1 Bilangan RealDalam buku ini, diasumsikan telah mengenal cukup baik bil asli, bil bulat,dan bil rasional. Himpunan semua bil asli dilambangkan dengan N, yakniN := 1. 2. 3. .... Himpunan semua bil bulat dilambangkan dengan Z, yakniZ := 0. 1. 2. 3. .... Sementara itu, himpunan semua bil rasional dilam-bangkan dengan Q, yakni Q := pq : j Z. N. dan 111(j. ) = 1.Selain itu, pembaca juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan dalambentuk desimal, sebagai contoh 1 = 1.0000 .... 12 = 0. 5000... Sebagian bilan-gan mempunyai bentuk desimal yang berhenti, seperti 12 = 0.5, dan sebagianbil mempunyai bentuk desimal yang berulang, seperti13 = 0.33333.... Bilrasional senantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhentiatau berulang. Bil yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupunberulang merupakan bil irasional. Sebagai contoh _2.Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut seba-gai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R.Dalam hal ini,kita mempunyai N Z Q R. Pada pembahasan selanjutnya, kita akanmempelajari sifat-sifat bilangan real secara lebih mendalam.Soal: Nyatakan115 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk desimalnya beru-lang atau berhenti?Nyatakan 0.123123123... sebagai bentuk pecahan2 Sifat aljabarHimpunan bilangan real R diasumsikan memenuhi Sifat Aljabar yang terkaitdengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya. Persisnya, R terhadappenjumlahan bersifat komutatif, asosiatif, mempunyai unsur identitas 0, danmencakup unsur lawan.Demikian pula R terhadap perkalian bersifat komu-tatif, asosiatif, mempunyai unsur identitas 1 ,= 0, dan mencakup unsur ke-balikan. (Catat bahwa sumsi bahwa 1 ,= 0 termasuk bagian yang penting disini.) Selain itu, di R berlaku pula sifat distributif, yakni r( +.) = r +r.untuk setiap r. . . R. Kesembilan sifat ini dikenal pula sebagai SifatLapangan/Theorem 1 Misalkan r, , dan . adalah bilangan real sembarang.1. (a) r + . = + . maka r = 2. r. = . dan . ,= 0 untuk setiap r. A dan maka r = 1Proof. 1. Misalkan r + . = + .. Tambahkan kedua ruas dengan .,sehingga kita dapatkan(r + .) + (.) = ( + .) + (.).Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita perolehr + 0 = + 0.dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita sampai padakesimpulan bahwa r = .2. Serupa dengan (1); dapat dicoba sebagai latihan.Exercise 2 Buktikan Teorema 1 bagian (2). Diketahui bilangan real c sebarang. Buktikan bahwa c.0 = 0, (c) =c. dan (1)(1) = 1. Diketahui bilangan real c dan /. Buktikan jika c/ = 0, maka c = 0atau / = 0. Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi per-samaan r2= 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktian tak lang-sung).3 Sifat UrutanSelain memenuhi Sifat Lapangan, R juga diasumsikan memenuhi Sifat Uru-tan, yang berkaitan dengan ketaksamaan di antara dua bilangan real. Diberikandua buah bilangan real c dan / sebarang, terdapat tiga kemungkinan danhanya satu di antara tiga kemungkinan tersebut yang benar,yaitu: c/,atau c = /, atau c < /. Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.Jika c. /, dan c adalah bilangan real, maka c < / < c berarti c < / dan / < c.Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 12 < 1. Selanjutnya, c _ / berarti c < /atau c = /; sementara c _ / berarti c/ atau c = /. Sebagai contoh,1 _ 0 dan 1 _ 1merupakan dua pernyataan yang benar.Sifat Urutan lainnya yang dipenuhi oleh bilangan real adalah:21. Jika c/ dan /c, maka cc.2. Jika c/ dan c R , maka c + c/ + c3. Jika c/ dan c0, maka cc/c; Jika c/ dan c < 0, maka cc < /cBilangan r dikatakan bernilai positif jika dan hanya jika r0. Teo-rema berikut menyatakan ketertutupan bilangan positif terhadap penjumla-han dan perkalian.Theorem 3 Jika c0 dan /0, maka c + /0 dan c/0Proof. Misalkan c. /0. Maka c + /0 + / = / dan c/0./ = 0.Example 4 a. Bukti bahwa 10 dapat dibuktikan kebenarannya denganmenggunakan sifat-sifat di atas. Ingat bahwa 1 ,= 0. Karena itu tinggal adadua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 10. Andaikan 1 < 0. Tambahkankedua ruas dengan 1, kita peroleh 0 < 1 atau 10. Akibatnya, kitaperoleh 1 = (1)(1)0, bertentangan dengan pengandaian semula. Den-gan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itu mestilah 10.b. Misalkan diketahui c < / + c untuk setiap c0. Maka dapat dis-impulkan bahwa c _ /. (Andaikan c/. Maka, untuk c = c /, berlakuc < / + (c /) = c, sesuatu yang mustahil.)Exercise 5 Untuk lebih memahami, kerjakan soal2 berikut ini Buktikan jika c0, maka1a0 Buktikan jika c/ dan cd, maka c + c/ + d. Diketahui r. 0. Buktikan r < jika dan hanya jika r2< 2. Buktikan jika / c < c < / + c untuk setiap c0, maka c = /.4 Akar dan Persamaan KuadratUntuk : N, rn= rrr (: kali). Asumsi berikutnya tentang sistem bi-langan real adalah eksistensi akar ke-:. Persisnya, diberikan _ 0, terdapatsebuah bilangan r _ 0 (tunggal) sedemikian sehingga = rn. Untuk _ 0,nilai r _ 0 yang memenuhi persamaan = rndisebut sebagai akar ke-: dari dan dilambangkan denganr = 1n3Khususnya, untuk : = 2, kita gunakan notasi _ = 12. Catat bahwa dalamhal ini senantiasa berlaku _ = 0. Jika 0, maka tentu saja terdapatdua buah bilangan yang kuadratnya sama dengan , yaitu _ yang bernilaipositif dan _ yang bernilai negatif. Notasi _ berarti _ atau _.Jika : =mn adalah suatu bilangan rasional positif dan _ 0, kita den-isikanr= (m)1nJika : adalah suatu bilangan rasional negatif, maka r merupakan bilanganrasional positif dan karenanya rterdenisi. Khususnya, jika 0, makakita dapat mendenisikan rsebagair:=1rKita juga mendenisikan 0= 1. Dengan demikian, jika 0, maka rter-denisi untuk semua bilangan rasional. (Denisi xuntuk bilangan irasionalr harus menunggu hingga pembahasan berikutnya). Seperti telah disinggungdi atas, untuk 0, persamaan r2= mempunyai dua buah solusi, yaitur = _.Persamaan r2= disini merupakan suatu persamaan kuadrat.Bentuk umum persamaan kuadrat (dalam r) adalah cr2+/r+c = 0, denganc ,= 0.Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaan kuadratcr2+ /r + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar real jika /2 4cc < 0,mempunyai sebuah akar real (tunggal) jika /2 4cc = 0, dan mempunyaidua buah akar real berbeda jika /24cc0. Dalam hal /24cc _ 0, akarpersamaan kuadrat di atas diberikan oleh rumusr = r/24cc2cAkar persamaan kuadrat merupakan titik potong grak persamaan = cr2+/r + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-r pada sistem koordinatCartesius. (Pembaca diasumsikan telah mengenal sistem koordinat Cartesiusdan grak persamaan padanya.) Ingat bahwa grak persamaan kuadratterbuka ke atas jika c0, atau terbuka ke bawah jika c < 0.Exercise 6 Misalkan koesien c. / dan c pada persamaan kuadrat cr2+/r+c = 0 merupakan bilangan rasional (dengan, tentu saja, c ,= 0). Buktikanjika c = : +_2: merupakan akar persamaan ini, dengan : dan : rasional,maka , = : _2: juga merupakan akar.45 Nilai MutlakJika r adalah bilangan real, maka nilai mutlak r, ditulis [r[, didenisikansebagai[r[ =

r. jika r _ 0.r. jika r < 0Sebagai contoh, [2[ = 2. [0[ = 0, dan [ 5[ = (5) = 5. Jelas bahwa [r[ _ 0untuk setiap r. Catat pula bahwa [r[ = _r2 untuk setiap r.Theorem 7 Untuk setiap bilangan real r. berlaku.1.[r[ _ r _ [r[2.[r[ = [r[[[3. (Ketaksamaan Segitiga)[r + [ _ [r[ +[[Proof. Perhatikan bahwa untuk setiap r. R berlaku[r + [2= (r + )2= r2+ 2r + 2_ [r[2+ 2 [r[ [[ +[[2= ([r[ +[[)2Exercise 8 1. Buktikan Teorema diatas bagian 1 dan 22. Buktikan bahwa [c[ < / jika dan hanya jika / < c < /.3.Buktikan bahwa untuk setiap c. / R berlaku [c /[ _ [c[ [/[ danjuga [c /[ _ [[c[ [/[[ .5