Kumpulan rumus matematika sma lengkap

41
Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna BARISAN DAN DERET U n = S n S n1 U n = Suku ke n S n = Jumlah n suku pertama berlaku untuk setiap deret Deret aritmatika u 2 – u 1 = u 3 – u 2 = u n – u n – 1 U n = a + (n1) b S n = ) U (a 2 n n = 1)b (n 2a 2 n Suku tengah U t = 2 U U n 1 a = suku awal b = beda = u n – u n – 1 u t = suku tengah Sisipan b’ = 1 k b b' = beda baru k = banyak sisipan Deret Geometri 1 2 3 1 2 n n u u u u u u U n = ar n1 S n = r 1 ) r a(1 1 r 1) a(r n n Suku tengah U t = n 1 U U a = suku awal r = rasio = 1 n n u u Sisipan 1 ' k r r r' = rasio baru k = banyak sisipan Deret Geometri tak hingga r a S 1 syarat 1 1 r

description

 

Transcript of Kumpulan rumus matematika sma lengkap

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

BARISAN DAN DERET

Un = Sn Sn1 Un = Suku ke n Sn = Jumlah n suku pertama

berlaku untuk setiap deret

Deret aritmatika u2 – u1 = u3 – u2 = un – un – 1 Un = a + (n1) b

Sn = )U(a2

nn = 1)b(n2a

2

n

Suku tengah Ut = 2

UU n1

a = suku awal b = beda = un – un – 1 ut = suku tengah

Sisipan b’ = 1k

b

b' = beda baru k = banyak sisipan Deret Geometri

12

3

1

2

n

n

u

u

u

u

u

u

Un = arn1

Sn = r1

)ra(1

1r

1)a(r nn

Suku tengah Ut = n1UU

a = suku awal

r = rasio = 1n

n

u

u

Sisipan 1' k rr r' = rasio baru k = banyak sisipan Deret Geometri tak hingga

r

aS

1

syarat 11 r

DIMENSI TIGA 1. Kedudukan titik dan garis dalam ruang

Aksioma : Melalui dua titik tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis tertentu 2. Kedudukan titik dan bidang dalam ruang

Aksioma : melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang 3. Kedudukan dua garis dalam ruang

Jika diketahui 2 garis l dan m, maka kedudukan l dan m adalah … (i) berpotongan jika l dan m mempunyai satu titik persekutuan (ii) sejajar, jika garis l dan m hanya pada satu bidang dan tidak mempunyai titik

sekutu (iii) bersilangan jika garis l dan m tidak sebidang

4. Kedudukan garis dan bidang dalam ruang (i) garis l terletak pada bidang α jika setiap titik pada l juga terletak pada bidang α (ii) garis l menembus bidang α jika garis l dan bidang α hanya mempunyai satu titik

sekutu. (iii) garis l dan bidang α sejajar jika garis l dan bidang α tidak mempunyai titik

sakutu 5. Kedudukan dua bidang dalam ruang Jika diketahui bidang α dan β maka kedudukan bidang tersebut adalah … (i) Sejajar, jika kedua bidang tidak mempunyai titik sekutu (ii) Berpotongan, jika kedua bidang α dan β itu bersekutu tepat pada satu garis. 6. Sudut antara dua bidang

mC

g

h

α

β

(i) tentukan garis potong antara bidang α dan bidang β (garis m) (ii) tentukan titik sembarang pada garis m (misalnya titik C) (iii) tarik garis g yang terletak pada bidang α, m dan melalui C (iv) tarik garis h yang terletak pada bidang β, m dan melalui C (v) sudut yang dicari (sudut ) adalah sudut antara garis g dan h

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

7. Sudut antara garis dan bidang

αT

mP

D

(i) cari titik tembus garis m dengan bidang (titik T) (ii) cari titik ujung garis (titik P) (iii)proyeksikan titik P pada bidang sehingga diperoleh titik D (iv) sudut yang dicari adalah sudut yang dibentuk garis m dan TD

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

EKSPONEN PANGKAT TAK SEBENARNYA Definisi Sifat-sifat Sifat Persamaan Sifat Pertidaksamaan

1. a,.a, a………...a = a n

2. a 0 = 1 untuk setiap a 0

3. a n = n

untuk setiap a 0 2

1

4. a n1

= n a untuk setiap a 0 dan n genap positif

5. a n1

= n a untuk setiap a bila n ganjil positif

n buah

a. a n . a m = a mn

b. m

na= mna dengan a 0

a

c. (a n ) m = a mn

d. a n/m = n ma

e. (a.b) n = a n .b n

f. nb

aba

; b 0

nn

1. Jika a x = a y dengan a 0 dan a 1, maka : x = y

2. Jika a x = b x dengan a = b atau x = 0 untuk setiap a ; b 0

Jika a a dengan a 0, maka x y

1. x y untuk a 1 2. x y untuk 0 a 1

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN Fungsi f (x) = a atau y = a dengan a 0 disebut fungsi eksponen x x

a dinamakan bilangan pokok, sedangkan variabel x dinamakan eksponen 1. Grafik y = a x dengan 0 a 1

a. Bila x = 0 maka y = a 0 = 1, jadi grafik selalu melalui titik (0, 1) b. Bila x , maka

xlim a x = 0 garis y = 0 disebut asimtot datar

c. Bila x -, maka x

lim a x = , bnerarti grafik makin ke kiri makin ke atas.

y = ax

dengan 0 a 1

x

y

1

0

2. Grafik y = a x dengan a 1

Dengan cara yang sama seperti diatas, didapat grafik sebagai berikut :

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

y = ax

dengan a 1

x

y

1

0

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Produk Cartesius : dari A dan B adalah A x B = { (x,y) x A dan x B, A dan B himpunan tak kosong } Sifat : 1. A x B B x A 2. Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka n(A x B) = n1 . n2 Relasi : Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B (R adalah relasi jika R A x B). Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak relasi dari A ke B atau dari B ke A ada 2 11 2n n. Fungsi : Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap elemen A dengan satu elemen B. Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak fungsi yang dapat dibuat dari A ke B ada fungsi. n n

21

x

BA

y f

Domain, Kodomain dan Range Fungsi dari A ke B dinotasikan dengan f : A B Jika x A dan y B, maka: f : x y atau y = f(x)

Bentuk y = f(x) disebut aturan fungsi. Dalam hal ini x disebut variabel bebas dan y disebut variabel tak bebas. Dapat pula dikatakan y peta (bayangan) dari x. Domain (Daerah asal) Fungsi Df = { x y terdefinisi }= A Kodomain (Daerah kawan) adalah Kf = B Range (Daerah hasil) adalah Rf = { y y = f(x), x Df } Operasi Aljabar pada Fungsi 1) Jumlah fungsi f(x) dan g(x) ditulis :

(f + g) (x) = f(x) + g(x) 2) Selisih fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :

(f – g)(x) = f(x) – g(x) 3) Hasil kali fungsi f(x) dengan konstanta k ditulis : Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

(k f)(x) = k f(x) 4) hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :

(f . g)(x)= f(x) . g(x) 5) Hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :

)x(g)x(f

)x(gf

6) Perpangkatan fungsi f(x) dengan n ditulis : n)x(f)x(nf

Definisi : Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Dg maka komposisi dari g dan f, ditulis g o f (berarti f dilanjutkan g) dengan aturan : g o f (x) = g(f (x)).

Domain : fgfg DD)x(fxD

Range : ggffg R)DR(gzzR

Sifat: 1. Tidak komutatif: f o g g o f 2. Assosiatif: ( f o g ) o h = f o (g o h) 3. Terdapat unsur identitas yaitu fungsi I(x) = x sehingga f o I = I o f = I Fungsi Invers Definisi : Jika fungsi f : A B diitentukan dengan aturan y = f(x), maka invers dari f adalah f1 : B A dengan aturan x = f 1 (y). f 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f 1 berupa fungsi maka f 1 dinamakan fungsi invers f 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f 1 berupa fungsi maka f 1 dinamakan fungsi invers

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Teorema: 1. Fungsi f 1 merupakan fungsi bijektif (satu-satu kepada) 2. Grafik fungsi f(x) dengan f 1(x) simetris terhadap garis y = x Sifat : 1. f o f 1 = f 1 o f = I 2. (f o g)1 = g1 o f 1 3. f o g = h f = h o g 1 4. f o g = h g = f 1 o h

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

FUNGSI KUADRAT Grafik parabola

a > 0 buka atas a < 0 buka bawah

Memotong sumbu -x di dua titik D > 0 Menyinggung sumbu -x D = 0 Tidak Memotong sumbu x D < 0

ax2 + bx + c definit positif maka 1. seluruh gambar diatas sumbu x 2. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x

Syarat yang harus dipenuhi … a > 0 dan D < 0

ax2 + bx + c definit negatif 1. seluruh gambar di bawah sumbu x 2. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi … a < 0 dan D < 0 Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak.

(xp,yp) titik puncak xp = a2b , yp =

a4D

g Garis g : sumbu simetri

g x = a2

b

y = a x2 + bx + c

a > 0 D > 0

x

a > 0 D = 0

x

a > 0 D < 0

x

a < 0D > 0

x

a < 0 D = 0

x

a < 0 D < 0

x

Untuk a < 0, Nilai y akan maksimum pada titik puncak, notasi ymaks.

ymaks = a4D

)a4D,a2

b(

a < 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Untuk a > 0, Nilai y akan minimum pada titik puncak, notasi ymin.

a > 0

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai … 1. f(x) = a ( x x1 ) (x x2 )

dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x xp)2 + yp

dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola HUBUNGAN PARABOLA DENGAN GARIS Hubungan parabola g : y = ax2 + bx + c dan garis f: y = mx + n dapat dirumuskan Sebagai berikut 1. Subtitusi kedua persamaan

ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b m)x + c n = 0

2. Tuliskan D = (b m)2 4 a (c n ) [D diskriminan ax2 + (b m) x + c n = 0, dengan kata lain diskriminan hasil subtitusi g dan f]

3. Dari Ds bisa diambil kesimpulan sbb D > 0 g dan f berpotongan di dua titik berbeda D = 0 g dan f bersinggungan) D < 0 g dan f tidak berpotongan.

ymin = a4D

)a4D,a2

b(

INTEGRAL

Jika f(x) adalah fungsi yang differensiabel maka

dx)x('f adalah c)x(f

A. Rumus Dasar 1.

c1nx

1n

1dxnx dengan 1n

2. cxlndx1xdxx

1

3. cxcosxdxsin 4. cxsinxdxcos

5. cxtanxdx2sec

6. cxcotxdx2csc

7. cxsecxdxtan.xsec

8. cxcscxdxcot.xcsc

B. Integral tentu

Jika maka c)x(gdx)x(f

)a(g)b(g)x(gdx)x(fb

a

b

a

C. Sifat-sifat integral 1. dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

2. dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

3. dx)x(fkdx)x(kf

4. dx)x(fdx)x(fa

b

b

a

5. dx)x(fdx)x(fdx)x(fc

a

c

b

b

a

6. 0dx)x(fa

a

x = a x = b

y = f(x)

y = g(x)

L = b

a

dx)x(g)x(f

D. Menghitung luas daerah

a b

y = f(x)

x

L= dx)x(fb

a

a b

y = f(x)

x

L= dx)x(fb

a

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

E. Volume Benda Putar

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

a b x

y = f(x)

v = b

a

2dxy a

b

y

x = f(y)

v = b

a

2dyx

F Integral Parsial duvuvdvu

LIMIT FUNGSI

axlim

f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika f(x) = f(a) ax

lim

Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat, nilai f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a).

axLim

axLim

f(x) = L

f(a) = L f(x) kontinu di a

a

L

axLim

f(x) = L

f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a

a

L

axLim

f(x) tidak ada

f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di

a

Operasi pada limit

1. ax

Lim

[ f(x) + g(x) ] = ax

Lim

f(x) +ax

Lim

g(x)

2. ax

Lim

[ f(x) g(x) ] = ax

Lim

f(x) ax

Lim

g(x)

3. ax

Lim

[ C f(x) ] = C ax

Lim

f(x), C konstanta

4.ax

Lim

[ f(x) g(x) ] = ax

Lim

f(x) ax

Lim

g(x)

5. ax

Lim g(x)

f(x) = g(x)Lim

f(x)Lim

ax

ax

, dengan ax

Lim

g(x) 0

6. ax

Lim

[ f(x) ]n = [ax

Lim

f(x)]n

Bentuk tak tentu Bentuk 0

0 , , , 0

Limit bentuk 0

0

Bentuk ax

Lim g(x)

f(x) dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 disebut bentuk 00 . Bentuk ini diselesaikan

dengan cara … Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini

diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut. Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Metode L’hopital

axlim )(

)(xgxf bentuk

00

maka ax

lim )()(

xgxf =

axlim )(

)(xgxf

Limit bentuk

mnjika

mnjika

mnjika

qxpx

bxaxpa

mm

nn

x

0...

lim1

1

Limit bentuk Bentuk umum : Cara penyelesaian :

Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca : )(xf + g(x) )

xLim )(xf g(x)

g(x) f(x)

g(x) f(x)

=

xLim

g(x) f(x)

g(x) f(x)

menjadi bentuk . Selesaikan

(Lihat sebelumnya)

xLim cbxxa 2

1 qpxxa 22 =

1. a2

pb untuk a = a1 = a2

2. untuk a1 > a2 3. untuk a1 < a2

Limit fungsi trigonometri Untuk x 0 Nilai dari sinx x tan x x cos x 1

21 x2 sec x 1 +

21 x2

tan x sin x 21 x3

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

LINGKARAN Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran dengan pusat dan berjari-jari R 0) (0,

222 Ryx

Persamaan Lingkaran dengan pusat dan berjari-jari R b)(a,

222 )()( Rbyax

Persamaan umum Lingkaran 022 CByAxyx

Pusat BA21

21 ,

CBAR 2412

41

Persamaan Garis Singgung Persamaaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m 222 Ryx

21 mRmxy

Persamaaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m

222 )()( Rbyax

21)( mRaxmby

Persamaan garis singgung pada lingkaran dan melalui 2R2y2x )1y ,1x(

211 .. Ryyxx

Persamaan garis singgung pada lingkaran dan melalui

222 )()( Rbyax ) ,( 11 yx

211 ))(())(( Rbybyaxax

Persamaan garis singgung pada lingkaran dan melalui

022 CByAxyx)1y ,1x(

0)()( 121

121

11 CyyBxxAyyxx

Persamaan garis singgung yang ditarik dari titik dengan )1y ,1x( )1y ,1x(

gp

g3

g2

(x2, y2)

(x3, y3)

x2 + y2 = R2

Langkah-langkah : Tentukan garis polar (gp) dengan persamaan 2

11 .. Ryyxx Subtitusikan gp ke persamaan sehingga diperoleh dan 222 Ryx ) ,( 22 yx ) ,( 33 yx

Persamaan garis singgungnya adalah dan 2222 ..: Ryyxxg 2

333 ..: Ryyxxg

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

LOGARITMA Definisi :

ba log = c b = a c dengan a 0 ; a 1 dan b 1 a dinamakan bilangan pokok dari logaritma. Dalam hal a = e = 2,718…..maka = In b be log(In b disebut logaritma natural ; e disebut bilangan Euler) Sifat-sifat logaritma

1. xya log = xa log + ya log ; x 0 ; y 0

2. y

xa log = xa log - ya log ; x 0 ; y 0

3. na xlog = n xa log ; x 0

4. xa log = a

xp

p

log

log =

ap log

1; a ; x 0 ; a 0 ; x 1

5. xa log = xn xnn ana loglog

6. ana xlog = x n

7. 1 ; 01 log aa log a

Sifat persamaan

Jika , maka x = y yx aa loglog Sifat pertidaksamaan

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Jika , maka xa log ya log1. x y untuk a 1 2. x y untuk 0 a 1

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA Fungsi yang berbentuk y = ; a 0; a 0 dan x 0 disebut fungsi logaritma. xa logUntuk menggambarkan grafik fungsi diatas akan dilihat dalam dua kejadian yaitu bila 0 a 1 dan bila a 1.

EKSPONEN & LUGARITMA 

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

y = dengan 0 a 1 xa log

Bentuk y = mempunyai arti x = a ,dengan menggunakan caraseperti pada fungsi eksponen, maka diperoleh sifat berikut :

xa log y

a. Bila y = 0 , maka x = 1, jadi grafik selalu melalui titik (1, 0) b. Bila y , maka x = 0alim

x

y

ini berarti garis x = 0 sebagai asimtot tegak

c. Bila y -, maka x = y

yalim ini berarti makin kebawah grafik makin ke

kanan.

(a)

1

y = xa log

0 a 1

x

y

(b)

1

a 1

x

y

y = xa log

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya. Pernyataan dibedakan menjadi: 1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan. 2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau

lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika.

2. Pernyataan Berkuantor

2.1 Pernyataan Berkuantor Universal (umum) Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata semua atau setiap. Notasi: dibaca semua/setiap. pContoh: 1) Semua siswa ingin lulus ujian 2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2

2.2 Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus)

Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada atau beberapa.

Notasi: dibaca ada /beberapa p. p Contoh:

(1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru (2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir

3. Pernyataan Majemuk

3.1 Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p dan q” yang dibaca “p dan q” Tabel kebenaran Konjungsi:

p q p q B B S S

B S B S

B S S S

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa 

p  q bernilai benar apabila p benar, q benar. Selain dari itu p  q bernilai salah.

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

3.2 i dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q

Disjungsi Disjungs ” yang dibaca “p atau q”.

abel Kebenaran Disjungsi:

T

p q p qB B S S S S

B S B

B B B

3.3

q” yang dibaca:

2) q hanya jika p 4) q syarat perlu bagi p

Tabel Kebenaran Implikasi:

Implikasi (Pernyataan Bersyarat) Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p 1) jika p maka q 3) p syarat cukup bagi q

p q p q B B S S S B

B S B

B S B

3.4 v an tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca:

3) q syarat cukup dan perlu dibagi p

Ekivalensi (Biimplikasi) Eki alensi dari dua pernyata1) p jika dan hanya jika q 2) p syarat cukup dan perlu dibagi q

)()( pqqpqp

Tabel Kebenaran Ekivalensi:

p q p q B B S S S B

B S B

B S S

4. Negasi

4.1 nyataan p ditulis ~p dan dibaca:

i alnya 

benar. Selain dari itu p  q bernilai salah.

eadaan, kecuali apabila p benar dan q salah.

 tunggalnya sama selain dari itu salah.

Negasi dari Pernyataan Tunggal Negasi dari per

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilabenar apabila salah satu pernyataan tungg

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilai benar untuk semua k

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilai benar apabila nilai kebenaran pernyataan

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

1) Tidak p 2) Bukan p 3) Tidak benar p

Tabel kebenaran:

p ~p B S B

S

4.2 n B

h y ~p : ada x tidak y ~p : semua x tidak y

Contoh

1)

2) anjil

3) negatif

4) 7 ~p : semua x berlaku x 7

4.3 Negasi dari Pernyataan Majemuk

4.3.1 N si

~(p q) ~p ~q

4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi ~(p q) ~p ~q

4.3.3 Negasi dai Implikasi

~(p q) p ~q

4.3.4 N (q p)]

p ~q q ~p

. Variasi Pernyataan Bersyarat

tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu n kontraposisi.

Negasi dari Pernyataa erkuantor p : semua x adala p : ada x adalah y

: p : Semua siswa hadir di kelas ini ~p : Ada siswa tidak hadir di kelas ini p : Semua bilangan prima adalah ganjil ~p : Ada bilangan prima yang tidak gp : Ada bilangan prima yang negatif ~p : Semua bilangan prima tidakp : Ada harga x sehingga x <

egasi dari Konjuga

egasi dari Ekivalensi ~(p q) ~[(p q) ~(p q) (q p)

5

Dari implikasi p q dapat dibuat invers, konvers, daImplikasi : p q Konvers : q p

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Invers : ~ p ~q Kontraposisi : ~q ~p

Tabel kebenaran

p q ~p ~q p q ~p ~q q p ~q ~p B B S S S B B B B B B

B S B

S S B

S B S

B S B

B B S

B B S

B S B

1) dengan kontraposisi:

2) gan konvers ~p ~q q p

sukses

Kontraposisi: Jika kamu tidak sukses, maka kamu tidak rajin

. Tautologi dan Kontradiksi

pernyataan yang selalu benar Contoh : p ~p

Dari tabel terlihat bahwa: Implikasi ekivalen p q ~q ~p Invers ekivalen den

Contoh: Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu sukses Invers : Jika kamu tidak rajin, maka kamu tidakKonvers : Jika kamu sukses, maka kamu rajin

6

Tautologi adalah

p ~p p p ~B S B B

S B

7. Sifat operasi Logika

7.1 Sifat Id

(2). p p p

7.2 S

(2). p q q p

7.3 S

(2). p (q r) (p q) r

 pernyataan yang selalu salah 

ontoh : p  ~p  

empoten (1). p p p

ifat Komutatif (1). p q q p

ifat Assosiatif (1). p (q r) (p q) r

Kontradiksi adalah

C

p  ~p  p  p  ~B S  B  S 

S  S 

 

7.4 S

(2). p (q r) (p q) r

7.5 S d

(2). (4). p k k

k : kontradiksi

7.6 Sifat Komplemen

(5). ~k = t (3). ~(~p) p

7.7 S

(2). ~(p q) ~p ~q

7.8 Sp q ~q p p q

. Penarikan Kesimpulan

8.1 p q … premis 1

ifat Distributif (1). p (q r) (p q) r

ifat I entitas (1). p t t (3). p t p

p k p t : tautologi

(1). p ~p t (4). ~t = k (2). p ~p k

ifat Idempoten (1). p~(p q) ~p ~q

ifat Implikasi

8

Modus Ponens

kesimpulan ... q

2 premis ... p

8.2 M

p q … premis 1 odus Tollens

kesimpulan ... p~

2 premis ... q~

8.3 S

p q … premis 1 ilogisme

kesimpulan ...r p

2 premis ...r q

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

MATRIKS Bentuk umum suatu matriks adalah :

A =

mn2m1m

n22221

n11211

a::::aa

::::::::::

a::::aa

a::::aa

Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n. Transpos suatu matriks

Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya Kesamaan dua matriks A = B 1. Ordo A = Ordo B 2. elemen-elemen yang seletak nilainya Operasi Jumlah C = A + B 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B 2. ci,j = ai,j + bi,j; i baris dan j kolom Sifat operasi penjumlahan 1. Komutatif : A + B = B + A 2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks A sehingga A + (A) = 0 5. (A+ B)t = At + Bt

Definisi A B = A + (B) Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0. Matriks A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan 1.

Perkalian dengan konstanta

C = k A 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i baris dan j kolom

Sifat perkalian dengan konstanta p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka

(p + q) A = p A + q A p ( A + B) = p A + p B p (q A ) = ( p q) A

Operasi Kali C = A B 1. Cm x n = B mxpA pxn

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

2. = + + … + ijc 1ia j1b 2ia j2b ipa pjb

Sifat-sifat operasi kali 1. Tidak komutatif: A B B A 2. Asosiatif: (A B) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC 4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C 7. (A . B)t = Bt At Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol Determinan Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau A.

1. A = A=a11 a22 a12 a21

22a21a12a11a

2. A =

33a32a31a23a22a21a13a12a11a

A=a1133a32a23a22a a12

33a31a23a21a +a13

32a31a22a21a

Cara lain adalah dengan metode Sorrus

A = 323122211211

333231232221131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat det (A B) = det(A) det (B) det (A + B) det(A) + det(B) A ordo nxn det(k A) = kn det(A) det (At) = det(A) det ( A1 ) = Adet

1

Invers Matriks Invers dari matriks A ditulis A1 dan didefinisikan sebagai berikut A1 invers A 1. A matriks ordo n x n

2. A A1 = A1 A = I

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

A = A1 =

dc

ba

A1

ac

bd

Sifat Invers matriks 1. A = B1 B = A1 2. (A1)1 = A 3. (A B )1 = B1 A1 A B = C A = C B1 A B = C B = A1 C Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular 2. A tidak punya invers 3. det A = 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

PELUANG Kaidah pencacahan 1. n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) ….. 3.2.1 2. Permuasi

)!(

!

rn

nPn

r

Permutasi siklis = (n – 1)!

Permutasi dengan p, q, r unsure sama = !!!

!

rqp

n

3. Kombinasi

)!(!

!

rnr

n

r

nC n

r

Binomial Newton : nnnnn bn

nba

nba

na

nba .....

2.

10)( 221

Peluang Suatu Kejadian

1. Peluang = muncul yang hasilseluruh banyaknya

munculmungkin yang hasil b

anyaknya

2. Kisaran nilai peluang A adalah 1)(0 AP

1)()( cAPAP 3. Frekuensi harapan hasil A = )(APn

n = banyaknya percobaan Kejadian Majemuk

1. P(AB) = P(A) + P(B) + P(AB) 2. Kejadian saling lepas : P(AB) = P(A) + P(B) 3. Kejadian saling bebas : P(AB) =P(A)P(B)

PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c a bilangan real dan a 0 Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah

x1,2 = aDb

2

x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 4ac D disebut diskriminan SIFAT OPERASI AKAR

Sifat jumlah a

bxx 21

Sifat kali a

cxx 21.

Sifat pengurangan a

Dxx 21

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar

x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2

2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar

(x1 x2)2 = 2a

D

(x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1 x2 4. selisih kuadrat akar-akar

x12 x22 = (x1 + x2) (x1 x2)

5. jumlah kebalikan akar-akar

1

1x

+ 2

1x

= 21

21

xxxx

Jenis-jenis akar 1. Dua akar real berlainan D > 0 2. Dua akar kembar D = 0 3. Tidak memiliki akar real D < 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

4. Dua akar real D 0 5. Kedua akarnya real positif, jika

(D 0 ; x1 + x2 > 0 ; x1 x2 > 0) 6. Kedua akarnya real negatif

(D 0 ; x1 + x2 < 0 ; x1 x2 > 0) 7. Kedua akar berbeda tanda, jika

(D > 0 ; x1 x2 < 0) 8. Akar berlawanan tanda

( baca x1 = x2) x1 + x2 = 0 b = 0

9. Akar berkebalikan ( baca x1 = 2

1x

) x1 x2 = 1 c = 1

10. Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional.

Menyusun Persamaan Kuadrat baru : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

PERTIDAKSAMAAN Sifat-sifat - a > b ac > bc untuk c > 0 - a > b ac < bc untuk c < 0 - a > b a + c > b + c untuk c R - ab > 0 maka a/b > 0 - ab < 0 maka a/b < 0 - Jika a > b dan b > c maka a > c - a2 > 0 untuk setiap a R Harga mutlak

- 0

02

xuntuk

xuntuk

x

xxx

- ax maka – a < x < a

- ax maka x < – a atau x > a

- yx x2 > y2 (x – y)(x + y) > 0

- yx x2 < y2 (x – y)(x + y) < 0

Irasional

- }0 ,)({ aaxf 0)( )( 2 xfaxf

- )()( xgxf 0)( 0)( )()( xgxfxgxf

- )()( xhxf 0)( 0)( )()( 2 xhxfxhxf

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

PROGRAM LINEAR Programing : Alokasi sumber-sumber yang terbatas untuk memenuhi tujuan tertentu. Linier Programing : Programing yang menyangkut masalah-masalah dimana hubungan

antara variable-variabelnya semua linier.

Beberapa pengertian matematik yang akan dijumpai pada masalah program linier antara lain : 1. Konstrain, yaitu syarat-syarat kondisi yang berhubungan dengan sumbernya. 2. Fungsi Tujuan atau Fungsi Obyektif atau Fungsi Sasaran, yaitu suatu fungsi yang

berbentuk Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 +………….+ C n x n dimana xi 0 untuk setiap i = 1, 2, 3

…..n. C 1 , C 2 , C 3 ,……. C n biasanya disebut koefisien biaya.

3. Jawab Feasible, yaitu jawab yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan. 4. Jawab Infeasible, yaitu jawab yang tidak memenuhi syarat-syarat yang diberikan. Tujuan dari program linier adalah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi obyektif yang berbentuk linier dengan syarat-syarat linier. Pada umumnya model matematik dari bentuk program linier dalam dimensi dua (pada bidang) adalah :

Memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan Z = C 1 x 1 + C x 2 dengan syarat : 2

K 1 a 1 x 1 + a x d 1 2 2

K 2 b 1 x 1 + b x 2 d 2 2

x 1 0 dan x 2 0

Titik Ekstrim Titik ekstrim adalah suatu titik yang terletak pada daerah jawab sedemikian rupa sehingga fungsi obyektif akan mencapai harga ekstrim di titik tersebut. Contoh :

1. Maksimalkan fungsi tujuan yang berbentuk Z = 5x1 + 3x 2 dengan syarat :

K 1 3x + 5x 15 1 2

K 2 5x 1 + 2x 2 10

x 1 0 dan x 0 2

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Jawab : Kita tentukan dulu daerah jawabannya (daerah feasible) pada bidang XOY (bidang yang di bangun oleh x1 dan x2), maka daerah jawab adalah OABC dan garis putus-putus adalah garis fungsi tujuan. Terlihat garis-garis yang dibangun oleh fungsi tujuan dan mempunyai kedudukan yang paling tinggi

adalah garis yang melalui titik B (1920

,1945

). Ini

berarti bahwa Z = 5x + 3x mencapai harga

maksimal di titik B. Akibatnya didapat 1 2 0

3

5

x1

x 2

A

C

2 5

5x1 + 2x2 = 10 K2

3x1 + 5x2 = 15 K1 B

37,121945

.3 1920

.5Zmaks

2. Maksimalkan fungsi tujuan Z = 2,5 x + y dengan syarat :

K 1 3x + 5y 15

K 5x + 2y 10 2

x 0 dan y 0

0

3

5

x1

x 2

A

C

2 5

5x1 + 2x2 = 10 K2

3x1 + 5x2 = 15 K1 B

Jawab : Ternyata fungsi tujuan z = 2,5 x + y berimpit dengan garis 5x + 2y = 10, akibatnya

5maksZ 3. Maksimalkan z = 2x + 2y dengan syarat :

2

1

14

y

x

K1

K2 K 1 x y 1

K 2 x 2y 4

x 0 ; y 0 Dari gambar diatas kita dapatkan x ~ dan

y ~. Dalam hal ini jawab tak terbatas. Dengan kata lain fungsi sasaran tidak mempunyai harga maksimal.

4. Tentukan harga maksimal dari fungsi tujuan z = 3x – 2y dengan syarat :

K 1 x + y 1

x

y

0 1 2

2

1

K2

K1

K 2 2x + 2y 4

x 0 dan y 0

Jawab : Pada persoalaan ini kita dapatkan bahwa tidak

ada daerah yang memenuhi syarat yang diberikan. Akibatnya tak ada harga x dan y yang memenuhi fungsi tujuan.

5. Seorang penjaja buah-buahan yag menggunakan gerobak, menjual apel dan pisang. Harga

pembelian apel Rp. 1000,00 tiap kg dan pisang Rp. 400,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp. 250.000,00 serta daya tampung gerobak tidak lebih dari 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel dua kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin, pedagang tersebut harus membeli berapa kg apel dan berapa kg pisang.

Jawab : Misalkan bahwa banyaknya apel yang harus dibeli x kg, dan pisang y kg. Maka model matematikanya adalah : Fungsi tujuan : z = p x + ½p y ; p keuntungan tiap kg apel

Dengan syarat : K 1 1000 x + 400 y 250.000

K 2 x + y 400

x 0 ; y 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

A

B

C

400

250 O 400

625 K1

K2

x y z = p (x + ½ y) O 0 0 0 A 250 0 250 p B 150 250 275 p C 0 400 250 p

Terlihat dari tabel diatas bahwa p. Jadi

banyaknya apel yang harus dibeli adalah 150 kg dan pisang 250 kg.

275Zmaks

6. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tak lebih dari 48 orang yang

terbagi dalam kelas utama dan kelas ekonomi. Selain itu mampu membawa bagasi maksimal seberat 1440 kg. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi tak lebih dari 60 kg sedangkan untuk kelas ekonomi maksimal 20 kg. Apabila biaya (harga kasrcis) untuk kelas utama dan kelas ekonomi masing-masing adalah Rp. 100.000,00 dan Rp. 50.000,00 perorang, tentukan banyaknya penumpang tiap-tiap kelas agar hasil penjualan karcis terbesar.

Jawab : Misalkan banyaknya penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang, maka didapat model matematika sebagai berikut :

A

B C

48

240 48

K1K2

72

Fungsi tujuan : z = 100.000 x + 50.000 y

Syarat batas : K 1 x + y 48

K 2 60x + 20y 1440

x 0 ; y 0

x y z O 0 0 0 A 24 0 2.400.000 B 12 36 3.000.000 C 0 48 2.400.000

Agar hasil penjualan karcis mencapai angka terbesar maka jumlah penumpang kelas utama harus 12 orang sedangkan kelas ekonomi 36 orang.

STATISTIKA Ukuran Pemusatan

1. Rata-rata (Mean) n

ixx

2. Median = nilai tengah setelah data diurutkan 3. Modus = nilai yang paling sering muncul 4. Kuartil = nilai perempat setelah data diurutkan

Q1 = kuartil bawah Q2 = median Q3 = kuartil atas Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran pemusatan akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran pemusatan akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran pemusatan akan ditambah n Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran pemusatan akan dikurang n Ukuran Penyebaran 1. Jangkauan = data terbesar – data terkecil

2. simpangan rata-rata = n

xix

3. simpangan baku = n

2)xix(

4. jangkauan kuartil = Q3 – Q1 5. simpangan kuartil =

21 ( Q3 – Q1)

Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran penyebaran akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran penyebaran akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Data Berkelompok

f

id.if

sxf

ix.ifx

I2d1d

1dbTModus

Mf

kfn21

bTMedian

1Qf

kfn41

bT1Q

3Qf

kfn43

bT3Q

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

SUKU BANYAK Bentuk umum

anxn + an1x

n1 + an2xn2+.... +a1x+ao

Teorema sisa

1. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh ax maka sisanya adalah f(a) 2. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh bax maka sisanya adalah

abf

3. Suku banyak f(x) dibagi oleh maka sisanya adalah )bx)(ax( qpx dengan

ba

bfafp

)()(

dan ba

abfbafq

)()(

4. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh g(x) dan hasil baginya adalah h(x) maka f(x) = g(x).h(x) + sisa derajat f(x) = derajat g(x) + derajat h(x) jika g(x) fungsi linear maka sisa berupa konstanta jika g(x) polinom berderajat n maka sisa merupakan polinom dengan derajat

maksimum n – 1

Teorema faktor Jika f(x) suatu suku banyak , maka f(h)=0 jika dan hanya jika x – h merupkan faktor dari f(x)

Menentukan akar-akar rasional suku bnayak Jika f(x) suku banyak maka x – h faktor dari f(x) jika dan hanya jika h adalah akar dari f(x) = 0 Algoritma menentukan akar-akar 1. Jika ao = 0 maka x = 0 merupakan akar dari f(x) = 0, jika tidak lakukan langkah 2 2. Selidiki apakah jumlah koefisien-koefisien f(x) = 0

Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari f(x) = 0 Jika tidak, lakukan langkah 3

3. Periksa apakah jumlah koefisien-koefisien berpangkat genap sama dengan koefisien-koefiien berpangkat ganjil

Jika ya, maka x = −1 merupakan akar dari f(x) = 0 Jika tidak lakukan langkah 4 4. Tentukan faktor-faktor dari ao (ao 0), lakukan langkah coba-coba

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

TRANSFORMASI

Jika titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M sehingga memiliki bayangan (x’, y’) maka berlaku

'

'

y

x

y

xM

MATRIKS TRANSFORMASI

Matriks pencerminan

terhadap sumbu x

10

01

terhadap sumbu y

10

01

terhadap garis y = x

01

10

terhadap garis y = - x

01

10

Matriks Rotasi

01

1090oR

10

01180oR

01

10270oR

cossin

sincosR

Dilatasi faktor skala k

k

k

0

0

Rotasi terhadap titik (a, b)

by

ax

by

axR

'

'

R = matriks rotasi Dilatasi terhadap titik (a, b) dengan faktor skala k

by

ax

by

ax

k

k

'

'

0

0

Pencerminan terhadap garis nmxy yang melalui (a, b)

by

ax

by

ax

m

m

m

mm

m

m

m

'

'

1

1

1

21

2

1

1

2

2

2

22

2

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

TRIGONOMETRI

sinx = MIDE

cosx = MISA

tanx = SADE

DE

SA

MI

x

sec x = xcos1

csc x = xsin1

cot x = xtan1

KUADRAN

I

semua +

IIsin = +

IItan = +

IIcos = +

Sudut Istimewa

0o 30o 45o 60o 90o

sin 0 21 2

21 3

21 1

cos 1 321 2

21 2

1 0

tan 0 331 1 3 -

Identitas 1. sin2 x + cos2 x = 1 2. sin2 x = 1 cos2 x 3. cos2 x = 1 sin2 x

4. tan x = xcos

xsin

5. cot x = sin x

xcos

6. sec x = xcos

1

7. csc x = xsin

1

8. sec2 x = tan2 x + 1 9. csc2 x = cot2 x + 1

Aturan Segitiga 1. Aturan sinus pada segitiga ABC

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

2. Aturan cosinus pada segitiga ABC Abccba cos2222 Baccab cos2222 Cabbac cos2222

3. Luas segitiga ABC L = ½ . bc sin A = ½ . ac sin B = ½ . ab sin C

L = ))()(( csbsass

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

s = ½ (a + b + c)

Rumus Trigonometri 1. sin ( + ) = sin cos + cos sin 2. sin ( ) = sin cos cos sin 3. cos ( + ) = cos cos sin sin 4. cos ( ) = cos cos + sin sin

5. tan ( + ) =

tan tan 1

tan tan

6. tan ( ) =

tan tan 1

tan tan

7. sin 2 = 2 sin cos 8. cos 2 = cos2 sin2

cos 2 = 2cos2 1 cos 2 = 1 2sin2

9. tan 2 =2tan1

2tan

10. sin2 = 2cos21

21

11. cos2 = 2cos21

21

12. sin 3 = 3sin 4sin3 13. cos 3 = 4cos3 3cos 14. 2sin cos = sin (+) + sin () 15. 2cos sin = sin (+) sin () 16. 2 cos cos = cos (+) + cos () 17. –2sin cos = cos (+) cos () 18. sin + sin = 2 sin 2

1 (+) cos 21 ()

19. sin sin = 2 cos 21 (+) sin 2

1 ()

20. cos + cos = 2cos 21 (+) cos 2

1 ()

21. cos cos = 2 sin 21 (+) sin 2

1 ()

Bentuk a cos x + b sin x 1. a cos x + b sin x = k cos (x)

k = 22 ba dan tan = ab

2. y = a cos x + b sin x + c ymax = k + c dan ymin = k + c

3. Agar acos x + bsin x = c bisa diselesaikan maka 222 cba Persamaan trigonometri 1. sin x = sin x = + n. 360o x = 180o – + n. 360o 2. cos x = cos x = + n. 360o 3. tan x = tan x = + n.180 o

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

TURUNAN

Definisi : Turunan pertama dari fungsi y = f (x) didefinisikan sebagai berikut :

f ‘ (x) = y’ = p

)x(f)px(flim

dx

dy0p

RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. Jika y = c ( konstanta ) , maka y’ = 0 2. Jika y = x n , maka y’ = n.x n-1 3. Jika y = sin x , maka y’ = cos x 4. Jika y = cos x , maka y’ = –sin x 5. Jika y = tan x , maka y’ = sec2x 6. Jika y = cot x maka y’ = – csc2 x 7. Jika y = sec x maka y’ = secx tan x 8. Jika y = cscx maka y’ = – csc x.cot x 9. Jika y = ln x , maka y’ =

x

1

10. Jika y = ex , maka y’ = ex SIFAT-SIFAT TURUNAN 1. Jika y = u ± v , maka y’ = u’ ± v’ 2. Jika y = u . v , maka y’ = u’.v + u.v’ 3. Jika y =

v

u , maka y’ = 2v

'v.uv'.u

4. Jika y = u n , maka y’ = n. u n-1 . u’ 5. Jika y = f ( u ) , maka y’ = f ’ ( u ) . u’ 6. Jika y = f ( t ) dan t = g (x) , maka

dx

dt.

dt

dy

dx

dy

PENGGUNAAN TURUNAN 1. f ’ (x ) = 0 didapat titik kritis 2. f ’ (x) > 0 f (x) naik 3. f ‘ (x) < 0 f (x) turun 4. f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0 didapat titik ekstrim maksimum 5. f ‘ (x) = 0 dan f ” (x) > 0 didapat titik ekstrim minimum

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah.

Vektor dengan titik pangkal A(ax,ay, az) dan titik ujung B(bx, by, bz) dinotasikan dengan

. AB = AB

a j k

zz

yy

xx

ab

ab

ab

cara menuliskan vektor, yaitu …

= = (a1, a2, a3) = a1 i + a2 ˆ + a3

3

2

1

a

a

a

Misalkan = (a1, a2, a3) a

Notasi : (baca panjang vektor ) |a |

a

Definisi : = | |

a2

32

22

1 aaa

Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya

=

a b

bdanaarah

ba

Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar

a = adalah vektor posisi titik A OA

b = adalah vektor posisi titik B OB

Maka = AB

b

a

operasi pada vektor Secara analitik (aljabar)

A ( a x , a y , a z )

B (ax, ay, az)

x

z A

B

yO

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Misalkan a = (a , a2, a3),

b = (b1, b2, b3) a , k

1 bilangan real

Ma 2 + b2, a3 + b3)

s s

0 s hingga + = + =

ka

a +

b = (a1 + b1, a

k a = (k a1, k a2, k a3)

Berikut ini adalah ifat- ifat penjumlahan vektor

1. Komutatif : + = + a

a

b

b

2. Assosiatif : (

a +

b ) +

C = a + (

b +

C )

3. Ada unsur identitas yaitu = (0, , 0) e0

a

0

0

a

a

4. Ada vektor a sehingga a +( a ) =

0

perasi pada vektor Secara geometriO

p a. Lukiskan jajaran genjang. ktor diagonal.

e i g l

+ = + =

Vektor k mempunyai arah.

ebih jauh vekto

= = (a1, a2, a3)

Aturan Jajaran Genjang

Titik angkal

a dan b harus sam

a +

b adalah ve

Aturan segitig

a

U

jung a m njad pan ka

b

ab

PQ

QR

PR

dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. 0

Vektor 0 tida

gambaran l r

a adalah

Misalkan a = = (a1, a2, a3) PQ

Maka

aQP

a

b

a +

b

a +

b

a P

Q

R b

a

a

P

QQ

P

konstanta,

)(

suatukakb

aengansegarissejajarbakb

d

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

a sejajar dengan

= k b

a

b

a searah dengan = k , k > 0

b a

b

a berlawanan arah dengan = k , k < 0

b

a

b

a = ,

= , =

TP b

TQ

C

TR

PQ : QR = m : n

Maka b = nm

n

a + nm

m

C

Perkalian titik a .

= cos b |a |

|b|

Misalkan = (a1, a2, a3 ), = (b1 , b2, b3)

ab

Maka berlaku … a = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

b

= ( , ) cos = a b

|b ||a|

ba

= |b ||a|

b a ba ba

3 32211

Sifat-sifat 1. =

ab

b

a

2. ( + ) = + a

b

C

a

b

a

C

3. = 2 a

a

a

4. tegak lurus = 0 a

b

a

b

Proyeksi suatu vektor pada vektor yang lain Vektor adalah proyeksi vektor pada vektor . Rumusan dan sebagai berikut …

Ca

b

C |c|

b

bac

.

bb

bac

2

.

ka , k > 0

a

k

, k < 0a

m nP

T

RQ

a

b

C

a

b

a

C

b