SISTEM DIGITAL

Penyederhanaan Fungsi Boolean(K-Map, Kondisi Don’t Care)

Penyederhanaan diagram logika

• Untuk mendapatkan se-efisien mungkin desain rangkaian dan jumlah gerbang logika yang digunakan

• Tujuan:– Proses lebih cepat– Biaya lebih murah

• Metode:– Menggunakan aturan aljabar boolean (secara matematis) – Menggunakan Karnaugh map (K-map)– Menggunakan tabulasi (Quine McCluskey)

2

Penyederhanaan secara matematis

Elemen identitas x + 0 = x x . 1 = x

Komplemen x + x’ = 1 x . x’ = 0

Tertutup x + x = x x . x = x

x + 1 = 1 x . 0 = 0

Involusi (x’)’ = x

Komutatif x + y = y + x xy = yx

Asosiatif x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z

Distributif x (y + z) = xy + xz x + (yz) = (x + y) (x + z)

DeMorgan (x + y)’ = x’y’ (xy)’ = x’ + y’

Absorpsi x + xy = x x (x + y) = x

3

Penyederhanaan secara matematis

Contoh: F1 = (A’+B)A

= AA’ + AB= 0 + AB= AB

F2 = (A+B’)(A+B)= AA + AB + AB’ + BB’= A + AB + AB’ + 0 = A(1 + B + B’)= A(1)= A

4

Penyederhanaan secara matematis

F3 = AB + A’C + BC= AB + A’C + BC(A+A’)= AB + A’C + ABC + A’BC= AB(1+C) + A’C(1+B)= AB + A’C

F4 = y+xy’= (y+x)(y+y’)= y+x = x+y

5

K-map

• Setiap kombinasi variabel (minterms) dipetakan ke kotak yang unik

• Setiap 2n kotak bernilai 1 yang berdekatan (mempunyai beda nomor kotak 1 bit) digabungkan

• Hasil yang didapatkan dalam bentuk sum of product (SOP)

• Bisa untuk menyederhanakan fungsi boolean dengan jumlah variabel 2, 3, 4, dst.

6

K-map 2 variabel

x

y

1

1

x

y

1

1 1

• Contoh– F = xy’ + x’y’

F = y’

– F = x + x’y + xy

F = x + y

7

x

y

x'y’ x'y

xy’ xy

x

y

m0 m1

m2 m3

K-map 3 variabel

x

y

z

m0 m1 m2m3

m4 m5 m6m7

x

y

z

1 1

1 1

8

• Contoh– F = x’y’z’ + x’yz’ + xyz + xy’z

F = xz + x’z’

– F(x,y,z) = Σ(0,2,4,5,6,7)

F = x + z’

– F(x,y,z) = Σ(1,3,5,7)

F = z

x

y

z

1 1

1 11 1

x

y

z

1 1

1 1

K-map 4 variabel

w

x

y

z

m0 m1 m2m3

m4 m5 m6m7

m12 m13 m14m15

m8 m9 m10m11

9

• Jumlah kotak yang digabungkan menentukan jumlah variabel dalam suatu minterms– 1 kotak merepresentasikan 4 variabel– 2 kotak merepresentasikan 3 variabel– 4 kotak merepresentasikan 2 variabel– 8 kotak merepresentasikan 1 variabel– 16 kotak merepresentasikan nilai 1

K-map 4 variabel

w

x

y

z

11

1 1

1

1

1

1

• F(w,x,y,z) = Σ(1,3,4,6,9,11,12,14)

F(w,x,y,z) = xz’ + x’z

10

• F(w,x,y,z) = m0+ m2+ m8+ m9+ m10+ m11+ m12+ m14

F(w,x,y,z) = wx’ + wz’ + x’z’

w

x

y

z

11

1 11

1

1

1

K-map

• Contoh:– Menentukan sum of minterms dan menyederhanakan

fungsi boolean: F = A(B+C)+A’B+BC

= AB + AC + A’B + BC = AB(C+C’) + AC(B+B’) + A’B(C+C’) + BC(A+A’)

= ABC + ABC’ + ABC + AB’C + A’BC + A’BC’ + ABC + A’BC

= ABC + ABC’ + AB’C + A’BC + A’BC’

11

K-map

F = ABC + AB’C’ + AB’C + A’BC + A’BC’

F = AB’ + BC + A’B

A

B

C

1

1 1 11

12

K-map

• Penyederhanaan dari bentuk product of sum– Menggabungkan kotak dengan nilai 0 untuk mendapatkan

F’– Dengan menggunakan aturan DeMorgan, didapatkan F =

(F’)’

• Contoh:– Dari tabel kebenaran berikut, fungsi boolean dapat

dinyatakan dalam dua bentuk: • sum of products dan product of sums; • kedua bentuk tersebut dapat disederhanakan menggunakan K-

map

13

K-map

w x y z F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

• Tabel kebenaran

14

• Dapat dituliskan sebagai:F(w,x,y,z) = Σ(0,1,2,3,12,13,14,15) atauF(w,x,y,z) = Π(4,5,6,7,8,9,10,11)

w

x

y

z

11

00

0

11

1

0 0

1

0

1 1

0 0

K-map

• Untuk sum of products, digabungkan kotak yang bernilai 1, didapatkan:

F= w’x’+wx• Untuk product of sums, digabungkan kotak yang

bernilai 0, didapatkan komplemen dari F: F’= w’x+wx’

komplemen dari F’ didapatkan F=(F’)’= (w’x+wx’)’ = (w+x’)(w’+x)

dimana, (w+x’)(w’+x) = w’x’+wx

15

Kondisi don’t care

• Nilai yang dihasilkan suatu fungsi boolean yang tidak mempengaruhi hasil output

• Bisa diasumsikan bernilai 0 atau 1• Bisa digunakan untuk penyederhanaan fungsi

boolean • Dinotasikan dengan ‘x’• Contoh:

– F(w,x,y,z) = Σ(0,1,3,5,6,7,11)– d(w,x,y,z) = Σ(4,15)

16

Kondisi don’t care

• Dengan don’t care

F=w’x + yz + w’y’

• Tanpa don’t care

F=x’yz + w’z + w’x’y’ + w’xy

17

z

w

x

y

11 1

1

1 1 1x

x

x

w'

y

z

w'

y'

F

y

w

x

z

11 1

1

1 1 1

x'

w'

yz

w'

y'

F

z

x'

w'

yx

Gerbang NAND - NOR

18

• Rangkaian digital sering diimplementasikan menggunakan gerbang NAND atau NOR

• Perlu konversi dari gerbang selain NAND dan NOR ke gerbang NAND atau NOR

Gerbang NAND

=

=

=

x x'

xy

xy

xy

x + y

x

xy

x

y(x’y’)’ = x + y

x’

((xy)’)’ = xy

19

• Operasi logika dengan gerbang NAND

• Gerbang NAND dapat dinyatakan sebagaix

x

y

y

(xy)'

x’ + y’ = (xy)’

AND-invert

Invert-OR

Gerbang NAND

• Prosedur untuk mengkonversikan rangkaian logika yang terdiri dari gerbang AND dan OR ke gerbang NAND:– Konversi semua gerbang AND ke NAND dalam bentuk

AND-invert– Konversi semua gerbang OR ke NAND dalam bentuk

invert-OR– Periksa semua lingkaran (simbol NOT)

• Jika pada pada garis yang sama tidak ada pasangan lingkaran, maka tambahkan inverter atau ubah variabel input menjadi komplemennya

20

Gerbang NAND

xy‘

yz

yz‘

F

21

• Dari fungsi boolean F = (xy’ + yz) (y + z’)

dikonversi menjadi xy‘

yz

y'z

F

Gerbang NOR

=

=

=

x x'

xy

xy

x + y

xy

x

xy

x

y(x’ + y’)’ = xy

x’

((x + y)’)’ = x + y

22

• Operasi logika dengan gerbang NOR

• Gerbang NOR dapat dinyatakan sebagaix

x

y

y

(x + y)'

(x’y’) = (x + y)’

OR-invert

Invert-AND

Gerbang NOR

• Prosedur untuk mengkonversikan rangkaian logika yang terdiri dari gerbang AND dan OR ke gerbang NOR adalah ekivalen dengan konversi ke gerbang NAND– Setiap gerbang OR dikonversi ke OR-invert– Setiap gerbang AND dikonversi ke invert-AND– Jika pada pada garis yang sama tidak ada pasangan

lingkaran (simbol NOT), maka tambahkan inverter atau ubah variabel input menjadi komplemennya

23

Gerbang NOR

xz‘

xy

y'z

F

24

• Dari fungsi boolean F = (xz’ + xy) (y’ + z)

dikonversi menjadix’z

y’

y'z

F

x’

Referensi

• Morris Mano, Digital Design 5th Edition, Pearson Prentice Hall, 2011

25

Latihan

1. Sederhanakan fungsi berikut menggunakan K-mapa) F(w,x,y,z) = Σ(1,4,5,6,12,13,14)b) F(w,x,y,z) = Σ(1,3,5,7,8,10,12,14)

2. Sederhanakan fungsi berikuta) F(w,x,y,z) = Π(1,3,5,7,13,15)b) F = B + AB’

3. Sederhanakan fungsi boolean dengan kondisi don’t care berikut ini:a) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,8,10,15); d(A,B,C,D) = Σ(0,2,9)b) F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,12,14,15); d(A,B,C,D) = Σ(3,9,11,15)

26

Latihan4. Gambarkan rangkaian menggunakan gerbang

NAND dari fungsi berikut:a) F = (x’yz’ + x’z) (xz’ + xyz) (x + y’)b) F = abc’ + bc + a’b + ab’c’

5. Sederhanakan fungsi berikut dan implementasikan menggunakan dua level gerbang NAND

F = w’ + x + z’ + x’y6. Gambarkan rangkaian NAND untuk

mengimplementasikan komplemen dari fungsi berikut

F(w,x,y,z) = Σ(0,1,2,3,6,10,11,14)

27