Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya-makalah Lengkap

7/26/2019 Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya-makalah Lengkap

1/12

Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri

Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya1) Bam!ang Susanto") dan Hanna Arini Parhusip#)

1)Mahasiswa Program Studi Matematika

email:1)[email protected])[email protected]")haaarii#arhusi#@yahoo.co.id

2) ")$ose Program Studi Matematika%akultas Sais da Matematika

&i'ersitas (riste Satya acaa

*l. $i#oegoro !2+,0 Salatiga !0711

ABS$%AK

Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writerdan holder) dimana writer

memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holderuntuk membeli (call o#tio) atau menjual (#ut

o#tio) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan

mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi

harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black !choles ("#$%). &alam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga 'psi ropa

menggunakan metode erak Brown eometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang

diasumsikan mengikuti model erak Brown eometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk

memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga 'psi ropa dihitung dengan

menggunakan fungsi #ayo--. !ebelum melakukan simulasi tersebut, nilai 'olatilitydari harga saham

harus diketahui terlebih dahulu. stimasi untuk 'olatilitydilakukan menggunakan metodeMaimum

/ikelihood stimatio. &alam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari P*.

H+. !ampoerna *bk. tanggal " +aret -"- sampai # ebruari -". Hasil yang didapatkan dari

penelitian ini adalah harga 'psi ropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara P*. H+.

!ampoerna *bk. dengan pihak lain.

Kata Kun&i' 'psi ropa, erak Brown eometri, Maimum /ikelihood stimatio #ayo--

'olatility

PE(AH*+*A(

!aham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan

seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang

memperdagangkan sahamnya. /n0estasi dalam bentuk saham banyak dipilih para in0estor

karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. !elain berin0estasi dengan

cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, in0estor juga dapat

berin0estasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (-iacial deri'ati'e). !alah satu

turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. 'psi

memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual

sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus

mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. +asalah perhitungan harga opsi

1
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/12

(o#tio #ricig) adalah menghitung harga yang wajar (-air 'alue) dimana opsi bisa dibeli atau

dijual.

&ata dari P*. H+. !ampoerna *bk. tanggal " +aret -"- sampai # ebruari -"

digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model erak Brown

eometrik dengan nilai 'olatilityterbaik dicari menggunakan metodeMaimum /ikelihood

stimatio.

ASA% $EO%,

Opsi

'psi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan

hak,bukan kewajiban bagi seorang holderuntuk membeli atau menjual suatu saham dengan

harga dan waktu yang telah ditetapkan.

&ilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu1

". 'psi beli

'psi beli yang lebih dikenal sebagai call o#tio adalah suatu hak untuk membeli

sebuah saham pada harga kesepakatan (strike #rice) dan dalam jangka waktu tertentu.

. 'psi 2ual

'psi jual yang lebih dikenal sebagai#ut o#tio, adalah suatu hak untuk menjual

sebuah saham pada harga kesepakatan (strike #rice) dan dalam jangka waktu tertentu.&ilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu 1

". 'psi ropa

'psi ropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir

saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.

. 'psi 3merika

'psi 3merika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam

masa berlakunya kontrak opsi.

-ungsiPayoff

!ekarang diperhatikan 'psi ropa. Pada saat - t4 sebelum e#iry datedari opsi

akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi 34), tetapi pada saat e#iry date

akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga 'psi 5allropa, terdapat

tiga kasus yang mungkin, yaitu

". Harga saham lebih besar dari Strike Price3S5()

2


3/12

6arena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah 47 S (5 -. /ni adalah

alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike #rice ( tetapi sebaliknya

untuk 'psi Put ropa.

. Harga saham lebih kecil dari Strike Price 3S 6 ()

Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut

dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk 'psi Put ropa.

%. Harga !aham sama dengan Strike Price(S ( )

&alam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holderakan menggunakan haknya untuk

membeli(o#si call) atau menjual (o#si #ut) saham karena akan memberikan nilai 47-.

&ari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari 'psi ropa pada saat

e#iry date adalah

43S ) maks8d3( 9 S) 0 (")

dengan d { 1 , untuk opsicall1 , untukopsi put .

Gerak Brown

!uatu gerak Brown 8 B (t) ,t 9 -: adalah proses stokastik yang memiliki sifat sifat

berikut 1

1. ;30) 0.

2. Untuk t


4/12

yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t.

Perubahan harga saham dikenal sebagai retur. +odel umum retur dari saham terdiri atas

dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan ?dt

Ukuran dari rata


5/12

Risk Neutral Pricing

Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam

finansial. +isalnya hal ini ditunjukan 3lam dan Uddin (--#) yang membahas tentang suku

bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan

analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam

fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut.

&imisalkan besarnya tabungan awal % 7 ". Besarnya tabungan setelah t periode

dinotasikan denganXt . Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan

Xt+1Xt.

2ika bunga sebanding dengan besarnyaXt maka dinamakan bunga berganda. 3rtinya

Xt+1Xt=r Xt, t=0,1,2, (C)

dimana r5 - dinamakan suku bunga 3iterest rate). Persamaan (C) dapat dituliskan kembali

menjadi

Xt+1=(1+r )Xt. (D)

dan diambilX

0 7 %7 ", maka diperoleh Xt=(1+r)t, t=0,1,2, dengan Xt adalah

besarnya tabungan.

!ekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan kali setiap

tahunnya. 6ita membagi satu tahun menjadi subperiode dengan lebar sama, sehingga suku

bunga untuk setiap perioder

n , maka besarnya tabungan setelah mperiode dirumuskan

oleh

Xm

=(1+r

n)

m

,m=0,1,2,. ($)

5


6/12

&imisalkant=

m

n untuk bilangan bilangan asli mdan , maka besarnya deposito

saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus

Xt=(1+rn )nt

. (E)

Untuk mendekati tak hingga maka dipunyai X(t)=[ limn (1+ rn )n

]t

7 ert

. 6arena

X0 7%7 ",maka secara umum dipunyai bentuk X

(t)=ertX0 atau dapat pula dituliskan

dalam bentuk

X0=ert

X( t) (#)

dengan ert

disebut sebagai faktor terdiskon.

!elanjutnya dimisalkan harga saham pada saat e#iry date dinyatakan dengan S 3)dan

diasumsikan bahwa1

1. E l (S(T)/S0) F =(?2)

2. ! (-) 7 ert

(! (*)).

&ari asumsi pertama, pdf untukEdapat dituliskan dengan

f(x )= 1

2Te

12(

(xT)T )

2

. ("-)

!ehingga pdf untuk S3)dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubahacak melalui persamaan ("-)

f(S(T))= 1S (T)2T

e

12(

(ln (S (T)/S 0)T)T )

2

. ("")

#ected assetdapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu

8S3)G !-: 78 eln (S(T)/S0 )

: 78 eX

: 7 eT+1

2

2T

6


7/12

!ehingga [S (T)]=S0 e T+ 1

2

2T

. (")

&ari asumsi kedua dan persamaan ("),dapat diperoleh

!-7 ert [S (T) ] 7 ert !- eT+1

2

2

T sehingga rt+ T+1

2 2

T=0.

2adi =r

1

2

2

. ("%)

!ehingga pdf untuk persamaan ("") dapat dituliskan menjadi

f( S(T))= 1

S (T)2Te

12((ln (S(T)/S0)(r12 2)T)

T )

2

@ !=

( ln ( S (T)/S0 )(r122)T)T

sehingga

S (T)=S0e(r12 2)T+T !

("A)

Maximum Likelihood Estimation untuk ata Berdistri!usi (orma.

+isalkanX1 , X2 , Xn sampel acak dengan pdf -(i,F) ,i7 ", , ... ,n dengan F

. 3pabila/yaitu fungsi peluang bersama dariE1E2...Edipandang sebagai fungsi dari F

danE1 E2 ... E konstan, maka/3F)7 i=1

n

f(xi ,") disebut sebagai fungsi likelihood.

+isalkanE1E2...E sampel acak dengan pdf-(i,F) dan fungsi likelihood/(F). =ilai

" 7 F(E1E2...E) yang memaksimumkan/3F)yakni/3 " )9 /3F)untuk semua F

dinamakan Maimum /ikelihood stimatio (M/) untuk F. !elanjutnya dibentuk fungsi

/ikelihood

# (,2 )=i=1

n1

2 2e

(xi)2

22

.

&iambil ladalah nilai logaritma dari fungsi ;ikelihood diatas sehingga diperoleh bentuk

7


8/12

l ( , 2 )=ln(i=1

n1

2 2e

(xi)2

22 )=

i=1

n

ln( 12 2 e(xi )

2

22 )

n2i=1

n

ln (2 2 ) 12

2i=1

n

(x i)2

.

=ilai optimal > diperoleh dengan kondisi$l ( ,2 )

$ =0 yaitu

i=1

n

x in =0 . &iperoleh

%#=

i=1

n

xi

n. ("C)

&emikian pula nilai optimal 2

diperoleh dengan memenuhi kondisi$l ( ,2 )

$ 2 =0 ,

yaitu

n

2

2+

1

2

22i=1

n

(xi )2=

1

2

2

(1

2i=1

n

(xi)2n

)=

(1

2i=1

n

(x i )2n

)=0.

2

%#=1

ni=1

n

(x i%#)2

("D)

Untuk mempelajari sifat optimal %# , 2

%# selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l

&l=

[ $

2l

$ 2$

2l

$ $ 2

$2

l

$ $ 2

$2

l

$ (2)2]=

[ n

2%#0

0 1

(2%#)2 ( n2 12%# i=1

n

(x i%# )2)]

karena

n

2

%#


9/12

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

4 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna

waktu (t)

HargaSaham

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Nilai Return dari Harga Saham

ReturnHargaSaham

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 15.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9x 10

4

waktu

H

argaS

aham

Simulasi Pergerakan Harga Saham

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9x 10

4

simulasi

H

argaS

aham

Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan

A(A+,S,S A( PEMBAHASA(

Estimasi Parameter

4olatility saham merupakan nilai standar de0iasi dari retur. Perhitungan

menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (A) berdasarkan data

saham penutupan harian P*. H.+. !ampoerna *bk. yang diambil pada tanggal " +aret -"-

sampai # ebruari -". &ata ditunjukkan oleh Gam!ar 1/Detur dari harga saham

penutupan harian P*. H+ !ampoerna *bk. ditunjukkan Gam!ar " yangmerupakan selisih

dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t+".

Gam!ar 1/ Harga saham P*. H+. !ampoerna Gam!ar "returdari harga saham

&engan menggunakan persamaan ("C) dan ("D), maka diperoleh%# 7 -,--E" ,

2

%# 7 -,---A- dan 'olatility7 -,---A.

Simu.asi Harga Saham

!etelah didapatkan estimasi 'olatility, maka selanjutnya dilakukan "-- simulasi harga saham

dengan e#iry date 7 " tahun menggunakan model harga sahamDisk Ceutral.=ilai ryang

digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank /ndonesia atau yang lebihdikenal sebagai ;G rate sebesar C,$CI per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga

saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gam!ar # dan untuk hasil simulasi

harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gam!ar 0.

9


10/12

Gam!ar #/!-7 C%.--- , 7 " *ahun , ? 7

-,---A dan r7 C,$CI.

Gam!ar 0/Hasil simulasi harga saham saat satu

tahun kedepan.

Perhitungan (i.ai Opsi Eropa

!elanjutnya dihitung harga 'psi ropa saat ini menggunakan persamaan (") dan (#)

dapat diperoleh persamaan

'0=

1

%i=1

%

ertmaks {d (0 , ST( ))}

dengan

M 1 Banyaknya simulasi,( 1 Harga pelaksanaan3Strike Price )dan d {1 , untuk opsi call1 , untuk opsi put

6arena terdapat tiga nilai( yang mugkin yaitu(6 STi (

STi dan(

Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya-makalah Lengkap

Documents

Transcript of Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya-makalah Lengkap