KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================Tema : TEORI BILANGAN180.) Tentukan semua bilangan bulat positif n sehingga 1 12+ + n n.Jawab : Pernyataan 1 12+ + n n berarti) 1 ( 1 12+ + n k n ,Z k .Sedangkan 1) 1 (11 ) 1 (112+ ++ +++nnnnn n nnn.Jadi agar n+1 membagi12+ nmaka 1) 1 (+nn harus bulat. Sehingga perlu ditulis12 11) 1 (+ ++nnnn= 1 - 12+ n.Jadi n + 1 haruslah faktor dari -2 yaitu n +1 = 2 , 1 t t. Nilai n yang memenuhiadalah n = -3, -2, 1.181.) Jika 2 3 7 + x maka buktikan bahwa 14 11 15 72 x x.Jawab : 14 11 152 x x = 5x(3x +2) -21x -14 = 7k(karena masing-masing suku dapat habis dibagi 7).182.) Tunjukkan bahwa kuadrat sembarang bilangan bulat adalah dalam bentuk 3k dan 3k +1. Jawab : Menurut contoh (no 172) maka kuadrat sembarang bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk p x 42 atau p x 42+1. Ambil p = 3t maka) 4 ( 3 12 ) 3 ( 42t t t x .Ambil p = 3t +1 maka. 1 3 1 ) 1 4 ( 3 1 ) 1 3 ( 42+ + + + + k t t x183.) Tunjukkan bahwa 2 23 b a + maka a 3 dan b 3.Jawab : Catatan notasi y x artinya x membagi habis y sehingga dapat ditulis ada bilangan bulat k dan sehingga y = xk. Jika x tidak membagi habis y , pada tulisan ini digunakan notasi x ~| y.Soal dibuktikan dengan kontradiksi yaitu andaikan a ~ 3danb ~ 3dan diketahui 2 23 b a +.Karena a ~ 3artinya a = 3p + r ,0 < r < 3 dan b ~ 3 artinya b = 3q + s,0 < s < 3. Diketahui pula 2 23 b a +.Sehingga 2 2b a + =( )23 r p ++( )23 s q + = 2 2 2 26 6 9 9 s qs r pr q p + + + + +=2 2 2 2) ( 6 ) ( 9 s r qs pr q p + + + + + .Karena 2 23 b a +maka 2 23 s r + sehinggal s r 32 2 + , dengan l bulat.Untuk r=1, s = 1, maka 2= 3 l sehingga l = 2/3 (tidak bulat ). Kontradiksi diketahui l bulat.Untuk r =2, s = 2 makal s r 3 82 2 + (tidak bulat ). Kontradiksi diketahui l bulat. Jadi pengandaian salah bahwa a ~ 3danb ~ 3dengan diketahui 2 23 b a +.Jadi haruslah jika 2 23 b a + maka a 3 dan b 3.184. )Tunjukkan bawa jika sisi-sisi suatu segitiga siku-siku semuanya bulat maka 3 membagi salah satu dari ketiga sisi tersebut.Jawab : Sebut panjang sisi-sisi adalah x, y, z dan 2 2 2z y x + dengan x, y dan z bilangan bulat positif. KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================Anggap bahwa 2 23 y x + maka dengan soal sebelumnya 3|x dan 3|y. Bukti selesai. 185.) Diberikan 5 membagi (n + 2 ). Ekspresi yang mana dari berikut yang berikut dapat dibagi 5 (i)42 n (ii)7 82+ + n n (iii) 14 n (iv)n n 22 .Jawab :Diketahui 2 | 5 + nartinya n + 2 = 5k sehingga n = 5k -2 , k bulat. (i)42 n =4 ) 2 5 (2 k =k k k k 20 25 4 4 20 252 2 + =5p , p bulat.Jelas 5 |42 n .(ii) 7 82+ + n n =7 16 40 4 20 25 7 ) 2 5 ( 8 ) 2 5 (2 2+ + + + + k k k k k = p k k 5 5 20 252 + , p bulat. Jadi 5| 7 82+ + n n . (iii)14 n=1 ) ( 1 ) 2 5 (4 4 v u kdengan u 0 5k dan v = 2. Sehingga14 n=( ) ( ) ( ) 1 2 ) 2 )( 5 ( 4 ) 4 ( 5 6 ) 2 ( 5 4 54 3 2 3 4 + + k k k k= 5p + 15 (habis dibagi 5).Jadi 5 |14 n .(iv)n n 22=( ) ( ) 2 5 2 2 52 k k =4 10 4 20 252+ + k k k = 8 30 252+ k k(tidak habis dibagi 5).Jadi 5~| n n 22 .186.) Buktikan bahwa tidak ada bilangan prima triple yang dapat disusun dalam bentuk p, p +2, p + 4 kecuali tripel 3,5,7. Jawab. Untuk p > 3 maka sembarang bilangan prima dapat ditulis dalam bentukp = 6k + 1 atau p = 6k -1.(i) Untuk p = 6k + 1 maka p +2 = 6k +1 +2 = 3(2k +1). Karena 2k + 1 > 1 maka jelas p +2 bukan prima (karena faktor-faktor prima hanyalah 1 dan dia sendiri).(ii) Untuk p = 6k + 1 maka p +4 = 6k +1 +4 = 6k+5 = 6t-1.(jelas prima berdasarkan pengetahuan sebelum ini telah dibuktikan bahwa 6k +1 prima).(iii) Untuk p = 6k - 1 maka p +2 = 6k -1 +2 = 6k + 1 (jelas prima, berdasarkan pengetahuan sebelum ini telah dibuktikan bahwa 6k +1 prima).(iv) Untuk p = 6k - 1 maka p +4 = 6k -1 +4 = 6k+3 = 3(2k +1) . Karena 2k + 1 > 1 maka jelas p +2 bukan prima (karena faktor-faktor prima hanyalah 1 dan dia sendiri. Jelas tidak ada tripel lain yang prima yang dapat dibentuk dalamp, p +2, p +4. 187.)Tentukan bilangan bulat positif terbesar n sehinga( )( ) ( ) 57 3 2 13 4+ + + + n n n nhabis dibagi oleh22+ n . Jawab : Bagilah( )( ) ( ) 57 3 2 13 4+ + + + n n n ndengan22+ nsehingga ( ) ( ) ( )( )2171257 3 2 122 323 4++ + + ++ + + +nn n nnn n n n.Jadi agar 21712+ n bulat maka22+ nmerupakan faktor dari 171. Yaitu171 , 57 , 27 , 19 , 9 , 3 , 1 22t t t t t t t + n .Yang terbesar yaitu2 1712 n = 169 . Jadi n = 13. 188). Tunjukkan jika n bulat positif sehingga 2n + 1 berbentuk kuadrat maka n + 1 merupakan jumlahan 2 bilangan kuadrat berturutan . KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================Jawab :1 22+ n xdengan1 2 t k x(seperti contoh 177).2n =( ) 1 1 22 t ksehingga 21 ) 2 (2 tkn . Berakibat121 ) 2 (12+ t +kn .n + 1 =1 2 1 2 222 4 422 1 ) 2 (12 2 22 2+ + + + + + t+ t + k k k k kk k kn .n +1 2 2) 1 ( t + k k . 208). Tentukan pecahan rasional yang sama dengan2 7 31 . 0 .Jawab : Sebut bilangan tersebut x =2 7 31 . 0 = 0.317272727210000x = 3172,727272100x = 31.72727210000x 100x = 3141. 9900 x = 3141 . 99003141 x.209). Bilangan 2 digit dibagi oleh jumlah dari digit-digitnya. Berapakah sisa pembagian terbesar ?.Jawab : Bilangan 2 digit yang mungkin adalah 10, 11, 12,, 99.Sebutlah bilangan tersebut x = 10 a + b. (belum selesai).210). Tunjukkan bahwa bilangan bulat an ' 1 22111 ... 11 merupakan bilangan tak prima (komposit).Jawab : Dengan menggunakan contoh 176 yaitujika x prima maka salah satu dari 8p -1 dan 8p +1 prima dan yang lain komposit. Diselidiki apakahx + 1 = 8p atau x -1 = 8p. Yaitu : an ' 1 22111 ... 11 + 1 = 2 11 ... 11' 1 220 an = 8p =p32 . Karena x + 1 genap maka habis dibagi 2. Jelas bahwa x + 1 = 8p (tidak prima) .Sedangkan an ' 1 22111 ... 11-1 = an ' 1 22011 ... 11akan diselidiki dapat tidaknya disusun dalam dalam 8p .(belum lengkap).211). Sebut a = an m ' 111 ... 11 dan b = 5 00 ... 000 1' 0 1an m. Tunjukkan bahwa ab +1 suatu kuadrat sempurna. Bukti : Perhatikan jika kesulitan dalam memperumum bentuk ambillah m = 3. Jadi ab + 1 = (111)(1005) + 1 = (1005)(111) +1 = (1000 + 5)(111) +1 = 1000x111 + 5x111 + 1=111x1000+ 5x111 + 1= 199995 1099993+

,_

+ x = ( )( ) 1 1 10951091 103 33+ +x .Secara umum m kita dapat beranalogi yaitu ab + 1 = ( ) ( ) 1951095109110911 1 109510 1 10912+ + + + m m m m m mKUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.=================================================================== = 94109410912+ +m m = ( ) 4 10 2 10912+ +m mx = 232 10

,_

+m.Bilangan ini harus bulat. Jelas bahwa2 10 +m habis dibagi 3 (karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3). 212). Ditanyakan digit-digit apa yang muncul pada perkalian : a n a n ' 6 6 6 6 ' 3 6 6 66 . . . 6 6 3 . . . 3 3 .Jawab : (i) Diselidiki 33x66 = 333 x 666 = 2217783333 x 6666 = 22217778.Secara umum diperoleh terdapat 2 sebanyak 665 7 sebanyak 6651 sebanyak 1 dan 8 sebanyak 1.213). Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat dengan sifat sbb : jika digit awal disuppressed hasilnya adalah 1/35 dari bilangan mula-mula.Jawab :Perhatikan contoh no.200 untuk menyelesaikan hal ini.Jadi kita dapat memperoleh bentuk sifat, 10 . y k xn+ 9 0 < k , k bulat..(a)( ) y k yn+ 1 0 .3 51 (b)Sehingga dari (b) diperoleh 35y y = nk 10 . .34y = nk 10 .atau 3410 .nky .Agar y bulat maka nk 10 . faktor yang sama dengan faktor 34. Sedangkan faktor-faktor 34 adalah 1, 2, 17 dan 34. Karena9 0 < kmaka k yang memenuhi hanyalah 1 dan 2. Jelas bahwa k = 1 sudah memenuhisehingga kita hanya memperhatikan k = 2. Untuk k = 2 maka nny 101713410 . 2 . Padahal 17 bilangan prima dan jelas bahwa 17 tidak membagi habisn10untuk semua n asli. Sehingga terbukti tidak ada bilangan bulat dengan sifat (a)-(b). 214). Tunjukkan bahwa jumlahan semua bilangan bulat dengan n digit untuk3 n , adalah an n an n ' 0 2 ' 9 30 ... 00 55 9 ... 99 494 .Jawab : Perhatikan untuk n = 3 maka semua bilangan yang mungkin adalah 100,101, ,999. Jumlah bilangan adalah dengan menggunakan deret aritmatika yaitu . 494550 ) 1099 (210 9) 999 100 (29992 + xUntukn> 3, semua bilangan bulat yang mungkin adalah digit n an digit n9 ... 99 ,..., 0 ... 00 1' 0 1 . Banyaknya bilangan adalah 9 x 110 n jumlah semua bilangan tersebut adalah menggunakan deret aritmatika yaitu KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================

,_

+ digit n digit nnnxS 99 ... 99 0 ... 00 1210 911=

,_

digit nnnxx1219 ... 99 10 10 45210 9= soal (belum selesai).215.) Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka bentuk an n an n ' 2 ' 1 , 1 22 ... 22 1 ... 11 adalah bentuk kuadrat sempurna.Bukti : an n an n ' 2 ' 1 , 22 ... 22 1 ... 11 =

,_

99 ... 999299 ... 9992 ... 22 1 ... 11' 2 ' 1 , 2 an n an n=

,_

91 10291 102 n n=( )2222 23 ... 33339 ... 9931 1091 10 2 1092 10 2 1 10

,_

,_

+ + n n n n nx x.217). Bilanganbulatnadalahbilangankelipatan15terkecil sedemikiansehinggasetiap digitnya 0 atau 8. Hitung n/15.Jawab : Bilangan tersebut harus habis dibagi 15 (atau 3 dan 5). Bilangan yang habis dibagi 3 yaitu jika bilangan yang jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Karena bilangan tersebut hanya terdiri dari 8 dan 0 maka bilangan yang mungkin adalah 888. Akan tetapi karena harus bisa dibagi 15 maka bilangan tersebut 8880.218) Tunjukkanbahwabilangandesimal denganangkadibelakangkomaadalahsemua bilangan asli (x = 0.1234567891011121314151617)merupakan bilangan rasional.Jawab : sebut bilangan tersebutxdan andaikan bilangan tersebut rasional. Berarti harus ada bilangan m dan n yang bulat sehingga x = m/n. Akan tetapi tidak mungkin. .219). Diberikan 1/49 = 0.0204 bla-bla.221). Diberikan n adlalah bilangan bulat positif yang mungkin dan d adalah 1 digit dengan dasar 10 (basis 10). Tentukan n jika n/810 = 0.d25d25d25.Jawab : Karena desimal berulang, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai pecahan rasional maka yaitu diperoleh n/810 = d25/999.Sehingga 90 11125 n d atau (30)(d25) = n (37) .nd37) 25 ( 30(bulat). Karena37tidakmembagi habis(30)maka37harusbisamembagi (d25 sehingga d yang memenuhi adalah d = 9 sehingga 75037) 925 ( 30.282). Buktikanjika sembarang bilangan kuadrat jika dibagi 13 selalu bersisa 0,1,3,4,9, 10, dan 12.Bukti : Dari hal. 25 no.172 : bentuk kuadrat selalu dapat dinyatakan dalam 4t(jika bentuk kuadrat genap) atau 4t +1 (jika bentuk kuadrat ganjil). Sebut 2n x dan diketahui, 132s k n + 12 0 s , s : bulat.(i)t n 42maka 4t = 13 k + s .s k t ) 13 4 (. Untuk13 mod 0 13 k sehingga yang kita perhatikan s = 4t. Kita mendaftar semua t yang mungkin sebagai berikutKUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================t s= 4t Keterangan0 0 memenuhi1 4 memenuhi2 8 tidak memenuhi (sebagai salah satu jenis sisa dalam soal)3 12 memenuhiJadi t yang memenuhi = 0,1,3(ii)t n 42 +1, 4t + 1 = 13k +s(4t + 1-13k) = s. sehingga dipilih s = 4t +1. Secara sama kita dapat mendaftar.t s= 4t Keterangan0 0 memenuhi1 5 tidak memenuhi (sebagai salah satu jenis sisa dalam soal)2 9 memenuhi3 13 sama artinya sisa 04 17 sama artinya sisa 4Jadi t yang memenuhi = 0, 2301). Tentukan digit terakhir dari 233333334 . 9987737 + 12 . 21327 + 12123 . 99987 Jawab : Untuk mendapatkan angka satuan maka cukup mencari hasil pembagian angka satuan dari tiap suku yang dibagi oleh 10, yaitu :((4)(7) + (2)(7) + (3)(7)) mod 10 = (8 + 4 + 1) mod 10 = 3 mod 10.283). Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi 2 52 2 y x.Bukti :Menurutpengentahuan kitasebelum ini, bentuk kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk4k (genap) atau 4k +1 (ganjil).Artinya2 52 2+ y xakan kita nyatakan dalam kedua bentuk ini. Yaitu : 2 52+ y = 4(22+ y) + (22+ y) -8 = 4( 22+ y ) + (2y-6).Untuk memenuhi sebagai bentuk 4k atau 4k +1 maka disyaratkan 2y-6 = 0 atau 2y-6 = 1. Sehingga 2y = 6 atau 2y= 7. Jelas tidak ada bilangan bulat y yang memenuhi. Catatan : pada bagian ini yang k =22+ y(memuat y yang tidak kita ketahui).Cara 2 :Kitadapat menganggapbahwa2 52 2+ y xdibacasebagai bentukkuadrat yangdibagi 5 bersisa2. Ditulis 22 x mod5. Olehkarenaitukitaakanmendaftar beberapabilangan kuadrat dan kita bagi 5. Kemudian kita selidiki sisanya, sebagaimana ditunjukkan pada Tabel berikut. x2xsisa pembagian dengan 51 1 1KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================2 4 -13 9 -14 16 15 25 06 36 17 49 -18 64 -19 81 110 100 011 121 112 144 -1Jika proses dilanjutkan maka hanya bersisa 0, -1 dan 1 (perlu juga dinyatakan dalam bentuk umum, tapi saat ini tidak ditulis).284). Digit berapa yang harus ditulis untuk adan bdalam 30a0b03 sehingga bilangan bulat tersebut habis dibagi 13.Jawab :Sebut u = 30a0b03 =3 10 0 10 10 0 10 10 0 10 32 2 3 4 5 6+ + + + + + x bx x ax x x=3 10 10 10 32 4 6+ + + bx ax xSedangkan 13 mod 9 102 =-4mod13. Bagianakhir yangdigunakanpadaperhitungan lebihlanjut karenaangka-4lebihmudahdaripada9jikadipangkatkan. Ekspresiudapat ditulis u =( ) 3 ) 10 ( 10 ) 10 ( 3222 3 2+ + + b a= ( ( ) 3 ) 4 ( 4 ) 4 ( 32 3+ + + b a ) mod 13= ( ) 3 ) 4 ( 16 ) 64 ( 3 + + + b a= ( ) ] 3 ) 4 ( 16 ) 12 ) 13 ( 4 ( 3 [ + + + b a mod 13 =[ 3(-4)(13)(3) + 3(-12) + 16a -4b + 3] mod 13= [0 -33 + 13a + 3a -4b ] mod 13= [-7 + 3a -4b] mod 13 .Karena dari soal bilangan yang diminta harus habis dibagi 13 maka diperoleh -7 + 3a -4b = 0.Atau3a4b=7. Untukselanjutnyakitamencariadanbyangmungkindengancara mendaftar sebagai berikut.a 3a Persamaan 3a 4b = 7, a dan b bulat0 tidak dipenuhi1. tidak dipenuhi2. tidak dipenuhi3. tidak dipenuhi4. tidak dipenuhi5. dapat, b = 26. tidak dipenuhi7. tidak dipenuhi8. tidak dipenuhi9. b = 5Jadi (a ,b) yang memenuhi adalah (5,2) dan (9,5).285). Tentukan semua n,25 1 nsedemikian hingga122 152+ + n ndapat dibagi 6. Petunjuk : nyatakan bahwa122 152+ + n n (n +1)(n + 2) mod 6. KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================Jawab : Berdasarkan pada petunjuk maka agar122 152+ + n nhabis dibagi 6 maka (n +1)(n + 2) = 0atau (n +1)(n + 2) = 6k . Untuk (n +1)(n + 2) = 0 tidak mungkin karena n tidak boleh negatif . Sehinggga haruslah (n +1)(n + 2) = 6k.Kita akan mnegusahakan dengan mendaftar semua n yang mungkin sehingga (n +1)(n + 2) = 6k.n (n+1)(n+2) Persamaan (n +1)(n + 2) = 6k 1. (2)(3)2. (3)(4)3. (4)(5)4. (5)(6)5. (6)(7)6. (7)(8)7. (8)(9)8. (9)(10)9. (10)(11)10. (11)(12)Demikian seterusnya, maka akan diperoleh pola bahwa n = 3k -1 dan (3k -2) yang memenuhi.286). n nna 8 6 + . Tentukan sisa pembagian jika 83a dibagi 49.(BELUM).288).289). Tentukan semua n bulat sehingga1 | 1010+ n.Jawab : Dicari bilangan yang dipangkatkan bersisa 9 sehingga jika ditambah dengan 1 habis dibagi 10. Kita ketahui bahwa bilangan yang bersatuan 9 adalah 3 dan 7. Dengan memperhatikan pola sebagai berikut .9 ... 33 ... 31 ... 37 ... 39 ... 33 ... 381 327 39 33 3109876543219 ... 71 ... 73 ... 79 ... 77 ... 77 ... 710 mod 1 73 ... 79 77 710987654321Disimpulkan bahwa103berakhir 9 dan 107 berakhir 9.Soal Test (Test Tengah Pelatihan Guru Berau, Kaltim 19 Nov-28 Nov 2010)1. Hal 10 no 362 : Tentukan1 2 3 4 ... 997 998 999 10002 2 2 2 2 2 2 + + + + 2. Hal 39 no 264 : Buktikan semua bilangan asli n > 1 memenuhi KUMPULAN SOAL JAWAB OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Sumber soal : David SantosCatatan : Hasil kegiatan pertemuan guru-guru SMA-SMP Berau, KALTIM 19 Nov-28 N0v 2010.===================================================================n n121...3121112 2 2 2 < + + + +3. Hal 42 no 288 : Buktikan bahwa jika 3 3 39 c b a + + maka 3|abcuntuk bilangan bulat a, b, c. 4. Hal 43 no 299 : Jika 62ab427 adalah suatu kelipatan 99, tentukan digit a dan b. 5. Hal 10 no 359 : Diberikan a c c b b a + + +1,1,1adalah barisan aritmatika. Tunjukkan bahwa 2 2 2, , c a b juga barisan aritmatika.Jawab :1. Hal 10 no 362 : Tentukan1 2 3 4 ... 997 998 999 10002 2 2 2 2 2 2 + + + + Jawab :1 2 3 4 ... 997 998 999 10002 2 2 2 2 2 2 + + + + = (1000-999)(1000+999) + (998-997)(998+997) + +(4-3)(4+3) +(2-1)(2+1)= 1 (1999) + (1)(1995) ++ (1)(7) + (1)(3).Deret tersebut merupakanderet aritmatika dengan 31 U,1999 nU , beda = b = 4.Oleh karena itu 1999 nU= b n U ) 1 (1 + = 3 + (n-1)41999 -3 + 4 = 4n , n = 500. Jadi ( )n nU UnS + 12 = 250 (3 + 1999) = (250)(2002)= 500500.2. Hal 39 no 264 : Buktikan semua bilangan asli n > 1 memenuhi n n121...3121112 2 2 2 < + + + +Jawab : Dibuktikan dengan induksi (i) Untuk n = 2 berlaku ruas kiri = 2 22111+ = 454111 +. Sedangkan ruas kanann12 = 4623212 . Jelas bahwa ruas kiri < ruas kanan, sehingga berlaku pernyataan di atas pada n = 2. (ii) Pernyataan di atas dianggap berlaku (benar) pada n = k yaitu k k121...3121112 2 2 2 < + + + +.(iii) Perludibuktikanbahwapernyataandi atasberlakuuntukn=k+1yaituperlu dibuktikan berlaku) 1 (12) 1 (1 1...3121112 2 2 2 2+