ARTI GEOMETRIS INTEGRAL LIPAT DUA

KELOMPOK 3

LENRA MALAU

MARTHA NAPITUPULU

MERY APRIYANI HUTABARAT

Integral Ganda Dua Atas

Persegi Panjang

Tinjauan Ulang Integral

Tentu

Pertama, di tinjau kembali fakta mendasartentang integral tentu dari fungsi dengan satupeubah.Jika didefenisikan untukDimulai dengan memagi interval [a,b] kedalamm sub-interval dengan lebar yang sama

dan memilih titik sampel dalamsub-sub interval.

Maka bentuk jumlahan Riemann :

…..(1.1)

Dan mengambil limit jumlahan yaituuntuk mendapatkan integral tentu f

dari a ke b:

…..(1.2)

Dalam kasus dimana , jumlah Riemann dapat diinterpretasikan sebagai jumlahpersegipanjang-persegipanjang dalam gambar1, dan mempresentasikan luasdibawah kurva y=f(x) dari a ke b.

Gambar 1

VOLUME DAN INTEGRAL GANDA

Dalam pengertian yang sama kita perhatikansebuah fungsi dengan dua peubah yang didefenisikan dalam persegipanjang tertutup .

Dengan sebelumnya mengandaikan bahwaGrafik dari adalah permukaan denganpersamaan

Misalkan adalah benda pejal (solid) yang terletak diatas R dan dibawah grafik f , yakni :

Dari gambar diatas yaitu untuk

mencari volume S :

langkah pertama adalah membagipersegipanjang R kedalam su-sub persegipanjang.Membagi interval [a,b] kedalam m subinterval dengan panjangyang sama dan membagi [c,d] ke dalamn subinterval dengan panjang yang sama

Dengan menggambarkan garis-garis

yang sejajar dengan sumbu-sumbu

koordinat melalui titik-titik ujung

sub-sub interval

Setiapnya dengan luas

Dipilih titik sampel (xij*,yij*) dalam

setiap Rij , maka dapat dinyatakan S

adalah sebuah kotak (atau

“kolom”) persegi panjang yang tipis

dengan alas Rij dan tinggi f(xij*,yij*)

yang terletak diatas setiap Rij.

Volume Kotak adalah tinggi kotak dikali luas alas :

AyijxijfV *)*,(

Jika mengikuti prosedur ini untuk semua

persegi panjang dan menjumlahkan

volume kotak-kotak yang bersesuaian,

maka didapat aproksimasi volume

keseluruhan dari S :

AyijxijVm

i

n

i

*)*,(1 1

Jumlahan sigma ganda berarti bahwa untuk

setiap subpersegipanjangdi evaluasi f pada titik

terpilih dan mengalikan dengan luas

subpersegipanjang tersebut, dan menjumlahkan

hasilnya.

Volume maksimal akan didapatseiring m dan n semakin besar, sehingga :

AyijxijVm

i

n

inm

*)*,(1 1,

lim

Integral ganda dari f atas

persegipanjang R adalah :

m

i

n

inmR

AyijxijdAyxf1 1,

*)*,(),( lim

m

i

n

jnmR

AyijxijdAyxf1 1,

*)*,(),( lim

Untuk semua bilangan 0 terdapat

bilangan bulat N sedemikian sehingga :

Jika f(x,y)≥0 maka volume V dari benda

pejal yang terletak di atas persegipanjang

R dan di bawah permukaan z = f(x,y)

adalah

R

dAyxfV ),(

Jumlahan ini disebut jumlahan

Riemann ganda

m

i

n

j

Ayijxijf1 1

*)*,(

Estimasi volume benda pejal yang terletak

di atas persegi R=[0,2]x[0,2] dan dibawah

paraboloida elliptik z=16-x2-2y2 bagi R

kedalam empat persegi yang sama dan

pilih titik sampel dari sudut kanan atas dari

setiap persegi Rij sketsakan benda pejal

tersebut dan kotak-kotak persegipanjang

pengaproksimasinya.

Contoh

Sketsa gambar

Aproksimasi jumlah Riemann pada volume

dibawah z=16-x2-2y2 menjadi lebih akurat

bilamana m dan n ditingkatkan

5.41,4)( Vnma 46875.46,16)( Vnmc875.44,8)( Vnmb

PERTANYAAN

1. Setelah dipaparkan, bagaimanamenurut Anda arti geometris dariintegral lipat dua ?

2. Untuk apa kita memilih titik sampel(xij*,yij*) dalam setiap Rij ?

3. Bagaimana letak benda yang diselidiki dalam integral lipat dua ?

4. Bagaimana cara Anda untukmendapatkan volume maksimum darisuatu benda pejal yang tidak rata? misalnya bola peluru.

Sekian dan Terima Kasih