingkaran, silahkan baca postingan Mafia Online lainnya yakni:Cara Cepat Menghitung Luas JuringCara Mudah Menghitung Luas JuringContoh Soal Luas Juring

Luas TemberengSyarat utama untuk menguasai konsep luas tembereng adalah cara mencari luas juring dan luas segitiga. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Daerah yang diarsir merupakan luas tembereng AB. Luas daerah yang diarsir tersebut dapat dicari dengan mengurangkan luas juring AOB dengan luas segitiga AOB. Secara umum luas tembereng dapat dirumuskan sebagai berikut:LT = LJ – L∆

dengan:LT = luas temberengLJ = luas juringL∆ = luas segitiga

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas tembereng lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7√3 cm dan sudut pusat 60°. Hitunglah luas tembereng (luas diarsir)!

Penyelesaian:Luas juring AOB:LJ = (α/360°) x πr2

LJ = (60°/360°) x (22/7) x (7√3 cm)2

LJ = (1/6) x 462 cm2

LJ = 77 cm2

Sekarang cari ∆AOB dengan cara cepat menghitung luas segitiga sama sisi, yakni:L∆ = ¼r2√3L∆ = ¼(7√3 cm)2√3L∆ = 63,65 cm2

LT = LJ – L∆LT = 77 cm2 – 63,65 cm2

LT = 13,35 cm2

Jadi, luas tembereng (luas diarsir) adalah 13,35 cm2

LUAS TEMBERENG

Gambar di atas merupakan gambar sebuah lingkaran dengan pusat O yang memiliki jari-jari r. Terdapat juring AOB dengan sudut pusat α dan luas tembereng (daerah yang diarsir). Jadi untuk mencari daerah yang diarsir (luas tembereng) terlebih dahulu harus mencariluas juring AOB dan luas segitiga AOB.

Untuk mencari luas juring AOB dapat menggunakan rumus:L.AOB = (α/360)πr2

Untuk mencari luas segitiga AOB dapat menggunakan rumus luas lingkaran dengan konsep trigonometri yakni:L.Δ = ½ r2 sin α

Sedangkan untuk mencari luas tembereng dapat menggunakan rumus berikut.L = L.AOB – L.ΔL = (α/360)πr2 – ½ r2 sin α

dengan:α = sudut pusatr = jari-jari lingkaranπ = 22/7 atau 3,14

Untuk memantapkan pemahaman Anda dalam hal menghitung luas tembereng jika sudut pusat dan jari-jari diketahui, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1Hitunglah luas tembereng dari sebuah lingkaran dengan jari-jari 7 cm jika sudut pusatnya 60°.

Penyelesaian:r = 7 cmα = 60°L = (α/360°)πr2 – ½ r2 sin αL = (60°/360°)(22/7)72 – ½ .72 sin 60L = 25,67 – 21,31L = 4,36 cm2

Contoh Soal 2Hitunglah luas tembereng jika sudut pusatnya 90° dengan jari-jari 7 cm.

Penyelesaian:L = (α/360)πr2 – ½ r2 sin αL = (90/360)(22/7)72 – ½ .72 sin 90°(sin 90° = 1)L = 38,5 – 24,5L = 14 cm2

Untuk menghitung luas tembereng dengan sudut pusat 90° dapat menggunakan cara cepat menghitung luas tembereng yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2