Kuliah or II

56
susy susmartini o perations research II, 2006 OPERATION RESEARCH II 3 SKS MATERI KULIAH 1

description

Operation Research

Transcript of Kuliah or II

Page 1: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

OPERATION RESEARCH II

3 SKSMATERI KULIAH 1

Page 2: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

DYNAMIC PROGRAMMING

KARAKTERISTIK DP: PROBLEM DAPAT DIBAGI DALAM STAGE, DENGAN SUATU

POLICY DECISION, SETIAP STAGE TERDIRI DARI SATU ATAU LEBIH STATE

(POSSIBLE CONDITIONS) PENGARUH POLICY DECISION PADA SETIAP STAGE

MENGUBAH CURRENT STATE KE DALAM SUATU STATE YANG BERHUBUNGAN DENGAN NEXT STAGE

SOLUTION PROBLEM DIDISAIN UNTUK MENDAPATKAN OPTIMAL POLICY BAGI PROBLEM SECARA KESELURUHAN

OPTIMAL POLICY PADA SUATU STAGE BERSIFAT INDEPENDENT DARI POLICY PADA STAGE SEBELUMNYA

SOLUTION PROCEDURE DIMULAI DENGAN MENENTUKAN OPTIMAL POLICY PADA LAST STAGE

RECURSIVE RELATIONSHIP :

nnnnn xsfMinMaxsf ,/*

Page 3: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

nnnnn xsfMinMaxsf ,/*

**

*

,

dan,,pada

tujuanfungsiuntukkontribusi:,

)pada(:

untuk:

untuk:

)......,,2,1(untuklabel:

Jumlah:

nnnnn

nn

nnn

nnn

n

n

xsfsf

xdecisionnstagesstate

nstagexsf

sx of value optimalx

nstagevariabledecisionx

nstagestatecurrents

Nnstagen

stageN

Page 4: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

JENIS DYNAMIC PROGRAMMING

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

PROBABILISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

ns

nnn xsf ,

Stagen

State : 1ns

1*

1 nn sf

Stagen+1

nxofoncontributi

nsState :

nnn xsf ,

nxdecision

1*1nf

sfn*

1

2*1nf

1

2

s

2c

1c

sc

1p

sp2p

probability

Contribution from stage n

Page 5: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

Contoh soal 1:No. of

Medical Teams

Thousands of Additional Person-Years of Life

Country

1 2 3

0

1

2

3

4

5

0

45

70

90

105

120

0

20

45

75

110

150

0

50

70

80

100

130

Page 6: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Penyelesaian :

)({max)(

2,1)}()({max)(

)()(),(

),(max)(

)(max)(),(

5

)(

33,.....,1,0

33

1,.....,1,0

1

,.....,1,0

3

3

1

3

1

3

1

33

xpsf

nforxsfxpsf

xsfxpxsf

xsfsf

sx

xpxpxsf

integersnegativenonarex

xtoSubject

xpMaximize

sx

nnnnnsx

nn

nnnnnnnn

nnnsx

nn

nini

niiinnnnn

i

ii

iii

nn

nn

Page 7: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0

1

2

3

4

5

0

50

70

80

100

130

0

1

2

3

4

5

3s )( 33 sf 3x

n = 3

Page 8: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

0

50

70

80

100

130

20

70

90

100

120

45

95

115

125

75

125

145

110

160 150

0

50

70

95

125

160

0

0

0 or 1

2

3

4

2x

2s

)()(),( 22322222 xsfxpxsf

)( 22 sf 2x

n = 2

Page 9: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0 1 2 3 4 5

5 160 170 165 160 155 120 170 1

1s

1x )()(),( 11211111 xsfxpxsf

)( 11 sf 1x

n = 1

Optimal Solution :

000.170

1

134

3

415

1

3

3

2

2

1

lifeofyearspersonadditional

x

s

x

s

x

Page 10: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

CONTOH SOAL 2 :

THE MINIMUM EMPLOYMENT REQUIREMENT

SEASON SPRING SUMMER AUTUMN WINTER SPRING

REQUIREMENT 255 220 240 200 255

BIAYA KELEBIHAN TENAGA KERJA

$ 2,000 / ORG / MUSIM

BIAYA PERUBAHAN JUMLAH TENAGA KERJA

$ 200 / (PERBEDAAN JUMLAH TK)2

Page 11: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

PENYELESAIAN :

• STAGE 1 : SUMMER• STAGE 2 : AUTUMN• STAGE 3 : WINTER• STAGE 4 : SPRING

255,1:

000,2200

255

255,200,240,220

pdkerjatenagaminimumkebutuhan

255

4,3,2,1

, pdkerjatenagajumlah

401

1

21

4321

4

xxsnKetika

xsState

rxxxnstageforcost

xr

rrrr

nstager

x

n

nstagex

nn

nnnn

nn

n

n

State :

Stagen

Stagen+1

ns nx

nnn xsf ,

nx

nnnn rxsx 000,2200 2

nn xf *1Value :

Page 12: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

4,3,2,1255:

000,2200

:4

1

21

iforxrtosubject

rxxxMinimize

functionObject

ii

iiiii

Feasible Possible Cost

1 220

2 240

3 200

4 255

nnx 1 nn xsnr

255220 1 x

255240 2 x

255200 3 x

2554 x

2551 s

255220 2 s

255240 3 s

255200 4 s

220000,2255200 12

1 xx

240000,2200 22

12 xxx

200000,2200 32

23 xxx

23255200 x

Page 13: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Solution procedure

Stage 4 : n = 4 255

*4x 4

*4 sf4s

255200 4 s 24255200 s

Stage 3 : n = 3

255240

255200200000,2200min

200000,2200min

3

233

233

255200

3*

432

33255200

3*

3

3

3

svaluesPossible

xxsx

xfxsxsf

x

x

nnnnnnxr

nn xfrxsxsf

shiprelationrecursive

nn

*1

2

255

* 000,2200min

:

Page 14: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

2002

250000,2

2

250255200

2

250200

:2

2500

2502400

255400000,2400,

:,min

3

2

3

2

33

3*

3

3*3

33

3333333

333

s

ss

ssf

sehingga

sx

sx

xsxxsfx

xsf

3s 3*

3 sf *3x

255240 3 s 150000,12605025050 32

32

3 sss2

2503 s

Page 15: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Stage 2 :n = 2

150000,12605025050

000,2200

000,2200,

32

32

3

222

22

2*

3222

22222

sss

rxsx

xfrxsxxsf

255240255220

255240min

0600,:

3

2402

,min

22

222

22222

2

22

222255240

2*

22

sjikafeasiblehanyas

xfeasiblexjikaxnilai

xsfx

Karena

sx

xsfsfx

Page 16: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

valueadalahx

xuntukxsfx

sKetika

sutkxsf

kondisipadadihitungtetapfeasibleygxnilaiTapi

min240

255240,0,

:240

240220,

2

22222

2

2222

2

240220 2 s

255240 2 s

000,115240200 22 s

57533026525029

2002

22

22 sss

240

3

2402 2 s

2s 2*

2 sf *2x

Page 17: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Stage 1 :n = 1

255240

575330265

2502

9

200220000,2200

240220

000,115240200220000,2200

,

:

000,2200,

1

22

2

21

12

11

1

211

211

111

1*

2

1*

2112

11111

xutk

ss

xxsx

xutk

xxsx

xsf

xfpadaMengacu

xfrxsxxsf

240220min240

,

240,0245800,255

2352400,

:240220

11

111111

1

111111

1

xuntukvalueadalahx

itukarenaOleh

xxxsfx

s

sxxsfx

xUntuk

Page 18: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

255 185,000 247.5

1*

1 sf1s*1x

247.5 245 247.5 255

*1x *

2x*3x *

4x

000,185)255(

255220min5247

5247,240,255240min5247

240220min240

2552405.247255

4

22530,

:

0,

:

225343

400,

,255240

*1

11

111111

11

111

11111

1

111121

2

111111

1

f

xutkvalueadalah.x

.sfsfxutkvalue.x

xutkvaluex

xutkxsKarena

sxxsf

x

untukmaka

xxsfx

Karena

sxxsfx

xKetika

Page 19: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

PROBABILISTIC DYNAMIC PROGRAMMINGCONTOH :

Sebuah perusahaan menerima order dgn ketentuan sbb : Keputusan produk diterima/ditolak di tangan CUSTOMER CUSTOMER hanya membutuhkan SATU PRODUK SAJA Perusahaan mempunyai kesempatan hanya 3 KALI PRODUCTION RUN Jika pada akhir production run yg KE 3 BELUM ADA produk yg dapat

diterima oleh customer , perusahaan akan mendapatkan PENALTY COST sebesar $ 1,600

Perusahaan mengestimasikan : Peluang produk DITERIMA & DITOLAK, masing2 : ½ SETUP COST di setiap awal PRODUCTION RUN : $ 300 PRODUCTION COST : $ 100 per ITEM

Berapa jumlah produk pada masing-masing PRODUCTION RUN, agar total ongkos produksi minimal ?

Page 20: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

PENYELESAIAN :

ns

nxnnn

n

n

stage beginningwhen zero)or (one needed still items acceptable ofnumber : State

stagefor sizelot :4,3,2,1run production: Stage

00: Dimana

,min:

isdecision immediate theand, stageat statein starts system theif

, stagefor cost expected total:,: Sehingga

*

,.....1,0

*

n

nnnx

nn

n

n

nnn

f

xsfsf

xnS

nxsf

n

Page 21: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0,3

0,0where :Atau

,produksiJumlah 100$300$: stageat cost Production

n

nn xif

xifKxK

n

161

: Dimana

121

021112

1,1

,1untukSehingga

*4

*1

*1

*1

f

fxK

ffxKxf

s

n

x

n

n

x

n

x

nnn

n

n

nn

Page 22: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

State : 1 nx

nn xf ,1

0

1

00*1 nf

1*1nf

decision

nx

211

nx

21

nxK

nxK 121 *

1 n

x

n fxKn

Value :

3n

0 1 2 3 4 5

0

1

0

16 12 9 8 8 8.5

0

8

0

3 or 4

1621 3

3

xxK 33 ,1 xf

3*

3 sf *3x

3x

3s

Page 23: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0 1 2 3 4

0

1

0

8 8 7 7 7.5

0

7

0

2 or 3

n = 2 22 ,1 xf 12

1 *32

2

fxKx

2x

2s 2

*2 sf *

2x

n = 1

0 1 2 3 4

1 7 7.5 6 3/4 6 7/8 7 7/16 6 3/4 2

1*

1 sf *1x

11 ,1 xf 121 *

21

1

fxKx

1x

1s

KESIMPULAN

675$dengan

4atau3

diterimaygadatidakjika,3atau2

diterimaygadatidakjika,2

*3

*2

*1

costexpectedtotal

x

x

x

Page 24: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

CONTOH :

2/3sebesar menang peluang mempunyai ia bahwayakin ia itu, Untuk tersebut.n teruhan memenangkadapat iaagar PLAY, setiap padakan dipertaruh harus yang CHIPSjumlah

ngkan memperhitu harustersebut statistik ahli demikian,Dengan

kandipertaruhdapat PLAY setiap pada ada yg CHIPS setiapdan CHIPS, 3dengan dimulai GAME, awal pada jika

5, miliki ia yg CHIPS PLAY, 3dengan GAMEakhir pada : bahwa bertaruh, mereka itu,Untuk

temannya.-oleh teman dipercayaibut tidak baru terse sistemNamun Vegas. Las dipopuler yang /GAMEpermainansuatu

nmemenangkauntuk sistem ruimemperbahastatistik ahli Seorang

Page 25: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

nnnnnnnnn

nnnsx

nn

n

n

nnn

n

n

th

xsfxsfxsf

xsfsfxdecision

immediatethemakesandsstateinnstagestartsanstatisticithethatgivenchipsleast

atwithplaysthreethefinishingofyprobabilitxsf

nstagebegintohandinchipsofnumbersStatenstageatbettochipsofnumberx

nnnStage

nn

*13

2*13

1

.....,,1,0

*

,

,max:

,,5

:,

::

3,2,1:

:an Penyelesai

Page 26: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0

1

2

3

4

>5

0

0

0

2/3

2/3

1

-

-

-

2 (or more)

1 (or more)

0(or < s3 – 5)

n = 3

n = 2

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

>5

0

0

0

2/3

2/3

1

0

4/9

4/9

8/9

4/9

2/3

2/3

2/3

2/3 2/3

0

0

4/9

2/3

8/9

1

-

-

1 or 2

0, 2 or 3

1

0(or<s2-5)

3*

3 sf3s *3x

2s2x 22

*33

222

*33

1222 , xsfxsfxsf

2*

2 sf *2x

Page 27: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

0 1 2 3

3 2/3 20/27 2/3 2/3 20/27 1

n = 1

1s 11

*23

211

*23

1111 , xsfxsfxsf 1

*1 sf *

1x

kalah n taruhan keseluruha secara,kalah24atau3,2,1

13atau 2 menang,

2atau 1 kalah,

3atau 2 kalah,

0 menang, 1menang,

1

: Kesimpulan

*2

*2*

3*2

*3

*3*

2

1

x

xx

x

x

xx

x*

Page 28: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

MARKOV PROCESSES

DEFINISI :

MARKOV PROCESS MODELS adalah suatu proses stokastik untuk memperkirakan keadaan di masa mendatang, dengan hanya mempertimbangkan keadaan tepat sebelumnya. Sehingga untuk suatu Markov Process, dengan present state yang diketahui, maka conditional probability keadaan berikutnya bersifat independen dari keadaan sekarang.

Suatu stochastic process dengan suatu finite or countable state space, dikatakan mempunyai suatu Markov chain structure jika

...,2,1,0, nX n

....,1,0untuk dan , semuauntuk

,.....,,,

1

1111001

nji

iXjXP

iXiXiXiXjXP

nn

nnnn

Page 29: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

proses. terhadap

hanyadan lampau,masakeadaan terhadap

yang dan......,,

untuk),(suatu

pernyataan terhadapekivalen

1100

1

iX statepresentdependent

tindependen

iXstatepresentiXiX

statepastjXstateFuturey probabilit

lconditionaPropertyMarkovian

n

nnn

n

iesprobabilit transition

iXjXP

iesprobabilitlConditiona

nn

sebagai jugadisebut 1

N

jij

ij

Nip

Njip

1

.......,2,1,1

,110

Page 30: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

State 1 2 …….. N

P =

1

2

.

.

.

N

P11

p21

.

.

.

pN1

p12

p21

.

.

.

pN2

P1N

p2N

.

.

.

pNN

ij

NNNN

N

N

ij pProbabiliyTransition

ppp

ppp

ppp

pP

MatrixTransitionstepOne

:

.....

.

.

.....

.....

:)(

21

22221

11211

N x N Transition Probability Matrix P

Page 31: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 1:Current

selectionSelection Next Week

Pizzaria A Pizzaria B Pizzaria C

Pizzaria A

Pizzaria B

Pizzaria C

0.5

0.4

0.3

0.3

0.2

0.3

0.2

0.4

0.4

4.03.03.0

4.02.04.0

2.03.05.0

333231

232221

131211

ppp

ppp

ppp

P 4.02.04.012 V

Page 32: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

iniiii

ni

ni

ni

ni

pppPVV

PVPPVPVV

.....2101

11211

4.02.04.0.12

22 PVV

4.03.03.0

4.02.04.0

2.03.05.0

32.028.040.0

Page 33: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

CurrentSelection,Pzzaria B( n=0 )

Pizzaria A

Pizzaria B

Pizzaria C

Pizzaria C

Pizzaria B

Pizzaria A (0.4) (0.5) = 0.20

Pizzaria C

Pizzaria B

Pizzaria A (0.4) (0.3) = 0.12

Pizzaria C

Pizzaria B

Pizzaria A (0.2) (0.4) = 0.08

p=0.3

p=0.2

p=0.2

p=0.4

p=0.5

p=0.4

p=0.3

p=0.4

p=0.4

p=0.3

p=0.2

p=0.4

SelectionNext Time, n= 1

Selection Time After Next, n= 2

Page 34: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

The Chapman-Kolmogorov Equations

nnnn

M

k

rnkj

rik

nij

nijij

PPPPPPP

nrnjippp

pyprobabilittransitionstepnpyprobabilitTransition

...........

0dan ,,semuautk,

: sebagai ditulisDapat

::

)2()1()(

0

)(

Page 35: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

314.0273.0413.0

34.027.039.0

32.028.040.0

30.027.043.0

2.03.05.0

4.03.03.0

4.02.04.0

2.03.05.0

4.03.03.0

4.02.04.0

2.03.05.0

.2.03.05.0

.2.03.05.0 2

211

31

P

PVV

3190.02727.04083.0

3184.02728.04088.0

3174.02727.04099.0

34.027.039.0

32.028.040.0

30.027.043.0

34.027.039.0

32.028.040.0

30.027.043.0

.... 22234 PPPPPPPP

Page 36: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

The LONG-RUN BEHAVIOR OF MARKOV PROCESSED

Markov Chain mempunyai suatu sifat tertentu, yaitu bahwa setelah melalui operasi untuk periode waktu yang cukup lama (beberapa step), maka Markov process akan mencapai suatu steady-state conditions.

Suatu Markov chain mencapai steady-state conditions, maka rangkaian (chain) pasti ergodic.

Suatu ergodic Markov Chain mempunyai sifat yang memungkinkan / possible, pergerakan dari suatu state menuju ke state yang lain, tanpa memperhatikan present state.

Page 37: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 2 :Future States

1 2 3 4

Present State

1 1/3 1/3 0 1/3

2 0 1/2 1/4 1/4

3 1/4 0 2/4 1/4

4 0 0 1/3 2/3

Dari State 1 dapat langsung ke semua state kecuali ke state 3. Untuk menuju ke state 3, harus dilakukan melalui state 2 terlebih dahulu, baru ke state 3

Dari State 2 dapat langsung ke semua state kecuali ke state1. Untuk menuju ke state 1,harus dilakukan melalui state 3 atau 4 terlebih dahulu, dari state 3 baru ke state 1. Atau dari state 4 ke state 3, baru ke state 1.

Dst pada prinsipnya, dari suatu state dapat menuju ke state lainnya

Transition Matrix tsb suatu ergodic chain

Page 38: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Jenis ergodic chain yang penting diketahui adalah Regular Chain

Suatu Regular Chain didefinisikan sebagai chain yang mempunyai suatu transition matrix P dimana power P hanya terdiri dari positive probability values.

Dengan perkataan lain :

Semua Regular Chain pasti suatu ergodic chain, tetapi tidak semua ergodic chain merupakan Regular Chain.

Contoh :

ChainRegular chain ergodic elements,y probabilit positive

matrixmatrix transition

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX

P

XXX

XXXX

XXXX

XXXX

P

XX

XXX

XXX

XXX

P

merupakan tersebut sehingga dari terdirihanya yang menjadi telah 3, kepower Pada

000

0

0

0

321

Page 39: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 3 :

REGULARERGODIC MatrixTransition

XX

XXX

XXX

XXX

XX

P

XXX

XX

XX

XX

XXX

P

XX

XXX

XXX

XXX

XX

P

XXX

XX

XX

XX

XXX

P

BUKAN TAPI adalah

000

00

00

00

000

00

000

000

000

00

000

00

00

00

000

00

000

000

000

00

43

21

Page 40: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

DETERMINATION OF STEADY-STATE CONDITIONS

3183.02727.04090.0

3183.02727.04090.0

3183.02727.04090.0

3190.02727.04083.0

3184.02728.04088.0

3174.02727.04099.0

3190.02727.04083.0

3184.02728.04088.0

3174.02727.04099.0

. 448 PPP

M

iijij

M

jj

j

jn

nij

j

Mjp

p

j, stateconditionsstatesteady

1

1

.,...,1untuk,

1

0

lim

: maka untukadalah Jika

Page 41: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 4 ( Pizzaria ) :

0.1

0.3183 pada menjadiakan 33183.00.2727 pada menjadiakan 22727.00.4090 pada menjadiakan 4090.0

03.08.03.003.04.05.0

0.14.04.02.03.02.03.03.04.05.0

1

321

3

2

1

321

321

321

3213

3212

3211

321

testeady sta state testeady sta state testeady stastate 1

Current selection

Selection Next Week

Pizzaria A Pizzaria B Pizzaria C

Pizzaria A

Pizzaria B

Pizzaria C

0.5

0.4

0.3

0.3

0.2

0.3

0.2

0.4

0.4

Page 42: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

FIRST PASSAGE TIMES

FIRST PASSAGE TIMES (Tij ) adalah waktu / jumlah transisi / proses yang

diperlukan untuk melakukan transisi dari suatu state i ke state j pertama kali.

Jika j=i, maka First Passage Time disebut sebagai Recurrence Time (Waktu Kambuh/Berulang), yaitu waktu / jumlah transisi yang diperlukan untuk kembali ke initial state i.

Contoh 5 :

Berikut ini adalah data persediaan barang dalam 8 minggu :

I1 = 8

I2 = 6

I3 = 5

I4 = 7

I5 = 5

I6 = 8

I7 = 6

I8 = 2

First Passage Time dari state 8 ke state 5 adalah 2 minggu, dari dari state 8 ke state 7 adalah 3 minggu, sementara

Recurrence Time dari state 8 adalah 5 minggu, dan Recurrence Time dari state 5 adalah 2 minggu

Page 43: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

jj

nij

njjij

njjij

nij

nij

jjijijij

ijijij

nij

pgpgpgpg

pgpg

ppgn

j state i stateg

12211

122

11

..............

: maka , ke periode pada

ke a terjadinykali pertama peluangadalah Jika

4.03.03.0

4.02.04.0

2.03.05.0

333231

232221

131211

ppp

ppp

ppp

P

Contoh 6 (Pizzaria) :

.

.22.0

4.02.03.0

2.0

331

132

132

13

113

113

pgpg

pg

34.027.039.0

32.028.040.0

30.027.043.02P

Page 44: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

i. statei state state,recurrent i state

g

j,ivariablerandomT Time Passage First

....2,1,ngequality strict

j. state i state ,inequality strict

g

gj i

n

nii

ij

nij

n

nij

nij

ke kembali akan pasti saat suatu disebut kemudian

1

maka Jika,

untuk asprobabilit distribusimerupakan maka ,merupakan sebut jumlah ter jika Tapi

mencapaipernah akan tidak makamerupakan sebut jumlah ter Jika

1

: nonnegatif nilaiadalah maka tetap,yang danUntuk

1

1

Page 45: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

kj

jkikij

n

nijij

n

nijij

n

nij

n

nijij

ij

n

nii

ii

upungu

variablerandom timepassagefirstthe

gu

gngu

j state i state

timepassagefirstthe of value expectedu

i state i state

gStateTransient

pprobabilty transition stepone staterecurrent

StateAbsorbing

1 : sehingga

maka ,adalah jika umumnya, Pada

1 jika

1 jika

: maka ,ke dari

adalah Jika

ke kembalipernah akan tidak ini, kasus pada

1: situasiadalah

.1 dimana ,suatu

dalam khusus kasussuatu adalah

1

1

11

1

Page 46: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 7:(kasus Pizzaria)

Current selection

Selection Next Week

Pizzaria A Pizzaria B Pizzaria C

Pizzaria A

Pizzaria B

Pizzaria C

0.5

0.4

0.3

0.3

0.2

0.3

0.2

0.4

0.4

weeksu

Mju

time recurrence thestatetimepassagefirstexpectedij

weeksu

weeksu

uu

upupu

uu

upupu

upu

j

jjj

kjjk

ikij

14.33183.0

11:Sehingga

.......,,2,1untuk1

:dengan terbalik berbandingsuatu maka , Jika

21.3

92.3

2.04.01

1

3.05.01

1

1

33

23

13

2313

2322132123

2313

2312131113

Page 47: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Analysis of ABSORBING MARKOV CHAINS

Suatu Markov Chain menjadi suatu Absorbing Markov Chain jika : Sedikitnya, terdapat satu Absorbing State Pergerakan state dimungkinkan dari setiap nonabsorbing state ke paling

tidak satu absorbing state pada langkah / step tertentu.

Contoh 8 :

State 1 : Championship tournamen caliber

State 2 : “Washout” – switch to another sport

State 3 : Daily instruction and practice needed

State 4 : Twice daily instruction and practice needed

weekfollowingtheinjstatemovingweekoneinistatea

instudenttennisaofyprobabilitp

P

ij

4.02.02.02.0

1.05.01.03.0

0010

0001

Page 48: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

lainnya suatu

ke suatu dari peluang matriks

lain yang suatu

ke suatu dari peluang matriks

ke suatu dari peluang matriks,

lainnya

ke suatu dari peluang matriks

4.02.0

1.05.000

00

2.02.0

1.03.010

01

4.02.02.02.0

1.05.01.03.0

0010

0001

statengnonabsorbi

ng statenonabsorbis,bysN

stateabsorbing

stateng nonabsorbir,bysA

ng statenonabsorbi

stateabsorbing sbyrO

stateabsorbing

stateabsorbing r,byrI

P

N

O

A

IPP

Page 49: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

79.171.0

36.014.2

6.02.0

1.05.0

4.02.0

1.05.0

10

01

:

:

:

1

1

NIF

NI

stateoneexactlyinstatengnonabsorbiotheranytostatengnonabsorbianyfromgoingofiesprobabilittheN

absorbedisitbeforestatengnonabsorbieachinisprocessatimesofnumberexpectedtheF

NIF

matrix lfundamenta a

Beginning State Expected steps before Absorption

S3

S4

2.14 + 0.36 = 2.50

0.71 + 1.79 = 2.50

Page 50: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

orang 37atau

4.37sebanyak 2 mencapaiakan yang jumlah sementara orang,

63atau 62.6sebanyak 1 mencapaidapat akan yang jumlah Artinya,

4.376.62

43.057.0

29.071.06040'

'

:adalah dan mencapaiakan yang jumlah maka

,60dan 40 dari terdiriyang , 100 terdapat Jika

43.057.0

29.071.0

2.02.0

1.03.0

79.171.0

36.014.2

:

41

4

1

state students

state students

T

studentstheofncompositiopresentofvectorT

absorptionofyprobabilitTT

SSstudents

Sstudentsstudents Sstudents

ANIFA

AbsorptionofyProbabilit The

3

Page 51: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

APPLICATION OF MARKOV PROCESS MODELS

Contoh 9: State Condition of Printer Output

1

2

3

Excelent

Acceptable, but of marginal quality

Unacceptable, blurry and unreadable

From State

To State

1 2 3

1

2

3

0

0

0

7/8

3/4

0

1/8

1/4

1

State Expected Cost

1

2

3

$ 0

$ 1000 (cost of illegible reports)

$ 5000 (cost of illegible reports, plus cost of repairing printer)

Page 52: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Transition matrix of maintenance policy :

From state

To state

1 2 3

1

2

3

0

0

1

7/8

3/4

0

1/8

1/4

0

000.1

1818.0

6364.0

1818.01

1

321

112

3

117

2

112

1

241

181

3

243

187

2

31

321

Page 53: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Artinya :

Untuk waktu yang cukup lama, printer akan berada pada :

State 1 18.18 % of the time

State 2 63.64 % of the time

State 3 18.18 % of the time

Sehingga :

Untuk waktu yang cukup lama, diperkirakan rata-rata biaya untuk maintenance policy :

40.1545$1818.05000$6364.01000$1818.00$5000$1000$0$ 321

Page 54: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Contoh 10 :Suatu credit card company membagi Status of Accounts Receivable

menjadi 4 kategori, yaitu :

Berikut ini adalah transition matrix (periode mingguan) yang berhasil dibuat oleh company berdasarkan pengamatan :

Accounts Receivable Category (states)

Status of Accounts Receivable

1

2

3

4

Paid in full

Bad debt

0-30 days late

31-120 days late

To AR Category (state)

1 2 3 4

P =

From

AR Category (state)

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0.4 0.2 0.2 0.2

4 0.3 0.3 0.3 0.1

Untuk membuat credit-control policies yang lebih effektif, antara lain diperlukan suatu gambaran tentang probability of absorption

Page 55: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

Penyelesaian :

454.0546.0

363.0637.0

3.03.0

2.04.0

212.1455.0

303.0365.1.

212.1455.0

303.0365.1

9.03.0

2.08.0

1.03.0

2.02.0

10

01

1.03.0

2.02.0

3.03.0

2.04.0

00

00

10

01

1

11

1

ANIFAabsorptionofyProbabilit

NIF

N

O

A

IP

Page 56: Kuliah or II

susy susmartini operations research II, 2006

000,590$sebesar 4 dan 000,910$sebesar 1 menjadiberubah dapat tersebut4dan 3dari bahwa berharapdapat Artinya,

000,590$000,910$454.0546.0

363.0637.0000,500$000,000,1$

: Sehingga

000,500$000,000,1$

: maka $500,000,dan $1,000,000adalah masing-masing 4 dan 3 komposisi awal kondisi pada Jika

'

statestate state statecompany

T

T

vector Tstatestate