7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

1/34

KUMPULAN SOAL dan JAWABAN MATEMATIKA

1. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (1,0)

Jawab :

y = mx + c 0 = m + c m = -c y = mx m y = m(x-1)

2. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (2,-1)

Jawab :

y = m(x-2) 1

3. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (x1,y1)

Jawab :

y = m(x-x1) + y1 y y1 = m(x-x1)

4. Tuliskan pers. Garis yang melalui titik (2,7) dan (3,10)

Jawab :

F(x) = m(x-2) + 7 F(3) = m(3-2) + 7 10 = m + 7 m = 3

F(x) = 3(x-2) + 7

5. Jika F(x) = 21x + 30a 1, F(17) = 23, maka nilai F(18) = .

Jawab :

F(x) = m(x-17) + 23 F(x) = 21(x-17) + 23 F(18) = 21(18-17) + 23 = 44

6. Jika F(x) = 2007x + 2008 2009, F(2001) = 2000, maka F(2002) = .

7. Tentukan pers parabola yang melalui titik (1,0)

Jawab :

F(x) = ax2 + bx + c F(x) = a(x-1)2 + b(x-1)

8. Tentukan pers parabola yang melalui titik (2,3)

Jawab :

F(x) = a(x-2)2 + b(x-2) + 3

9. Tentukan pers parabola yang melalui titik (1,0) dan (2,0)

Jawab :

F(x) = a(x-1)2 + b(x-1) atau F(x) = a(x-2)2 + b(x-2), maka

F(2) = a(2-1)2 + b(2-1) 0 = a + b b = -a

F(x) = a(x-1)2 + -a(x-1) F(x) = a(x-1)[(x-1) - 1] F(x) = a(x-1)(x-2)

Dengan cara yang sama melalui titik (x1, 0) dan (x2,0), maka F(x) = a(x-x1)(x-x2)

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

2/34

10. Diketahui F(x) = 3x2 + ax + b, jika F(1) = 0, F(2) = 0, maka F(3) = ....

Jawab :

F(x) = 3(x-1)(x-2), maka F(3) = 3(3-1)(3-2) = 6

11. Diketahui F(x) = ax

2

12x + b 3, jika F(1) = 0 dan F(3) = 0, maka F(5) = ....Jawab :

F(x) = [](x-1)(x-3) F(x) = [](x2 4x + 3) F(x) =4

12

(x2 4x + 3)

F(x) = 3(x-1)(x-3) dan F(5) = 3(5-1)(5-3) = 24

12. Jika F(x) = ax2 + bx + 15, F(-1) = 0 dan F(3) = 0, maka F(4) = ....

Jawab :

F(x) = [](x+1)(x-3) F(x) = [](x2 2x 3) F(x) =3

15

(x2 2x 3)

F(x) = -5(x+1)(x-3), maka F(4) = -5(4+1)(4-3) = -25

13. Jika F(x) = 3x2 + ax + b, F(1) = 4, dan F(2) = 4, maka F(3) = .

Jawab :

F(x) = 3(x-1)(x-2) + 4 F(3) = 3(3-1)(3-2) + 4 = 10

14. Diketahui F(x) = x2 + ax + b, jika F(1) = 1 dan F(2) = 2, maka F(3) = .

Jawab :

F(x) = (x-1)(x-2) + a(x-1) + 1 F(2) = (2-1)(2-2) + a(2-1) + 1 F(2) = a + 1

F(2) = a + 1 2 = a + 1 a = 1 F(x) = (x-1)(x-2) + x

F(3) = (3-1)(3-2) + 3 = 5

15. Diketahui F(x) = 2x2 + ax + b, jika F(1) = 5 dan F(2) = 9, maka F(3) = .

Jawab :

F(x) = 2(x-1)(x-2) + a(x-1) + 5 F(2) = 2(2-1)(2-2) + a(2-1) + 5

9 = a + 5 a = 4 sehingga F(x) = 2(x-1)(x-2) + 4x + 1, maka F(3) = 2.2.1 + 12 + 1 = 17

16. F(x) = ax2 + bx + c, F(1) = 3, F(2) = 7, dan F(3) = 13. Tentukan F(4) ?

jawab :

F(x) = a(x-1)(x-2) + b(x-1) + 3 F(2) = b + 3 b = 4F(3) = 2a + 7 a = 3 F(x) = 3(x-1)(x-2) + 4(x-1) + 3, maka F(4) = 24

17. Diketahui F(x) = ax2 + bx + c, jika F(1) = 1, F(2) = 3, dan F(3) = 7, maka F(4) = .

18. Jika F(x) = ax2 + bx + c, F(1) = , F(2) = 2/3, F(3) = , maka F(4) = ....

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

3/34

Jawab :

F(1) = F(n) =1+n

n F(n).(n+1) = n F(n).(n+1) n = 0, sehingga

a(x-1)(x-2)(x-3) = F(x).(x+1) x a.-2.-3.-4 = 1 a= -24

1

-24

1(x-1)(x-2)(x-3) = F(x).(x+1) x -

24

1.3.2.1 = F(4).5 4 F(4) =

19. Jika x2 = yx 1 dan y2 = 1 y, maka x4 + x3 + x2 + x + 1 = .

Jawab :

x4 = (yx 1)2 x4 = y2x2 2yx + 1

y2x2 2yx + 1 + x(yx 1) + yx 1 + x + 1 y2x2 yx + yx2 + 1

(1-y)x2

yx + yx2

+ 1 x2

yx + 1 = x2

(yx-1) = 0

20. Jika a, b, c akar-akar dari x3 5x2 + 3x 2 = 0, maka nilai

....=+++++b

c

c

b

c

a

a

c

a

b

b

a

Jawab :

b

c

c

b

c

a

a

c

a

b

b

a+++++ =

c

ba

b

ca

a

cb ++

++

+

abc

baab

abc

caac

abc

cbbc )()()( +++++

abc

abcccbaabbcbaacacbabc 3)()()( ++++++++

3)(

++++abc

acbcabcba= 5,43

2

)3(5=

21. Jika persamaan x3 x + 1 = 0 memiliki akar-akar a, b, c, maka nilai dari a8 + b8 + c8 = .....

Jawab :

a+b+c = 0, a.b.c = -1, ab+bc+ac = -1

a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 2(ab+bc+ac)

a3 + b3 + c3 = 3abc +2

3(a+b+c)( a2 + b2 + c2) -

2

1(a+b+c)3

a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 2{(ab)2+(bc)2+(ac)2}

{(ab)2+(bc)2+(ac)2} = (ab+bc+ac)2 2abc(a+b+c)

(ab)4

+ (bc)4

+ (ac)4

= {(ab)2

+(bc)2

+(ac)2

}2

2(abc)2

(a2

+ b2

+ c2

)a8 + b8 + c8 = (a4 + b4 + c4)2 2{(ab)4 + (bc)4 + (ac)4}= 22 2(-3) = 10

22. Jika P(x) = x4 + 2x3 +2x2 1 akar-akarnya a, b, c, d dan Q(x) = x6 + x5 + x4 + x2 + x + 1, maka

tentukanlah nilai dari Q(a) + Q(b) + Q(c) +Q(d)

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

4/34

Jawab :

ax4 + bx3 + cx2 +dx + e akar-akarnya x1, x2, x3, x4, maka

x1 + x2 + x3 + x4 =a

b , x1. x2. x3. x4 =

a

e

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 =

a

d

x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =a

c

Q(x) = (x2 x + 1).P(x) + 2

Q(a) + Q(b) + Q(c) +Q(d) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

23. Diketahui P(x) = x3 3x2 + 1mempunyai akar-akarnya x1, x2, x3. Jikaq(x) = x2 + 1, maka

tentukanlah nilai dari q(x1).q(x2).q(x3).

Jawab :

q(x1).q(x2).q(x3) = (x12+1) (x2

2+1) (x32+1) = {(x1.x2)

2 + (x12+x2

2)+1}(x32+1)

(x1. x2. x3)2 + x3

2(x12+x2

2) + x32 + (x1.x2)

2 + (x12+x2

2) + 1

1 + (x1+x2+x3)2 2(x1.x2+x2.x3+x1.x3) + (x1.x2+x2.x3+x1.x3)

2 2 x1.x2.x3(x1 + x2 + x3) + 1

2 + 9 2.0 + 0 2.-1.3 = 11 + 6 = 17

24. Diketahui akar-akar dari persamaan x3 2x2 + 3x 4 = 0 adalah a, b, c. Jika persamaan x3

+ px2 + qx + r = 0, mempunyai akar-akar (a+b), (b+c), (a+c), maka tentukan nilai dari

4p + 2q + r .

25. Jika p + a + 02 = ba , maka buktikan f(p) = 0, untuk f(x) = x + a

x

b2+ .

Jawab :

p + a + 02 = ba p = -( a + ba 2 )

f(p) = p + ap

b2+ -( a + ba 2 ) +

)a+a(- 2 b

b

+ 2a

= a - ba 2 +)a+a(- 2 b

b

= (a - ba 2 )(- a - ba 2 ) + b

=baa

bbaa

++2

22

f(p) =baa 2

0terbukti f(p) = 0

26. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar yang satu merupakan kuadrat yang

lainnya. Buktikan bahwa a2c + b3 3abc + ac2 = 0

Jawab :

x1 = x22 x1.x2 =

a

c x2 = 3

a

c

x1 + x2 = -a

b x22 + x2 = -

a

b 3

2

a

c+ 3

a

c= -

a

b

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

5/34

3

33

2

+

a

c

a

c=

3

a

b

3

33

22

33

=++

+

a

b

a

c

a

c

a

c

a

c

a

c

a

c

ac2 + 3a2c. -ab + a2c = -b3 ac2 3abc + a2c + b3 = 0 terbukti

27. Diketahui m dan n merupakan bilangan asli yang memenuhi system persamaan

=+=++

43

73322 mnnm

mnnmBerapakah nilai m2 + n2 ?

Jawab :

m2n + 3mn2 = 4 mn(m+3n) = 4 mn(7-3mn) = 4

7mn 3(mn)2

= 4 (3mn-4)(mn-1) = 0 mn = 1 dan mn = 34

=+=++

43

73322 mnnm

mnnm

=+=+

43

43

nm

nm m = 4 3n

mn =3

4 (4 3n)n =

3

4 12n 9n2 = 4 9n2 12n + 4 = 0

9n2 12n + 4 = 0 (3n 2)2 = 0 n =3

2dan m = 2

mn = 1 (4 3n)n = 1 4n 3n2 = 1 3n2 4n + 1 = 0

3n2 4n + 1 = 0 (3n 1)(n 1) = 0 n = 1 dan n =3

1

m = 1 dan m = 3

jadi m2 + n2 = (49

4, 2 , 3

9

1)

28. Tentukan semua penyelesaian dari

=+=+

3

3355

yx

yx

Jawab :

(x + y)5 = 35 x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 = 243

5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 210 xy [ (x+y)3 (x2y+xy2) ] = 42

xy [ 27 - xy(3) ] = 42 (xy)2

- 9xy + 14 = 0 xy = 2 dan xy = 7 t.mx + 3

2=

x x2 3x + 2 = 0 (2,1) dan (1,2)

29. Diketahui x, y, z memenuhi persamaan

=++=++=++

3

2

1

333

222

zyx

zyx

zyx

Hitunglah x4 + y4 + z4 ?

Jawab :

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2(xy + yz + xz) xy + yz +xz =2

1

x3 + y3 + z3 = 3xyz +2

3(x + y + z)(x2 + y2 + z2)

2

1 (x + y + z)3

-3 = 3xyz 32

1+ xyz =

6

1

(xy)2 + (yz)2 + (xz)2 = (xy + yz + xz)2 2xyz(x + y + z) (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 =12

7

x4 + y4 + z4 = (x2 + y2 + z2)2 2((xy)2 + (yz)2 + (xz)2 )

X a3

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

6/34

= 4 2.12

7= 2

6

5

30. Diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika f(1) = f(2) = f(3), dan f(0) + f(4) = 10. Tentukan nilai

dari f(1) + f(2) + f(3) ?

Jawab :

f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + (bx + c) f(0) = -6a + c f(4) = 6a + 4b + c

f(0) + f(4) = 10 4b + 2c = 10 2b + c = 5

f(1) = b + c

f(2) = 2b + c

f(3) = 3b + c +

6b + 3c 3(2b + c) f(1) + f(2) + f(3) = 15

31. Diketahui f(x) = ax2 + bx + c. Jika f(1) = 1, f(2) =2

1dan f(3) =

3

1. Tentukanlah nilai dari f(4)?

Jawab :

f(x) = a(x 1)(x 2) + bx + c

f(1) = b + c

f(2) = 2b + c -

b = - 2

1

dan c = 2

3

f(x) = a(x 1)(x 2) 2

1

x + 2

3

f(3) = 2a a =6

1 f(4) = 1

2

1=

2

1

32. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Jika f(1) =2

1, f(2) =

3

2, dan f(3) =

4

3

Maka tentukan nilai f(4) ?

Jawab :

f(x) = (x 1)(x 2)(x 3) + ax2

+ bx + c

f(1) = a + b + c =2

1. (1)

f(2) = 4a + 2b + c =3

2. (2)

f(3) = 9a + 3b + c =4

3. (3)

eleminasi pers. (1) dan (2) eleminasi pers. (2) dan (3)

a + b + c =2

14a + 2b + c =

3

2

4a + 2b + c =3

2_ 9a + 3b + c =

4

3_

3a + b =6

1... (4) 5a + b =

12

1 (5)

eleminasi pers. (4) dan (5)

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

7/34

3a + b =6

13a + b =

6

1a + b + c =

2

1

5a + b =12

1_ b =

24

7c =

4

1

2a =12

1

a =24

1 f(x) = (x 1)(x 2)(x 3)

24

1 x2 +

24

7x +

4

1

jadi f(4) = 64

3

33. Jika diketahui gof(x) = x2 2x 3 dan f(x) = x 3, maka tentukan nilai dari g(2) ?

Jawab :

f(x) = 2 x = 5

gof(x) = gof(5) = 52 2.5 3 = 12

34. Misalkan a dan b adalah bilangan real tak nol yang memenuhi 9a 12ab + 4b2 = 0.

Tentukan nilai darib

a

35. Diberikan tiga bilangan positif x, y, z yang semuanya berbeda.

Jika ,y

x

z

yx

zx

y=

+=

maka nilai yx

= .....

Jawab :

=+=+

==

xzyxyy

x

z

yx

zxxyy

x

zx

y

)(

)(2

xy + x2 xz = xz x + y = 2z

22

==+

z

z

z

yxjadi 2=

+=

z

yx

y

x

36. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi 21

4

4 +x

x

Jawab :

21

4

4 +x

x (x4)2 2x4 + 1 0 (x4 1)2 0

(x4 1) 0 (x2 + 1)(x2 1) 0 (x + 1)(x 1) 0

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 1

37. Tentukan semua bilangan tiga angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga

angka tsb di atas.

Jawab :

abc = 30(a + b + c) 100a + 10b + c = 30a + 30 b + 30c 70a = 20b + 29c

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

8/34

karena 30 kali maka c = 0 a = 07

2+b

jika b = 7, mak a = 2 sehingga bilangan tsb adalah 270

38. Tentukan nilai dari ....75cos75sin0808 =

Jawab :

( )( )040404040808 75cos75sin75cos75sin75cos75sin +=

( ) [ ]0404020220202 75cos75sin75cos75sin275cos75sin +

( )( )0402 150cos150sin1 32

1

8

11

3

16

7

39. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m,n) yang merupakan solusi dari

persamaan 124 =+nm

Jawab :

124=+

nm 4n + 2m = mn 4,

4

2

= mdan

m

mn

Maka m < 4 atau m > 4 (5,10), (6,6), (8,4)

40. Diketahui bahwa segi empat ABCD memiliki pasangan sisi yang sejajar. Segi empat tersebut

memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika berbentuk ....

41. jika 2x = 3, 3y = 4, dan 4z = 5, maka nilai dari 2xyz+1

jawab :

3y = 4 (2x)y = 4 2xy = 4

4z = 5 ((2x)y)z = 4 2xyz = 5

2xyz+1 = 5.2 = 10

42. fedcbadarinilaiTentukan

fe

ed

dc

cb

ba

+++++

=+=+=+=+=+

5

4

32

1

43. Diketahui

=+=+

141015

281937

yx

yxTentukan nilai

y

x?

Jawab :

2

1

141015

281937

=+=+

yx

yx

282030

281937

=+=+

yx

yx_

7

1=

y

x

7x - y = 0

44. Diketahui pers. x2 x 1 = 0. Tentukan

a. x13 + x2

3 b. x14 + x2

4 c. x15 + x1

5

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

9/34

Jawab :

a. (x12 + x2

2)(x1 + x2) = x13 + x1

2x2 + x1x22 + x2

3

x13 + x2

3 = (x12 + x2

2)(x1 + x2) x1x2 (x1 + x2)

= 3 . 1 + 1 = 4

b. (x12 + x22) (x12 + x22) = x14 + x12x22 + x12x22 + x24

(x14 + x2

4) = (x12 + x2

2)2 2(x1x2)2

= 32 2 = 7

c. (x13 + x2

3) (x12 + x2

2) = x15 + x1

2x22(x1 + x2) + x2

5

(x15 + x2

5) = (x13 + x2

3) (x12 + x2

2) x12x2

2(x1 + x2)

= 4.3 1.1 = 11

45. Diketahui x2 2x 1 = 0 akar-akarnya adalah dan .

Tentukan nilai dari

a. ( ) ( )33 b. (2 3 + 2)(2 3 + 2}

c.1313 2

2

2

2

+

d. ( 2 5 + 6)(2 5 +6}

jawab :

x2 2x 1 = 0 2 2- 1 = 0 2 2 - 1 = 0

2 = 2 + 1 2 = 2 + 1

a. ( ) ( )33 = - 3 (+) + 9 = -1 3.2 +9 = 2

x2 2x 1 = (x )(x ) = ( ) ( )33 = 2

b. ( 2 3 + 2)(2 3 + 2}

(2+ 1 3+2)(2+ 1 3 + 2) (3 )(3 ) = -2

c.1313 2

2

2

2

+

= 2)(

22

=+=+

46. Diketahui dan adalah akar-akar persamaan x2 x 1 = 0.

Tentukan

+

1

1

1

12

2

2

2

47. Diketahui dan adalah akar-akar persamaan x2 + x + 1 = 0.

Tentukan nilai dari a. 3

+ 3

b. 9

+ 9

c. 2008

+ 2008

Jawab :

2 + + 1 = 0 2 = - ( + 1) 2 + = -1

2 + + 1 = 0 2 = - ( + 1) 2 + = -1

a. 3 = 2 dan 3 = 2

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

10/34

3 = - (2 + ) 3 = - ( 2 + )

3 = 1 3 = 1

Maka 3 + 3 = 2

b. 9 = ( 3)3 = 1 dan 9 = (3)3 = 1

maka 9 + 9 = 2

c. 2008 = ( 3)669 . 2008 = (3)669.

= =

Maka 2008 + 2008 = + = -1

48. ....64162

64166 =+

Jawab :

64

1)264(

64

1)264( ++++

2

2

2

2

8

128

8

128 ++++

2

2

2

2

8

1

8

1.8.28

8

1

8

1.8.28 ++++

2222 22 babababa ++++

(a + b) + (a b) = 2a = 2.8 = 16

49. 54

54321

54321

54321

54321

54321

23

32

82

42

22

12

xxdarinilaiTentukan

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

+

=++++=++++=++++=++++=++++

50. Diketahui ablog a = 4, maka ....log3

=b

aab

Jawab :

ablog a = 4 bab

a ababab logloglog 33

=

log a = 4 log a + 4 log b = baabab log

2

1log

3

1

log b =4

3 log a =

aab

log4

3

2

14.

3

1=

4

9

2

3

4

3=+

51. Jika x + 11=

x, maka x9 + ....

19=

x

Jawab :

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

11/34

x = 11+

x

x + 11=

x x x2 x + 1 = 0 x2 =

x

1 x3 = -1

x9

= (x3

)3

= (-1)3

= -1, maka x9

+ =91

x -1 + -1 = -2

52. Diketahui persamaan kuadrat x2 2x 2 = 0 mempunyai akar p dan q.

Tentukan nilai dari (p2 + 2q 2)(q2 + 2p 2).

Jawab :

P2 2 = 2p dan q2 2 = 2q

(p2 + 2q 2)(q2 + 2p 2) = (2p + 2q)(2p + 2q) = 16

53. Diketahui persamaan kuadrat x2

+ px + 1 = 0 akar-akarnya adalah dan dan

Persamaan kuadrat x2 + qx + 1 = 0 akar-akar-akarnya adalah dan .

Tentukan nilai dari (-)( -)(+ )( + ).

Jawab :

(-)( -) = 2 + p + 1 dan (+ )( + ). = 2 p+ 1

2 + q + 1 = 0 2 + 1 = -q dan 2 + 5+ 1 = 0 2 + 1 = -q

2

+ p

+ 1 = p

- q

dan 2

+ 4 + 1 = -p- qJadi ( -)( -)(+ )( + ) = (p - q)(-p- q)

= -(p + q)(p q) = q2 p2

54. Jumlah dari9889

1

8778

1........

3223

1

2112

1

++

+++

++

+

Jawab :

)1()1(

1)1(

1)1(

1)1(.

1)1(

1

2112

122

++

++=

++

++

+++

=

+ nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

[ ] 1

11

)1(

1)1(

1)1(

1)1(

+=

+++

=++++

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

Jadi9889

1

8778

1........

3223

1

2112

1

++

+++

++

+

18

1

8

1

17

1

7

1....

13

1

3

1

12

1

2

1

11

1

1

1

++

+++

++

++

+

1 -3

2

3

1=

55. Hasil dari .....2000log

3

2000log

26564=+

Jawab :

5log34log2

5log

1

3

4log

1

2

2000log

3

2000log

2 66

66

20002000

20002000

6564+=+=+

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

12/34

6

12000log

62000 =

56. nilai dari3

1

)2(sin

sin

tan

)(tan=

++

ba

bjika

a

baadalah ....

Jawab :

3

1

)2(sin

sin =+ bab

3 sin b = sin (2a + b)

3 sin b = 2 sin a. [cos (a+b)] + sin a

2 sin b = 2 sin a [cos(a+b)]

sin b = sin a [cos(a+b)]

a

a

ba

ba

a

ba

sin

cos.

)cos(

)sin(

tan

)tan(

++

=+

= [ ][ ])cos(sinsin)cos(.sin

baabbaa

+ ++

= 1 +[ ]baa

b

+cos(sinsin

= 1 + 1 = 2

57. diketahui f(x) = 23

1 23 xxx mempunyai nilai maksimum dan minimum M dan m,

maka M m = ....

58. Suatu barisan geometri diketahui jumlah 10 suku pertama 64 sedangkan jumlah 20 sukupertamanya 80. Tentukan S30 ?

Jawab :

S10 =( )

1

110

r

ra

( )1

110

r

ra= 64

S20 =( )

1

120

r

ra

( )1

)1)(1( 1010

+

r

rra= 80

4

5)1( 10 =+r

4

110 =r

S30 = ( )1

)1(1.

1

)1(

1

()1)(1(

1

)1( 101010201020102030

+

=

+=

r

rarr

r

ra

r

rrrra

r

ra

S30 = 64.4

1

4

5.80

= 100 16 = 84

59. Nilai x + y + z jika

=+++=++

=++

6))()(log(

6)(log).(log

5)()(log

zxzyyx

zyyx

zyyx

Jawab :

mis log (x + y) = a, log (y + z) = b, log (x + z) = c

a + b = 5 .... (1) dari (1) dan (3) didapat c = 1

a..b = 6 .... (2) dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan a = 3

a + b + c = 6 .... (3) b = 3 dan b = 2

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

13/34

log (x + y) = 2 x + y = 100 ........... (1)

log (y + z) = 3 y + z = 1000

log (x + z) = 1 x + z = 10 +

x + y + z = 555

60. Lingkaran (3 ) x2 + ( + 1) y2 = + 7 mempunyai jari-jari = ....

Jawaqb :

(3 ) = ( + 1) = 1

Persamaan lingkaran menjadi 2x2 + 2y2 = 8 dan jari-jarinya = 2

61. Jikad

c

b

a= , maka ....

3

3=

dc

ba

Jawab :

d

bca =

dc

bd

bc

dc

ba

=

3

3

3

3 db

dc

d

dcb

dc

d

bdbc

3

)3(

3

3

62. Jika zyx 632 == , maka berlaku ....!

Jawab :

y

xzyzx

y

xzzxzx

y

xyx

zyx

zyx

+=

+==

==

== ==

.6log.

3log3log.

6log.3log.

6log3log2log

2

22

22

222

yxz

xy

yx

z

yx

xyz

111

1

+=

+=

+

=

63. Jika ...,23log12log62 == nnilaimakann

Jawab :

18log2

112log23log12log 22 nnnn == 2 18log12log2 nn =

( )( )

( )

( )( )

3241818log3

3log6log2log2log.3

3log6log2log2log.22log

3log3log6log2log2log.26log

3log2log.3log6log2log.6log2log.26log.2

12log3log6log2log.26log.2

63 ===

+=+=+

++=+

+++=+

++=+

njadinn

nnnn

nnnnn

nnnnnn

nnnnnnnn

nnnnn

64. jika ,124 33 ++=x maka nilai dari ....1

1

3

=

+

x

jawab :

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

14/34

,124 33 ++=x deret geometri yang a = 1, b = 3 2 , dan n = 3

Jadi makax ,12

1

12

1)2(1

33

33

=

=

( ) 212112

1

11

11

33

3

3

3

=+

+=

+

x

65. Nilai abc, abc 0,jira(a, b, c) hdala HP dari sistem persamaan

xz

zdanz

y

yy

x

x=

+=

+=

+ 144

,14

4,

14

42

2

2

2

2

2

Jawab :

14

4

14

4

14

4

2

2

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

y

yz

x

xy

z

zx

8

1

2

1.

2

1.

2

1..

2

1144

21144

2

1144

2

2

2

==

=+=

=+=

=+=

cbajadi

zzz

yyy

xxx

xyz =

+14

42

2

z

z

+14

42

2

x

x

+14

42

2

y

y

64 xyz = (4x

2

+1) (4y

2

+1) (4z

2

+1)

66. Diketahui log sinx + log cosx = -1, maka nilai yang memenuhi log(sinx + cosx) = (log n 1)

Jawab :

log sinx + log cosx = -1 sinx.cosx =10

1

log(sinx + cosx) = (log n 1)

log(sinx + cosx)2 = log n log 10 (sinx + cosx)2 =10

n

1 +10

2=

10

n n = 12

67. Jika n adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan linear

=+=+=+

1

1

1

xnz

zny

ynx

maka persamaan tsb tidak mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika nilai n =

Jawab :

1

1

1

=+=+=+

xnz

zny

ynx

x + y + z + nx + ny + nz = 3 (x + y + z)(n + 1) = 3agar tidak mempunyai penyelesaian nilai n = -1

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

15/34

68. Diketahui persamaan kuadrat (b c)x2 + (c a)x + (a b) = 0. Jika a, b, c membentuk barisan

aritmatika, maka jumlah kuadrat kedua akar persamaan tsb = ....

Jawab :

2b = a + c b =2

ca +

x1 + x2 =2

)(2

1)(

2

)()(

)()( =

=

+ =

ca

ac

cca

accbac

x1.x2 = 1

)(2

1

)(2

1

2

)2

(

)(

)(=

=

+

+

=

ca

ca

cca

caa

cb

ba

(x1 + x2)2 = 4 2 = 2

69. Jika f(x) + 2f(-x) = sinx untuk semua x real maka nilai dari 2f

2

= ..

Jawab :

f(x) + 2f(-x) = sinx f(x) = sinx 2f(-x) f(-x) = -sinx 2f(x)

f(x) + 2(-sinx 2f(x) = sinx-3f(x) = 3.sinx f(x) = -sinx

Maka nilai dari 2f

2

= 2.-sin(900) = -2

70. Jumlah dari ......2

3

2

3

2

3

2

33000log

2log

300log

2log

30log

2log

3log

2log

++++

Jawab :

3log

2log

2

3= 1

3log.2log

3log.2log

2log

3log3log

2log

== 2

1

2

3

2

313log

2log

30log

2log

== +

Jadi ......2

3

2

3

2

3

2

33000log

2log

300log

2log

30log

2log

3log

2log

++++

1 +2

1+

4

1+

8

1+ ..... =

2

2

11

1=

71. Buktikan bahwa 4x x4 3

Jawab ;4x x4 3 x4 4x + 3 0 (x 1)2(x2 + 2x + 3) 0 terbukti

72. Nilai x yang memnuhi pertidaksamaan 1logloglog 31

23

1

>

x adalah .....

Jawab :

1logloglog3

1

23

1

>

x 3

1

loglog3

1

2

>

x

32

33

1

3

12log

>>

xx ................ (1)

3

11log3

1

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

16/34

73. Tentukanlah semua solusi nyata untuk sistem persamaan

=+=+=+

14

14

14

yzx

xzy

zyx

74. Jika a dan b adalah bilangan nyata yang memenuhi persamaan

log (1 + a2) log a 2.log 2 = 1 log (100 + b2) + log b, maka nilai a + b = ....

jawab :

log (1 + a2) log a 2.log 2 = 1 log (100 + b2) + log b

log (1 + a2) + log (100 + b2) = log a + log b + 2.log 2 + 1

(1 + a2)(100 + b2) = 40ab

a2b2 + 100a2 + b2 + 100 = 40ab

100a2 20ab + b2 + a2b2 - 20ab + 100 = 0

(10a b)2 + (ab 10)2 = 0

10a b = 0 dan ab 10 = 0

a =10

bdan ab = 10 jadi a = 1 dan b = 10

maka nilai a + b = 11

75. Tentukan semua solusi nyata untuk sistem persamaan

xx .2007log

4

2007log

1

log

1200820082008 =+

Jawab :

Misalkanb

danax

1

2007log

11

log

120082008

== , maka

xx .2007log

4

2007log

1

log

1200820082008

=+ baba +

=+411

(a + b)2 = 4ab a2 2ab + b2 = 0 a = b

Jadi 2007loglog20082008 =x maka x = 2007

76. Nilai dari (4.cos2 9 3)(4cos2 27 3) = ....

Jawab :

cos 3a = cos a (4.cos2 a 3) 4.cos2 a 3 =a

a

cos

3cos

(4.cos2 90 3)(4cos2 270 3) = 00

0

0

0

9tan27cos

81cos.

9cos

27cos=

77. Jika f(x) = 4x+1, maka f(a + b) = .

Jawab :

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

17/34

f(a+b) = 4a+b+1

= 4a+1-1.4b+1

=11 4.4.

4

1 ++ ba )().(

4

1bfaf

78. Jika 3348

348ba +=

+, maka a + b = .

Jawab :

324

348

26

26.

26

26

)26(

)26(2

2

+=+

=++

+

=+

maka a + b = 3

79. Nilai x jika xyyxy yx dan 823729 342 == ++ adalah .

Jawab :

)1(...2

626333729

26

2

+=

+===

++

y

yx

y

y

x

y

y

xy yx

xyyxxyyx 3348234 =+=+

x(3y 4) = 3y x =43

3

y

y..(2)

dari (1) dan (2)

43

1

2

2

43

3

2

6

=

+

=

+ yyyy

y

y

2(3y 4) = y + 2 5y = 10 y = 2

Jadi nilai x = 3

80. Nilai yx

43

jika 67x = 27 dan 603y = 81

Jawab :

67x = 33 dan 67y = 32

81. Jika 8x+1 = 24x-1, maka niali x = .

Jawab :

8x+1 = 24x-1 6.log 2 = (x 1).log 3

8x+1 = 8x-1.3x-1 x.log 3 = 6.log 2 + log 3

8(x+1)-(x-1) = 3x-1 x= 1 + (6. 3log 2)

82 = 3x-1

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

18/34

82. Nilai x yang memnuhi pertidaksamaan3

3 1

101000

11001010

x

xxx adalah ....

Jawab :

5

4101010.1010

10100

110

101000

110.10

1010

110.10

22

5

222

2

1

3

3 1

xx

x

x

x

x

x

xx

x

xx

83. Bentuk sederhana baabab

abcC loglog ).( adalah ...

Jawab :

bc

bc

abcc

ab

bba

ab

ababab

.

.

..

.log

logloglog

84. Bentuk sederhana adalah

122

6

3

2

3

4

++Jawab :

122 3

2

3

4

++ merupakan deret geometri dengan r = 32

2dan a =1

Maka S3 =

12

3

12

)12(1

1

)1(

3

2

3

2

3.3

2

3

r

ra

Jadi)12(2

12

3

6

122

63

2

3

232

34

=

=++

85. Jika xyz 0 , x + y + z = 0, dan a =10x, b = 10y, c = 10z , maka

Nilai ....).().()(

111111

=+++yxzxzy cba

Jawab :

001,010

1010

10)10.()10.()10(

3

2111111

)(

1111.

11111111

=

=

+

++

++

++

++

++

++

++

x

x

yxz

zxy

zyzy

yxz

zxy

zyx

yxzzxyzyx

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

19/34

86. Nilai dari( ) ( )

12log

4log36log3

2323 adalah

Jawab :

( ) ( )12log

4log36log3

2323 =

( )( ) ( ) ( )8

12log

12log24

12log2

1

144log.2

12log2

1

4log36log4log36log3

3

3

3

3

3333

=+

87. Jika ....log,12 32

2

==a

bmaka

b

a

Jawab :

Log 122

10log=

b

a 610=

b

a

Maka 210log210log3

1log 63 ==

a

b

88. Jika ....1

log,5log2

31log

3

162 ===b

makabdana

a

Jawab :

4020.3

2.32log3log

216log2log

2023

2053

2

3

2

===

===

b

bdana

a

89. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ....

Jawab :

2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x misal : 2x = a, maka

2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x 22x 2.2x 3 = 0

2log (2x+1 + 3) = 2x a2 2a 3 = 0

2log (2x+1 + 3) = 2log 22x (a 3)(a 1) = 0

(2x+1 + 3) = 22x a = 3 2x = 3 x = 2log 3

90. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log x = 2log (3 xlog

2

1 2) + 2log 4 adalah ....

Jawab :

2log 2log x = 2log 4(3 xlog2

1 2)

2log 2log x = 2log (12 xlog22

)

2log x = (12 xlog22

)

3 2log x = 12 2log x = 4 x = 16

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

20/34

91. Semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi x + y = xy 1 dan x y adalah .

Jawab :

x + y = xy 1 y 1 0, y 1

xy x = y + 1 karena x y maka y 1 dan x 1

x =11+yy dan pasangan bilangan yg memenuhi hdala (0,-1)

92. ....cossin

costan 22=

++

xx

xx

Jawab :

( )

xxxx

xxxx

xx

xx

xxxxxx

xx

xx

xx

xx

sinsecsecsin

)sin)(secsin(sec

secsin

sinsec

secsincossincossec

secsin

1cossec

secsin

costan

22

2222

2222

+

++

+++

++

=++

93. Misalkan N sebuah bilangan asli dua angka dan M hdala bilangan asli yang diperoleh dengan

empertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N M hdala

Jawab :

mis : N = 21, maka M = 12 N M = 21 12 = 9

N = 31, maka M = 13 N M = 31 13 = 18

N = 41, maka M = 14 N M = 41 14 = 27

dst

sehingga N M = 9, 18, 27, . Maka bilangan prima yang selalu habis membagi N M = 3

94. Sepotong kawat dipotong menjadi 2 bagian, dengan perbandingan 3 : 2. Masing-masing bagian

kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi. Perbandingan lus kedua persegi = .

Jawab :

Misalkan panjang kawat x dibagi menjadi xdanx5

2

5

3,

Maka luas persegi masing-masing

22

5

2.

2

1

5

3.

2

1

xdanx

Sehingga perbandingannya 4:9100

4:100

9 =

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

21/34

95. Jika n adalah bilangan asli sehingga 3n adalah faktor dari 33!, maka nilai n terbesar yang

mungkin adalah .

Jawab :

Faktor dari 33! yang berkelipatan 3 adalah

33, 30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 33.11, 3.10, 33, 3.8, 3.7, 32.2, 3.5, 32, 3

11. 10. 8. 7. 2. 5. 3. 3. 33. 3. 3. 32. 3. 32. 3

11. 10. 8. 7. 2. 5. 315 jadi n = 15

96. Hitunglah nilai dari

22222222

2005

1

2004

11

4

1

3

11

3

1

2

11

2

1

1

11 ++++++++++++

Jawab :

22

2222

22 )1(

)1()1(

)1(

111

+++++

=+

++nn

nnnn

nn

=( )

( ) 2

2

)1(

1)1(2)1(

+++++

nn

nnnn

=( )

( )2

2

)1(

1)1(

+++

nn

nn

=)1(

11

)1(

1)1(

++=

+++

nnnn

nn,

Jadi22222222 2005

1

2004

11

4

1

3

11

3

1

2

11

2

1

1

11 ++++++++++++

( )

+

++

+

+

++++

+++

++

++

+

2005

1

2004

1

2004

1

2003

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11111

2005.2004

11

12

11

6

11

2

11

2004 +

2005

11 =

2005

20042004

97. Jika 1 + 2 + 3 + ... + n = aaa, maka tentukan nilai n dan aaa.

Jawab :

1 + 2 + 3 + ... + n = 100a + 10a + a

1 + 2 + 3 + ... + n = 111a

n(n+1) = 3.37a

n(n+1) = (6xa).37 sehingga a = 6 , n =36, dan aaa = 666

98. Jika aabb = (xy)2, maka tentukan nilai a, b, x, dan y.

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

22/34

Jawab :

(xy)2 merupakan bilangan kuadrat, maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6, dan 9

Bilangan yang dibagi 2 sisanya 0, maka bilangan tsb genap dan

Bilangan yang dibagi 2 sisanya 1, maka bilangan tsb ganjil

Sehingga bb = 44, jadi aabb = aa44 maka a = 7= 11 x a04 b = 4

= 11 x 704 x = y = 8

= 7744

= 882

99. Diketahui a, b, c, d, dan e adalah bilangan real. Jika a + b + c + d + e = 19 dan

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 99, maka tentukan nilai e!

Jawab :

a + b + c + d = 19 e , dan a2 + b2 + c2 + d2 = 99 e2

(a + b + c + d)2 = (19 e)2

(a + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)2 = (19 e)2

a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 361 38e + e2

a2 + b2 + c2 + d2 + 3(a2 + b2 + c2 + d2) = 361 38e + e2

4(a2 + b2 + c2 + d2 ) = 361 38e + e2

4(99 e2

) = 361 38e + e2

396 4e2 = 361 38e + e2

5e2 38e 35 = 0 jadi e =

100. Diketahui x, y, z, dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhi persamaan

=++

=++

=++

3333 1000

1111

zyx

tzyx

tzyx

Tentukan nilai x + y + z + t !

Jawab :

x + y + z = t (x + y + z)2 = t2

x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = t2

x2 + y2 + z2 = t2 2(xy + yz + xz)

)(

1

1111

xyxzyztxyz

txyzxyxzyz

tzyx

++=

=++

=++

3333 1000=++ zyx

3222 )(

2

1))((

2

33 zyxzyxzyxxyz +++++++ = 10003

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

23/34

3t(yz + xz + xy) + ( ) ( ) 322

1xz)yz2(xy-t

2

3tt ++ = 10003

t3 = 10003 jadi t = 1000 dan x + y + z = 1000

maka x + y + z + t = 2000

101. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f(x) =ee

ex

x

+. Tentukan nilai dari

f

2005

1+ f

2005

2+ f

2005

3+ .... + f

2005

2004

jawab :

f

2005

1= f

2005

20041 f(x) + f(1 x) = 1

f(x) =ee

ex

x

+dan f(1 x) =

ee

ex

x

+

1

1

ee

ex

x

++

ee

ex

x

+

1

1

( ) ( )

( )( )eeeeeeeeee

xx

xxxx

+++++

1

11

eeeeee

eeeeeexx

xx

++++++

1

1

= 1

Maka

2005

1+

2005

2004= 1

2005

2+

2005

2003= 1

2005

3+

2005

2002= 1

dst

2005

1002+

2005

1003= 1 +

= 1002

102. Diketahui a dan b adalah bilangan real yang memenuhi syarat

=+

=+

8b3b

443aba

23

23

tentukan nilai dari a2 + b2

jawab :

(a3 3ab2)2 = 442 dan ( b3 3a2b)2 = 82

193696 42246 =+ babaa 6496 24426 =+ babab

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

24/34

193696 42246 =+ babaa

6496 24426 =+ babab +

( )

( ) 322

322

624426

210

2000

200033

=+

=+

=+++

ba

ba

bbabaa

103. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhi persamaan

=+

=++

880

71

22 xyyx

yxxymaka tentukan nilai x2 + y2

104. Tentukan nilai A2 dimana A hdala jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan

x = 19 +

x

9119

9119

91

++

jawab :

x = 19 +x

91

2

38319

2

38319 +

+=x

x2 19 x 91 = 0 = 219383

238319 ++

2

38319 =x A = 383 maka A2 = 383

105. Didefinisikan f(n) =3 23 23 2 12112

1

+++++ nnnnnuntuk semua bilangan asli n.

Tentukan nilai dari f(1) + f(2) + f(3) + . + f(999999)

Jawab :

misalkan (n + 1) = x dan (n 1) = y, maka

f(n) =3 23 23 2 12112

1

+++++ nnnnn

=3 233 2

1

yxyx ++

Karena x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2) (x2 + xy + y2) =yxyx

33

, maka

3 233 2

1

yxyx ++=

yx

yx

33

sehingga

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

25/34

yx

yx

33

=)1()1(

11 33

++

nn

nn=

2

11 33 + nn

Jadi f(n) =2

11 33 + nn, maka

f(1) + f(2) + f(3) + . + f(999999) =

++

+

+

+

2

999998

2

1000000

2

3

2

5

2

2

2

4

2

1

2

3

2

2 33333333

2

1

2

100 = 49,5

106. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga2005

200633

33

=++zx

yx

Jawab :

( ) ( )( ) ( ) 2005

200622

22

33

33

=++++

=++

zxzxzx

yxyxyx

zx

yx

Karena 2005 dan 2006 relatif prima, maka ada factor yang sama dari kedua bilangan tsb

Jadi x + y = x + z y = z ( tidak mungkin)

(x2 xy + y2) = (x2 xz + z2) 2y + z = 2006

(y2 z2) = (xy xz) y + 2z = 2005 _

(y + z)(y z) = x(y z) 3y = 2007

x = y + z y = 669

2005

2006

2005

2006

=++++

=++

zzy

yzy

zx

yx

z = 668 dan x = 1337

107. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhi persamaan

x3 + y4 = z5 .

jawab :

x3 + y4 = z5 x3 = z5 y4

misalkan y = a6 dan z = a5, maka

x3 = z5 y4 x3 = a25 a24

x3 = a24(a 1) x = a8 3 1a

karena x bilangan asli, maka (a 1) harus bilangan pangkat tiga

jadi (a 1) = 1, 8, 27, 64, 125, dst untuk (a 1) = 1 a = 2

untuk a = 2, x = 28 , y = 26 , z = 25

108. Jika f(x) + 2f

x

1= 3x dan x 0, maka tentukan penyelesaian untuk f(x) = f(-x)

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

26/34

Jawab :

f(x) + 2f

x

1= 3x f(x) = f(-x)

f

x

1+ 2f(x) =

x

3_

x

2- x = x

x

2

-3f(x) = 3x x

6

x

4- 2x = 0

f(x) =x

2- x x = 2

f(-x) = x x

2

109. Tentukan nilai dari x3 + y3, jika diketahui x + y +yx = 19 dan 60

2

=+yxyx

Jawab :

110. Diketahui a, b, c, d, e, dan f hdala bilangan real. Jika 64===f

e

d

c

b

a

Maka tentukan322

322

45

45

ffddb

eecca

++

Jawab :

b

a= 64 a = 64b ;

d

c= 64 c = 64d ;

f

e= 64 e = 64f

322

322

45

45

ffddb

eecca

++

=( ) ( ) ( )

322

322

45

646464464645

ffddb

ffddb

++

=( )

322

32218

45

452

ffddb

ffddb

++

= 83

111. Jika( )

222

2005,

8

3

10

32

6

2

zyx

xyzxyztentukanmaka

xzzyyx

+++++

=+

=+

Jawab :

112. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin A.sin B.sin C !

Jawab :

sin2

A = - cos A sin2

A =

( )

bc

cba

4

22

= -bc

acb

4

222+

sin2 B =( )

ac

cab

4

22

=( )

bc

cbcba

4

2222 +

sin2 C =( )

ab

bac

4

22

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

27/34

( )

bc

aA

acba

42

1sin

22

222

dengan cara yang sama

( )

ac

bB

bcab

42

1sin

22

222

dan

( )

ab

cC

cbac

42

1sin

22

222

terbuktiCBA

CBA

ab

c

ac

b

bc

aCBA

8

1

2

1sin.

2

1sin..

2

1sin

8

1

2

1sin.

2

1sin..

2

1sin

4.

4.

42

1sin.

2

1sin..

2

1sin

2

222

222222

113. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa cos A. cos B. cos C8

1

Jawab :

Karena ( ) ( ) 42224222 ,0 acbamakacb

( ) 42224 acba = ( )( ) ( )( ) 4222222 acbacba +

= (2ab cos C).(2ac cos B) a4

= cos B . cos C bc

a

4

2

dengan cara yang sama, maka

cos A . cos B ab

c

4

2

, dan cos A . cos C ac

b

4

2

jadi

cos A . cos B . cos B . cos C . cos A . cos C bc

a

4

2

.ac

b

4

2

.ab

c

4

2

cos A . cos B . cos C 222

222

64 cba

cba

cos A. cos B. cos C8

1 terbukti

114. Pada segitiga ABC buktikan bahwa

12

1tan.

2

1tan

2

1tan.

2

1tan

2

1tan.

2

1tan =++ CACBBA

Jawab :

CA

CA

CB

CB

BA

BA

2

1cos.

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1cos.

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1cos.

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

++ = 1

CBA

CBA

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

+

CBA

ACB

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

+

CBA

BCA

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

28/34

CBA

BCAACBCBA

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1cos

2

1sin.

2

1sin ++

= 1

CBA

ACBCBCBA

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1sin

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin +

+= 1

1

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1

2

1sin.

2

1sin

=+

+

CBA

ACBCBA

( )

1

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin180

2

1sin.

2

1sin

=

+

CBA

ACBAA

1

2

1cos

2

1cos.

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1cos.

2

1sin

=+

CBA

ACBAA

1

21cos

21cos.

21cos

2

1sin.

2

1sin.

2

1sin

2

1cos

=

+

CBA

CBAA

1

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin.

2

1sin

=

+

CB

CBA

( )( )1

2

1

cos2

1

cos

2

1sin.

2

1sin.180

2

1sin

=

++

CB

CBCB

( )

terbukti

CB

CB

CB

CBCBCB

CB

CBCB

1

2

1cos

2

1cos

21cos

21cos

1

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin

2

1sin.

2

1sin

2

1cos.

2

1cos

1

2

1cos

2

1cos

2

1sin.

2

1sin.

2

1cos

=

=

+

=

++

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

29/34

115. Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa

Sin A + sin B + sin C 32

3

Jawab :

sin A + sin B = 2 sin ( )BA +21

. cos ( )BA 21

Karena cos ( ) 02

1 BA , maka sin A + sin B 2 sin ( )BA +

2

1

sin C + sin 600 2 sin ( )0602

1+C

Jadi sin A + sin B 2 sin ( )BA +2

1

sin C + sin 600

2 sin ( )0

602

1

+C +

sin A + sin B + sin C + sin 600 2 sin ( )BA +2

1+ 2 sin ( )060

2

1+C

sin A + sin B + sin C + sin 600 2 (2 sin ( )0604

1+++ CBA . cos ( )060

4

1+ CBA

Karena cos ( )0602

1+ CBA 0, maka

sin A + sin B + sin C + sin 600

2 (2 sin ( )0

604

1

+++ CBA

sin A + sin B + sin C 3.sin 600

sin A + sin B + sin C 3. 32

1terbukti

116. Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, maka buktitkan

3582

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan =+++++ CACBBA

Jawab :

( ) ( )acbcabcbacba +++++=++ 22

( ) ( )cbacbacba +++++=++ 22

( ) ( )cbacba ++=++ 32 ( ) ( )cbacba ++=++ 32

jadi

+++++

=+++++

82

1

tan.2

1

tan82

1

tan.2

1

tan82

1

tan.2

1

tan3

82

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan

CACBBA

CACBBA

+++ 24

2

1tan.

2

1tan

2

1tan.

2

1tan

2

1tan.

2

1tan3 CACBBA = ( )2413 + = 5 3

3582

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan8

2

1tan.

2

1tan =+++++ CACBBA terbukti

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

30/34

117. Buktikan bahwa2

1

2005

2003cos

2005

7cos

2005

5cos

2005

3cos

2005cos =+++++

Jawab :

2005

cos

.2005

sin

=

2005

2sin

2

1

2005

3cos

.

2005sin

=

2005

2sin

2005

4sin

2

1

2005

5cos

.

2005sin

=

2005

4sin

2005

6sin

2

1

2005

7cos

.

2005sin

=

2005

6sin

2005

8sin

2

1

2005

2003cos

.

2005sin

=

2005

2002sin

2005

2004sin

2

1 +

2005

2004sin

2

1

2005

2003cos

2005

7cos

2005

5cos

2005

3cos

2005cos

2005sin

=

+++++

2005

2003cos

2005

7cos

2005

5cos

2005

3cos

2005cos

+++++ =

2005sin

2005

2004sin

2

1

=

2005sin

2005

2004sin

2

1

=

2005sin

2005sin

2

1

2005

2003cos

2005

7cos

2005

5cos

2005

3cos

2005cos

+++++ =

2

1terbukti

118. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa

tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

Jawab :

tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

tan (A + B) (1 tan A . tan B) + tan C = tan A . tan B . tan C

- tan C (1 tan A . tan B) + tan C = tan A . tan B . tan C

- tan C + tan A . tan B . tan C + tan C = tan A . tan B . tan C

tan A . tan B . tan C = tan A . tan B . tan C terbukti

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

31/34

119. Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga ABC, maka buktikan bahwa

tan A . tan B . tan C 33

jawab :

tan A + tan B + tan C 3 3 tan.tan.tan CBA

tan A . tan B . tan C 3 3 tan.tan.tan CBA

(tan A . tan B . tan C)3 27 . tan A . tan B . tan C

(tan A . tan B . tan C)2 27 jadi tan A . tan B . tan C 33 terbukti

120. Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga ABC, maka buktikan bahwa

cosec A + cosec B + cosec C CBA2

1sec.

2

1sec.

2

1sec.

4

9

jawab :

Inga-inga bahwa AM HM, maka

CBA

CBA

111

3

3 ++

++ ( ) 9

111

++++

CBACBA

( ) 9sin

1

sin

1

sin

1sinsinsin

++++

CBACBA

cosec A + cosec B + cosec C CBA sinsinsin

9

++

cosec A + cosec B + cosec C CBA

2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4

9

cosec A + cosec B + cosec C CBA2

1sec.

2

1sec.

2

1sec.

4

9 terbukti

121. Dalam segitiga ABC, Buktikan sin A + sin B + sin C = CBA2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4

Jaweab :

sin A + sin B + sin C = CBA2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4

( ) ( ) CBABA sin2

1cos.

2

1sin.2 ++ = CBA

2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4

( ) CCBAC2

1cos.

2

1sin2

2

1cos.

2

1cos2 + = CBA

2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4

( )

+ CBAC 21

sin2

1

cos2

1

cos2 = CBA 2

1

cos.2

1

cos.2

1

cos4

BAC2

1cos.

2

1cos2

2

1cos.2 = CBA

2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4 , jadi

sin A + sin B + sin C = CBA2

1cos.

2

1cos.

2

1cos4 terbukti

7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

32/34

122. Buktikan bahwa (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc

Jawab :

Karena (b c)2 0, maka a2 (b c)2 a2

Dengan cara yang sama b2 (a c)2 b2 dan c2 (b a)2 c2

123. Jika a, b, c, dan d bilangan real positif dan berlakud

c

b

a< . Buktikan bahwa

d

c

db

ca

b

a