Kuliah keenam mekanika bahan

64
Kuliah 6 : Tegangan Normal Akibat Gaya Normal dan Momen Lentur dan Tegangan Geser 1. Gaya Normal Sentris 2. Tegangan Normal Akibat kombinasi Gaya Normal Sentris dan Momen Lentur 3. Tegangan Geser

description

Kuliah keenam mekanika bahan

Transcript of Kuliah keenam mekanika bahan

  • Kuliah 6 :

    Tegangan Normal Akibat Gaya Normal dan Momen Lentur dan Tegangan Geser 1. Gaya Normal Sentris 2. Tegangan Normal Akibat kombinasi Gaya

    Normal Sentris dan Momen Lentur 3. Tegangan Geser

  • Pada kuliah kelima sudah dijelaskan bagaimana menentukan besaran

    penampang momen inersia Ix, Iy dan Ixy baik untuk penampang tunggal dan

    penampang tersusun serta perhitungan sumbu-sumbu utama penampang yang

    memberikan nilai momen inersia maksimum dan minimum.

  • Untuk menentukan letak sumbu yang memberikan momen inersia maksimum atau minimum, maka

    digunakan sumbu lain yang diputar sebesar q terhadap

    sumbu X dan sumbu Y.

  • Sebuah penampang mempunyai sumbu berat X dan Y. Penampang mempunyai harga momen inersia Ix, Iy dan Ixy

    Sumbu X dan Y diputar sebesar q berlawanan arah perputaran jarum jam menjadi sumbu X1 dan Y1

  • sin2*Ixy-2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxIx1

    Harga momen inersia akan berubah jika sudut q berubah. Jika Ixy = 0 dan sudut q = 0, maka Ix1 = Ix dan Iy1 = Iy. Pada saat q = 0 dan Ixy = 0 maka nilai Ix1y1 juga mempunyai nilai = 0.

    sin2*Ixycos2*2

    IyIx

    2

    IyIxIy1

    sin2*2

    IyIxcos2IxyIx1y1

    Untuk mencari sudut q yang memberikan nilai maksimum atau minimum (nilai ekstrim) dari momen inersia, maka persamaan IX1, Iy1 dan IX1Y1 diturunkan terhadap q.

  • IyIx

    Ixy2arctg2

    IyIx

    Ixy22tg

    22

    Ixy2

    IyIx

    Ixy-2sin

    22

    Ixy2

    IyIx

    2

    Iy-Ix

    2cos

    IyIxIxy2

    2tg

    cos2*Ixy2-2sin2*2

    IyIx

    d

    dI x1

  • 22

    x1

    22

    22

    x1

    Ixy2

    IyIx

    2

    IyIxI

    Ixy2

    IyIx

    2

    Iy-Ix

    2cos

    Ixy2

    IyIx

    Ixy-2sin

    sin2*Ixy2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • IyIxIxy2

    2tg

    0cos2*Ixy*2sin2*2

    IyIx*2

    d

    dI y1

    22

    Ixy2

    IyIx

    Ixy-2sin

    22

    Ixy2

    IyIx

    2

    Iy-Ix

    2cos

  • 22

    y1

    22

    22

    y1

    Ixy2

    IyIx

    2

    IyIxI

    Ixy2

    IyIx

    2

    Iy-Ix

    2cos

    Ixy2

    IyIx

    Ixy-2sin

    sin2*Ixy2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • 22

    Ixy2

    IyIx

    2

    IyIxImax/min

    Rumus Ix1 ekstrim dan Iy1 ekstrim mempunyai rumus yang sama hanya berbeda pada tanda suku ke dua (didepan akar). Kedua rumus di atas menunjukkan bahwa jika nilai Ix1 maksimum akan memberikan nilai Iy1 minimum. Sebaliknya jika nilai Iy1 mencapai maksimum, maka nilai Ix1 mencapay nilai minimum. Dengan argumentasi di atas, maka nilai momen inersia maksimum dan minimum dapat ditentukan dari rumus :

    Harga maksimum dan minimum dari kedua momen inersia tersebut dikenal dengan momen inersia utama. Sumbu-sumbu X1 dan Y1 yang memberikan nilai momen inersia maksimum dan minimum dikenal sebagai sumbu inersia utama. Ix1 + Iy1 = Ix + Iy Imax + Imin = Ix + Iy Jika Ix1 maximum maka Iy1 akan minimum Jika Iy1 maximum maka Ix1 akan minimum

  • Cara menentukan arah sumbu-sumbu utama penampang.

  • Contoh 1 A = 300 + 900 + 300 = 1500 cm2

    Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm X = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500 X = 15 cm

    Ix = 1010000 cm4

    Iy = 61875 cm4

    Ixy = 0 cm4

    0

    0IyIx

    Ixy22tg

    Imax = Ix = 1010000 cm4

    Imin = Iy = 61875 cm4

    Penampang yang mempunyai Ixy = 0 dikenal sebagai penampang simetri. Penampang dapat simetri satu sumbu atau dua sumbu.

  • Contoh 2 Ix = 1010000 cm4

    Iy = 95625 cm4

    Ixy = 157500 cm4

    o

    9.50419.0092

    0.345956251010000

    157500*2

    IyIx

    Ixy22tg

    4

    x1

    x1

    x1

    cm41036368.7651300.37598432255.887552812.5I

    9)sin(-19.00*157500-19.009)(cos*2

    956251010000

    2

    956251010000I

    sin2*Ixy-(22cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • Contoh 2 Ix = 1010000 cm4

    Iy = 95625 cm4

    Ixy = 157500 cm4

    o

    9.50419.0092

    0.345956251010000

    157500*2

    IyIx

    Ixy22tg

    4

    x1

    x1

    x1

    cm2363.9256651300.37598432255.887552812.5I

    9)sin(-19.00*15750019.009)(cos*2

    956251010000

    2

    956251010000I

    sin2*Ixy2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • Contoh 2 A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm2

    Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = 40 cm X = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500 X = 22.5 cm

    Ix = 1010000 cm4

    Iy = 95625 cm4

    Ixy = 157500 cm4

    22

    1575002

    562590100001

    2

    562591010000Imax/min

    Imax = 552812.5 + 483556.2637 = 1036368.764 cm4

    Imin = 552812.5 483556.2637 = 69256.2363 cm4

  • Contoh 2

    Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm

    A = 2400-600-400 = 1400 cm

    Ix = 535238.095 cm4

    Iy = 171488.095cm4

    Ixy = - 29082.582 cm4

    o

    542.4085.92

    0.1599095.714881095.352385

    2)(-29082.58*2

    IyIx

    Ixy22tg

    4

    x1

    x1

    x1

    cm633.5375481268.5924411.795931095.353363I

    sin(9.085)*582.90822(9.085)cos*2

    095.714881095.352385

    2

    095.714881095.352385I

    sin2*Ixy2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • Contoh 2

    Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm

    A = 2400-600-400 = 1400 cm

    Ix = 535238.095 cm4

    Iy = 171488.095cm4

    Ixy = - 29082.582 cm4

    o

    542.4085.92

    0.1599095.714881095.352385

    2)(-29082.58*2

    IyIx

    Ixy22tg

    4

    x1

    y1

    y1

    cm557.1691771268.5924411.795931095.353363I

    sin(9.085)*582.90822(9.085)cos*2

    095.714881095.352385

    2

    095.714881095.352385I

    sin2*Ixy2cos*2

    IyIx

    2

    IyIxI

  • Contoh 2

    Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm

    A = 2400-600-400 = 1400 cm

    Ix = 535238.095 cm4

    Iy = 171488.095cm4

    Ixy = - 29082.582 cm4

    22

    29082.582-2

    171488.095535238.095

    2

    171488.095535238.095Imax/min

    Imax = 353363.095 + 184185.5374 = 537548.632 cm4

    Imin = 353363.095 - 184185.5374 = 169177.558 cm4

  • Bagaimana cara menentukan bahwa sebuah penampang mempunyai sumbu simetri atau mempunyai nilai Ixy = 0 hanya dengan melihat bentuk penampang ?

  • Tegangan majemuk :

    Kombinasi tegangan normal akibat gaya normal sentris dan

    momen lentur.

  • Gaya normal sentris adalah gaya normal yang bekerjanya (titik tangkapnya) pada titik berat

    penampang

  • Gaya normal bekerja pada titik berat penampang. Akibat gaya normal sentris maka akan timbul

    tegangan s = P/A

  • Jika kita perhatikan arah tegangan yang terjadi pada suatu potongan batang akibat gaya normal sentris dan momen lentur selalu mempunyai arah tegak

    lurus penampang batang.

  • Tegangan akibat gaya normal : s = P/A Tegangan akibat momen lentur : s = MY/Ix

    Kedua tegangan dapat di kombinasikan (dijumlahkan) dan rumus kombinasi tegangan menjadi :

    Ix

    MY

    A

    N

  • Tanda + pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A sama dengan MY/Ix

    Tanda - pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A berlawanan dengan MY/Ix

    Ix

    MY

    A

    N

  • Ix

    Ya*M

    A

    Na

    Ix

    Yb*M

    A

    Nb

    Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen

    Positif

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan

    Akibat gaya N tekan dan M positif, tarik sb tekan nol

  • Ix

    Ya*M

    A

    N21a ss

    Ix

    Yb*M

    A

    N31b ss

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tarik jika s3 > s1 sb = tekan jika s3 < s1 sb = nol jika s3 = s1

  • Ix

    Ya*M

    A

    N21a ss

    Ix

    Yb*M

    A

    N31b ss

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tarik karena s3 > s1

  • Ix

    Ya*M

    A

    N21a ss

    Ix

    Yb*M

    A

    N31b ss

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tekan karena s3 < s1

  • Ix

    Ya*M

    A

    N21a ss

    Ix

    Yb*M

    A

    N31b ss

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan

    Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = 0 karena s3 = s1

  • Ix

    MY

    A

    Na

    Ix

    MY

    A

    Nb

    Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen

    Negatif

  • 21Ix

    Ya*M

    A

    Na ss

    31Ix

    Yb*M

    A

    Nb ss

  • s2 > s1

    s2 < s1

    s2 = s1

  • Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m

    dan beban normal N = 20 kN. Hitung dan gambarkan tegangan

    maksimum pada balok akibat gaya normal dan momen lentur

    contoh

  • Pada saat yang bersamaan balok akan menderita dua gaya dalam yaitu gaya normal tekan (merata sepanjang balok) sebesar 20 kN dan momen lentur (berubah-ubah) dengan

    nilai maksimum terletak di tengah bentang balok

    contoh

  • Jika balok berbentuk empat persegi panjang dengan

    ukuran 30*60 cm2

    contoh

    Balok akan menderita dua jenis tegangan yaitu tegangan akibat gaya

    normal dan akibat momen lentur

  • Pada potongan I-I di tengah bentang balok akan terjadi tegangan akibat M

    tekan = 7.8125 MPa tarik = 7.8125 MPa

    Dan tegangan akibat N tekan = 0.111 MPa

    contoh

  • Ke tiga tegangan tersebut mempunyai arah tegak lurus bidang potongan

    balok Tegangan normal akibat M dapat dijumlahkan dengan tegangan normal akibat N

    contoh

  • contoh

    Hasil penjumlahan tegangan : tekan = 7.9235 MPa tarik = 7.7015 MPa

    Sumbu netral berjarak 30.426 cm dari sisi atas

  • contoh

    Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m

    dan beban normal N = 200 kN. Hitung dan gambarkan tegangan maksimum pada balok pada posisi

    tumpuan A, B dan pada posisi momen positif maksimum akibat gaya normal

    dan momen lentur

  • Dari gambar bidang gaya dalam terlihat :

    MA = 15.625 kNm (-) MB = 10 kNm (-)

    MC = 127.827 kNm (+) MC adalah momen positif maksimum terletak pada

    jarak 7.575 m dari tumpuan A

    Gaya normal N = 200 kN (tekan)

  • contoh

    MA = 15.625 kNm N = 200 kN

    s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 15.625*0.3/0.0054 = 868.056 kN/m2

    = 0.868 Mpa.

    Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

    A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

  • contoh

    MB = 10 kNm N = 200 kN

    s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 10*0.3/0.0054 = 555.556 kN/m2

    = 0.556 Mpa.

    Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

    A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

  • contoh

    Tegangan di titik A

    Tegangan di titik B

  • contoh

    MB = 127.827 kNm N = 200 kN

    s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 127.827*0.3/0.0054 = 7101.5 kN/m2

    = 7.102 Mpa.

    Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

    A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

  • contoh

    Tegangan di titik C

  • Tegangan Geser

  • Untuk melihat bagaimana tegangan geser dapat terjadi pada

    elemen batang mari kita lihat contoh balok ditumpu di atas dua tumpuan dan menderita beban P.

  • Jika balok berupa benda masif dan kita potong pada potongan 1-1

    dan 2-2 maka pada potongan 1-1 akan timbul momen M1 dan pada potongan 2-2 akan timbul momen M2 dan M1

  • Jika balok berupa benda yang tersusun dari dua balok masif dan

    kita potong pada potongan 1-1 dan 2-2 maka pada potongan 1-1 akan timbul momen M1 dan pada potongan 2-2 akan timbul momen

    M2 dan M1

  • Dari gambaran tersebut di atas, maka pada saat balok mengalami lenturan sebetulnya pada balok terjadi pergerakan dari elemen balok kesamping (bergeser kesamping). Balok masif tidak bergeser kesamping karena adanya ikatan yang kuat antara molekul- molekul balok sehingga dapat menahan pergerakan kesamping. Mengapa pergerakan kesamping (pergeseran) ini terjadi ?

  • Lihat eleman balok pada potongan 1-1 dan 2-2. Jarak kedua potongan = dz. Jarak dz sangat kecil. Pada potongan 1-1 akan ada momen M1 Pada potongan 2-2 akan ada momen M2

  • M1 = M M2 = M+dM

    Ix

    y*M

    Akibat momen M maka pada potongan 1-1 akan timbul tegangan :

    Akibat momen M + dM maka pada potongan 2-2 akan timbul tegangan :

    Ix

    y*dM)(M

  • Lihat pada potongan C-C dengan jarak y dari sumbu berat balok (sumbu netral balok)

  • ya

    y

    ya

    y

    SIx

    MdAy

    Ix

    MdA*1F1

    ya

    y

    ya

    y

    SIx

    dM)(MdAy

    Ix

    dM)(MdA*3F2

    S = statis momen elemen penampang terhadap sumbu X

    F2 > F1

  • Karena gaya F1 tidak sama dengan gaya F2, maka elemen balok pada potongan C-C tidak seimbang. Elemen batang akan didorong ke kiri. Jika tidak ada gaya yang menahan pergerakan tersebut, maka elemen balok akan bergerak kekiri. Supaya elemen balok ada dalam kondisi seimbang maka harus ada gaya yang arahnya kekanan yang besarnya = F2 F1

    F2 > F1

  • ya

    y

    ya

    y

    SIx

    MdAy

    Ix

    MdA*1F1

    ya

    y

    ya

    y

    SIx

    dM)(MdAy

    Ix

    dM)(MdA*3F2

    SIx

    dMF1F2K

    K timbul karena adanya gaya gesek antara dua lapisan elemen balok pada potongan C-C. Pada potongan C-C timbul tegangan

    geser

  • SIx

    dMF1F2K

    zd*B*K

    Ix*B

    S*D

    Dlintanggayadz

    dM

    Ix*B

    S*

    dz

    dM

    S*Ix

    dMdz*B*

  • dy*y*BS

    dy*BdAelemenuntuk

    Ix*B

    S*D

  • parabolisberbentukgeserdiagramIx*B

    S*D

    )yH4

    1(*B

    2

    1S

    )yH2

    1(*

    2

    1*y)H

    2

    1(*BS

    H*B12

    1Ix

    22

    3

  • 0

    0)yH4

    1(*BS

    H*B12

    1Ix

    2

    H y

    22

    3

    BH3

    2

    D

    BH12

    1*B

    BH8

    1*D

    BH8

    1)H

    4

    1(*B

    2

    1S

    H*B12

    1Ix

    0 y

    3

    2

    22

    3

    A'

    D

    BH3

    2

    D

    BH3

    2

    D